c al variacional
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Victor Daniel Rojas Cerna Matemática III
1
INTRODUCCION AL CALCULO VARIACIONAL.
Siempre hemos tenido tres problemas clásicos en el cálculo de variaciones.
Problema Geodésico.
El problema consiste en encontrar una función ( ), ,y y x x a b , de manera que la longitud de
la curva grafica de dicha función sea mínima.
Es decir abría que encontrar el valor mínimo de la funcional:
2( ) 1 ( )
b
a
J y x y dx
Así tendremos que la curva debe pasar por , ( ) , ( )a y a y b y b por tanto no hay un valor máximo
para dicha funcional.
Problema de la superficie de área mínima.
El problema consiste en encontrar una curva ( )y y x cuya grafica al rotarla alrededor del eje x, ser
obtiene una solido cuya área de su superficie sea mínima.
Lo cual significara minimizar la funcional 2( ) 2 1 ( )
b
a
J y x y y dx determine un sólido de
revolución de área de su superficie mínima.
Problema isoperimétrico.
Consiste en encontrar una curva simple cerrada de longitud dada L , de manera que encierre una
región de área máxima.
A
B
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Para lo cual tendremos que maximizar la funcional
1 , ( ), ( ) / 0,2
b
a
J f xy yx dt f x t y t t T pero condicionado a que
2 2
0
T
L x y dt
Conceptos de Análisis Funcional
Consideremos el espacio vectorial de las funciones que cumplan alguna condición como el espacio
vectorial de todas las funciones integrables en ,a b .
: / int ,V f R f egrable en a b
: / ,W f R f continua en a b
Una functional es una función de un espacio vectorial en R . Así tendremos las siguientes
funcionales.
: , ( ) 1
b
y
a
J V R J y y x e dx
: , ( )2
a bW R f f
Ambas son funcionales.
Funcionales lineales.
Diremos que la funcional : ,J V R es lineal si cumple la siguiente condición de linealidad:
, , :f g V c d R J af bg aJ f bJ g
Ejemplos.
1. Con V definido anteriormente, : , ( ) 1
b
a
J V R J y y x y dx es una funcional lineal.
L
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2. Con W definido anteriormente, : , ( )2
a bW R f f es una funcional lineal.
Valores extremos de funcionales.
Sea la funcional : ,W R diremos que alcanza un valor máximo en h V si se
cumple:
: ( ) ( )g V g h
Diremos que alcanza un valor máximo en h V si se cumple:
: ( ) ( )g V g h .
Ejemplos .
I) Encontrar los valores extrémales para las siguientes funcionales
1)
2
0
22 dxyyyJ 1)1(
1)0(
y
y
Solución:
Aplicando la ecuación de Euler:
2
2( ) 0y y y y y x y
d y dyf f f f
dx dx …(1)
Donde:
yf
f
f
yf
yyf
y
xy
yy
y
2
0
0
2
22
Reemplazando en (1)
0)20(022
2
ydx
dy
dx
yd
0
022
yy
yy
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Una solución de esta ecuación diferencial es: rxey
0)1(
0
2
2
re
eer
rx
rxrx
De aquí:
1
12
r
r
De esto:
xrxreyey 21
21 ;
La solución general seria:
xx ececy 21
Y de las condiciones iniciales 1)1(
1)0(
y
y, se obtiene:
e
ec
ec
1;
1
121
Finalmente, la ecuación seria:
xx ee
ee
ey
11
1
2)
1
0
2)(][ dxyeyJ y 2)1(
1)0(
y
y
Solución:
Como la funcional no depende directamente de x , la ecuación de Euler se
reduce a:
1
fy f c
y
…(1)
Donde:
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)(2
)( 2
yef
yef
y
y
y
Reemplazando en (1)
cyeye yy 22 )()(2
cye y 2)(
cyey
)(2
Entonces integramos y obtenemos:
dyedxcy
22
322 cxce
y
Despejando y obtenemos la solución general:
)ln(2 32 cxcy
Y de las condiciones iniciales 2)1(
1)0(
y
y, se obtiene:
21
32
1
2 ; eceec
Finalmente, se obtiene la ecuación:
32
23
2
2)12(
xy
3)
3
0
22 )()( dxyyyyyJ 2)1(
1)0(
y
y
Solución:
Como la funcional no depende directamente de x , la ecuación de Euler se
reduce a:
1
fy f c
y
…(1)
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Donde:
2
22
2
)()(
yyyf
yyyyf
y
Reemplazando en (1)
1
2222 )()(2 cyyyyyyyy
1
2)( cyy
Entonces integramos y obtenemos:
dyycdx 2/1
2
La solución general:
32
3
23
2cycx
Y de las condiciones iniciales 2)1(
1)0(
y
y, se obtiene:
12
2;
12
3
233
232
cc
Finalmente, se obtiene la ecuación:
32
23
2
2)12(
xy
4) Encuentre la curva cerrada de longitud l , que podamos encerrar la mayor área
posible:
Solución:
Tenemos la ecuación de la curva cerrada en forma parametrica)(
)(
tyy
txx
Su área en paramétricas es
T
dtxyyxtytxS0
)(2
1)](),([
Y la condición es
T
dtyxl0
22
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Sean las funcionales para paramétricas
1
0
),,,()](),([
t
t
dtyxyxHtytxV
Entonces tenemos:
2
xyyxF
22 yxG
22
2yx
xyyxGFH
Para parametricas se tiene el sistema de ecuaciones
0dt
dHH x
x 0
dt
dHH
y
y
Como H no depende explícitamente de t se tiene:
0 yHH yyy …(1)
0 xHH xxx …(2)
De (1)
0)(2 2
322
2
yx
yxx
2
1
)( 23
22
yx
yx
…(3)
De (2)
0)(2 2
322
2
yx
xyy
2
1
)( 23
22
yx
yx
…(4)
De (3) y (4)
kyx
yx
yx
yx
1)
2
1(
2
1
)()( 23
2223
22
Tenemos:
kyx
yxyx
23
22 )(
; k es la curvatura para parametricas.
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Como la curvatura es k = constante.
Entonces, la curva cerrada de máxima área es un círculo.
5) Encuentra una curva que pase por los siguientes puntos (1,0) y (2,3), con la
propiedad de que la superficie de revolución al girar la región acotada por ella y las
ordenadas x=a y x=b alrededor del eje x, sea mínima.
Solución:
Como queremos la superficie de revolución, formula seria:
b
a
dxyy 2)(12
Así, como queremos minimizar, usamos euler, pero en este caso, como no
depende de x usamos:
1cfyy
f
…(1)
Donde:
2
2
)(1
)(1
y
yyf
yyf
y
Reemplazamos en (1):
12
22
)(1
)()(1 c
y
yyyy
2
2
22 )(1)())(1( ycyyyy
2
2 )(1 ycy
Despejando y :
12
2
c
yy
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Integrando obtenemos
3
2
1
2 )(cosh cxc
yc
Y la solución general seria:
)cosh(2
3
2
2c
c
c
xcy
6) Encontrar los valores extrémales para las siguientes funcionales
1)
2
0
22 dxyyyJ 1)1(
1)0(
y
y
Solución:
Aplicando la ecuación de Euler:
2
2( ) 0y y y y y x y
d y dyf f f f
dx dx …(1)
Donde:
yf
f
f
yf
yyf
y
xy
yy
y
2
0
0
2
22
Reemplazando en (1)
0)20(022
2
ydx
dy
dx
yd
0
022
yy
yy
Una solución de esta ecuación diferencial es: rxey
0)1(
0
2
2
re
eer
rx
rxrx
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De aquí:
1
12
r
r
De esto:
xrxreyey 21
21 ;
La solución general seria:
xx ececy 21
Y de las condiciones iniciales 1)1(
1)0(
y
y, se obtiene:
e
ec
ec
1;
1
121
Finalmente, la ecuación seria:
xx ee
ee
ey
11
1
6) Encontrara los valores extrémales para
1
0
2)(][ dxyeyJ y 2)1(
1)0(
y
y
Solución:
Como la funcional no depende directamente de x , la ecuación de Euler se
reduce a:
1
fy f c
y
…(1)
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Donde:
)(2
)( 2
yef
yef
y
y
y
Reemplazando en (1)
cyeye yy 22 )()(2
cye y 2)(
cyey
)(2
Entonces integramos y obtenemos:
dyedxcy
22
322 cxce
y
Despejando y obtenemos la solución general:
)ln(2 32 cxcy
Y de las condiciones iniciales 2)1(
1)0(
y
y, se obtiene:
21
32
1
2 ; eceec
Finalmente, se obtiene la ecuación:
32
23
2
2)12(
xy
7) Encontrar los valores extrémales para
3
0
22 )()( dxyyyyyJ 2)1(
1)0(
y
y
Solución:
Como la funcional no depende directamente de x , la ecuación de Euler se
reduce a:
1
fy f c
y
…(1)
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Donde:
2
22
2
)()(
yyyf
yyyyf
y
Reemplazando en (1)
1
2222 )()(2 cyyyyyyyy
1
2)( cyy
Entonces integramos y obtenemos:
dyycdx 2/1
2
La solución general:
32
3
23
2cycx
Y de las condiciones iniciales 2)1(
1)0(
y
y, se obtiene:
12
2;
12
3
233
232
cc
Finalmente, se obtiene la ecuación:
32
23
2
2)12(
xy
8) Encuentre la curva cerrada de longitud l , que podamos encerrar la mayor área
posible:
Solución:
Tenemos la ecuación de la curva cerrada en forma parametrica)(
)(
tyy
txx
Su área en parametricas es
T
dtxyyxtytxS0
)(2
1)](),([
Y la condición es
T
dtyxl0
22
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Sean las funcionales para parametricas
1
0
),,,()](),([
t
t
dtyxyxHtytxV
Entonces tenemos:
2
xyyxF
22 yxG
22
2yx
xyyxGFH
Para parametricas se tiene el sistema de ecuaciones
0dt
dHH x
x 0
dt
dHH
y
y
Como H no depende explícitamente de t se tiene:
0 yHH yyy …(1)
0 xHH xxx …(2)
De (1)
0)(2 2
322
2
yx
yxx
2
1
)( 23
22
yx
yx
…(3)
De (2)
0)(2 2
322
2
yx
xyy
2
1
)( 23
22
yx
yx
…(4)
De (3) y (4)
kyx
yx
yx
yx
1)
2
1(
2
1
)()( 23
2223
22
Tenemos:
kyx
yxyx
23
22 )(
; k es la curvatura para parametricas.
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Como la curvatura es k = constante.
Entonces, la curva cerrada de máxima área es un círculo.
9) Encuentra una curva que pase por los siguientes puntos (1,0) y (2,3), con la
propiedad de que la superficie de revolución al girar la región acotada por ella y las
ordenadas x=a y x=b alrededor del eje x, sea mínima.
Solución:
Como queremos la superficie de revolución, formula seria:
b
a
dxyy 2)(12
Así, como queremos minimizar, usamos euler, pero en este caso, como no
depende de x usamos:
1cfyy
f
…(1)
Donde:
2
2
)(1
)(1
y
yyf
yyf
y
Reemplazamos en (1):
12
22
)(1
)()(1 c
y
yyyy
2
2
22 )(1)())(1( ycyyyy
2
2 )(1 ycy
Despejando y :
12
2
c
yy
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Integrando obtenemos
3
2
1
2 )(cosh cxc
yc
Y la solución general seria:
)cosh(2
3
2
2c
c
c
xcy
10) Calcular la ecuación de Euler-Lagrange para la funcional
2 2 1/ 2( , ) (1 )x y
D
J z x y z z dxdy
Con la condición de frontera z(x,y) = f(x,y) (x,y) D
Solución:
La función 2 2( , , , , ) 1x y x yF x y z z z z z , la ecuación de Euler tiene la siguiente forma
0x yz z zF F F
x y
2 2 1/ 210, 2 ( )(1 )
2xz z x x yF F z z z
2 2
2 2
2 2
11
1x
x xx y yy
x y xx x
x y
z
x y
z z z zz z z z
z zF
x z z
2 2 2
2 2 3/ 2
(1 )
(1 )x
x y xx x xx x y xy
z
x y
z z z z z z z zF
x z z
2
2 2 3/ 2
(1 )( )
(1 )x
y xx x y xy
z x
x y
z z z z zF
z z
Igualmente:
2
2 2 3/ 2
(1 )( )
(1 )
x yy x y xy
zy y
x y
z z z z zF
z z
Así la ecuación de Euler es: ( ) ( ) 0xz x zy yF F ; sustituyendo:
2 2(1 ) (1 ) 2 0y xx x yy x y xyz z z z z z z
En forma experimental es sabido que la realización física de la superficie de área
mínima limitado por la curva D son calculos laboriosas extendidas sobre la D
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Funcionales que contienen derivadas de orden superior
Consideremos funcionales de la forma:
1
[ ] ( , , ', '')
o
x
x
J y F x y y y dx
Con las condiciones de frontera siguiente 0 0( )y x y ; 1 1( )y x y ; 0 0'( ) 'y x y ; 1'(1) 'y y
Supondremos que 4
0 1[ , ]y C x x ; y que F tiene derivadas parciales continuas hasta el
orden 3 inclusive. Se desea hallar la ecuación de Euler – Lagrange para este caso.
