C2 Parametros Población- Control Estadístico de Procesos

7/23/2019 C2 Parametros Poblacin- Control Estadstico de Procesos

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Parmetros de unaParmetros de unaPoblacinPoblacin

Control Estadstico deProcesos


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Parmetros de una PoblacinParmetros de una Poblacin

Medidas de Tendencia CentralMedidas de Tendencia Central


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Una manera de obtener un dato numrico queUna manera de obtener un dato numrico que

nos d idea de la posicin de nuestra poblacinnos d idea de la posicin de nuestra poblacines calcular eles calcular el PromedioPromedio oo MediaMedia de todas lasde todas las

observaciones:observaciones:

N

XX

i=


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Este importante parmetro nos permiteEste importante parmetro nos permite

efectuar comparaciones entre distintasefectuar comparaciones entre distintas

poblaciones.poblaciones.


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Por ejemplo, si tuviramos una poblacinPor ejemplo, si tuviramos una poblacin

formada por mediciones del peso de mujeresformada por mediciones del peso de mujeres

de 30 aos, otra de peso de varones de !0 aosde 30 aos, otra de peso de varones de !0 aos

" una tercera de peso de nios de # aos, es" una tercera de peso de nios de # aos, es

indudable que los promedios van a serindudable que los promedios van a serdiferentes.diferentes.


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El promedio, entonces, nos est diciendo queEl promedio, entonces, nos est diciendo que

las tres poblaciones son diferentes " tambinlas tres poblaciones son diferentes " tambin

en que medida difieren.en que medida difieren.


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$%ora, si tuviramos una poblacin de varones$%ora, si tuviramos una poblacin de varones

con peso promedio &0 '(. " otra poblacin decon peso promedio &0 '(. " otra poblacin devarones con el mismo promedio )*e puedevarones con el mismo promedio )*e puede

afirmar que ambas poblaciones sonafirmar que ambas poblaciones son

equivalentes+equivalentes+


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Para responder esta pre(unta necesitamosPara responder esta pre(unta necesitamostener medidas de latener medidas de la dispersindispersinde la poblacinde la poblacin

de datos.de datos.


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Medidas de DispersinMedidas de Dispersin


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tra caracter-stica mu" importante de unatra caracter-stica mu" importante de una

poblacin es el (rado de dispersin de laspoblacin es el (rado de dispersin de las

observaciones. o es lo mismo si en nuestraobservaciones. o es lo mismo si en nuestra

poblacin encontramos que todos los valorespoblacin encontramos que todos los valores

estn entre &/ " 0 '(. que si estn entre 10 "estn entre &/ " 0 '(. que si estn entre 10 "

20/ '(., aunque el promedio sea el mismo.20/ '(., aunque el promedio sea el mismo.


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*i lle(ara a la tierra un*i lle(ara a la tierra un

alien-(eno " le dijramosalien-(eno " le dijramos

que el peso promedio de losque el peso promedio de los

seres %umanos adultos es deseres %umanos adultos es de&0 '(., puede lle(ar a creer&0 '(., puede lle(ar a creer

que eisten %ombres de 3/0que eisten %ombres de 3/0

'(., o de / '(.'(., o de / '(.


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Es necesario a(re(ar al(una idea de laEs necesario a(re(ar al(una idea de la

dispersin de los valores.dispersin de los valores. Una manera es a travs delUna manera es a travs del RangoRango de lasde las

observaciones, es decir, el valor 4imo " elobservaciones, es decir, el valor 4imo " el

valor 4-nimo de los datos de la poblacin.valor 4-nimo de los datos de la poblacin.


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Entonces, una descripcin mas realistaEntonces, una descripcin mas realista

acerca de los seres %umanos ser-a decir queacerca de los seres %umanos ser-a decir quepesan en promedio &0 '(. " que el ran(o espesan en promedio &0 '(. " que el ran(o es

de !0 a 250 '(. 6Estos valores sonde !0 a 250 '(. 6Estos valores son

supuestos7.supuestos7.


