ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL

INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMATICAS

PROYECTO DE RAZON DE CAMBIO

NOMBRE: JORGE SORIA CASTRO – ANDRES VILLACRESES TORRES

PARALELO: 10

PROFESOR: ING. Marcia Garces

2012-2013

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INDICE

INTRODUCCION..................................................................................................................................3

CAPITULO I.........................................................................................................................................4

EL PROBLEMA.................................................................................................................................4

1.1. JUSTIFICACIÓN.....................................................................................................................4

1.2. EL PROBLEMA.....................................................................................................................4

1.3. OBJETIVOS...........................................................................................................................4

CAPÍTULO II.......................................................................................................................................5

EL MARCO TEÓRICO.......................................................................................................................5

Elementos del cono truncado.................................................................................................8

Área lateral de un cono truncado......................................................................................8

Área de un cono truncado...................................................................................................8

Volumen de un cono truncado............................................................................................8

CAPITULO III.......................................................................................................................................9

METODOLOGÍA..............................................................................................................................9

Área lateral de un cono truncado......................................................................................9

Área de un cono truncado...................................................................................................9

Volumen de un cono truncado............................................................................................9

CAPÍTULO IV.....................................................................................................................................10

ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS......................................................................................10

CAPITULO V......................................................................................................................................11

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INTRODUCCION

La razón de cambio nos a servido en toda la vida para poder medir cualquier incógnita en función del tiempo ya que es este el que provoca que se llame razón de cambio.

Tenemos como proyecto realizar un cálculo dentro de un cono truncado para medir su variación de altura con respecto al tiempo.

Podemos usar este proyecto para algún calculo en el futuro si lo tomamos como referencia para mediciones en cualquier empresa.

A continuación será desarrollado el tema.

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CAPITULO I

EL PROBLEMA

“RAZON DE CAMBIO EN UN CONO TRUNCADO”

1.1. JUSTIFICACIÓN

Existen diversas dificultades para obtener el nivel del agua sin mediciones de los envases

usados. Para esto lo vamos a realizar mediante cálculos y mediante experimentos

realizados.

1.2. EL PROBLEMA

Se bombea agua a razon constante de dos litros por minuto (1 litro = 1000 centimetros cúbicos) a un tanque con forma de cono circular recto truncado. El tanque tiene una altura forma de cono circular recto truncado. El tanque tiene una altura de 15 cm y los radio inferior y superior mide 10 y 12 cm, respectivamente. ¿ A que velocidad se eleva el nivel del agua cuando la profundidad del agua es de 6 centimetros?

Un tercio de pi x la altura ( a a + ab + bb)

1.3. OBJETIVOS

Obtener la diferencia de altura con respecto al tiempo.

Usar métodos matemáticos para demostrar la razón de cambio.

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CAPÍTULO II

EL MARCO TEÓRICO

RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO es el cociente de las diferencias de f durante el intervalo [a, b]. A la diferencia en las coordenadas x de los puntos de la gráfica de una función f se le llama incremento de x, se le denota mediante Δx que es igual a x2 – x1 es decir, Δx = x2 – x1 asimismo, Δy = y2 – y1 al formar el consiente de cambio en y con los cambios en x podemos escribir: Δy/Δx donde a este cociente llamamos razón de cambio promedio.

Es decir, Δf(x)/Δx=[f(x+Δx)-f(x)]/ Δx |

Como su nombre lo dice, la razón de cambio promedio da una medición de cuanto cambia la función f cuando x cambia una cantidad “delta x”.

Razón promedio de cambio = Pendiente de la recta PQLlamamos también a esta razón promedio de cambio la cociente de las diferencias de f durante el intervalo [a b]. Unidades: Las unidades de la razón promedio de cambio son unidades de f por unidad de x.

La derivada como razón de cambio. Definición: 0 es la razón de cambio promediode ycon respecto a ( ) lím es la razón de cambio instantánea de ycon respecto a xy x x si y f x y dy x x dx La razón de cambio instantánea se abrevia simplemente como razón de cambio . ( ) dy f x y dx y representa aproximadamente el cambio de y por cada cambio unitario en x.

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Guía para resolver los problemas1.) Leer cuidadosamente el problema varias veces y pensar en los datos y en las cantidades que se desea calcular.2.) Hacer un croquis o esquema apropiado y dar nombre a las variables y a las cantidades desconocidas.3.) Escribir los hechos conocidos expresando la rapidez de variación dadas y las desconocidas como derivadas de las variables.4.) Encontrar una ecuación general que relaciones las variables.5.) Derivar con respecto a t ambos lados de la ecuación del punto 4 para obteneruna relación general entre las razones de cambio respecto al tiempo.6.) Sustituir los valores y las derivadas conocidas y despejar la rapidez de cambio desconocida.

