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Facultad de Ingeniería UCV Cálculo I Práctica 9

CALCULO I: Práctica 9 con la calculadora ClassPad 330

Objetivos: En esta práctica utilizaremos la Aplicación Geometría, la Aplicación Principal, y la Aplicación Gráficos & Tablas del Menú de Aplicaciones Incorporadas de la calculadora ClassPad 330, para estudiar aquellos aspectos importantes del concepto de la derivada de una función real de variable real. El concepto de derivada es uno de los instrumentos más poderosos de la matemática y las ciencias aplicadas. En esta práctica abordaremos la idea geométrica de cómo nace este concepto, las reglas para su cálculo algebraico y su aplicación en problemas de cálculo de valores aproximados.

Requisitos: Antes de realizar esta práctica es imprescindible haber estudiado el Capítulo 2 del texto recomendado y haber realizado en su totalidad la Práctica 7.

Observaciones: Es importante señalar al estudiante que debe realizar las actividades propuestas siguiendo cuidadosamente cada instrucción.

Para distinguir en esta práctica las instrucciones y actividades de la mera difusión de información,

estás se destacarán con los iconos , , o una barra gris en el margen izquierdo. El primer icono o la barra gris dispuesta a lo largo de una secuencia de instrucciones numeradas, indicará al estudiante que se abre una sección donde únicamente podrá hacer uso de la calculadora y ejecutar las instrucciones propuestas, el segundo le indicara que se está planteando una situación problemática y el último que debe reportar por escrito la respuesta a la situación problemática formulada.

9.1 Recta tangente a la gráfica de una función en uno de sus puntos.

Para entender el concepto de derivada de una función real de variable real en un punto de su dominio, comenzaremos por dar solución al problema de establecer la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en uno de sus puntos. Para precisar esto, supongamos que f es una función definida al menos en un intervalo abierto que contiene al número real a y queremos encontrar la ecuación de la recta tangente T a la gráfica de f en el punto (Figura 1). ))a(f,

a(mTy,0

mT

))x(f,

a(ACon este único dato no es posible obtener la ecuación

de la tangente en A de manera automática, hace falta conocer, por ejemplo, la pendiente de dicha recta tangente en A o las coordenadas de otro punto por donde pase dicha tangente. Si sólo se conocen las coordenadas del punto de contacto, tendremos que resolver el problema bajo una mirada heurística.

)x(B )0

)a(Intentemos primeramente calcular la pendiente de la recta tangente de manera aproximada. Tomemos un punto de la gráfica de la función donde x es un punto variable en el intervalo abierto donde f está definida. Con este nuevo punto podemos calcular la pendiente de la recta secante S que pasa por A y B, esto es,

x(B

Prof. Robinson Arcos Departamento Matemática Aplicada 1

a)a(f

−−

x)x(f)x(mAB = (Figura 2).

Pero, ¿qué valores se obtienen para esta pendiente cuando el punto B se mueve sobre la gráfica de f aproximándose a la posición que ocupa el punto A? (Figura 3).

Figura 1

Figura 2

Figura 3


Para contestar a esta pregunta utilicemos la Aplicación Geometría de la ClassPad en un ejemplo concreto y visualicemos lo que ocurre:

1. Considere la función cuya regla de correspondencia es 34

2− )2,2x)x(f = y el punto (A − de

su gráfica. Intentemos responder a la siguiente pregunta: ¿Cuál es el valor aproximado de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto A cuando otro punto variable

, que se mueve sobre la gráfica de f, se aproxima a la posición que ocupa el punto A?


))x(f,x(B

2. Operación con la ClassPad.

(1) Retire la cubierta de la calculadora, tome el lápiz táctil y colóquela sobre la mesa. Presione para encenderla.

(2) Toque para acceder a la aplicación Geometría. (3) En la barra de menús toque [Arch] [Nuevo] [Acep.] para limpiar la

ventana de la Aplicación Geometría e iniciar un nuevo archivo. (4) Toque [Formato geométrico]. (5) En el cuadro de diálogo configure los parámetros tal como aparecen

en la Figura 4. Al finalizar toque . • Aparecerá la ventana de la Aplicación Geometría exhibiendo los

ejes coordenados y la rejilla entera en el intervalo [ ]5,5− .

