Caja Pitagórica 2° primaria - WordPress.com€¦ · Title: Caja Pitagórica 2° primaria Author:...
66
Obra protegida por SEP - INDAUTOR Registro Público 03-2009-121509472200-01. 03-2009-121510143500-14. La piratería es un delito.
Transcript of Caja Pitagórica 2° primaria - WordPress.com€¦ · Title: Caja Pitagórica 2° primaria Author:...
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
AutorÁngel Luna
Caja Pitagórica2° de Primaria
Base de datos03-2009-121509472200-01
Dibujo03-2009-121510143500-14
Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, sin autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales.
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
TRABAJANDO CON LOS NATURALES Y SUS
APLICACIONES, EXPLORANDO A PITÁGORAS
Ángel LunaPRIMARIA 2
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
Índice
Lista de materiales de la Caja PitagóricaIntroducción •Propósitosgenerales •Antecedentes •Justificación •Objetivosgenerales Actividades con números naturalesActividad 1 •AprendiendoacontarconlosnúmerosnaturalesActividad2 •AgruparparafacilitarActividad3 •ProblemasaditivosydesustracciónActividad4 •PerímetroysuperficieActividad5 •MediciónyaproximaciónActividad6 •MediciónActividad7 •RepartosActividad8 •DescomposicióndefigurasgeométricasActividad9 •SumayrestaconreagrupacióndeunidadesadecenasActividad10 •MultiplicaciónyáreaActividad11 •AsociarfacilitaresponderActividad12 •SeráPitágorasActividad13 •¿TangramyPitágoras?Actividad14 •ConstruyendoaPitágorasActividad15 •TriánguloPitagóricoActividad16 •ÁreasigualesyesPitágoras
....................................................7..................................................................................................11
......................................................................................................17
......................................................................................................19
......................................................................................................21
......................................................................................................22
......................................................................................................24
......................................................................................................26
.......................................................................................................27
......................................................................................................28
......................................................................................................29
....................................................................................................31
....................................................................................................32
....................................................................................................33
....................................................................................................35
....................................................................................................36
....................................................................................................38
....................................................................................................40
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
Actividad17 •¿QuétriángulosdeterminanPitágoras?Actividad18 •CorteparaPitágorasActividad19 •NosiemprecortoparaPitágorasActividad20 •TeselasActividad21 •Ejercicioslibres
El cuadrado mágicoIntroducción •ObjetivosCuadradomágico,eljuegoclásico •AplicacionesActividad22 •EjerciciosElcuadradomágicode4×4Actividad23 •EjercicioslibresElcuadradoperfectoElcuadradodelcaballo
....................................................................................................41
....................................................................................................42
....................................................................................................42
....................................................................................................43
.....................................................................................................44
....................................................................................................47
...............................................................49
....................................................................................................53
...........................................................................58....................................................................................................60
......................................................................................63
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
7
Lista de materiales de la
Caja Pitagórica
1 Tablero de 8×8 casillas
1 Tablero de 10×10 casillas
1 Triángulo pitagórico
100 Cubos de 1×1×1 20 Tabletas de 2×2×1 10 Tabletas de 5×5×1
1 Tablero de 6×6 casillas
3 Acetatos de 18×18(compás)
3 Acetatos de 18×18 (ruleta)
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
8
4 Tangramas 2 Tangramas gigantes
10 Regletas de 10×1×1 10 Regletas de 5×1×1
14 Tabletas de 10×10×1
10 Regletas de 2×1×1
25 Fichas azules 25 Fichas blancas
64 Fichas rosas 50 Fichas amarillas 36 Fichas verdes
122 Fichas numéricas
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
9
75 Tarjetas comodines 3 Compáses
36 Cuadriláteros(3 colecciones de 12)
12 Triángulosrectángulos de 30º y 60º
3 Ruletas pitagóricas3 Adaptadores
1 Abanico pitagórico
1 Dado dodecaedro
* El color real del contenido de la Caja Pitagórica puede variar respecto al mostrado en esta guía didáctica
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
11
Las matemáticas son el resultado del quehacer humano, del intento de resolver proble-mas concretos. Los alumnos de segundo grado de primaria han adquirido ya algunas nociones matemáticas, pero deben seguir construyendo y reforzando sus conocimientos en esta disciplina, a partir de experiencias concretas. El éxito en el aprendizaje de las matemáticas descansa en el diseño de ejercicios que promuevan la construcción de con-ceptos, pero además que permitan reforzar los conocimientos ya adquiridos. En estas actividades, las matemáticas deben ser funcionales y flexibles, de forma tal que permitan a los alumnos resolver los problemas que se les planteen.
El alumno debe concluir, a partir de estas experiencias de aprendizaje, que las mate-máticas le permiten resolver problemas diversos de naturaleza científica, técnica, artística y de la vida cotidiana.
El contar con las habilidades, los conocimientos y las formas de expresión que la es-cuela proporciona permite la comunicación y comprensión de la información matemáti-ca presentada a través de medios de distinta índole.
Propósitos generalesEn la escuela primaria, los alumnos deberán adquirir conocimientos básicos de las mate-máticas y desarrollar:
• La capacidad de utilizar las matemáticas como un instrumento para reconocer, plantear y resolver problemas.• La capacidad de anticipar y verificar resultados.• La capacidad de comunicar e interpretar información matemática.• La imaginación espacial.• La habilidad para estimar resultados de cálculos y mediciones.• La destreza en el uso de ciertos instrumentos de medición, dibujo y cálculo.• El pensamiento abstracto por medio de distintas formas de razonamiento, entre
otras, la sistematización y generalización de procedimientos y estrategias.
Introducción
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
12
AntecedentesEn el campo matemático, como en todas las demás áreas del saber humano, el alumno puede construir algunos conocimientos. Desde su infancia, ha desarrollado actividades o juegos donde realiza comparaciones entre objetos, reflexiona ante los hechos que obser-va, busca soluciones a los problemas que surgen de dichos juegos y a las situaciones que se le presentan en su vida cotidiana. Son este tipo de situaciones las que le permiten ir construyendo relaciones de semejanza, diferencia y orden entre objetos.
Una de las actividades más recreativas y de gran importancia en el proceso de apren-dizaje de los alumnos del segundo grado de primaria, corresponde al llamado cuadrado mágico, un pasatiempo matemático que involucra operaciones básicas. Estudiar el cua-drado mágico permite al niño reforzar los métodos de conteo e involucra aspectos que conciernen a la manipulación de objetos de cierta naturaleza (nociones de conjuntos), siendo en este caso números y la combinación de los mismos de forma tal que se obtenga el resultado deseado.
Además se aborda de manera implícita el estudio del Teorema de Pitágoras. Una de las mo-tivaciones para incluir su estudio en el segundo grado de primaria, descansa en su utilidad en actividades cotidianas, es decir, en las aplicaciones indirectas de dicho teorema. Al res-pecto, describamos la siguiente situación (los demás casos se adaptan a situaciones como la que se plantea a continuación): coloquemos a un niño que ya camina sin dificultad en la esquina de una habitación rectangular, y en el lado diametralmente opuesto un regalo (sobre la diagonal del rectángulo). Pidamos al menor que vaya por el regalo. Si repetimos varias veces este experimento, podremos observar que en general la trayectoria que se-guirá (salvo casos excepcionales) será la diagonal. Inconscientemente, el menor hace uso de manera implícita de una de las consecuencias del Teorema de Pitágoras: “la distancia más corta entre dos puntos en un plano es una línea recta”. Podríamos reproducir la situación en otros niños y más aún en otro tipo de seres vivos. Por ejemplo, si utilizamos a un perro o a un gato y colocamos alimento, según sea el caso, obtendremos una conclusión similar sobre la trayectoria por donde se desplazarán. Nos preguntamos entonces, de manera natural: ¿conocen estos animales el Teorema de Pitágoras? Salvo que alguien demuestre lo contrario nuestra respuesta es: no. Podríamos inferir que la decisión de moverse a lo largo de esa trayectoria está ligada con la experiencia adquirida de manera empírica, el tiempo que requerimos para desplazarnos de un lugar a otro1. Por lo tanto, tomar esa trayectoria o camino involucra un problema de optimización. Sin embargo, si utilizamos a una rata en el experimento anterior, observaremos que la mayoría de las veces se desplaza por las paredes. ¿Por qué sucede esto?
Podemos entonces concluir que el Teorema de Pitágoras está relacionado con al menos una situación de carácter real, en este caso de distancia2 (aplicaciones en geometría, física, etc.), la cual puede formularse utilizando una expresión matemática.
1 Aplicación del concepto distancia-tiempo.2 Únicamente se considera la distancia en un plano o en el espacio.
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
13
JustificaciónEl material didáctico permite al alumno, a través de actividades y juegos, comprender y entender que una cantidad no varía, a menos que se le agreguen o quiten elementos; con-cluir cuándo una cantidad es mayor, menor o igual que otra, etc. Esto estimula al alumno a investigar, aplicar los métodos de ensayo y error e intentar diversas soluciones a un mismo problema.
El alumno posiblemente tenga dudas al adquirir un nuevo conocimiento. Sin embargo, durante el proceso de aprendizaje, esto mismo puede ser aprovechado por el maestro para propiciar la reflexión y con ello facilitar el aprendizaje del alumno.
Con respecto al Teorema de Pitágoras, su aplicación no se limita a lo mencionado en la sección anterior. Sus alcances y aplicaciones son tales que, introducirlo de manera infor-mal3, facilitará al alumno el uso de conceptos y aspectos matemáticos relacionados con el mismo en cursos posteriores.
La Caja Pitagórica es un material didáctico que permite a los alumnos de segundo grado trabajar implícitamente con dicho teorema. Esto es posible porque expone, de manera arit-mética y geométrica, el famoso resultado (no se requiere su representación algebraica).
