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Mecánica de la Fractura en

BLOQUE I: MECÁ NICA DE LA FRACTURA EN ESTRUCTURAS

1. INTRODUCCIÓN

Las estructuras de hormigón están llenas de defectos tanto en su interior como en

su superficie. Defectos como poros, huecos de aire y principalmente microgrietas.

Al cargar una estructura, el hormigón se tensiona, y esta tensión unida a los defectos

mencionados del hormigón provoca la formación

consiguiente fallo de la estructura. Todavía las estructuras son diseñadas sin tener en

cuenta estos fenómenos de propagación de grietas. Es por tanto necesario utilizar un

criterio de energía que de alguna manera tenga en cue

combinación posiblemente con el criterio de resistencia que establece la Teoría de la

Elasticidad.

Es por esto que surge la necesidad de estudiar el fenómeno de la fractura en el

hormigón. Por tanto es necesario un criterio que considere este fenómeno y no sólo

utilizar para el diseño de estructuras la teoría de la elasticidad con el criterio de fallo

por resistencia.

Figura 1.1: Curva de respuesta Carga

Mecánica de la Fractura en Estructuras de Hormigón

NICA DE LA FRACTURA EN ESTRUCTURAS

DE HORMIGÓN



estructura, el hormigón se tensiona, y esta tensión unida a los defectos

mencionados del hormigón provoca la formación de grandes fracturas con el


s de propagación de grietas. Es por tanto necesario utilizar un

ue de alguna manera tenga en cuenta este fenómeno


urge la necesidad de estudiar el fenómeno de la fractura en el



: Curva de respuesta Carga-Deformación típica para un material “cuasi frágil”

Bloque I

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NICA DE LA FRACTURA EN ESTRUCTURAS



estructura, el hormigón se tensiona, y esta tensión unida a los defectos

de grandes fracturas con el


s de propagación de grietas. Es por tanto necesario utilizar un

nta este fenómeno, en


urge la necesidad de estudiar el fenómeno de la fractura en el



Deformación típica para un material “cuasi frágil”

Mecánica de la Fractura en Estructuras de Hormigón Bloque I

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Si cargamos una estructura de hormigón obtendremos una respuesta formada por

dos zonas bien diferenciadas. Una primera zona de endurecimiento por deformación

antes de llegar a la capacidad última, recordando el comportamiento de metales de

alta resistencia y una segunda zona de ablandamiento por deformación.

La Mecánica de la Fractura Elástico Lineal ha sido aplicada durante muchos

años pero esta teoría sólo es aplicable para materiales elásticos, homogéneos y

frágiles. El hormigón debido a su base de cemento y a los defectos que en él se

presentan, tiene un comportamiento que podríamos llamar “cuasi-frágil”. Es por esto

por lo que esta teoría no ha tenido éxito en las estructuras de hormigón.

Cabe ahora preguntarnos si existen realmente unas razones que fundamenten lo

suficiente el uso de la Mecánica de la Fractura Elástico Lineal (MFEL) en las

estructuras de hormigón. Hay ciertos fenómenos que no pueden ser explicados a

través de la Teoría de la Elasticidad mediante el criterio de resistencia. Fenómenos

como el ablandamiento que experimentan las estructuras de hormigón asociado al

comportamiento posterior a la formación de la grieta, el fallo no simultáneo debido a

la propagación de grietas, la influencia del tamaño sobre la capacidad cortante…no

pueden ser explicados por la Teoría de la Elasticidad.

Existen cinco argumentos a favor del uso de la Mecánica de la Fractura en las

estructuras de hormigón [1], los cuales son:

• Energía necesaria para el crecimiento de la grieta: El crecimiento de una

grieta requiere el consumo de cierta cantidad de energía, por lo que es

necesario un criterio de fallo por energía. No obstante la grieta puede ser

creada por que el material supere su límite de resistencia. Es irrelevante

como se inicia la grieta. Lo importante es saber cómo se propaga la grieta

bajo unas cargas determinadas. Esto sólo puede ser estudiado basándose

en un criterio de energía.

• Objetividad en el cálculo de la carga y respuesta: La MFEL es aplicable

para analizar el comportamiento de estructuras de hormigón con grietas.

Se puede modelar de dos formas: una mediante el llamado “smearing”


7

sobre elementos enteros y otra mediante concentraciones de tensión entre

elementos discretos contiguos. El camino para obtener los resultados, los

cuales son independientes del tamaño del elemento con el que se modele,

requiere que la energía disipada durante el proceso de fractura sea

constante. Esta energía constante de disipación es la llamada energía de

fractura y forma el fundamento de la teoría de la Mecánica de la

Fractura.

• Falta de zona de cadencia: En el comportamiento de materiales dúctiles

como pueden ser los aceros, se puede observar una zona de cadencia al

final del tramo elástico. Microscópicamente se observa que el material no

requiere aumento de tensión para que continúe deformándose. Este

fenómeno no se produce o se produce en muy pequeño espacio en los

materiales catalogados como frágiles.

• Capacidad de absorción de energía y ductilidad: El área que hay bajo la

curva carga-deformación representa la energía absorbida por la estructura

durante el proceso de fallo, despreciándose las perdidas en soportes y

puntos de aplicación de cargas. La mayor parte de la energía es absorbida

tras el pico que presenta la respuesta, en la zona de ablandamiento por

deformación. Esto determina la ductilidad de la estructura.

• Efecto tamaño: El argumento más importante a favor del uso de la

Mecánica de la Fractura en el hormigón es el llamado Efecto Tamaño.

Efecto por el cual un material presenta diferente respuesta según sea el

tamaño de la probeta ensayada. Este efecto influye principalmente en dos

aspectos. El primero en la capacidad última del hormigón la cual

disminuye a medida que el tamaño del espécimen crece, y en segundo

lugar afecta a la capacidad cortante del material, disminuyendo también

al aumentar el tamaño del espécimen.

En los siguientes puntos se van a abordar principalmente dos conceptos de la

Mecánica de la Fractura que son el antes mencionado “Efecto Tamaño” y la

“Energía de Fractura”. Para ello se introducirá previamente la teoría de la Mecánica


8

de Fractura Elástico Lineal donde se expondrán las teorías de Griffith e Irwin y los

modelos de grieta cohesiva de Barenblatt y de Dugdale-BCS de materiales elasto-

plásticos. Tras esta introducción se expondrá el concepto del Efecto Tamaño donde

se tratará la “Ley de Efecto Tamaño de Bazant” y la “Energía de Fractura”. Al final

hay un capítulo dedicado a los ensayos en la mecánica de la fractura.

2. MECÁNICA DE LA FRACTURA ELÁSTICO LINEAL

Antes de profundizar en la Mecánica de la Fractura aplicada al hormigón, se

expone un tema introductorio de la MFEL. Se introducirán en primer lugar las

teorías de Griffith e Irwin con sus consideraciones energéticas, además de los

modelos de grieta de Barenblatt de grieta cohesiva y el modelo de Dugdale-BCS de

materiales elasto-plásticos. Por último se abordará brevemente la determinación del

parámetro KIC.