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Una manera mas precisa de dar idea de laUna manera mas precisa de dar idea de la

dispersin de valores de una poblacin es adispersin de valores de una poblacin es atravs de latravs de la VarianzaVarianzao su ra-8 cuadrada, que eso su ra-8 cuadrada, que es

lalaDesviacin StandardDesviacin Standard..


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9amos a calcular la varian8a " la desviacin9amos a calcular la varian8a " la desviacinstandard de un nmero pequeo de datos 6Unastandard de un nmero pequeo de datos 6Una

muestra7 para ilustrar el clculo.muestra7 para ilustrar el clculo.


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Supongamos que se midi la altura de 10

personas adultas y de sexo femenino, y se

obtuvieron los valores siguientes:

Altura


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165 cm.165 cm.

163 cm.163 cm.

171 cm.171 cm.

156 cm.156 cm.

162 cm.162 cm.

159 cm.159 cm.

162 cm.162 cm. 168 cm.168 cm.

159 cm.159 cm.

167 cm.167 cm.


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El promedio de estas observaciones es:El promedio de estas observaciones es:

.5,213 cmX =

*i a cada una de las observaciones le restamos*i a cada una de las observaciones le restamos

el promedio, obtenemos losel promedio, obtenemos losResiduosResiduos::


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165165 1,81,8

163163 - 0,2- 0,2

171171 7,8 7,8

156156 - 7,2- 7,2

162162 - 1,2- 1,2

159159 - 4,2- 4,2

162162 - 1,2- 1,2

168168 4,8 4,8

159159 - 4,2- 4,2

167167 3,8 3,8

iX XXi


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;os residuos tambin nos dan una idea de la;os residuos tambin nos dan una idea de la

dispersin de las observaciones individualesdispersin de las observaciones individuales

alrededor del promedio. *i el valor absolutoalrededor del promedio. *i el valor absoluto

6El valor numrico sin el si(no7 de los residuos6El valor numrico sin el si(no7 de los residuos

es (rande, es porque los valores estn mu"es (rande, es porque los valores estn mu"

dispersos.dispersos.


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*i el valor absoluto de los residuos es*i el valor absoluto de los residuos es

pequeo, si(nifica que las observacionespequeo, si(nifica que las observaciones

individuales estn mu" cerca del promedio, "individuales estn mu" cerca del promedio, "

por lo tanto, %a" poca dispersin.por lo tanto, %a" poca dispersin.


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Pero nosotros necesitamos un slo nmero quePero nosotros necesitamos un slo nmero quenos provea informacin acerca de la dispersinnos provea informacin acerca de la dispersin

de los valores.de los valores.


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*i sumamos los residuos, como al(unos son*i sumamos los residuos, como al(unos son

positivos " otros ne(ativos, se cancelar-anpositivos " otros ne(ativos, se cancelar-an

entre s-, con lo cual perdemos laentre s-, con lo cual perdemos la

informacin acerca de la dispersin.informacin acerca de la dispersin.

Entonces, los elevamos al cuadrado:Entonces, los elevamos al cuadrado:


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165165 1,81,8 3,243,24

163163 - 0,2- 0,2 0,040,04

171171 7,87,8 60,8460,84

156156 - 7,2- 7,2 51,8451,84

162162 - 1,2- 1,2 1,441,44

159159 - 4,2- 4,2 17,6417,64

162162 - 1,2- 1,2 1,441,44

168168 4,84,8 23,0423,04

159159 - 4,2- 4,2 17,6417,64

167167 3,83,8 14,4414,44

XXiiX ( ) 5XXi


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*i a%ora sumamos los residuos elevados al*i a%ora sumamos los residuos elevados al

cuadrado, tenemos un nmero donde secuadrado, tenemos un nmero donde se

condensa toda la informacin de lacondensa toda la informacin de la

dispersin de la poblacin:dispersin de la poblacin:

=CuadradosdeSuma

( ) 55 10,22 cmXXi

=


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Este nmero, la suma de cuadrados, esEste nmero, la suma de cuadrados, es

dependiente del nmero de datos , " por lodependiente del nmero de datos , " por lo

tanto no nos sirve para comparar poblacionestanto no nos sirve para comparar poblaciones

con distinto nmero de observaciones.con distinto nmero de observaciones.


