C U A R T A E D I C Nw DIFERENCIAL EINTEGRAL

LGEBRAn.;;;, =( V; r =xm/nFrmula cuadrticaLas soluciones de la ecuacin cuadrticaax2+ bx + e=Oestn dadas por-b+-4acx=2aFrmula binomial(x+ y)2= x2+ 2xy+ y2(x+ y)3= x3+ 3x2y+ 3xy2+ y3(x+ y)4= x 4+ 4x3y + 6x2y 2+ 4xy3 + y4En general, (x+ yt =xn++ G)xn- 2/+.oo+ G)xn- kyk+oo. + (n:)xyn-1+ yn,donde el coeficiente binomial (n) es el entero I( )1'm m. n m.FactorlzaclnSi n es llil entero positivo, entoncesxn _ yn= (x _ y)(xn-1 + xn- 2y+ xn - 3y2 +oo.+xn - k-1yk+.. , + xyn -2 + yn - 1).Si n es llil entero positivo impar, entoncesxn+ yn= (x+ y)(xn-I _xn- 2y+ xn - 3y2 _ .. ,xn-k-1yk::oo. _ xyn-2+yn-I), =ar - saSExponentes(ab)' =a'b'(a')S= arsNotacion factorialPara cada entero positivo n,n! = n(n - l)(n - 2) .. , 321;por definicin, O! = l.Radicalesh

rea delcrculo:A =rrr2Circunferencia:e =2rrr:, uu(:!u)1hbVolumen del cilindro:V =rrr2hrea de lasuperficie lateral:A= 2rrrh. b2Area del A=bl;b2h b,rea del A = l-bh . ' ......2 bVohunen dela esfera:V = }rrr3rea de la superficie:A = 4rrr2xyGEOMETRAd= la - blFrmulas para la distancIaDistancia en la recta munrica real:f+----d--lI IEcuacin pend iente-ordenadaal origen:y =mx + bEcuacin punto-pendiente:y -YI = m(x - xl)Circulo con centro (h,k)y radior:(x-h)2+(y-k?=r2xVolumen del cono:V=.jJr?hrea de lasuperficie lateral:A= rrrr 2+ h2cos2A = 1 + cos 2A2TRIGONOMETRA:sen2A+ cos2A= 1 (la identidadjimdalllental)tan2A + 1=sec2Acos 2A=cos2A - sen2A =1- 2 sen2A =2 cos2A - 1sen 2A = 2 sen A cos AcosCA + B)=cos A cos B - sen Asen BcosCA - B) =cos A cos B + sen Asen Bsen(A + B)=sen A cos B + cos Asen Bsen(A - B)= sen A cos B - cos Asen Bsen2A= 1 - cos 2A2V;se los apndices p;ra msfr111ubs de referencia.Leccin015/19/0510:15 PMPage 2

