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“AÑO DE LA DIVERSIFICACION PRODUCTIVA Y DEL

FORTALECINMIENTO DE LA EDUCACION”

FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES Y FINANCIERAS ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN

INTEGRANTES:

Alcántara Sánchez Dalia Chunque Quezada Jair Reyes Castro Marisella Silva Chacón Thalía

DOCENTE:

CARLOS ALFREDO, BECERRA VERONA

TEMA:

DERIVADAS

Trujillo – Perú

2015

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INDICE

1. .PAGINAS PRELIMINARES

1.1. CARATULA.............................................................................01

1.2. INDICE..................................................................................... 02

1.3.RESUMEN...............................................................................03

2. INTRODUCCION

2.1. TITULO DEL TEMA................................................................04

2.2. DELIMITACION..................................................................... 04

2.3. ANTECEDENTES DEL PROBLEMA....................................04

2.4. PLANTEAMEINTO DEL PROBLEMA.................................. 04

2.5. OBJETIVOS GENERAL Y ESPECÍFICO… ..................... 04-05

2.6.HIPOTESIS............................................................................05

3. DESARROLLO

3.1. FUNDAMENTACION DEL PROBLEMA.............................05- 11

4. CONCLUSIONES..................................................................... 12

5. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS......................................... 12

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RESUMEN

Es el valor límite del vínculo entre el aumento del valor de una función y el aumento de la variable independiente. La derivada, por lo tanto, representa cómo se modifica una función a medida que su entrada también registra alteraciones. En los casos de las funciones de valores reales de una única variable, la derivada representa, en un cierto punto, el valor de la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en dicho punto. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculofundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de𝑓, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto× .

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INTRODUCCIÓN

Tema:

Derivadas

Delimitación del tema:

Para poder facilitarnos en comprender las derivadas y sus temas

Antecedentes del problema:

Los problemas que dieron origen al cálculo , comenzaron a plantearse en la

época clásica de la antigua Grecia (siglo III a. C.), pero no se encontraron

métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo

XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).

Planteamiento del problema:

¿Cómo obtener derivadas de funciones de una manera más eficientes?

Objetivos

Objetivos Generales:

- Aplicar la definición derivadas en las funciones reales.

- Ser capaz de usar la derivada para resolver problemas de

funciones, problemas de máximos y mínimos.

- Familiarizarse con el cálculo de derivadas

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Objetivos Específicos:

- Interpretar los teoremas de los límites y derivadas en las

funciones reales.

- Conocer las fórmulas básicas para la derivación.

- Entender y usar la derivada como función.

- Encontrar derivadas de las distintas funciones.

Relevancia del estudio:

La importancia de las derivadas está en que, hoy día, no es posible entender el mundo en que vivimos sin la aplicación de estas en la mayoría de los cálculos científicos y en casi todo lo que nos rodea.

Hipotesis:

Resolver problemas de todo tipo de aplicación de derivadas.

FUNDAMENTACION DEL PROBLEMA:

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN:

Considerando la función f definida en el intervalo abierto I y un punto a fijo en I, se tiene que la derivada de la función f en el punto se define como sigue:

,

Si este límite existe, de lo contrario, , la derivada, no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática.

Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal.

También puede definirse alternativamente la derivada de una función en

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cualquier punto de su dominio de la siguiente manera:

, La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la

pendiente de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de . El aspecto de este límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.

No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado.

Ejemplo: Sea la función cuadrática f(x)= x2 definida para todo x perteneciente a los reales. Se trata de calcular la derivada de esta función para

todo punto x ∈ R — puesto que es continua en todos los puntos de su dominio —, mediante el límite de su cociente de diferencias de Newton.

DISCUSIÓN: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS.

Máximos y mínimos relativos (o locales) de funciones derivables.

Si una función tiene un máximo o mínimo relativo (o local) se dirá que tiene un extremo relativo.

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Concavidad y convexidad.

Una función es convexa [3] en a, si existe un intervalo que contiene al punto a, tal que la diferencia entre la ordenada de la función y la ordenada de la tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)) es positiva en dicho intervalo. Análogamente se dice que es cóncava cuando dicha diferencia es negativa. Se dice que f tiene un punto de inflexión en a si existe un entorno de a en que la diferencia entre la ordenada de f y la de la tangente en a tiene distinto signo a la izquierda que a la derecha. CONVEXA CONCAVA

Recta tangente y recta normal de una curva.

