8º CONGRESO IBEROAMERICANO DE INGENIERIA MECANICA Cusco, 23 al 25 de Octubre de 2007

INFLUENCIA DEL ÁNGULO DE PRESIÓN EN EL ESFUERZO DE FLEXIÓN DEL PIE DE DIENTE PARA ENGRANAJES CILÍNDRICOS DE DENTADO RECTO EXTERIOR

MEDIANTE EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS.

Dr. Luis Orlando Cotaquispe Zevallos

Pontificia Universidad Católica del Perú e-mail: lcotaqu@pucp.edu.pe

RESUMEN En el presente trabajo se analiza el tema relacionado con la variación del ángulo de presión (α) de la herramienta de corte utilizada para la fabricación de los engranajes metálicos cilíndricos de dientes rectos exteriores mediante el método de los elementos finitos, y su influencia en la resistencia de dichos engranajes. Un tema importante es poder contar con una geometría del perfil del diente de manera precisa, así como con la determinación de la carga actuante entre los dientes para cualquier posición de funcionamiento. Para dar solución a estos problemas se desarrollaron programas de cálculo con los parámetros que definen exactamente la geometría de los engranajes, dentro del software COSMOS\M, garantizando con ello la obtención de una forma precisa del funcionamiento de la transmisión. Además en esta investigación se obtienen en particular los esfuerzos de flexión de manera sencilla, para dos valores del ángulo de presión 20° y 22.5°; utilizando modelos discretizados por elementos finitos. Estos son aspectos novedosos que han sido escasamente abordados por la bibliografía especializada a pesar de que representan mejoras en la resistencia de los dientes del engranaje, debido a que no se tiene suficiente apoyo tecnológico de los fabricantes de las distintas herramientas de corte que se usan en la actualidad a nivel mundial. A pesar de ello las normas internacionales de cálculo ya comenzaron a colocar algunas gráficas en función de diversos ángulos de presión de la herramienta, con lo cual el presente trabajo alcanza actualidad dentro de los investigadores de los engranajes. Finalmente el objetivo de esta línea de investigación sólo es tratar de aportar un modelo geométrico exacto, para luego presentar una aplicación precisa de la carga a todo lo largo de la línea de engrane con la finalidad de perfeccionar los cálculos de los engranajes que se ejecutan actualmente según las diversas normas internacionales. PALABRAS CLAVE: engranaje, normas, modelación, ángulo de presión, esfuerzos de flexión.

INTRODUCCIÓN

El análisis de los engranajes cilíndricos de dientes rectos exteriores referido a su diseño por efecto de los factores geométricos sobre el comportamiento (número de dientes, módulo, ancho del diente, factor de corrección, radio de curvatura de la punta de la herramienta y el ángulo de presión de la herramienta), aún continua siendo tema de actualidad. Los diversos investigadores de los engranajes a nivel mundial [1, 2] desarrollan diversas líneas de trabajo con el claro objetivo de perfeccionar las normas internacionales de cálculo.

Dentro de los diversos factores geométricos señalados se presentará en esta obra el efecto del ángulo de presión (α ) de la herramienta de corte, el cual ha variado en el tiempo de 14.5° y/o 20° . Dichos valores han sido asumidos por los fabricantes de las herramientas de corte, los cuales desde hace varias décadas se han estacionado en el valor de °= 20α y por supuesto que han uniformizado la producción de herramientas. A pesar de que los analistas han planteado nuevas alternativas acerca de los factores geométricos y las normas internacionales de cálculo desde 1985 vienen presentando gráficos experimentales a manera de ensayo con el objetivo de ir perfeccionando el estudio, la respuesta por el lado de los fabricantes de herramientas no ha variado.

