BOLETÍN: “LAS MATEMÁTICAS EN LA ENSEÑANZA MEDIA” Número 39 año 4 20 de mayo de 2006 ISSN 1688-2563 www.matematicaparatodos.com URUGUAY Soarem ARGENTINA

VI CONFERENCIA ARGENTINA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA

28 – 29 – 30 de septiembre de 2006

organizada por

SOAREM SOCIEDAD ARGENTINA

DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA Y

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE ENTRE RÍOS

FACULTAD DE CIENCIA

Y TECNOLOGÍA

CARRERA PROFESORADO EN MATEMÁTICA

Primer Anuncio

Estimados colegas: La Sociedad Argentina de Educación Matemática en conjunto con la Facultad de Ciencia y Tecnología

de la Universidad Autónoma de Entre Ríos, tenemos el agrado de invitarlos a participar en la VI CAREM que se realizará desde el 28 al 30 de setiembre de 2006 en la ciudad de Paraná, Entre Ríos, Argentina. La exitosa convocatoria del Congreso realizado en el 2005, es un incentivo para los que organizamos de esta reunión. La participación de docentes, investigadores y alumnos de nuestro país y del extranjero que han podido intercambia experiencias, investigaciones, proyectos, problemáticas en torno a la Enseñanza de la Matemática en los diferentes niveles del sistema educativo Esperamos su participación para compartir agradables momentos y enriquecernos mutuamente.

Le informamos que por razones de fuerza mayor, ajenas a la Comisión Organizadora, se ha cambiado la sede de la VI CAREM. La misma se realizará en las instalaciones del Instituto del Profesorado "Sagrado Corazón", Av La

Plata 82 de Ciudad de Buenos Aires los días 28, 29 y 30 de septiembre próximo.

Objetivos Generales • Promover el intercambio de ideas, experiencias, conocimientos, acciones, en la búsqueda de soluciones a la crisis actual en la

Educación en general y de la Educación Matemática en particular, en los distintos niveles educativos. • Analizar y difundir los aportes de la Didáctica de la Matemática, la Epistemología de la Ciencia y las Teorías del Aprendizaje a la

Educación Matemática, para comprender, apreciar y llevar a cabo con mayor eficacia, los cambios que hoy exige la Educación Matemática en el aula.

• Analizar, reflexionar y discutir los contenidos de la Matemática que deben priorizarse hoy. • Difundir los aportes que las Tecnologías de la información y la Comunicación brindan a la Educación Matemática. • Divulgar los resultados de las investigaciones en educación matemática en los organismos educativos de nuestro país. MODALIDADES DE LAS ACTIVIDADES

• Conferencias plenarias (CP) • Conferencias regulares (paralelas) (CR) • Paneles (P) • Talleres (T) • Grupos de Discusión (CD) • Comunicaciones breves (CB) • Posters (PR) •

TEMAS TENTATIVOS Pensamiento numérico. Pensamiento algebraico. Pensamiento probabilística – Estadística. Pensamiento geométrico. Fractales Didáctica de la matemática. Nuevas tecnologías en educación matemática El aula virtual – Educación a distancia. El software educativo La intuición y los métodos de demostración.. Materiales y juegos didácticos. Teoría de grafos. Visualización y Modelización de la realidad. Resolución de problemas.

Educación matemática en la formación de profesores. Educación continua de los docentes en los distintos niveles. Educación de adultos. Educación de alumnos con capacidades diferentes. Historia y cultura matemática. Epistemología. Etnomatemática. Evaluación en matemática La Matemática y sus conexiones con otras disciplinas. El currículo en matemática. La motivación en la Educación Matemática. Disciplina y Educación Matemática. Educación Matemática y Valores humanos. Teoría de aprendizaje y Educación Matemática

NIVELES

Preescolar (4-6 años) Básico (7-12 años) Medio (13-17 años) Terciario Universitario Postgrado Educación de adultos Educación continua Otro (especificar)

COMITÉ ORGANIZADOR DE LA VI CAREM Presidente: Oscar Sardella

Sociedad Argentina de Educación Matemática

Colaboradores Norma S. Cotic Cecilia Crespo Crespo Cristina Verdaguer de Banfi Ana Gerompini de Houssay Miriam Capdevilla Teresa Braicovich Alejandra del Castillo Teresita Chelle Mercedes Trusso

Silvia Seminara Adriana Engler

Facultad de Ciencia y Tecnología Presidente honorario Marino Schneeberger Coordinación general María Mercedes Colombo Colaboradores Elena Badano Rosa Blasón Ricardo José María Claucich Silvia Lupi Graciela Paredes Sandra Ponce Edit Rougier Patricia Villamonte

SEDE. Facultad de Ciencia y Tecnología Andrés Pazos y Corrientes. Paraná. Entre Ríos INFORMES. soarem1@gmail.com Casilla de Correos 50. Suc. 17. Villa del Parque. 1417. Ciudad de Buenos Aires. Página web: www.soarem.org.ar NORMAS PARA LA PRESENTACIÓN DE TRABAJOS 1- Los trabajos serán enviados sólo por vía e-mail a

vicarem@gmail.com

En asunto colocar modalidad de la actividad y apellido y nombre del Primer autor (por ejemplo: Taller – Perez Juan). 2- Se aceptarán trabajos en Español y Portugués. 3- Cronograma: Fecha límite de presentación de trabajos:

30 de junio de 2006. Ver indicaciones de presentación en la página web:

www.soarem.org.ar

Certificados: Si un trabajo está firmado por varios autores, sólo se extenderán certificados a los que estén inscriptos y expongan el trabajo. A los autores inscriptos se les entregará un certificado como coautor. Evaluación de Trabajos: Sólo serán considerados por la Comisión Evaluadora los trabajos cuyos autores estén inscriptos, exceptuando los invitados especiales. Carta Invitación: Los expositores cuyos trabajos hayan sido aceptados y tengan la posibilidad de obtener una subvención o aporte económico de alguna institución de su país pueden solicitar una carta de invitación de la SOAREM. INSCRIPCIÓN ARGENTINOS Hasta el 30 de julio Después del 30 de julio Con descuento

socios) Con descuento

(socios) Docentes 70 $ 50$ 100 $ 70$ Estudiantes con certificación

30 $ 20$ 40 $ 30$

EXTRANJEROS Hasta el 30 de julio Después del 30 de julio

Con descuento (socios)

Con descuento (socios)

Docentes 60 U$S 40 U$S 80 U$S 50 U$S Estudiantes con certificación

20 U$S 15 U$S 25 U$S 20 U$S

DESCUENTOS

Los socios de SOAREM que tengan pago el año 2006 cuentan con el descuento que figura en el cuadro de inscripciones. Los docentes extranjeros que presenten la constancia de que son miembros de una Sociedad Matemática, con sello y firma de las autoridades, gozan del

mismo descuento, que figura en el cuadro. Los estudiantes que presenten la constancia del Instituto donde están cursando su primera carrera, gozan del descuento que figura en el cuadro de

inscripciones.