EDIClONENI N G L ~ S :AcquisionsEditor: GeorgeLobellEdilor in ChieF. Tim BozikDevelopmenr Editor:KarenKadinProduclionEditor: Edward ThomasMarkeling Manager: Melissa AcuaSupplemenlS EdiIOr:Mary HornbyProducl Manager: Trudy PisciolliDesignDireclor: F10rence Dara SilvermanTexr Designer: Andrew ZUlisPage LaYOUI: Andrew Zutis,Karen NoferiCover Designer: Patricia McGowanCover PhOIO: MichaelPortlandPhOIO EdiIOr: Lorinda Morris-NanrzPhOlO Research: Mira SchachneEdilorial Assislance: Joanne WendelkenTexl Composilion: Inreraclive Composion CorporalionArt Sludio:Necwork GraphisCopy EdiIOr: !Jnda ThompsonEDWARDS: cALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. 4a. Ed.Traducido del ingls de la obra: CALCULUS WITH ANALYI1C GEOMETRY (Brief edition) , FOURTHEDITION.A11 righlS reserved. AUlhorizedlranslaon fromEnglish language editionpublishedby Prenrice-Hall. Inc.Todos los derechos reservados. Traduccin autorizada dela edicin en ingls publicada por Prenrice-Hall, Inc.A11 righlS reserved. No parl of rhis book may be reproduced or lransmilled in any form or any means.eleclronic or mechanical, including pholocopying.recording or by any informalion slorage andrelrieval syslem,wimoul permission in wriling fromme publisher.Prohibida la reproduccin 10lal o parcial de esla obra, por cualquier medio o mlodo sin autorizacin porescrilo del edilor.Derechosreservados 1997 respeclo a la primera edicin en espaol publicada porCalle 4 N' 25-2' piso Frace. Ind. AlceBlanco.Naucalpan de Jurez.Edo. de Mxico.C.P. 53370ISBN 970-17-0056-2Miembro dela Cmara Nacional de la IndusrriaEditorial. Reg. Nm. 1524.Original EnglishLanguage EdilionPublishedby Prenrice-Hall, Inc.A Simon &Schusler Company.Copyrighl MCM.'XCrvA11 rights reservedISBN 0-13-457912-7IMPRESOEN M8crCO /PRINTED INMEXICO+z z:i:r.IIIIIIIIJ t., .3_xContenidoSobre los autoresPrefacioxixiliI(x)CAPTULO 1 Funciones y grficas1.1 Funciones y nmeros reales 2PROYECTOS 131.2 El plano coordenado y las lneas rectas 141.3 Grficas de ecuaciones y funciones 23PROYECTOS 311.4 Un breve catlogo de funciones 33PROYECTOS 421.5 Una vista preliminar: Qu es el clculo? 42REPASO:DEFINICIONES, CONCEPTOS,RESULTADOS 46CAPTULO 2 Preludio al clculo2.1 Rectas tangentes y la derivada: Un primer vistazo 50PROYECTO 592.2 El concepto de lmite 59PROYECTO 702.3 Ms acerca de los lmites 712.4 El concepto de continuidad 81PROYECTOS 91REPASO:DEFINICIONES, CONCEPTOS,RESULTADO 9249vii

M i n i m o l o c a l/I = I : a s j n t o t a v e r t i c a lx

C o n t e n i d o

y ). J\ \

PrefacioEl papel yla prctica de las matemticas a nivel global y mundial est sufriendounarevolucin, conla influenciaprincipal de latecnologa de cmputo. Lascalculadoras y los sistemas de cmputo proporcionan a estudiantes y maestros lafuerza matemtica que ninguna generacinanterior podra haber imaginado.Incluso leemos en los peridicos eventos impresionantes, como el reciente anunciode la demostracin del ltimo teorema de Fermat. En trminos de las matemticas,seguramente sta esla poca ms excitante en toda la historia! As, al prepararesta nueva edicin de CALCULO diferencial e integral, deseamosllevar a los es-tudiantes que lo utilicen algo de esta excitacin.Tambinnotamosqueel cursodeclculoes lapuertaprincipal paralascarreras tcnicas y profesionales para un nmero cada vez mayor de estudiantesen un rango cada vez mayor de curricula. Adonde volteemos (en las empresas, elgobierno, la ciencia y la tecnologa), casi todo aspecto del trabajo profesional estrelacionadoconlas matemticas. Por tanto, hemos repensadoel objetivodeproporcionar a los estudiantes de clculo la base slida para su trabajo posteriorque deben obtener de su texto de clculo.Por primera vez desde que la versin original de este libro se public en 1982,esta cuarta edicin ha sido revisada desde el principio hasta el fin. Los anlisis yexplicacioneshansidoreescritosenunlenguajequelosestudiantesvernmsvivoyaccesible. Los temas que rara vezse tocan hansidorecortados, paraadecuarlos a un curso de clculo ms accesible. Hemos agregado notas histricasy biogrficas para mostrar a los estudiantes el lado humano del clculo, as comoproyectos con calculadoras grficas y laboratorios de cmputo (con opciones paraDerive. MapleyMathematica) paralasseccionesfundamentalesdel texto. Dehecho, en esta edicin se percibe un espritu y un enfoque nuevos que reflejan elinters prevaleciente enlascalculadoras grficas ylos sistemas de cmputo. Enformaconsistenteconelnfasisgrficodel movimientoactual dereformadelclculo, hemos casi duplicado el nmero de figuras en el texto, donde gran partedel nuevo material grfico es generado por computadora. Muchas de estas figurasadicionales sirven para ilustrar un enfoque de ms deliberacin y exploracin a lasolucin de problemas. Nuestra propia experiencia en la enseanza sugiere que eluso de la tecnologa contempornea puede hacer que el clculo sea ms concretoy accesible a los estudiantes.Caractersticas de lacuarta edicinAl preparar esta edicin, hemos aprovechado de los numerosos y valiosos comen-tarios y sugerencias delos usuarios de las primeras tres ediciones. Esta revisinha sidotan completa que las modificaciones son demasiadas como para enume-rarseaqu. Sin embargo, los prrafossiguientesresumenlasmodificacionesdemayor inters.xi

