Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

1

Puzzle

s,JuegosMatemático

syProgramació

nFuncio

nal

BlasRuiz

Dpto.deLenguajesyCiencia

sdela

Computació

n.Universid

addeMálaga.

ww

w.lcc.u

ma.e

s\∼

bla

s

Lamatem

áticarecreativa

(MatR

ec)(recreation

almathem

a-tics)

esuna

disciplinaque

incluyejuegos

matem

áticos :

lógicos,puzzles,

acertijos,problem

asde

ingenio,...

ElJou

rnal

ofRecreation

alMathem

aticses

lapublicación

más

seriasobre

estadisciplina.

( http://www.ashbacher.com

/jrecmath.stm

)

Tradicionalm

entelaM

atR

echa

sidoutilizada

paramotivar:

Xla

lógica,aritm

ética,geom

etŕıa...elem

entales.Hoy

añadimos

alalista

anterior:laenseñanza

dela

programación.

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

2

Objetiv

os

1.Motivar

losprincipios

delaProgram

aciónFuncional(P

rogFun)

v́ıaejem

ploslúdicos

extráıdosde

laM

atR

ec.

2.Ilustrar

lascaracteŕısticas

esencialesde

unlenguaje

funcionalmoderno

comoHaskell:

•tipifi

caciónfuerte

•defi

nicionescon

patrones•estructuras

dedatos

...•¡program

aselegantes!

3.Justifi

carlas

construccionesesenciales

delaProgFun:

•com

posición

defunciones

•listas

por

comprensión

...

Prin

cipio

Elección

deproblem

asintroductorios

(puzzles)que

sean

•elem

entales•no

triviales•resolubles

usandolo

esencialde

laProgFun

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

3

Matem

áticoscon

aportaciones

importantes

enM

atR

ec:

Martin

Gardner

(1914-).Autor

de100

libros;célebre

por

sucolum

naMathem

aticalGam

esen

Scie

ntifi

cAmerica

n.

Inspiración

¡ajá!(1978)

(Lab

or,1981)

Douglas

Hofstadter

(1945-).Sulibro

más

conocidoes

Gödel,

Escher,

Bach:

anEtern

alGolden

Braid

(1979).Sucesor

deMartin

Gardner

enla

columna

Mathem

aticalGam

es.

JohnConw

ay(1937-).T

ieneap

ortacionesim

portantes

enteoŕıa

degrup

os,teoŕıa

denúm

eros,com

binatorial

gametheory,

codingtheory.

Inventordel

Juegode

laVida

yotros

célebrespuzzles,

algunosaún

noresueltos.

OnNumbers

andGam

es,WinningWays

foryou

rMathem

aticalPlays.

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

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mació

nFuncio

nal(C

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EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

4

Charles

Dodgson

(1832-1898)(Lew

isCarroll).P

rofesorde

ma-

temáticas

dela

Universidad

deOxford

cercade

50años;

es-cribió

dosobras

maestras:

Alicia

enel

páısde

lasmaravi-

llas(1864),

yA

travésdel

espejo(1871).

Sym

bolicLogic

I(1896),

...(http://w

ww.guiascostarica.com

)

Raym

ondSmullyan

(1919-).Lógico

norteamericano.

Apasio-

nadopor

losproblem

asde

ajedrez.Doctorado

deAlonzo

Chur-

chen

Princeton

(1959)(sistem

asform

ales,teoŕıa

dela

recur-sión,

...)Entre

suslibros

célebres:

¿Cóm

ose

llamaeste

libro?Elen

igmade

Drácu

layotros

pasatiempos

lógicos ,Ed.

Cátedra

(1988).W

hatis

thenam

eof

this

book?(1978)

The

Lady

orthe

Tiger?

Alice

inpu

zzle-land(A

liciaen

elPáıs

dela

Adivin

anzas)

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

5

MatR

ec Puzzles

Lógicos {

Puzzle

sconDiálogos

......

Puzzles

conDiálogos

Dedu

cirinform

ación(repartida

porun

árbitroavarios

oradores)apartir

deundiálogo

cuyas

frasescon

tienen

pis-tas

sobre:(1)

datosdel

problema,

(2)iden

tidadde

losora-

dores,(3)

inform

aciónsecreta

dealgu

nos

oradores,...

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

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EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

6

Puzzle

sconsombreros

Atribuido

aSebelik

(1983),generalizado

por

JConw

ay,HFreu-

denthal,M

Gardner,

...

En

ciertahab

itaciónse

encuentran

Seb

elik,Paco

yBlas

enfila

india.E

notra

contigu

ahay

cinco

sombreros

(2negros

y3blan

cos).Seap

agala

luz;u

nárbitro

toma

tressom

breros

dela

mesa

ylos

coloca

enlas

cabezas

delas

person

aspara

desp

ués

encen

der

laluz.

Paco

Blas

Seb

elik

Acon

tinuación

seescu

chael

siguien

tediálogo:

Seb

elik.—

Yonosé

elcolor

demisom

brero.

Paco.—

Enese

caso,yo

tampoco.

¿Dequécolor

esel

sombrero

deBlas?

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

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nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

7

Puzzle

sconnúmerosenla

frente

(J.Conway)

Johnelige

dosnúm

erosp,b∈

[1..9]yun

terceroy∈

[2..18]escrib

epen

lafrente

dePaco

yben

lade

Blas

escribeen

unapizarra

yjunto

ala

sumap+b

10=

5+?

5?

9=

5+?

Manuel

desdeotra

habitaciónescucha

elsiguiente

diálogo:

Blas

.—Nosé

elnúmero

demifren

te.Paco

.—Yotam

poco.

Blas

.—Pues

sigoigu

al.Paco

.—Y

yo.

Blas

.—¡C

asilo

sé!Paco

.—Y

yo.Blas

.—Meestoy

pon

iendonerv

iosillo.Paco

.—Yotam

bién

estoydelos

nerv

ios.Blas

.—¡A

já,ya

séel

mı́o!

¿Tiene

sentidoel

diálogo?¿S

abeManuel

losnúm

eros?

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

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EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

8

ElProblema

P-S(H

Freudenthal)

Hans

eligedos

naturalesdistintos

mayores

que1,

entregaelpro-

ductoaPROD

yla

sumaaSUM

,que

mantienen

elsiguiente

diálogo:SUM

.—Nose

cómovas

aad

ivinar

misuma.

PROD.—

Enton

ces,nosé

tusuma

SUM

.—Pues

yoya

setu

producto.

¿Cuáles

eranlos

números

elegidospor

Hans?

XEnel

problemaoriginal

(1969)la

segundafrase

es:PROD.—

¡Ajá!,

enton

cesya

sétu

suma

Información

P-S

EnLaF

rente

SigP

revSom

brerosglobal

x,y

>1

p,b∈

[1..9]p,b∈

[1..9]2N

,3B

x6=y

x,y∈

[2..18]pública

Φpizarra

(x,y

)Φ

Φprivada

s,pfrente

(x,y

)frente

(x,y

)(p,b),

b

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

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EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

9

Enla

isladelosCaballe

rosylosṔıca

ros

Enesta

islahabitan

caballeros(sinceros)

yṕıcaros

(mentirosos).

Ocasionalm

entepuede

visitarla

islalos

esṕıas(a

vecesmienten

yotras

no).

26Meencuentro

conA,B

yC.Pregunto

aA:¿E

resCaballero

oṔıcaro?

Larespuesta

deA

esininteligible,

ypregunto

aB:

¿Qué

hadicho

A?

B.—

Adice

quees

Ṕıcaro.

C.—

Nocreas

aB,que

estámintiendo.

¿Qué

dijoA?¿Q

uéson

AyB?

40Meencuentro

condos

habitantesque

discuten:

A.—

Noeres

unCaballero.

B.—

Tuśıque

nolo

eres.

Dem

uestraque

unode

elloses

esṕıa,yuno

deellos

sincero.