FORMAS DE PAGO Argentinos

DEPÓSITO en cualquier sucursal del Banco Francés Cuenta corriente Nº 7080-1-Sucursal 101. Importante: guarde el ticket original, por cualquier eventualidad y envíe copia escaneada a soarem1@gmail.com (NO ENVIAR FAX) acompañado del nombre y dirección del depositante.

GIRO POSTAL a nombre de Mercedes Ester Trusso. J. B. Alberdi 1896-Olivos (1636) - Prov. de Buenos Aires. Sucursal Correo (B0020) Sucursal Olivos

IMPORTANTE: La dirección a la que se envía el giro postal es: Casilla de Correos 50 Sucursal 17 Villa del Parque (1417) Ciudad de Buenos Aires (No a otra dirección)

Extranjeros

Por MONEY GRAM a nombre de Mercedes Ester Trusso. J. B. Alberdi 1896 - Olivos - Prov. de Buenos Aires. Busque por Internet: www.moneygram.com la sucursal más cercana a su domicilio.

Pago en efectivo el día de la Inscripción (28 y 29 de septiembre).

FICHA DE INSCRIPCIÓN A LA VI CONFERENCIA ARGENTINA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA

(VI CAREM) (Use letra de imprenta y escriba su nombre tal como desea que figure en el certificado)

DATOS PERSONALES Nombre y Apellidos completos .......................................................................................... Tipo y N° de documento...................................................................................................... Dirección Postal................................................................................................................... Ciudad o Localidad.......................................................... Código Postal............................ Provincia o Estado........................................................... País............................................ Teléfono.................................................. Correo Electrónico............................................. AFILIACIÓN: (UNIVERSIDAD – INSTITUTO – LUGAR DE TRABAJO) Denominación...................................................................................................................... Dirección Postal................................................................................................................... Código Postal: .................................... Ciudad............................... País............................. Teléfono............................................... Correo Electrónico................................................ TIPO DE PARTICIPACIÓN EN LA VI CAREM Expositor Asistente Si es expositor indique la actividad ( ) Conferencista (C) ( ) Panelista (P) ( ) Taller (T) ( ) Grupo de Discusión (GD) ( ) Minicurso (M) ( ) Comunicación breve (CB) ( ) Poster (cartel) (PR) Si presente trabajos indique el tipo (use la abreviatura) y título del o de los mismos.

1. ................................................................................................................................. .................................................................................................................................

2. ................................................................................................................................. .................................................................................................................................

3. ................................................................................................................................. .................................................................................................................................

Materiales necesarios para la presentación (POR RAZONES DE ECONOMÍA LIMITESE A LOS NECESARIOS) ( ) Retroproyector ( ) Proyector diapositivas ( ) Video ( ) Computadora ( ) Otros (especifique) ........................................................................................................

Ana S.Martínez URUGUAY

EESSCCUUEELLAA DDEE IINNVVIIEERRNNOO EENN DDIIDDÁÁCCTTIICCAA DDEE LLAA MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA

SSEEGGUUNNDDOO AAVVIISSOO

1111 YY 1122 DDEE AAGGOOSSTTOO DDEE 22000066 SSAALLTTOO -- UURRUUGGUUAAYY

CCoolleeggiioo yy LLiicceeoo CCrraannddoonn-- SSaallttoo IInnssttiittuuttoo CCrraannddoonn-- MMoonntteevviiddeeoo

Estimados y estimadas colegas: Nos ponemos en contacto nuevamente con ustedes para invitarlos a participar de la primera Escuela de Invierno en Didáctica de la Matemática que estamos organizando junto con el Instituto Crandon - Montevideo y el Colegio y Liceo Crandon - Salto. Esta actividad se llevará a cabo el 11 y 12 de agosto y en esta oportunidad tendrá como sede el Colegio y Liceo Crandon-Salto. Les estamos enviando todas las novedades que tenemos a la fecha en relación con los conferencistas invitados, con los auspicios tramitados y con las posibilidades de alojamiento en la ciudad de Salto. Contamos ahora con un hotel auspiciante, el Hotel Los Cedros, ubicado en pleno centro de la ciudad de Salto y muy cerca de la sede del evento. Esperamos contar con su participación para compartir diferentes momentos junto a colegas, estudiantes e invitados extranjeros. Reciban un cordial saludo, Prof. Ana S. Martínez Mag. Cristina Ochoviet Coordinadora General Coordinadora Académica

SOBRE LA ESCUELA DE INVIERNO Y LA PRESENTACIÓN DE TRABAJOS

El objetivo de este espacio es reunir a docentes, estudiantes, formadores de docentes e investigadores en la enseñanza y aprendizaje de la matemática de todos los departamentos del Uruguay y de los países vecinos para estudiar algunos temas relacionados a la enseñanza y aprendizaje de la matemática.

La actividad estará organizada en base a conferencias plenarias con posterior sesión de discusión y preguntas por parte del público. Atendiendo la especificidad de la didáctica de la matemática en los diferentes niveles educativos, se realizarán en cada instancia dos conferencias en forma simultánea que abordarán problemáticas específicas del nivel primario o del nivel secundario. Los asistentes podrán participar en calidad de ponentes a través de la modalidad “Póster”. El Póster consiste en una presentación en soporte físico cuya extensión máxima será de 0.90 m por 1.20 m en el que los expositores podrán presentar experiencias de clase, materiales didácticos, experiencias institucionales, resultados de investigaciones o avances de investigaciones en proceso, experiencias de grupos de trabajo o reflexiones teóricas. La actividad de presentación de Póster, que suele ser muy atractiva por sus posibilidades visuales, permite que los asistentes se acerquen a los expositores abriendo diversos canales de interacción. Cada Póster será expuesto durante todo el evento. Se establecerá un horario en el que cada expositor presentará su trabajo al público y a un jurado que oportunamente será designado. Este jurado evaluará todos los trabajos para su premiación para lo cual tendrá en cuenta:

Presentación Contenido Originalidad Aportes

Todos los trabajos a ser expuestos en forma de Póster serán arbitrados. Para ello deberá enviarse un resumen del mismo a escueladeinvierno@adinet.com.uy respetando las siguientes especificaciones: Primer renglón: Título del trabajo Segundo renglón: Nombre de los autores Tercer renglón: Correo electrónico de contacto

Cuarto renglón: Nombre de la Institución Quinto renglón: Nivel Educativo A continuación un resumen describiendo el tipo de trabajo que se desea presentar, cuya extensión no supere una carilla A4, letra Arial, tamaño 12, espacio simple. Los resúmenes serán recibidos hasta el 15 de junio.

