Calculo´ 1. Nociones basicas´ -...
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Nociones basicasNumeros complejosFunciones reales de variable realValor absolutoFunciones polinomicas y racionalesFuncion exponencial y logarıtmicaFunciones trigonometricas y trigonometricas inversasLımitesContinuidadDerivacion de funciones reales de variable realExtremos relativosTeoremas del calculo diferencialConcavidad y convexidadDerivacion implıcita y parametricaPolinomio de TaylorLa integral indefinidaMetodos de integracionIntegracion de funciones de una variable realIntegracion impropiaAplicaciones de la integral
Conjuntos de numeros
IN⊂ Z⊂Q⊂ IR⊂ CDensidad de Q en IR: dados a,b ∈ IR, a < b, existe q ∈Q t.q. a < q < bSea un subconjunto A⊂ IR, A 6= φ .
DefinicionDecimos que s ∈ IR es cota superior de A si:
x≤ s, ∀x ∈ A
En este caso, decimos que A esta acotado superiormente
I De manera analoga, se dice que i ∈ IR es cota inferior del conjunto A si i≤ x,∀x ∈ A, y decimos que A esta acotado inferiormente
I Si un subconjunto de IR esta acotado superior e inferiormente, lo llamamosacotado
I Las cotas superior e inferior no son necesariamente unicas
Conjuntos de numeros
DefinicionDecimos que s ∈ IR es supremo de A si s es cota superior de A y cualquier otra cotasuperior, s ′, de A verifica: s≤ s ′. Decimos que i ∈ IR es ınfimo de A si i es cotainferior de A y cualquier otra cota inferior, i ′, de A verifica: i ′ ≤ i
I El supremo e ınfimo de A se representan por sup(A) e ınf(A), resp.
I Si, ademas, pertenecen al propio conjunto A, se les llama maximo y mınimo:
sup(A) ∈ A =⇒ sup(A) = max(A)ınf(A) ∈ A =⇒ ınf(A) = mın(A)
Axioma del supremo. Sea A un subconjunto de IR no vacıo y acotadosuperiormente. Entonces existe sup(A)
Numeros complejos
DefinicionEl conjunto de los numeros complejos es
C = {a+bi / a,b ∈ IR},
donde i =√−1 es la unidad imaginaria.
En C operaremos de la siguiente manera:
I (a+bi)+(c+di) = (a+ c)+(b+d)i
I (a+bi) · (c+di) = (ac−bd)+(ad +bc)i
Distintas representaciones de un numero complejo: z = a+ ib = (a,b) = |z|θ|z|=
√a2 +b2 es el modulo, o distancia al origen
θ ∈ [0,2π) se denomina argumento
Propiedades:
I Sea a ∈ IR; entonces a = a+0i ∈ C. Podemos considerar IR⊂ CI Todo polinomio p(x) = anxn +an−1xn−1 + ...+a1x+a0 (ai ∈ C) tiene n
raıces en C
Funcion real de variable real
Sea A⊂ IR
DefinicionLa correspondencia f : A−→ IR es una funcion si a cada x ∈ A le corresponde unaunica imagen f (x) ∈ IR
Llamamos:
I dominio: D(f ) = {x/ existe f (x)}= {x/f (x) ∈ IR}I imagen: Im (f ) = {y ∈ IR/y = f (x) para algun x ∈ IR}
DefinicionDecimos que f es una funcion acotada si su imagen es un conjunto acotado(respectivamente, hablaremos de funcion acotada inferiormente y/o acotadasuperiormente).
Funcion real de variable real
Sea f : A−→ IR una funcion real de variable real.
DefinicionSea B⊂ A. f es creciente en B si
x1 < x2 =⇒ f (x1)≤ f (x2) , ∀x1,x2 ∈ B
I Analogamente se define funcion estrictamente creciente, decreciente yestrictamente decreciente
DefinicionDecimos que f es inyectiva si:
x1 6= x2 =⇒ f (x1) 6= f (x2)
Funcion real de variable real. Simetrıas
DefinicionDecimos que una funcion f es par si f (x) = f (−x), y decimos que es impar sif (x) =−f (−x)
NotaEl nombre proviene de los monomios fundamentales. Los monomios con exponentepar (x2, x4, x6,...) tienen simetrıa par y los monomios con exponente impar (x, x3,x5,...) tienen simetrıa impar.
Funcion real de variable real. Periodicidad
DefinicionSea f : IR→ IR. Diremos que f es periodica, con perıodo T si
f (x) = f (x+T), ∀x ∈ IR.
El ejemplo mas clasico de funciones periodicas son las funciones trigonometricas.Si sabemos que una funcion tiene un perıodo T nos sera suficiente con representarlaen [0,T]. Despues se repetira.
T
Composicion de funciones
DefinicionSean f : A⊂ IR→ IR, g : B⊂ IR→ IR, con f (A)⊂ B. Definimos la funcioncompuesta g◦ f (se lee “f compuesta con g”) a la funcion
g◦ f : A⊂ IR −→ IRx ∈ A −→ (g◦ f )(x) := g(f (x)) .
x ∈ Af−→ f (x)
g−→ g(f (x)) .
Funcion inversa
DefinicionSea f : A⊂ IR→ IR una funcion inyectiva. Existe una unica funcion h : Im f → IR talque h(f (x)) = x, ∀x ∈ A.Esta funcion se denomina inversa de f y suele denotarse como f−1.
Es decir, f−1 ◦ f = Id. Ademas, en este caso se verifica que la composicion esconmutativa, es decir, que f ◦ f−1 = Id (la funcion Id es la funcion identidad, es decir,Id(x) = x, ∀x ∈ IR).
x
y = f−1(x)
No se debe pensar que f−1 = 1f ! La forma practica de calcular una funcion
inversa es despejar la x en funcion de la y (es decir, de f (x)) e intercambiar suspapeles.
Valor absoluto
Sea x ∈ IR
DefinicionLlamamos valor absoluto de x a la cantidad:
|x|={−x, si x < 0,x, si x≥ 0.
DefinicionSean x, y ∈ IR. Definimos la distancia entre estos dos puntos como
d(x,y) := |x− y|.
Valor absoluto
PropiedadSean x,y ∈ IR
I |x| ≥ 0
I |x|= 0 ⇐⇒ x = 0
I |x+ y| ≤ |x|+ |y| (desigualdad triangular)
I |xy|= |x| |y|,∣∣∣∣xy∣∣∣∣= |x||y| .