Si una función y = f (x) posee una derivada en el punto x1, la curva tiene una tangente en P(x1,y1) cuya pendiente es: m1= tan θ= dy/dx= f’(x) Se sabe que la ecuación de la recta que pasa por un punto y con una pendiente dada es: y – y1 = m (x – x1) . Por lo tanto, si se sustituye la pendiente por la derivada, la ecuación de la recta tangente en un punto de una curva es: y-y1=dy/dx= (x-x1) Ejemplo Si m = 0 tiene tangente horizontal a la curva. Si m = ∞ tiene tangente vertical a la curva.

RECTA NORMAL

RECTA TANGENTE

90º

Y=f(x)

P= (x1,y1)

y

x

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Tabla de derivadas

función derivada

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DEMOSTRACIÓN:

TIPOS DE DERIVADAS.

Derivada de una constante.

La derivada de una constante es cero. Ejemplo

Derivada de una potencia.

La derivada de una potencia o función potencial, es igual al exponente por la variable elevado a una unidad menos.

Ejemplo

rxxf r)( 1.)(́ rxrxf

Derivada de un logaritmo.

xxf ln)( xxf

1)´(

Ejemplo

Derivada de la función exponencial de base e. xexf )(

xexf )(́ Ejemplo

Derivada de una función exponencial con base distinta del número e. xaxf )( aaxf x ln)(́

Ejemplo

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Derivada de una función trigonométrica tipo seno.

xsenxf )( xxf cos)´(́ Ejemplo

Derivada de una función trigonométrica tipo coseno.

xxf cos)( xsenxf )(́ Ejemplo

Derivada de una función trigonométrica tipo tangente.

xtgxf )( xxxtgxf

2

22

cos

1sec1)´(

Ejemplo

Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno.

xsenarcxf )( 21

1)´(

xxf

Derivada de la función arco coseno

La derivada del arco coseno de una función es igual a menos la derivada de la función dividida por la raíz cuadrada de uno menos el cuadrado de la función.

Ejemplo

Derivada de

la función arco tangente

La derivada del arco tangente de una función es igual a la derivada de la función dividida por uno más el cuadrado de la función. Ejemplo

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Derivada de la función arco cotangente

La derivada del arco cotangente de una función es igual a menos la derivada de la función dividida por uno más el cuadrado de la función. Ejemplo

Derivada de la función arco

secante

La derivada del arco secante de una función es igual a la derivada de la función dividida por la función multiplicada por la raíz cuadrada del cuadrado de la función menos 1. Ejemplo

Derivada de

la función arco cosecante

La derivada del arco cosecante de una función es igual a menos la derivada de la función dividida por la función multiplicada por la raíz cuadrada del cuadrado de la función menos 1. Ejemplo

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CONCLUSIONES:

La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.

Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que

se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología.

Existen teoremas para calcular la derivada de muchas funciones sin tener

que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de reglas previas

Existen varios tipos de derivadas que nos enseña muchas cosas pero no

solo en números si no también en la vida diaria. También las aplicaciones de las derivadas nos sirven para:

Calcular intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Calcular los extremos relativos de una función.

Aplicar la teoría de extremos relativos a problemas de optimización.

Calcular los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de

inflexión de una función.

Calcular la pendiente de una curva en un punto cualquiera.

Te sirve para hallar los máximos y mínimos de una función

Y por ultimo estudiamos la tabla de derivadas para ir conociendo las

diferentes formulas que se usan.

Referencias bibliográficas

Análisis Matemático III – Eduardo Espinoza ramos

Calculo: concepto y contextos James Stewart International Thomson Editores,

2006 – 1160 p.

http://www.dervor.com/derivadas/interpretacion_derivada.html

http://www.dervor.com/

http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_de_inflexi%C3%B3n

http://www.importancia.org/derivadas.php

http://www.monografias.com/trabajos6/esfu/esfu.shtml#ixzz2pXkNXxxR

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/punto7/punto7.htm