2.1 Teoría de Griffith para materiales frágiles

Las grietas introducen fuertes concentraciones de tensiones en sus extremos en

los materiales elásticos y frágiles. Las grietas y en general los defectos, están

presentes en todos los materiales. Debido a esto, la resistencia real de los materiales

frágiles es inferior a la que teóricamente se predecía. Fue Griffith el primero en

estudiar este fenómeno y aportar una solución analítica.

Para ilustrar el fenómeno Griffith considera una lámina cargada uniformemente

con un corte en el centro. Cuanto más puntiagudo es el corte mayor es la

concentración de tensiones que presente en su extremo. Alejados del corte, el campo

tensional está formado por líneas rectas y paralelas, es decir, como si no existiese

corte alguno.

Griffith dedujo una solución analítica para un corte elíptico en un panel elástico

de espesor despreciable, sujeto a una tensión uniforme en sus extremos de valor σ.


9

Figura 2.1: Placa delgada (L>>t) con hueco elíptico bajo una tensión uniforme σ. Cuando b��0 el

hueco se convierte en una grieta (Problema de Griffith).

La solución analítica deducida es:

σσσσσ +

−+

−=+=

−1

2

2

2

212

1a

x

a

x

a

xxxyy ; 0=xyσ ;

Si |x|�a � σxx�∞ y σyy�∞ como se puede ver en la figura y además para

|x|>>a, σxx�0 y σyy� σ, es decir, como se ha dicho, si nos alejamos del corte, la

tensión tiende a su valor exterior como si no existiese corte alguno.

Los desplazamientos de las caras del corte vienen dados por:

axxaE

xv ≤≤−= ||0:'

2)( 22σ

donde E’ toma el valor de E o de E/1-ν2 para tensión plana y deformación plana

respectivamente.


10

Figura 2.2: Principio de Superposición aplicado a una palca con una grieta centrada de

longitud 2a. La placa bajo una tensión uniforme externa σ (a) es equivalente a una placa no agrietada bajo una carga σ (b) más una placa sin carga externa pero con una tensión igual y

cambiada de signo σ aplicada sobre la grieta (c).

La solución anterior del campo de tensiones, ha sido obtenida por la aplicación

del Principio de Superposición, válido para comportamientos elásticos.

El trabajo realizado para abrir el corte una cantidad v(x) es:

22

')(

2

12 σπσ

E

adxxvW

a

a

−=

−= ∫

−

que es el trabajo que puede ser extraído del sistema durante la formación de la

grieta.

En el problema de Griffith, la energía de deformación elástica U, se incrementa

durante el proceso y el trabajo W es igual al cambio de la energía potencial del

sistema siempre que no existan pérdidas como por ejemplo de índole térmica.

Supongamos por tanto que una grieta crece una cantidad “da” a cada lado. Si el

crecimiento es estable, entonces se cumple: dW=-dГ : Г=4aγ


11

donde “Г” es la energía superficial de la grieta y “γ” es la energía necesaria para

separar una unidad las caras de la grieta y es llamada densidad de energía

superficial.

Si se realiza un balance de energía para un espesor unidad se tiene:

;4'

2;0)(;ddW 2 γσπ ==Γ+∂

∂0=Γ+E

aWa cteEa == γπσ '2

Esta relación ha sido probada experimentalmente para materiales frágiles

ideales. Esta determina la tensión crítica para la cual una grieta de longitud 2a se

propagará. Una vez que la grieta comienza a propagarse, al ser un material frágil

ideal, continuará creciendo de forma catastrófica.

Debe quedar claro que el criterio de energía de Griffith de fractura frágil tiene un

carácter global. Cuando la energía acumulada en el cuerpo y disponible para ser

liberada en el extremo de la grieta es suficiente para romper los vínculos allí

existentes, tiene lugar la fractura frágil catastrófica.

2.2 Teoría de Irwin para materiales frágiles

Se ha visto que en un cuerpo frágil, el proceso de fractura tiene lugar en los

extremos de la grieta. Irwin observó que en las cercanías de los extremos de las

grietas, las componentes del campo tensional no dependían de la forma del cuerpo

elástico y de la forma de carga. Es costumbre resolver las tensiones con tres estado

de carga elementales, llamados modo I, II y III.

Irwin definió un problema simple para poder resolverlo matemáticamente.

Definió un problema de extensión infinita, sujeto a una tensión uniforme lejos de la

grieta las cuales incluyen uno de los tres modos.


12

Figura 2.3: Tres modos posibles de deformación.

Para cada modo calculó las tensiones y definió así el factor de intensidad de

tensiones. Para el modo I se tiene:

−−+=

+−+=

=

+=

−=

2cos

2

1

2

2)1(

22

1

2cos

2)1(

23

·cos2

·2

cos2

2

3·

21

2cos

2

2

3·

21

2cos

2

2

2

θκθπ

ν

θκθπ

ν

θθθπ

σ

θθθπ

σ

θθθπ

σ

senr

E

Kv

senr

E

Ku

senr

K

sensenr

K

sensenr

K

I

I

Ixy

Iyy

Ixx

donde u y v son los desplazamientos horizontal y vertical respectivamente. Para la

geometría descrita por Irwin y solo para esta KI viene definido por la expresión:

∫− −

+=a

a

da

a

aζ

ζζζσ

π)(

1K I

integrando se tiene aπσ=IK ; Factor de Intensidad de Tensiones para el modo I.


13

Este, KI, depende de la geometría del cuerpo y de la forma en que la carga es

aplicada para crear las condiciones del modo I en las caras de la grieta. En la figura

2.4 se observan las formas de los picos de grieta y la distribución de tensiones para

valores de KI distintos. De la misma forma se analizan los otros dos modos de carga.

Figura 2.4: Diferentes formas de la grieta y su correspondiente distribución de tensiones.

Para los tres casos de carga las tensiones cerca de la punta de la grieta son

proporcionales a r -1/2. Los desplazamientos son proporcionales a la raíz de r y

desaparecen cuando r�0, es decir, en la punta del corte. Estos resultados fueron

obtenidos para grietas rectas sobre cuerpos elásticos infinitos, sin embargo, también

son válidos para una grieta arbitraria curvilínea. Del mismo modo, la expansión

asintótica de las tensiones es válida para un cuerpo elástico de tamaño finito.

Visto esto se expone a continuación el criterio de Irwin que establece: una grieta

en un material frágil, se propagará cuando el factor de intensidad de tensiones KI

supere el valor crítico KIC. Este valor crítico es una constante del material y es

llamado Resistencia a la Fractura.

aπσ=ICK


14

Hemos llegado al resultado fundamental de la Mecánica de la Fractura Elástico

Lineal que establece que el criterio local de tensión de Irwin es igual al criterio

global de energía de Griffith.

cteEa == γπσ '2

CGE'K 2IC = : γ2=CG

aπσ=ICK

donde Gc es la densidad de energía superficial de Griffith.

2.3 Modelo de Grieta Cohesiva de Barenblatt

Antes de exponer el modelo, conviene recordar las características principales de

la Mecánica de la Fractura Lineal Elástica:

a. La descripción de la fractura frágil supone sólo la adición de un parámetro

además de dos constantes elásticas E y ν. Este parámetro adicional debe estar

relacionado con la energía del cuerpo Gc, y con el campo tensional cerca de

la punta de la grieta KIC.

b. Tensiones y deformaciones en las cercanías de la grieta elevadas.

c. Durante el proceso de fractura, el cuerpo permanece elástico y la energía es

sólo disipada en un punto, en los extremos o puntas de la grieta.

