CALCULO Hoja 9. Integrales dobles. -...
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CALCULO
Hoja 9. Integrales dobles.
1. Evaluar cada una de las siguientes integrales siendo R = [0, 1]× [0, 1]:
a)
∫∫R(x3 + y2)dxdy d)
∫∫R(x2 + y)dxdy (:= 5
6)
b)
∫∫Ryexydxdy f)
∫∫Rxydxdy (:= log 2)
c)
∫∫R(xy)2 cosx3dxdy g)
∫∫Ry(x3 − 12x)dxdy, con R = [−2, 1]× [0, 1] (:= 57
8 )
2. En las siguientes integrales, cambiar el orden de integracion, esbozar las regiones corre-spondientes y obtener el valor de la integral:
a)
∫ 1
0
∫ 1
xxydydx (:=
1
8) d)
∫ 1
−1
∫ 1
|y|(x+ y)2dxdy (:=
2
3)
b)
∫ π/2
0
∫ cos θ
0cos θdrdθ (:=
1
4π) f)
∫ 1
0
∫ 1
√xey
3dydx (:=
1
3e− 1
3)
c)
∫ 1
0
∫ 2−y
1(x+ y)2dxdy (:=
17
12) g)
∫ 2
1
∫ log y
0e−xdxdy (:= 1− log 2)
3. Hallar el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 y y−x+ z = 1.(Solucion: 1
6).
4. Calcular
∫∫D(x2−y)dxdy siendo D la region comprendida entre las graficas de las curvas
y = x2, y = −x2 y las rectas x = −1 y x = 1. (Solucion: 45).
5. Hallar
∫∫Dxydxdy siendo D
a) el cuadrado de vertices (−1, 0), (0,−1), (1, 0) y (0, 1);
b) el trapecio de vertices (−1, 0), (0, 0), (1, 1) y (−1, 1);
c){(x, y) ∈ R2 : 0≤x≤3, y≥0, 4x2 + 9y2≤36
}∪{(x, y) ∈ R2 : −2≤x≤0, y≥0, x+ 2− y≥0
}.
Solucion: 236 .
6. Se considera la funcion f(x, y) = xy definida sobre el conjunto
D = {(x, y) ∈ R : 0 ≤ y ≤ ex, x ≤ 1, x ≥ 1− y2}
Se pide:
(a) Representar graficamente el conjunto D.
(b) Expresar mediante una integral iterada la integral doble∫ ∫
D f(x, y)dxdy y cambiarel orden de integracion.
(c) Calcular∫ ∫
D f(x, y)dxdy.
(Sol.: 18e
2 + 124)
7. Hallar
∫∫Dxydxdy siendo D la region del primer cuadrante encerrada entre las parabolas
y = x2 e y = x4. (Solucion: 115).
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8. Hallar
∫ 4
0
(∫ 2
√x
dy
(x+ y2)12
)dx. (Indicacion: se recomienda cambiar el orden de inte-
gracion. (Sol.: −4 + 4√2).
9. Dada la funcion f : R2 → R definida por f(x, y) = e(x2−y2)−(x+y)(x + y) y el recinto
D = {(x, y) ∈ R2|x ≥ 0, y ≥ 0, 1 ≤ x2 − y2 ≤ 4, 2 ≤ x+ y ≤ 3}.
(a) Plantear en coordenadas cartesianas, con sus lımites de integracion correspondientesy en el orden indicado la integral
∫ ∫D f(x, y)dydx.
(b) Hallar∫ ∫
D e(x2−y2)−(x+y)(x+ y)dxdy tomando para ello el cambio de variable:
u = x2 − y2, v = x+ y.
(Sol.: 12
(−e− e−1 + e2 + e−2
))
10. Calculese
∫∫De(y−x)/(y+x)dxdy donde D =
{(x, y) ∈ R2 : 0≤x, 0≤y, x+ y≤2
}. Tomese
para ello el cambio de variable y − x = u, y + x = v. Solucion: e− 1e
11. Hallar la integral
∫∫D(y2 − x2)xy(x2 + y2)dxdy donde
D ={(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0, a≤xy≤b, y2 − x2≤1, x≤y
}con 0 < a < b. Se recomienda utilizar el cambio de variable u = y2−x2, v = xy. Solucion:12 log
1+b1+a .