AUSPICIOS Ya fue concedido el auspicio del Consejo de Educación Técnico Profesional y los siguientes se encuentran en trámite: Consejo de Educación Primaria Consejo de Educación Secundaria Consejo Directivo Central

CONFERENCISTAS CONFIRMADOS A LA FECHA Dr. Ubiratan D´Ambrosio Doctor en Matemática. Pos-doctorado en la Brown University, USA, (1964-65). Es considerado el “padre” de la etnomatemática por los aportes fundamentales que ha realizado en esta área. Se desempeña o se ha desempeñado en las siguientes funciones: Presidente de la Sociedad Brasilera de Historia de la Matemática / SBHMat; Presidente de ISGEm / International Study Group on Ethnomathematics; Presidente del Instituto de Estudios de Futuro / IEF de San Pablo; investigador y miembro del Consejo Director de NACE-ATC (Núcleo de Apoyo a la Cultura y Extensión − Arte, Tecnología y Comunicación) de la Universidad de San Pablo; Miembro del Consejo Director del Institute for Information Technology in Education (IITE), de UNESCO, (1998-2002), entre otras. Dra. Patricia Sadovsky Profesora de matemática egresada del Instituto Superior de Profesorado Joaquín V. González y doctora en Didáctica de la Matemática de la Universidad de Buenos Aires. Ha sido docente e investigadora del Centro de Formación e Investigación en Enseñanza de las Ciencias de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA. Actualmente se desarrolla en el ámbito de la Secretaría de Educación del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, donde coordina tareas de investigación, capacitación de docentes y desarrollo curricular. Dra. Carmen Sessa Su vida profesional se desarrolló hasta el presente en el campo de la Matemática. Obtuvo su doctorado en esa disciplina en la Universidad de Buenos Aires y ha trabajado en docencia universitaria e investigación en matemática pura. El trabajo en formación y capacitación docente, en currículum de la escuela media, en dirección de maestrandos de distintas universidades de la Argentina, entre otros, completan su panorama profesional. La Dra. Carmen Sessa y la Dra. Patricia Sadovsky conjuntamente con Mabel Panizza conformaron, en 1991, un grupo de investigación en Didáctica del Álgebra Elemental. Desde entonces realizan importantes aportes al campo de la Didáctica de la Matemática.

LUGAR Y FECHA DE REALIZACIÓN

COSTOS DE INSCRIPCIÓN Y FORMA DE PAGO Hasta el 15 de junio $ 520 Hasta en dos cuotas Después del 15 de junio $ 620 Hasta en dos cuotas Estudiantes hasta el 15 de junio*

$ 380 Hasta en dos cuotas

Estudiantes después 15 de junio*

$ 520 Hasta en dos cuotas

* El cupo para los estudiantes es limitado por lo cual antes de realizar el depósito correspondiente a la inscripción deberán dirigirse a escueladeinvierno@adinet.com.uy solicitando la autorización. Se considerarán estudiantes aquellos que hayan rendido por lo menos un examen en el año 2005. El pago de la inscripción se realizará a través de la red ABITAB de todo el país en la cuenta de la empresa número 718. Todos los interesados en asistir a la Escuela de Invierno deberán completar y enviar la ficha de pre-inscripción que se adjunta al final de este documento.

ALOJAMIENTO EN LA CIUDAD DE SALTO HOTEL AUSPICIANTE: HOTEL LOS CEDROS

Colegio y Liceo Crandon-Salto Agraciada 1145 Salto – Uruguay

11 y 12 de agosto de 2006

TODOS LOS CUPOS SON LIMITADOS

Categoria 3 Estrellas: Ubicado en calle Uruguay nro. 637. Tel.(073) 33984/85 - Fax. (073) 34235. Cuenta con 70 habitaciones con baño privado (4 de ellas

suites), teléfono con DDI-DDN desde la habitación, TV color con Cable, frigobar, aire acondicionado, calefacción, cofre de seguridad, cafetería,

lavandería, sala de convenciones y eventos, garage privado con acceso directo al hotel. Servicio de Internet 24h, desayuno Buffet. hlcedros@adinet.com.uy

www.hotelloscedros.com Tarifas especiales para asistentes a la Escuela de Invierno

Precios en pesos uruguayos por persona base doble con desayuno buffet, garage e impuesto incluido:

Habitación simple $220 Habitación standard $300 Habitación superior $410 Habitación especial $660 Habitación triple standard $220 Apartamentos 4 o 5 personas standard $220

TERMAS POSADA SIGLO XIX Daymán, Salto. Telefax: (073) 69955 Precios especiales para asistentes al evento: 10% de descuento sobre las tarifas de ALTA temporada que son las que corresponden a la fecha del evento por tratarse de período de vacaciones en Argentina. E-mail: psxix01@adinet.com.uy Web: www.posadasigloxix.com.uy

Tarifario Dólares 2006 Habitaciones Posada ALTA Single 50 Doble 64 Triple 75 C/cama extra 86 Habitaciones hotel ALTA Single superior 65 Single 55 Doble superior 76 Doble 70 Triple 83 C/cama extra 95 Bungalows ALTA Dos personas 86 Tres personas 86 Cuatro personas 86 Cinco personas 100 Seis personas 115 Siete personas 133 Ocho personas 155

APART HOTEL GEMINIS Termas del Daymán-Salto Ubicado en las Termas del Daymán. Ofrecen un 15% de descuento sobre las tarifas de MEDIA a los asistentes al evento. Tel (073) 69816. E-mail: info@geminishotel.com.ar aparthotelgeminis@hotmail.com web: www.geminishotel.com.ar

Tarifas en dólares con desayuno incluido

Habitación para MEDIA 1 persona 24

2 personas 34 3 personas 43 4 personas 53 5 personas 60 6 personas 69 7 personas 79 8 personas 89

Comisión 10 % para agencias

ALOJAMIENTO DE LA IGLESIA METODISTA La Iglesia dispone de un dormitorio con 7 camas y otro con 8 camas. Queda a cuatro cuadras de la sede del evento y hay que hacer la reserva con tiempo a través del e-mail: escueladeinvierno@adinet.com.uy El precio por persona es de $100 y si son más de cinco sale $ 90 por persona. Este precio no incluye las sábanas. Pueden llevarse o de lo contrario pagar $50 más por día por ellas.