El presente trabajo muestra un análisis puntual acerca de los dientes del engranaje, relacionando la variación del ángulo de presión °= 20α y °= 5.22α con el efecto de la resistencia a los esfuerzos de flexión que soporta el pie de diente. Para lo cual se ha hecho uso de las herramientas matemáticas con la finalidad de representar exactamente la geometría del perfil del diente (programación para modelar perfiles) y posteriormente realizar la simulación del estado de cargas sobre los dientes de los engranajes con el software de elementos finitos COSMOS \ M. v.2.7 [3, 4]. MODELACIÓN DE ENGRANAJES

Esta modelación se basa en el uso de los elementos finitos con la finalidad de obtener una geometría exacta del diente para los dos casos de ángulos de presión propuestos y que luego sirva para evaluar los esfuerzos de flexión en el pie de diente bajo carga. La geometría representada por la modelación simula a la de un engranaje fabricado mediante el proceso por fresa madre. Ver Fig.1.

Figura 1: a. Posición relativa entre el diente y la herramienta b. Ubicación de la trocoide (rojo) y de la evolvente (azul)

Respecto del análisis de cargas durante el funcionamiento, esta se hizo para una ubicación crítica sobre el

segmento de engrane (ε1

=abf ) ; donde abf es el porciento del segmento de engrane crítico y ε es el

coeficiente de engrane. Esta ubicación de los dientes en los engranajes ha sido obtenida mediante el diseño de una sub-rutina de programación [5] a lo largo del segmento de engrane. Ver Figura 2.

Figura 2: Representación de la sub-rutina para graficar un diente en posición crítica

Es oportuno remarcar que el momento más crítico de funcionamiento de un diente del engranaje, para el piñón o rueda motriz, ocurre cuando el diente que le sucede comienza a engranar; pues en esta posición la carga que es transmitida por un solo diente, produce el mayor momento flector al tener mayor brazo. Luego de este instante la carga es repartida entre dos dientes, disminuyendo así el momento flector.

Finalmente se pueden determinar los ángulos que deben girar las ruedas para ser ubicadas en la posición crítica,

partiendo de que el perfil del diente es dibujado según las ecuaciones paramétricas de la trocoide y la evolvente. Es importante señalar para un mejor entendimiento que la rueda 1 se gira en sentido antihorario y la rueda 2 en sentido horario. En la figura 3, se muestra la ubicación crítica de un par de dientes del engranaje utilizando la modelación a través del software COSMOS \ M, el cual nos sirve tambien para realizar el analisis de esfuerzos en el pie de diente

(ε1

=abf ).

γ1

90° − γ1 90° − γ1 + ϕ 1/2

90° − γ1 + ϕ 1/2 − ϕ 1 90° − γ1 + ϕ 1/2 − ϕ 1 + ϕ 1 90° − γ1 + ϕ 1/2 − ϕ 1 + ϕ 1 − ϕ 1

1

11

e

ee r

s=ϕ

'

1

11 arccos αϕ −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

e

ofc r

r εϕϕ ⋅= 11 pc

11

2Zpπϕ =

( ) ( ) ( )

1

**

1

25,1cos4

Z

tgff αρα

ρπ

γ⋅−++

=

Figura 3: Geometría real de un par de engranajes de 17=z ; 0=x ; ε1

=abf

DEFINICIÓN DE LOS PARÁMETROS GEOMETRICOS

Después de algunos análisis y pruebas de modelación con los engranajes, se concluyó que el módulo y el ancho

son unos factores de escala por lo tanto en el presente estudio se consideran 1=m y 1=b . Es importante indicar además que el presente trabajo solo esta orientado al parámetro geométrico ángulo de presión de la herramienta de corte α , el cual ha sido analizado de manera especial para definir su influencia en la determinación del esfuerzo de flexión en el pie del diente [5].

Luego de revisar las recomendaciones de las normas internacionales de cálculo [6, 7, 8 y 9] y los catálogos de los fabricantes de herramientas de corte [10 y 11], se hicieron las pruebas iniciales para ver la no influencia de los otros factores señalados en la determinación de los esfuerzos de flexión. Otro trabajo adicional ha sido diseñar la hoja de información que se muestra en la tabla 1, es importante indicar también que para cada factor presentado en la tabla de trabajo se han tenido que realizar una serie de pruebas para determinar las parejas de engranajes a calcular, la gama de los factores de corrección en función del número de dientes de tal forma que su influencia sea mínima en la obtención de la resistencia de los engranajes.