Parte del propósito del material es estimular las áreas cognoscitivas y lúdicas de los alumnos de este nivel. Esto se realiza utilizando los principios concreto-abstracto y abstracto-concreto, lo cual permite al alumno relacionar aspectos aritméticos y geomé-tricos, bajo ciertos procedimientos de aprendizaje, cuyo objetivo general es estimular los campos formativos de espacio, forma y medida.
Este material permite trabajar el aspecto concreto-abstracto, estimulando áreas de creatividad, destreza, razonamiento deductivo, etc. Además se aborda el aspecto abstrac-to-concreto, con el objetivo de que el alumno pueda aplicar, en caso de ser posible, un aspecto teórico a situaciones concretas, estimulando su razonamiento deductivo.
Por otro lado, debido a la naturaleza de los materiales didácticos, el maestro puede dise-ñar e implementar actividades adicionales con los mismos e incorporar tales actividades, según le convenga.
El aprendizaje se genera de la interacción entre el alumno y los objetos de conocimiento. El interactuar con objetos concretos facilita al alumno construir su conocimiento.
Observación:
3 Podemos trabajar con él, sin mencionarlo por su nombre.
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
14
Objetivos generalesLos objetivos generales al utilizar el material didáctico son:
• Desarrollar la intuición espacial.• Desarrollar la observación, análisis, destreza manipulativa y creatividad.• Reconocer triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, octágono, etcétera.• Saber interpretar medidas, utilizando regla, escuadra, compás, etcétera.• Realizar construcciones y transformaciones geométricas.• Descubrir los principales elementos de los cuerpos geométricos: caras, vértices y aristas, y adquirir sentido de orientación.• Distinguir las rectas paralelas de las perpendiculares, así como diferenciar superficies planas y curvas.• Calcular longitudes y áreas, utilizando unidades de medidas arbitrarias y convencio- nales, así como retículas.• Identificar y trazar ejes de simetría de cuerpos geométricos.• Comprender el significado de los números y los símbolos que los representan y poder utilizarlos como herramientas para solucionar diversos problemas.
Se refuerzan además los temas concernientes a:
• El estudio de los números naturales o enteros positivos, relación de orden, leyes de tricotomía, valor posicional, localización en la recta numérica, sucesor, antecesor.• Los métodos de conteo (suma y resta), las propiedades asociativas y conmutativas en los números, así como el estímulo del cálculo mental.• Los conceptos horizontal, vertical y perpendicular, y su relación con los conceptos de renglón y columna en una matriz. Se introduce el concepto de diagonal.• Introducción de los conceptos de sucesión, serie, matriz cuadrada, diagonal, sistema de referencia.• Estimulación del razonamiento matemático.
Aunque los objetivos son muy generales, pueden inducirse adecuadamente en segundo grado, teniendo en consideración que en, muchas ocasiones, la implementación de los mismos es implícita y no explícita pues, en muchos casos, no es necesario conocer de manera formal un concepto matemático, sino sólo familiarizarse o intuirlo para poder utilizarlo (relación numero-operaciones). Por ejemplo, los tableros incluidos en el material didáctico permiten introducir el concepto de matriz (haciendo ver al alumno que la figura representa en particular a este ente matemático) o simplemente llamarlo tablero. Ésto permite manejar conceptos como reglones o columnas, horizontales, verticales, perpen-dicularidad, diagonales; a su vez, permite diferenciar los conceptos de vertical y perpen-dicularidad. Por ejemplo, si es vertical es perpendicular; sin embargo, si es perpendicular
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
15
no necesariamente es vertical (es decir, su recíproco no es cierto). Para ello, basta poner el tablero en posición vertical y perpendicular (con respecto uno al otro) Para observar la diferencia.
Permite además utilizar un sistema de referencia (posición) para diferenciar que un objeto y otro están colocados en distintos lugares o en el mismo (como en el ajedrez).
El maestro debe promover, hasta donde le sea posible, las siguientes habilidades:
• Flexibilidad del pensamiento• Reversibilidad del pensamiento• Memoria generalizada• Clasificación completa• Estimación• Imaginación espacial Con esto se pretende que el alumno, al interactuar con su realidad, sea capaz de cons-
truir las nociones de la matemática y adquiera el lenguaje propio de ésta. Ello le permitirá desarrollar procesos cuantitativos, cualitativos y relacionales, y aplicarlos a la solución de sus problemas cotidianos.
Las siguientes actividades permiten reforzar habilidades referentes a: manipula-ción, comparación, conteo, estimulación de los procesos de razonamiento, ya que el alumno realiza comparaciones entre objetos, agrega o quita éstos, etcétera.
La implementación de las actividades puede modificarse a criterio del maes-tro, según lo considere conveniente.
Observación:
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
16
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
17
Aprendiendo a contar con los números naturales
El conteo oral es un recurso valioso para el trabajo con cantidades, y es un antecedente necesario, para iniciar el aprendizaje de la representación simbólica de los números. Para contar se necesita, además de conocer la serie verbal de los números, establecer una co-rrespondencia uno a uno entre la serie verbal y los objetos que se van contando, como por ejemplo: uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4) y así sucesivamente hasta llegar al diez (10). En este caso, el orden en esta serie numérica se relaciona con las leyes de tricotomía (comparar el tamaño o medida entre objetos). Se establece la relación de tamaño entre un objeto y otro, para lo cual utilizamos los conceptos igual, menor y mayor, sucesor y antecesor. De esta manera, podemos diferenciar cuando un objeto es mayor, menor o igual que otro.
1.- Con los cubos de tamaño 1×1×1, el alumno debe construir la siguiente disposición:
Actividades con
números naturales
Ejercicios:
Actividad 1
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
18
2.- Considere los siguientes números distintos entre sí. Realice todas las combina-ciones, tal como se muestra:
3.- Construya las siguientes disposiciones de números y todas las combinaciones posibles:
a) 4, 6, 8b) 2, 8, 5c) 3, 7, 4d) 5, 9, 1e) 7, 3, 9
4.- Realice la siguiente variante: proporcione a cada equipo de tres alumnos las tres piezas distintas de los cuadriláteros. Asocie los números 1, 2 y 3, como se muestra en la figura:
Pregunta:
• ¿Son todas las combinaciones posibles?
Preguntas:
• En cada caso ¿cuál es el número total de combinaciones que pueden construirse?• ¿Qué puede concluir de esto? • ¿Cuántas disposiciones tienen los números colocados en forma ascendente o des-cendente?
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
19
Agrupar para facilitar
Posiblemente, el alumno ha tenido que resolver una situación como la siguiente: Carlos tiene 16 dulces y debe repartirlos entre sus tres hermanos y él. ¿Cuántos dulces le tocan a cada uno? ¿Sobrarán dulces? Para resolver este problema, necesitamos hacer uso del agrupamiento. El propósito de esta actividad es que el alumno se familiarice y reflexione sobre el principio de agrupar o desagrupar que caracteriza a los sistemas de numeración.
1.- Forme equipos de cuatro alumnos. Uno de ellos que asuma el rol que desempeña Car-los en el problema. Proporcione a éste 16 cubos de tamaño 1×1×1. Los alumnos deben colocarse alrededor de una mesa. El responsable repartirá de uno en uno los cubos a cada alumno. La repartición deberá quedar tal como lo muestra la siguiente figura:
Podemos concluir así que 4 agrupaciones de 4 dulces son igual a 16 dulces.
Actividad 2
Preguntas:
• ¿Alcanzaron los dulces?• ¿Cuántos le tocaron a cada uno?• ¿Sobraron dulces?
Ejercicios:
Construya todas las combinaciones, tal como se hizo con los cubos. ¿Se modifica el número de disposiciones encontradas? Explique.
En la disposición: 1, 2, 3 se tiene que el 1 es el antecesor del 2 y el 3 es el sucesor del 2, luego decimos que la pieza pequeña es el antecesor de la pieza mediana, mientras que la pieza grande es el sucesor de la pieza mediana ¿Qué puede concluir respecto de los cubos? Ahora reemplace el papel del 1, 2 y 3, por los valores 4, 5 y 6, respectivamente. En este caso el 4 es el antecesor del 5, y el 6 es el sucesor del 5. Proponga otros valores, para tres cantidades consecutivas, pero debe mencionar que el orden de colocación es ascendente.
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
20
2.- Realice lo anterior considerando sólo tres alumnos y 21 cubos de tamaño 1×1×1. Debe obtenerse la siguiente distribución de dulces:
a) Si tiene cuatro agrupamientos de 3 cubos ¿cuántos cubos tiene en total?
b) Si tiene tres agrupamientos de 5 cubos ¿cuántos cubos tiene en total?
Puede realizar la actividad utilizando las fichas, tabletas, regletas, cuadriláteros y el tan-gram incluidos en el material didáctico.
Preguntas:
• ¿Cuántos agrupamientos se lograron?• ¿Cuántos cubos tiene cada agrupamiento?
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
21
Problemas de adición y de sustracción
Los problemas de adición, es decir, los problemas que se resuelven con una suma, así como los problemas de sustracción, que se resuelven con una resta, nos muestran las di-ferentes relaciones entre los datos. A lo largo de la educación primaria, en la medida que el alumno resuelve diferentes tipos de problemas, se enriquece el significado que para él tienen estas operaciones.
El propósito es que el alumno de segundo grado de primaria desarrolle procedimien-tos para sumar y restar, y comprenda los algoritmos.
• Rosa tenía 9 caramelos y le regaló 4 a Antonia. ¿Cuántos caramelos le quedaron a Rosa?
• Pedro quiere tener 12 canicas y apenas tiene 7. ¿Cuántas le faltan?
1.- Iván tenía 4 caramelos. Juanita le dio 5 caramelos más ¿Cuántos caramelos tiene ahora?2.- Pedro tiene 4 caramelos y 5 chocolates. ¿Cuántas golosinas tiene en total?3.- Luis tiene 5 canicas. José tiene 4 canicas ¿Cuántas canicas tiene de más Luis?4.- Plantear un problema que implique agregar y otro que implique quitar, dos problemas que impliquen igualar cantidades, dos problemas que im-pliquen unir cantidades, dos problemas de comparación de cantidades.
