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AÑO LECTIVO 2015 – 2016 BLOG M10 - S1 APROXIMACIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO REAL Los números irracionales no se pueden transformar a fracciones y para poder realizar operaciones con estos números es necesario aproximarlos, o sea recortar su parte decimal. La aproximación decimal de un número real puede ser por redondeo o por truncamiento. En el caso de que la aproximación sea por redondeo según que el número aproximado sea mayor o menor que el número exacto se dice que la aproximación es por exceso o por defecto. La aproximación por truncamiento siempre es por defecto. Entonces al número 1,732050808 aproxímelo al orden de las diezmilésimas: a) Por redondeo = ___________________ luego la aproximación es por _________________ b) Por truncamiento = _______________ luego la aproximación es por _________________ Si no recuerda la parte teórica revise su texto en las páginas 15 y 16 y aproxime los siguientes decimales: 2,7236067977 al orden de las diezmilésimas: a) Por redondeo = ______________ b) Por truncamiento = _______________ 2,645751311 al orden de las milésimas: a) Por redondeo = ________________ b) Por truncamiento = ________________ Calcula el error absoluto cometido en cada caso Cuenca, 07 de Octubre de 2015 Ing. Gelbar Bustamante S. DOCENTE

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AÑO LECTIVO 2015 – 2016

BLOG M10 - S1

APROXIMACIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO REAL

Los números irracionales no se pueden transformar a fracciones y para poder realizar operaciones con estos

números es necesario aproximarlos, o sea recortar su parte decimal.

La aproximación decimal de un número real puede ser por redondeo o por truncamiento.

En el caso de que la aproximación sea por redondeo según que el número aproximado sea mayor o menor

que el número exacto se dice que la aproximación es por exceso o por defecto.

La aproximación por truncamiento siempre es por defecto.

Entonces al número 1,732050808 aproxímelo al orden de las diezmilésimas:

a) Por redondeo = ___________________ luego la aproximación es por _________________

b) Por truncamiento = _______________ luego la aproximación es por _________________

Si no recuerda la parte teórica revise su texto en las páginas 15 y 16 y aproxime los siguientes decimales:

2,7236067977 al orden de las diezmilésimas:

a) Por redondeo = ______________

b) Por truncamiento = _______________

2,645751311 al orden de las milésimas:

a) Por redondeo = ________________

b) Por truncamiento = ________________

Calcula el error absoluto cometido en cada caso

Cuenca, 07 de Octubre de 2015

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BLOG M10 – S2

OPERACIONES CON NUMEROS IRRACIONALES

Para resolver operaciones con irracionales es necesario realizar aproximaciones logrando de esta manera

convertirlas en operaciones con números racionales por esto el resultado también será una aproximación en

estos casos se utiliza el símbolo “ “que se lee “aproximadamente igual”.

SUMA Y RESTA

Cuando la operación sea de suma o de resta, debe aproximarse al mismo orden decimal las cantidades (una

más que el orden de la respuesta): Ejemplo: Sumar 5 10 y expresar el resultado aproximando al orden

de las centésimas 5 2,236 10 3,162 Luego: 2,236 3,162 5,398 Pero como el resultado

se pide expresar en el orden de las centésimas quedaría 5 10 5,40

Ejercicio: Restar 8 3 Y expresar el resultado aproximando al orden de las diezmilésimas.

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

En el caso de multiplicar o dividir a más de las aproximaciones, para expresar la respuesta se debe tomar en

cuenta el menor número de cifras significativas que tengan las cantidades que intervienen en la operación y

con ese mismo número de cifras tendrá el resultado. Ejemplo: Dividir 12 : 6

12 3.464 6 2,4495 Luego: 3,464: 2,4495 1,414166156 Pero como el menor número

de cifras significativas son 4 que corresponden al 3,464 el resultado quedará así: 12 : 6 1,414

Ejercicio: Multiplicar 20 5

Cuenca, 13 de octubre de 2015

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BLOG M10 – S3

POTENCIAS DE BASE REAL Y EXPONENTE ENTERO

El modelo algebraico de una potencia es: n

b p en donde b es la base de la potencia o sea el factor

que debe repetirse tantas veces como indique el exponente n , y p es la potencia o producto.