Solución
Tenemos 4
0 1[ , ]h C x x tal que 0 1( ) ( ) 0h x h x , 0 1'( ) '( ) 0h x h x es decir h debe ser
admisible
Para z real se tiene 1
[ ] ( , , ' ', '' '')
o
x
x
J y h F x y h y h y h dx
1
0 0[ ] ( , , ' ', '' '')
o
x
x
J y h F x y h y h y h dx
=1
''
' ''( ' )
o
x
y y y
x
F h F h F h dx
Osea que la variación de la “jota” 1
''
' ''[ , ] ( ' )
o
x
y y y
x
J y h F h F h F h dx
Derivando: ' ' '( ) ' ' ( )y y y
dF h F h h F
dx ; luego integrando:
1 1
1
0
0 00
0
' ' '
( ) ( ) 0
( ') ( )
x x
x x
y x x y y
x x
h x h x
dF h F h dx h F dx
dx
1 1
0 0
' '' ( )
x x
y y
x x
dF h dx h F dx
dx
1
0
' ''[ , ] ( ( ) '')
x
y y y
x
dJ y h F h h F F h dx
dx
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Ahora: '' '' ''
1( ') ' '' ' ( )y y yF h F h h F
dx
Integrando: 1 1
0 0
'' ''
1'' ' ( )
x x
y y
x x
F h dx h F dxdx
(ojo: 1
0
''( ') ' 0
x
y
x
F h dx por 0 1'( ) '( ) 0h x h x )
2
'' '' ''2( ( )) ' 'y y y
d d dh F h F h F
dx dx dx
1 1
0 0
2
'' ''2( ) ( )
x x
y y
x x
d dh F dx h F dx
dx dx
1 1 1
0 0 0
2
'' '' ''2( '') ' ( )
x x x
y y y
x x x
d dF h dx h F dx h F dx
dx dx
Por tanto: 1
0
' ''[ , ] ( ( ) ( ) ) 0
x
y y x y xx
x
J y h F F F hdx ; en la función crítica; esto para todo h
admisible
Usando el lema Fundamental del cálculo de variaciones, se tiene:
' ''( ) ( ) 0y y y xx
dF F F
dx
que es la ecuación de Euler – Lagrange para este caso.
Nota: Si 1
[ ] ( , , ', '', ''')
o
x
x
J y F x y y y y dx entonces su ecuación de Euler – Lagrange es la
siguiente:
' '' '''( ) ( ) ( ) 0y y y xx y xxx
dF F F F
dx
Ejemplos espaciales
1. Hallar una función crítica para la funcional
1
2
0
1[ ] ( '') )
2
(0) 0
(1) 2
J y y dx
y
y
con (0) 0, (1) 0, '(0) 1, '(1) 5/ 2y y y y
Solucion
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2 2( , , ', '') 360 ( '')F x y y y x y y
2
' '' ''360 , 0, 2 '', ( ) 2 IV
y y y y xxF x F F y F y
Luego la ecuación de Euler – Lagrange es: 6
2 2 3 4 5 2 3 2360 2 0 180 , ''' 60 , '' 15 , ' 3 ,2 2 6 2
IV IV A x A Bx y y x y x A y x Ax b y x x Bx C y x x Cx D
Podemos escribir: 6 3 2
1 1
1
2y x A x B x Cx D
5 2
1 1' 3 3 2y x A x B x C (0) 0 0y D
1 1
10 (1)
2y A B C 1 1
5 5'(1) 3 3 2
2 2y A B C
1 '(0) 1y C C 1 1
33 2
2A B
Luego 1 1
3
2A B
De donde: 1 1
33
2A B
Luego 6 3 2 5 21 3 93 1 , ' 3 6 1
2 2 2y x x x x y x x x
2. Hallar una función crítica para la funcional
1
2
0
1[ ] ( '')
2J y y dx (0) 0, (1) 2, '(0) 2, '(1) 1y y y y
Solución
21( , , ', '') ( '')
2F x y y y y
' ''0, 0, ''y y yF F F y
2
''2( ) IV
y
dF y
dx , luego la ecuación Euler – Lagrange: 0 ''' ''IVy y c y Cx D
2 3 2' ,2 6 2
C C Dy x Dx E y x x Ex G
Podemos escribir 3 2y Ax Bx Ex G , 2' 3 2y Ax Bx E
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0 (0) 0y G G
2 (1) 2y A B E A B E
2 '(0) 2y E E
1 '(1) 3 2y A B E
Resolviendo A+B=0
3A+2B=-1 A=-1 1B
Luego 3 2 2y x x x
3. Hallar una función crítica para la funcional
1
2
0
1[ ] ( '') )
2J y y dx ; (0) 0y , (1) 2y
Solucion
Como en el anterior: 0IVy
3 2y Ax Bx Ex G
2' 3 2y Ax Bx E
'' 6 2y Ax B
0 (0) 0y G G
(1) 2z y A B E
Escribamos 1