Actividad 3
Ejercicios:
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
22
Perímetro y superficie
Esta actividad pretende propiciar el uso de procedimientos indirectos para medir períme-tros y superficies. Además, nos muestra lo útil y necesario que es utilizar unidades de me-dida longitudinal y de área. El método de medición utilizado nos ayuda a dar significado a los procedimientos formales.
En su iniciación en la geometría, es importante que el alumno comience con la mani-pulación, observación y análisis de formas diversas.
1.- Construyan con los cubos de 1×1×1 la siguiente figura:
Acomoden de otra manera los 10 cubos de 1×1×1 en la cuadrícula. Hagan otras dos figuras diferentes, cada una con 10 cubos de 1×1×1, como las que se muestran a conti-nuación:
Actividad 4
Pregunta:
• Si tomas como unidad de longitud el lado de uno de los cuadrados, ¿el contorno de toda la figura mide 18 unidades?
El contornomide 22 unidades
frente lateral
El contornomide 20 unidades
Ejercicios:
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
23
2.- Con las indicaciones del maestro, realicen un tapete de cubos de 1×1×1 de diferentes tamaños, como el ejemplo siguiente:
3.- Construyan un cuadrado y después un rombo con las regletas 5×1×1 que contiene la Caja Pitagórica.
4.- Construyan un triángulo con las regletas 5×1×1.
Preguntas:
• ¿Todas las figuras están formadas con 10 cubos de 1×1×1?• ¿La medida del contorno cambia en cada figura o es siempre la misma? • ¿Por qué?
Pregunta:
• ¿Cuántos cubos hay en el tapete y cuánto mide su contorno?
Pregunta:
• ¿Qué es lo que cambia?
Pregunta:
• ¿Se puede cambiar la forma de la figura?
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
24
5.- Realicen estas construcciones de mosaicos, para saber si tu respuesta es correc-ta, cuenta los cubos 1×1×1 o regletas que tiene cada figura.
Preguntas:
• ¿Cuál figura mide 11 cubos de 1×1×1?• ¿Cuál es la figura que tiene menos cubos de 1×1×1?
Medición y aproximación
Esta actividad permite reflexionar acerca de la relación entre el proceso de medición y el sistema de medida utilizado.
Los aspectos relacionados con la medición ocupan un lugar relevante en la educación primaria, ya que constituyen una herramienta para abordar otros temas. La estimación, el uso de unidades de medida arbitrarias y, en general, el uso de procedimientos informales para resolver problemas ocupan un lugar importante en el desarrollo de diversas activi-dades.
La comparación es una actividad inherente a la medición. Algunas veces el resultado de la comparación es cualitativo y cuantitativo.
Actividad 5Obr
a pr
oteg
ida
por
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
25
1.- Para aprender a medir con las regletas, tabletas y cubos que contiene el material di-dáctico, el maestro proporciona a cada equipo las regletas de tamaño 10×1×1, 5×1×1 y 2×1×1; las tabletas de tamaño 10×10×1, 5×5×1 y 2×2×1 y el cubo de 1×1×1. Se utiliza la regla para medir cada uno de los lados de las piezas y obtener así su perímetro.
a) Cuando terminen, elaboren una tabla con el nombre de los equipos y anoten ahí las medidas obtenidas. El o los equipos que obtengan las medidas correctas de las piezas serán los ganadores.
b) Solicite a los alumnos que midan las longitudes de diversos objetos, utilizando las regletas de tamaño 10×1×1, 5×1×1 y 2×1×1 o los cubos de 1×1×1. Veamos el siguiente ejemplo:
2.- Realizar las medidas arbitrarias (utilizando las regletas de diversos tamaños) de dife-rentes objetos:
a) Un cuaderno b) Una llave c) Un borrador
d) Un sacapuntas e) Una grapa
Ejercicios:
El lápiz mide:
01
23
45
67
89
10
01
23
45
67
89
10
01
23
45
67
89
10
01
23
45
67
89
10
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
26
Medición
1.- Tome los tres cuadriláteros de diferentes tamaños o los tres triángulos distintos (isós-celes) del tangram, coloque uno sobre otro en forma descendente (es decir de mayor a menor), tal como se muestra en la figura:
• Ahora ordene las piezas, considerando la longitud o tamaño longitudinal del lado común de las piezas. Para esto asocie al mismo el valor numérico del entero más próximo a dicha longitud. Puede utilizar una regla graduada en centímetros o los cubos de tamaño 1×1×1, los cuales tienen un centímetro en cada lado del cuadrado o tableta, según se requiera. Ordene en forma ascendente y luego descendente.
2.- Considere la siguiente variante de la actividad anterior: solicite el uso de un cordón para medir cada pieza, de forma tal que su longitud coincida con el perímetro de ésta. Extienda la misma y compare las longitudes, ya sea de manera visual o mídala utilizando para ello el entero más próximo a dicha longitud. Obtenga conclusiones.
El, alumno debe concluir que, independientemente del uso de cualquiera de estos dos métodos, la respuesta es la misma. ¿Qué ocurre si comparamos áreas?
Preguntas:
• ¿El orden ascendente en función del valor numérico, correspondería al orden, según el tamaño visual de la pieza? • Si realizamos lo mismo para los demás lados comunes de las piezas ¿la disposición es la misma? • Si no consideramos la relación de los lados comunes, sino que realizamos todas las combinaciones posibles ¿obtenemos algunas otras disposiciones? En caso afirmativo, muestre dichas disposiciones.
Actividad 6
Ejercicios:
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
27
Actividad 7
Repartos
Al enfrentar problemas de repartición, los alumnos abordan de manera indirecta un pro-blema de división. Para entonces, ya tiene conocimientos sobre la suma, la resta y la mul-tiplicación. Esto les permite implementar procedimientos para repartir (dividir), antes de abordar el procedimiento usual.
La actividad se realiza con los cubos de 1×1×1 contenidos en el material didáctico.
Realice las siguientes reparticiones y describa las operaciones apli-cadas. Veamos el siguiente ejemplo:
Antonio tiene varios cubos que, de lunes a viernes, guardó
cada día de manera diferente en bolsas de plástico.
a) El lunes, repartió 42 cubos en partes iguales en 6 bolsas. ¿Cuántos cubos guardó en cada bolsa? ¿Alguna bolsa quedó incom-pleta?
b) El martes, repartió 4 cubos en cada bolsa y llenó 8 bolsas. ¿Cuántos cubos guardó?
c) El miércoles, repartió 48 cubos por partes iguales en 6 bolsas. ¿Cuántos cubos guardó en cada bolsa?
¿Sobraron cubos?
d) El jueves, repartió 69 cubos, guardando 8 cu-bos en cada bolsa. ¿Cuántas bolsas llenó? ¿Cuántos
cubos sobraron?
e) El viernes, repartió 72 cubos en 7 bolsas. Le sobraron 2 cubos. ¿Cuán-
tos cubos guardó en cada bolsa?
Ejercicio:
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
28
Descomposición de figuras geométricas
Esta actividad propone clasificar, identificar y construir cuerpos geométricos, así como relacionar con éstos distintas figuras geométricas. Tiene el propósito de que el alumno sea creativo en el armado de sus construcciones. Se busca así que el análisis de las pro-piedades geométricas se dé de la forma más natural posible, como respuesta a problemas interesantes para el alumno.
En esta actividad, al utilizar figuras geométricas para construir cuerpos geométricos con las regletas de 10×1×1 y 5×1×1, se relacionan el número de lados de un cuerpo con las figuras necesarias para construirlo.
Primero, debe indicarle al alumno el nombre de cada una de las figuras geométricas y la razón por la que se les da tal nombre, como por ejemplo el cuadrado y el rectángulo, de manera que el alumno reconozca al primero por tener sus cuatro lados iguales y perpen-diculares entre sí y al segundo por tener dos lados iguales y diferentes a los otros dos que son iguales entre sí. Deben mostrársele también los diferentes triángulos: el equilátero, que tiene los tres lados iguales; el isósceles, que tiene dos lados iguales, y el rectángulo, que tiene un ángulo recto; así como el hexágono, que tiene seis lados; el pentágono, que tiene cinco lados, y el octágono, que tiene ocho lados. Todas estas figuras geométricas son parte fundamental del material didáctico, para construir cuerpos geométricos.
a) Los alumnos deben formar un rectángulo con dos triángulos rectángulos hechos con las regletas de 10×1×1 y 5×1×1. Posteriormente lo deben desarmar y formar un triángulo isósceles.
b) Los alumnos deben formar un cuadrado con dos triángulos rectángulos del mismo tamaño hechos con las regletas de 10×1×1 y 5×1×1. Luego deben desarmarlo y formar un paralelogramo.
Actividad 8
Ejercicio:
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
29
Suma y resta con reagrupación de unidades a decenas
Los alumnos pueden construir, poco a poco, los procedimientos usuales para sumar y restar, a partir de sus conocimientos sobre los principios de base y posición del sistema decimal. En esta actividad se plantea una secuencia con algunas situaciones que llevan a la construcción de estos procedimientos de opera-ciones de suma y resta con reagrupación de unida-des a decenas y desagrupando decenas a unidades.
1.- Realiza la siguiente suma conlas regletas de 10×1×1 y los cubos de 1×1×1:
Actividad 9
Ejercicios:
c) Los alumnos deben formar un paralelogramo con un rectángulo y dos triángulos rectángulos del mismo tamaño (las tres figuras con la misma altura) hechos con las regle-tas de 10×1×1 y 5×1×1. Luego deberán desarmarlo y formar un rectángulo.
En esta actividad pueden utilizarse las piezas del tangram. El desafío consiste en que el alumno utilice las piezas adecuadas para reproducir lo anteriormente expuesto.