X V I I I

ICAPTULOI1 Funciones y grficasLa grfica de y =~ -3x2 + 1o Es posible que el erudito francsdel sigloXVII RenDescartesseamsrecordadohoy en da como fi-lsofoque como matemtico. Peromuchosdenosotrosestamosfami-1iarizados con el "plano cartesiano",en donde la posicin de un punto Pqueda determinada por sus coorde-nadas (x, y).o Durante su poca de estudiante,confrecuencia Descartes tena per-miso de levantarse tarde, debido a susupuesta salud quebrantada. l afir-maba quepensabamsclaramenteacerca de la filosofia,la ciencia y lasmatemticas cuandoestabacmo-damente acostado en las fras maa-nas. Despus de graduarse en derecho(loque estudiaparentemente conpoco entusiasmo), Descartes viajcon varios ejrcitos por algunosaos, peromscomouncaballeroque como un militar profesional.o Despus de establecerse por fin(en Holanda), Descartes public en1637sufamoso tratadofilosficoDiscurso del mtodo(Del buenra-zonamiento y la bsqueda de la ver-dad en las ciencias). Uno de los tresapndicesdesuobraestablecasunuevo enfoque "analtico" de la geo-metra.Su principal idea (estableci-da casien formasimultnea por sucoterrneo Pierre deFermat) fuelacorrespondencia entre una ecuaciny su grfica, que era por10 generaluna curva en el plano. La ecuacinse poda utilizar para estudiar la cur-va, o viceversa.o Supongamosque queremos re-solver la ecuacinf(x) =O. Sus solu-ciones sonlos puntos de intersec-cin de la grfica y = f(x) con el ejex, de modo que una imagen precisade la curva muestra el nmero yposiciones aproximadas de las solu-ciones de la ecuacin. Por ejemplo,la grfica dey=.0- 3r+ 1tiene tres intersecciones con el ejex,10 que muestra que la ecuacintiene tres soluciones reales (una en-tre-1 yO,otraentreOy 1,yunamsentre 2 y 3). Una calculadora grficamoderna o un programa de grafica-cin para computadora puedenaproximar estassoluciones de ma-neramsprecisa, amplificandolasregiones donde se localizan. Porejemplo,la regin central agranda-damuestraquela solucincorres-pondiente es x"" 0.65.

