CALCULO DE PRESUPUESTOS UTILIZANDO MATRICES

I. PROBLEMÁTICA:

Hoy en día por el avance de la tecnología; que no es malo; se están formando profesionales cada vez más dependientes de los diferentes softwares para la ejecución de sus carreras, que implica profesionales menos preparados y con menos conocimientos, acostumbrados simplemente a ingresar datos a un ordenador y recibir resultados sin esfuerzo alguno.

Por ello se plantea el siguiente problema:

¿Será posible concientizar a los jóvenes (futuros profesionales) acerca de la importancia de la aplicación de nuestros propios conocimientos así como lo hacían en épocas pasadas donde no existían los softwares y se tenía que hacer todo manualmente?

Para entrar en nuestro campo: la ingeniería civil, platearemos un problema derivado anterior, que será en el que nos centraremos.

"¿será posible el cálculo de presupuestos para cualquier obra utilizando solamente conceptos básicos de matrices y la sin necesidad de utilizar algún software?"

II. HIPÓTESIS:

Se tratará de calcular los presupuestos para una obra prescindiendo del uso de algún software.

Aplicaremos distintos conceptos de matemática en algunos ejemplos para calcular costos, cantidades, etc.

Se verá cual es la manera más factible de aplicar los conocimientos adquiridos en clase al cálculo del presupuesto.

Se aplicara los conocimientos de matrices en algunos ejemplos como avance del informe.

Comprobada la efectividad del uso de matrices en el cálculo de presupuestos las aplicaremos.

En el cálculo de costos, cantidades y otros, relacionados al presupuesto de nuestra obra.

III. OBJETIVOS:

General:

Concientizar a los alumnos de ingeniería civil de la UCV acerca de la importancia de tener los conocimientos suficientes como para prescindir del uso de algún software u otra ayuda.

Específicos:

Lograr dominar el tema de matrices por medio de la realización de este informe.

Aplicar los conocimientos adquiridos en clase a nuestra carrera. Comprender la importancia que tiene el saber qué es lo que se hace para no

ser completamente dependientes del ordenador. Adquirir conocimientos básicos del cálculo de presupuestos por medio de la

ejecución de este informe.

IV. MARCO TEÓRICO:

Para comprender mejor el tema trataremos un pequeño concepto acerca de matrices.

1. Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos en filas y columnas encerrados entre corchetes o paréntesis.

(a11 a12 … a1 n

a21 a22 ⋯ a2 n

⋮ ⋮ aij ⋮am1 am2 ⋯ amn

)Donde cada

a ij con i=1n , j=1m son números que se denomina “elemento”

o “componente” de una matriz.

Ejemplo:

A=(1 2 3

4 5 6 ) B=( −1−√3π )

C=(0 7 −544 56 21 4 −1 )

Filas: “m”

Columnas: “n”

2. Orden de una matriz: El orden de una matriz está dado por el producto expresado del número de filas por el número de columnas.

Ejemplo:

A=(1 2 34 5 6 )

2×3

B=( −1−√3π )

3×1

C=(0 7 −544 56 21 4 −1 )

3×3

Nota: Sea A=(a ij )m×n matriz A de orden m×n

a ij elemento que se encuentra en la fila “i” y la columna “j”

3. Matriz Fila: SeaA=(a ij )1×n “matriz fila”

A=[a11 a12 ⋯ a1 n ]

4. Matriz Columna: B=(bij )n×1 “matriz columna”

B=(b11

b21

⋮bn1

)

5. Matrices Especiales:

a) Matriz Cuadrada: Es aquella matriz cuyo número de filas es igual al número de columnas.

Ejemplo:

A=(1 2 45 −4 20 7 9 )

B=(1 2 3 45 6 7 89 10 11 12

13 14 15 16)

b) Matriz Nula: Es aquella matriz que todos sus elementos son ceros.