(6) Toque [Dibuj] [Función ►] [f(x)].

(7) En el cuadro de diálogo edite la expresión 34/x2 − y toque .• Aparecerá la gráfica de la función f en el intervalo [ ]5,5− .

(8) Toque [Dibuj] [Construir ►] [Tangente a curva]. (9) Seguidamente toque sobre la pantalla el punto de coordenadas

)2,2( − para trazar la recta tangente a la curva en el punto A.

• Aparecerá la tangente a la gráfica de f en el punto A.

(10) En la barra de herramientas toque para acceder al cuadro de medidas.

(11) Toque la recta tangente para seleccionarla. • En el cuadro de medidas aparecerá que 4xy −= es la ecuación de

la tangente a la gráfica de la función en el punto )2,2(A − . De manera que la pendiente de esta recta es 1)2(mT = .

(12) Toque [Dibuj] [Recta]. Seguidamente toque el punto A y luego el punto auxiliar )3,0(B − .

Figura 4

Figura 5

• Con esto se ha trazado la recta secante a la gráfica de f en los puntos A y B. Utilicemos la opción de animación para mover el punto B sobre la gráfica de f (Figura 5):

(13) Toque y luego toque . (14) Toque ahora el punto B y luego toque la gráfica de la función para seleccionarlos. (15) Toque [Edit] [Animación ►] [Agregar animación].

• Configuremos ahora un número suficiente de pasos que tendrá la animación en el intervalo [ ]5,5− . Elegiremos 40 pasos de animación.



(16) Toque [Edit] [Animación ►] [Editar animaciones]. (17) En el recuadro [Pasos] edite el número 40 y toque la ventana donde se encuentran las gráficas.

Toque para maximizar la ventana. (18) Toque [Edit] [Animación ►] [Reproducir (repetir)].

Mientras la ClassPad ejecuta la animación, observe que a medida que el punto B se acerca al punto A, (en este caso x se aproxima a 2 por la izquierda) las rectas secantes tienden a adoptar la posición límite de la recta tangente en A. De manera que las rectas secantes cuyo punto B se encuentran más cerca de A tendrán una pendiente cuyo valor se acerca al valor de la pendiente de la recta tangente. Para ver estos valores aproximados elaboremos una tabla de las pendientes m para cada valor de x calculado en cada paso de la animación.

)x(AB

(19) Toque [Edit] [Animación ►] [Parar] para detener la animación.

(20) Toque para acceder al cuadro de medidas. Seleccione el punto B y toque el botón para obtener en la tabla las coordenadas de los puntos B generados en la animación.

(21) Toque en la tabla la columna de las ordenadas de los puntos B para seleccionarla y seguidamente toque [Edit] [Borrar].

• Con esta última acción nos hemos quedado solamente con las abscisas de los puntos B generados en la animación.

(22) Toque ahora la ventana de las gráficas y luego el icono . Seleccione la recta secante que pasa por A y B.

(23) En el cuadro de medidas toque para calcular las pendientes de las rectas secantes en cada paso de la animación. Toque .

• Aparece al lado de las abscisas de los puntos la columna de las respectivas pendientes.

Figura 6

(24) Toque la ventana de la tabla y luego toque el icono permanente . (25) Deslice la barra de desplazamiento y ubique la abscisa del punto B más cercano al punto x = 2.

• Encontrará que la abscisa del punto B más cercano al punto A es 923077.1x = , cuya pendiente es 980769. . Observe que este valor esta bastante cerca del valor de la pendiente

1)2(T = de la recta tangente en A. 0)x(mAB =

m

Ahora, efectuando un cálculo de límite encontramos el valor exacto de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto , el cual viene dado por: ))a(f,a(A

axf)x(flím)x(mlím)a(m

axAB

axT −

−==

→→

)a( .

En nuestro caso, 14

2xlím2x

234/xlím2x

)2(f)x(flím)2(2x

2

2x2xT =

+=

−+−

=−−

=→→→

)a(f ′

m (como ya sabíamos).