En palabras simples, la "razón de cambio" es la forma o "velocidad" con que va cambiando tu variable. Si lo comparas con la física, podrías decir que es como la aceleración. (para explicar mejor el ejemplo: la velocidad es cómo cambia el objeto respecto de la posición (primera derivada) y la aceleración es cómo varía la velocidad respecto en el tiempo (segunda derivada)).De todas maneras busca en algun libro de cálculo la definición formal con las fórmulas respectivas.

Razón de cambio (de una variable respecto a otra) es la magnitud del cambio de una variable por unidad de cambio de la otra. (También se le llama tasa de cambio.) Si las variables no tienen ninguna dependencia la tasa de cambio es cero.

En general, en una relación funcional y=f(x), la razón de cambio de la variable dependiente yrespecto a la independiente x se calcula mediante un proceso de límite --de la razón [f(x+t)−f(x)]/t, denominada cociente diferencial.En sentido estricto entonces, la razón de cambio es el límite del cociente diferencial cuando ttiende a cero. De esta manera, la razón de cambio es la interpretación fundamental de la derivada de una función. Ejemplo

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En la función lineal f(x)=mx+b, no es necesario tomar el límite pues f(x+t)−f(x)=mx+mt+b−mx−b=mt y la t se cancela en la razón [f(x+t)−f(x)]/t sin necesidad de pasar al límite.Nótese que m es la pendiente de la recta f(x)=mx+b. Y es la razón de cambio de la altura y(variable dependiente) respecto a la x (variable independiente. Viéndolo gráficamente, es el cambio en la altura y por unidad de cambio (aumento) en la x.

En matemáticas escolares la razón de cambio más usada es la velocidad: v=d/t (distancia recorrida por unidad de tiempo). La velocidad es, de hecho, la razón de cambio ejemplar o prototipo. Por analogía, se le llama "velocidad" a una razón de cambio cualquiera. Por ejemplo, en problemas de proporción inversa.

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Elementos del cono truncado

La sección determinada por al corte es la base menor.

La altura es el segmento que une perpendicularmente las dos bases

Los radios son los radios de sus bases.

La generatriz es el segmento que une dos puntos del borde de las dos bases.

Obtenemos la generatriz del cono truncado aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado:

Área lateral de un cono truncado

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Área de un cono truncado

Volumen de un cono truncado

CAPITULO III

METODOLOGÍA

Usamos cálculo matemático y varias fórmulas como son la volumen de un cono truncado y semejanzas de triángulos.

Área lateral de un cono truncado

Área de un cono truncado

Volumen de un cono truncado

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CAPÍTULO IV

ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS

V=13πh (R2+r2+Rr )

dVdt

=d ( 13πh (R2+r2+Rr ))

dt

2cm3

seg=

13π d (h (R2+r2+Rr ))

dt

6cm3

π seg=d (h (R2+r2+Rr ))

dt6cm3

π seg=d¿¿

6cm3

π seg=d (( 16h225

+100 h+8h2))dt

6cm3

π seg=32h25

dhdt

+100 dhdt

+16 h dhdt

6cm3

π seg=(32(6)25

+100+16(6)) dhdt

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6cm3

π seg=(5092¿¿¿25) dh

dt

150cm5092π seg

=dhdt

CAPITULO V

Conclusiones

Con este proyecto comprobamos la garn utilidad de tener claro el concepto de razon de cambio, ya quecon ese hay unainfiidad de apliaionesen lavida cotidiana ,y en especila en el ambito industrial como reservorios deliuidoscomo petroleos aceites agua , etc; sin duda alguna comprender este temanos briara un mundo de poisbles solucionespara os problemas que se sucite en nuestra vida profesional.

Recomendaciones

Los caculos siempre deberan ser realizados de manera clara y ordenada Se debe tener claro que el uso de este proyecto es factible para lavida cotidiana. Saber el concecto y aplicación de razon de cambio.

Beneficiarios

Los beneficiarios dento de este proyecto seran los mismoestudiantes queies enenderan de manera clara y sin muchas complicacines el uso de larazon de cambio y su ampliaaplicacion, dejando de preguntarse a simismo “Cuando utilizare esto”.

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