Ejemplo:

O =

c) Matriz triangular superior: Es aquella matriz cuadrada cuyos elementos a ij=0

, ∀ i> j .Ejemplo:

A=(a11 a12 a13 . .. a1n

0 a22 a23 . .. a2n

0 0 a33 . .. a3n

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 0 ann

)

d) Matriz triangular inferior: Llamaremos matriz triangular inferior a aquella

matriz cuyos elementos a ij son ceros para i< j ; y se representa como:Ejemplo:

A=(a11 0 0 . . . 0a21 a22 0 . . . 0

a31 a32 a33 . . . 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮am1 am2 am3 ⋯ ann

)e) Matriz diagonal: Llamaremos matriz diagonal a aquella matriz donde todos sus

elementos a ij son ceros para i≠ j , y se representa de la siguiente forma:

Ejemplo:

A=(a11 0 0 .. . 00 a22 0 .. . 0

0 0 a33 .. . 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 0 ann

)f) Matriz transpuesta: Dada una matriz

A=(a ij )m×n ; llamaremos transpuesta de

A denotada por At a la matriz (a ji )n×m

(0 0 0 . . . 0. . . . . . .. . . . . . .0 0 0 . . . 0

)

A=(a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n

a31 a32 a33 . . . a3n

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮am1 am2 am3 . . . amn

) ⇒ A t=(a11 a21 a31 . .. am1

a12 a22 a32 . .. am2

a13 a23 a33 . .. am3

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮a1n a2n a3 n . .. amn

)6. OPERACIONES CON MATRICES:

a. IGUALDAD DE MATRICES: Las matrices A=(a ij ) ; B=(bij ) son iguales si

tienen el mismo orden; es decir el número de filas y columnas de cada una

deben de ser iguales y además cada elemento de una de ellas tiene que ser

igual al correspondiente de la otra.

b. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ:

λA=[ λa11 ⋯ λa1 n

⋮ ⋱ ⋮λam1 ⋯ λamn

]Ejemplo:

5 A=5 ( 2 4−1 −2 )=(10 20

−5 −10 )Propiedades:

1 λα A=α ( λA )

2 ( λ+β )A=αA+βA

c. SUMA DE MATRICES: Dadas las matrices A=(a ij )m×n

y B=(bij )m×n ; la

suma de ambas A+B es otra matriz C=(cij )m×n en la que cada elemento

de C es igual a la suma de los elementos correspondientes de A y B .

Ejemplo:

A=(8 −56 −1 ) ; B=(−5 6

0 2 ) ⇒C=A+B=(3 16 1 )

d. PRODUCTO DE MATRICES: El producto de las matrices

A .=(aij )m×py B=(bij )p×n es una matriz

C=(cij )m×n . El producto de

las matrices estará definido correctamente si A es conforme con B ; es decir si

el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz

B .

Ejemplo:

A=(1 21 3 ) ; B=(2 −1

0 2 ); Entonces:

C=AB=(1 21 3 ) .(2 −1

0 2 )=(1(2)+2(0 ) 1(−1)+2(2 )1(2)+3( 0) 1(−1)+3(2 ))=(2 3

2 5 ) Para poder calcular el costo total de una obra, primero

necesitaremos "cuantificar" que no es otra cosa más que calcular el volumen total de "conceptos" o trabajos que se van a realizar en dicha obra.

Dependiendo de la complejidad de la obra, vamos a tener mayor cantidad de conceptos, todos estos los vaciaremos en un listado de los conceptos donde se mostrará el volumen a ejecutar y el precio unitario por cada uno de ellos.

Es importante que tengamos en cuenta:

- MATERIAL: Que se va a utilizar en obra (ladrillo, cemento, fierro, etc.)- CUANTIFICAR: Se refiere a cuanto necesitaremos de cada uno de los

conceptos que vas a manejar.- PRECIO UNITARIO: Es el precio por unidad de medida (m2, m3, lote, pieza,

etc.)- MANO DE OBRA: Es la cantidad de personas, cuadrillas, y cuanto les vas a

pagar para la ejecución de la obra.- HERRAMIENTA: Es la herramienta que esas personas van a utilizar para el

trabajo.- INDIRECTOS: Son los costos indirectos que te genera la ejecución de la obra

(transporte de materiales, alquiler de maquinas, etc.)

Ejemplos:

Primero plantearemos algunos ejemplos simples previos a la aplicación de matrices a la obtención de presupuestos.

1. Para la construcción de un lavadero se necesitan 100 ladrillos pandereta, 80 ladrillos King Kong y 16 ladrillos para de techo. Si el precio por unidad para pandereta es s./0.50 el ciento, para King Kong es s./0.70 y para ladrillo de techo es s./1.00. ¿Cuál será el precio total por tipo de ladrillo?