2
0
[ ] ( '' '')J y h y h dx
1
2
0
1[ ] 2( '' '') ''
2J y h y h h dx
x
Cuando 0 se tiene:
1
0
[ ; ] '' ''J y h y h dx , para todo h admisible
1 1
1
0
0 0
( '' ') ' '' '' ''' ' '' '' ( '' ') '' 'x
xy h y h y h y h dx y h y h dx
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20
1
1
0
00
( ''' ) ' ''' ' '''' ''' ' ( ''' ') ( ''' ) '''(1) (1) '''(0) (0) 0x
xy h y h y h y h y h dx y h y h y h
[ , ] ''(1) '(1) ''(0) '(0)y h y h y h
Pero uno desea que la variación [ , ] 0J y h , luego
''(1) '(1) ''(0) '(0) 0y h y h
entonces podemos pedir ''(1) 0 ''(0) 0y y
0 ''(0) 0y B
0 ''(1) 6 0 0y A A
Así: 2 0 2 2A B E E E
2y x
La condición ''(1) 0y , ''(0) 0y obtenida por este procedimiento se llama
condiciones naturales de frontera.
Ecuación Funcional
Consideremos una funcional de la forma:
2[ ] ( , ) ( ) ( ) ( ( )) 2 ( ) ( )
b b b b
a a a a
J y k s t y s y t dsdt y s ds y s f s ds ………………(i)*
Donde k(s,t) es continua y simétrica en el cuadrado [a,b]x[a,b], la f es continua en el
intervalo [a,b], y=y(s) es la funcion continua incognita.
Se desea hallar su ecuacion de Euler-Lagrange
Solucion
Escribimos:
2[ ] ( , )( ( ) ( ))( ( ) ( )) ( ( ) ( ( )) 2 ( ( ) ( )) ( )
b b b b
a a a a
J y h k s t y s h s y t h t dsdt y s h s ds y s h s f s ds
Derivando con respecto a :
[ ] ( , )[[( ( ) ( ))] ( ) ( ( ) ( )) ( ) ] 2 ( ( ) ( )) ( ) 2 ( ) ( )
b b b b
a a a a
dJ y h k s t y s h s h t y t h t h s dsdt y s h s h s h s f s ds
d
Cuando 0 se tiene:
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21
[ , ] ( , )( ( ) ( ) ( ) ( )) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
b b b b
a a a a
J y h k s t y s h t y t h s dsdt y s h s ds h s f s ds
Trabajando con la integral doble:
( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )
b b b b
a a a a
k s t y s h t dsdt k s t y t h s dsdt
( , ) ( ) ( )
b b
a a
k s t y s h t dsdt
[ , ] 2 ( , ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
b b b b
a a a a
J y h k s t y s h t dsdt y t h t dt h t f t dt
Como se desea hallar la ecuaicon de Euler-Lagrange, debemos tener:
( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0
b b b b
a a a a
k s t y s h t dsdt y t h t dt f t h t dt
[ ( , ) ( ) ( ) ( )] ( ) 0
b b
a a
k s t y s ds y t f t h t dt
Donde h(t) cualquier funcion admisible, usando el lema fundamental del calculo de
variaciones, se tiene:
( , ) ( ) ( ) ( ) 0
b
a
k s t y s ds y t f t …………………..(**)
La ecuacion funcional (**) es la ecuacion de Euler-Lagrange
Para este caso esta ecuacion (**) se llama la ecuacion integral de FREHOLM de 2ª
clase
Condiciones Naturales de Frontera
Consideremos la funcional
1
0
[ ] ( , , ')
x
x
J y F x y y dx
donde no se pide las condiciones de frontera, para la funcion y=y(x)
Hemos calculado que: 1
0
'[ , ] ( ')
x
y y
x
J y h F xh F h dx
Victor Daniel Rojas Cerna Matemática III
22
Como: 1 1
1
0
0 0
' ' ' '' ' ( )
x x
x x
y y y x x y
x x
dF h dx F h dx F h x h F dx
dx
se obtiene que: 1
1
0
0
' '[ , ] ( ) ( ) ( )
x
x x
y y y x x
x
dJ y h F F h x dx F h x
dx