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Pero si dividimos la suma de cuadrados por ,Pero si dividimos la suma de cuadrados por ,

tenemos un nmero que es independiente deltenemos un nmero que es independiente delnmero de observaciones, que se denominanmero de observaciones, que se denomina

9arian8a:9arian8a:


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N

CuadradosdeSumaVarianza =

( )N

XX i5

=


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En nuestro caso:En nuestro caso:

521,2

20

10,22cmVarianza ==


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;as frmulas anteriores son las que se aplican;as frmulas anteriores son las que se aplican

al clculo de la varian8a " desviacinal clculo de la varian8a " desviacinstandard de una poblacin de datos. 4asstandard de una poblacin de datos. 4as

adelante veremos que las frmulas a aplicaradelante veremos que las frmulas a aplicar

en el caso de una muestra son li(eramenteen el caso de una muestra son li(eramente

diferentes.diferentes.


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;a varian8a es un nmero que nos permite;a varian8a es un nmero que nos permite

comparar poblaciones.


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Entonces aumenta la suma de cuadrados deEntonces aumenta la suma de cuadrados delos residuos " por lo tanto la varian8a.los residuos " por lo tanto la varian8a.

>ambin se utili8a la ra-8 cuadrada de la>ambin se utili8a la ra-8 cuadrada de lavarian8a:varian8a:

VarianzadardtanSDesviacin =

( )N

XXi

5

=


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Por lo tanto:Por lo tanto:

521,2 cmdardtanSDesviacin =

cm3#,!=


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;a desviacin standard o desviacin t-pica;a desviacin standard o desviacin t-pica

tiene las mismas unidades que la variable contiene las mismas unidades que la variable conla que estamos trabajando, en nuestro caso ella que estamos trabajando, en nuestro caso elcent-metro. >anto la varian8a como lacent-metro. >anto la varian8a como ladesviacin standard nos permiten comparar eldesviacin standard nos permiten comparar el

(rado de dispersin de distintas poblaciones.(rado de dispersin de distintas poblaciones.


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Media y Varianza de una MuestraMedia y Varianza de una Muestra


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?asta a%ora %emos visto como se calcula la?asta a%ora %emos visto como se calcula la

media o promedio de una poblacin " tambinmedia o promedio de una poblacin " tambincomo se calcula la varian8a " la desviacincomo se calcula la varian8a " la desviacin

standard de una poblacin o universo destandard de una poblacin o universo de

observaciones.observaciones.


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Es mu" importante distin(uir entre la media,Es mu" importante distin(uir entre la media,

varian8a " desviacin standardvarian8a " desviacin standard poblacionalpoblacional, de, de

la media, varian8a " desviacin standardla media, varian8a " desviacin standard

muestralmuestral..


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;a media, varian8a " desviacin standard de;a media, varian8a " desviacin standard de

una poblacin o universo se denominanuna poblacin o universo se denominan

parmetros de la poblacin " en (eneral separmetros de la poblacin " en (eneral se

desi(nan con letras (rie(as:desi(nan con letras (rie(as: para la 4edia,para la 4edia,

22 para la 9arian8a "para la 9arian8a " para la =esviacinpara la =esviacin

*tandard poblacionales.*tandard poblacionales.


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En el caso de una muestra, la media, varian8a "En el caso de una muestra, la media, varian8a "desviacin standard se denominan estad-sticosdesviacin standard se denominan estad-sticos

" se utili8an letras de nuestro alfabeto:" se utili8an letras de nuestro alfabeto:

para la 4ediapara la 4edia

ss22para la 9arian8apara la 9arian8a

"" sspara la =esviacin *tandard muestrales.para la =esviacin *tandard muestrales.

