Pág. 305

En los ejercicios 63 al 70 encontrar la integral indefinida mediante el método que se muestra en el ejemplo 5.

63.-∫ x √x+2dx

∫ (u−2 ) (u )12

u32 −2∫u

12 dx

[2u52

5−2⋅2

u12

3 ][25 u

52 −4

3u

32 ]

25

( x+2 )52 −

42

( x+2 )32 +c

64.-∫ x √2x+2dx

∫ (u−2 ) (u )12 du

2

12

=(u32 −2u

12 )

12

=u32 −2∫ u

12

12

=(2u

52

5−2⋅2

u3

22 )

12

=(25u

52 −4

3u

32 )

12

=25

(2 x+1 )52 −4

3(2 x+1 )

32

15

(2 x−1 )52 −1

3(2 x+1 )

32

65.- ∫ x2√1−x dx

u=1−xdu=−dxx=1−ux2=(1−u )2

x2=1−2u+u2

66.- ∫( x+1 )√(2−x )dx

∫(1−2u+u2 )√1−(1−u )

¿∫ (1−2u+u2)√1−1+u

¿∫ (1−2u+u2)√u

¿∫u12−2u

32 +u

52

¿ [2u32

3−2.2

u52

5+2.

u72

7 ]¿2

3u

32−4

5u

52 +2

7u

72

32

(1−x )32−4

5(1−x )

52 +2

7(1−x )

32 +C

=∫(2u4−6u2 )dx

¿∫2u4 du+∫−6u2 du

¿2∫ u4 du+∫−6u2 du

¿25u5+∫−6u2du

¿25u5−6∫u2 du

¿25u5−2u3

¿25

(2−x )52 −2(2−x )

32 +C

67.-∫ x2−1

√2x−1dx

u=2 x−1du=2dxdu2

=2x

2 x−1=u2 x=u+1

x=u+12

∫(u+1)2−1

(2)2

√u

du2

∫u2+2u+1−1

4√u

du2

¿=u2+ 2u+1−44√u

¿

∫ ¿ ¿=u2+ 2u−34

√u1¿=u2+ 2u−34√u

¿=(2 x+1)2+2 (2 x+1)−3

4 √2 x+1¿=

4 x+4 x+1+4 x+2−34 √2 x+1

=4 x2 8 x

4√2x+1¿=x 2+2x

√2 x+1¿¿

68.-∫ 2x+1

√ x+4dx

u=xdudx

=xdx

12∫ du√u=

12∫u

1 2

¿12∫ u

12dx

¿12

(u

12+2

2

−12

+22

)=−12

.u

12

12

¿(2u1

2

1)(1

2)=−ualignl¿ 1

2¿

¿

¿√u=√x+4 ¿¿

69.-

−x( x+1 )−√x+1

dx

∫−x

x+1+√ ( x+1 )dx

∫ x−x−1+√( x+1 )

du

=∫ (−2u−2 )du=∫−2udu+∫−2du

=−2∫udu+∫−2du

=−u2

+∫−2du

¿−u2−2u¿ x−1−2√( x+1 )+c

70.-

∫ t 3√t−4dt

∫ t 3√t−4dt

∫ (u+4 ) 3√udu

∫ (u+4 ) (u )13 du

∫u32 +4u

13

∫u32 +4∫ u

13

2u

52

5+4 (3u

43

4 )+c25u

52 +12

4u

43 +c

25

( t−4 )52 +12

4( t−4 )

43 +c

25

2√( t−4 )5+33√( t−4 )4+c

Pág. 308b )encontrar el ahorroalreaujustar el termostato en78 ° Fcalculando la int egral

c=0.1∫10

18

72+12 senπ ( t−8)12

−78 ]dt

c=0.1[72+12cosπ ( t−8)12

−78 t ]18

10

c=0.1[72t−12 cosπ ( t−8 )12

−78 ]18

−[72 t−12 cosπ ( t−8 )12

−78 t ]10

c=0.1[72(18)−12cos π9 . 94 (18−8 )

(0 .83 )

12−78(18)]

−[72(10 )−12 cos π (10−812 )−78 (10 )]

c=0.1 [−117 . 94+1 ,501.91 ]c=1 ,383 .06

120.- Manufactura

Un fabricante de fertilizantes encuentra que las ventas nacionales de fertilizantes siguen en el patrón estacional.

F=100000[1+Sen2π ( t−60)365 ]

Donde F se mide en libras y t representa el tiempo en días, con t=1 correspondiente al primero de enero. El fabricante desea establecer en programa para producir una cantidad uniforme de fertilizante cada día. ¿Cuál debe ser esta cantidad?

F=100000[1+Sen2π (1−60 )365 ]

F=100000[1+Sen(2 π (−50)365 ]

F=100000 [ 1+Sen−0 .5867 ]

F=100000 [ 0 .9898 ]

F=98 ,980

Pág. 306

En los los ejercicios 93 a 98, utilizar una computadora para evaluar la integral.

93.-∫0

4x

√2x+1dx

d

94.-∫0

2

x2√ x+1dx

95.-∫3

7

x √x−3dx

96.-∫1

5

x2√ x−1dx

97.-∫0

3

(θ+cosθ6)dθ

98.-∫0

π /2

sen 2xdx

Faltan para mañana las tenemos

Pág. 532

En los ejercicios 89 a 94, usar la integración por partes para verificar la formula

93.-∫ eax senbxdx .

94.-∫ eax cosbxdx

u=eax

dv=cosbxdx

du=aeax

v=16senbx=e

ax senbxb

−ab∫eax senbxdx

∫ eax se nbxdxu=eax

dv=senbxdx

du=aeax dxu=−1b

cosbx=eaxcosbxb

+ab∫ eaxcosbxdx

¿ eax senbxb

+ab2eax cosbx−a

2

b2

¿∫ eax cosbxdx=bsenbx+acosbxa2+b2

eax+C