I Si C > 0, |x| ≤ C ⇐⇒ −C ≤−|x| ≤ x≤ |x| ≤ C
Funciones polinomicas
Las funciones polinomicas son funciones del tipo
p(x) = anxn +an−1xn−1 + ...+a1x+a0,
con a0, a1, ..., an ∈ IR, y an 6= 0.
Diremos que
I grado del polinomio es n,
I coeficiente principal es an.
Ejemplos de polinomios son
1. p1(x) = 5x3−4x+2,
2. p2(x) = 8x3−√
2,
3. p3(x) = πx4 +2x3−3x.
El dominio de una funcion polinomica es siempre IR, mientras que su imagen varıaen cada caso.
Funciones racionales
Las funciones racionales son cocientes de funciones polinomicas, es decir,
f (x) =p(x)q(x)
.
Ejemplos de funciones racionales son
1. f1(x) =5x3−4x+2
8x3−√
2,
2. f2(x) =1
x3 +2.
El dominio de estas funciones son todos los reales, excepto aquellos que anulen eldenominador,
Dom f = IR−{x ∈ IR : q(x) = 0} ,mientras que su imagen varıa en cada caso.
Funcion exponencialSea a > 0. Definimos la funcion exponencial de base a como
f (x) = ax.Siempre que a 6= 1,
Dom f = IR, Im f = (0,+∞), f (0) = a0 = 1.
1. a < 1. En este caso,I f (x) = ax es una funcion estrictamente decreciente,
x < y⇒ ax > ay,
I lımx→−∞
ax = +∞,I lım
x→+∞ax = 0.
2. a > 1. En este caso,I f (x) = ax es una funcion estrictamente creciente,
x < y⇒ ax < ay,
I lımx→−∞
ax = 0,I lım
x→+∞ay = +∞.
Funcion exponencial
−4 −2 0 2 40
2
4
6
8
10
12
14
16
2x
0.5x
El caso mas importante es la funcion f (x) = ex (recordemos que e = 2,7182818...). Aesta funcion es a la que se suele conocer, por defecto, como funcion exponencial.
Propiedadi) ax+y = axay, ∀x,y ∈ IR,
ii) (ax)y = axy, ∀x,y ∈ IR,
iii) a−x =1ax ∀x ∈ IR (consecuencia de la anterior propiedad).
Funcion logarıtmicaEs la inversa de la funcion exponencial.
DefinicionDado a > 0, a 6= 1, decimos que y es el logaritmo en base a de x si ay = x,
y = loga(x) ⇐⇒ ay = x .
Para cualquier valor de a,
I el dominio de la funcion logaritmo lo forman los numeros positivos(Dom log = (0,+∞)),
I la imagen es todo IR,
I loga(1) = 0.
Propiedad
loga (xy) = loga (x)+ loga (y) , ∀x,y ∈ IR,
loga (xy) = y loga (x) , ∀x,y ∈ IR,
loga
(xy
)= loga (x)− loga (y) ∀x,y ∈ IR, y 6= 0.
Funcion logarıtmica1. a < 1. En este caso,
I f (x) = loga(x) es una funcion estrictamente decreciente,
x < y =⇒ loga(x) > loga(y),
I lımx→0+
loga(x) = +∞,
I lımx→+∞
loga(x) =−∞.
2. a > 1. En este caso,I f (x) = loga(x) es una funcion estrictamente creciente,
x < y =⇒ loga(x) < loga(y),
I lımx→0+
loga(x) =−∞,
I lımx→+∞
loga(y) = +∞.
0 1 2 3 4−6
−4
−2
0
2
4
6log
2(x)
log0.5
(x)
Funcion logarıtmica
0 1 2 3 4−6
−4
−2
0
2
4
6log
2(x)
log0.5
(x)
El logaritmo mas importante es el que tiene como base el numero e, f (x) = loge(x).Se denomina logaritmo neperiano, y suele denotarse por ln(x) o, simplemente,log(x). Cualquier otro logaritmo se puede expresar en funcion del ln mediante laformula
loga (x) =ln(x)ln(a)
.
Funciones trigonometricas
Funcion senoLa funcion f (x) = sin(x), verificaI su dominio es todo IR,I su imagen es [−1,1],I es una funcion impar,I es una funcion periodica, con perıodo 2π .
−10 −5 0 5 10
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
sen(x)
Funciones trigonometricas
Funcion cosenoLa funcion f (x) = cos(x), verificaI su dominio es todo IR,I su imagen es [−1,1],I es una funcion par,I es una funcion periodica con perıodo 2π .
−10 −5 0 5 10
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
cos(x)
Funciones trigonometricas
El seno y el coseno pueden entenderse como las longitudes de las proyecciones sobrelos ejes del angulo, en radianes, dibujado sobre la circunferencia de radio unidad.
sin(x)
cos(x)
x
1
Propiedad
I sin2(x)+ cos2(x) = 1 ∀x,
I sin(x+ y) = sin(x)cos(y)+ cos(x)sin(y),
I cos(x+ y) = cos(x)cos(y)− sin(x)sin(y).
Funciones trigonometricasDefinimos la funcion tangente como
tan(x) :=sin(x)cos(x)
.
El dominio de esta funcion lo forman todos los puntos de IR en los que el coseno nose anule, es decir,
Dom tan = IR−{
π
2+ kπ : k ∈ Z
},
mientras que su imagen es todo IR. Ademas, es una funcion impar y periodica, conperıodo π .
−6 −4 −2 0 2 4 6
−6
−4
−2
0
2
4
6
tan(x)
Funciones trigonometricas
Otras funciones trigonometricas
I Cosecante, cosec(x) :=1
sin(x),
I Secante, sec(x) :=1
cos(x),
I Cotangente, cotan(x) :=1
tan(x).
Funciones trigonometricas inversas
Funcion arco-senoEs la inversa de la funcion seno. Como esta no es una funcion inyectiva, restringimossu dominio, quedandonos con el seno definido solo en el intervalo [− π
2 , π
2 ].
Definimos entonces la funcion arco-seno, arcsin(x), como la funcion que, dado unx ∈ [−1,1], le asocia el unico y en [− π
2 , π
2 ].
x
y = asin(x)
Funciones trigonometricas inversas
Funcion arco-seno
Por tanto la funcion arcsin(x) tiene como dominio el intervalo [−1,1] y como imagenel [− π
2 , π
2 ]. Es una funcion impar.