Por mayor información turística se puede consultar: www.salto.gub.uy FICHA DE PRE-INSCRIPCIÓN

Enviar por correo electrónico a escueladeinvierno@adinet.com.uy o por correo postal a José M. Montero 2951, Montevideo, CP 11300

Datos personales Apellido: _____________________

Nombre: _____________________

CI: ________________________

Domicilio:_____________________

Localidad: ____________________

E-mail: _______________________

Teléfono: (_____) ______________

Fax: (_____) __________________

Departamento:_________________

País: ________________________

Institución: ___________________

Actividad que desarrolla (marque con una X):

Formador de docentes

Maestro

Profesor de Matemática Investigador

Otros ______________________ Asistirá a las actividades (marque una sola con una X): Para enseñanza primaria Para enseñanza secundaria o media Importante: Para concretar la inscripción definitiva será necesario realizar el pago en la red ABITAB (número de empresa 718)

I REPEAM ARGENTINA

ENCUENTRO NACIONAL I REUNIÓN PAMPEANA

DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA

17-18-19 de Agosto de 2006

Organizada por

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PAMPA

Tercer Anuncio

COMITÉ ORGANIZADOR

Coordinadoras: Estela E. Rechimont

María E. Ascheri José Luis Aguado María C. Martín Pedro A. Willging Rubén A. Pizarro Nora Ferreyra Silvia S. Martínez Nora D. Andrada Estela Torroba Nydia Dal Bianco Nora Castro Gustavo Astudillo

OBJETIVOS DE LA REUNIÓN • Ofrecer un ámbito de comunicación, de debate y de reflexión para la comunidad de educadores e

investigadores en Educación Matemática. • Elaborar recomendaciones sobre temas de interés en el ámbito de la docencia, la investigación y la

transferencia integral de conocimientos en Educación Matemática. • Brindar elementos que contribuyan a fortalecer:

La actualización y perfeccionamiento de los profesores de Matemática. El impulso y desarrollo de las innovaciones relativas a la Didáctica de la Matemática y su

implementación en el aula. La investigación en Educación Matemática. La divulgación de la Matemática. La introducción en el aula de materiales y recursos (incluyendo TIC) para la enseñanza y el

aprendizaje de la Matemática. TEMAS PROPUESTOS Nuevas tecnologías y su efecto en la enseñanza-aprendizaje de la Matemática Didáctica de la Matemática Nuevas tendencias en Educación Matemática Resolución de problemas Educación Matemática en la formación de profesores Educación continua de los docentes en los distintos niveles Formación en línea como alternativa de capacitación profesional

NIVELES EDUCATIVOS Los niveles a tener en cuenta para la presentación de los trabajos, serán: Tercer Ciclo Educación General Básica Educación Polimodal (Nivel Medio) Educación de Adultos Educación Continua Educación Superior Postgrado

CATEGORÍAS DE TRABAJOS Trabajos de investigación Relatos de experiencias de enseñanza o capacitación. Propuestas didácticas Reflexiones generales

MODALIDADES DE LAS ACTIVIDADES A DESARROLLAR • CONFERENCIAS PLENARIAS

Se dictarán una por día, de aproximadamente una hora de duración cada una. Conferencistas Invitados: Dra. Carmen Sessa (Universidad Nacional de Buenos Aires) Dr. Darío Picco (Universidad Nacional de La Pampa) MSc. Gema Fioriti (Universidad Nacional de San Martín)

• TALLERES Se trabajará sobre el tema propuesto por un especialista invitado, en dos o tres sesiones. Modalidad: Trabajo participativo de los asistentes en las actividades propuestas, con la orientación del director del taller. Duración: entre 4 y 6 horas. Algunas propuestas a desarrollar: - Verónica Cambriglia, Valeria Borsani, Mara Cedrón y Cecilia Lamela (Universidad Nacional de

Buenos Aires): El trabajo algebraico en los primeros años de la escuela media. - Diana Giuliani y Silvia Segal (Universidad Nacional de Buenos Aires): Propuestas Didácticas

para la Enseñanza de la Matemática en los últimos años de la Escuela Secundaria.

- Ana María Mántica y Sara Scaglia (Universidad Nacional del Litoral): El tratamiento de la Geometría en EGB 3.

- Irma Saiz (Universidad Nacional del Nordeste): Título a confirmar.

- Pedro Willging (Universidad Nacional de La Pampa): Poniendo la Matemática en Línea.

• CURSOS Duración entre 4 y 6 horas. Se trabajará sobre un tema propuesto por un especialista (invitado por el Comité Organizador), con la participación activa de los asistentes, en dos o tres sesiones. Algunas propuestas a desarrollar: - Gema Fioriti (Universidad Nacional de San Martín): Diferentes entradas para el estudio de los

racionales en la escuela media. - María Inés Rodríguez y María Inés Herrera (Universidad Nacional de Río Cuarto): Estadística y

Probabilidad: Dificultades frecuentes en el significado y la comprensión de conceptos elementales.

- Liliana Siñeriz (Universidad Nacional del Comahue): Los Problemas de Regla y Compás: de

Euclides al mundo de la Resolución de Problemas. - Mónica Villarreal (Universidad Nacional de Córdoba): Metodología de la Investigación

Cualitativa en Educación Matemática.