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

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EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

10

Enla

isladelosCaballe

rosylosṔıca

ros(co

nt)

27Pregunto

aA:¿cuantos

caballeroshay

entrevosotros?

Lares-

puestade

Aes

ininteligible,ypregunto

aB:¿Q

uéha

dicho?

B.—

Adice

quehay

exactamente

uncaballero

entrenosotros.

C.—

Bestá

mintiendo.

¿Qué

dijoA?¿Q

uiénesson

A,B,C?Veo

doshabitantes

descan-sando

bajoun

árbol.

Lepregunto

auno

deellos:

¿Esalguno

devosotros

uncaballero?

Con

larespuesta

pudesab

ersu

per-

sonalidad. ¿Qué

eran?

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

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EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

11

LosCofre

sdePorcia

Porcia

decideelegir

esposo,

noatendiendo

asu

belleza

obon-

dad,sino

asu

agudezamental

ointeligencia.

Porcia

tienevarios

cofres(de

oro,de

plata,...algunos

fabrica-dos

por

Bellini,

...).Elpretendiente

debedescubrir

elcofre

consu

retratode

acuerdocon

eldiálogo

dadoen

lasinscrip

ciones.

67aoro

elretrato

estáen

estecofre

plata

elretrato

no

estáaqú

ı

plomo

elretrato

no

estáen

elcofre

deoro

69boro

elretrato

no

estáaqú

ı

plataexactam

ente

unode

estoscofres

lohizo

Bellin

i

Puzzles,

Juego

sMatem

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EJERCIC

IOS).

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o,2005

12

¿ViveelcondeDrácula?

EnTransilvania

hayvam

pirosyhum

anos,ycada

unode

ellospuede

estarcuerdo

oloco.

Los

humanos

sonsinceros

ylos

vampiros

embusteros.

Por

locontrario,

loscuerdos

creenque

sonciertas

lasprop

osicionescier-

tas,yfalsas

lasfalsas.

Sin

embargo,

loslocos

creenque

laspro-

posiciones

falsasson

ciertasylas

ciertas,falsas.

(un

humano

locose

comporta

aparentem

ente

comoun

embustero,p

eroalcontrario

queéste,m

ientesin

maldad).

167Untransilvano

dice:O

soyhum

anooestoy

cuerdo.¿E

sun

vampiro?

170Lepreguntam

osaT:¿E

resun

vampiro

Loco?

¿Qué

respon-

diósiyo

adivinélo

queera?

172Otro

dice:Estoy

Loco.

¿Esun

vampiro?

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

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nFuncio

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EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

13

176RSentabla

unaconversación

condos

transilvanos:

RS,dirigiéndose

aA.—

¿EsBhum

ano?

A.—

Eso

creo.

RS,dirigiéndose

aB.—

¿Aes

humano?

¿Qué

respondió

B?

178RS,dirigiéndose

aA:¿C

reesque

eresform

al?¿Q

uépuedo

determinar

dependiendo

dela

respuesta?

¿Esposible

deducirsiDrácula

viveapartir

defrases

como:

179Sisoy

humano

entoncesDrácula

viveaún.

180Siestoy

cuerdoentonces

Drácula

vive.

182Sisoy

formal

entoncesDrácula

vive.

190¿Q

uépreguntarem

osaun

transilvanopara

que,indep

endien-tem

entede

sucom

portam

inetoysu

respuesta,podam

ossab

ersiDrácula

vive?

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

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nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

14

Clasifi

cació

ndePuzzle

s

1.Con

frasesdep

endientesyoradores

infinitam

ente

inteligentespero

sinceros(cada

frasedep

endede

laanterior):

a)Som

breros(J

Conw

ay,H

Freudenthal)

b)

Núm

erosen

lafrente

(JConw

ay,M

Gardner)

Problem

a:modelar

elcom

portam

ientointeligente

2.Con

frasesindep

endientes,pero

posiblem

entefalsas:

a)Problem

asde

Alicia:

Enla

isla,Elbosque

delOlvido,

...

b)

Lacolección

deSmullyan:

Drácula,

Cofres

dePorcia,

...

Problem

a:modelar

lainterpretación

delas

frases

3.Mezcla

delos

anteriores.

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

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nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

15

LaProgram

aciónFuncional

esuna

herramienta:

•sencilla

•sufi

ciente•atractiva

Tareasarealiza

r

1.–Estu

dio

del

Prob

lema

2.–Modelad

odela

Solu

cionen

Haskell

3.–Con

jeturas

sobre

lasolu

cion4.

–Pruebas

deéstas

5.–Varian

tesdel

Prob

lema

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

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mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

16

Programació

nFuncio

nal

programar

A=com

binarfunciones

XA=

estásobrecargado

IMoses

Schönfi

nkel(Soc.

Mat.

deGöttingen,

1920),Uber

dieBau

steineder

mathem

atischenlogik

(1924),Onthe

buildin

gblocks

ofmathem

aticallogic

representarfórm

ulasatravés

decom

binadores

Sxyz=xz(yz)

Kxy=x

(Kon

stanzfu

nktion

)

introducela

notaciónparcializada

(curryin

g)I

LaLógica

Com

binatoriade

Haskell

Curry

(1930)I

Cálculo

confunciones

anónimas

(BRussel?):

2x̂+yÃ

x̂.2x

+yÃ

∧x.2x

+yÃ

λx.2x

+y

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

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nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

17

IAlonzo

Church,

Aset

ofpostu

latesfor

thefou

ndation

sof

logic(1932)

IntroduceelCalcu

liof

lambda

conversion

oλ–cálculo:

xy

—variab

lesλx.E

—ab

stracciones

ofuncion

esan

ónim

aseh

—ap

licaciones

⊕paréntesis

yconvenios

paraagilizar

lanotación:

λx.λy.x

λxy.x

(λxy.x)(λ

z.(λm.m

)(λm.m

))(λxy.y)

⊕la

aplicaciónavarios

argumentos

esim

pĺıcita:fabc

⊕defi

nicionesoecuaciones

parasim

plificar

expresiones:

Kxy=x

I=λx.x

Fxy=y

K(λz.I

I)F

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

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nFuncio

nal(C

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EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

18

⊕(beta)

conversiónun

pasode

evaluación :(redex)

(λx.C

)EÃ

[x:=

E]C

EÃ

E′

λx.EÃ

λx.E′

EÃ

E′

EMÃ

E′M

...

Ejem

plo:

K(λz.I

I)FÃ

K(λz.I

)FK(λz.I

I)FÃ

(λz.I

I)

⊕evaluación

encero

omás

pasos

EÃÃ

E

EÃÃ

E′E′ÃÃ

E′′

EÃÃ

E′′

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

19

⊕cóm

puto:uno

ovarios

pasos.

K(λz.I

I)FÃÃ

λz.I

K(λz.I

I)FÃÃ

K(λz.I

)F⊕

finde

cómputo:

noquedan

redexes(form

anorm

al)⊕

intérprete:estrategia

dereducción

Teorem

asde

Church-R

osser:

1.ÃÃ

esconfl

uente

SieÃÃ

e′∧eÃÃ

e′′entonces,

∃f|e′ÃÃ

f∧e′′ÃÃ

f

2.LaFN

esúnica.

3.Elcóm

putofinal

esindep

endientedel

evaluador.

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

20

Enelλ

Cpodem

osmodelar

lalógica,

losnúm

eros,las

listas...