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
30
2.- Realiza las siguientes sumas y las representaciones correspondientes utilizando decenas y unidades, en caso de ser necesario:
a) 15 + 45 b) 37 + 58 c) 26 + 18
3.- Realiza las siguientes sumas con las regletas de 10×1×1, las tabletas de 10×10×1 y los cubos de 1×1×1:
4.- Realiza las siguientes sumas y las representaciones correspondientes utilizando cente-nas, decenas y unidades, en caso de ser necesario:
a) 900 + 30 + 7 b) 700 + 70 + 9
5.- Realiza los siguientes ejercicios de sustracción:
• 15 8 _____
• 13 6 ______
• 16 7 ______
− −
−
−
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
31
Multiplicación y área
A lo largo de las actividades de este tema se analizan dos aspectos de la multiplicación: sus significados y las técnicas para resolver esta operación. Realice la actividad con los cubos de 1×1×1 y las regletas de 10×1×1, de 5×1×1 y de 2×1×1. Para ello se utiliza la relación entre la multiplicación y el área de cuadrados y rectángulos.
El cálculo del área de una figura lo podemos hacer de dos formas.
a) Sumando los cubos uno por uno:
Realizen los siguientes operaciones:
Actividad 10
Ejercicio:
b) Multiplicando los cubos del ancho por los cubitos del largo:
Las siguientes actividades permiten reforzar habilidades referentes a: manipulación, comparación, conteo y estimulación de los procesos de razonamiento, ya que el alumno compara entre objetos, agrega o quita objetos, etc. Además se abordan temas relacionados con geo-metría. Con estos conocimientos básicos se obtienen construcciones concernientes al Teorema de Pitágoras. Es importe recordar que no se requiere mencionar el teorema para desarrollar estas actividades.
Observación:
a) b) c)Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
32
Asociar facilita responder
El conteo nos permitirá abordar temas matemáticos más complejos. El alumno de se-gundo grado ha desarrollado, de manera más formal, la habilidad de contar. Podrá en-tonces concluir que puede utilizar la habilidad de contar, para determinar cuándo dos colecciones de objetos contienen la misma o diferente cantidad de elementos, sin reque-rir de comparaciones directas entre estas colecciones. Lo siguiente permite al alumno determinar entre dos colecciones, cuál tiene más, menos o la misma (igual) cantidad de objetos. Esto sin la necesidad de saber contar o enumerar. Para ello, sólo basta asociar los elementos de un grupo con los del otro. Sin embargo, el asociar a estos elementos términos de series numéricas, facilita conclusiones. Debemos aclarar que, en este caso, la serie numérica utilizada corresponde a los números naturales y satisface la condición de que entre dos números consecutivos la diferencia es siempre 1.
Integre equipos de cuatro alumnos, subdivídalos en dos y asigne un nombre para cada uno. Entregue a los mismos diferentes cantidades de cuadriláteros iguales (puede utilizar otras piezas del material didác-tico como, por ejemplo, los cubos de tamaño 1×1×1 o las regletas, según requiera la actividad). Pida que los depositen sobre la mesa y formen dos grupos de cuadriláteros o cubos, sin contar, como se muestran en la siguiente figura:
En el primer grupo de las figuras anteriores distinga entre los dos grupos; por ejemplo, llame a uno el grupo A y al otro el grupo B. Tome un elemento del grupo A y apílelo sobre un elemento del grupo B, de forma tal que uno cubra al otro completamente (pue-de realizarlo con orden o sin orden). Repro-duzca el paso anterior hasta utilizar todos los
elementos del grupo A. En este caso, como lo muestra la figura, el grupo A tiene menos elementos que el grupo B, pues los elementos del grupo A se terminaron y no cubrimos a todos los elementos del grupo B.
Actividad 11
Ejercicio:
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
33Será Pitágoras
1.- Solicite a los alumnos que tomen cuatro cuadriláteros del mismo tamaño, o proporcione los mismos a equipos de 2 in-tegrantes. Indique que armen dos cuadrados, uno hueco y el otro no. Tal como se muestra en la figura siguiente:
Actividad 12
Ejercicios:
En el segundo caso, ambos grupos tienen el mismo número de elementos. La figura muestra que los elementos del grupo A permiten cubrir a los elementos del grupo B, y no hay piezas sobrantes en ninguno de los grupos.
En el último caso, hay más elementos en el grupo A, pues cubrimos a todos los elementos del grupo B y nos sobran elementos del grupo A (tal como lo muestra la figura).
Es así como hemos analizado los tres casos posibles. Esto facilitará más adelante abordar los conceptos de mayor que, menor que o igual, además de visualizar que sólo puede ocurrir una y sólo una de las situaciones anteriores.
Podemos modificar la actividad anterior. Por ejemplo, considere piezas de diferentes tamaños, arme dos grupos y pregunte ¿cuál grupo tiene más? ¿El tamaño de las pie-zas modifica la respuesta? Recuerde al alumno que se está considerando solamente el número de piezas en cada grupo y no la característica de las piezas.
Pídales, además, que proporcionen numéricamente el total de piezas en cada caso. ¿Se modifican las conclusiones obtenidas previamente? Al utilizar el valor numérico ¿qué criterio se usa para obtener la conclusión?
Observación:
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
34
Recuerde a los alumnos que la pieza armada recibe el nombre de cuadrado. Pida que cada miembro del equipo arme uno de ellos. Por ejemplo, puede solicitar que ar-
men el cuadrado sin hueco y que coloquen todos en orden ascendente o descendente.
• Haga lo mismo con los cuadrados huecos. Solicite que unos armen un cuadrado con hueco y otros el cuadrado sin hueco, y que los coloquen según usted lo indique.
• Solicite al alumno que arme otro tipo de figuras y las muestre a sus compañeros.
2.- Con 4 cuadriláteros iguales construya el cuadrado sin hueco correspondiente. A partir de estas piezas construya otras figuras. ¿Qué características tienen dichas figuras? ¿Las áreas que cubren son las mismas? Justifique su respuesta.
3.- Solicite que armen el cuadrado con hueco y respondan lo siguiente: ¿qué forma tiene el hueco?
4.- Considere todos los cuadriláteros y forme los tres grupos distintos en función de su tamaño. ¿Qué grupo tiene más? Justifique su respuesta.
5.- A partir del ejercicio 4, dé diversos ejemplos donde los grupos tengan distinta can-tidad de elementos, ¿Hallaron 3 combinaciones diferentes? Compare los elementos de las mismas e indique cuál grupo tiene mayor o menor cantidad.
Preguntas:
• ¿Qué forma tienen las figuras que armó?• ¿Qué otras disposiciones propone?• ¿Qué sucede si agrega más piezas al grupo de piezas originales? • Con 5 piezas iguales ¿pueden construir un cuadrado? • Con 6 piezas iguales ¿pueden construir un rectángulo?
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
35
¿Tangram y Pitágoras?
Utilizaremos los dos tangrams. Permita a los alumnos manipular las piezas de un tan-gram. Indique que mencionen el nombre de cada una de las piezas. Con el primer tan-gram construya un cuadrado y con el otro construya dos cuadrados del mismo tamaño (mencione que para armar uno de los dos cuadrados se utilizan dos piezas iguales, las restantes cinco permiten construir el otro cuadrado). Es claro entonces que los dos cua-drados iguales cubren la misma área que el cuadrado mayor. ¿Por qué?
Ahora, solicite a cada equipo que arme los cuadrados construidos. En caso de dificul-tad, el maestro debe de apoyar al alumno.
Solicite que construyan sus propias figuras a partir de las piezas de un tangram o, utilizando las tarjetas, que armen las figuras que se sugieren. ¿El área de cualquier figura armada, utilizando el tangram, es la misma? Justifique
Actividad 13
Ejercicio:
a)
b)
Preguntas:
• ¿Qué cuadrado es más fácil de armar?• ¿Cuál es el más difícil?• ¿Qué te parece la actividad?• ¿Qué figuras planas constituyen al tangram?
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
36
El problema de comparar la superficie de dos figuras por superposición y recubri-miento permite al alumno de primaria estudiar de manera indirecta al Teorema de Pitágoras. ¿Cuántas veces hemos oído mencionar la siguiente frase: “Pitágoras no se equivocó”, sin referirnos de manera explícita al resultado como tal? El teorema lleva su nombre porque la tradición es unánime en atribuir a Pitágoras el descubrimiento independiente del teo-rema del triángulo rectángulo que ahora lleva universalmente su nombre, y que enuncia lo siguiente: el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Como se mencionó en un párrafo anterior, el problema de comparación entre su-perficies nos permite hallar algunas demostraciones del Teorema de Pitágoras. Las mismas descansan en esa idea geométrica. Reiteramos que no es necesario mencionar el teorema, pues el alumno, a partir de tales actividades, podrá obtener sus propias conclusiones, equivalentes a lo que enuncia el teorema.
Preguntas:
Tome los cuadriláteros y las piezas del tangram, ordénelos primero en función de la longitud y después del área, de menor a mayor. • ¿Cuántas piezas tienen la misma longitud? • ¿Cuántas la misma área?
Preguntas:
• ¿Las colecciones tienen la misma cantidad de objetos? Justifique su respuesta, la cual puede ser numérica o no. • ¿Cuál es la justificación de esta respuesta?
Construyendo a Pitágoras
Para efectuar esta actividad utilizaremos los 36 cuadriláteros. Solicite a los alumnos que los separen en grupos del mismo tamaño (o color). Independientemente del criterio de selec-ción solicitado (color o tamaño), cada grupo contiene 12 piezas iguales. El alumno debe concluir así que, en ocasiones, existen objetos que pueden elegirse con diversos criterios y obtener aún así los mismos resultados (poseen más de una característica común).
Actividad 14
su respuesta. Construya o dibuje figuras donde el área sea mayor o menor al área que cubren las piezas del tangram.
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
37
Tome 8 piezas iguales y arme los cuadrados de la actividad 12, utilizando 4 piezas para cada armado.
Comente al alumno que, aunque los cuadrados son de diferente tamaño y las áreas que abarcan son distintas, así como su perímetro, no lo es el área que cubren las piezas, esta última es la misma. Solicite a los alumnos que justifiquen lo anterior. ¿Qué puede decir acerca del perímetro?