En este capítulo el exponente será únicamente un número entero o sea (entero positivo, cero y entero

positivo). Mientras que la base puede ser cualquier número real o sea (enteros , fraccionarios, racionales o

irracionales)

La potencia de un exponente par será siempre positiva Ejemplo: 2

2 4 ; 2

2 4

La potencia de un exponente impar tendrá igual signo que el de la base Ejemplo: 3

2 8 ; 3

2 8

Si el exponente es 1 la potencia es la misma base. Ejemplo: 1

5 5 ; 1

25 25

Si el exponente es 0 la potencia es 1 siempre que la base 0 por que la forma 00 no está definida.

Ejemplo: 0

7 1 ; 0

56 1 Pero 0

0 no está definido o sea (no hay respuesta)

Para cambiar un exponente negativo en positivo, la base debe cambiarse por su inverso multiplicativo así:

a)

3 33 4 64

4 3 27

; b)

1 12 5 5

5 2 2

c)

22 22

2

32 3 6 9

3 2 2 4

aa a a

a

Tarea: Desarrollar los siguientes ejercicios:

a) 2

3 ; b) 3

3 ; c) 0

24 ; c)

2 __________5

5 __________x

Cuenca, 05 de Noviembre de 2015

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BLOG M10 – S4 RADICALES

El modelo matemático de un radical es: n R a o también n eb a En donde (n) es el índice; R es el

radicando; b es la base del radicando y (e) es el exponente de la base del radicando.

Recuerde también que para radicar se escribe la base del radicando y esta base se eleva al exponente que

resulte de dividir el exponente de la base por el índice de la raíz. Así n e e nb b

Un radical es una expresión en la que el exponente de la base no es múltiplo del índice de la raíz. Por lo tanto cuando la división del exponente de la base por el índice de la raíz no es exacta, entonces a esa expresión se denomina radical. REDUCCIÓN DE RADICALES: Para sumar o restar radicales, estos deben ser semejantes o sea deben ser del mimo índice y el mismo radicando, Para ello solo se reducen los coeficientes y escribe el mismo radical.

Ejemplo:3 3 3 3 3 39 2 9 4 9 3 9 (1 2 4 3) 9 2 9

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RADICALES DEL MISMO INDICE Para multiplicar radicales del mismo índice, se multiplican primero los coeficientes y luego bajo un mismo signo radical se escribe el producto de los radicandos.

Ejemplo. 5 5 5 5 5( 2)(3 3)( 2 5) ( 1 3 2) 2 3 5 6 30

Para dividir radicales del mismo índice, se dividen primero los coeficientes y luego bajo un mismo signo radical

se dividen los radicandos. Ejemplo: 33 3 312 36 3 4 (12 3) 36 4 4 9

Tarea:

a) Reducir:4 4 46 3 6 2 6

b) Reducir:5 5 510 5 10 320

c) Multiplicar: 15 50 3 2

d) Dividir: 3 320 40 5 5

Cuenca, 05 de Noviembre de 2015 Ing. Gelbar Bustamante S. DOCENTE.

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BLOG M10 – S5

RADICALES: OPERACIONES.

POTENCIA DE UN RADICAL

Para potenciar un radical se procede así:

Se eleva a dicha potencia el coeficiente del radical tomando en cuenta la ley de los signos y este coeficiente se multiplica por el radical elevado a la misma potencia.

Ejemplo: 3 33 3 22 2 3 22 10 2 . 10 8. 10 8. 10 8. 10 .10 8.10. 10 80. 10

RAIZ DE UN RADICAL

Para radicar un radical se procede así:

Se escribe el mismo radicando, luego se multiplican los índices de los radicales y este producto será el índice del nuevo radical.

Ejemplo: 3 5 2 3 5 302 2 2

Tarea: Escribir la respuesta de los siguientes ejercicios haciendo constar todos los pasos posibles.

a) 3

2 3

b) 3

45 32

c) 26

3x

x m

d) 3

5

e) 3

20

f) 6 2m m x

Cuenca, 16 de Noviembre de 2015

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BLOG M10 – S6

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Una ecuación de primer grado con dos incógnitas se representa por el modelo: ax by c en donde a , b y c son

parámetros o constantes y representan valores conocidos, en cambio: x e y son variables o incógnitas y

representan valores desconocidos.

Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas pueden transformarse en líneas rectas así:

Ejemplo: Representar gráficamente la ecuación 2 3 6x y

Si 0x ; entonces 3 6y luego 6

3y

; 2y Entonces 0x ; 2y representan un punto

Si 0y ; entonces 2 6x luego 6

2x ; 3x . Entonces 3x ; 0y ; representan otro punto.