En una funcion critica, debe ocurrir que [ , ] 0J y h para toda h(x) admisible entonces
debe cumplirse la ecuación de Euler-Lagrange: ' 0y y
dF F
dx , y por tanto
1
0'[ , ] ( ) 0x x
y x xJ y h F h x
Como h(x) es cualquier función admisible, debemos tener ' 0yF en 0x x y 1x x
es decir ' 0 0 0 ' 1 1 1( , ( ), '( )) 0 ( , ( ), '( ))y yF x y x y x F x y x y x (condiciones naturales de Frontera)
Ahora consideremos la funcional 1
0
[ , ] ( , , , ', ')
x
x
J y z x y z y z dx
1
0
[ , ] ( , , , ' ', ')
x
x
J y h z F x y h z y h z dx
1
0
[ , ] ( , , , ', ' ')
x
x
J y z n F x y z n y z n dx
si y,z son funciones criticas para la funcional J[y,z] entonces la funcion:
( , ) [ , ]n J y h z n toma un valor critico 0 , entonces debe ocurrir:
0 0( , ) 0 ( , ) 0
fijo fijo
Entonces 1 1
1
0
0 0
' ' '( ,0) ( ') ( ) ( ) ^ 0
x x
x x
y y y y y x x
x x
dF h F h dx F F dx F h x
dx
idem: 1 1
1
0
0 0
' ' '( ,0 ( ') ( ) ( ) ( ) ^ 0
x x
x x
z z z z z x x
x x
dF n F n dx F F h x dx F h x
dx
Como buscamos funciones criticas debe cumplirse, las ecuaciones E-L:
' '0 0y y z z
d dF F F F
dx dx
luego:
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23
1 1
0 0' '( ) 0 ( ) 0x x x x
y x x z x xF h x F h x
Como h(x) es cualquier función admisible debemos tener ' 0yF en 0x x y 1x x
' 0zF en 0x x y 1x x (condiciones naturales de frontera)
Ejercicios.
1. ara la funcional
[ ( , )] ( , , , , )x y
D
J z x y F x y z z z dxdy
se pide encontrar las condiciones naturales de frontera
3. 1
0
[ ]J y ydx restricción 1
2
0
47( )
12y xy dx
Tomemos: 2( , , ', ) ( )H x y y y y xy
La ecuación de Euler-Lagrange: 1 (2 )yH y x , ' 0 2 1yH y x
1
2 2
xy
por la restriccion:
21 1 2
2
0 0
1 1 47 1 47( ) ) ( ) 1/ 4
2 2 2 2 12 4 4 12
x x xx dx dx
2 , 22 2
x xy y
Veamos que
1 1
0 0
[ ] ( ) [ ]J y y dx J y dx
Por la restriccion:
12
0
47(
12y x y dx
1 1
2 2
0 0
47( ) (2 )
12y xy dx y x dx
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24
1 1
2 2
0 0
(2 ) 0 ( 2 ) 0y x dx y x x dx
1 1
2
0 0
dx dx
Luego tendremos que cuando 22
xy , se tenia
1 1
2
0 0
0dx dx
asi se tiene:
[ ] [ ]J y J y
satisfaciendo la restriccion de esta manera en 22
xy , [ ]J y alcanza un valor
maximo
si 22
xy , se tiene:
1 1
2
0 0
0dx dx , luego:
1
0
[ ] [ ] [ ]J y J y dx J y
[ ]J y alcanza un valor mínimo cuando 22
xy
1
2
0
[ ] ( ')yJ y e y dx ; (0) 0 (1) ln 4y y
2 2
'( , , ') ( ') ( ') 2 'y y y
y yF x y y e y e y F F e y
Ecuación E-L 2( ') (2 ') 0y yde y e y
dx
2 2 2 2( ') 2( ' '') 0 ( ') 2( ') 2 '' 0y y ye y e y e y y y y
22 '' ( ') 0y y
hagamos: 2
2' 2 ( ) 0 2 0
d dpy p p p dx
dx p
2 2 2x C x C p
p p x c
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25
2
2' ( ) ( )y p dy pdx dy p dp y Ln p k
p
Luego: 2
( )y Ln kx c
2(0) 0 0 ( )y Ln k
c
2(1) ln 4 ln 4 ( )
1y Ln k
c
(1) 11 0
2 (2) 2
y C DC D
y C D
2
2 2 2 22 2
0 (1) ' 1 11 1
1 11 (2) '
z Ae Be B eB B B A
e e e ez Ae Be
Luego 2 1 2 1 (1 )
2 2 2 2
[ ] ] ( 1)
1 1 1 1 (1)
x x x x x xe e e e e e e e e senh xy x z
e e e e senh
Luego la solucion del problema es: ( 1)
(1)
senh xy x z
senh
.