12. Hallar
∫∫Dxydxdy siendo D la region del primer cuadrante delimitada por las curvas
x2 + y2 = 4, x2 + y2 = 9, x2 − y2 = 4 y x2 − y2 = 1. Utilizar el cambio de variableu = x2 + y2, v = x2 − y2. Solucion: 15
8 .
13. Dada la integral I =∫ ∫
D(x+ y)dxdy, siendo D el recinto limitado en el primer cuadrante
por las curvas y = x− 3, y = x+ 3, y =4
xe y =
10
x,
(a) escribir D como union de regiones del tipo {(x, y) ≤ x ≤ , (x) ≤ y ≤ (x)} , y ex-presar I en coordenadas cartesianas;
(b) escribir el nuevo dominio, D∗, que resulta al hacer el cambio de variables u = y −x, v = xy;
(c) calcular la integral con estas nuevas variables. (Sol.: 36).
14. Se considera la region plana D delimitada por las curvas y2−2 = x, x = y2+1 y las rectasy = 1, y = −1. Se pide:
(a) Hallar el area de la region D. (Sol.: 6)
(b) Utilizar el cambio de variable {u = x− y2
v = 3y.
para calcular la integral doble ∫ ∫Dex−y2dxdy.
Sol.: 2
(e− 1
e2
)2
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15. Hallar∫ ∫
D e
y
x+ y dxdy, siendo D el recinto limitado por x = 0, y = 0, x + y = 1.
Sugerencia: utilizar el cambio de variable
{x+ y = uy = v
. Sea la integral I =∫∫
D y2dxdy
donde D es la region del primer cuadrante delimitada por las curvas xy = 1, xy = 4. y = xy y = 4x,
(a) Representar graficamente el recinto D.
(b) Representar graficamente el nuevo dominio que resulta al aplicar el cambio de variableu = xy, v = y
x .
(c) Calcular la integral con estas nuevas variables. (Sol.: 454 )
16. Calcular
∫∫Dex/ydxdy siendo D =
{(x, y) ∈ R2 : y3≤x≤y2
}. Solucion: 3−e
2 .
17. Calcular el volumen comprendido entre el cilindro de ecuacion x2 + y2 = 1 y el cono de
ecuacion x2 + y2 − z2 = 0. (Sol.:4π
3).
18. Calcular la integral de f(x, y) = x2y sobre el recinto situado en el primer cuadrante ylimitado por las circunferencias de radios 1 y 2 respectivamente y centro el origen. (Sol.:31/15).
19. Calcular el volumen comprendido entre el cilindro elıptico x2 + 4y2 = 1 y el paraboloidex2 + y2 = z, y limitado por z = 0.(Sol.:5π32 ).
20. Calcular el volumen del solido interior al semiespacio z ≥ 0 y limitado por el elipsoidex2 + y2 + 2z2 ≤ 8 y el cono x2 + y2 ≤ 2z2.(Sol.: 20π
3 ).
21. Calcular el volumen del solido cubierto por la superficie
z = 1 +x(y + 1)
5
sobre el rectangulo R = [0, 3]× [−1, 4].
22. Sea σ la curva cerrada positivamente orientada formada por el arco de la circunferenciax2 + y2 = 1, el arco de la elipse x2 + 4y2 = 16 y los segmentos representados en la figura
Hallar el volumen del solido que tiene por base el recinto delimitado por la curva σ y como
cubierta el paraboloide z = x2 + 4y2. (Sol.:251π
16)
23. Calcular el volumen comprendido entre el cono de revolucion x2 + y2 = z2 (z ≥ 0), elparaboloide de revolucion x2 + y2 + 3z = 4 y el plano z = 0,
(a) para el caso x2 + y2 ≥ z2 y x2 + y2 + 3z ≤ 4 (Sol.: 13π6 )
(b) para el caso x2 + y2 ≤ z2 y x2 + y2 + 3z ≤ 4
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24. Sea el solido limitado por x2 +y2
4≤ z2
4, x2 +
y2
4+
z2
4≤ 1 con z ≥ 0.Se pide su
volumen. (Sol.: 2π(4−2√2
3 )).