Las dos últimas características infringen los principios básicos de la Teoría de la

Elasticidad. Griffith propuso que las caras de la grieta deberían permitírseles ser

cerradas con facilidad bajo unas fuerzas cohesivas de valor aproximado a la

resistencia del material frágil.

Esta propuesta de Griffith la siguió Barenblatt, introduciendo las fuerzas

cohesivas. Asumió que estas fuerzas actuaban en una pequeña zona “c” a los


15

extremos de la grieta. La distribución de esas fuerzas es difícil de conseguir debido a

los efectos que se presentan en el material.

Considerando el modo I y aplicando el concepto de fuerza cohesiva.

Figura 2.5: Modelo de grieta cohesiva de Barenblatt aplicado al modo I. Observar que c<<a. La

distribución de q(x) es en general desconocida.

Hay que establecer una condición de cierre entre las caras de la grieta en sus

extremos. Esta condición requiero que, debido a la forma que adquieren los

extremos de la grieta, KI desaparezca. Esto se consigue sustituyendo la siguiente

distribución de tensiones en la definición anterior de KI. Igualando a cero e

integrando:

acaq

ca

≤≤−−=−≤≤=||)()(

||0)(

ζζσζσζσζσ

; ;0)(1 =

−+

∫−

a

a

da

a

aζ

ζζζσ

π

donde se obtiene el valor IKQ2

π= llamado “Modulo de Cohesión”.

El modulo de cohesión es proporcional a KI y la zona de actuación de estas

fuerzas “c” no aparece en esta relación.


16

El postulado de Barenblatt establece que en el estado crítico, la configuración de

la zona cohesiva es independiente de las cargas aplicadas, y para un material

definido bajo unas condiciones, es siempre el mismo. Por lo tanto, dentro de los

límites de la Teoría de la Elasticidad y bajo el postulado de pequeña e invariante

zona cohesiva, el modelo de Barenblatt es equivalente a los modelos no cohesivos

de Griffith e Irwin.

Irwin tuvo que reconocer que el proceso de fractura no podía ser concentrado

sobre un punto, pero si sobre una pequeña zona finita. Proporcionó una estimación

del tamaño de la zona del proceso de fractura con la siguiente expresión:

2t

c2t

2IC

f'

GE'1

f'

K1

ππ==pr donde f’ t es la resistencia del material.

La Mecánica de la Fractura Elástico Lineal es sólo aplicable si “rp” es mucho

menor que cualquier otra dimensión característica. Para el caso del hormigón se verá

más adelante que esta condición es violada por lo que será necesaria una teoría de la

fractura aplicable al hormigón.

2.4 Modelo de Fractura de Dugdale-BCS para materiales elasto-plásticos

Este modelo es muy parecido al de grieta cohesiva de Barenblatt. La única

excepción es que la distribución de tensiones de cohesión es conocida y no se

requiere que la zona cohesiva sea invariante y pequeña.

A causa de las altas tensiones producidas en los extremos de la grieta, aparece

una zona plástica en el mismo lugar que se extiende tanto como sea necesario para

satisfacer la condición de que las tensiones no superen el límite elástico σY.

Por analogía con el modelo de Barenblatt, haciendo el factor de intensidad de

tensiones nulo se tiene:


17

Figura 2.6: Modelo de Dugdale-BCS para materiales elasto-plástico.

acaq

ca

≤≤−−=−≤≤=||)()(

||0)(

ζζσζσζσζσ

; ;0)(1 =

−+

∫−

a

a

da

a

aζ

ζζζσ

π

llegándose a la expresión:

−=

Ya

c

σπσ2

cos1 donde “c” es la zona plástica.

La apertura total de cada extremo (y=0; |x|=a-c) es llamada CTOD (Crack Tip

Opening Displacement) y la expresión que la define es:

1

1ln1'

8−

−

−=a

c

a

c

E

aCTOD Y

πσ

Es habitual definir el CTOD adimensional como CTODa

ECTOD

Yσπ

8

'* = , el cual

es representado en la Figura 2.7 junto con el tamaño de la zona plástica “c/a”. A

veces se usa como criterio de fractura un valor critico del CTOD=wc.


18

Figura 2.7: Variación del tamaño de la zona plástica, c, y del CTOD* bajo la aplicación de una

tensión normal σ.

Se puede observar que si el tamaño de la grieta es considerable y la carga

externa es pequeña (σ/σY<<1 ), entonces la zona plástica es pequeña y también lo

será el CTOD.

Como hemos dicho, se puede utilizar como criterio de fractura un valor crítico

del CTOD, concretamente CTOD=wc. Sustituyendo en la expresión del CTOD se

llega a:

cYwEa σπσ '=

expresión análoga a la establecida por los criterios de Irwin y Griffith. Por lo tanto

para un cuerpo elástico el parámetro wc está directamente relacionado con KI y GC

mediante las siguientes relaciones:

cYCcY wGwE σσ == 'K 2IC


19

2.5 Determinación del Factor de Intensidad de Tensiones

Se ha visto que para describir la fractura frágil se requiere un parámetro

adicional que es KI (ó GC). Existen fórmulas empíricas para determinar KI, para

algunas geometrías y formas de cargas definidas.

La geometría más utilizada es la de una viga a flexión cargada en tres puntos. La

principal ventaja de esta geometría es lo económico de su fabricación y la relativa

simplicidad de sus procedimientos de ensayo.

Del ensayo se tiene la carga máxima (Pmax) a partir de la cual se tiene el

momento máximo en el punto medio de la probeta. El factor de intensidad de

tensiones crítico es calculado usando la siguiente fórmula:

��=6·Y·��·√ /(� · ��)

donde:

Y(α)= función de la geometría; α=a/D;

M=M1+M2;

M1=momento flector debido a la carga máxima aplicada ( �� = �� · �4� );

M2=momento máximo debido al peso propio de la viga;

B= ancho de la viga; D= canto de la viga; a= profundidad de la entalla;

Existen diferentes propuestas que definen la función de geometría Y(α). Una de

ellas, propuesta por Brown & Srawley (1966) se define a continuación:

�(�) = �� + �� · � + �� · �� + �� · �� + �� · ��

donde los coeficientes Ai se muestran en la tabla 1:


20

S/D ��

8 +1.96 -2.75 +13.66 -23.98 +25.22

4 +1.93 -3.07 +14.53 -25.11 +25.80

Tabla 2.1: Coeficientes Ai para diferentes relaciones S/D

Otra propuesta realizada por Srawley (1976) de la función de geometría para

ensayos de vigas a flexión en tres puntos y para un completo rango de relación a/D es la

siguiente (0<�<1):

�(�) =[1.99 − �(1 − �)(2.15 − 3.93� + 2.7��)]

(1 + 2�)(1 − �)�/�

La expresión anterior tiene la ventaja de tener una gran precisión para rangos de

α entre 0 y 0.6, con un error de sólo el 0.2 %.

3. ENERGÍA DE FRACTURA

3.1 Definición de energía de fractura

El crecimiento de una grieta requiere el consumo de cierta cantidad de energía,

por lo que es necesario un criterio de fallo por energía y por tanto la definición de

energía de fractura.