2. Hallar funciones criticas para la funcional
2 2 2
0
[ , ] (2 2 ' ' )J y z yz y y z dx
con las condiciones de frontera: (0) 0, ( ) 1, (0) 0, ( ) 1y y z z
Solucion
2 2 2( , , ', ') 2 2 ' 'zF x y y z yz y y z
Ec E-L para y: 4
'2 4 , 2 ';2 4 (2 ') 0 2 0...( )y y
dF z y F y z y y y y z i
dx
Ec E-L para z: '2 , 2 ';2 2 '' 0 '' 0..( )z zF y F z y z z y ii
de (i): '' 2 ' ''' 2 '; '' 2 ''IVz y y z y y z y y
reemplazando este valor en (ii): 2 '' 0IVy y y
1 2 3 4cos [ cos ]y C x C senx x C x C senx
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26
10 (0) 0y C
3 3
11 ( ) ( )y C C
Luego: 2 4 cos
xy C senx C xsenx x
Calculamos z de (i): 2 4
1' cos ( cos ) ( cos )y C x C senx x x xsenx x
2 4
1'' ( 2cos ) ( cos 2 )y C senx C xsenx x x x senx
2 4
22 2 2 cos
xy C senx C xsenx x
2 4 4
1 22 cos cosz C senx C xsenx C x x x senx
4 40 (0) 2 0z C C
1 ( ) 1z
Luego: 2 2
1 1cos , (2 cos )y C senx x z C senx senx x x
3. Hallar una funcion critica de la funcional
/ 2
2 2
0
[ , ] (( ') ( ') 2 )J y z y z yz dx
con las condiciones de frontera (0) 0, ( / 2) 1, (0) 0, ( / 2) 1y y z z
Solucion
2 2( , , , ', ') ( ') ( ') 2F x y z y z y z yz
' '2 , 2 '; 2 ''/ . : 2 2 '' 0 ''...(1)y y y
dF z F y F y ec E L z y z y
dx
' '2 , 2 '; 2 ''/ . : 2 2 '' 0 '' ...(2)z z z
dF y F z F z ec E L y z z y
dx
de (1) '' ( ) : 0IV IVz y en ii y y
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27
cosx xy Ae Be C x Dsenx
cosx xz Ae Be C x Dsenx
con las condiciones:
0 (0)0
0 (0)
y A B CC A B
z A B C
Luego: x xy Ae Ae Dsenx
x xz Ae Ae Dsenx
/ 2 / 21 ...(3)Ae Ae D
/ 2 / 21 ...(4)Ae Ae D
Restando (4)-(3): D=1 y sumando (3)+(4): A=0
Finalmente: ,y senx z senx
4. Hallar una función critica para la funcional
/ 2
2 2
0
[ , ] (( ') ( ') 2 2 )J y z y z xy yz dx
con las condiciones de frontera (0) 0, ( / 2) 0, (0) 0, ( / 2) 2y y z z
5. Optimizar 2
2 2
0
[ ] ( ( ') )
Ln
x xJ y e y e y dx
La ecuación de Euler-Lagrange: 2 2( , , ') ( ')x xF x y y e y e y
'2 2 2 2 ' 0x x x x
y y
dF e y F e y e y e y
dx
22 2 ' 2 '' 0 '' ' 0x x x xe y e y e y y y e y
Hagamos la sustitución: x Lnu y v
Tomemos la funcional: 2
22 2
1
[ ( )] ( ' )Lnu Lnu duJ v u e u v e v
u
ojo: 22 2' ' ( ') '
dy dv duy uv y u v
dx du dx
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28
Luego: 2
2 2
1
[ ( )] ( ' )J v u v v du
la ecuación de Euler-Lagrange: 2 2
'( , , ') ' 2 2 'v vF u v v v v F v F v
'( ) 0 2 2 '' 0 '' 0 cosv v
dF F v v v v v A u Bsenu
dx
regresando a las variables originales: cos( ) ( )x xy A e Bsen e
Ojo: Con las condiciones de frontera: (0) (ln 2)y a y b
(0) cos(1) (1) 2 1 cos1 cos 2