Usarem

osdefi

nicionesecuacionales

True=λxy.x

False

=λxy.y

Cond=λxyz.x

yz

&=λxy.xyF

not

=λx.xFT

CondTrueefÃÃ

e

Sea

=la

igualdadsintáctica

(queabsorb

eala

=defi

nicional):

NotT=(λx.xFT)TÃ

TFTÃ

F

d0e=λfx.x

dne=λfx.f

n+1(x

)

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

21

[]=λxyz.y

(:)=λabf.fab

head=λx.xT

tail

=λx.xF

[A] =

(:)A[]Ã

λf.fA[]

Pero

laigualdad

=es

sustitutiva

head[A

] =(λx.xT)[A

]Ã

[A]T

=(:)A

[]TÃÃ

TA[]Ã

A

tail[A

] =(λx.xF)[A

]Ã

[A]F

=(:)A

[]FÃÃ

FA[]Ã

[]

Luego

head[A

]ÃÃA

tail[A

]ÃÃ[]

Laprogram

aciónfuncional

consisteen

diseñarcom

binadores

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

22

⊕Funciones

Recursivas

SiY

=λf.(λ

x.f(xx))(λx.f(xx)),

entoncesYfÃÃ

f(Y

f),

e.d.:Sidefi

nimos

unaigualdad

®que

incluyaa=∪ÃÃ

entoncesla

ecuaciónM®

fM

tienesolución.

⊕λ–defi

nibilidad:base

dela

programación

funcionalUna

funciónϕ

:N

p→

Nse

diceλ–defi

niblesi

existeun

término

Ftal

que

dϕ(n

1 ,...,np )eÃÃ

Fdn

1 e...dn

p e

Teorem

ade

Kleene:

fes

recursivasii

esλ–defi

nible.

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

23

¿Qué

lenguajesfuncionales

sonbuenos?

Lalista

eslarga:

APL

FP

simbólicos

Lambda-Cálculo

LisP

Scheme

semi-puros

Hope

Miranda

Orwell

Haskell

algebraicos(tip

osinductivos)

Xcaracteŕıstica

esencial:tipifi

cación(clasifi

cación)X

otrascaracteŕısticas:

orden-su

perioryparcialización

,polim

orfism

ogen

eralyrestrin

gido,evalu

aciónnoestricta,...

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

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EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

24

Ellenguaje

Haskell(C

urry

)

Unaagradable

introdu

cciónaHaskell...

Ennuestras

páginashay

información

adicional:www.lcc.um

a.es\∼pepeg

www.lcc.um

a.es\razonandoC

onHaskell

•Surge

(los80)

paraestandarizar

laspropuestas

académicas.

•Esun

Lambda-Cálculo

enriquecido:

x,y

—variab

lesλx→

E,

λxy→

F—

funcion

esan

ónim

aseh

—ap

licaciones

1,−8,+

,...True,F

alse,

—aritm

ética,lógica

[1,2],′a′:”ju

an”,

( ′a′,3.23),

length

—funcion

esbásicas

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

25

•Declaraciones

previasde

unaam

pliacolección

tipos:

data

Bool

=True|F

alsedata

Integer

=...|−

1|0|1|2|...

—enteros

noacotad

osdata

Int

=−2147483648

|...|2147483647—

[minBou

nd..m

axBou

nd]

data

[a]=

[]|a:[a]

—listas

•Organización

enmódulos

(import,h

idding)Prelude

List

•Patrones

endefi

niciones,orden

superior:

map

::(a→

b)→

[a]→

[b]

—polim

orfismo+

OS

map

f[]

=[]

map

f(x

:xs)

=fx

:map

fxs

—recu

rsión

aMay

úscu

las::

[Char

]→

[Char

]

aMay

úscu

las=

map

Char

.toUpper

—parcialización

,cualificación

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

26

•Operadores

simbólicos,

precedenciayasociatividad:

infixl1

==>

—im

plicación

lógica

False

==>

=True

—patrón

anón

imo

True

==>q

=q

•Ecuación

conguardas,

promoción

numérica:

facn|n

==

0=

1|n

>0

=n∗fac

(n−

1)

Main

>fac

100—

Elsistem

ainfiere

eltip

odefac

93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000

::Integer

Main

>len

gth$show

$fac

100—

infixr0$;

f$a

=fa

158::Int

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

27

Prelu

de>map

(/3)[1..3]

—prom

ociónnu

mérica

[0.333333333333333,0.666666666666667,1.0]::Dou

blePrelu

de>filter

(6=′s′)“com

esfiletes“

—llam

adaparcial

“comefilete

“::Strin

g

¿Con

cuántosceros

termina

elfactorial

de100?

Main

>ceros

100where

ceros=

length

.takeWhile

(==′0′).reverse

.show.fac

24::Int

—ceros

esunafunción

local

•Tipos

algebraicos(inductivos,

dots)

data

Natu

ral=

O|S

ucNatu

ral—

inductivo

masD

os=

Suc.S

uc

—masD

os::Natu

ral→

Natu

ral

data

Pila

a=

Pa(P

ilaa)

—recu

rsivo,noinductivo

p=

p—

p::Pila

aq

=P

1q

—q

::Pila

Int

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

28

•Evaluación

noestricta

Prelu

de>take

10unos

where

unos

=1:unos

[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]::Integer

•Clases

deTipos:

class

Eqawhere

(==),(/

=)::a→

a→

Bool

—miem

bros

por

defecto

x==y=not(x

6=y)

x6=y

=not(x

==y)

insta

nce

EqNatu

ralwhere

O==O

=True

Sucx==Sucy=x==y

•Unintérprete/com

piladorlibre

muy

cuidado

www.haskell.org

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

29

Puzzle

sconsombreros

Atribuido

aSebelik

(1983),generalizado

por

JConw

ay,HFreu-

denthal,M

Gardner,

...

En

ciertahab

itaciónse

encuentran

Seb

elik,Paco

yBlas

enfila

india.E

notra

contigu

ahay

cinco

sombreros

(2negros

y3blan

cos).Seap

agala

luz;u

nárbitro

toma

tressom

breros

dela

mesa

ylos

coloca

enlas

cabezas

delas

person

aspara

desp

ués

encen

der

laluz.

Paco

Blas

Seb

elik

Acon

tinuación

seescu

chael

siguien

tediálogo:

Seb

elik.—

Yonosé

elcolor

demisom

brero.

Paco.—

Enese

caso,yo

tampoco.

¿Dequécolor

esel

sombrero

deBlas?

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

30

Som

brerosydiálogo

enHaskell

Larepresentación

decolores

essim

ple:

data

Color

=B|N

deriv

ing(E

q,Show

)

Som

breros>B

==N

False

Som

breros>B6=N

True

Necesitam

osun

predicadointeligente

paracada

frase:

typeFrase

a=

a→

Bool

—POLIM

ORFISMO

sebelik::Frase

(Color

,Color

)paco

::Frase

Color

blas::

[Color

]—

lalista

deposib

lessom

breros

sebelikactúa

sobrepares

decolores

(lossom

brerosque

ve).

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

31

Algunas

funcionessencillas

usando“L

istaspor

Com

prensión”:

cubo

::[a]→

[(a,a,a

)]—

Polim

orfismo

cubo

xs=

[(x,y,z

)|x←

xs,y←

xs,z←

xs]—

unalista

por

compren

sióncap

tura

“conjuntos

por

compren

sión”:

—R3={(x

,y,z)|x

∈R,y∈

R,z∈

R}

elegibles::

[(Color

,Color

,Color

)]

elegibles=

[t|t←

cubo

[B,N

]︸

︷︷︸

generador

,t6=

(N,N

,N)

︸︷︷

︸guarda

]

—hay

suficientes

blan

cos

Som

breros>cubo

[B,N

][(B

,B,B

),(B,B

,N),(B

,N,B

),(B,N

,N),

(N,B

,B),(N

,B,N

),(N,N

,B),(N

,N,N

)]Som

breros>elegibles

[(B,B

,B),(B

,B,N

),(B,N

,B),(B

,N,N

),(N

,B,B

),(N,B

,N),(N

,N,B

)]

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

32

¿Cóm

oes

deinteligente

Sebelik?

sebelik::Frase

(Color

,Color

)

sebelik(p,b

)=masD

eUno

[s|(s,p

′,b′)←

elegibles

︸︷︷

︸gen

erador

,(p′,b′)==

(p,b)︸

︷︷︸

guarda

]

Som

breros>sebelik

(B,N

)—

¿Seb

elikpued

ever

unoBlan

coyotro

Negro?