Supongamos que ensayamos una probeta de hormigón de tal manera que el

crecimiento de la grieta es siempre estable y asumimos que todo el trabajo realizado

por la carga exterior se emplea en aumentar el tamaño de la grieta y que además la

energía requerida por la grieta es independiente de la geometría de la probeta.

El trabajo realizado por la carga, el cual debido a la primera suposición hecha es

igual a la reducción de energía potencial, puede ser consumido únicamente por la

fractura de los ligamentos que están impidiendo que la grieta se propague.

Denotamos por WF a este trabajo y por Alig al área intacta antes de comenzar el


21

ensayo, es decir, el área no agrietada. A partir de estos dos parámetros podemos

definir la energía necesaria para crear una grieta de un área unidad, y la llamamos

GF:

lig

FF A

WG = GF : ”Energía específica de fractura”

Para un material elástico y frágil la energía de fractura GF debe ser igual al valor

GC, por lo que no debería importar que tipo de procedimiento usar para el cálculo

del factor de intensidad de tensiones.

3.2 Evidencia experimental

Se va a realizar un repaso histórico de ensayos que se han realizado sobre vigas a

flexión en tres puntos, mostrando los resultados que se obtuvieron [1]. Nallathambi

(1984) realizó ensayos en vigas de tamaños entre 40x50x200 y 80x300x1800, con

mezclas de tamaño máximo de árido entre 2 y 20 mm y con una relación

agua/cemento (w/c) entre 0.5 y 0.65. Se realizaron con dos tipos diferentes de

gravas: grava rodada de río y grava machacada. Los valores de la resistencia a

compresión oscilaban entre los 44 MPa para áridos de 2 mm y los 38 MPa para

árido de 20 mm. El módulo de Young también presentaba una variación entre 26 y

33 GPa. Estos valores de f’C y E de son para una relación w/c=0.5. Tanto f’C como E

decrecen a aumentar la relación agua/cemento (w/c). Para mezclas con grava rodada

de tamaño máximo 20 mm, los valores de f’C oscilaban entre 38 y 24 MPay los de E

entre 33 y 24 GPa con una relación w/c=0.65. Obsérvese que el uso de grava

machacada conlleva un incremento de la resistencia a compresión f’C y un

decremento en E.

De acuerdo con los requerimientos del proceso de fractura, estos ensayos se

realizaron con control en desplazamiento, por lo que el proceso tuvo lugar de forma

estable.


22

La influencia de los parámetros que definen la microestructura del hormigón,

como el tamaño máximo del árido, su textura y la relación w/c se observa en las

gráficas que arrojan los experimentos.

Figura 3.1: Respuesta carga-flecha para vigas ensayadas con diferentes tamaños de áridos.

Figura 3.2: Influencia del tipo de grava y de la relación agua/cemento (w/c) para ensayos a flexión

de vigas en tres puntos. (a) w/c=0.50; (b) w/c=0.55 ;


23

Figura 3.3: Influencia del tipo de grava y de la relación agua/cemento (w/c) para ensayos a flexión

de vigas en tres puntos. (a) w/c=0.60; (b) w/c=0.65

Gettu (1990) realizó ensayos a flexión de vigas en tres puntos para observar el

comportamiento de GF con el tamaño característico, es decir el canto D, la relación

a/D y la distancia entre apoyos S.

Figura 3.4: Variación de GF y GC con el canto de la viga (D) y con la relación (a/D) para ensayos a

flexión de vigas en tres puntos.


24

WF es calculado como el área bajo la curva carga-deflexión y GF se calcula a

partir de esta última y del área Alig=B(D-a). Para el cálculo de GF se utiliza la

expresión KIC2=E’· GC donde KIC se calcula con la fórmula de la probeta adecuada,

es decir 2max

····6

DBaMYK IC = .

Figura 3.5: Variación de GF y GC para ensayos a flexión de vigas en tres puntos con la distancia

entre apoyos (S).

De las gráficas anteriores se observa que GF es considerablemente mayor que

GC, que ambos crecen cuando crece el tamaño de la estructura D y que decrecen

con la relacen a/D.

La variación de GC era la esperada porque varía de la misma forma que lo hace

el factor de intensidad de tensiones como se verá en la siguiente sección. Esto

confirma que el hormigón como se suponía no es un material frágil ideal. Es la

variación entre GF y GC para una misma mezcla y geometría lo que resulta

sorprendente. Existen muchas posibles razones para esta discrepancia y para la

propia variación de GF que vamos a discutir en el siguiente apartado.


25

3.3 Razonas de variabilidad de GF

La variación que se ha observado en los resultados experimentales es debida a la

violación de dos de las suposiciones que se hicieron para definir la energía

específica de fractura GF. Estas dos son:

i. El trabajo realizado por la carga externa se emplea sólo en la extensión

estable de la grieta.

ii. La energía requerida por esta es independiente de la geometría de la

probeta y de la forma de aplicación de la carga.

La primera de la hipótesis es imposible que se satisfaga en la práctica, ya que

existen varios procesos a parte de la extensión de la grieta en los cuales se emplea

energía. Estos son: pérdidas de energía en la máquina de ensayos, pérdidas térmicas,

energía consumida por las pequeñas grietas existente en la estructura. Además de

estos errores, existen otros de menos relevancia pero que es interesante su

conocimiento, como por ejemplo la improbabilidad de que la grieta sea totalmente

recta, que el crecimiento de la grieta no tiene lugar estrictamente bajo el modo de

carga I. Es claro que algunos errores son atribuibles a la determinación de WF y

otros a la de Alig, como se arroja de su definición.

La segunda de las hipótesis realizadas para definir la energía de fractura

específica puede ser sólo satisfecha en la práctica cuando la Mecánica de la Fractura

Elástico Lineal sea estrictamente válida.

Han sido muchos los intentos realizados para cuantificar o eliminar los orígenes

de errores identificados. El error introducido por la máquina de ensayos puede ser

eliminado por completo con una correcta calibración de esta. La energía elástica

recuperable puede ser cuantificada y eliminada del total del trabajo WF.

Por todo lo documentado anteriormente parece que el uso de GF como parámetro

de fractura para el hormigón no es muy apropiado, sin embargo existen buenas

razones para su uso. La primera razón y la más fuerte es que GF forma el

fundamento de la primera teoría no lineal de la Mecánica de la Fractura para


26

hormigón, llamada “Teoría de Grieta Ficticia”, la cual es usada en la actualidad por

los programas de elementos finitos. En segundo lugar, GF es el único parámetro que

parece haber tenido un gran reconocimiento. Esto puede haber sido facilitado por la

disponibilidad de muchos datos de ensayos que permiten establecer una fórmula

empírica simple relativa a GF:

( ) 7.0'· CFF fG α= donde αF es un coeficiente empírico dependiente del tamaño

máximo del árido g.

Sería erróneo concluir que un incremento en GF con un incremento de f’C es

equivalente a un incremento de la ductilidad, ya que GF no puede distinguir si el

comportamiento es frágil o dúctil. Se necesita un parámetro adicional para poder

hacer esta distinción.

Existen otras estimaciones del parámetro GF [2]. En este aparece una expresión

que estima GF para el caso de falta de datos experimentales. Esta expresión es:

( ) 7.00 / cmocmFF ffGG =

donde fcmo=10 Mpa.

