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Calculo I - Ingeniería Mecánica - UC3 - Funciones Elementales y Límites
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Funciones Elementales y Límites - Cálculo I
José Manuel Sánchez MuñozUniversidad Carlos III - Preparación exámen Junio 2011 - Problemas
Mi Rincón
Matemáticowww.mates.byethost4.com
Ingeniería Mecánica
9 de junio de 2011
Problema 2.1. Si f (x) = 2x demostrar que:
a) f (x+ 3)− f (x− 1) =15
2f (x)
b)f (x+ 3)
f (x− 1)= f (4)
Solución.
a) f (x+ 3)− f (x− 1) =15
2f (x) ⇒ f (x+ 3)− f (x− 1) = 2x+3 − 2x−1 = 2x
(
23 − 1
2
)
=15
2f (x)
b)f (x+ 3)
f (x− 1)=
2x+3
2x−1= 24 = f (4)
Problema 2.2.Determinar el campo de variación de la ariable independiente x en las funciones siguien-tes:
a) y =√
4− x2 b) y =√
x2 − 16 c) y =1
x− 2d) y =
1
x2 − 9e) y =
x
x2 + 4Solución.
a) Como y debe ser real, 4− x2 ≥ 0, o sea, x2 ≤ 4; el campo de variación de x es el intervalo −2 ≤ x ≤ 2
o bien |x| ≤ 2. Es decir, f (x) =√
4− x2 está definida en el intervalo −2 ≤ x ≤ 2 y sólo en él.b) En este caso x2 − 16 ≥ 0 o bien x2 ≥ 16; el campo de variación de x está formado por los intervalosx ≤ −4 y x ≥ 4, o bien |x| ≥ 4.c) La función está definida para todos los valores de x escepto para x = 2. El campo de variación de x sepuede expresar por x < 2, x > 2 o por x 6= 2.d) La función está definida para x 6= ±3.e) Como x2 + 4 6= 0 para todo valor de x, el campo de variación de x es el conjunto de los númerosreales.
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Funciones Elementales y Límites - Cálculo I José Manuel Sánchez Muñoz
Problema 2.3.Determinar el dominio de definición de cada una de las siguientes funciones:
a) y = x2 + 4 b) y =x
x+ 3c) y =
2x
(x− 2)(x+ 1)d) y =
1√9− x2
e) y =x2 − 1
x2 + 1, f) y =
√
x
2− xSolución.
a) El dominio es el conjunto de los números reales. Dom(y) = R.b) El dominio es el conjunto de los números reales. Dom(y) = R.c) El dominio es el conjunto que cumple que |x| ≥ 2.d) El dominio resulta: Dom(y) = R − {−3}.e) El dominio resulta: Dom(y) = R − {−1, 2}.f) El dominio es el conjunto que cumple que −3 < x < 3.g) El dominio es el conjunto de los números reales. Dom(y) = R.h) El dominio es el conjunto que cumple que 0 ≤ x < 2.
Problema 2.4.Hallar los siguientes límites:
a) lı́mx→4
x− 4
x2 − x− 12b) lı́m
x→3
x3 − 27
x2 − 9
Solución.
a) lı́mx→4
x− 4
x2 − x− 12⇒ lı́m
x→4
x− 4
(x+ 3)(x− 4)= lı́m
x→4
1
x+ 3=
1
7
b) lı́mx→3
x3 − 27
x2 − 9= lı́m
x→3
(x− 3)(x2 + 3x+ 9)
(x− 3)(x+ 3)= lı́m
x→3
x2 + 3x+ 9
x+ 3=
9
2
Problema 2.5. Estudiar
a) lı́mx→0
1
3+ 21/xb) lı́m
x→0
1+ 21/x
3+ 21/x
Solución.
a) Sea x → 0−; entonces 1/x → −∞, 21/x → 0, y lı́mx→0−
1
3+ 21/x=
1
2
Sea x → 0+; entonces 1/x → +∞, 21/x → +∞, y lı́mx→0+
1
3+ 21/x= 0
Por lo tanto, lı́mx→0
1
3+ 21/xno existe.
b) Sea x → 0−; entonces 21/x → 0 y lı́mx→0−
1+ 21/x
3+ 21/x=
1
3
Sea x → 0+. Para x 6= 0,1+ 21/x
3+ 21/x=
2−1/x + 1
3 · 2−1/x + 1y como lı́m
x→0+2−1/x = 0; lı́m
x→0+
2−1/x + 1
3 · 2−1/x + 1= 1
Por lo tanto, lı́mx→0
1+ 21/x
3+ 21/xno existe.
Ejercicios PropuestosUniversidad Carlos III - Ingeniería Mecánica
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Funciones Elementales y Límites - Cálculo I José Manuel Sánchez Muñoz
Problema 2.6. Calcular
a) lı́mx→2
(x2 − 4x) = 22 − 4 · 2 = −4
b) lı́mx→−1
(x3 + 2x2 − 3x− 4) = (−1)3 + 2 · (−1)2 − 3 · (−1)− 4 = 0
c) lı́mx→1
(3x− 1)2
(x+ 1)3=
(3 · 1− 1)2
(1+ 1)3=
1
2
d) lı́mx→0
3x − 3−x
3x + 3−x=
30 − 3−0
30 + 3−0=
1− 1
1+ 1=
0
2= 0
e) lı́mx→2
x− 1
x2 − 1=
2− 1
22 − 1=
1
3
f) lı́mx→2
x2 − 4
x2 − 5x+ 6=
22 − 4
22 − 5 · 2+ 6=
0
0⇒ lı́m
x→2
(x+ 2)(x− 2)
(x− 2)(x− 3)= lı́m
x→2
x+ 2
x− 3=
2+ 2
2− 3= −4
g) lı́mx→−1
x2 + 3x+ 2
x2 + 4x+ 3=
0
0⇒ lı́m
x→2
(x+ 1)(x+ 2)
(x+ 1)(x+ 3)=
−1+ 2
−1+ 3=
1
2
h) lı́mx→2
x− 2
x2 − 4=
0
0⇒ lı́m
x→2
x− 2
(x− 2)(x+ 2)=
1
4
i) lı́mx→2
x− 2√x2 − 4
=0
0⇒ lı́m
x→2
x− 2√x2 − 4
·√x2 − 4√x2 − 4
= lı́mx→2
(x− 2) ·√x2 − 4
(x− 2) · (x+ 2)= 0
j) lı́mx→2
√x− 2
x2 − 4=
0
0⇒ lı́m
x→2
√x− 2
x2 − 4·√x− 2√x− 2
= lı́mx→2
x− 2
(x− 2)(x+ 2)√x− 2
=1
4 · 0 = ∞ ⇒ No existe el
límite.
k) lı́mh→0
(x+ h)3 − x3
h=
0
0= lı́m
h→0
x3 + h3 + 3x2h+ 3xh2 − x3
h= 3x2
l) lı́mx→1
x− 1√x2 + 3− 2
=0
0⇒ lı́m
x→1
x− 1√x2 + 3− 2
·√x2 + 3+ 2√x2 + 3+ 2
= lı́mx→1
(x− 1)√x2 + 3+ 2
(x− 1)(x+ 1)=
2+ 2
2= 2
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