Funciones trigonometricas inversas
Funcion arco-cosenoEs la inversa de la funcion coseno. En este caso, restringimos el dominio paraquedarnos con el coseno definido en el intervalo [0,π].
Definimos entonces la funcion arco-coseno, arccos(x), como la funcion que, dado unx ∈ [−1,1], le asocia el unico y en [0,π] tal que x = cos(y).
Funciones trigonometricas inversas
Funcion arco-tangenteEs la inversa de la funcion tangente. Restringimos su dominio al intervalo
(− π
2 , π
2).
Definimos entonces la funcion arco-tangente, arctan(x), como la funcion que, dadoun x ∈ IR, le asocia el unico y en
(− π
2 , π
2)
tal que x = tan(y).
y = arctan(x)
x
Funciones trigonometricas inversas
Funcion arco-tangente
Por tanto la funcion arctan(x) tiene como dominio todo IR y como imagen elintervalo
(− π
2 , π
2). Es una funcion impar.
Lımite de una funcion en un punto
Sea f : (a,b)−→ IR
DefinicionDecimos que ` ∈ IR es lımite de f en x0 ∈ (a,b) si:
∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < |x− x0|< δ =⇒ |f (x)− `|< ε
Se representa por lımx→x0
f (x) = `
PropiedadEl lımite de una aplicacion en un punto, si existe, es unico.
PropiedadSupongamos que lım
x→x0f (x) = `1 y lım
x→x0g(x) = `2. Entonces,
I lımx→x0
(f (x)+g(x)) = `1 + `2
I lımx→x0
(f (x)g(x)) = `1 `2
I lımx→x0
(f (x)g(x)
)=
`1
`2si `2 6= 0
Lımites laterales
DefinicionI Diremos que el lımite de f , cuando x se acerca a x0 por la derecha, es l si
lımx→x+
0
f (x) = l : ⇐⇒[∀ε > 0,∃δ > 0
/0 < x− x0 < δ =⇒ |f (x)− l|< ε
].
I Diremos que el lımite de f , cuando x se acerca a x0 por la izquierda, es l si
lımx→x−0
f (x) = l : ⇐⇒[∀ε > 0,∃δ > 0
/0 < x0− x < δ =⇒ |f (x)− l|< ε
].
Lımites laterales
x0 x0
Lımite por la derecha Lımite por la izquierda
PropiedadExiste lım
x→x0f (x) si y solo si existen lım
x→x+0
f (x) y lımx→x−0
f (x) y son iguales.
Lımites infinitos
DefinicionI lım
x→x0f (x) = +∞ : ⇐⇒
[∀M > 0,∃δ > 0
/0 < |x− x0|< δ ⇒ f (x) > M
],
I lımx→x0
f (x) =−∞ : ⇐⇒[∀M > 0,∃δ > 0
/0 < |x− x0|< δ ⇒ f (x) <−M
].
M
−M
lımx→x0
f (x) = +∞ lımx→x0
f (x) =−∞
Lımites en el infinito
DefinicionI lım
x→+∞f (x) = l : ⇐⇒
[∀ε > 0,∃M > 0
/x > M⇒ |f (x)− l|< ε
],
I lımx→−∞
f (x) = l : ⇐⇒[∀ε > 0,∃M > 0
/x <−M⇒ |f (x)− l|< ε
].
lımx→+∞
f (x) = l
M
l
lımx→−∞
f (x) = l
l
−M
Decimos que la funcion f tiene:
I una asıntota horizontal en y = l si: lımx→±∞
f (x) = l
I una asıntota vertical en x = x0 si: lımx→x0
f (x) =±∞
I una asıntota oblicua si lımx→±∞
(f (x)− (mx+n)) = 0.
Para calcular m y n: m = lımx→±∞
f (x)x
y n = lımx→±∞
(f (x)−mx);
la ecuacion de la asıntota es: y = mx+n
Continuidad
Sea f : (a,b)−→ IR, x0 ∈ (a,b)
DefinicionDecimos que la aplicacion f es continua en x0 si y solo si:
∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que |x0− x|< δ =⇒ |f (x0)− f (x)|< ε
o bien, teniendo en cuenta la definicion de lımite, si lımx→x0
f (x) = f (x0)
En caso de no cumplir la condicion anterior, decimos que f es discontinua en x0. Lasdiscontinuidades pueden ser de varios tipos:
I evitable: lımx→x0
f (x) 6= f (x0)
I esencial: no existe el lımite de f en x0, porque:I lım
x→x−0f (x) 6= lım
x→x+0
f (x)
I alguno de los lımites laterales (o ambos) no existe
PropiedadSi f ,g : (a,b)−→ IR son funciones continuas en x0 ∈ (a,b),
I λ f es continua en x0, ∀λ ∈ IR,
I (f ±g) y (f ·g) son continuas en x0,
I si g(x0) 6= 0, entonces (f /g) es continua en x0.
PropiedadLa composicion de funciones continuas es una funcion continua. Ademas, si f y g sonfunciones tales que lım
x→x0f (x) = ` y g es continua en `, entonces
lımx→x0
g(f (x)) = g(`)
PropiedadEl lımite conmuta con las funciones continuas. Es decir, sean f y g funciones talesque existe lım
x→x0f (x) = l ∈ IR y g es una funcion continua en l. Entonces
lımx→x0
g(f (x)) = g(
lımx→x0
f (x))
= g(l).
Continuidad en intervalos
DefinicionSea f : (a,b)⊂ IR→ IR. Diremos que f es continua en (a,b) si es continua en todoslos puntos de (a,b).
DefinicionSea f : [a,b]⊂ IR→ IR. Diremos que f es continua en [a,b] si
1. f es continua en (a,b),
2. f es continua en a por la derecha,
3. f es continua en b por la izquierda.