True

—Śı

Som

breros>sebelik

(N,N

)False

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

33

¿Yel

comportam

ientointeligente

dePaco?

pacob

=masD

eUno[p|p←

[B,N

],sebelik(p,b

)]

—im

aginouncolor

ppara

misom

brero

—yrazon

ocom

oSeb

elik

Som

breros>paco

B—

¿Paco

puedever

unsom

brero

Blan

co?True

—Śı

Som

breros>paco

NFalse

Lalista

blascalcula

losposibles

coloresdel

sombrero

deBlas:

blas=

[b|b←

[B,N

],paco

b]

Som

breros>blas

[B]::

[Color

]—

estoes

unadem

ostración

Veam

osahora

lafunción

masD

eUno:

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

34

masD

eUno

::Eqa

=>

[a]→

Bool

—polim

orfismorestrin

gido

masD

eUno

=varios

.quitaR

ep

—el

punto

‘.’rep

resentala

composición

defuncion

es(f.g

)x

=f(g

x)

quitaR

ep::Eqa

=>

[a]→

[a]

quitaR

ep(x

:xs)

=x

:quitaR

ep[y|y←

xs,y6=

x]

quitaR

ep[]

=[]

—recu

rsión

data

[a]=

[]|a:[a]

Som

breros>quitaR

ep[3,1,2,1,3,1,4]

[3,1,2,4]Som

breros>quitaR

ep′′esta

frasees

muylarga

′′

“estafrm

uylg′′

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

35

varios::

[a]→

Bool

—polim

orfismo

varios(

::)=

True

—el

śımbolo

esel

patrón

anón

imo

varios=

False

—Otra

alternativa

v́ıala

función

length

variosxs

=len

gthxs≥

2

length

::[a]→

Integer

—polim

orfismoirrestrin

gido

length

(:xs)

=1+

length

xslen

gth[]

=0

—Otra

formadirecta

¿más

elegante?varios

=(≥

2).len

gth

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

36

Mas

puzzlescon

sombreros

Martin

Gardner

(enInspiración

¡Ajá!)

considerados

variantes(H

Freudenthal

yJConw

ay)

...npersonas

colocadasen

fila

india.

Enla

mesa

hayn−1

sombreros

negrosynblancos

...un

árbitroelige

nsom

bre-ros

...Sucesivam

ente,de

atráshacia

adelante,todas

(salvola

última)

dicenlo

mism

o:¡N

osé

elcolorde

misom

brero!.¿D

equé

colores

elsom

brerode

laprim

erapersona

dela

fila?

¿Qué

ocurresilas

npersonas

puedenmoverse

libremente,

deform

aque

cadauna

velas

cabezas

delas

restantes?

Dem

ostradque

algunade

ellasafi

rmará

enalgún

mom

entoque

conoceel

colorde

susom

brero.

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

37

Generaliza

ción(4

perso

nas,

5...)

Generalizam

osel

programaanterior

EJERCIC

IOX

Loanterior

proporciona

unrazonam

iento¡ajá!

Sea

lafila

india:(P

1habla

el1

o)

P1 P

2 P3...P

n

Dela

primera

fraseconcluim

os:

enlas

cabezas

deP2 P

3...P

nexiste

unsom

breroblanco

(2)

Utilizando

loanterior

esfácil

probarque

elsom

brerode

Pnes

blancoEJERCIC

IO

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

38

Enla

isladelosCaballe

rosylosṔıca

ros

Enesta

islahabitan

caballeros(sinceros)

yṕıcaros

(mentirosos).

Ocasionalm

entepuede

visitarla

islalos

esṕıas(a

vecesmienten

yotras

no).

26Meencuentro

conA,B

yC.Pregunto

aA:¿E

resCaballero

oṔıcaro?

Larespuesta

deA

esininteligible,

ypregunto

aB:

¿Qué

hadicho

A?

B.—

Adice

quees

Ṕıcaro.

C.—

Nocreas

aB,que

estámintiendo.

¿Qué

dijoA?¿Q

uéson

AyB?

40Meencuentro

condos

habitantesque

discuten:

A.—

Noeres

unCaballero.

B.—

Tuśıque

nolo

eres.

Dem

uestraque

unode

elloses

esṕıa,yuno

deellos

sincero.

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

39

DiálogosHaskellenla

Isla

XLaejecución

delos

diálogos-Haskell¡son

demostraciones!

XRay

resuelvelos

mism

osproblem

asen

almenos

media

pági-na.d

ata

Habitan

te=

Pı́caro

|Caballero

|Espı́aderiv

ing(E

q,Show

)typePar

=(H

abitante,H

abitante)

typeTrı́o

=(H

abitante,H

abitante,H

abitante)

—la

siguiente

función

prop

orcionaunainterp

retacióndecad

afrase

valorSi::Frase

a→

Habitan

te→

Frase

a

—notación

infija

ypatron

es

f‘valorS

i‘Caballero

=f

f‘valorS

i‘Pı́caro

=not.f

{not

True

=False

;not

False

=True}

f‘valorS

i‘Espı́a

=con

stTrue{con

stkx

=k}

—noten

drem

osen

cuenta

loqu

edicen

losesṕ

ıas

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

40

—Prob

lema26

—¿E

resCab

allerooṔıcaro?

Laresp

uesta

deA

esininteligib

le,—

ypregu

ntoaB:¿Q

uéhadich

oA?

—B.—

Adice

quees

Ṕıcaro.

—C.—

Nocreas

aB,qu

eestá

mintien

do.

sol26::Habitan

te→

[Trı́o]

sol26res

=[t|t@

(a,b,c

)←

cubo

[Pı́caro

,Caballero

],valorS

ifat,

—llam

adaprefija

valorSigbt,

valorSihct]

—interp

retamos

cadafrase

segúnla

person

alidad

where

f,g,h

::Frase

Trı́o

f(a,b,c

)=

a==

res—

A.—

soyres.

g(a,b,c

)=

f(a,b,c

)==

(a==

Pı́caro

)—

B.—

Adice

quees

Ṕıcaro.

h=

not.g

—C.—

Bestá

mintien

do.

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

41

IslaCaballeros

>sol26

Pı́caro

[]—

Anopudodecir

queera

Ṕıcaro

IslaCaballeros

>sol26

Caballero

[(Pı́caro

,Pı́caro

,Caballero

),(Caballero

,Pı́caro

,Caballero

)]—

Adijo

queera

Cab

allero,B

esunṔıcaro

yC

unCab

allero.—

Esim

posib

lesab

erlo

quees

Apero

śılo

quedijo.

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

42

—Prob

lema27

—Pregu

ntoaA:¿C

uántos

caballeros

hay

entrevosotros?

—Laresp

uesta

esininteligib

le,ypregu

ntoaB:¿Q

uéhadich

o?—

B.—

Adice

quehay

exactamente

uncab

alleroentre

nosotros.

—C.—

Nohagas

casoaB

queestá

mintien

do.

sol27res

=[t|t@

(a,b,c

)←

cubo

[Pı́caro

,Caballero

],(f

‘valorSi‘a

)t,

(g‘valorS

i‘b)t,

(h‘valorS

i‘c)t]

where

f,g,h

::Frase

Trı́o

f(a,b,c

)=

res==

length

[x|x←

[a,b,c

],x==

Caballero

]—

A.—

somos

rescab

allerosg(a,b,c

)=

f(a,b,c

)==

(1==

length

[x|x←

[a,b,c

],x==

Caballero

])—

B.—

Adice

queexactam

ente—

unodenosotros

esuncab

alleroh

=not.g

—C.—

Nohagas

casoaB

queestá

mintien

do.