X


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El clculo de la varian8a " la desviacinEl clculo de la varian8a " la desviacinstandard de una muestra destandard de una muestra de nnobservaciones seobservaciones se

reali8a con una frmula levemente diferentereali8a con una frmula levemente diferente

que la "a vista para la varian8a " desviacinque la "a vista para la varian8a " desviacin

standard de una poblacin:standard de una poblacin:


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( )2

5

=

n

XXVarianza

i

VarianzadardtanSnDesviaci =

( )2

5

=

n

XXi


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En lu(ar de dividir porEn lu(ar de dividir por nn, el nmero total de, el nmero total de

observaciones en la muestra, dividimos porobservaciones en la muestra, dividimos por nn@[email protected] valor,Este valor, nn @ 2, son los Arados de ;ibertad de la@ 2, son los Arados de ;ibertad de la

muestra. En (eneral, cuando tenemos una muestramuestra. En (eneral, cuando tenemos una muestra

dede nnobservaciones, se dice que la misma tieneobservaciones, se dice que la misma tiene nn@ 2@ 2

(rados de libertad.(rados de libertad.


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;a media, varian8a " desviacin standard de;a media, varian8a " desviacin standard de

una muestra, en (eneral, no van a coincidir conuna muestra, en (eneral, no van a coincidir conlos mismos parmetros de la poblacin de lalos mismos parmetros de la poblacin de la

cual se etrajo la muestra 6$unque usemos lacual se etrajo la muestra 6$unque usemos la

misma frmula para calcular la varian8amisma frmula para calcular la varian8a

muestral " poblacional7.muestral " poblacional7.


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*i etraemos*i etraemos nn muestras de una poblacin,muestras de una poblacin,

vamos a obtenervamos a obtener nn promedios muestralespromedios muestrales

distintos del promedio de la poblacin "distintos del promedio de la poblacin " nn

varian8as muestrales distintas de la varian8a devarian8as muestrales distintas de la varian8a de

la poblacin.la poblacin.


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Esto se debe a que una poblacin o universoEsto se debe a que una poblacin o universo

tienen un nmero mu" (rande de datos,tienen un nmero mu" (rande de datos,

mientras que una muestra son slo al(unosmientras que una muestra son slo al(unos

pocos datos etra-dos de ese universo.pocos datos etra-dos de ese universo.


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Por lo tanto, el promedio " la varian8a de lasPor lo tanto, el promedio " la varian8a de las

muestras van a ser distintos para las distintasmuestras van a ser distintos para las distintasmuestras, " distintos de la media " la varian8amuestras, " distintos de la media " la varian8a

de la poblacin de la cual se etrajeron lasde la poblacin de la cual se etrajeron las

muestras.muestras.


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Muestreo AleatorioMuestreo Aleatorio


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En (eneral, no es posible disponer de todasEn (eneral, no es posible disponer de todas

las observaciones de un universo olas observaciones de un universo opoblacin, "a sea porque es un universopoblacin, "a sea porque es un universo

%ipottico o porque el relevamiento de%ipottico o porque el relevamiento de

todos los datos resulta una tarea ecesivatodos los datos resulta una tarea ecesiva

para nuestras posibilidades.para nuestras posibilidades.


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ormalmente se dispone de una muestra deormalmente se dispone de una muestra de

datos etra-dos de un universo, " lo que sedatos etra-dos de un universo, " lo que se

pretende es estimar 6


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En este sentido decimos que la media muestralEn este sentido decimos que la media muestrales unaes una estimacinestimacin de la media del universo, "de la media del universo, "

que la varian8a " desviacin standard muestralesque la varian8a " desviacin standard muestrales

sonson estimacionesestimaciones de la varian8a " desviacinde la varian8a " desviacin

standard poblacionales respectivamente.standard poblacionales respectivamente.