La energía de fractura GF depende, como se ha dicho anteriormente, en cierto

grado del tamaño del elemento estructural, así como de otras propiedades del

hormigón que no se tienen en cuenta en la relación anterior. Debido a esto resultan

desviaciones de GF respecto de los valores obtenido por esta ecuación de hasta un

±30%.

fcm es el valor medio de la resistencia a compresión del hormigón y se calcula a

partir de fck que es la resistencia característica a compresión del hormigón. El valor

medio es muy utilizado para estimar como hemos visto parámetros del hormigón y

se define como:

fff ckcm ∆+= con MPaf 8=∆


27

Por último GF0 es el valor básico de la energía de fractura y depende del tamaño

máximo del árido g como se indica en la tabla siguiente.

g (mm) GF0 (Nmm/mm2)

8 0.025

16 0.030

32 0.058

Tabla 3.1: Valores de GFO [Nmm/mm] para distintos tamaños máximos de áridos.

En la siguiente tabla de muestran valores de GF [Nm/m2] para distintos tamaños

máximos de áridos y para diferentes clases de hormigones:

Tamaño máximo

del árido

g (mm)

C12

C20

C30

C40

C50

C60

C70

C80

8 40 50 65 70 85 95 105 115

16 50 60 75 90 105 115 125 135

32 60 80 95 115 130 130 160 175

Tabla 3.2: Valores de GF [Nm/m2] para distintos tamaños máximos de áridos.

Téngase en cuenta que en la Tabla anterior GF está expresado en Nm/m2 mientras

que mediante la expresión y la tabla anterior se obtienen valores en Nmm/mm2.

4. TEORÍAS DE FRACTURA NO LINEALES PARA HORMIGÓN

4.1 Zona de fractura

Se ha visto que el comportamiento del hormigón se desvía significativamente

del que predice la Mecánica de la Fractura Lineal Elástica, a excepción del caso en

el que la estructura sea de grandes dimensiones. Es importante comprender como y

donde tiene lugar el proceso de fractura para poder establecer una teoría no lineal

para hormigón.


28

Esta desviación se debe en primer lugar a la formación de una zona de fractura

delante de la preexistente grieta.

Figura 4.1: Zona de proceso de fractura.

Las regiones AB y BC son un primer resultado de la llamada microrotura. La

región CD resulta de los enlaces de los agregados y de los efectos de fricción. La no

linealidad de la zona AB tiene poca influencia en la descripción de la fractura en el

hormigón, por lo que no se entra en detalle sobre esa zona. La mayor influencia se

encuentra en la zona de ablandamiento de la respuesta, ya que se reduce el flujo de

energía que puede ser liberado de la zona de fractura mientras que simultáneamente

se incrementa la superficie de fractura.

Es importante conocer la extensión de la zona donde tiene lugar el proceso de

fractura en el hormigón que llamaremos “lch”. Se puede hacer una tosca estimación

de esta zona para materiales con base de cemento siguiendo el procedimiento de

Irwin. Se supone que el material a lo largo de la longitud de la zona de fractura ha

alcanzado la resistencia del material f’C y que además GC=GF. Es claro que esta

suposición no es correcta, pero es válida para una estimación rápida de lch.

2'

'

t

Fch f

GEl ≅


29

A continuación se muestra una tabla con los valores aproximados de esta

longitud de la zona del proceso de fractura para distintos materiales [1].

Material lch, mm

Vidrio 10-6

Pasta de cemento densificada con sílice 1

Pasta de cemento dura 5-15

Mortero 100-200

Hormigón de alta resistencia 150-300

Hormigón normal 200-500

Hormigón para presas 700

Tabla 4.1: Valores de la longitud del proceso de fractura para diferentes materiales.

Una conclusión directa de los valores mostrados en la tabla 4.1 es que cuanto

más basta sea la microestructura del material mayor será el tamaño de esta zona. Así

para un cristal esta zona tiene un tamaño muy reducido, mientras que para un

hormigón con agregados de gran tamaño es muy superior. Por tanto con esta

estimación de lp se puede explicar porqué la Mecánica de la Fractura Elástico Lineal

es aplicable a vidrios (material muy frágil) y no a materiales como el hormigón

(material cuasi-frágil).

Es el momento de explicar cómo tiene lugar la formación de la zona de fractura.

La introducción de una macrogrieta al hormigón puede generar que se inicien

microgrietas en las cercanías de los defectos y partículas de segunda fase como las

partículas de arena, de grava…, causando la separación entre la pasta de cemento y

estas partículas. Hay que decir que los defectos como poros y algunas microgrietas

ya las tiene el hormigón antes de que se le practique la grieta (macrogrieta) y de

cargarlo. Bajo la carga externa, las microgrietas se unen entre ellas y con los

defectos formados por separación entre la pasta de cemento y las partículas de

segunda fase, para formar grietas de gran tamaño. Si no existen obstáculos, estas

grietas formadas se unen con la macrogrieta practicada, formándose de esta manera

la zona de fractura. Los poros son especialmente fuertes obstáculos por estar libres


30

de tensión y así atraer a las grietas formadas, ya que estas buscarán el camino de

mínima energía.

Figura 4.2: Representación esquemática de cómo se desarrolla la zona de fractura.

Las partículas de segunda fase en la matriz de cemento detienen el progreso de

crecimiento por lo que requieren un trabajo externo adicional. La grieta puede ser

forzada a crecer alrededor de partículas permitiendo el posterior “puenteo” de sus

caras. Esto unido al efecto de fricción es la primera razón que explica la región de

ablandamiento del diagrama del hormigón.

Por todo lo explicado, las teorías que a continuación se expondrán imponen la

condición de cierre fácil de las caras de la grieta en sus extremos, ya que es lo

que más se asemeja a la realidad que allí ocurre.

4.2 Modelo de grieta ficticia

Esta teoría modela el fenómeno de ablandamiento de la zona de fractura a través

de una grieta ficticia. No existe concentración de tensiones en el borde de la grieta.

Esta condición es satisfecha si las caras de la grieta cierran fácilmente.


31

Figura 4.3: Zona libre de tracción de la grieta (a0) con terminación en grieta ficticia y distribución

de tensión σ(w).

El término “ficticio” es usado para subrayar el hecho de que esa porción de

grieta no puede ser continua con una total separación de sus caras. Este modelo es

muy parecido a los modelos de Barenblatt y de Dugdale-BCS para materiales

frágiles ideales. Como en estos, el modelo de grieta ficticia supone que la zona de

proceso de fractura es de espesor despreciable y que las caras de la grietas cierran

fácilmente. Pero este modelo difiere de los otros dos en diferentes aspectos.

En primer lugar, a diferencia del modelo de Dugdale-BCS, la tensión de cierre

en la zona de fractura no es constante. Se incrementa desde cero en la punta de la

macrogrieta preexistente hasta la resistencia del material en la punta de la grieta

ficticia. Lo que es más, la distribución de las tensiones de cierre a lo largo de la zona

de fractura dependen de la apertura de las caras de la grieta ficticia, es decir,

σ=σ(w).

