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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE INGENIERÍA Departamento de Ingeniería Mecánica INGENIERÍA CIVIL EN MECÁNICA PLAN 2002 GUÍA DE LABORATORIO ASIGNATURA “ RESISTENCIA DE MATERIALES II ” NIVEL 06 EXPERIENCIA C-972 “ VERIFICACION DE LA ECUACION DE TRES MOMENTOS EN VIGAS HIPERESTÁTICAS” 1

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Departamento de Ingeniería Mecánica

INGENIERÍA CIVIL EN MECÁNICA

PLAN 2002

GUÍA DE LABORATORIO

ASIGNATURA “ RESISTENCIA DE MATERIALES II ”

NIVEL 06

EXPERIENCIA C-972

“ VERIFICACION DE LA ECUACION DE TRES MOMENTOS EN VIGAS HIPERESTÁTICAS”

HORARIO: VIERNES 13-14-15-16

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VERIFICACION DE LA ECUACION DE TRES MOMENTOS EN VIGAS HIPERESTÁTICAS

1) Objetivo General

En una viga hiperestática (con tres apoyos) sometida a flexión, determinar experimentalmente las fuerzas de reacción en los apoyos, y comparar con los valores teóricos determinados a través de la ecuación de 3 momentos.

2) Objetivos Específicos

a. Analizar una viga hiperestática de 3 apoyos aplicando diversas caras en los 2 tramos y determinar las reacciones en los apoyos mediante las ecuaciones de equilibrio estático y la ecuación de 3 momentos.

b. Medir las reacciones en los 3 poyos, mediante 3 transductores ubicados en un marco de carga.

c. Comparar y analizar los resultados experimentales con los resultados teóricos.

3. Introducción Teórica

3.1 Forma generalizada de la ecuación de los tres momentos:

En la figura 3.1a se representa parte de una viga sometida a una carga cualquiera y soportada de forma arbitraria. Cortemos la viga por tres puntos cualquiera 1,2 y 3 y sustituyamos el efecto de las cargas y fuerzas a la derecha o a la izquierda de cada sección de corte por la fuerza cortante y el momento flector (Sec.4-3). En la figura 3-1b se representan los diagramas del sólido aislado correspondientes a los tramos o segmentos de viga entre las secciones 1 y 2 y entre las 2 y 3 que, en adelante, se llamarán tramo 1 y tramo 2, respectivamente. Las longitudes de los tramos son L1 y L2 y los momentos flectores en 1,2 y 3 son M1, M2 y M3, que, según la Sec.4-3 y tal como están dibujados, son los tres positivos, de donde el sentido de las flechas es el indicado (horario a la izquierda y antihorario a la derecha del tramo).

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Fig. 3.1 Carga general en una viga cualquiera

Fig. 3.2 Análisis del estado inicial de carga: (a) Las cargas sobre una viga simplemente apoyada.

(b) Estado de cargas producido por los momentos de continuidad en la misma viga (a). (c) Diagrama de momentos del estado de cargas 8ª).(d) Diagrama de momentos del estado de crgas (b).

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Las fuerzas cortantes en estos puntos son V1, V2 8justo a la izquierda del punto 2), V2 (justo a la derecha del punto 2) y V-3 8justo a la izquierda del punto 3) las fuerzas V-2 y V2 no tienen que ser iguales en general, pues depende naturalmente de lo que haya en el punto 2. De acuerdo con la Sec.4-3, y puesto que en un extremo izquierdo se ha de poner la fuerza cortante real y en el derecho la resistente, tal como están dibujadas las flechas, V1, y V2 son fuerzas cortantes positivas, mientras que V-2 y V-3 son fuerzas cortantes negativas.

El procedimiento estudiado en la Sec 7-5 proporciona el medio de transformar cada uno de estos tramos en una viga simplemente apoyada con dos estados de carga; por un lado la carga real del tramo y por otro los pares aplicados en sus extremos. En la figura 8-2ª y 8.2b se representan estos dos estados de carga, para los dos tramos, cuya superposición reproduce el estado supuesto en los diagramas del sólido aislado de la figura 8-1b. Las fuerzas cortantes en los extremos de cada tramo serán, para el extremo izquierdo, igual a la suma de las reacciones de los dos estados, y para el extremo igual numéricamente, pero de signo contrario.

Fig. 3-3 Elástica de una viga cualquiera.