Esto nos permite dar la siguiente definición: Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene al punto a. La derivada de f en a,

denotada por está dada por axax −→

,a(A

)a(f)x(flím −=

)a(f ′

)a(f ′ , siempre que este límite exista.

Por otra parte, como se ha definido, si el límite anterior existe, entonces representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto y su ecuación viene dada por: ))a(f


Prof. Robinson Arcos 4

)a(f)ax)(a(fy +−′= . En el caso de no existir el límite, entonces diremos que f no posee recta tangente en el punto A. Bajo estas consideraciones es que se define modernamente el concepto de recta tangente a la gráfica

de una función en uno de sus puntos.

Observaciones:

• Si se introduce una nueva variable h tal que hax += el cociente ax

)a(f)x(−− toma la forma f

h)a(f)h − y la derivada de f en a se define por medio de a(f +

h)a(f)hf − . Es común

usar este límite para el cálculo de la derivada de una función en un punto.

a(flím)a(0h

+=′

→

• Los límites laterales h

)a(f)h − y a(flím)a(f0h

´+

=′+→

+ h)a(f)h − son llamados

respectivamente, derivada lateral derecha y derivada lateral izquierda de f en a. Representan las pendientes de la rectas semitangentes a la derecha y a la izquierda respectivamente. En consecuencia, f es derivable en a ( )a(f

a(flím)a(f0h

+=′

−→−

′ existe) si y solo si las derivadas laterales de f en a existen y son iguales.

• Una función f es derivable en un intervalo abierto si ella es derivable en cada uno de los puntos a de ese intervalo. Diremos que f es derivable en un intervalo cerrado si lo es en cada uno de los puntos a de su interior y las derivadas laterales existen en cada uno de sus puntos extremos.

• La condición de derivabilidad de una función en un punto, es una condición más fuerte que la continuidad. El siguiente teorema nos da una condición suficiente para la continuidad: Si f es derivable en a, entonces f es continua en a. El recíproco de este teorema no es cierto.

9.2 La función derivada.

Supongamos que f está definida en un intervalo abierto y sea x un número de ese intervalo. Dado que el límite es único, podemos definir una nueva función mediante la siguiente regla de correspondencia:

h)x(f)h −+x(flím)x(f

0h=′

→

f ′ fDomf ⊆

para aquellos puntos del intervalo donde el límite existe. Esta función se llama la derivada de f. Derivar f o encontrar la derivada de f significa determinar esta

función . Tenga presente que por la definición Dom ′ .

Observaciones: En las aplicaciones la variable independiente x puede

cambiar ligeramente y resulta necesario encontrar el cambio correspondiente en la variable dependiente y. Un cambio en x se denota frecuentemente por el símbolo xΔ (que se lee “delta x”). Por ejemplo, si x varía de x a , entonces

. El número mide el incremento o cambio de x. Observe que , es decir, el nuevo valor de

es igual al valor más el incremento

1 2x

12 xxx −=Δ xΔxxx 12 Δ+=

2x 1x . xΔ Figura 7

Los símbolos o se usan para denotar el cambio en la variable dependiente y correspondiente al cambio en la variable independiente x, entonces

yΔ fΔxΔ )x(f)xx(f)y 11 −Δ+= x(f)x(ff 12 =−=ΔΔ .

En términos generales, si y x se incrementa en )x(fy = xΔ , entonces el incremento o yΔ fΔ de y es:

)x(f)xx(ffy −= Δ = + Δ

Departamento Matemática Aplicada

Δ .


La notación de incrementos puede usarse para definir la derivada de una función. Esto es,

Prof. Robinson Arcos Departamento Matemática Aplicada5

x)x(f)xx(flím

xflím

0x0x Δ−Δ+

=ΔΔ

→Δ→Δxylím)x(f

0x=

ΔΔ

=′→Δ

Si el límite existe, éste se denota por dxdy o por

dxdf . Tenemos de este modo que )x(

dxdf)x(

dxdy)x( ==′f .