(ln 2) cos(2) (2) cos1 2 cos 2 1 cos1 2 cos 2 1
y a a A Bsen asen bsen b aA B
y b b A Bsen sen sen sen sen
como: cos1 2 1cos2 1sen sen sen
Tendremos:
2 1 cos1 cos 2cos( ) ( )
1 1
x xasen bsen b ay e sen e
sen sen
(en ojo, se ha considerado condiciones de frontera)
6. Optimizar2
2
1
[ ] ( ')J y x y dx
2
'( , , ') ( ') 0 2 ( ')y yF x y y x y F F x y
Ecuación de Euler-Lagrange: 1
'( ) 0 2 ' 'y
dF xy C y Dx
dx
(ojo: 2
CD )
Resolviendo la ecuación: ( )y DLn x E (nota: [1,2]x Ln x Lnx )
Condiciones de frontera:
(1) 1 1 (1) 1y DLn E E
1(2) 2 2 (2) 1
2y DLn D
Ln
Luego: 1 12
Lnxy
Ln
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29
Veamos que efectivamente y es un numero. Tomemos y otra función y veamos
que: [ ] [ ]J y J y
2 2 22 22 2
1 1 1 1 1
1 1 1
[ ] [( ) '] ( ' ') ( ' 2 ' ' ' )J y x y dx x y dx x y y dx
2 2
2
1 1
1 1
[ ] ' ' ( ')J y xy dx x dx
2 2
2
1
1 1
1[ ] 2 ' ( ')
2J y x dx x dx
xLn
2 2
2
1
1 1
0
1[ ] 2 ' ( ')
2J y dx x dx
Ln
Utilizando el teorema B:
La funcional: 2
2 2
1
[ ] ( ( ') 0 2(0) )J y x y y y dx
7. Hallar la curva y=y(x) de longitud L dada tal que el area de trapecio curvilinea
CABD sea maximo
Solucion
Se pide el maximo de la funcional 2
1
[ ]
x
x
J y ydx en 0( )y x A , 1( )y x B
y con la restricción 2
1
2[ ] 1 ( '( ))
x
x
k y y x dx L
C
B
A
D
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30
2( , , ') ; ( , , ') 1 ( ')F x y y y G x y y y
2( , , ') 1 ( ' )H x y y y y
consideramos la funcional
1
0
2[ ] ( 1 ( ' )
x
x
x
J y y y dx
a esta funcional calculamos su ecuacion de E-L
21 ( ')H y y
Como H no depende explicitamente de x, debemos tener
'' yH y H C constante '2
'
1 ( ')y
yH
y
entonces: 2
2
2
( ')1 ( ')
1 ( ')
yy y C
y
Dando un comun denominador:
2 2 2 21 ( ') (1 ( ') ) ( ') 1 ( ')y y y y C y
2 21 ( ') 1 ( ')y C y C
y y
Hagamos 2 2' 1 ( ') sec cosy tg y y C
' ( )cos
dy dy d d sen dy sen sen
dx d dx dx dx
1 2 2 2
1( ) ( )cos
x C senx C y C
y C
La solucion a nuestro problema es un arco de circunferencia
8. Hallar el mínimo de la funcional
2
0
[ ] ( ')J y y dx
con las condiciones de frontera (0) ( ) 0y y y con la restricción 2
0
1y dx
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31
Solucion
2 2 2 2( , , ') ( ') ; ( , , ') ; ( , , ', ) ( ')F x y y y G x y y y H x y y y y
H no contiene a x explicitamente, luego debemos tener '' yH y H C
' 2 'yH y , 2
'' 2( ')yy H y ,
entonces: 2 2 2 2 2( ') 2( ') ( ')y y y C y y C
2 2( ')y y C
2 2 2
2( ') '
dy dyy C y y C y dx
dx C y
9. Hallar una funcion critica para la funcional
1
0
2[ ] 1 ( ')
x
x
J y y y dx
sujeto a la restricción 1
0
21 ( ')
x
x
y dx L , L constante