• GRUPOS DE DISCUSIÓN Tendrán una duración de 4 horas, distribuidas en 2 horas por día. Dos o tres expositores (uno de los cuales actuará como coordinador), invitados por el Comité Organizador, disertarán durante la primera hora sobre el tema a debatir, exponiendo su particular punto de vista. La exposición personal será de 20 o de 30 minutos según intervengan dos o tres disertantes. Las horas siguientes se dedicarán a la discusión en grupos orientados por el coordinador. Cada grupo enunciará sus propias conclusiones dejando constancia de alguna intervención individual que considere de interés. La última hora se destinará a la lectura de las conclusiones grupales y al enunciado de las conclusiones finales. La conclusión final será leída en el Acto de Clausura.

Algunas propuestas a desarrollar: - Marcela C. Chiarani y María M. Lucero (Universidad Nacional de San Luis): Nuevas Tecnologías

y Cambios en la Educación. - Silvia Etchegaray (Universidad Nacional de Río Cuarto) y Graciela Di Franco (Universidad Nacional

de La Pampa): Formación de Profesores en Matemática. - Ana María Mántica y Sara Scaglia (Universidad Nacional del Litoral): Criterios de Calidad en la

Investigación en Educación Matemática. - Liliana M. Tauber (Universidad Nacional del Litoral), María Inés Rodríguez (Universidad Nacional

de Río Cuarto) y Hector Agnelli (Universidad Nacional de Río Cuarto): Relevancia de la Educación en Probabilidad y Estadística en los Programas de Formación de los Profesores de Matemática.

• COMUNICACIONES BREVES

Cada ponente expondrá oralmente su trabajo o artículo, aprobado por el Comité Académico, durante quince (15) minutos y a continuación se destinarán cinco (5) minutos para preguntas de los asistentes. Un moderador coordinará las actividades.

• POSTERS Se expondrán en murales los resúmenes de artículos o trabajos aprobados por el Comité Académico. Los autores explicarán su trabajo al público en un tiempo no superior a cinco (5) minutos. Un moderador coordinará las actividades.

SEDE Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad Nacional de La Pampa Uruguay 151- (6300) Santa Rosa- La Pampa TE: (02954-425166) Fax: (02954-32535) INFORMES I REPEM Sitio web: http://online.exactas.unlpam.edu.ar/repem/index.htm Correo electrónico: repem@exactas.unlpam.edu.ar repem06@yahoo.com.ar

* El logotipo ha sido diseñado por Lic. Gabriela Hernández de la Secretaría de Cultura y Extensión de la U.N.L.Pam., y se basa en los diseños geométricos característicos del folklore pampeano (guardas pampas y signos geométricos aborígenes). Los colores son los más utilizados para estos tipos de diseños. Las formas de flechas que confluyen en un punto, hacen referencia a la acción de reunirse en un centro, ubicación que tiene nuestra provincia en el mapa argentino.

CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES HORA

JUEVES 17 / 08

VIERNES 18/ 08

SÁBADO 19 / 08

9 a

10:30

ACREDITACIÓN

COMUNICACIONES CURSOS - TALLERES

C a f é C a f é 10:45 a 11:30 ACTO DE APERTURA

COMUNICACIONES 11:30

a 12.30

CONFERENCIA INNAUGURAL

CURSOS – TALLERES 12 hs.

CONFERENCIA DE CIERRE 12:30

a 14 L I B R E (almuerzo) L I B R E (almuerzo)

14 a

16:30 COMUNICACIONES COMUNICACIONES

C a f é C a f é

16:45 a

18:45 CURSOS - TALLERES GRUPOS

DISCUSIÓN POSTERS

CONFERENCIA

PLENARIA

18:45 a

20:45

GRUPOS DE DISCUSIÓN

L i b r e

21:30 hs. CENA DE CAMARADERÍA

Santa Rosa, mayo de 2006 Leonel Morales GUATEMALA

MATEMÁTICA MAYA CAPÍTULO 3 LOS MAYAS UNA SOCIEDAD DE ETNOMATEMÁTICOS.

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CAPITULO 3

LOS MAYAS UNA SOCIEDAD DE ETNOMATEMATICOS

Los Niños María y José, fueron a buscar a la Abuela Delfina, quien tenía mucha experiencia en curar a las personas y era la comadrona del lugar. La Abuela Delfina les dice: �Es imposible quedar ajeno de la cultura Maya y el conocimiento de sus descubrimientos especialmente en las Matemáticas y en la Astronomía. Ahora lo interesante es descubrir los objetivos de sus adelantos científicos, generalmente con el propósito de planificar la preparación de las tierras a ser cultivadas y la época del año en que se deben hacer los cultivos. Regresaron a la escuela muy entusiasmado por todo lo que habían aprendido y el maestro les dice: �Las investigaciones bibliográficas han llevado a descubrir lo que se puede llamar el currículo de estudio de los niños mayas. A través del estudio del calendario maya, se llega a la conclusión de la existencia, uso y manejo de los números racionales.� Reuniendo todo lo aprendido, por las pláticas con la Abuela Delfina y con el guía espiritual (Don Pablo) y por último con su maestro, prepararon un documento que incluye diferentes conocimientos de los Mayas. 3.1 ETNOMATEMATICA

Se busca una definición de la Matemática desarrollada por los pueblos Mayas. Distintos pueblos han desarrollado distintas definiciones de Matemática y distintos tipos de matemática; por ejemplo los pueblos Mayas, en mesoamérica, desarrollaron un sistema de numeración que dejaron esculpido en las estelas y grabado en los códices; los pueblos Incas en América del sur, tenían una numeración basada en nudos hechos en cuerdas, con representación de cantidades y fechas. Por otro lado, se tiene la época de oro de Grecia, con un desarrollo de la geometría y muy poco uso del álgebra, la cual se desarrolla en la India. También se conoce el imperio Romano con una matemática dedicada a la construcción civil, control y administración de los pueblos conquistados.

�La definición de matemática cambia. Cada generación y cada matemático serio, en una generación dada, formulan una definición de acuerdo con su entendimiento.� (Davis, 1986, pag. 33),

DIGEBI. MINISTERIO DE EDUCACI�ON CONSULTORÍA DE ETNOMATEMÁTICA Dr. Leonel Morales Aldana.