Respecto de los fabricantes de herramientas de corte (fresa madre o cremallera) se puede concluir que en los mercados actuales se utiliza preferentemente °= 20α y el radio de la punta de la herramienta 4.0=fρ por el módulo, entonces se mantendrá constante el radio de la punta de la herramienta para que tampoco influya en el estudio. Sobre el ángulo de la herramienta es que esta centrado el objetivo del presente estudio y para ello se consideran los valores de °= 20α y °= 5.22α , se tiene mucho interés en observar el comportamiento de los esfuerzos en los dientes del engranaje para estas condiciones de trabajo y fabricación.

Tabla 1. Hoja de cálculo para determinar el esfuerzo de flexión

171 =Z °= 20α °= 5.22α 172 =Z 4.0=fρ 4.0=fρ

1x 2x 1aS 2aS ε MEFFN −σ(MPa)

1aS 2aS ε MEFFN −σ

(MPa)

DETERMINACIÓN DEL ESFUERZO DE FLEXIÓN EN EL PIE DE DIENTE

A continuación se presenta el modelo de análisis MEF (ver Fig.4) soportando el esfuerzo de flexión en el pie de diente para las condiciones de la hoja de cálculo, es decir considerando una relación de transmisión variable

12 / ZZ , el ángulo de presión °= 20α y °= 5.22α ; para un 4.0=fρ de la herramienta; además unos

factores de corrección similares 1x y 2x para que no influyan en los resultados.

Figura 4: Contacto del diente en ε1

=abf

Los resultados obtenidos de los ensayos sobre los diversos modelos están presentados en las tablas 2, 3, 4 y 5

respectivamente. Estos resultados ameritan un análisis que se presenta en las conclusiones.

Tabla 2. Determinación del esfuerzo de flexión

171 =Z °= 20α °= 5.22α 172 =Z 4.0=fρ 4.0=fρ

1x 2x 1aS 2aS ε MEFFN −σ(MPa)

1aS 2aS ε MEFFN −σ

(MPa) 0.0 0.0 0.67 0.67 1.52 231.71 0.59 0.59 1.44 222.97 0.2 0.2 0.62 0.62 1.38 228.00 0.54 0.54 1.34 209.76 0.3 0.3 0.61 0.61 1.32 219.28 0.53 0.53 1.29 214.12 0.4 0.4 0.61 0.61 1.27 219.04 0.52 0.52 1.24 199.08

Tabla 3. Determinación del esfuerzo de flexión

171 =Z °= 20α °= 5.22α 212 =Z 4.0=fρ 4.0=fρ

1x 2x 1aS 2aS ε MEFFN −σ(MPa)

1aS 2aS ε MEFFN −σ

(MPa) 0.0 0.0 0.67 0.70 1.54 237.32 0.59 0.61 1.47 219.20 0.2 0.25 0.63 0.65 1.40 224.04 0.54 0.56 1.35 206.92 0.3 0.25 0.60 0.66 1.37 211.40 0.51 0.57 1.32 205.98 0.4 0.5 0.63 0.63 1.27 216.56 0.54 0.54 1.24 197.00

Tabla 4. Determinación del esfuerzo de flexión

171 =Z °= 20α °= 5.22α 292 =Z 4.0=fρ 4.0=fρ

1x 2x 1aS 2aS ε MEFFN −σ(MPa)

1aS 2aS ε MEFFN −σ

(MPa) 0.0 0.0 0.67 0.73 1.58 230.03 0.59 0.64 1.50 216.38 0.2 0.25 0.62 0.69 1.48 216.17 0.53 0.60 1.39 200.37 0.3 0.25 0.59 0.71 1.42 204.21 0.50 0.62 1.36 199.18 0.4 0.5 0.61 0.68 1.33 207.49 0.52 0.59 1.29 190.15

Tabla 5. Determinación del esfuerzo de flexión

171 =Z °= 20α °= 5.22α 432 =Z 4.0=fρ 4.0=fρ

1x 2x 1aS 2aS ε MEFFN −σ(MPa)