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9eamos un ejemplo:9eamos un ejemplo:

*upon(amos que un partido pol-tico*upon(amos que un partido pol-tico

necesita averi(uar la cantidad de personasnecesita averi(uar la cantidad de personasque estn dispuestas aque estn dispuestas a votar por suvotar por su

candidato.candidato. Entonces,Entonces, encar(a a unaencar(a a una

empresaempresa lala reali8acin de una encuestareali8acin de una encuestaelel d-ad-a previo aprevio a laslas elecciones.elecciones.


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El encar(ado de la encuesta podr-a pensar enEl encar(ado de la encuesta podr-a pensar enconsultar la intencin de voto de toda laconsultar la intencin de voto de toda la

poblacin de votantes 64as de 22 millones enpoblacin de votantes 64as de 22 millones en

el Per7. Esto, obviamente, es una tareael Per7. Esto, obviamente, es una tarea

ecesiva que por distintas ra8ones no se puedeecesiva que por distintas ra8ones no se puede

reali8ar.reali8ar.


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Entonces, el camino que resta es tomar unaEntonces, el camino que resta es tomar unamuestra representativa de esa poblacin demuestra representativa de esa poblacin de

personas " consultar la intencin de voto enpersonas " consultar la intencin de voto en

esa muestra.esa muestra.


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;os resultados que se obten(an son solamente;os resultados que se obten(an son solamente

una estimacinuna estimacin del resultado que se %ubieradel resultado que se %ubieraobtenido si la consulta se %ubiera efectuadoobtenido si la consulta se %ubiera efectuado

sobre toda la poblacin de votantes.sobre toda la poblacin de votantes.


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$%ora bien )


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2

2

2

2

2

9

5

5 2

9


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22 222 95 52 9

*i ordenamos las bolillas de menor a ma"or:*i ordenamos las bolillas de menor a ma"or:


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Bnmediatamente comprobamos que nuestraBnmediatamente comprobamos que nuestrapoblacin consta de 1 dos, 5 cincos " 5poblacin consta de 1 dos, 5 cincos " 5

nueves:nueves:


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DatoDato recuenciarecuencia

55 11

// 55

55


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El promedio de la poblacin es !.El promedio de la poblacin es !.

*upon(amos que queremos obtener una*upon(amos que queremos obtener unamuestra de / elementos de esa poblacin.muestra de / elementos de esa poblacin.

?a" varias maneras de %acerlo.?a" varias maneras de %acerlo.


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*upon(amos que puedo ver los nmeros " elijo*upon(amos que puedo ver los nmeros " elijo5, 5, 5, 5 " / porque me (ustan esos nmeros.5, 5, 5, 5 " / porque me (ustan esos nmeros.

El promedio de estos / nmeros etra-dos de laEl promedio de estos / nmeros etra-dos de la

poblacin es 5,1 que difiere sustancialmentepoblacin es 5,1 que difiere sustancialmentedel promedio de la poblacin.del promedio de la poblacin.

P t d P bl iP t d P bl i


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2

2

2

2

2

95

52

9 2

2

2

25

!Promedio=

1,5Promedio =


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Es evidente que dic%a muestra no esEs evidente que dic%a muestra no es

representativa de la poblacin de la querepresentativa de la poblacin de la quefue etra-da. o se mantiene la mismafue etra-da. o se mantiene la mismaproporcin de cada nmero que eiste enproporcin de cada nmero que eiste enla poblacin.la poblacin.


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Una muestra de / elementos en la que %a"Una muestra de / elementos en la que %a" lala

misma proporcinmisma proporcinde cada d-(ito deber-a tener 3de cada d-(ito deber-a tener 3dos, 2 cinco " 2 nueve, " su promedio es !, eldos, 2 cinco " 2 nueve, " su promedio es !, el

mismo de la poblacin.mismo de la poblacin.