Esta notación se conoce como la notación de Leibniz. En la última sección de esta práctica nos dedicaremos a profundizar más sobre estos conceptos y su interpretación.

3. Para la función definida por : ⎪⎩

⎪⎨⎧

−++=

sixx21xsi1x)x(f 2

2

<≤

x11

)x(fa) Determine Domf e indique en qué puntos es continua. b) Encuentre usando la definición ′ y el dominio de f ′ .

c) Explique por qué f no es derivable en x 1= . d) Trace las gráficas de f, y las semitangentes en x = 1. f ′ Solución a la situación problemática planteada en a):

El dominio de f es claramente el conjunto R de los números reales. Dado que para

y para , la función f es continua en cada uno de los intervalos abiertos y por ser f en cada uno de ellos un polinomio cuadrático.

1x)x(f 2 +=

x 2xx − 1x >[

x

)1(f21xlím)x(flímxx21lím)x(flím 22 ==+==−+=

1< 21)x(f +=] [1,∞− ] ∞+,1

Por otra parte, en tenemos: 1=

1x1x1x1x −→−→+→+→

luego, f es continua en R.

Solución a la situación problemática planteada en b):

Para encontrar usando la definición y teniendo presente que f es una función definida a trozos debemos calcular en cada uno de los intervalos

)x(f ′)x(f ′ ] [1,∞− , ] [+ ∞,1 1 y luego en x = :

• Para 1x < tenemos:

x2hx2límh

límh

)1x()1)hx((límh

)flím)x(f0h0h

22

0h0h=+==

+−++==′

→→→→

h2+xh2x(f−)hx( +

• Para x > 1 encontramos:

=→→

)0h0h

−+−+−++=

−+=′

hxx21())hx()hx(21(lím

h)x(f)hx(flím)x(f

22

x22hx22límh

hxh2h2lím0h

2

0h−=−−=

−−

→→

• Para x = 1 se tiene lo siguiente:

2h2límh

hh2lím)1(f0h

2

0h=+=

+=′

−→→− lím

h21)h1(lím

h)1(f)h1(f

0h

2

0h=

−++=

−+−→−→−

0hh2)h1()h1(21)1(f)h1(f 22=

−+−++−+ límh

límh

límh

lím)1(f0h0h0h0h

====′+→+→+→+→

+



Estos resultados nos indican que f no es derivable en 1x = . Luego, tenemos que:

⎩⎨⎧

>−<

=′1xsix22

1xsix2)x(f

El dominio de f viene dado por ′ { }1RfDom −=′ .

Solución a la situación problemática planteada en c): Como hemos visto, las derivadas laterales de f en 1x = toman los valores distintos 2)1(f =′− y

, la derivada de f en no existe y por lo tanto f no es derivable en . Gráficamente encontraremos una función continua en cada número real y en el punto dos semitangentes: una a la izquierda con pendiente 2 y otra a la derecha con pendiente 0. Al no ser la función derivable en no tenemos una tangente formada por las dos semitangentes en P.

0)1(f =′+

1x =

1x = 1x =)2,1(P

Utilizaremos la ClassPad para resolver la situación problemática planteada en b) alternando el uso del lápiz y papel con la calculadora:


(26) Toque el icono permanente para acceder a la Aplicación Principal. (27) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.]. (28) Toque [Edit] [Eliminar toda variable] [Acep.]. (29) Toque [Formato básico] [Defecto] [Def.].

• Definiremos cada uno de los trozos que componen la función f: (30) Toque [Acción] [Comando ►] [Define]. (31) Active el teclado virtual.

(32) Toque la siguiente secuencia de botones:

. • Esto define el primer trozo de la función.

(33) Toque nuevamente [Acción] [Comando ►] [Define]. (34) Toque la siguiente secuencia de botones:

. • Tenemos definido el segundo trozo de la función. • Calcularemos ahora las derivadas laterales de f en 1x = :

(35) Toque . (36) Utilice el teclado de variables y el teclado alfabético abc para editar en

la plantilla la expresión h

)1(1f)h − y toque 1(1flím +

0h −→.

• Se obtiene, como ya sabemos, 2)1(f =′− (Figura 9).