El proceso permite obtener 3 cuadrados huecos y 3 no huecos. Una vez cumplido el objetivo, subdividan en dos grupos a los cuadrados obtenidos: uno formado por los cua-drados huecos y el otro no. Pida que los ordenen en forma ascendente o descendente.
Finalmente, pida al alumno que separe la figura formada por los dos cuadrados, forme los dos cuadrados sin hueco y los ordene por tamaño, adjuntado el otro cuadrado en cuestión. Podemos concluir que al agregar o sumar los dos primeros cuadrados obtenemos el otro cuadrado y que esta es la única combinación posible que satisface tal si-tuación.
Preguntas:
En ambos grupos existen piezas que son del mismo tamaño (una debe ser hueca y la otra no).• Equivalentemente, ¿abarcan las mismas áreas (no que las cubran)? En caso afirmativo sepárelas del resto del grupo.• ¿Del grupo de las figuras no huecas, una de éstas puede introducirse en la pieza hueca y cubrir el hueco? En caso afirmativo sepárela y complete la pieza.
Ejercicio:
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
38
Una variante de esta actividad es solicitar a los alumnos que tomen cuatro piezas del mis-mo tamaño de cada grupo de doce, y cons-truyan tres cuadrados de cada color sin hue-co. Esto debe indicarles a los alumnos que es posible construir otro cuadrado pero hueco. Una vez obtenido esto, que los ordenen por tamaño de menor a mayor. Pida que tomen los dos cuadrados de menor tamaño y, a par-tir de éstas, que construyan un cuadrado. Aquí se desarrollan habilidades como las que se refieren a ensambles y desensambles. Lo anterior permite al alumno poner a prueba diversas combinaciones entre las piezas. En este punto, el color de las piezas ya no impli-ca una restricción en la construcción, lo cual puede ser un obstáculo para el objetivo del alumno (sin embargo, aquí es importante puntualizar que se estimula el razonamiento ya que, a partir de ciertas condiciones, debemos determinar la viabilidad o imposibilidad de lograr el objetivo). Una vez logrado el propósito, se solicita al alumno que coloque una de las piezas sobre la otra.
Si el maestro desea facilitar el procedimiento, puede efectuar él mismo toda esta activi-dad, solicitando al alumno que mire con atención todo el armado y desarmado, para que este último lo realice posteriormente.
Solicite a los alumnos que comenten la actividad desarrollada (estamos estimulando su proceso de razonamiento, el cual tendrá como resultado la obtención de una conclusión).
Hemos aquí probado el Teorema de Pitágoras, y nunca se mencionó.
Observación:
Triángulo Pitagórico
Obtenga los tres cuadrados descritos en la actividad 13. Utilicemos ahora uno de los lados de cada cua-drado y construyamos un triángulo, el cual tiene la particularidad de tener dos lados del mismo tamaño. Mencione que un triángulo con tales características se llama isósceles.
Actividad 15
Ejercicio:
=
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
39
Construyan las siguientes variantes del Teorema de Pitágoras. Utilicen las piezas del tan-gram.
Solicite a los alumnos que tomen los 2 cuadrados o los 4 triángulos isósceles pequeños o un cuadrado y 2 triángulos isósceles pequeños. Agregue a cualquiera de las colecciones anteriores un par de triángulos rectángulos isósceles medianos. Construya, en caso de ser necesarios, los tres cuadrados que pueden formarse, tal como se muestra en la siguiente figura:
Solicite que verifiquen que el área total cubierta por los 2 cuadrados pequeños es igual al área del cuadrado grande (el alumno debe concluir que elegir los 4 triángulos isósceles pequeños facilita lo solicitado). Finalmente, como en la actividad anterior, solicite que construyan el triángulo isósceles correspondiente, a partir de las piezas que satisfacen lo previamente solicitado.
Ahora, reproduzca una construcción similar a alguna de las anteriores, utilizando para ello 4 triángulos medianos y 2 triángulos grandes. Nuevamente verificamos Pitágoras. Podemos seguir realizando construcciones de esta naturaleza si consideramos piezas del tangram gigante.
En particular, esta construcción nos permite conocer un procedi-miento para duplicar áreas de cuadrados, tal como lo muestran las siguientes figuras:
Preguntas:
• Considere el cuadrado más pequeño. ¿Cuál es el cuadrado más grande que se puede construir utilizando un solo tangram? • Si utilizamos el tangram gigante ¿cuál es el cuadrado más grande que podemos construir?• Si iniciamos con el cuadrado más pequeño ¿cuál es el número de veces que cabe el mismo en el cuadrado más grande que se indica en el inciso anterior? ¿Y en cada paso intermedio?• ¿Es posible construir siempre un cuadrado utilizando dos cua-drados?
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
40
Áreas iguales y es Pitágoras
Utilizando los acetatos, solicite a los alumnos que con las piezas adecuadas construyan las figuras que se muestran a continuación:
Pregunte al grupo si ambos cuadrados son del mismo tamaño (áreas iguales). En caso de no obtener una respuesta afirmativa general, puede utilizar el procedimiento de me-dición (comparación) directa, donde puede usar las regletas o un cordón. Tome ahora el triángulo rectángulo utilizado para efectuar este ejercicio. Muéstreselo a los alumnos e indíqueles que tomen cuatro piezas iguales.
Pida que coloquen dichos triángulos para cubrir la parte del otro cuadrado, poniendo los mismos sobre las figuras que son iguales a ellos (figuras del mismo tamaño y forma). Podemos concluir así que el área no cubierta es de menor tamaño (o área) a la figura inicial. Acto seguido, solicite al alumno que retire los triángulos del cuadrado y que los co-loque en el otro cuadrado, siguiendo las mismas indicaciones que para el primero. Final-mente, solicite que le expresen sus comentarios sobre el procedimiento que se trabajo.
Puede utilizar otros 4 triángulos rectángulos, para cubrir el área respectiva del otro cuadrado. ¿Las áreas no cubiertas son iguales?
Actividad 16
Preguntas:
• ¿Qué figuras no se cubren con los triángulos? • ¿Cuántos cuadrados hay en el primer dibujo? • ¿Cuántos en el segundo? • ¿Por qué son cuadrados?
Ejercicio:
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
41
Actividad 17
¿Qué triángulos determinan Pitágoras?
La parte interesante de esta actividad es que probaremos el reciproco del Teorema de Pitá-goras4. Para nuestro propósito, utilizaremos los cuadrados que se usaron en la actividad 12. Solicite que utilicen uno de los lados de cada uno de los tres cuadrados y, a partir de ellos, construyan un triángulo. Usaremos ahora una escuadra y mencionaremos que ésta forma la figura plana del menor número de lados rectos: el triángulo. Pero con la particularidad de que este triángulo puede colocarse de tal forma que dos de sus lados pueden estar en contacto, al mismo tiempo, uno con el piso y el otro con la pared. Es esta característica la que permite llamarlo triángulo rectángulo, es decir posee un ángulo recto. Colocando la escuadra sobre el triángulo construido, uno concluye que el triángulo formado por los cuadrados utilizados en la actividad 12 forman un triángulo rectángulo.
En función de esto, podemos entonces decir que los triángulos utilizados en la activi-dad 16 son todos triángulos rectángulos.
La conclusión es que todo triángulo rectángulo satisface la condición del Teorema de Pitá-goras y que todo triángulo que satisface el Teorema de Pitágoras es un triángulo rectángulo.
En la actividad 14 hemos obtenido una demostración formal del Teorema de Pitá-goras, que no requiere de ningún procedi-miento de cálculo numérico, sino que es suficiente con realizar un corte o disección de cada uno de los cuadrados para lograr nuestro propósito. El proble-ma se reduce entonces a determinar cómo se efectúa el corte. La siguiente actividad nos permite obtener dicho corte.
4 Nos referimos a que el teorema tiene dos implicaciones: una necesidad y una suficiencia.
Preguntas:
• ¿Los triángulos del tangram son rectángulos? • ¿Los ángulos del cuadrado son rectos?
Ejercicios:
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
42
Corte para Pitágoras
Indique al alumno que tome cuatro triángulos rec-tángulos isósceles. A partir de ellos debe construir una figura, de tal forma que sea posible obtener el cuadrado a partir de los cuadriláteros de tamaño mediano. La figura obtenida debe ser como la que se muestra a continuación. El alumno observará que el corte resulta relativamente simple a partir de dicha construcción.
Solicite al alumno que, utilizando regla gradua-da, lápiz y transportador, indique las características particulares del cuadrilátero construi-do a partir de esta técnica.
No siempre corto para Pitágoras
Efectuaremos la actividad anterior pero utilizando las piezas del tangram, es decir, ha-remos uso del triángulo isósceles. Observaremos que para este ejemplo, a diferencia del anterior, no se requiere hacer ningún tipo de corte, es decir, no se construye ningún cuadrilátero, sino que los mismos triángulos isósceles funcionan para duplicar áreas. Tal como lo muestran las siguientes figuras:
Actividad 18
Actividad 19
Ejercicio:
Ejercicio:Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
43
Teselas
Aquí se trabajan figuras planas de cuatro lados. Si observamos a nuestro alrededor, vere-mos la importancia de estas figuras. Por ejemplo, las puertas, las ventanas, las paredes, los libros, los cuadernos y muchos otros objetos creados por el hombre tienen la forma de cuadrilátero. Esto se debe a que estas figuras se hacen y unen fácilmente sin dejar huecos (ocurre algo similar con los triángulos).
Utilizaremos el tangram. A partir del mismo, solicite a los alumnos que construyan o identifiquen entre las piezas los siguientes cuadriláteros: el cuadrado, el rectángulo, el pa-ralelogramo, el rombo, el trapecio, etc., tal como se muestran en las siguientes figuras:
Las figuras que embonan sin dejar huecos o espacios se llaman teselas. Por ejemplo, los azulejos en las casas son teselas. Los cuadriláteros idénticos siempre embonan sin impor-tar su forma. Construya las teselas que se muestran a continuación:
Solicite que construyan las siguientes figuras:
Actividad 20
a) b) d) e)c)
Preguntas:
• ¿Qué relación hay entre las figuras? • ¿Se parecen? • ¿Hay huecos entre ellas? • ¿Cubren áreas iguales? • ¿Qué relación existe entre las áreas?