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Podemos agregar al comentario de Davis, el hecho que cada sociedad tiene una definición de la matemática que utiliza y produce; no es sólo la generación y el individuo, sino que también la colectividad, la función que la matemática desarrolla en esta sociedad es lo que determina su definición. Se reconoce que matemática es mucho más que contar y medir, también se deben aceptar otras formas (no académicas) del hacer y del pensar matemático. No académica porque ella está necesitando de una nueva epistemología. Define D�Ambrosio: �Etnomatemática es el arte o técnica de explicar y conocer�. (D�Ambrosio, 1987). �Etnomatemática, como un programa de Investigación es un programa Pedagógico, una identificación y búsqueda de los factores externos que influyen en el comportamiento.� (D�Ambrosio, 1987). Programa que lleva el reconocimiento tácito de que el aprendizaje no es un proceso de transmisión de una vía, de profesor a estudiante, y sí como resultado de la interacción con su medio social y natural (El profesor es una componente de su medio social)(D�Ambrosio, 1990, pag. 4). Se pretende demostrar que la matemática y la ciencia desarrollada por los pueblos Mayas, corresponde en forma casi exacta a lo que se considera como ETNOMATEMATICA, definida por el profesor D�Ambrosio. 3.2 LOS MAYAS QUICHES Y SU HERENCIA CIENTÍFICA

El propósito es descubrir conocimientos científicos de los Mayas Quichés, extrapolar hacia el pasado, para establecer los conocimientos científicos de los Mayas. Se consideran Mayas Quichés a los pobladores de la Meseta Central de la República de Guatemala. La búsqueda se realiza a través de los libros publicados por los indígenas, que probablemente fueron instruidos en las escuelas de los hijos de los caciques (instaladas por los conquistadores por orden de los reyes de España) y conociendo el alfabeto latino escribieron estos libros en sus lenguas nativas; ejemplos de estos libros son: �MEMORIAL DE SOLOLA escrito por Francisco Hernández Hábila (1514) que era hijo del príncipe Achí Balam que a su vez era hijo del rey HUNIP y la reina Chuizut� (Gavarrete, 1980, pag. 15), más adelante Gavarrete nos relata que dicho libro lo encontró en el archivo del convento de San Francisco de la Ciudad de Guatemala en el año de 1845 (pag. 16) (el libro de Gavarrete, aunque fue publicado en 1980, fue escrito en el siglo pasado). Otro libro muy importante es el POPOL VUH (Libro Universal de la Renovación del tiempo), en este libro encontramos una gran riqueza de conocimientos científicos. También existieron libros (ignoro por el momento si aun existen) que enseñaban la gramática de los pueblos Mayas Quichés, como ejemplo tenemos: �R. P.Fr. Marcos de Santa María Martínez... supo con perfección el idioma Quiché del que escribió una gramática, que se creía ser la mejor de todas, según se lo afirmaron a Remesal los PP. Franciscanos de Totonicapán� (Gavarrete, 1980, pag. 36). Los descendientes de los Mayas en Yucatán (México) nos heredaron el libro CHILAM BALAM DE CHUMAYEL (Mediz, 1941) que también nos aporta datos muy importantes.

MATEMÁTICA MAYA CAPÍTULO 3 LOS MAYAS UNA SOCIEDAD DE ETNOMATEMÁTICOS.

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3.2.1 POPOL VUH

Se trabaja con la versión Traducida por Carlos Rolando de León Valdés y Francisco López Perén, que es una publicación bilingüe y organizada por versículos, al hacer las referencias se indicará el versículo utilizado. El versículo 209 dice: �Solamente diremos la mitad de su historia, porque la otra mitad permanece en oculto...� se verde claramente que el uso del término �MITAD� no es casual y que corresponde exactamente a la división de una unidad en dos partes iguales, surge entonces la duda y el resto de las fracciones, existen nombres para ellas?. Con la ayuda de personas conocedores de los idiomas Mayas Quichés se encontró, que en el idioma Kaqchikel, que ½ (mitad) se dice nika�j preguntando por las otras fracciones, me indican que ¼ es NIKA�J CHIN NIKA�J, que significa mitad de la mitad. Inmediatamente se recuerda que los Egipcios solo tenían fracciones de la forma 1/n y el 2/3 y con ellas deducían todas las demás, siguiendo esta lógica se puede concluir que los Mayas Quichés conocían y utilizaban las fracciones y que las nombran en forma recursiva, utilizando potencias de ½. Al estudiar el libro �MATEMÁTICA MAYA CAKCHIQUEL cuarto Grado, publicado por la Dirección de Educación bilingüe ( libro de texto de los estudiantes de lengua Cakchiquel del cuarto año de la escuela elemental) se encuentra que en la lengua hablada y escrita, los números cardinales y los ordinales son de base 20 (de todos es conocido que los Mayas utilizaban un sistema de numeración de base 20), por ejemplo: 54 se nombra 2 veces 10 y 14, cosa semejante sucede con los números ordinales. Otros versículos del Popol Vuh que nos hablan de fracciones son: 362 ... Y al filo de la media noche, cuando todos estaban reunidos, empezaron a hablar a gritos todos al unísono ..., 760 ... junto con sus esposas y sus hijos, cada uno en su fracción cuadrangular... ¿Ha pensado Usted porque contamos hasta tres cuando se quiere realizar algo?, ¿porqué el número 3?, pues bien los Mayas Quichés contaban hasta 4, veamos algunos ejemplos: Versículo 338 �... solamente 4 veces os haremos la prueba, así pues, ya solamente tres oportunidades nos quedan.�, Versículo 472 � Al cuarto día cuando el Sol iluminó con su santo rostro de luz...� Versículo 545 �Sucedió que 4 animales iban a traer su alimento allá en Pan Paxil y Pan Cayalá,...� Versículo 549 � ...aquellos nuestros cuatro primeros padres son las cuatro primeras gentes hechas y formadas con el santo alimento del maíz...� Versículo 550 �Estos seres son dueños de los elementos fuego, tierra, aire, agua� Versículo 559 �... los cuatro rincones de los cuatro puntos cardinales� Versículo 571 �... cuatro tribus que se originaron allá donde sale el sol... �.