yy IIIX xFigura 1.2.2 El punto P tienecoordenadas rectangulares(XI>YI)BaA .c;;...----b---....IC(ngulorecto)Figura 1.2.3 El teorema dePitgorasAl agregarestascaractersticas, obtenemos el planocoordenado, yaqueentonces esposible localizar cualquier puntodado mediante un par de nmerosllamados coordenadas del punto. He aqu cmo: Si P es un punto en el plano, traceperpendiculares de P a los ejes coordenados, como se muestra en la figura1.2.2.Una perpendicular interseca al ejexenlacoordenadax (oabscisa) deP,etiquetada como XIen la figura1.2.2. La otra interseca al eje yen la coordenaday(u ordenada) YI en P. El par de nmeros(XI> Y), en ese orden, se llama el parcoordenadodeP, o simplemente las coordenadas deP. Paraser concisos,hablamos de "el punto P(XI> y)".Este sistema de coordenadas se llama sistema de coordenadas rectangula-res, o sistema de coordenadas cartesianas (pues su uso engeometra fuepopularizadoenladcadade1630porel matemticoyfilsofofrancs RenDescartes [1596-1650]). El planoconestascoordenadassedenota RZ, yaqueusamos dos copias de R; se conoce tambin como plano cartesiano.Las coordenadas rectangulares son fciles de usar, ya que P(XI> Y) y Q(Xz, yz)sealan al mismo punto si y slo si XI = Xl YY= Yl' Por tanto, si usted sabe que Py Qsonpuntosdiferentes, debeconcluir que P y Qtienendiferentesabscisas,diferentes ordenadas, o ambas.El puntodesimetra(O, O) dondesecruzanlosejescoordenadossellamaorigen. Todos los puntos en el ejex tienen coordenadas de la forma (x, O). Aunqueel nmero real X no es lo mismo que el punto geomtrico (x, O), hay situacionesen que es ms til pensarlos como lo mismo.Observaciones similares se aplicana los puntos (O, y)en el eje y.El concepto de distanciaenel plano coordenadose basaenelteoremadePitgoras: Si ABe es un tringulo rectngulo con su ngulo recto en el punto eehipotenusa e, como en la figura1.2.3, entonces(1)yxElrecprocodel teoremadePitgoras tambinescierto: Si los treslados de untringulo dado satisfacen la relacin de Pitgoras en la ecuacin (1), entonces elngulo opuesto alIado e debe ser un ngulo recto.La distanciad(PI> Pl) entre los puntos PI y Ples, por definicin, la longi-tud de la lnea recta que une aP y Pl. La frmula siguiente da d(PI> Pl) en trminosde las coordenadas de los dos puntos.Frmula de la distanciaLa distancia entre los dos puntos p(XI> Y) y PzCXl' Yl) esFigura 1.2.4 Use este tringulopara deducir la frmula de ladistancia(2)Q(5,4)yP(I,O)Figura 1.2.5 Es ste untringulo rectngulo (ejemplo l)?xDemostracin Si XI -:.Xl YY -:. Yl, entonceslafrmuladela ecuacin (2)esconsecuencia delteorema de Pitgoras.Use eltringulo rectngulo con vrticesPI> PlYPJCXl,YI) que se muestra en la figura1.2.4.Si XI = Xl, entonces PI y Pl estn en una lnea vertical. En este casod(P, Pz)= IY2 - y I =V(yz - YI)2.Esto concuerda con la frmula de la ecuacin (2) ya que X =Xz. El caso restante,en donde Y= Yl es similar. OEJEMPLO1 Muestreque el tringulo PQRcon vrtices P(l,O), Q(5, 4) YR(-2,3) es un tringulo rectngulo (figura 1.2.5).Seccin1.2 / Elplano coordenado y las lneas rectas 15

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CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIOLa primera de estas consecuencias es el recproco no trivial del hecho trivial deque la derivada de una funcin constante es idnticamente nula. Es decir, demos-traremos que no puede existir una funcin extica no constante pero con derivadanula en todo punto. En los corolarios1 a 3 supondremos quefy gson continuasenel intervalo cerrado[a, b] y derivables en (a, b).Corolario 1 Funciones con derivada nulaSif'(x) == Oen (a, b) [es decir,j'(x) = Opara toda x en (a, b)], entoncesfes una funcin constante en [a, b]. En otras palabras, existe una constanteCtal quef(x)== C.Demostracin Apliquemos el teoremadel valor medioalafuncin f enelintervalo [a, x], dondexesunpuntoarbitrarioperofijodel intervalo(a, b].Tenemos quef(x) - fea) =f'(c)(x - a)para algn nmero c entre a y x. Perof'(x) se anula en todo el intervalo (a, b), porlo quef'(c) =O.As,j(x) - fea) = O, por lo quef(x) =fea).Pero esta ltima ecuacin es vlida para toda x en (a, b]. Por consiguiente,j(x)= fea) para toda x en (a, b], y de hecho, para toda x en[a, b]. Es decir,j(x) tieneel valor fijo C = fea). Esto establece el corolariol . OEl corolario 1se aplica por lo general en una forma diferente pero equivalente,que establecemos y demostramos a continuacin.Corolario 2 Funciones con derivadas igualesSuponga quef'(x) = g'(x) para toda x en el intervalo (a, b). Entoncesfyg difieren en una constante en [a, b] . Es decir, existe una constante K talquef(x)= g(x) +Kpara toda x en[a, b] .Demostracin Dadas las hiptesis, sea h(x)= f(x) -g(x). Entoncesh'(x) = f'(x) - g'(x) = Opara toda x en (a, b). Entonces, por el corolario1, h(x) es una constante K en[a, b].Es decir,j(x) - g(x) = K para toda x en[a, b]; por tanto,f(x)= g(x) +Kpara toda x en[a, b] . Esto demuestra el corolario 2. OEJEMPLO 4 Sif'(x)=2 cos x yfeO)= 5, cul es la funcinf(x)?Solucin Por nuestro conocimiento de las derivadas de lasfuncionestrigono-mtricas, sabemos que una funcin explcita con derivada 2 cos x esSeccin 4.3 / Funciones crecientes y decrecientes y el teorema del valor medio 203