Ejercicio:
a) b)
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
44
El maestro tiene la decisión de aplicar cada una de las actividades en el orden que considere pertinente, omitir alguna o realizar la implementación simultanea de ellas. Además, cada ejercicio puede aplicarse a grupos de hasta 4 alumnos.
Observación:
Ejercicio libre 1
Considere los siguientes tres cuadrados:
• Colóquelos de mayor a menor (o de menor a mayor) utilizando los criterios de tamaño (área) o color. Puede aplicarse lo mismo a los 36 cuadriláteros.
• Solicite a los alumnos que proporcionen otro criterio de comparación para obtener la misma colocación de piezas, según se haya indicado.
Sugerencia: utilice tres cordones de diferentes tamaños, tales que el contorno de cada pieza se cubra totalmente. Aplique lo mismo para cada cuadrilátero.
• Considere los 36 cuadriláteros. ¿Cuántas colecciones de tres piezas de diferente tamaño se forman?
• Tome dos de las colecciones anteriores. Coloque primero una de las colecciones de cuadriláteros de menor a mayor, y enseguida la otra colección, de mayor a menor. Solicite que dibujen el eje de simetría de la figura resultante.
• Aplique ahora el ejercicio a las piezas del tangram, considerando las adecuaciones co-rrespondientes al ejercicio y a las preguntas.
Los siguientes ejercicios pueden modificarse a criterio del maestro.
Observación:
Actividad 21
a)
b) c)
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
45
Ejercicio libre 2
Considere cada uno de los tres cuadrados y construya para cada uno un cuadrado de área doble, respectivamente.
Puede sugerir al alumno construir un triángulo rectángulo isósceles. Más aún es posible, bajo este procedimiento, construir una sucesión de cuadrados cuyas áreas sean el doble del anterior.
Ejercicio libre 3
Construya los tres cuadrados de interior hueco. Complete cada uno de ellos y complete el correspondiente triángulo rectángulo en cada caso.
Ejercicio libre 4
Para probar que las figuras de cuatro lados siempre embonan, solicite que dibujen en una hoja el cuadrilátero que deseen, apilen debajo de ésta 12 hojas y realicen el corte para obtener 12 piezas iguales. Usen los recortes para hacer el patrón y obtener la tesela correspondiente.
Construya teselas utilizando triángulos, rombos, paralelogramos, etcétera.
pequeño mediano grande
cuadrilátero
12 hojas
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
46
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
47
El cuadrado
mágicoIntroducción
Una de las actividades más recreativas y de gran importancia en el proceso de apren-dizaje para los alumnos de diversos niveles, corresponde al llamado cuadrado mágico, un pasatiempo matemático que involucra las operaciones básicas5. En el famoso cuadro Me-lancolía, del pintor alemán Albrecht Dürer, aparece el dibujo de un cuadrado mágico. Un cuadrado mágico está constituido por números dispuestos de tal forma que, al ser suma-dos en renglones, columnas o diagonales, dan el mismo resultado. En la siguiente figura se ilustra el grabado donde aparece el cuadrado mágico plasmado por el artista alemán.
5 Únicamente trabajaremos la actividad relacionada con la operación básica de la suma.
Melancolía, del pintor alemánAlbrecht Dürer.
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
48
Este cuadrado satisface además que la suma de las cantidades localizadas en las casillas centrales es 34, Dürer logró asimismo introducir en las columnas cen-
trales del renglón localizado en la parte inferior el año 1514 (cuando realizó la obra). Grandes matemáticos, como Euler y Cayley, descubrieron que eran entretenidos e
interesantes para ser estudiados. El propio Benjamin Franklin creó uno, conocido como el cuadrado mágico perfecto (más adelante se ilustra dicho cuadrado). Por su parte, Euler construyó un cuadrado mágico para un caballo (ilustrado más adelante).
Nuevamente incorporamos el estudio del cuadrado mágico en el segundo grado de ni-vel primaria, ya que permite al alumno estimular y reforzar los métodos de conteo. Invo-lucra además aspectos que conciernen a la manipulación de objetos de cierta naturaleza (nociones de conjuntos), siendo en este caso números y la combinación de los mismos para obtener lo deseado.
Este es uno de los juegos matemáticos más utilizados por los maestros para involucrar a los alumnos en la operación básica de la suma y comenzar la multiplicación (en este punto se refiere a realizar la suma sobre el mismo cuadrado mágico, como se describe más adelante). Uno puede encontrar en la literatura un sinfín de información acerca de este interesante juego, que tiene como objetivo familiarizar al lector con algunas técnicas para la resolución de ciertos tipos de cuadrados mágicos. Nosotros estamos interesados en inducir algunos procedimientos que permitan al maestro darle un mayor alcance a la utilidad del cuadrado mágico. Utilizaremos algunos procedimientos elementales para poder observar que la aplicación de éste tiene un mayor alcance.
Objetivos
Debido a la naturaleza del cuadrado mágico, éste nos permite alcanzar los objetivos si-guientes de manera muy general:
• Estudiar de los primeros números naturales, series numéricas, relación de orden, leyes de tricotomía, valor posicional, sucesor, antecesor.• Reforzar los métodos de conteo, estimular el cálculo mental.• Reforzar los conceptos de horizontal, vertical y perpendicular, y relacionarlos con los conceptos de renglón y columna en un tablero (matriz). Introducimos además el concepto de diagonal.• Introducir los conceptos de sucesión, serie, tablero cuadrado (matriz cuadrada), diagonal, sistema de referencia.• Estimular el razonamiento matemático.
En muchos casos, no es necesario conocer de manera formal un concepto mate-mático, sino sólo familiarizarse con él o intuirlo para poder utilizarlo (relación número-operaciones). Por ejemplo, los tableros incluidos en el material didáctico pueden per-mitir la introducción del concepto de matriz (haciendo énfasis al alumno que la figura representa en particular a este ente matemático) o simplemente llamarlo tablero. Esto nos permite manejar los conceptos de renglones, columnas, horizontales, verticales, per-pendicularidad, diagonales. Asimismo, nos permite diferenciar los conceptos de vertical y perpendicularidad. Por ejemplo, si es vertical es perpendicular, pero si es perpendicular no neceariamente es vertical, es decir, el reciproco no es cierto. Para ello basta poner el
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
49
tablero en posición vertical y perpendicular (con respecto a) para observar la diferencia. Permite además utilizar un sistema de referencia (posición) para diferenciar que un objeto y otro están colocados en distintos lugares o en el mismo (como en el ajedrez).
Utilizaremos el cuadrado mágico para obtener la suma de cierto tipo de series de nú-meros y abordaremos la generalización del cuadrado mágico de 3×3.
La implementación del cuadrado mágico, en esta forma, tiene la intención de servir al maestro como una herramienta auxiliar en el proceso de enseñanza-aprendizaje de algu-nos temas en este nivel.
Las actividades para el segundo grado de primaria permiten reforzar significativamente las operaciones de suma y resta con números naturales de hasta tres cifras. Se pondrán en práctica métodos de razonamiento que involucran combinaciones de operaciones (que permitan la obtención de una solución) utilizando únicamente números naturales.
Cuadrado mágico, el juego clásico
Describamos el problema más clásico del cuadrado mágico, el cual corresponde a la siguiente situación:
Considere los números del 1 al 9, utilice la matriz cuadrada de tamaño 3×3, como se muestra en la figura. La intención es colocar los números de tal forma que al realizar la suma en las direcciones horizontal, perpendicular (renglones, columnas) y en ambas dia-gonales el resultado sea 15, como puede verificarse en el siguiente cuadro:
Más adelante podemos garantizar que además esta solución es única, salvo rotaciones y reflexiones.
Observación:
La pregunta natural que surge es ¿cuántos cuadrados mágicos hay? En el caso de considerar que los valores que pueden utilizarse son nú-meros reales, la respuesta es: una infinidad. El siguiente método permite hallar tales cuadrados mágicos.
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
50
A continuación, discutimos un método de solución general para el cua-drado mágico de tamaño 3×3, pero hacemos hincapié en que esta discusión
es exclusiva para el maestro, con la intención de que él pueda construir cualquier cuadrado mágico de dicho tamaño. El método que utilizaremos hace uso de la aplicación de sistemas de ecuaciones li-
neales (tema que se aborda en secundaria, inicialmente en un sistema de una ecuación en una incógnita, para finalmente estudiar un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas; además se abordan algunos métodos de solución) y del método de la eliminación que se aplica en la solución de un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas. El método de eliminación puede generalizarse para la resolución de sistemas de n ecuaciones lineales en m incógnitas. Este método generalizado recibe el nombre de método de eliminación gaussiana (puede consultarse en cualquier libro de álgebra lineal). Este método es, sin duda, el más poderoso para resolver el sistema de ecuaciones lineales. Además su imple-mentación computacional es la más eficiente.