Teorema de Bolzano
Teorema (de Bolzano)Sea f : [a,b]−→ IR continua. Supongamos que f (a)f (b) < 0. Entonces ∃x0 ∈ (a,b)tal que f (x0) = 0
Teorema de Bolzano. Comentarios1. Pueden existir varias raıces,
ba
2. Si se suprime alguna de las hipotesis, el teorema no es valido (en general),
f (a)f (b) > 0 f no continua en [a,b]
a b a b
Teorema de Weierstrass
Teorema (de Weierstrass)Si f : [a,b]−→ IR es continua, entonces f alcanza el maximo y el mınimo en elintervalo [a,b], es decir, existen x1,x2 ∈ [a,b] tales que:
f (x1)≤ f (x)≤ f (x2) , ∀x ∈ [a,b]
Derivada. IntroduccionRecordemos la definicion de pendiente de una recta:
αy0
y1
x1x0
Pendiente= m = tanα =y1− y0
x1− x0
Y ahora consideremos las pendientes de las rectas secantes a una funcion, lo que, enel lımite, sera la definicion de derivada:
x0 x0 +h
f (x0 +h)f (x0)
α
h→ 0
x0
f (x0)α
tanα =f (x1)− f (x0)
x1− x0tanα =
f (x0 +h)− f (x0)h
x→ x0
f (x)
x
Definicion de derivada
Sea f : (a,b)−→ IR
DefinicionSe dice que f es derivable en el punto x0 ∈ (a,b) si existe el siguiente lımite:
lımx→x0
f (x)− f (x0)x− x0
= lımh→0
f (x0 +h)− f (x0)h
en cuyo caso dicho lımite se representa por f ′(x0).
Definicion de derivada. Observaciones
1. Vemos la utilidad de no incluir el punto x0 (en este caso, el punto h = 0) en la
definicion de lımite. En la expresion lımh→0
f (x0 +h)− f (x0)h
no podemos hacer
nada si h = 0, ya que tendrıamos una division entre 0.
2. El cociente f (x)−f (x0)x−x0
mide la variacion de la funcion respecto a la variacion dela variable. Por ese motivo a f ′(x0) se le denomina, en ocasiones, coeficiente devariacion de f , o razon de cambio de la funcion f , en el punto x0.
3. Ahora ya podemos calcular la ecuacion de la recta tangente utilizando laformula punto-pendiente,
y− y0 = m(x− x0) =⇒ y = y0 +m(x− x0) .
En este caso, (x0,y0) = (x0, f (x0)), m = f ′ (x0). Y la recta tangente,
y = f (x0)+ f ′ (x0)(x− x0) .
Derivadas laterales
DefinicionSea f : (a,b)→ IR, x0 ∈ (a,b). Definimos
I derivada por la izquierda de f en x0 como
f ′(x−0 ) := lımh→0−
f (x0 +h)− f (x0)h
,
I derivada por la derecha de f en x0 como
f ′(x+0 ) := lım
h→0+
f (x0 +h)− f (x0)h
.
PropiedadSea f : (a,b)→ IR, x0 ∈ (a,b). f es derivable en x0 si y solo si es derivable por laizquierda y por la derecha en x0 y ambas derivadas coinciden.
Derivable⇒ continua
PropiedadSi f es derivable en x0, entonces f es continua en x0. El recıproco no siempre escierto.
Consecuencia: Si f no es continua en x0 entonces f no puede ser derivable en x0.
Recuerda:
I Derivable en x0⇒ continua en x0
I No continua en x0⇒ no derivable en x0
Derivadas elementales
.ddx
xn = nxn−1,
.ddx
logx =1x,
ddx
loga x =1x
loga e,
.ddx
ex = ex,ddx
ax = ax loga,
.ddx
sinx = cosx,ddx
cosx =−sinx,
.ddx
tanx =1
cos2 x,
.ddx
arcsinx =1√
1− x2, arccosx =
−1√1− x2
,
.ddx
arctanx =1
1+ x2 .
Propiedades aritmeticas de la derivada
PropiedadSean f ,g : (a,b)→ IR, dos funciones derivables en un punto x0 ∈ (a,b). Entonces
I para cualquier λ ∈ IR, la funcion λ f es derivable en x0 y
(λ f )′ (x0) = λ f ′(x0),
I f ±g es derivable en x0 y
(f ±g)′ (x0) = f ′(x0)±g′(x0),
I fg es derivable en x0 y
(fg)′ (x0) = f ′(x0)g(x0)+ f (x0)g′(x0),
I si g(x0) 6= 0, entonces fg es derivable en x0 y(
fg
)′(x0) =
f ′(x0)g(x0)− f (x0)g′(x0)g(x0)2 .
Regla de la cadenaSean f y g dos funciones tales que f es derivable en x0 y g es derivable en f (x0).Entonces (g◦ f ) es derivable en x0 y
(g◦ f )′ (x0) = g′ (f (x0)) f ′(x0)
Derivacion implıcitaSe trata de calcular el valor de dy
dx a partir de expresiones de la forma F(x,y) = 0.Para hacerlo debemos tener en cuenta que al derivar una expresion que dependa de ydebemos derivar de la forma ordinaria y anadir al final dy
dx = y′.
Derivacion logarıtmicaPara obtener la expresion de y′ a partir de formulas como
y = f (x)g(x),
tomaremos logaritmos, logy = g(x) log(f (x)), y despues aplicaremos derivacionimplıcita para obtener
y′ = f (x)g(x)(
g′(x) log(f (x))+g(x)f ′(x)
f (x)
).
Derivadas sucesivas
DefinicionSea f : (a,b)−→ IR una funcion derivable en todos los puntos de (a,b). Definimos lafuncion derivada como:
f ′ : (a,b) −→ IRx f ′(x)
I Dado x0 ∈ (a,b) se define:
f ′′(x0) = lımh→0
f ′(x0 +h)− f ′(x0)h
si este lımite existe y es finito. En este caso, se dice que f es derivable dos vecesen x0
I En general, una vez que se tiene f (n) : (a,b)−→ IR, se define:
f (n+1)(x0) =(
f (n))′
(x0)
DefinicionDiremos que f es de clase n en (a,b), y se representa por:
f ∈ C n(a,b)
si existe la derivada n–esima de f en (a,b) y es continua.
I Diremos que f ∈ C ∞(a,b) si f ∈ C n(a,b), ∀n ∈ IN
I Diremos que f ∈ C n[a,b], si existe (c,d)⊃ [a,b] tal que f ∈ C n(c,d)
Extremos relativos
DefinicionSea f : (a,b)−→ IR. Diremos que la funcion f tiene un mınimo local o relativo enx0 ∈ (a,b) si existe r > 0 tal que:
f (x0)≤ f (x) , ∀x ∈ (x0− r,x0 + r)
Extremos relativos
DefinicionSea f : (a,b)−→ IR. Diremos que la funcion f tiene un maximo local o relativo enx0 ∈ (a,b) si existe r > 0 tal que:
f (x0)≥ f (x) , ∀x ∈ (x0− r,x0 + r)
PropiedadSea f : (a,b)−→ IR derivable en x0 ∈ (a,b). Si f tiene en x0 un extremo relativo,entonces f ′(x0) = 0.