Luego los puntos obtenidos son: 1 0; 2P ; 2 3,0P los mismos que graficados en los ejes queda así.

Recuerde que 1 0; 2P ; 2 3,0P son pares ordenados porque siempre el primer valor corresponde a x y

el segundo valor corresponde a y .

TARREA: Graficar cada ecuación en sistemas de ejes diferentes:

a) 3 5 15x y

b) 4 5 20x y

c) 4 7 28x y

Cuenca, 16 de Diciembre de 2015

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BLOG M10 – S7

SISTEMAS DE DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN.

MÉTODO GRÁFICO.

Tarea:

Revise su texto en la página 34; El Blog M10 – S6, y en su cuaderno de materia los apuntes

relacionados con el tema y resuelva gráficamente el siguiente sistema. 5 2 4

4 3 17

x y

x y

METODO DE REDUCCIÓN.

Este método consiste en eliminar una incógnita al sumar miembro a miembro y término a término las dos ecuaciones del sistema.

Para esto los coeficientes de la incógnita que queremos eliminar deben ser opuestos.

Una vez eliminada cualquier incógnita nos queda una ecuación con una sola incógnita la misma que se despeja para hallar su valor.

El valor encontrado para la primera incógnita se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para descubrir el valor de la segunda incógnita.

Tarea:

Revise su texto en la página 37 y también en su cuaderno de materia los apuntes relacionados

con el tema y resuelva por el Método de Reducción el siguiente sistema:5 28

3 2 21

x y

x y

Cuenca, 16 de Diciembre de 2015

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BLOG M10 – S8

FUNCIONES

FUNCIÓN

Una función es una igualdad en la que se relacionan dos variables: La (x) que es la variable independiente y la (y) que es la variable dependiente. A través de la expresión ( )y f x

Cada valor de x es una preimagen y cada valor de y es una imagen

El conjunto de preimágenes constituyen un subconjunto del Dominio de la función ( )Dom f

El conjunto de imágenes constituyen el subconjunto del Recorrido de la función Re ( )c f

Una función constante es del modelo y b en donde ( )b es la ordenada al origen. La gráfica de

una función constante es una paralela al eje (x).

FUNCIÓN DE PRIMER GRADO

La Función de Primer Grado. Se expresa a través del modelo y mx b en la cual:

y es la variable dependiente; x es la variable independiente.

m es la pendiente o sea el grado de inclinación que la recta tiene con el eje x

b es la ordenada al origen o sea el punto por donde la recta corta al eje y

Recuerde que: Si 0m La recta es horizontal o sea paralela al eje x

Si 0m o sea (+) La recta está inclinada a la derecha

Si 0m o sea ( - ) La recta está inclinada a la izquierda

La función de primer grado pude ser de dos clases:

a) Función Lineal, su modelo es y mx y la recta pasa por el origen

b) Función Afin, su modelo es y mx b la recta corta al eje y en el punto que señale (b)

Tarea: Revisando los apuntes de su cuaderno y su texto en las páginas desde la 60 hasta la página 71, en una hoja de papel milimetrado grafique las siguientes funciones:

a) 2 5y x ; b) 2

43

y x ; c) 3y x ; d) 1

2y x

Cuenca, 21 de Febrero de 2016.

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BLOG M10 – S9

FUNCIONES: IMÁGENES Y PREIMÁGENES: DOMONIO Y RECORRIDO.

Recuerde que una función es una relación que se da entre dos variables, el modelo matemático de una

función es: y f x en donde x es la variable independiente por que se le puede asignar cualquier

valor en tanto que y es la variable dependiente porque según el valor que asuma x se verá cual es el

de y .

PREIMAGEN E IMAGEN.

PREIMAGEN. Es el valor que asume la variable independiente x

IMAGEN. Es el valor de la variable dependiente y que le corresponde al valor de x .

Ejemplo: Sea la función 22y x . Si 3x Entonces 2

2 3y Luego 2.9 18y y Por lo tanto

la preimagen es 3 y la imagen es 18

DOMINIO Y RECORRIDO.

DOMINIO. Es el conjunto de preimágenes.

RECORRIDO. Es el conjunto de las imágenes.

Ejemplo: En la función 22y x .