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¿Descubrió ya porqué contamos hasta 3?, claro tenemos una religión basada en la trinidad mientras que ellos tenían una religión basada en los 4 elementos: fuego, tierra, aire y agua. Es claro el uso de los números ordinales (versículos 409 al 415) incluso del uso de primero y último en el sentido de números ordinales (ver. 540, 549) y de cómo alguno de ellos tenían género, por ejemplo primero y primera (ver. 549). Versículo 409 �... Recostado estaba allí el primer muñeco espantajo, hecho de palo, este era el primer personaje... En seguida Xan picó al segundo personaje sentado, éste tampoco dijo nada.� Versículo 410 �Entonces el zancudo picó al tercero y este tercer personaje sentado era Hun Camé. ...¿Qué os pasó Hun Camé? �le preguntó el cuarto sentado. ...Luego fue picado el quinto sentado.� Continuan los ordinales del primero al decimocuarto que encontramos en el Versículo 415 � ... -¡Ay!- exclamó el decimocuarto sentado. ...� Versículo 549 �...Nuestra primera madre y nuestro primer padre, ...� Versículo 540 � ... el último ensayo de la creación de los dioses, reyes de la naturaleza...� La estructura del calendario parece ser la misma de los Mayas, pues nos hablan de 18 meses ( ver. 848) y de 20 días (ver. 854). Versículo 848 �... De los nuevos padres y madres; Vajxalajuh: Los diez y ocho (meses del año maya)...� Versículo 854 �... Los veinte reyes regentes(de los veinte días del mes maya)...� Para fortalecer esta conclusión se cita de nuevo a Gavarrete (1980) que en la página 11 cuando da algunas fechas de los Quichés, lo hace al estilo de los Mayas � 11 Ah � (pag. 11). Para concluir con los datos de tipo matemático, tenemos que en el versículo 651 hablan que en línea recta colocaron... y en el versículo 210 hablan de la esfera. Versículo 651 �En línea recta colocaron a sus dioses, siendo el primero y el más alto el dios Hacavitz,...� Versículo 210 �... Ixpíyacoc: El espíritu engendrador de vida que viene de la vacuidad de la esfera, del espacio vació del Universo. ...� Su conocimiento científico tenía que ver mucho con su desarrollo económico social y el currículo de lo que hoy podría ser la escuela elemental, sería catalogado como HUMANISTA, ¿Cómo entonces justificar sus sorprendentes conocimientos científicos?,

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Más adelante cuando se den los datos obtenidos del libro de Chilam Balam de Chumayel, se plantearán las conclusiones; ahora regresemos al vitae de la escuela elemental, encontramos marcadas como tareas para los niños (ver. 237): �Vosotros os ocuparéis en tocar la flauta, cantar, escribir, pintar, esculpir ...�. ¿Dónde aprendían a construir?, ¿Dónde aprendían matemática y astronomía?, recordemos que ya nos hablaban de 9 planetas (ver. 822) y nos intentaban explicar la caída de cometas (ver. 778). Versículo 822 �... Nueve reyes regentes de los Nijaibab: Los planetas, depósitos de energía vital. ...� Versículo 778 �... El cometa surcando el cielo con gran poder y gloria marcando el tiempo del fin de nuestra era. ...� ¿Y los niños no hacían deportes?, los versículos 230, 368, 478 y otros muchos nos relatan de los implementos deportivos, de la tan vieja costumbre de dar a las personalidades distinguidas el saque de honor, y también nos indican el fin trágico de los perdedores en el juego de pelota. Por lo tanto, se concluye que no era una actividad para niños. Versículo 230 �Que traigan consigo todos sus implementos que usan, tales como los herrajes de cintura, los guantes y que también traigan su pelota de hule... � Versículo 368 �... allí se encuentran sus herrajes de la cintura, sus guantes de cuero y la pelota propia de ellos; sin embargo, vuestra abuela no os los ha querido mostrar a vosotros, porque por causa de esos implementos de juego murieron vuestros padres. � Versículo 478 �He aquí que el rey de Xibalbá hizo el saque, tirando la pelota, entonces Ixbalanqué salió al encuentro, y la recibió con el herraje de su cintura, dándole un golpe de rebote, que sacó la pelota fuera de la cancha de juego. ...� Otros conocimientos científicos que apoyan la conclusión de su amplia vocación etonomatemática son: Versículo 210 �... Ixpíyacoc: El espíritu engendrador de vida que viene de la vacuidad de la esfera, del espacio vacío del Universo. ...� La descripción de la fauna que los rodeaba (Ver. 357, 670, 511, 231). Versículo 357 �... los leones, los tigres, los venados �agua es el solvente básico de la sangre� Versículo 670 �Entonces rugieron los leones, bufaron los tigres, pero el primero que cantó saludando al Sol fue el pájaro llamado Quetzal... y batieron aleteando sus alas, las águilas: Coc, los halcones quebrantahuesos: Zac Cuch, los pequeños pájaros y los grandes pájaros.� Versículo 231 �He aquí, que los mensajeros de Xilbalbá son tecolotes...�

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Fisiología del cuerpo humano: �Agua es el solvente básico de la sangre, esta es la sangre del hombre...�(versículo 546). También se encuentra la descripción de algunas enfermedades del versículo 221 al 225. En los versículos 237 y 801 se encuentra información de la construcción de sus casas y los materiales utilizados. En el versículo 644, se encuentra información acerca del origen del hombre americano �nunca se supo como hicieron ellos para atravesar el mar...� . 3.2.2 CHILAM BALAM DE CHUMAYEL Este libro narra la historia de los Itzaes (Mayas habitantes de lo que hoy es Yucatán y parte del Petén), casi al inicio del libro se encuentran datos muy importantes por ejemplo: �llegaron a T�Cooh, allí compraron palabras a precio caro, allí compraron conocimientos. ...Llegaron a Tikal, allí se encerraron... Y fueron a Balam-Kin, la tierra de los Sacerdotes�(pag. 4). �Allí en antiguo tiempo el padre Xul meció su hamaca y se comenzó a levantar la casa alta para los señores y se comenzó a construir la escalera de piedra�(pag. 11). �Hace veinte katunes y quince katunes más de que las pirámides fueron construidas por los herejes. Grandes hombres fueron los que las hicieron. Y los restos de su linaje se fueron. Cartaban es el nombre de la tierra en donde ahora están (Cajabon en Guatemala). Allí estaban cuando llegó San Bernabé( día de San Bernabé en que terminó la conquista de Mérida) y enseñó que debían matarlos porque eran hombres herejes� (pag. 21). Recordemos que el padre Landa consideraba como obra del diablo, los templos, la escritura, el calendario y toda la cultura Maya. Vemos que la distribución del trabajo no estaba dividida entre los elementos de una sola Ciudad, hablan de especialistas en construcción de pirámides, también de la ciudad de sacerdotes, esto nos lleva a la conclusión de un gobierno del tipo federal, con estados o ciudades especializadas en determinados servicios (probablemente sin ejército organizado y por eso su fácil conquista por los aztecas), o también podría ser una distribución parecida a la que se nos relata del Pueblo de Israel, organizada por tribus y los sacerdotes localizados en algunas ciudades. También esto explica la configuración del currículo básico de tipo humanista. Probablemente la ciudad de los Sacerdotes era más que todo una Universidad, donde se desarrollaban los estudios superiores (llegaron y compraron palabras, indica el principio de la cita). Vea como ellos explican su decadencia y tomemos para nosotros la observación: �No había ya buenos sacerdotes que nos enseñaran... Y es también la causa de nuestra muerte. No teníamos buenos sacerdotes, no teníamos sabiduría, y al fin se perdió el valor y la vergüenza. Y todos fueron iguales. ¡Castrar al Sol!, eso vinieron a hacer aquí los extranjero� ( pag. 26). El sacerdote además de su oficio religioso era el maestro encargado de trasmitir los conocimientos de cultivar los principios morales y cívicos, Morley (1985) agrega que también eran consejeros de estado. Pero se acabaron los maestros y eso fue la ruina total. En su que hacer Etnomatemático vemos la forma simpática y amena en que describen datos científicos para el pueblo: �Marcha del Sol. Coge para caminar una verdadera JICARA alargada y entra a ella por la parte más grande� (pag. 32), describiendo