Las reacciones del primer estado (cargas reales sobre el vano, considerado apoyo) se calculan por las ecuaciones del equilibrio estático, y lo mismo para las de segundo, que forman un par de reacciones iguales y opuestas R` que equilibran al par M1-M2, por ejemplo.

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En estas condiciones, el diagrama de momentos flectores en cada tramo de la viga se resuelve por partes en el diagrama que producen las cargas existentes sobre el tramo, supuesto que el tramo estuviera simplemente apoyado en sus extremos, más el diagrama trapezoidal producido por los pares aplicados en los extremos de la misma viga, tal como se indica perfectamente en las figuras 3-2c y 3-2d.

En la figura 3-3 aparece representada la elástica de la viga, sumamente exagerada, para ver con más claridad las relaciones geométricas que se van a utilizar. Obsérvese que los puntos 1,2 y 3 están precisamente en la elástica.

La tangente trazada a la elástica en el punto 2 determina las desviaciones tangenciales t1/2 y t3/2 de los puntos 1 y 3 respectivamente, y la recta trazada por 2 paralela a la posición inicial de la viga, que por conveniencia se supone horizontal, determina la altura de los puntos 1 y 3 respecto del 2, alturas que son h1 y h3. Los dos triángulos rayados en la figura tienen por bases L1 y L2 y por alturas (h1 – t1/2) y (T3/2 – h3) y, por ser semejantes, se verifica:

Es decir,

Los valores de las desviaciones tangenciales vienen dadas por:

y

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Siendo el momento del área del diagrama de momentos flectores entre los puntos 1 y 2 respecto del punto 1. Como se estableció previamente, el diagrama de momentos flectores se había descompuesto en el área A1 (Fig. 3-2c) y las dos áreas triangulares en que se descompone el área trapezoidal producida por los dos extremos (Figura 3-2d). Lo mismo pasa con , que es el momento del área de momentos entre los puntos 2 y 3 respecto del punto 3, y que se descompone de forma similar.

En estas condiciones ya se puede expresar el valor de la desviación del punto 1 respecto de la tangente en 2; viene dada por:

(b)

Y la desviación tangencial de 3 respecto de la misma tangente en 2,

(c)

Sustituyendo estos valores en la ecuación (a) y simplificando,

(3-1)

Esta ecuación expresa una relación general entre los momentos flectores en tres puntos cualesquiera de la viga, razón por la cual se llama ecuación de los tres momentos.

Si los puntos 1,2 y 3 están al mismo nivel en la viga flexada, las alturas h1 y h3 de la figura 8-3 se anulan, y lo mismo ocurre en el segundo miembro de la ecuación (3-1). Esta suele ser la condición normal de aplicación de la ecuación de los tres momentos a la determinación de los momentos de continuidad. Los tres puntos que se escogen para aplicar la ecuación a una viga continua son tres apoyos, que se suelen suponer rígidos o situados a la misma altura, y entonces mediante la ecuación se determinan los momentos en los apoyos.

Si se quiere aplicar la ecuación de los tres momentos para calcular las ordenadas de la elástica, se consideran dos de los puntos sobre dos apoyos y el tercero en el punto donde se quiere hallar la ordenada. En este caso,

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evidentemente, es necesario calcular de antemano los valores de los momentos en los tres puntos. En la Sec. 8-7 se verá con más detalle esta forma de aplicación de la ecuación de los tres momentos.

3.2 Regla de signos

En la deducción de la ecuación (8-1) se ha hecho la hipótesis de que los momentos flectores en los tres puntos son positivos y que los puntos 1 y 3 estaban situados por encima del punto 2. Si el momento flector en cualquiera de los puntos es negativo habrá que considerarlo con signo menos al sustituir su valor en la ecuación. Recíprocamente, si al resolver la ecuación sale un valor negativo para cualquiera de los momentos, es que en realidad es negativo. Las alturas h1 y h3 son positivas si los puntos 1 y 3 quedan por encima del 2, y son negativos, o se obtendrán con signo menos, si el punto 1 o el 3 está por debajo del punto 2.

2. Método a seguir

3. Conexión del equipo electrónico

4. Temas de interrogación

5. Equipos e instrumentos a utilizar

6. Lo que se pide en el informe

Bibliografía.

Ortiz Berrocal “Elasticidad”

Hibbeler “Mecánica de Materiales”

Singer y Pittel “Resistencia de Materiales”

Beer y Johnston “Mecánica de Materiales”

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