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

43

IslaCaballeros

>sol27

1[]

—Laresp

uesta

nopudoser

1.IslaC

aballeros>

sol270

[(Pı́caro

,Pı́caro

,Caballero

)]IslaC

aballeros>

sol272

[(Pı́caro

,Pı́caro

,Caballero

),(Caballero

,Pı́caro

,Caballero

)]IslaC

aballeros>

sol273

[(Pı́caro

,Pı́caro

,Caballero

)]IslaC

aballeros>

sol274

[(Pı́caro

,Pı́caro

,Caballero

)]—

Esim

posib

lededucir

laperson

alidad

deA.

—Sab

emos

que(B

,C)=

=(Ṕ

ıcaro,Cab

allero).

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

44

—Prob

lema36

—¿E

salgu

nodevosotros

uncab

allero?.—

Ameresp

ondió,

ycon

suresp

uesta

pudesab

erla

solución

.

sol36res

=[p|p

@(a,b

)←

[Pı́caro

,Caballero

]‘x‘[P

ı́caro,C

aballero],

(f‘valorS

i‘a)p]

where

f::Frase

Par

f(a,b

)=

ifres

==

”SI”then

a==

Caballero

||b==

Caballero

—unodenosotros

esCab

alleroelse

a==

Pı́caro

b==

Pı́caro

—som

osdos

Ṕıcaros

IslaCaballeros

>sol36

”SI”

[(Pı́caro

,Pı́caro

),(Caballero

,Pı́caro

),...—

noqu

edadeterm

inad

ala

person

alidad

deA

IslaCaballeros

>sol36

”NO”

[(Pı́caro

,Caballero

)]—

Adeb

eser

unṔıcaro,

yB

unCab

allero

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

45

—Prob

lema40

—Meheinform

adoyhay

esṕıas

enla

isla.Oigo

laconversación

:—

A.—

Bes

unCab

allero.—

B.—

Anoes

unCab

allero.—

Dem

uestra

queal

menos

unadeellas

estádicien

dola

verdad

.

EJERCIC

IO

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

46

Alicia

enelbosquedelolvido

Alicia

alentrar

enelbosque

olvida,entre

otrascosas,

eld́ıa

delasem

ana.Enelb

osquehay

animales

condos

tipos

decom

porta-

miento:

ElLeón

miente

losLunes,

Martes

yMiércoles,

mientras

queel

Unicornio

miente

losJueves,

Viernes

ySabados.

48Alicia

seencuentra

conel

León:

León.—

Ayer

ment́ı.

León.—

Mentiré

dentrode

tresd́ıas.

¿Qué

d́ıade

lasem

anaes?

48bResolverem

osunpu

zzlemás

general:

A.—

Ayer

ment́ı.

B.—

Mentiré

dentrode

tresd́ıas.

¿Qué

d́ıade

lasem

anaes

¿Qué

sonA

yB

suponiendo

quecada

personaje

conocelapersonalidad

detodos

loshabitantes

delbosque?

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

47

48bUnainteresan

temodifi

cación:

A.—

Ayer

ment́ı.

B.—

Mentiré

dentrode

tresd́ıas.

Alicia

esincapaz

dededucir

eld́ıa

dela

semana

¿Qué

com-

portam

ientosteńıan

AyB?

Ahora

intervien

enLeo

yUni(T

weed

ledum

YTweed

ledeeen

elorigin

al),queson

herman

osgem

elos(in

distinguibles)

yse

comportan

comounLeón

yunUnicorn

iorespectiva-

men

te.

51A.—

Yosoy

Leo.

B.—

Yosoy

Uni.

¿Puede

Alicia

adivinarquienes

eran?

57A.—

Siyo

soyLeo

entoncesél

esUni.

B.—

Siél

esUni

entoncesyo

soyLeo.

¿Quienes

eran?

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

48

59ElRey

encuentrael

sonajeroque

rompieron

losgem

elosy

Alicia

debeencontrar

asu

propietario.Tras

adentrarseen

elbosque

seencuentra

conlos

gemelos:

Alicia

(dirigiéndoseaA).—

¿Dequién

esel

sonajero?

A.—

Elsonajero

esde

Uni.

Alicia,

trasun

mom

entopensativa,

dirg.B.—

¿Quién

erestú?

B.—

Yosoy

Uni.

Alicia

nosab́ıa

eld́ıa

dela

semana,

pero

recuerdaque

noes

Dom

ingo.¿A

qúıendeb

eentregar

Alicia

elsonajero?

62Alicia

(dirigiéndoseaA).—

¿Estuyo

estesonajero?

A.—

Śı.

Alicia,

trasun

mom

entopensativa,

dirigiéndoseaB.—

¿Es

tuyoeste

sonajero?

B,susurrándole

aloido

deAlicia.

-...

Nose

escuchóla

respuesta,aunque

fue,obien

Śı,obien

No.

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

49

Después

deescuchar

larespuesta,

Alicia

sab́ıaquien

erael

propietariodel

sonajero.¿A

qúıendió

elsonajero?

65Elrey

lecontó

aAlicia

quelos

gemelos

pod́ıan

tenerun

her-mano

(Duendi)

idénticoaellos,

aunquees

unduende

(siempre

miente).

Alicia

escuchadurante

und́ıa

laborable:

A.—

Duendi

existe.

B.—

Yoexisto.

¿Existe

realmente

Duendi?

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

50

ElbosqueenHaskell

data

Dı́a

=L|M|X|J|V|S|D

deriv

ing(E

q,Show

,Enum)

ayer,m

añan

a::Dı́a→

Dı́a

ayerL

=D

ayerx

=pred

xmañan

aD

=L

mañan

ax

=succ

xpasadoM

añan

a=

mañan

a.m

añan

aden

troDeT

resDı́as

=mañan

a.m

añan

a.m

añan

a

data

Habitan

te=León|U

nicorn

io|L

eo|U

ni|D

uen

dideriv

ing(E

q,Show

)

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

51

valorSi::Frase

a→

(Habitan

te,D

ı́a)→

Frase

a

f‘valorS

i‘(León,d

)=

ifd‘elem

‘[L..X

]thennot.f

elsef

f‘valorS

i‘(Unicorn

io,d

)=

ifd‘elem

‘[J..S

]thennot.f

elsef

f‘valorS

i‘(Leo,d

)=

f‘valorS

i‘(León,d

)f‘valorS

i‘(Uni,d

)=

f‘valorS

i‘(Unicorn

io,d

)f‘valorS

i‘(Duen

di,d)

=not.f

—Duen

disiem

pre

miente

dosOradores

=[(a

,b,d

)|a←

[León,U

nicorn

io],

b←

[León,U

nicorn

io],

d←

[L..D

]]

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

52

sol48=

[cf|cf

@(a,b,d

)←

dosOradores,

(f‘valorS

i‘(a,d

))cf,

(g‘valorS

i‘(b,d

))cf

]

where—

A.-Ayer

ment́ı.

f(León,b,d

)=

(ayerd)‘elem

‘[L,M

,X]

f(U

nicorn

io,b,d

)=

(ayerd)‘elem

‘[J,V

,S]

—B.-Mentiré

dentro

detres

d́ıas.

g(a,L

eón,d

)=

(dentroD

eTresD

ı́asd)‘elem

‘[L,M

,X]

g(a,U

nicorn

io,d

)=

(dentroD

eTresD

ı́asd)‘elem

‘[J,V

,S]

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

53

ElBosqu

eDelO

lvido>

sol48[(L

eón,L

eón,L

),(León,U

nicorn

io,L

),(León,U

nicorn

io,J

),(U

nicorn

io,L

eón,D

),(Unicorn

io,U

nicorn

io,J

)]—

Sidialogan

dos

leones

eld́ıa

esLunes.

—Sidialogan

dos

Unicorn

ios,el

d́ıa

esJu

eves.