P t d P bl iParmetros de una Poblacin


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2

2

2

2

2

95

52

9

2

2

25

!=omedioPr

!=omedioPr

9


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En una poblacin de muc%os datos, no esEn una poblacin de muc%os datos, no es

posible obtener una muestra eli(iendo cadaposible obtener una muestra eli(iendo cada

elemento para que fi(ure en la mismaelemento para que fi(ure en la misma

proporcin que en la poblacin, porque paraproporcin que en la poblacin, porque para

ello deber-amos disponer de todos los datos deello deber-amos disponer de todos los datos de

la misma, " en ese caso no ser-a necesariola misma, " en ese caso no ser-a necesariosacar una muestra.sacar una muestra.


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*i a cada elemento de la poblacin se le da la*i a cada elemento de la poblacin se le da lamismamisma oportunidad de ser elegidooportunidad de ser elegido, entonces se, entonces se

supone que cada nmero estar en la muestrasupone que cada nmero estar en la muestra

en un nmero proporcional a la cantidad deen un nmero proporcional a la cantidad de

veces que est en la poblacin.veces que est en la poblacin.


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Por ejemplo, el 5 va a estar en la muestra masPor ejemplo, el 5 va a estar en la muestra mas

veces que el /, porque en la poblacin %a" 1veces que el /, porque en la poblacin %a" 1dos " slo 5 cincos. *i metemos las die8dos " slo 5 cincos. *i metemos las die8

bolillas en una bolsa " las me8clamosbolillas en una bolsa " las me8clamos

suficientemente, la probabilidad que tiene unasuficientemente, la probabilidad que tiene unabolilla individual de ser etra-da es la mismabolilla individual de ser etra-da es la misma

para cualquiera de las bolillas.para cualquiera de las bolillas.


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En esas condiciones, si sacamos cinco bolillasEn esas condiciones, si sacamos cinco bolillas

sucesivas, me8clndolas previamente en cadasucesivas, me8clndolas previamente en cadaoportunidad, es ra8onable pensar que vamos aoportunidad, es ra8onable pensar que vamos a

etraer el 5 en mas oportunidades que el / el .etraer el 5 en mas oportunidades que el / el .


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Esta forma de obtener la muestra es lo que seEsta forma de obtener la muestra es lo que seconoce comoconoce comoMuestreo AleatorioMuestreo Aleatorio..


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El muestreo aleatorio no (aranti8a que laEl muestreo aleatorio no (aranti8a que la

muestra va a ser representativa de la poblacin,muestra va a ser representativa de la poblacin,

pero al eliminar todapero al eliminar toda influencia eternainfluencia eterna en elen el

acto de etraer un elemento de la poblacin, laacto de etraer un elemento de la poblacin, la

proporcin de cada uno estar influ-da slo porproporcin de cada uno estar influ-da slo por

la cantidad de veces que est presente en lala cantidad de veces que est presente en lapoblacin de la cual se etrae la muestra.poblacin de la cual se etrae la muestra.



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2

5

3

7

3

32

6

2

2

5

3

7

3

32

6

2

Poblacin o Unierso

de Mediciones

M!estra

"e#resentatia

$%traccin&leatoria$%traccin&leatoria


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Entonces, reali8ando el muestreo en formaEntonces, reali8ando el muestreo en forma

aleatoria 6al a8ar7,aleatoria 6al a8ar7, la probabilidadla probabilidad de obtenerde obtener

una muestra representativa de la poblacin esuna muestra representativa de la poblacin es

ma"or que si en la eleccin de los elementos dema"or que si en la eleccin de los elementos de

la muestra interviene la voluntad del quela muestra interviene la voluntad del que

efecta la operacin o al(n otro factor deefecta la operacin o al(n otro factor deinfluencia.influencia.


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in de !esinin de !esin

C2 Parametros Población- Control Estadístico de Procesos

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