Consideremos el cuadrado mágico de 3×3, pero supongamos que se desea encontrar una colección de nueve números consecutivos, de tal forma que cumpla la condición esti-pulada para el cuadrado mágico (la diferencia o distancia entre dos consecutivos siempre es 1) y se satisfaga además que su suma sea n, tenemos la siguiente situación:
Sean a, b, c, d, e, f, g, h, i los números reales (no se especifica su orden) distribuidos como lo muestra la siguiente figura:
Más aún, tales números hacen del cuadrado anterior un cuadrado mágico para el valor n. La situación planteada se describe matemáticamente por el siguiente sistema de ecua-ciones lineales (este planteamiento es un modelo matemático lineal):
a + b + c = nd + e + f = ng + h + i = na + d + g = nb + e + h = nc + f + i = na + e + i = nc + e + g = n
Sistema de ecuaciones 1
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
51
Obtenemos así un sistema de 8 ecuaciones en 9 incógnitas. La teoría que se refiere a este tipo particular de sistema de ecuaciones, es decir con estas características, garantiza que el sistema admite una infinidad de soluciones. De esto concluimos entonces que hay una infi-nidad de cuadrados mágicos, aplicando el método de eliminación gaussiana a la matriz que describe el sistema y que llevando la solución a la forma escalonada reducida, obtenemos que la solución queda descrita por el siguiente sistema de ecuaciones:
Observamos que la solución general involucra, salvo la solución de la variable e, dos valores independientes, a saber h e i; si asignamos a n el valor de 15 y tomamos h=7 e i=2, hallamos la solución descrita para el cuadrado mágico que se muestra al inicio de la dis-cusión de esta sección. Podemos además tomar los valores de h=1 e i=6 y mantenemos n=15. Obtenemos una segunda solución, la cual resulta ser equivalente a la obtenida con los valores anteriormente asignados a h e i. Éstas dos sustituciones nos permiten tener como espacio de solución para el cuadrado mágico los números del 1 al 9, además las sustituciones h=9, i=4; h=3, i=8; h=2, i=2; h=7, i=6; h=1, i=8; h=3, i=4; y mantenemos n=15 el espacio de solución son los números del 1 al 9, es decir, si nosotros asignamos valores distintos de h e i de estos y mantenemos n=15, obtendremos otras soluciones, pero con la diferencia que ya no se tienen como espacio de solución de éste, los números del 1 al 9.
Estamos ahora en posibilidad de justificar la siguiente pregunta: ¿por qué la suma debe ser 15? Al sumar las tres primeras ecuaciones del sistema anterior de ecuaciones, obte-nemos:
a + b + c + d + e + f + g + h + i = 3n
Sistema de ecuación 3
Sistema de ecuaciones 2
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
52
Si los valores a tomar por las variables a, b, c, d, e, f, g, h, i deben ser uno y sólo uno de los elementos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, entonces el lado iz-
quierdo de la igualdad nos pide hallar la suma (no están ordenados, pero recordemos que la suma es conmutativa) de los primeros nueve números naturales. Un simple cál-
culo muestra que la suma obtenida es 45. Luego de la ecuación anterior obtenemos que n=15.
La solución del sistema permite implementar el siguiente procedimiento (que aplica-remos en los ejercicios):
• Ordene la sucesión de los nueve números consecutivos en forma ascendente, es decir
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• Subdividamos los números en bloques de tres, de tal forma que la suma de cada bloque debe ser 15. Obtenemos así los siguientes dos casos:
1 + 5 + 9 = 15 3 + 5 + 7 = 15 a) 2 + 6 + 7 = 15 b) 2 + 9 + 4 = 15 3 + 4 + 8 = 15 1 + 6 + 8 = 15
Podemos además señalar que no es posible hallar otras combinaciones diferentes de las dos anteriores que satisfagan las condiciones pedidas. Estas combinaciones indican todo el espacio de soluciones para este caso. Tenemos que la quinta ecuación del sis-tema 3 nos indica que la combinación 1 + 5 + 9 ó 3 + 5 + 7 debe colocarse en la segunda fila del cuadrado mágico. A partir de esto, obtenemos la solución y podemos observar que ambas son la misma (es única salvo rotaciones y reflexiones) y coinciden con la presentada al ini-cio de esta sección.
Podemos concluir además que si nosotros consideramos a n=15 en el sistema de ecua-ciones y a las variables h e i les asignamos cualesquiera otros valores, obtenemos diferentes soluciones para cada pareja de números que se den. Por ejemplo, si h=8 e i=6, podemos verificar que el cuadrado correspondiente es:
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
53
Los ejercicios que a continuación se enlistan están expuestos en forma gradual, con la intención de que los alumnos se familiaricen con el cuadrado mágico.
Ejercicio 1
En este caso, el ejemplo puede aplicarse no sólo a los alumnos de segundo grado, sino en general a los alumnos de todos los niveles de primaria. Considere las siguientes fichas:
Solicite al alumno que tome los primeros nueve números naturales. Una vez realizado esto, solicite que los ordene en forma ascendente o descendente. En este punto aprende a diferenciar los números entre sí y a establecer la relación de orden entre ellos. Por ejem-plo, mostramos a continuación los primeros nueve naturales en forma ascendente.
Aplicaciones
Analizaremos casos particulares que nos permitan trabajar diferentes series de números naturales. Sin embargo, con lo anteriormente discutido, el espacio de ejemplos es infinito.
Un sencillo planteamiento, basado en el análisis anterior, nos permite concluir por qué no es posible obtener un cuadrado mágico de tamaño 2×2 (se excluye en este y en todos los casos de cuadrados mágicos la solución llamada solución trivial, y concluimos que, en el caso del cuadrado 2×2, la única solución es la trivial y por eso no existe interés en estu-diarlo; para el caso del cuadrado mágico de 3×3, la solución trivial para n=15 corresponde a que todas las variables sean iguales a 5).
Actividad 22
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
54
Solicite ahora que obtenga, de ser posible, la suma de ellos. Si no, basta con so-licitarle que los separe en grupos de 3 fichas, de tal manera que al sumar cada bloque
de éstos su suma sea 15 (aplicación de cálculo metal). Después de ello le indicamos que coloque las fichas del bloque de izquierda a derecha o de derecha a izquierda, en la forma
en que se le indique (utilizamos las dos soluciones del cuadrado mágico). Se le pide que coloque los bloques de arriba hacia abajo o viceversa (debemos indicarle un número en el bloque, para que lo tome como referencia y pueda efectuar lo que se le indica). Debe colocarlos en el cuadrado, respetando el orden considerado previamente. Luego conside-re todas las combinaciones de sumas que determinan al cuadrado mágico. En este punto aplique cálculo mental. La siguiente figura ilustra una solución equivalente a la mostrada al inicio de la sección:
El alumno de segundo grado observa el uso de orden en una serie numérica, los con-ceptos de antecesor y sucesor, valor posicional y la construcción de una serie numérica (sucesión de los naturales).
Puede realizarse la siguiente modificación: considere que los dígitos asociados describen decenas o centenas, lo cual permite obtener un cuadrado mágico para decenas o centenas. En el primer caso, obten-dríamos un cuadrado mágico cuya suma debe ser igual a 15 decenas, equivalente a 150 unidades. Para el caso de centenas, obtendríamos 15 centenas, equivalente a 1500 unidades.
Observación:
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
55
Puede aplicarse la implementación discutida en el ejercicio 1 de esta actividad, es decir utilizando decenas o centenas asociadas a los nú-meros naturales obtenidos. En este caso, estaremos utilizando el concepto de serie aritmética (se incrementa en términos de decenas o centenas, según sea el caso). Se involucra además el concepto de múltiplo de 10 y 100.
Observación:
Ejercicio 2
Solicite al alumno que le proporcione un número múltiplo de tres (o divisible entre tres) mayor que 15 y menor o igual a 39. Una vez proporcionado el número, en caso de ser po-sible, obtenga el resultado de dividir al mismo entre 3 para obtener n (o indique el número a considerar). Dado el número, solicite que extraiga del grupo de las 25 fichas, los cuatros números consecutivos anteriores a él (el antecesor de él, el antecesor del antecesor de él, y así sucesivamente) y los cuatro siguientes consecutivos a él (el sucesor del número, el sucesor de su sucesor, y así sucesivamente).
Ahora, separen los números en bloques de tres, de tal forma que la suma de cada uno de ellos dé como resultado el valor previamente hallado. Solicite finalmente el cuadrado mágico correspondiente.
En este ejercicio, seguimos trabajando con enteros positivos y aplicando el concepto de serie numérica; más aún, podemos iniciar el estudio de una serie aritmética.
Puede realizar como ejercicio adicional lo siguiente: considere las fichas del 1 al 17 y pregunte a los alumnos por qué bajo la condición de ser el número solicitado múltiplo de tres y tomando en consideración las 17 fichas (bajo las restricciones de nuestro cuadrado mágico), el espacio de solución únicamente nos permiten obtener 9 cuadrados mágicos diferentes con estas fichas y que satisfagan la condición solicitada (restricción).
Veamos un ejemplo: para n =21, obtenemos el valor de 7. Las fichas requeridas son:
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
56
El cuadrado mágico correspondiente es:
Ejercicio 3
• Obtenga el cuadrado mágico cuya suma sean 27 unidades (decenas o centenas) y los números que lo conforman sean 9 números naturales consecutivos. Obtenga un cua-drado mágico con la misma condición, pero sin la restricción de que los números sean nueve enteros consecutivos. Por ejemplo, proporcione los números considerados en el cuadrado mágico. Solicite que construyan el cuadrado mágico correspondiente. Puede verificar que si en el sistema de ecuaciones anterior, reemplazamos h e i, para 5 y 7 respec-tivamente, obtendríamos los restantes valores que involucran la solución que mostramos a continuación:
Para los casos siguientes, analice los valores asignados a h e i. Obtenemos los cuadra-dos mágicos de 48 y 51, como se muestran a continuación:
Nuevamente, si sustituimos los valores de h e i correspondientes en la solución descrita por el sistema de ecuaciones 2, obtenemos las soluciones descritas previamente, además de que estas soluciones describen series aritméticas.
3
9
13
15 5 7
11
1 17
3
9
13
15 5 7
11
1 17
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
57
• Realicemos, por último, sobre el cuadrado mágico clásico las siguientes modificaciones, motivadas por lo anteriormente discutido. Nuestro cuadrado mágico a considerar es:
Indique al alumno que sume a cada ficha el número 5, sustituyéndola posteriormente por la ficha correspondiente al resultado de esta operación y respete la ubicación de ésta en la anterior disposición. Obtenemos así lo siguiente:
Observamos que este es nuevamente un cuadrado mágico. Esto a su vez nos sugiere la implementación con respecto a multiplicaciones y sumas.