1aS 2aS ε

MEFFN −σ(MPa)

0.0 0.0 0.67 0.77 1.62 224.50 0.59 0.67 1.53 215.17 0.2 0.35 0.63 0.72 1.48 208.04 0.54 0.63 1.41 195.56 0.3 0.35 0.59 0.73 1.45 199.18 0.51 0.64 1.39 195.20 0.4 0.35 0.56 0.75 1.41 195.41 0.47 0.65 1.36 181.03

CONCLUSIONES

1. El procedimiento desarrollado para la modelación geométrica de los engranajes es aplicable a ruedas con cualquier número de dientes, cualquier factor de corrección y cualquier herramienta de corte, permitiendo contar con un método preciso de modelación que resulta un aporte importante para la bibliografía especializada.

2. El modelo de elementos finitos utilizado en esta investigación permite simular el comportamiento de los

engranajes de la forma más real posible, al considerarse la verdadera geometría del diente y una aplicación real de la carga entre los dientes utilizando elementos GAP (presión de contacto) para la condición más crítica de trabajo, siendo de gran importancia para la determinación de los esfuerzos de flexión en los engranajes.

3. Con la aplicación del software COSMOS / M sobre el modelo geométrico se logra evaluar el esfuerzo de

flexión en el pie del diente de cualquiera de las dos ruedas dentadas en funcionamiento, este análisis se aplica a lo largo del segmento de engrane (desde “a” hasta “b” ) lo cual constituye una herramienta nueva que servirá de aporte para el análisis de los diseñadores.

4. Para un módulo y un ancho unitario del engranaje, así como también para una herramienta de corte

completamente definida como la que aparece en los datos presentados para la hoja de cálculo (tabla 1), se tienen que los valores del esfuerzo de flexión sobre los dientes de los engranajes fabricados con °= 20α son mayores que en el caso de los engranajes fabricados con °= 5.22α (ver tablas 2, 3, 4 y 5). Por lo tanto a futuro es preferible fabricar engranajes con el ángulo de presión °= 5.22α porque de esta manera los esfuerzos de flexión son menores en el pie de diente y la vida útil aumentará.

5. Será muy importante la actitud de los fabricantes de las herramientas de corte frente a las sugerencias de las

normas internacionales de cálculo que se apoyan con los diversos especialistas en el tema de los engranajes, debido a que se necesita de un cambio gradual en el valor del ángulo de presión de las herramientas sin que esto afecte el desarrollo industrial a nivel mundial de todos los involucrados.

REFERENCIAS

[1] Becker, A. Introduction to non-linear Finite Element Analysis. University of Nottingham. United

Kingdome. 1999. [2] Kahn – Jetter, B. ; Wright, S. Finite Element Analysis of an involute spline. ASME Vol. 122. June. 2000. [3] Cotaquispe, L. Mathematical procedures for geometrical modelling of involute profile spur gear tooth.

Revista de Ciencia e Ingeniería, ISSN 1316-7081. Mérida, Universidad de Los Andes. Venezuela. Vol. 24 , n° 2; 2003.

[4] Software COSMOS/M. v. 2.7 y v. 2.8. [5] Cotaquispe, L. Perfeccionamiento del diseño de los engranajes cilíndricos de dientes rectos mediante el

método de los elementos finitos. Tesis doctoral, Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas. UCLV. Cuba. 2004.

[6] Norma ANSI / AGMA 2001 – 2101. Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos con dientes de evolvente (inglés - métrico) 1996.

[7] Norma DIN 3990 (partes 1,2,3,4 y 5). Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos de dientes rectos y helicoidales ( en alemán).1996.

[8] Norma GOST 21354-86. Engranajes cilíndricos de dientes de evolventes. Cálculo de Resistencia (Ruso) 1986.

[9] Norma ISO 6336 (parte 1,2,3 y 5) Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos de dientes rectos y helicoidales (inglés) 1996.

[10] MAAG GEAR Handbook. Information tool sheet. 1990. [11] Merrit, H. Gear Engineering. Edit. Mc. Graw – Hill. USA. 1990.