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

54

—Prob

lema51

leoOuniY

dia=

[(a,b,d

)|(a

,b)←

[Leo,U

ni]‘x

‘[Leo,U

ni],

a6=b,

d←

[L..D

]]

sol51=

[e|e

@(a,b,d

)←

leoOuniY

dia,

(f‘valorS

i‘(a,d

))e,

(g‘valorS

i‘(b,d

))e]

where

f(a,b,d

)=

a==Leo

—A.-Yosoy

Leo.

g(a,b,d

)=

b==Uni

—B.-Yosoy

Uni.

ElBosqu

eDelO

lvido>

sol51[(L

eo,U

ni,D

)]—

Luego

Aes

Leo

yB

esUni,yel

d́ıa

esDom

ingo.

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

55

—Prob

lema57

sol57=

[cf|cf

@(a,b,d

)←

leoOuniY

dia,

(f‘valorS

i‘(a,d

))cf,

(g‘valorS

i‘(b,d

))cf

where—

A.-Siyo

soyel

Leo

entonces

éles

Uni.

f(a,b,d

)=

a==Leo

==>

b==Uni

—B.-Siél

esUnienton

cesyo

soyLeo.

g(a,b,d

)=

a==Uni==>

b==Leo

ElBosqu

eDelO

lvido>

sol57[(L

eo,U

ni,D

),(Uni,L

eo,D

)]—

Ambos

enunciad

osson

verdad

eros,deform

aqu

eam

bos

son—

sinceros

yeso

ocurre

enDom

ingo.

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

56

—Prob

lema59:

¿Dequ

iénes

elson

ajero?

—Inclu

imos

unnu

evodato

enel

estado:

typePropietario

=Habitan

te

EJERCIC

IO

—Prob

lema62:

¿Estuyo

esteson

ajero?

—A.-Śı.

—Dirigién

dose

aB.-¿E

stuyo

esteson

ajero?

—Nose

escuchóla

respuesta,

pero

Alicia

dedujo

suprop

ietario.

EJERCIC

IO

—Prob

lema65:

¿Existe

Duendi?

Elrey

lecontó

aAlicia

quelos

gemelos

pod́ıan

tenerun

hermano

(Duendi)

idénticoaellos,

aunquees

unduende

(siempre

miente).

Alicia

escuchadurante

und́ıa

laborable:

A.—

Duendi

existe.B.—

Yoexisto.

¿Existe

realmente

Duendi?

EJERCIC

IO

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

57

¿ViveelcondeDrácula?

EnTransilvania

hayvam

pirosyhum

anos,ycada

unode

ellospuede

estarcuerdo

oloco.

Los

humanos

sonsinceros

ylos

vampiros

embusteros.

Por

locontrario,

loscuerdos

creenque

sonciertas

lasprop

osicionescier-

tas,yfalsas

lasfalsas.

Sin

embargo,

loslocos

creenque

laspro-

posiciones

falsasson

ciertasylas

ciertas,falsas.

(un

humano

locose

comporta

aparentem

ente

comoun

embustero,p

eroalcontrario

queéste,m

ientesin

maldad).

167Untransilvano

dice:O

soyhum

anooestoy

cuerdo.¿E

sun

vampiro?

170Lepreguntam

osaT:¿E

resun

vampiro

Loco?

¿Qué

respon-

diósiyo

adivinélo

queera?

172Otro

dice:Estoy

Loco.

¿Esun

vampiro?

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

58

176RSentabla

unaconversación

condos

transilvanos:

RS,dirigiéndose

aA.—

¿EsBhum

ano?

A.—

Eso

creo.

RS,dirigiéndose

aB.—

¿Aes

humano?

¿Qué

respondió

B?

178RS,dirigiéndose

aA:¿C

reesque

eresform

al?¿Q

uépuedo

determinar

dependiendo

dela

respuesta?

¿Esposible

deducirsiDrácula

viveapartir

defrases

como:

179Sisoy

humano

entoncesDrácula

viveaún.

180Siestoy

cuerdoentonces

Drácula

vive.

182Sisoy

formal

entoncesDrácula

vive.

190¿Q

uépreguntarem

osaun

transilvanopara

que,indep

endien-tem

entede

sucom

portam

inetoysu

respuesta,podam

ossab

ersiDrácula

vive?

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

59

Transilv

anos,

Drácula

yHaskell

data

HV

=Human

o|V

ampiro

deriv

ing(E

q,Show

)data

Com

portamien

to=

Cuerdo

|Loco

deriv

ing(E

q,Show

)

typeTran

silvano

=(H

V,C

omportam

iento)

trans::[Tran

silvano]

trans

=[Human

o,V

ampiro

]‘x‘[C

uerdo

,Loco

]

valorSi,

interpreta

::Frase

a→

Tran

silvano→

Frase

a

f‘valorS

i‘(Human

o,C

uerdo

)=

ff‘valorS

i‘(Human

o,L

oco)

=not.f

f‘valorS

i‘(Vam

piro,C

uerdo

)=

not.f

f‘valorS

i‘(Vam

piro,L

oco)

=f

interpreta

=valorS

i

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

60

cuerdo

,loco,vam

piro,hu

man

o::Frase

Tran

silvano

cuerdo

(,c

)=

c==Cuerdo

loco(,c

)=

c==Loco

vampiro

(t,)

=t==Vam

pirohu

man

o(t,

)=

t==Human

o

sol167=

[h|h

@(t,c

)←

trans,

—Soy

human

ooestoy

cuerd

o(hu

man

o‘o‘cu

erdo‘valorS

i‘h)h]

o::Frase

a→

Frase

a→

Frase

af‘o‘g

=λu→

fu||g

u

EnTran

silvania

>sol167

[(Human

o,C

uerdo

)]

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

61

—Prob

lema170

:¿E

resunvam

piro

loco?—

¿Quéresp

ondió

siyo

adivin

ésu

tipo?

infixl1−

:>(−

:>)::Bool→

(a→

Bool)

→a→

Bool

—selección

congu

arda

False−

:>f

=f

True−

:>f

=not.f

sol170::Bool→

[Tran

silvano]

sol170res

=[h|h

@(t,c

)←

trans,

(res−

:>(vam

piro‘y‘loco

)‘valorS

i‘h)h]

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

62

EnTran

silvania

>sol170

True

[(Human

o,L

oco),(V

ampiro

,Cuerdo

),(Vam

piro,L

oco)]

—con

estaresp

uesta

nopod

emos

deducir

quéera

EnTran

silvania

>sol170

False

[(Human

o,C

uerdo

)]—

Por

tanto,contestó:

NO,yera

unhu

man

ocu

erdo

—Prob

lema172

:T.-Estoy

Loco.

¿Quépued

eser?

sol172=

[h|h

@(t,c

)←

trans,

interpreta

locohh]

EnTran

silvania

>sol172

[(Vam

piro,C

uerdo

),(Vam

piro,L

oco)]

—Luego

esunVam

piro

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

63

—Prob

lema176

—RS,dirigién

dose

aA.-¿E

sB

human

o?—

A.-Eso

creo.—

RS,dirigién

dose

aB.-¿A

eshu

man

o?—

¿Quéresp

ondió?

Aceptarem

osun

prin

cipio

fundam

ental:

“creo”nodep

endede

sucordura.

Necesitam

osuna

funciónpara

suinterpretación:

creo::Frase

a→

Tran

silvano→

Frase

acreo

f(H

uman

o,c

)=

fcreo

f(V

ampiro

,c)=

not.f

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

64

sol176res

=[pt|pt@

(a,b

)←

trans‘x‘tran

s,(f

‘creo‘a

)pt,

(res−

:>g‘valorS

i‘b)pt

]

where

f(t,t

′)=

human

ot′

g(t,t

′)=

human

ot

EnTran

silvania

>sol176

False

[]—

talresp

uesta

esunacontrad

icciónEnTran

silvania

>sol176

True

[((Human

o,C

uerdo

),(Human

o,C

uerdo

)),((Human

o,C

uerdo

),...—

Luego

laresp

uesta

fueSI

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

65

Ilustremos

ahorala

diferenciade

interpretaciónde

lasfrases

‘creoX’y‘X’.