Criterio de la primera derivadaSea f : [a,b]−→ IR una funcion continua, x0 ∈ (a,b) y existe r > 0 tal que f esderivable en (x0− r,x0)∪ (x0,x0 + r).
I Si f ′(x) < 0, ∀x ∈ (x0− r,x0), y f ′(x) > 0, ∀x ∈ (x0,x0 + r), entonces f presentaen x0 un mınimo relativo
I Si f ′(x) > 0, ∀x ∈ (x0− r,x0), y f ′(x) < 0, ∀x ∈ (x0,x0 + r), entonces f presentaen x0 un maximo relativo
Criterio de la segunda derivadaSea f : (a,b)−→ IR con derivada segunda continua en (a,b). Sea x0 ∈ (a,b) tal quef ′(x0) = 0. Entonces:
I si f ′′(x0) < 0, f presenta en x0 un maximo relativo,
I si f ′′(x0) > 0, f presenta en x0 un mınimo relativo.
PropiedadSean f ∈ C n(a,b) y x0 ∈ (a,b) tales que f ′(x0) = f ′′(x0) = . . . = f (n−1)(x0) = 0 yf (n)(x0) 6= 0. Entonces
I Si n es par y f (n)(x0) < 0, f presenta en x0 un maximo relativo
I Si n es par y f (n)(x0) > 0, f presenta en x0 un mınimo relativo
I Si n es impar, f no tiene extremos relativos en x0
Teorema (de Rolle)Sea f : [a,b]−→ IR una funcion continua en [a,b], derivable en (a,b) y tal quef (a) = f (b). Entonces existe al menos un punto x0 ∈ (a,b) tal que f ′(x0) = 0
Consecuencias:
I Si f tiene n raıces reales, f ′ tendra, al menos n−1 raıces reales
I Si f ′ tiene n raıces reales, f tendra, a lo sumo n+1 raıces reales
Teoremas de Cauchy y de Lagrange
Teorema (de Cauchy)Sean f ,g : [a,b]−→ IR dos funciones continuas en [a,b] y derivables en (a,b). Existex0 ∈ (a,b) tal que
[g(b)−g(a)] f ′(x0) = [f (b)− f (a)] g′(x0)
Teorema (del valor medio de Lagrange)Sea f : [a,b]−→ IR una funcion continua en [a,b] y derivable en (a,b). Existex0 ∈ (a,b) tal que
f ′(x0) =f (b)− f (a)
b−a
Aplicaciones
PropiedadSea f derivable en (a,b)
1. Si f ′(x)≥ 0, ∀x ∈ (a,b), f es monotona creciente en el intervalo
2. Si f ′(x)≤ 0, ∀x ∈ (a,b), f es monotona decreciente en el intervalo
3. Si f ′(x) = 0, ∀x ∈ (a,b), f es constante en el intervalo
4. Si f ′(x) 6= 0, ∀x ∈ (a,b), f es inyectiva en el intervalo
Regla de L’Hopital
Regla de L’HopitalSean f ,g : (a,b)−→ IR funciones derivables en (x0− r,x0)∪ (x0,x0 + r), conx0 ∈ (a,b) y r > 0. Si
lımx→x0
f (x) = lımx→x0
g(x) = 0 y ∃ lımx→x0
f ′(x)g′(x)
entonces,
∃ lımx→x0
f (x)g(x)
y lımx→x0
f (x)g(x)
= lımx→x0
f ′(x)g′(x)
Regla de L’Hopital
I El recıproco no es cierto:
∃ lımx→x0
f (x)g(x)
6=⇒ ∃ lımx→x0
f ′(x)g′(x)
I El enunciado del teorema tambien es valido si:
lımx→x0
f (x) =±∞ y lımx→x0
g(x) =±∞
o cuando calculamos los lımites en ±∞
I Si en la expresion lımx→x0
f ′(x)g′(x)
se vuelve a producir una indeterminacion del tipo
00
o∞
∞se puede volver a aplicar l’Hopital (si se verifican las hipotesis)
I Las indeterminaciones 0 ·∞, ∞−∞, 00, ∞0 y 1∞ se pueden reducir aindeterminaciones de tipo l’Hopital
Concavidad y convexidad
Sea f : [a,b]−→ IR una funcion continua.
DefinicionDecimos que f es convexa en [a,b] si
f (x)≤ f (b)− f (a)b−a
(x−a)+ f (a) , ∀x ∈ [a,b]
DefinicionDecimos que f es concava en [a,b] si (−f ) es convexa en [a,b]
Definicionf tiene un punto de inflexion en x0 si cambia de concava a convexa (o viceversa) enx0
Concavidad y convexidad
Sea f : [a,b]−→ IR una funcion continua.
PropiedadSea f : [a,b]−→ IR continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces f es convexa en[a,b] si y solo si f ′ es creciente en (a,b). Esto equivale a que f ′′ ≥ 0, si f tienederivada segunda.
I Respectivamente, f es concava en [a,b] si y solo si f ′ es decreciente en (a,b) (esdecir, si existe derivada segunda, si y solo si f ′′ ≤ 0)
Derivacion implıcita
Una ecuacion F(x,y) = 0 define implıcitamente una funcion f en un intervalo (a,b)si:
F(x, f (x)) = 0 ∀x ∈ (a,b)
I Por ejemplo, la ecuacion:x2 + y2 = 4
define la funcionf (x) =
√4− x2 ∀x ∈ (−2,+2)
PropiedadSi f es derivable, entonces F tambien lo es.
I Como consecuencia, podemos calcular f ′ a partir de F′
Derivacion implıcita
I Dada la ecuacion x2 +2y2−3xy = 0, deseamos calcular y′(1,1)
Derivando y aplicando la regla de la cadena, tenemos:
2x+4yy′−3y−3xy′ = 0.
Para x = 1, y = 1,
2+4y′−3−3y′ =−1+ y′ = 0 ,
de donde y′(1,1) = 1
I Dada la ecuacionx−1
4+4y2 = 1, deseamos calcular y′(1,0,5)
I Derivando y aplicando la regla de la cadena, tenemos:
14
+8yy′ = 0 =⇒ y′ =− 132y
de donde y′(1,0,5) =−1/16
Derivacion logarıtmica
Es un caso particular del tema anterior.