En segundo lugar, a diferencia del modelo de Barenblatt, el tamaño de la zona de

fractura (zona cohesiva para Barenblatt) puede no ser pequeña en comparación con

la longitud de la macrogrieta preexistente. Por lo que ahora no es válida la condición

que se hizo en su momento para obtener la expresión del módulo de cohesión. Es

necesario conocer la ley σ=σ(w) si se hace uso de la condición de cierre fácil. La


32

fractura del hormigón no puede ser descrita simplemente con un parámetro como KI

ó Gc ó Q como se puede hacer para un material frágil. Por tanto ahora serán

necesarios dos parámetros.

En el modelo de grieta ficticia esos dos parámetros son:

a. La relación tensión desplazamiento σ=σ(w) en la zona de ablandamiento, y

b. El área bajo esta curva la cual es ahora la verdadera energía de fractura GF.

Figura 4.4: Se asume que el material en la zona de grieta ficticia tiene un comportamiento lineal(a);

en el interior de la zona donde tiene lugar el proceso de fractura presenta un ablandamiento.

∫∫ ==Ct wf

F dwwdwG00

)()(

'

σσσ wc es la abertura crítica

En el lugar de σ(w) y de GF, cualquier combinación de dos parámetros

independientes puede ser elegida. Por ejemplo las parejas (f’ t ; GF )ó (wc ; GF) ó (f’ t ;

lp).

4.3 Modelo de banda de grieta

Como los fenómenos de formación de las microgrietas en la zona de fractura no

es continuo y como no es necesario tener una región estrecha discreta alineada con

la grieta, se tiene que la relación σ(w) puede ser igualmente aproximada por la

relación de deformación de ablandamiento σ(ε). Esta deformación está relacionada


33

con la deformación inelástica “w” y con “GF”, así que la deformación última “ εc”

está relacionada con “wc” . Por tanto ahora se tiene “εc” como criterio de fractura.

Figura 4.5: Modelo de banda de grieta sobre una banda de espesor h.

La idea de caracterizar el comportamiento de ablandamiento del hormigón a

través de la relación de deformación de ablandamiento fue introducida por Bazant.

Para relacionar w y GF, es necesario introducir una medida h. Se supone que las

microgrietas están distribuidas sobre una banda de espesor h, de ahí el nombre del

modelo.

Suponiendo que todas las grietas están repartidas sobre la banda “h” e

inicialmente paralelas entre ellas, se puede escribir la siguiente relación para

materiales isótropos en estado de deformación plana:

εεε += et ;

+

+=

0

0

')1(00

01'

0'1

'

1 εσσσ

βν

νν

εεε

xy

yy

xx

xy

yy

xx

E

EE

donde:

εt es la deformación total y εe la deformación elástica,

β es el factor de retención de cortante.

En hormigón, el factor β tiene en cuenta la unión de las caras de la grieta debido

principalmente a la interconexión de los agregados. Es posible también introducir un


34

parámetro escalar de peligro o daño ω. Cuando ω=0 no existe daño alguno; si ω=1

se ha producido la ruptura completa. Representa por tanto la contribución que σyy

tiene sobre (εyy)t, por lo que ω=Ф((εyy)t). Usando la expresión ( )'1

1

Eyy

tyy

σω

ε−

= la

relación anterior queda:

+−=

xy

yy

xx

xy

yy

xx

E

EE

σσσ

βν

ωνν

εεε

')1(00

011'

0'1

'

1

La energía de fractura es ahora:

∫=c

dhG YYF

ε

εεσ0

)( donde εc=wc/h

Cabe decir que Bazant recomendó un valor del ancho de la banda de

microgrietas tres veces el tamaño máximo del agregado (h ≈3g).

5. EFECTO TAMAÑO EN ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN

5.1 Comentario introductorio

Antes de entrar en los estudios experimentales que demuestran este fenómeno y

en el modelo de Bazant, vamos a presentar dos sencillos casos a modo de ejemplo

para introducir el efecto tamaño en las estructuras de hormigón.


35

Figura 5.1: Probetas semejantes de distintos tamaños. El ancho B de todas las probetas es el mismo.

Supóngase, como primer ejemplo, tres vigas a flexión en tres puntos con una

carga P de distintos tamaños. Supongamos que todas tienen igual ancho B pero

difieren en su canto W, imponiendo también que sean geométricamente semejantes

con la relación longitud/canto, es decir, S/D=cte. Definimos una tensión nominal

como: DBP

N ·=σ que particularizada para el estado de carga última es:

( ) DBPu

uN ·=σ

Como las tres vigas son geométricamente similares podemos expresar esta

tensión como 2DP

N =σ sin que cambien los resultados que queremos obtener.

Las gráficas se obtienen realizando los ensayos con control en desplazamiento.


36

Figura 5.2: Diagrama tensión-deformación para tres vigas geométricamente semejantes cargadas a

flexión con diferentes cantos.

De la figura 5.2 se obtienen principalmente dos observaciones claras. La cima de

la curva de comportamiento se desplaza hacia la derecha y hacia arriba a medida que

la dimensión del espécimen disminuye. La tensión última es mayor cuanto más

pequeña es la estructura y además esta se produce con una mayor deformación.

Igual ocurre con el punto correspondiente al fallo. Esto implica un comportamiento

más dúctil cuanto más pequeña sea la probeta, ya que la estructura se deforma más

antes de llegar al colapso. Además, en la figura se puede ver que la probeta de

menor tamaño alberga un área bajo su curva mayor que la de mayor tamaño, lo cual

implica que tiene un comportamiento más tenaz que la de mayor tamaño.

En el segundo ejemplo vamos a considerar la influencia del canto D y de la

relación S/D sobre una viga biapoyada con armadura longitudinal sobre la capacidad

cortante, es decir, sobre el cortante último (figura 5.3). Para ellos se ensayan en

primer lugar varias probetas con una relación S/D=3 y un relación de acero del 1%.

En el eje de absisas se representa el esfuerzo cortante último referido a este para el

caso de D=0.2 m, es decir 2.0, =Du

uV

V frente a D.


37

Figura 5.3: Influencia del canto de la viga D sobre la resistencia a cortante del refuerzo

longitudinal, para una relación S/D=3 y ρ=1% de acero

En la siguiente figura 5.4 se observa la variación del cortante último relativo

antes definido respecto a la relación S/D.

Figura 5.4: Influencia de la relación s/D sobre la resistencia a cortante del refuerzo longitudinal,

para ρ=1% de acero y un hormigón de f’ c=20 MPa.


38

A medida de aumenta el tamaño de la probeta el cortante máximo que puede

resistir la estructura es más pequeño. Por tanto una viga de 0.2 m de canto y

longitud 0.6 m resiste un cortante máximo mayor que una viga de 1.2 m de canto y

3.6 m de luz. Además de esto, se observa que a medida que aumenta el tamaño, la

tasa de decrecimiento va disminuyendo.

5.2 Evidencia experimental

Los intentos por aplicar la Mecánica de la Fractura Elástico Lineal a las

estructuras de hormigón han usado el factor de intensidad de tensiones KIC (o GC)

como criterio de fractura. Este era determinado con ensayos sobre vigas y paneles

utilizando la fórmula indicada en cada caso. Esto indicaba que el KIC variaba con la

longitud inicial de la grieta y con el tamaño y forman de la probeta de ensayo. El

efecto del espesor y del ancho de la grieta no era tan influyente.