Organizando los datos en una tabla tendríamos lo siguiente:

TIPO DE LADRILLO CANTIDAD PRECIO/UNIDAD s./Pandereta 100 0.50King Kong 80 0.70

Ladrillo para techo 16 1.00

Si lo organizamos en una matriz obtendríamos lo siguiente:

L= (100 0.580 0.716 1 )

Donde:

En la matriz L, la primera columna simbolizaría a la cantidad de ladrillos necesarios y la segunda columna al precio unitario de cada tipo de ladrillo.

Para calcular el precio total por tipo de ladrillo realizaremos la multiplicación de matrices, multiplicaremos la cantidad por el costo unitario.

A= (108016) B= (0.5¿0.7¿1)

AxB= (1008016 ) x¿) AxB= ¿

Obteniendo así el costo total por tipo de ladrillo que necesitamos. Para obtener el precio total solo sería necesario sumar las cantidades obtenidas.Obteniendo un total de s. /122.00

2. Si por mano de obra para construir el techo de una casa nos cobran s./25 por peón, s./30 por operario y s./40 por el maestro de obra (precio por día) y necesitamos 10 peones, 5, operarios y 1 maestro. ¿Cuánto nos costará contratarlos por 15 días y cuánto por un mes?

Primero organizamos en un cuadro para notar la diferencia en trabajar con cuadros y matrices:

MANO DE OBRA CANTIDAD COSTO DIARIO S./

COSTO QUINCENAL

COSTO MENSUAL

Maestro de obra 1 40 - -Operario 5 30 - -

Peón 10 25 - -

M=( 1 405 30

10 25)Esta matriz representa en la primera columna a la cantidad de mano de obra según jerarquía y en la segunda columna el costo diario que cobra cada uno de los trabajadores.

- Ahora para calcular el precio total por trabajador realizaremos la multiplicación de matrices:

A= ( 15

10) x B= ( 40 30 25 )

AxB= (40 150 250)

Tenemos el precio diario por la cantidad de trabajadores, ahora calcularemos el precio por 15 días y por 1 mes.

AB= (40 150 250) x C= (15 3015 3015 30)

La matriz AB representa el costo diario por la cantidad de trabajadores necesarios, según jerarquía

La matriz C representa en la columna 1 se observa los días por los que se les pagara, o sea 15 días, y la columna 2 y la columna representa los días que contiene un mes.

ABxC = (40∗15 150∗15 250∗1540∗30 150∗30 250∗30)

ABxC= ( 600 2250 37501200 4500 7500)

Como resultado tenemos que en la matriz ABxC la primera fila representa al costo quincenal de los trabajadores por orden de jerarquía: maestro, operarios y peones

Y en la segunda fila el costo mensual de cada uno de ellos también en orden jerárquico.

EJEMPLOS CON CASOS MÁS ORIENTADOS A LA REALIDAD:

1. Una empresa de construcción necesita contratar seis veintenas de peones para realizar trabajos de mantenimiento y limpieza en 30 calles del centro de Trujillo, pero para asegurarse de que todos los empleados cumplan con su trabajo considera preciso contratar a seis capataces para que supervisen los trabajos a realizar. Si el costo por los peones es s./25.00 c/u y los capataces es s./30 c/u.

a. Expresar los datos en dos matrices una para trabajadores y otra para capataces

b. Obtener el costo total de peones y capataces utilizando el producto de un escalar por una matriz.

c. Calcular el precio total de empleados.

a. A=(20 20 205 5 5

20 20 205 5 5 )

En la matriz A la fila 1 se muestra a los grupos de 20 trabajadores, que se encargaran de limpiar sus 5 respectivas calles expresadas en la fila 2.

B=(1 51 51 51 51 51 5

) En la matriz B se ha distribuido al número de capataces en la

columna 1 que estarán encargados de supervisar a sus respectivas 5 calles.

b. Para peones: 25xA=( 20 20 205 5 5

20 20 205 5 5

0 4 04 04 0 4 04 04)25xA=(500 500 500

125 125 125500 500 500125 125 125

100 100 100 100 100 100)En la matriz resultante fácilmente se puede hacer una apreciación de los precios por cada 20 peones e incluso el precio por cada 5 calles a limpiar (fila nº 2) y en la tercera fila se muestran los costos por los grupos de 4 peones que se encargaran de limpiar sus 5 calles respectivas. (Teniendo en cuenta que: si 20 personas limpiaran 5 calles entonces se distribuirán los peones en grupos de 4 personas por cada calle a limpiar).