I Supongamos que queremos calcular la derivada de la funcion f (x) = xx
Sea y = xx. Tomando logaritmos:
lny = x lnx
y derivando:
y′
y= lnx+
xx
= 1+ lnx
de donde: y′ = y(1+ lnx) = xx (1+ lnx)
Polinomio de Taylor
Sea f : [a,b]−→ IR una funcion que admite derivada n−sima.Para x0 ∈ [a,b], definimos el polinomio de Taylor de grado n−1 relativo a lafuncion f y al punto x0 como:
Pn−1(x) = f (x0)+f ′(x0)
1!(x− x0)+
f ′′(x0)2!
(x− x0)2 + . . .+f (n−1)(x0)(n−1)!
(x− x0)n−1
Entonces, para todo x ∈ (a,b) existe ξ ∈ (a,x0) o ξ ∈ (x0,b) tal que:
f (x) = P(x)+f (n)(ξ )
n!(x− x0)n = P(x)+Rn
I Si x0 = 0, el polinomio se denomina de McLaurin
La integral indefinida
Sea f : I −→ IR
DefinicionDiremos que F es primitiva de f en I si
F′(x) = f (x) , ∀x ∈ I
TeoremaSi F y G son dos primitivas de una misma funcion f en un intervalo I, entonces,
∃k ∈ IR tal que F(x) = G(x)+ k , ∀x ∈ I
La integral indefinida
DefinicionDada una funcion f : I −→ IR, llamaremos integral indefinida de f al conjunto detodas sus primitivas, y escribiremos:∫
f (x)dx ={
F/
F′(x) = f (x), ∀x ∈ I}
I En consecuencia, si conocemos una primitiva F de f , conocemos todas:∫f (x)dx = {F + k, ∀k ∈ IR}
Propiedad (linealidad de la integral)
I
∫[f (x)+g(x)] dx =
∫f (x)dx+
∫g(x)dx
I
∫α f (x)dx = α
∫f (x)dx, ∀α ∈ IR
Integrales inmediatas
∫f (x)mf ′(x)dx =
1m+1
f (x)m+1 +C, m 6=−1∫ f ′(x)f (x)
dx = ln |f (x)|+C
∫ef (x) f ′(x)dx = ef (x) +C ∫
af (x) f ′(x)dx =af (x)
lna+C, a > 0, a 6= 1
∫[sin f (x)] f ′(x)dx =−cos f (x)+C ∫
[cos f (x)] f ′(x)dx = sin f (x)+C
Integrales inmediatas
∫ f ′(x)1+ f 2(x)
dx = arctan f (x)+C ∫ f ′(x)√1− f 2(x)
dx = arcsin f (x)+C
∫ f ′(x)sin2 f (x)
dx =−cot f (x)+C ∫ f ′(x)cos2 f (x)
dx = tan f (x)+C
∫[tan f (x)] f ′(x)dx =− ln |cos f (x)|+C∫
[cot f (x)] f ′(x)dx = ln |sin f (x)|+C
Integracion por partes
∫u(x)v′(x)dx = (uv)(x)−
∫v(x)u′(x)dx
o bien, ∫udv = uv−
∫vdu
Es conveniente cuando el integrando es un producto de:
I polinomio y exponencial
I polinomio y seno o coseno
I exponencial y seno o coseno
Integracion por cambio de variable
Sean:
f : [a,b]−→ IR integrable,
ϕ : [α,β ]−→ IR inyectiva, con derivada continua y tal que:
ϕ ([α,β ])⊂ [a,b]
Entonces ∫f (x)dx =
∫f [ϕ(t)]ϕ ′(t)dt
Integrales racionales
Son integrales del tipo∫ P(x)
Q(x)dx, siendo P y Q polinomios
I Si gr(P)≥ gr(Q), debemos calcular el cociente de los polinomios paraexpresarlo en la forma:
P(x)Q(x)
= C(x)+R(x)Q(x)
I Si gr(P) < gr(Q), podemos encontrar cuatro situaciones:
(a) Todas las raıces son reales y simples(b) Todas las raıces son reales y alguna es multiple(c) Algunas raıces son complejas y simples(d) Algunas raıces son complejas y multiples
Integrales racionales
Todas las raıces son reales y simples.Entonces, podemos hacer:
Q(x) = (x−a1)(x−a2) . . . (x−an)
Se descompone el cociente en fracciones sencillas, como sigue:
P(x)Q(x)
=A1
x−a1+
A2
x−a2+ . . .+
An
x−an
Integrales racionales
Todas las raıces son reales y alguna es multipleEl polinomio Q puede factorizarse en la forma:
Q(x) = (x−a1)α1 (x−a2)α2 . . . (x−ar)αr ,
donder∑
i=1αi = gr(Q)
Se descompone el cociente en fracciones sencillas, como sigue:
P(x)Q(x)
=A11
(x−a1)+
A12
(x−a1)2 + . . .+A1α1
(x−a1)α1+
+A21
(x−a2)+
A22
(x−a2)2 + . . .+A2α2
(x−a2)α2+ . . .+
+Ar1
(x−ar)+
Ar2
(x−ar)2 + . . .+Arαr
(x−ar)αr
Algunas raıces son complejas simples.
I Toda raız compleja siempre aparece con su conjugada
Para cada raız compleja tendremos un termino de la forma:
(x− (r + si)) (x− (r− si)) = (x− r)2 + s2
El desarrollo de Q(x) tendra entonces la forma:
Q(x) = (x−a1) (x−a2) . . . (x−an)((x− r)2 + s2
)y la descomposicion del cociente sera:
P(x)Q(x)
=A1
x−a1+
A2
x−a2+ . . .+
An
x−an+
Ax+B(x− r)2 + s2
Finalmente,∫ Ax+B(x− r)2 + s2 dx =
A2
ln[(x− r)2 + s2
]+
Ar +Bs
arctanx− r
s+C
Integrales trigonometricas
Son integrales del tipo∫
R(senx,cosx)dx, donde R denota una funcion que combina
operaciones racionales.Por ejemplo:
∫ 1cos2 x+ senx
dx
∫ sen2 x+ cos3 x1− tan5 x
dx
Integrales trigonometricasEstas integrales se reducen a integrales racionales con los siguientes cambios:
I Caso R(senx,−cosx) =−R(senx,cosx): se hace el cambio t = senx:
cosx =√
1− t2 dx =1√
1− t2dt
I Caso R(−senx,cosx) =−R(senx,cosx): se hace el cambio t = cosx:
senx =√
1− t2 dx =− 1√1− t2
dt
I Caso R(−senx,−cosx) = R(senx,cosx): se hace el cambio t = tanx:
senx =t√
1+ t2cosx =
1√1+ t2
dx =1
1+ t2dt
I En otro caso se realiza el cambio trigonometrico universal t = tan( x
2):
senx =2t
1+ t2cosx =
1− t2
1+ t2dx =
21+ t2
dt
Integrales irracionales
I
∫R
(x,(
ax+bcx+d
)m/n, . . . ,
(ax+bcx+d
)r/s)
dx
ax+bcx+d
= tα , α = mcm(n, ...,s)
I
∫R(
x,√−ax2 + c
)dx
x =√
c√a
sen t
I
∫R(
x,√
ax2− c)
dx
x =√
c√a
sec t
I
∫R(
x,√
ax2 + c)
dx
x =√
c√a
tan t
Particiones
Sea un intervalo [a,b]⊂ IR.