—Prob

lema177

—RS,dirigién

dose

aA.-¿E

resform

al?—

¿Quépuedodeterm

inar

dep

endien

dodela

respuesta?

formal

::Frase

Tran

silvano

formal

=(=

=(H

uman

o,C

uerdo

))‘o‘(=

=(V

ampiro

,Loco

))

sol177res

=[a|a←

trans,

(res−

:>form

al‘valorS

i‘a)a]

EnTran

silvania

>sol177

False

[]—

Luego,

todos

lostran

silvanos

contestanSI,yad

emás:

EnTran

silvania

>sol177

True

[(Human

o,C

uerdo

),(Human

o,L

oco),(V

ampiro

,Cuerdo

),(Vam

piro,L

oco)]

—¡las

4posib

ilidad

es!:Nopod

emos

inferir

NADA.

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

66

—Prob

lema182

—T.-Sisoy

formal

entonces

Drácu

lavive.

EJERCIC

IO

—Prob

lema190:

—¿Q

uépregu

ntarauntran

silvanopara

saber

siDrácu

lavive?

EJERCIC

IO

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

67

LosCofre

sdePorcia

Los

siguientesproblem

asestán

inspiradosen

Porcia

(personaje

deElmercader

deVen

ecia,de

Shakesp

eare),una

princesaque

decideelegir

esposo,

noatendiendo

asu

belleza

obondad,

sinoasu

agudezamental

ointeligencia.

Porcia

tienevarios

cofres(de

oro,de

plata,...algunos

fabri-cados

por

Bellini,

...).Cada

cofretiene

unainscrip

ción(p.e.,

diciendosu

contenido).Porcia

escondesu

retratoen

uncofre.

El

pretendientedeb

edescubrir

elcofre

quelo

contienede

acuerdocon

eldiálogo

dadoen

lasinscrip

ciones.

67a

oro

elretrato

estáen

estecofre

plata

elretrato

no

estáaqú

ı

plomo

elretrato

no

estáen

elcofre

deoro

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

68

68a–alo

sumouna

inscripción

decada

cofrees

falsa

oro

1el

retratonoestá

aqúı

2el

artistaquehizo

elretrato

esven

eciano

plata

1el

retratonoestá

enel

deoro

2el

artistaquehizo

elretrato

esfloren

tino

plomo

1el

retratonoestá

aqúı

2el

retratoestá

enel

cofrede

plata

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

69

69boro

elretrato

no

estáaqú

ı

plataexactam

ente

unode

estoscofres

lohizo

Bellin

i

70aoro

elretrato

no

estáaqú

ı

plataexactam

ente

unade

estasinscripcio-nes

escierta

Las

inscripciones

enHaskell

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

70

data

Color

=Oro|P

lata|P

lomoderiv

ing(E

q,Show

)data

Pintor

=Ven

eciano|F

lorentin

oderiv

ing(E

q,Show

)

valor::Frase

a→

Bool→

Frase

a

f‘valor

‘True

=f

f‘valor

‘=

not.f

sol67a=

[cont|

cont←

[Oro,P

lata,P

lomo],

—alo

sumounodelas

inscrip

ciones

escierta

(ioro

,iplata

,iplom

o)←

[(False

,False

,False

),(False

,False

,True),

(False

,True,F

alse),(T

rue,F

alse,F

alse)],

(oro‘valor

‘ioro

)con

t,(plata

‘valor‘i

plata)con

t,(plom

o‘valor

‘iplom

o)con

t]where

...

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

71

oro,plata

,plomo

::Frase

Color

oroc

=c==

Oro

—el

retratoestá

eneste

cofreplata

c=

c6=

Plata

—el

retratonoestá

aqúı

plomoc

=c6=

Oro

—el

retratonoestá

enel

cofredeoro

CofresD

ePorcia

>sol67a

[Plata

]—

Elretrato

estáen

elcofre

dePlata.

Ray

Smullyan

expone

unrazonam

ientosim

ple:

Las

inscrip

ciones

del

deoro

yel

deplom

oson

contra-

rias,luego

unodeellas

escierta.

Com

oalo

sumouna

delas

inscrip

ciones

escierta,

ladel

cofredeplata

esfalsa,

ypor

tanto

elretrato

estáen

eldeplata.

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

72

sol68a=

[(conten

edor,pin

tor)|

e@(con

tenedor

,pintor

)←

[Oro,P

lata,P

lomo]‘x

‘[Ven

eciano,F

lorentin

o],

(ioro

1,ioro

2)←

[(True,T

rue),(T

rue,F

alse),(F

alse,T

rue)],

—alo

sumounainscrip

ciónes

falsa(oro

1‘valor

‘ioro

1)e,(oro

2‘valor

‘ioro

2)e,

(iplata

1,iplata

2)←

[(True,T

rue),(T

rue,F

alse),(F

alse,T

rue)],

(plata1‘valor

‘iplata

1)e,(plata

2‘valor

‘iplata

2)e,

(iplom

o1,i

plomo2)←

[(True,T

rue),(T

rue,F

alse),(F

alse,T

rue)],

(plomo1‘valor

‘iplom

o1)

e,(plom

o2‘valor

‘iplom

o2)

e]

where{

oro1,oro

2,plata1,plata

2,plomo1,plom

o2

::Frase

(Color

,Pintor

);

oro1(c,a

)=

c6=

Oro

;oro

2(c,a

)=

a==

Ven

eciano;

plata1(c,a

)=

c6=

Oro

;plata

2(c,a

)=

a==

Floren

tino

plomo1(c,a

)=

c6=

Plom

o;plom

o2(c,a

)=

c==

Plata}

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

73

CofresD

ePorcia

>sol68a

[(Plata

,Ven

eciano),(P

lata,F

lorentin

o)]

—Elretrato

estáen

elcofre

dePlata.

—Supintor

noestá

determ

inad

o.

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

74

sol69b=

EJERCIC

IO

—¡la

inform

acióninicial

del

prob

lemaes

esencial

typeInscripció

n=

Bool

sol70a=

EJERCIC

IO

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

75

Númerosenla

frente

(J.Conway)

Johnelige

dosnúm

erosp,b∈

[1..9]yun

terceroy∈

[2..18]escrib

epen

lafrente

dePaco

yben

lade

Blas

escribeen

unapizarra

yjunto

ala

sumap+b

Manuel

desdeotra

habitaciónescucha

elsiguiente

diálogo:

5

4

10

9

Blas

.—Nosé

elnúmero

demifren

te.Paco

.—Yotam

poco.

Blas

.—Pues

sigoigu

al.Paco

.—Y

yo.Blas

.—¡Casi

losé!

Paco

.—Y

yo.Blas

.—Meestoy

pon

iendonerv

iosillo.Paco

.—Yotam

bién

estoydelos

nerv

ios.Blas

.—¡A

já,ya

séel

mı́o!

X¿T

ienesentido

eldiálogo?

X¿sobra

laúltim

aafi

rmación?

X¿P

uedeManuel

adivinarlos

números?

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

76

Unaplantilla

Haskell

Este

problemaes

algomás

general.Clasifi

camos

lainform

ación:

información

globalt

9inform

aciónpública

lapizarra

109

información

privadap,b

4,5

Xinform

aciónprivada:

laque

notiene

elotro;

Xsim

etŕıa:Johnreparte

byp,

...,Blas

.—Nosé

tunúmero.