IICAPTULOI6 Aplicaciones de la integralfx dtn: (x) = T::-: =Ji (x)2 mIo Ensutesis de 1851, Riemarmpresentlilaforma geomtricadepuede factorizar mediante enterospositivosmenoresquel. Enunfa-moso artculo de 1859, RiemannanalizlaaproximacinImagen creada en MATLAB,cortesa de The MathWorks, Inc.,Natick, MA.visualizar las funciones "multiva-luadas", comolafuncinraz cua-drada, condos valores h Lasiguientegrficailustralafuncinraz cbica. Para cada nmero com-plejo z=x + yi en el disco unitarioJ?+ y ~ 1, lastresracescbicas(complejas)dezse trazandirecta-mente arriba de z. Cada raz se gra-fica a una altura igual a su parte real,demodoqueel color queda deter-minado por suparte imaginaria. Elresultadoesla"superficiedeRie-mann" de la funcinraz cbica.10,000,000664,918664,5790.051%1,000,000,00050,849,23550,847,5340.003%1,000,00078,62878,4980. 165%x 100,000,000li(x) 5,762,209n (x) 5,761,455error 0.013%xli(x)n (x)errorTreinta aos despus de la muerte deRiemann, sus ideas condujeronenltima instancia aunademostra-cin de que el porcentaje de error enla aproximacin E(x) a n(x) tiende acero cuando x --t oo.al nmeron(x)de aquellosprimosmenores o iguales que x (donde In xdenota el logaritmonatural dex) .Existe una correspondencia admira-bleentre los valoresde n (x) ylaaproximacin li(x) de la "integrallogartmica":o Las investigaciones matemticasde Riemann fueron tan variadas comoproftmdas, desde los conceptos bsi-cos de fimciones eintegrales hastareastalescomola geometra(dife-rencial) no euclidianayla distribucinde los nuneros primos. Recordemosque un entero p >1 es primo si no seo El concepto general de integra-cin se remontaal clculode reasy volmenes en la antigedad, perolas integrales utilizadas por NewtonyLeibniznosedefinieronconlasuficienteprecisinparacompren-derlas cabalmente. Al matemticoalemn G. F. Bernhard Riemann de-bemos la definicin moderna queemplea "sumasdeRiemann". Hijode un ministro protestante, Riemannestudi teologa y filologa en laUniversidaddeG6ttingen(Alema-nia) hasta que obtuvo el penniso desu padre para estudiar matemticas.Fue transferido a la Universidad deBerln, dondeobtuvosudoctoradoen 1851. Sutrabajoen la dcadaposteriorleasegurunlugarenlabrevelista delosmatemticos msprofundosycreativosdetodos lostiempos. Pero en 1862 enfenn gra-vemente. Nunca se recuper deltodoy en 1866muri de maneraprematura a la edad de 39 aos.