DefinicionLlamamos particion P de [a,b] al conjunto de puntos {x0,x1, . . . ,xn} que verifica:
a = x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ . . .≤ xn−1 ≤ xn = b
DefinicionLa particion P∗ es un refinamiento de P si P⊂ P∗: todos los puntos de P estan en laparticion P∗
DefinicionLlamamos conjunto de las particiones P[a,b] al conjunto de todas las particionesposibles del intervalo [a,b]
Sea f una funcion real y acotada en el intervalo [a,b] y sea P una particion.Llamamos:
Mi = supxi−1≤x≤xi
f (x) mi = ınfxi−1≤x≤xi
f (x)
Sumas de Riemann
Sea f : [a,b]−→ IR una funcion acotada.
DefinicionLlamamos suma superior de Riemann y suma inferior de Riemann de la funcion frelativas a la particion P a:
U(P, f ) =n
∑i=1
Mi(xi− xi−1) L(P, f ) =n
∑i=1
mi(xi− xi−1)
I Asimismo, se definen las sumas intermedias:
n
∑i=1
f (ξi)(xi− xi−1), ξi ∈ [xi−1,xi]
Sumas de Riemann
Propiedad
L(P, f )≤ U(P, f ), ∀P ∈P[a,b]
TeoremaSi P∗ es un refinamiento de P, entonces:
L(P∗, f )≥ L(P, f ) y U(P∗, f )≤ U(P, f )
Propiedad
L(P1, f )≤ U(P2, f ) , ∀P1,P2 ∈P[a,b]
La integral de Riemann
DefinicionLlamamos integral superior de Riemann e integral inferior de Riemann de lafuncion f en el intervalo [a,b] a:
∫ b
af dx = ınf
P∈P[a,b]U(P, f )
∫ b
af dx = sup
P∈P[a,b]L(P, f )
TeoremaPara toda funcion f real y acotada,
∫ b
af dx≤
∫ b
af dx
La integral de Riemann
DefinicionSi las integrales superior e inferior de Riemann de una funcion coinciden, llamamosa este valor integral de Riemann de f en el intervalo [a,b]:
∫ b
af dx =
∫ b
af dx =
∫ b
af dx
y decimos que f es integrable segun Riemann: f ∈R[a,b]
Interpretacion graficaDada una funcion positiva en un intervalo [a,b], su integral de Riemann representa elarea encerrada por la curva y = f (x) y el eje y = 0, entre las abscisas x = a y x = b
Teorema (Existencia de la integral de Riemann)La funcion f es integrable en [a,b] en el sentido de Riemann si y solo si:
∀ε > 0, ∃P ∈P[a,b] tal que U(P, f )−L(P, f ) < ε
Teorema (de integrabilidad)
I Toda funcion continua en [a,b] es integrable en dicho intervalo
=⇒ Toda funcion derivable es continua, y por lo tanto integrable
I Toda funcion monotona y acotada en [a,b] es integrable en dicho intervalo
I Toda funcion acotada en [a,b] que presenta en dicho intervalo un numero finitode puntos de discontinuidad, es integrable en [a,b]
I Sea f una funcion integrable en [a,b] en el sentido de Riemann, y tal que:
m≤ f (x)≤M, ∀x ∈ [a,b]
Si g es continua en [m,M], entonces la funcion compuesta (g◦ f ) es integrableen [a,b]
PropiedadSean f ,g ∈R[a,b]
I (f ±g) ∈R[a,b] y (cf ) ∈R[a,b], ∀c ∈ IR, y se cumple:∫ b
a(f ±g)dx =
∫ b
af dx±
∫ b
agdx
∫ b
acf dx = c
∫ b
af dx
I Si f (x)≤ g(x) en [a,b], entonces∫ b
af dx≤
∫ b
agdx
I Si a < c < b, entonces f ∈R[a,c] y f ∈R[c,b], y se verifica:∫ b
af dx =
∫ c
af dx+
∫ b
cf dx
I Si |f (x)| ≤M, ∀x ∈ [a,b], entonces∫ b
af dx≤M(b−a)
I fg ∈R[a,b]
I |f | ∈R[a,b], y se cumple:∣∣∣∣∫ b
af dx∣∣∣∣≤ ∫ b
a|f |dx
Teorema (del cambio de variable)Sea f ∈R[a,b], y g una funcion real de clase C 1([c,d]). Si g([c,d])⊂ [a,b], severifica: ∫ g(d)
g(c)f (t)dt =
∫ d
cf (g(x))g′(x)dx
Teorema (del valor medio)Sea f ∈R[a,b], y llamemos:
M = supx∈[a,b]
f (x) m = ınfx∈[a,b]
f (x)
Entonces, ∃c ∈ IR, m≤ c≤M tal que:∫ b
af dx = c(b−a).
Ademas, si f es continua en [a,b], ∃x0 ∈ [a,b] tal que c = f (x0)
Teorema (fundamental del calculo)Sea f ∈R[a,b]. Para a≤ x≤ b, llamemos:
F(x) =∫ x
af (t)dt.
Entonces, F ∈ C [a,b]. Ademas, si f es continua en [a,b], F es derivable en [a,b], yF ′(x) = f (x), ∀x ∈ [a,b].
Tambien puede enunciarse de la siguiente manera:
Si f : I −→ IR es continua en I, entonces tiene primitivas en I; una de ellases la integral definida F dada por:
F(x) =∫ x
af (t)dt
donde a ∈ I es cualquiera.