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la órbita solar y en que parte se iniciaba el año. En la página 142 hacen una descripción de algunas enfermedades y de la medicina apropiada para adultos y para niños. En la página 142 se verde más claro el propósito de sus investigaciones: �Estoy en 18 de Agosto de este año de 1766 hubo tormenta de viento. Escribió su memoria para que se pueda ver cuántos años después va a haber otra�, de todos es conocido la frecuencia de los huracanes y tormentas tropicales en la región del golfo de México y del mar Caribe, su ciencia descriptiva tenía el propósito de narrar los sucesos para que generaciones futuras pudiesen encontrar alguna periodicidad en dichas tormentas. Este libro tiene otra gran cantidad de datos que señalan actos poco humanos de los conquistadores para con los pueblos Mayas. 3.3 LOS MAYAS Y LOS NUMEROS RACIONALES Al investigar el uso de los números racionales por los Pueblos Mayas se encuentra: �Así, llegaron a la conclusión de que el año solar cuenta en verdad de 365.242000 días, resultado ciertamente más preciso que el de nuestro calendario gregoriano. Los cálculos más recientes dan de hecho 365.242198 días para el verdadero año solar, ahora el año gregoriano es de 365.242500 días, lo que da un error de 3.02/10000 y apenas 1.98/10000 para el año maya� (Ifrah, 1985, pag. 249). Pero ¿cómo era posible tal exactitud? Si su sistema de numeración no deja registrado ( o descubierto hasta el momento) la utilización de casillas que representen cantidades menores que la unidad (en nuestro sistema llamadas posiciones decimales o sea a la derecha del punto decimal). Considero que la siguiente nota da una idea de cómo representaban las fracciones: �Año Lunar Maya: 149 meses lunares equivalen a 4400 días que da 29.53020 días por mes lunar. Después en Palenque llegan a 29.53086 días para un mes lunar (mes lunar hoy 29.53059 días)� (Ifrah, 1985, pag. 249). Es claro utilizaban una notación de RAZON, ante la imposibilidad de expresar una unidad de alguna medida en números enteros, expresaban cuántos de esta unidad daban un entero de la otra unidad. En los pueblos Mayas Quichés, aun el día de hoy, se encuentran precios expresados en RAZONES, no es difícil encontrar en el mercado artículos a dos por tres o a cuatro por cinco. Otra prueba del carácter ETNOMATEMATICO DE LA CULTURA MAYA. La cita Morley: �Hay prueba tanto arqueológica como documental, que demuestra que el día en que debían quemarse los campos para la siembra del maíz era escogido por los sacerdotes con mucho cuidado. Por ejemplo, en Copán, hay dos monolitos, las estelas 10 y 12, que se levantaban en dos cadenas de cerros que rodean los extremos occidental y oriental del valle de Copán en este punto. Estos monumentos distan el uno del otro 6 ½ kilómetros, en línea recta, ... Observándolo desde la estela 12 se puede ver que el sol se pone directamente detrás de la estela 10, el 12 de abril y el 7 de septiembre. Se ha sugerido que como el 12 de abril cae precisamente hacia la época en que se queman los campos en la región de Copán, esa era la fecha escogida por los sacerdotes para dar principio a la quema de los campos. El objeto de erigir los monolitos en estas dos posiciones puede ser el de usarlos para dirigir cierta visual a fin de determinar la fecha en que debían quemarse los campos de maíz� (Morley, 1968, pag. 146-147). Encontramos en este referencia, como los sacerdotes utilizaban la geometría y sus conocimientos astronómicos, tanto como sus habilidades de escultores, para determinar la fecha exacta de

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la quema de los campos y así llevar al pueblo su conocimiento para que fuera aplicado en la solución de los problemas de al comunidad, en este caso, la siembra y la preparación de la tierra. 3.4 BIBLIOGRAFIA -D�Ambrosio, U. , �ETNOMATEMATICA: RAIZES SOCIO-Culturales da Arte ou técnica de explicar e conhecer�, Campinas, UNICAMP, 1987. -D�Ambrosio, U., �ETHNOMATHEMATICS: THE MATHEMATICS OF CULTURE�, Conferencia, próxima a publicarse. -Davis, P. J. y R. Hersh, �A EXPERIENCIA MATEMATICA, Rio de Janeiro, F. Alves, 1986. -Ifrah, Georges, �OS NUMEROS A HISTORIA DE UMA GRANDE INVENCAO�, S. Paulo, Editora Globo, 1985. -Gavarrete Escobar, Juan, �ANALES PARA LA HISTORIA DE GUATEMALA (1497 � 1811)�. Guatemala, Editorial José de Pineda Ibarra, 1980. -de León V., Carlos y F. López P., �POPOL VUH, Libro Nacional de Guatemala�, Guatemala, CENALTEX ministerio de Educación, 1985. -Mediz B., Antonio, �CHILAM BALAM DE CHUMAYEL�, México, Ediciones de la Universidad Nacional Autónoma de México, 1941. -Morley, Sylvanus G., �LA CIVILIZACION MAYA�, México, Fondo de cultura Económica, 1968.