Siendo así: a11, a12…a15= precio por cada 20 peones. a21, a22…a25= precio por limpiar 5 calles (con 4 peones)

a31, a32…a35= precio por cada grupo de 4 peones.

Entonces: el precio total por los 120 peones será s./3000.00

Y si deseamos saber cuánto costará contratar solamente a 20, 30 ó 40 peones solo bastaría tomar los datos de primera fila, y con la segunda podremos saber cuánto costará limpiar un determinado número de calles. Y con la tercera columna sabremos cuánto dinero pagaremos por grupo de trabajo de 4 peones.

Por ej.

Queremos saber cuánto cuesta contratar a 30 peones:Tomamos: a11 y le sumamos a12/2 lo que sumaria 30 peones.500+500/2= s./750

Queremos saber cuánto costara limpiar 20 calles.Tomamos: a21,+ a22, + a23,+ a24=500entonces: nos costará s./500 limpiar las 20 calles.

Queremos saber cuánto pagaremos por contratar a 12 peones y cuántas calles limpiaran.Tomamos: a31, +a32,+ a33=300Nos costará s./300.00 contratar a 12 peones y si se distribuyen en grupos de 4 personas serán capaces de limpiar 15 calles.

Para capataces: 30xB=(1 51 51 51 51 51 5

)30xB=(

30 6030 6030 6030 6030 6030 60

)En esta matriz se aprecia el costo por cada capataz y lo que cobrarían para

supervisar que 5 calles sean limpiadas adecuadamente.

Siendo así: a11, a21, a31…a61= precio por cada capataz.

a12, a22, a32…a62= precio por supervisar los trabajos en 5 calles (o precio por supervisar a 20 peones)

De esta manera si deseamos saber por ejemplo cuánto costará contratar a tan solo 5 capataces y a cuantos peones supervisarían. Solo sumamos: a11+ a21 + a31+ a41 + a51= s./150 contratar a 5 capataces nos costará s./150

Teniendo en cuenta que cada capataz supervisa a 5 calles (20 peones) entonces entendemos que 5 capataces estarían encargados de supervisar a 100 peones.

c. Precio total de empleados:

De las matrices anteriores:

El precio total de peones por 30 calles a limpiar es s./3000 y el precio por contratar a los 6 capataces es s./180

V. CONCLUSIONES:

Se logro dominar el tema de matrices por medio de la realización de este informe.

Se aplicó los conocimientos adquiridos en clase a nuestra carrera. Se logró comprender la importancia que tiene el saber qué es lo que se hace

para no ser completamente dependientes del ordenador. Se adquirió los conocimientos básicos del cálculo de presupuestos por medio

de la ejecución de este informe.

UNIVERSIDAD “CESAR VALLEJO” – TRUJILLO

Facultad de IngenieríaFacultad de Ingeniería

Escuela Profesional de Ingeniería CivilEscuela Profesional de Ingeniería Civil

TEMA: TEMA: CÁLCULO DE PRESUPUESTOS UTILIZANDO MATRICES

NOMBRE DEL CURSO:NOMBRE DEL CURSO: MATEMÁTICA IMATEMÁTICA I

PROFESOR:PROFESOR: CARLOS JAVIER RAMÍREZ MUÑOZCARLOS JAVIER RAMÍREZ MUÑOZ

ALUMNO:ALUMNO: RUIZ ALTAMIRANO, GENARORUIZ ALTAMIRANO, GENARO

SECCIÓN:SECCIÓN: “3” “3”

FECHA:FECHA: TRUJILLO, 10 DE JUNIO TRUJILLO, 10 DE JUNIO DEL 2011DEL 2011

OBSERVACIONES:

1.- ……………………………………………………………………………………………………………………………………

2.- ……………………………………………………………………………………………………………………………………

3.- ……………………………………………………………………………………………………………………………………

4.- ……………………………………………………………………………………………………………………………………

5.- ……………………………………………………………………………………………………………………………………

NOTA:……............................. ................................................

EN NUMERO EN LETRA FIRMA DEL PROFESOR