En esta actividad, el maestro debe tener en consideración que las so-luciones a los cuadrados mágicos deben involucrar únicamente números naturales. Por esa razón se recomienda al maestro realizar los cálculos correspondientes, para que esto ocurra y además facilite los números a utilizar en cada una de estas actividades.
Las operaciones que realizamos con los cuadrados mágicos, es decir sumas, restas y multiplicaciones, son aplicables a un ente matemáti-co llamado matriz (recuerde que un cuadrado mágico puede verse como un arreglo matricial de n renglones y n columnas).
Observación:
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
58
El cuadrado mágico de 4 × 4
Al inicio de la sección se mencionó un cuadrado mágico obtenido por el pintor ale-mán Dürer. Trabajaremos sobre él para obtener algunos ejemplos de cuadrados mági-
cos, aplicando las operaciones utilizadas en lo discutido previamente, como son sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
Sin embargo, ilustraremos parte de la dificultad (lo laborioso) de intentar obtener una solución general para este caso, pues si consideramos el cuadrado mágico de 4×4, obte-nemos un sistema de al menos 10 ecuaciones en 16 incógnitas. Tal situación se ilustra a continuación:
Deseamos que el anterior arreglo cuadrangular satisfaga las condiciones de un cuadra-do mágico. Obtenemos así el siguiente sistema de ecuaciones:
Sistema de ecuaciones 4
a + b + c + d = t e + f + g + h = t i + j + k + l = tm + n + o + p = ta + e + i + m = t b + f + j + n = tc + g + k + o = td + h + l + p = ta + f + k + p = t d + g + j + m = t
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
59
Consideremos además que, por ejemplo, el cuadrado mágico mostrado al inicio de esta discusión satisface las siguientes ecuaciones (el cuadrado mágico construido por Dürer adiciona al menos las siguientes condiciones: la suma de los cuatro términos del interior del cuadrado mágico es 34; la suma de los cuatro términos de las esquinas es 34; la suma de los términos 3, 2, 15 y 14, así como los términos 5, 9, 8 y 12 es 34. Esto adiciona cuatro ecuaciones más al sistema inicial y aún con éstas el sistema tiene una infinidad de soluciones):
Lo anterior implica que el sistema sería ahora un sistema de 14 ecuaciones en 16 incóg-nitas (aún así, el sistema admite soluciones no triviales). Es fácil observar que, al intentar aplicar el método de eliminación gaussiana, aún aplicando notación matricial, se requiere un número considerable de operaciones elementales para poder llevar a la matriz del sistema a su forma escalonada reducida (el tamaño de la matriz de coeficientes aumen-tada para el sistema de 10 ecuaciones en 16 incógnitas es de 10×17) y se requiere para el mismo la utilización de un programa numérico. El maestro puede consultar algún texto de álgebra lineal, estudiar el método con mayor detalle, tener mucha paciencia y dedicar tiempo para resolver el sistema.
En este punto, mencionamos lo dificultoso que es resolver un cuadrado mágico de tamaño m×m, con m un número natural mayor a tres. Puede que el alumno cuestione la importancia que puede llegar a tener una generalización de esta naturaleza. Debemos indicarle que el interés reside en la implementación y estudio de diversos métodos de so-lución utilizados para resolver un problema de esta naturaleza, y que los mismos tienen una aplicación en diversos campos de estudio.
Sin embargo, podemos dar respuesta a otro tipo de preguntas que implican a este cuadrado mágico. Por ejemplo, por qué al utilizar los 16 primeros números naturales, el cuadrado mágico debe satisfacer la condición de que la suma deba ser 34. Para ello, basta considerar que al obtener la suma de los primeros 16 números naturales, tenemos:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136
Pero el sistema de ecuaciones nos indica que las primeras cuatro ecuaciones del mismo coinciden con la suma de los primeros 16 números naturales. Luego debemos dividir al 136 entre 4, obteniendo que la suma es 34 (podemos concluir así que para un cuadrado de 5×5, si consideramos a los 25 primeros números naturales, la suma en el cuadrado mágico debe ser 65; para un cuadrado de 6×6 la suma es 111, si se consideran los 36 primeros números naturales) y así sucesivamente.
Los ejercicios de esta sección tienen como objetivo aplicar las ope-raciones de suma, resta, división o multiplicación al cuadrado mágico de Dürer, para obtener otros. Además se sugieren ejercicios para el cuadrado mágico de 3×3.
f + g + j + k = ta + d + m + p = tb + c + n + o = te + i + h + l = t
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
60
Ejercicio libre 1
Obtenga los cuadrados mágicos de tamaño 3×3, para los valores de n =18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, considerando que debe utilizarse para su construcción nueve enteros con-secutivos. ¿Puede construir el cuadrado mágico correspondiente para n =12 que cumpla con las restricciones?
Ejercicio libre 2
Obtenga los cuadrados mágicos de tamaño 3×3, para los valores de n =21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, utilizando para su construcción valores de h e i que el maestro proponga y aplican-do el sistema de solución descrito por el sistema de ecuaciones 2. Debemos considerar que las soluciones involucren únicamente números naturales.
Ejercicio libre 3
Obtenga dos cuadrados mágicos distintos para n =21.
Ejercicio libre 4
Obtenga, a partir del cuadrado mágico de tamaño 4×4, cuadrados mágicos para los va-lores de t siguientes
{102, 340}
Recuerde que puede implementar de manera natural lo discutido para el cuadrado de 3×3, es decir, puede sumar, restar, multiplicar, según sea el caso. Más aún, puede aplicar combinaciones de operación al cuadrado mágico, aunque se recomienda se haga una a la vez.
Ejercicio libre 5
En el cuadrado mágico de tamaño 8×8, si utilizamos los primeros 64 números naturales, ¿cuál es el valor de n?
Actividad 23
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
61
Ejercicio libre 6
Halle la suma de los primeros 10 números naturales, luego de los primeros 20 números naturales, y así sucesivamente, de ser posible, la suma de los primeros 100 números na-turales.
Ejercicio libre 7
Construya dos cuadrados mágicos distintos, colocando uno seguido del otro, uno sobre el otro, de tal forma que las fichas que estén una sobre la otra sumen o resten (se indica sólo una operación que debe ser la misma para todas las demás fichas). El alumno obtie-ne como resultado un cuadrado mágico.
Ejercicio libre 8
Generalice el resultado anterior a m cuadrados mágicos (todos obviamente del mismo tamaño).
Ejercicio libre 9
El maestro debe construir diversos cuadrados mágicos, para utilizarlos con sus alumnos. La dificultad de los mismos debe ser en función del nivel de enseñanza de éstos.
Ejercicio libre 10
Dé un ejemplo de un cuadrado mágico de tamaño 2×2, tal que su suma sea 16.
Ejercicio libre 11
Dé un ejemplo de un cuadrado mágico donde un valor se repita al menos 2 veces.
Ejercicio libre 12
Utilizando el cuadrado mágico clásico, considere 9 números que deban satisfacer la condición de determinar un cuadrado mágico. Colóquelos
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
62
en forma ascendente y haga lo mismo con los números del 1 al 9. Con ambos juegos de fichas forme dos líneas respetando el orden indicado en los números
(ascendente). Reemplace el número 1 en el cuadrado clásico por el número que se localiza por debajo (o arriba) de él en la otra línea. Realice lo mismo con la ficha 2, y
así sucesivamente, hasta completar la operación con los nueve números. ¿El cuadrado obtenido después de realizar este proceso es mágico?
Ejercicio libre 13
Aplique lo anteriormente discutido al cuadrado mágico de 4×4, y obtendrá que el cuadra-do mágico correspondiente es mágico.
Ejercicio libre 14
Complete los siguientes arreglos de números. Y obtenga las sumas en las direcciones horizontales, verticales, diagonales.
Ejercicio libre 15
Obtenga las sumas de los siguientes arreglos (puede considerar unidades, decenas o cen-tenas), ya sea horizontal, vertical, o diagonalmente. Extraiga los números localizados en diversas posiciones y ordénelos.
Ejercicio libre 16
Utilice decenas y centenas para construir cuadrados mágicos.
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
63
El cuadrado del caballo
Leonhard Euler es considerado uno de los ma-temáticos más influyentes y prolíferos de todos los tiempos. Él construyó el cuadrado de tamaño 8×8, el cual se muestra a un lado y que utiliza los primeros 64 números naturales. Con base en lo previamente discutido, no es difícil concluir que en este cuadrado mágico la suma es de 260.
Este cuadrado mágico tiene además la si-guiente característica: al detenerse a la mitad de una fila horizontal el resultado de la suma es 130. Pero lo más intrigante es que un caballo de ajedrez, que empieza sus movimientos (líneas negras) desde la casilla 1, puede pasar por las 64 casillas (sin repetición) en orden numérico.
Podemos utilizar este cuadrado para implementar un ejercicio de memorización. ¡Inténtelo!
Observación:
Benjamín Franklin no resistió la tentación de involucrarse con los cuadrados mágicos, y construyó uno lleno de trucos (aquí mis-mo se muestra). Utilizó en su construcción los primeros 64 números naturales. Sabe-mos que debe satisfacer que cada fila suma 260 y deteniéndose a la mitad de cada una da 130. Trazando una línea diagonal de puntos se obtienen 260. Las cuatro esqui-nas más los cuatro números de en medio suman 260. La suma de cuatro casillas (cua-drado de tamaño 2×2) es 130, así como la suma de cuatro números cualesquiera equi-distantes diametralmente del centro.
4 Formó parte del comité designado para redactar la Declaración de Independencia de los Estados Unidos de América, junto con Thomas Jefferson y John Adams.
El cuadrado perfecto
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
64
Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, sin autorización escrita del titular
de los derechos patrimoniales.Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
Obra
prot
egid
a po
r
SEP - IN
DAUTOR
Regist
ro P
úblic
o
03-2
009-
1215
0947
2200
-01.
03-2
009-
1215
1014
3500
-14.
La p
irate
ría e
s un
delit
o.