Existen experimentos que muestran que el comportamiento de fallo de un

hormigón con una microestructura fina está más cerca de lo que predice la MFEL

que para un hormigón con una microestructura gruesa, esto es, que el KIC de se ve

influenciado por la microestructura interna del hormigón. Esta influencia llega a ser

Figura 5.5: Variación de KIC con la longitud de la grieta a para una pasta de cemento y un mortero

determinado con ensayos a flexión de vigas en cuatro puntos. Tamaño de la viga: 40x40x160.


39

significativa en algunos casos. En la figura 5.5 se observa que para un cemento de

pasta fina KIC tiene muy poca variación con a/D, mientras que para un mortero la

variación es visible.

Otros ensayos [1] sobre probetas de diversos tamaños y con tamaños de grava

rodada de río entre 2 y 20 mm, para los cuales la resistencia a compresión f’C de las

mezclas oscilaban entre 44 Mpa (árido de 2 mm) y 38 MPa (árido de 20 mm),

arrojaron los siguientes resultados:

Figura 5.6: Variación de KIC con la relación a/D obtenida por ensayos a flexión de vigas en tres

puntos. Aparece también como influye para un mismo tamaño de probeta el tamaño máximo del árido g; para g=2mm y g=20 mm.

Cuanto más pequeña es la probeta, menos es el valor de KIC. Además puede

verse la influencia del tamaño del árido para dos probetas de las mismas

dimensiones. Otra característica común de es que a partir de un valor determinado

de la relación a/D, KIC pasa de ser creciente a decreciente y que la rapidez con la que

decrece es más fuerte para hormigones con agregados bastos. Notar que este

comportamiento también lo experimentan los hormigones de alta resistencia

f’C=124 MPa.


40

Esta forma de comportarse de los hormigones no está limitada ni mucho menos a

probetas ensayadas a flexión, sino también se producen en otro tipo de geometrías

como la de la grafica siguiente, donde KIC tiende a un valor constante cuando el

tamaño de la probeta es mayor aproximadamente a 2 m.

Figura 5.7: Variación de KIC con el canto D ensayado con el tipo de probeta indicado.

La conclusión más inmediata que podemos sacar de estos estudios

experimentales es que la MFEL predice un correcto comportamiento del hormigón

cuando el tamaño de la probeta es grande comparado con el de la microestructura.

La MFEL define para distintas geometrías de probetas y configuraciones de

carga una expresión de KIC proporcional a la carga máxima. Podemos expresar KIC

definiendo previamente la tensión nominal DBP

N ·=σ como ya se hizo

anteriormente, de la siguiente manera:

)('··)()(··· D

afD

D

afa

DB

PK uN

uIC σ==

donde la f y f’ son dos funciones adimensionales.


41

Como en la MFEL, KIC es una constante del material, aplicando logaritmos a la

expresión anterior nos queda:

( ) ( ) cteDuN +−= ·log2

1log σ

por lo que el efecto tamaño para la MFLE es una línea recta de pendiente -1/2.

Figura 5.8: El criterio de resistencia no predice ningún efecto tamaño mientras que la MFEL

predice una fuerte dependencia con el tamaño.

5.3 Ley de Efecto Tamaño de Bazant

La longitud efectiva de la grieta ae tiende a la longitud real de la grieta ao cuando

el tamaño de la probeta llega a ser muy grande. Bazant proporcionó una forma de

aprovechar la Mecánica de la Fractura Elástico Lineal para el análisis de las

estructuras de hormigón. Definió de alguna forma la energía de fractura y la

longitud de la zona de fractura respecto a una probeta infinitamente grande.

Denotaremos estos dos parámetros asintóticamente definidos, es decir para D�∞,

por Gf y cf respectivamente para distinguirlos de GF y lp.

Para determinar estos dos parámetros a partir de probetas de tamaño moderado

en un laboratorio, Bazant propuso la siguiente ley [3]:


42

o

touN

dD

fB

+=

1

·)(

'

σ llamada “Ley de Efecto Tamaño de Bazant”

donde Bo y do son parámetros del material relativos a Gf y cf que vienen dado por la

siguientes expresiones:

)(

)('·

)·('

'··

12/1

'o

ofo

fo

f

to g

gcd

cg

GE

fB

αα

α=

=

donde αo=ao/D y g’(αo)=dg(αo)/dαo .La función g(αo) está relacionada con la

función Y(αo) la cual se usa para el cálculo del factor de intensidad de tensiones en

la teoría de la MFEL.

Bazant junto con Pfeiffer consideraron una ley más general:

rr

otouN d

DfB

2/1

' 1·)(

−

+=σ

donde ‘r’ depende de la geometría, pero se llegó a la conclusión de que r=1 era el

valor más óptimo para todas la geometrías. El método para determinar Gf y cf con

ensayos de vigas usando la ley de escala de Bazant se describirán en el apartado

dedicado a ensayos

A continuación vamos a exponer la demostración que realizó Bazant para llegar

a la ley de escala comentada.

Para demostrar su ley de escala, Bazant realizó un análisis dimensional y realizó

las siguientes hipótesis:


43

i. La energía liberada en una estructura debido al proceso de fractura es

función de la longitud de la grieta a=ao + ∆a y del tamaño característico

de la zona de fractura, cf.

ii. La extensión de la grieta efectiva ∆ae para la máxima carga (∆ae = ae- ao

para modelos de dos parámetros y grieta efectiva) no es una cantidad

pequeña y es proporcional al tamaño de la estructura D, mientras que la

extensión asintótica de la grieta, es decir cf=lim∆a cuando D� ∞, es una

propiedad estructural independiente de la dimensión W.

Estas hipótesis tienen sus bases en las siguientes observaciones. En una

estructura infinitamente grande, la zona donde tiene lugar el proceso de fractura

ocupa una fracción pequeña del volumen total de la estructura.

Figura 5.9: Diferente tamaños de la zona de fractura con diferentes tamaños de probetas sobre una

estructura infinitamente larga.

En consecuencia, casi toda la estructura está en un estado elástico. Ya vimos que

las tensiones asintóticas y el campo de desplazamiento cerca de la punta de la grieta

para los tres modos de carga son independientes de la geometría de la estructura. Si

asumimos que los campos de tensión y desplazamiento en la pequeña zona de

fractura de una estructura infinitamente grande pueden ser descritos por

aproximación asintótica, entonces podemos decir que en la zona de fractura estos

campos son independientes de la geometría de la estructura. En particular, en los


44

límites de las zonas donde se da el proceso de fractura, las tensiones no dependen de

la geometría y así debe disipar la misma energía Gf y tener la misma dimensión cf

independientemente de la geometría. Vemos que la definición asintótica de Gf es

semejante al módulo de cohesión de Barenblatt.

Al estar calculando Gf para el límite asintótico de W � ∞, podemos escribir por

analogía con las relaciones KIC2=E’· GC y )('··)(

D

afDK uNIC σ=

de la MFEL la

siguiente relación:

( )1

2 ),(·

'· −

∂∂=

αβασ F

D

GE f

uN

donde α=a/D y β= cf /D.

En la MFEL cuando β� 0, es decir D>> c f y Gf =GC y llegamos a la relación

)('··)(D

afDK uNIC σ= . Notar que se ha usado la notación f2(α) en lugar de F(α,o).