El dominio es el conjunto de los valores comprendidos en el intervalo 0,2 se representa Dom(f) = 0,2

El recorrido es el conjunto de los valores comprendidos en el intervalo 0,8 se representa Rec(f)= 0,8

Tarea: En la función 3 1y x , el conjunto de preimágenes es (1,2,-1,-2). Hallar el conjunto de imágenes,

el dominio y el recorrido.

Cuenca, 21 de Febrero de 2016

Ing. Gelbar Bustamante S.

DOCENTE

x 22y x

0

1

2

0

2

8

0

1

2

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M10 – S10

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Recuerde que una función exponencial viene dada por el modelo xy a ; en donde:

y es la variable dependiente, a es una constante >0 ; 1 , xes variable independiente

Cuando a >1 la gráfica es así: Cuando < 1a la gráfica es así:

TAREA: Al reverso de la hoja, graficar las siguiente funciones:

a) 3x

y donde 1,2,3, 1, 2. 3x

b) 1

2

x

y

donde 1,2,3, 1, 2, 3x

Cuenca, 08 de Marzo de 2016

Ing. Gelbar Bustamante S.

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M10– S11

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

PRODUCTOS NOTABLES: Éstos se presentan como factores cuyo resultado se escribe aplicando una regla; entre los

más comunes están:

22 2

22 2

2 2

2

2

2

a b a ab b

a b a ab b

a b a b a b

a x a y a x y a xy

Tarea: escriba el resultado de:

2

2

3 2

5

4 4

10 5

m n

k t

r s r s

v v

FACTORIZACIÓN: La Factorización es el procedimiento mediante el cual se transforman polinomios en factores sin

alterar su valor.

Es el proceso opuesto al de los productos notables: O sea así:

22 2

22 2

2 2

2

2

2

a ab b a b

a ab b a b

a b a b a b

a x y a xy a x a y

Tarea: Factorizar:

2

2

2

2

14 49

18 81

144

15 100

m m

x x

k

t t

2

2

2

2

3 12 12

18 81

2 288

2 30 200

m m

px px p

k r r

st st s

Cuenca 18 de Abril de 2016

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M10 - S12.

BLOG DE REPASO Y RECUPERACIÓN

1) Una función de representa por el modelo ,y f x z . En este modelo

la variable dependiente es: _________ ; La variable independiente es: _________

2) En la siguiente tabla:

Escriba las imágenes.

El Rec f es: ___________

3) Encierre en un óvalo el gráfico que no corresponde a una función.

4) Escriba debajo de cada gráfico el tipo de función que es: Escoja de entre estas:( Función lineal , función constante, función afín)

______________ _____________ ______________

5) El modelo algebraico de la función afín es: _________de la función constante es: _________de la función lineal es: _________

6) En la función: y mx b , la b representa ___________________ ; la m representa ______________________

7) Una con una línea según corresponda:

Función de proporcionalidad inversa k

yx

Función exponencial xy a

8) Exprese en lenguaje algebraico “ El cuadrado de la diferencia de dos números equivale a la diferencia entre el cuadrado del

primero y el cubo del segundo”_______________________________

9) Aplicando la regla del producto notable respectivo escriba la respuesta de:

a) 2

9r

b) 12 12m m

c) 20 7z z

Transforme en factores los siguientes polinomios:

a) 2 26 169x x

b) 2 225g

c) 2 13 30p p

Cuenca, 18 de Abril de 2016

Ing. Gelbar Bustamante S.

x 23y x

2

3

4

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M10 - S13

PROBABILIDADES

Definición: “Al repetir un experimento aleatorio, la frecuencia relativa de un suceso A

tiende a estabilizarse en torno a un determinado valor que lo llamamos probabilidad,

P(A), a medida que aumenta el número de realizaciones”

El cálculo de una probabilidad se lo hace a través de la siguiente razón llamada regla de

Laplace. ( )P A Re ( )

( )

sultados favorables

resultados posibles

Tarea:

1) Calcular la probabilidad de que al lazar una moneda y un dado el resultado sea

(cara y un número mayor que 4).

2) Si Juan tiene tres camisas: una blanca, una azul y una café y además tres corbatas:

una roja, una negra y una amarilla. Calcular la probabilidad de que pueda combinar

la camisa blanca con la corbata roja.

3) Si en una caja hay tres bolas blancas y dos bolas negras. Cuál es la probabilidad de

sacar una bola negra?

Cuenca, 30 de Mayo de 2016

Ing. Gelbar Bustamante S.

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