Autor: Ing. Jorge Calcagno - JTP Matemtica Avanzada Pgina 1 de 3 Facultad de Ingeniera Universidad Nacional de Mar del Plata - Argentina

Ejemplo de Clculo de Energa y Potencia en un sistema mecnico Se tiene el siguiente sistema que representa a un ascensor de los usados comunmente en los edificios de departamentos. Consta de un motor con un cable de acero enrrollado en una polea que levanta el ascensor desde planta baja hasta el piso 7. Mediante un circuito electrnico se logra que el motor regule su velocidad y haga que el ascensor viaje con una velocidad dada por el grfico mostrado abajo. Si el peso de la cabina mas los pasajeros es de 600 Kg , V0 = 1.2 m/s t1 to = 17 seg Se pide: a) Grafique la fuerza que tiene que hacer el motor para levantar el ascensor b) Grafique la potencia instantanea c) Calcule la energa necesaria para levantar el ascensor a la velocidad deseada d) Calcule la potencia media que debe tener el motor para realizar el ascenso

Solucin:

Examinemos primero las fuerzas que se ejercen sobre la cabina + los pasajeros del ascensor:

t1 tf

v(t)

t t0 0

vo

El ascensor acelera suavemente desde 0 a t0 hasta llegar a la velocidad cte de viaje Vo , al llegar cerca del piso 7 desacelera hasta llegar a

velocidad cero, eso ocurre en el tiempo tf e indica que el ascensor lleg

al piso 7, recorriendo una altura de h metros. Los tiempos de aceleracin y desaceleracin son iguales, es decir:

t0 = tf t1 = 1.5 seg

Motor

v(t)

Piso 7

PB

h

Fm

P

Fm = Fuerza que ejerce el motor a traves del cable de acero P = Peso de la cabina + los pasajeros a = aceleracin Podemos plantear la ecuacin de Newton:

= amF

)1(PamFmamPFm +==

a(t)

Autor: Ing. Jorge Calcagno - JTP Matemtica Avanzada Pgina 2 de 3 Facultad de Ingeniera Universidad Nacional de Mar del Plata - Argentina

La aceleracin la podemos sacar derivando la velocidad dada por el grfico que tenemos como dato y de all con la ecuacin (1) podemos graficar la Fm y haciendo el producto Fm . v(t) sacamos la potencia instantanea que aportar el motor para impulsar el ascensor a la velocidad deseada

c) Calculemos ahora la energa integrando la potencia instantanea:

dtvottto

voP

to

vomdtvoPdtt

to

voP

to

vom

dttvtFmdttpiE

f

ff

t

t

t

to

t

tt

+++++=

===

1

1

0

00

))()(())((

)().()(

1

0

v(t)

t t0 0

vo

t

t0

0

vo / t0

t1 tf

-vo / t0

a(t)

t

P

m vo / t0 + P

-m vo / t0 + P

Fm

t

P. vo

m (vo)2 / t0 + P vo

-m (vo)2 / t0 + P vo

pi = Fm.v(t)

a) En este sector el motor hace la fuerza para compensar el peso y la a(t) = 0, por lo tanto la velocidad es cte.

b)

t1 tf

t0

Autor: Ing. Jorge Calcagno - JTP Matemtica Avanzada Pgina 3 de 3 Facultad de Ingeniera Universidad Nacional de Mar del Plata - Argentina

f

f

t

t

t

t

t

to

t

tt voPto

vom

tt

to

voP

to

vomvoP

t

to

voP

to

vomE

110

)(2

)())((

2))((

2211

0

++

++++=

)()()(

2

1)(

2

1)(

2

1

2

11

111 22

2

222

1 ttvoPto

ttvom

to

ttvoP

to

ttvomtotvoPtovoPvomE f

fff+

+++=

Sabiendo que tf t1 = to, obtenemos:

)2(11222

2

1

2

1

2

1

2

1tvoPtovoPvomtovoPvomtovoPtvoPtovoPvomE =++++=

Ahora incorporaremos un concepto ya sabido de fsica:

)3(11 )(2.2

)()()()(

)(0

tvottvovoto

tvdereadttvhtxt

txtv o

ft=+=====

donde h es la distancia recorrida por el ascensor, entonces reemplazando (3) en (2) queda: E = P h Es decir la energa que debe aportar el motor es la Energa Potencial necesaria para subir el peso del ascensor a la altura h, algo que ya conocemos de fsica Para los valores dados: E = P . h = P vo t1 = 600 Kgfuerza . 1,2 m/seg . ( 17 + 1,5 ) seg = 13320 Kgf . m Para expresar la energa en Joules debemos cambiar Kg fuerza por Newton, 1Kgf = 9.8 N, entonces: E = 13320 . 9.8 N . m = 130536 Joules

d) Luego la potencia media ser :

HPHPWatts

WattsWatts

seg

Joules

T

EPm 75.8

/746

8.65268.6526

20

130536=====

Se elige un motor de potencia mayor para no estar tan justo y poder suministrar los picos de potencia en el momento del arranque del ascensor (0 < t < to). Por ejemplo un Motor de 10 HP.