Para el estado asintótico β� 0 (D� ∞) como estado de referencia y suponemos

que la estructura sólo de diferencia por el tamaño D pero son geométricamente

similares en el resto de aspectos. De esta manera a/D=cte y por tanto podemos

extender F’(α ,β) en serie de Taylor sobre ese estado:

...2)·0,(''')·0,('')0,('),('2

+++= βαβααβα FFFF

Para el caso que estamos tratando de β� 0 , F’(α,0)=F’(αo,0), denotando por

simplicidad F’(αo,0)=g(αo) y F’’( αo,0)=g’(αo), y eliminando los términos de orden

superior, llegamos a:

( )2/1

00 )·()·('

'·

+=

Dgcg

GE

f

f

uN αασ


45

que junto con las definiciones de Bo y do se llega a la ley de escala de Bazant.

A continuación se presenta la ley de Bazant junto con las predicciones de la

Mecánica de la Fractura Elástico Lineal y el Criterio de Resistencia.

Figura 5.10: Ley de Efecto Tamaño de Bazant (curva continua). En línea discontinua aparece lo

que predice el Criterio de Resistencia y la MFEL.

6. DETERMINACIÓN DE PARÁMETROS DE FRACTURA

Para poder aplicar todo lo expuesto hasta el momento es necesario como ya se

ha dicho, conocer los parámetros de fractura. Estos parámetros son obtenidos

mediante ensayos de laboratorio. A continuación se presentan los pasos a seguir en

cada caso para la obtención de los parámetros de fractura. La única característica

común que tienen todos los métodos de ensayo recomendados es que son usados

para vigas biapoyadas cargadas en el centro con un corte también en el centro de

esta.


46

6.1 Determinación experimental de la Energía de Fractura GF

El siguiente procedimiento [1] es recomendado para ensayos a flexión de vigas

en tres puntos con un corte central:

1. Las proporciones de la viga deben ser elegidas en relación al máximo

tamaño de árido g de la mezcla. El canto de la probeta debe ser al menos

6g. La relación entre la distancia entre apoyos y el canto s/D puede variar

entre 4 y 8. Por último la viga deberá tener una profundidad en el corte

igual a la mitad del canto (a/D=0.5).

2. El ensayo debe ser realizado con control de desplazamiento en orden a que

la propagación de la grieta sea estable.

3. El desplazamiento vertical en el centro δ es medido y dibujado

continuamente mientras la carga P es aplicada de forma gradual hasta la

fractura completa de la probeta.

4. El área bajo la curva dibujada P- δ es el trabajo de fractura WF. La energía

de fractura GF es calculada con la fórmula de su definición corrigiendo el

término debido al peso propio:

lig

opF

F A

PWG

δ2+=

donde Pp es la suma del peso propio de la viga más todo lo que haya

colocado sobre ella; δo es el desplazamiento en el momento de fallo; y Alig

es B(D-ao).

6.2 Determinación experimental de los coeficientes de efecto tamaño Gf y cf

El siguiente procedimiento es recomendado para ensayos a flexión de vigas en

tres puntos con un corte central para determinar Gf y cf de acuerdo con el modelo de

efecto tamaño:


47

1. Probetas de al menos tres tamaños diferentes, caracterizados por el canto

D=D1,…,Dn y la longitud S=S1,…,Sn deberán ser ensayadas. Para

conseguir buenos resultados, los ensayos deben cumplir algunas

especificaciones:

D1<5g; Dn>15g; Dn/D1≥4;

Deben ser ensayados al menos tres probetas idénticas para cada tamaño. El

procedimiento y el entorno al cual las probetas son expuestas deben ser el

mismo para todos los tamaños de probetas incluso el tiempo del ensayo.

Las probetas deben ser geométricamente similares en dos de sus

dimensiones, siendo la tercera dimensión (ancho B) el mismo para todas

las probetas. Las variaciones en el ancho introducen efectos indeseables de

tamaño debido al calor de hidratación y a la reducción por secado.

2. Puede ser adecuado el uso de una máquina de ensayo sin servo control, sin

embarga una máquina de alta rigidez con servo control resulta más

adecuada para obtener mejores resultados. Lógicamente la maquina debe

ser capaz de soportar la máxima carga de la probeta. Las probetas deben

ser cargadas con relación de desplazamiento constante así que la máxima

carga para todas probetas debe alcanzarse en el mismo instante.

3. Los resultados de los ensayos necesarios para obtener Gf y cf son las

cargas máximas P1,…,Pn para cada probeta D1,…,Dn, y el módulo de

Young E y la densidad de la mezcla. Se denotarán las “n” probetas con el

subíndice j=1,…,n.

Lj es la longitud total de la viga mientras que Sj es la distancia entre

apoyos de la viga. Por tanto, considerando el peso propio (Pp)j de la viga se

tiene:

( )jp

j

jjjj P

S

LSPP

2

20 −+=


48

Si la longitud total de la viga es muy parecida a la distancia entre apoyo,

es decir Lj≈Sj, entonces se puede escribir:

( )jpjj PPP

2

10 +=

Si todas las probetas son geométricamente similares entonces P*j=Pºj, si

esto no ocurre, entonces:

=

m

m

j

jjj S

D

D

SPP 0* donde Sm/Dm es la media para todas las probetas.

Para dibuja Y frente a X, hacemos el siguiente cambio de variables:

2

*

=

j

jj P

BDY ; jj DX = ;

Queremos determinar la pendiente de esta curva “A”, de la recta

Y j=AX j+C. La gráfica debe ser lo más lineal posible, si no es así es porque

han ocurrido errores durante la realización del ensayo. Por regresión se

obtiene la pendiente:

Figura 6.1: Recta de regresión.


49

∑

∑

−

−−=

jj

jj

j

XX

YYXX

A2)(

)()(

donde ∑∑ ==j

jj

j Yn

YXn

X11

La línea recta de la figura es obtenida de la ley de escala de Bazant.

Cambiando de lugar los términos e identificando con el subíndice j para

cada tamaño, se tiene:

;;'

1;

)(

1;

22 otoojuN

jjj AdCfBd

AYDX ====σ

Usando la definición de Bo y do se llega a las siguientes expresiones para

calcular Gf y cf :

AE

gG o

f

)(α= A

C

g

gc

o

of )('

)(

αα=

El factor de geometría adimensional puede ser evaluado como se ve a

continuación. Para una viga de canto Dj y distancia entre apoyos Sj, la

máxima carga de fallo Pºj fué calculada con las expresiones anteriores. La

tensión nominal de flexión de fallo (σf) j, viene dada por la expresión:

)(5.1)(

2j

joj

jf BW

SP=σ

Según la Mecánica de la Fractura Elástico Lineal, el factor de intensidad

de tensiones viene dado, para esta configuración de viga biapoyada

cargada en el centro por:

)()(5.1)(··)( ooj

jjuNoojfIC YaD

SYaK ασασ ==


50

Por definición se tiene que EKG IC

b

f

2)(= , que junto con la expresión

anterior:

[ ]2

22

)(5.1)(

ooj

jjuNjf Y

D

S

E

DG αα

σ

=

Como Dj(σN)uj2 es por definición igual a la inversa de la pendiente A:

[ ]2

2

)(5.11

oom

mf Y

D

S

AEG αα

=

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