Engeneral

unalgoritm

ointeligente

tieneel

tipo:

veoYcreo

::InfPrivada

→InfPublica

→[In

fPrivada

]—

Nose

tudato:

fmiD

atoinfP

ública

=varios

(veoYcreo

miD

atoinfP

ública

)

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

77

t=

9—

inform

aciónglob

al

data

Pizarra

=PIntInt

—los

números

dela

pizarra

typeFren

te=

Int

—el

número

enla

frente

—unalgoritm

ointeligen

teveoY

creo::Fren

te→

Pizarra

→[Fren

te]

veoYcreo

f(P

xy)=

[f′|f

′←

[x−

f,y−

f],0<

f′,f′≤

t]

EnLaF

rente>

veoYcreo

3(P

41)

[1]EnLaF

rente>

veoYcreo

3(P

46)

[1,3]

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

78

blas,paco

::NdeO

rden→

Fren

te→

Pizarra

→Bool

blas1

ppiz

=varios

(veoYcreo

ppiz

)blas

(n+

1)ppiz

=varios

[b|b←

veoYcreo

ppiz

,paco

nbpiz

]paco

nbpiz

=varios

[p|p←

veoYcreo

bpiz

,blas

nppiz

]

espacio=

[(p,b,Pxy)|p←

[1..t],b←

[1..t],letx

=p+b,y←

[2..2∗t],

y6=

x]

—búsqu

edahacia

atrás

hastaBlas

::NdeO

rden→

[(Fren

te,F

rente,P

izarra)]

hastaBlas

n=

(λ(p,b,piz

)→

blasnppiz

)‘filter

‘espacio

hastaPaco

n=

filter

(λ(p,b,piz

)→

paconbpiz

)espacio

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

79

TamañodelProblema

–Tam

añodel

espacio

debúsqueda:

t·t·

2t−

2'

2t 3

↑↑

↑p

b(x6=)y∈

[2..2t]

X¿cuántos

elementos

filtra

laprim

eraafi

rmación?

lenght(hasta

Blas1)

–Tal

valores

lamitad

delinicial:

t 2(t−

1)Enefecto,

sip,b∈

[1..t],x=p+b,

blas1p(P

xy)

≡1≤y−p≤t

,x6=y

y∈

[p+

1..p+t]

ypuede

tomar

solamente

t−

1valores.

X¿cuántos

elementos

filtra

lasegunda

afirm

ación?

lenght(hasta

Paco

1)

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

80

Unaconjetura

sobre

lasolució

ndelproblema

Laevaluación

delen

ght(h

asta

Blasn)y...

proporciona:

tles

hB1hP1hB2hP2hB3hP3hB4hP4hB5hP5

336

184

496

4812

45

200100

3012

46

360180

5624

124

7588

29498

4624

124

8896

448152

7640

2412

49

1296648

228114

6640

2412

410

1800900

320168

10060

4024

124

...

Conjetura:

encierto

instan

teel

espacio

sered

uce

a4com

binacio-

nes

ydesp

ués

esvaćıo

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

81

–Através

delprogram

apodem

osobtener

talescom

binaciones,

thasta

Paco

t−1

2

3(1,

2,P

34)

(2,2,P

43)

(2,2,P

45)

(3,2,P

54)

5(2,

3,P

56)

(3,3,P

65)

(3,3,P

67)

(4,3,P

76)

7(3,

4,P

78)

(4,4,P

87)

(4,4,P

89)

(5,4,P

98)

9(4,

5,P

910)

(5,5,P

109)

(5,5,P

1011)

(6,5,P

1110)

Conjetura:

Para

tim

par

=2n

+1desp

ués

delan-ésim

aafi

rmación

dePaco

,elúnico

número

posib

lepara

Blas

esb=n+1.

Laúnica

afirm

acióncon

sentid

opor

parte

deBlas

siprosigu

eel

diálogo

es:¡A

já,ya

séminúmero!

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

82

thasta

Blas

t2

4(2,2,P

45)

(3,2,P56)

(2,3,P54)

(3,3,P65)

6(3,3,P

67)

(4,3,P78)

(3,4,P76)

(4,4,P87)

8(4,4,P

89)

(5,4,P910)

(4,5,P98)

(5,5,P10

9)10

(5,5,P10

11)(6,5,P

1112)

(5,6,P11

10)(6,6,P

1211)

Conjetura:

Para

t=

2n,desp

ués

delan-ésim

aafi

rmación

deBlas

,elnúmero

deBlas

noestá

determ

inad

o.Siprosigu

eel

diálogo

elprob

lemanotien

esolu

ción(con

2nfrases).

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

83

Demostra

cióndela

conjetura

–Utilizarem

osla

notaciónhabitual

dela

matem

áticaB

n(p,x

,y)yP

n(b,x

,y)predicados

hastalafrase

n-ésim

aI=

[1..t]⊆

N,

Lem

a0.-1

.1Sien

dop,b∈I;x,y∈

[2..2t];x6=y:

B1 (p,x

,y)≡

x−p,y−p∈I

Bn+1 (p,x

,y)≡B1 (p,x

,y)∧P

n(x−p,x

,y)∧P

n(y−p,x

,y)

Pn(b,x

,y)≡B1 (p,x

,y)∧B

n(x−b,x

,y)∧B

n(y−b,x

,y)

Teorem

a0.-1

.2Sip,b∈I,x,y∈

[2..2t],x6=y,ysiadem

ás

x=p+q∨y=p+q,entonces:

(1)Sit=

2n+

1,P

n(b,x

,y)

⇒b=n+

1∧|x−y|=

1(2)

Sit=

2n,

Bn(p,x

,y)

⇒|x−y|=

1,¬P

n(b,x

,y)

p,b∈{n,n

+1}

Para

t=

9,n=

4(8

frases),Manuel

sabráque

b=

5.

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

84

Varia

ntesdelproblema

Variante

1

Johntom

alos

números

delintervalo

I=

[1..t],yel

diálogoes:

Blas

.—Nocon

ozcoel

número

demifren

te.Paco

.—Yotam

poco.

Blas

.—Pues,

sigosin

saberlo.

Paco

.—Enton

ces,yo

tampoco.

Blas

.—Yalo

sé

¿Puede

Manuel

adivinarel

valorde

t?¿y

losnúm

eros?EJERCIC

IO

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

85

Variante

2

Manuel

conoceel

valorde

t,yel

diálogoes:

Blas

.—Nocon

ozcoel

número

demifren

te.Paco

.—Yotam

poco.

Blas

.—Pues,

sigosin

saberlo.

Paco

.—Enton

ces,yo

tampoco.

Manu

el.—

¡Taraŕı

quete

v́ı!Yasé

elnúmero

deBlas

¿Cual

esel

valorde

t?EJERCIC

IO¿Y

siPaco

yBlas

noconocen

t?¿E

strascendente?

EJERCIC

IO

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

86

ElProblem

aP-S(H

Freudenthal)

Hans

eligedos

números

distintosmayores

que1,

entregael

pro-ducto

aPROD

yla

sumaaSUM

,que

mantienen

elsiguiente

diálogo:SUM

.—Nose

cómovas

aad

ivinar

misuma.

PROD.—

Enton

ces,nosé

tusuma

SUM

.—Pues

yoya

setu

producto.

¿Cuáles

eranlos

números

elegidospor

Hans?

XEnel

problemaoriginal

(1969)la

segundafrase

es:PROD.—

¡Ajá!,

enton

cesya

sétu

suma

información

globalx,y

>1,

x6=y

información

públicaΦ

información

privadas,p

Puzzles,

Juego

sMatem

ático

syProgra

mació

nFuncio

nal(C

ON

EJERCIC

IOS).

Marz

o,2005

87

Unprogram

aHaskell

sum

s=and(mapvarios

[Sp|p←

Ps]

)sum

=and.mapvarios

.map

S.P

prop=varios

[s|s←

Sp,

sum

s]pro

=varios

.filter

sum

.S

sum′s=uno[p|p←

Ps,

prop]

sol=

[s|s←

[5..],sum′s]

Ps=

[x∗(s−x)|x←

[2..(s−

1)‘div‘2]]

Sp=...

Xevaluando

tenemos

sol=

[11,(p

=30)

XEnel

problemaoriginal

(1969)la

segundafrase

es:PROD.—

¡Ajá!,

enton

cesya

sétu

suma

EJERCIC

IO