DEMOSTRACION
(a) Sea c ∈ [a,b]. Por la definicion de F, tenemos:
F(c+∆x)−F(c) =∫ c+∆x
af (t)dt−
∫ c
af (t)dt =
=∫ c
af (t)dt +
∫ c+∆x
cf (t)dt−
∫ c
af (t)dt =
=∫ c+∆x
cf (t)dt = µ ∆x, µ ∈ [m,M]
Por lo tanto,
lım∆x→0
[F(c+∆x)−F(c)] = lım∆x→0
µ ∆x = 0
lım∆x→0
F(c+∆x) = lım∆x→0
F(c) = F(c)
lımx→c
F(x) = F(c)
o, lo que es lo mismo, F es continua en c ∈ [a,b]. Puesto que la igualdad esvalida para cualquier punto c, F es continua en [a,b].
(b) Por ser f continua,
F(c+∆x)−F(c) = f (ξ )∆x , ξ ∈ [c,c+∆x]
F(c+∆x)−F(c)∆x
= f (ξ ) , ξ ∈ [c,c+∆x]
lım∆x→0
F(c+∆x)−F(c)∆x
= F ′(c) = f (c) = lım∆x→0
f (ξ )
Como la igualdad es valida para cualquier c ∈ [a,b],
F ′(x) = f (x) , ∀x ∈ [a,b]
Regla de BarrowSi f ∈R[a,b] y existe una funcion F derivable en [a,b] tal que F ′ = f , entonces:
∫ b
af (x)dx = F(x)
∣∣∣∣ba
= F(b)−F(a)
Teorema (Integracion por partes)Si F y G son dos funciones derivables en [a,b], y se tiene:{
F ′ = fG ′ = g
en [a,b]
siendo f y g integrables en [a,b], entonces,∫ b
aF(x)g(x)dx = F(b)G(b)−F(a)G(a)−
∫ b
af (x)G(x)dx
TeoremaSea la funcion F dada por la integral definida:
F(x) =∫ b(x)
a(x)f (t)dt
La derivada de F con respecto a x viene dada por:
F ′(x) = f (b(x))b′(x)− f (a(x))a′(x)
Integracion impropia
DefinicionLa integral
∫ b
af (x)dx se denomina impropia si tiene al menos una de las
condiciones siguientes:
I el intervalo (a,b) no es acotado
I f no esta acotada en (a,b)
I Clasificamos las integrales impropias en 3 tipos.
Integrales impropias de primera especieSea f : (−∞,b]−→ IR integrable en [m,b], ∀m≤ b. Definimos:∫ b
−∞
f (x)dx = lımm→−∞
∫ b
mf (x)dx
si existe el lımite, en cuyo caso la integral se denomina convergente.
f (x) =12
ex , x ∈ (−∞,2)
Integrales impropias de primera especie
De igual forma se definen:∫ +∞
af (x)dx = lım
M→+∞
∫ M
af (x)dx∫ +∞
−∞
f (x)dx =∫ a
−∞
f (x)dx+∫ +∞
af (x)dx
si ambas integrales convergen. Las definiciones no dependen de a ∈ IR
f (x) = e−x2, x ∈ (−∞,+∞)
Integrales impropias de segunda especie
Consideramos la funcion f : [a,b]−→ IR no acotada en uno de los extremos delintervalo, por ejemplo en a. Si f es integrable en [t,b] para todo t tal que a≤ t ≤ b,entonces definimos: ∫ b
af (x)dx = lım
t→a
∫ b
tf (x)dx
si existe el lımite, en cuyo caso la integral se denomina convergente.
Si la funcion pierde el caracter acotado en un punto c ∈ (a,b), definimos:∫ b
af (x)dx =
∫ c
af (x)dx+
∫ b
cf (x)dx
donde las dos ultimas integrales se han descrito anteriormente.
Integrales impropias de tercera especie
Corresponden a un intervalo no acotado y una funcion no acotada en un numerofinito de puntos del intervalo.
EjemploLa integral ∫
∞
0
1x
dx
se reduce a los casos anteriores de la siguiente forma:∫∞
0
1x
dx =∫ 1
0
1x
dx︸ ︷︷ ︸2a especie
+∫
∞
1
1x
dx︸ ︷︷ ︸1a especie
Area de superficies planas
Sean las funciones f ,g : [a,b]−→ IR integrables. Entonces el area A limitada por losgrafos de ambas, las rectas x = a y x = b viene dada por:
A =∫ b
a|f (x)−g(x)| dx
Caso particular: g(x) = 0, luego A =∫ b
a|f (x)| dx
Longitud de un arco de curvaSea f ∈ C 1([a,b], IR). La longitud ` del grafo de f que une los puntos (a, f (a)) y(b, f (b)) es:
` =∫ b
a
√1+ f ′(x)2 dx
Longitud de un arco de curva
DEMOSTRACION. Aproximamos ` mediante la longitud de una lınea poligonalconstruida uniendo los puntos (xi, f (xi)), donde P = {x0,x1, ...,xn} es una particiondel intervalo [a,b]. Ası:
`P =n
∑i=1
√(xi− xi−1)2 +(f (xi)− f (xi−1))2 =
=n
∑i=1
(xi− xi−1)
√1+
[f (xi)− f (xi−1)]2
(xi− xi−1)2 = (tma. valor medio)
=n
∑i=1
(xi− xi−1)√
1+ f ′(ci)2 (ci ∈ [xi−1,xi])
`P es la suma intermedia de la funcion g(x) =√
1+ f ′(x)2. Aplicando un proceso delımite cuando el diametro de la particion tiende a 0,
` =∫ b
a
√1+ f ′(x)2 dx
Volumen de un solidoSupongamos un solido que, al ser cortado por un plano perpendicular al eje OX, paracada x ∈ [a,b] produce una seccion de area A(x).El volumen de dicho cuerpo comprendido entre x = a y x = b es:
V =∫ b
aA(x)dx
I De igual forma, se obtendrıa el volumen del cuerpo a partir de las areas de lassecciones producidas por planos perpendiculares al eje OY en el intervalo [a,b].
Volumen de un solido
Caso particular: volumen de revolucion. Si giramos el grafo de f : [a,b]−→ IRalrededor del eje OX, se construye una figura cuyo volumen es:
V = π
∫ b
af (x)2 dx