25. Calcular el volumen del solido
s = {(x, y, z) ∈ R3|x2 + y2 + z2 ≤ 4, x2 + y2 ≥ 3z, z ≥ 0}.
26. Evaluar
∫∫Dy3(x2 + y2)−
32dxdy, donde D es la region determinada por las condiciones
12≤y≤1 y x2 + y2≤1. (Solucion:
√3/4 ).
27. Hallar el area limitada por las circunferencias x2 + y2 = 2x y x2 + y2 = 4x y las rectasy = x e y = 0. Solucion: 3π
4 + 32 .
28. Hallar el volumen de los siguientes conjuntos de R3 :
(a) A ={(x, y, z) : x2 + y2 + z2 ≤ 42, x2 + y2 ≤ z2
}(Sol.: 4−2
√2
3 π43)
(b) B ={(x, y, z) : x2 + y2 + z2 ≤ 1, x2 + y2 ≤ x, 0 ≤ z
}(Sol.: π
3 − 49)
29. Expresar mediante las integrales iteradas, la siguiente integral∫∫
D f(x, y)dxdy siendo D el
conjunto definido por las inecuaciones 0≤y≤1,√y≤x≤1+
√1− y2. Calcular
∫∫Dydxdy.
Solucion: 1330 .
30. Calcular el volumen cubierto por la superficie z =√x sobre el recinto limitado, en el plano
OXY, por la curva x2 + y2 − x = 0. (Sol.:. 815).
31. Calcular∫∫
D(x2+y2)−3/2dxdy siendoD =
{(x, y) ∈ R2 : x ≤ y, x+ y ≥ 1, x2 + y2 ≤ 1
}.
(Sol.: 1− π4 ).
32. Calcular∫∫
D ydxdy siendoD ={(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y2 ≤ 1, x2 + y2 ≥ 2x
}.
(Sol.: 1/8).
33. Calcular
∫∫D(x2+y2)dxdy siendoD =
{(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1, x2 + y2 ≤ 2y, x ≥ 0
}.
(Resolverlo con Maple).
34. Hallar el volumen limitado por la cubierta interseccion de dos cilindros parabolicos deecuaciones C1 ≡ z = 36−y2 y C2 ≡ z = 36−x2 y la planta z = 0. (Resolverlo con Maple).
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35. Dada la funcion f(x, y) = (x2 + y2)−3/2 en la region D caracterizada por x − y ≥ 0,x+ y ≥ 2 y x2 + y2 ≤ 4. Se pide:
(a) Escribir D como union de regiones y plantear la integral en coordenadas cartesianas.
(b) Efectuar un cambio de variable a coordenadas polares y calcular la integral en lasnuevas coordenadas.
(Sol.: −π/8 + 1/2)
36. Calcular el volumen de la esfera x2 + y2 + z2 = 1 interior al cilindro (x− 12)
2 + y2 = 14 en
el semiespacio {(x, y, z) ∈ R3, z ≥ 0}. (Sol.: 13π − 4
9)
37. Calcular la siguiente integral∫∫
D1
(x2+y2)3/2dxdy, siendo el recinto de integracion D =
{(x, y) : x2 + y2 ≤ 1, y ≥ x+ 1}. (Sol.: 2− π2 )
38. Dado el conjunto
D ={(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, x2 + y2 ≥ 2y, x2 + y2 ≤ 6y
},
se pide calcular∫∫
D
x
x2 + y2dxdy. (Sol.: 2)
39. Calcular el volumen del solido limitado por el hiperboloide x2 + 4y2 − z2 + 4 = 0 y elcilindrox2 + 4y2 − 9 = 0.
40. Hallar el volumen del solido acotado superiormente por el paraboloide z = 5− x2 − y2, einferiormente por el paraboloide z = 4x2 + 4y2.
41. Se considera el solido
S = {(x, y, z) ∈ R3 : (x− 1)2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y, 0 ≤ z ≤ 2}.
Hallar su volumen.
42. El recinto A = {(x, y) ∈ R2|x2+y2−2y ≤ 5 esta cubierto por la superficie z = x(y−2)+6.Calcular el volumen que queda bajo la cubierta en A.
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