B i b l i o g r a f i a p a r a e s t u d i op o s t e r i o rL a s r e f e r e n c i a s 2 , 3 , 7 y 1 0 p u e d e n s e r v i r p a r a c o n s u l t a r t e m a s h i s t r i c o s r e l a t i v o s a l c J c u l o . L ar e f e r e n c i a 1 4 p r o p o r c i o n a u n t r a t a m i e n t o m s t e r i c o q u e e l d e n u e s t r o l i b r o a c e r c a d e l o s t e -m a s d e c h l c u l o d e u n a s o l a v a r i a b l e . L a s r e f e r e n c i a s 4 , 5 , 8 y 1 5 i n c l u y e n t e m a s a v a n z a d o s d e lc l c u l o d e v a r i a s v a r i a b l e s . L a r e f e r e n c i a I i e s u n a o b r a e s t n d a r r e l a t i v a a l a s s e r i e s i n f i n i t a s . L a sr e f e r e n c i a s 1 , 9 y 1 3 s o n l i b r o s d e t e x t o d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s . L a r e f e r e n c i a 6 a n a l i z a t e m a sd e l c h l c u l o j u n t o c o n I a c o m p u t a c i n y I a p r o g r a m a c i n e n B A S I C . A q u e l l o s q u e q u i e r a n a h o n d a re n e l t e r n a d e l o s f r a c t a l e s d e b e r h n l e e r I a r e f e r e n c i a 1 2 .B O Y C E , W I L L I A M E . y R I C H A R D C . D I P R I M A , E l e m e n t a r yD i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s ( 5 a . e d i c i n ) . N u e v a Y o r k : J o h nW i l e y , 1 9 9 1 .B O Y E R , C A R L B . , A H i s t o r y o f M a t h e m a t i c s ( 2 a . e d i c i O n ) .N u e v a Y o r k : J o h n W i l e y , 1 9 9 1 .B O Y E R , C A R L B . , T h e H i s t o r y o f t h e C a l c u l u s a n d I t sC o n c e p t u a l D e v e l o p m e n t . N u e v a Y o r k : D o v e r P u b l i c a -t i o n s , 1 9 5 9 .B U C K , R . C R E I G H T O N , A d v a n c e d C a l c u l u s ( 3 a . e d i c i n ) .N u e v a Y o r k : M c G r a w - H i l l , 1 9 7 7 .C O U R A N T . R I C H A R D y F R I T Z J O H N , I n t r o d u c t i o n t o C a l -c u l u s a n d A n a l y s i s . V o l i i m e n e s I y I I . N u e v a Y o r k :S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 8 9 .E D W A R D S , C . H . , J R . , C a l c u l u s a n d t h e P e r s o n a l o m -p u t e r . E n g l e w o o d C l i f f s , N . J . : P r e n t i c e H a I l , 1 9 8 6 .E D W A R D S , C . H . , J R , T h e H i s t o r i c a l D e v e l o p m e n t o f t h eC a l c u l u s . N u e v a Y o r k : S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 8 2 .E D W A R D S , C . H . , J R . , A d v a n c e d C a l c u l u s o f S e v e r a l V a -r i a b l e s . N u e v a Y o r k : A c a d e m i c P r e s s , 1 9 7 3 .E D W A R D S , C . H . , J R . y D A v I D E . P E N N E Y , E l e m e n t a r yD ? f f e r e n t i a l E q u a t i o n s w i t h B o u n d a r y V a l u e P r o b l e m s( 3 a . e d i c i n ) . E n g l e w o o d C l i f f s , N . J . : P r e n t i c e H a l l ,1 9 9 3 .K L I N E . M O R R I S , M a t h e m a t i c a l T h o u g h t f r o m A n c i e n t t oM o d e r n T i m e s . V o h i m e n e s I , I I y I I I . N u e v a Y o r k :O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 0 .K N O P P , K O N R A D , T h e o r y a n d A p p l i c a t i o n o f I n f i n i t e S e -r i e s ( 2 a . e d i c i n ) . N u e v a Y o r k : H a f n e r P r e s s , 1 9 9 0 .P E T T G E N , H O . Y P H . R I C H T E R , T h e B e a u t y o f F r a c t a l s .N u e v a Y o r k : S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 8 6 .S I M M O N S , G E O R G E F . , D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s w i t h A p -p l i c a t i o n s a n d H i s t o r i c a l N o t e s . N u e v a Y o r k : M c G r a w -H i l l , 1 9 7 2 .S P I V A K , M I C H A E L E . , C a l c u l u s ( 2 a . e d i c i O n ) . B e r k e l e y :P u b l i s h o r P e r i s h , 1 9 8 0 .T A Y L O R , A N G U S E . Y W . R O B E R T M A N N , A d v a n c e d C a l -c u l u s ( 3 a . e d i c i O n ) . N u e v a Y o r k : J o h n W i l e y , 1 9 8 3 .B i b l i o g r a f i a p a r a e s t u d i o p o s t e i o rA - 5 7