(37) Análogamente edite h

)1(2f)h − y toque 1(2flím+→0h

+ .

• Se obtiene 0)1(f =′+ .

Figura 8

Figura 9


Solución a la situación problemática planteada en d): Trazaremos ahora en un mismo sistema coordenado las gráficas de f, f ′ y las dos semitangentes en

. Para ello haremos uso de la Aplicación Gráficos & Tablas de la ClassPad. 1x =


(38) Toque para acceder a la aplicación Gráficos & Tablas.

(39) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] y active el teclado virtual. (40) Alterne entre los teclados abc y mth para editar en la línea y1: la

expresión )x(1f . (41) Seguidamente en el teclado mth toque la secuencia de botones:

. (42) De manera análoga, en la línea y2: edite la expresión )x(2f .

(43) Toque a continuación la secuencia de botones:

.

(44) Toque para trazar la gráfica de f y maximizar la pantalla.

(45) Toque para acceder a la ventana de visualización.

Figura 10

(46) Configure los siguientes parámetros: 1:Mínx − ; 2:.máx ; escala: 1; 1:Míny − ; 4:.máx ; escala: 1

(47) Toque .

Observe que tenemos la gráfica de una función continua y en el punto la gráfica presenta un punto angular. Esto se debe a los valores distintos que presentan las derivadas laterales en .

)2,1(P1x =

1Las ecuaciones de las semitangentes en x = son las siguientes: Ecuación de la semitangente a la izquierda: x2y = para 1x ≤

2Ecuación de la semitangente a la derecha: y = para 1≥x Trazaremos ahora la gráfica de las dos semitangentes:

(48) Toque para activar el editor de gráficos. (49) Active el teclado virtual mth. (50) En la línea y3: toque la siguiente secuencia de botones:

. (51) En la línea y4: toque la siguiente secuencia de botones:

.

(52) Toque . • Observe que las dos semitangentes tienen direcciones distintas una

de pendiente 2 y la otra de pendiente 0.

• Tracemos la gráfica de <

11x

. ⎩ − six22


⎨⎧

>=′

xsix2

)x(f

(53) Toque para activar el editor de gráficos.

Figura 11


(54) Active el teclado virtual mth. (55) En la línea y5: toque la siguiente secuencia de botones:

. (56) Toque la línea y seleccione [Trazos gruesos].

(57) Toque y luego . (58) En la línea y6: toque la siguiente secuencia de botones:

. (59) Análogamente seleccione [Trazos gruesos].

(60) Toque .

(61) Oprima la tecla para realizar un alejamiento. • Tenemos ahora la gráfica f ′ con una discontinuidad de salto finito

en 1x = .

Figura 12

6. Considere la función definida por . ⎪⎩

⎪⎨⎧

−+−=

bsixx4siax2x2)x(f 2

2

<≤x

bx

a) Determine los valores de las constantes a y b para que f sea derivable en R. b) Encuentre )x(f ′ .

c) Trace las gráficas de f y f ′ . d) Explique por qué f ′ es una función continua en R.

9.3 Cálculo de la derivada de una función en la ClassPad.

Encontrar la derivada de una función f por medio de un cálculo de límite no resulta nada práctico. Como hemos visto en el curso, afortunadamente existen reglas operativas que permiten el cálculo de la derivada de f por medio de un cálculo algebraico. Estas reglas operativas se resumen en la siguiente tabla:

TABLA DEL ÁLGEBRA DE DERIVADAS

NOTACIÓN DERIVADA (PRIMA) NOTACIÓN DIFERENCIAL (LEIBNIZ)

)x(g)x(f))x(g)x(f( ′±′=′±

1


dxdv

dxdu

dx)vu(d

±=± )x(f= )x(gv (u ; = )

2 )x(fc) ′=′)x(fc( ⋅ (c es una constante) dx

ducdx

)uc(d⋅=

⋅ )x(fu (c constante; = )

3 )x(g)x(f)x(g)))x(g)x(f( ′x(f +⋅=′⋅ ′ ⋅ dxdvu

dxduv

dx)vu(d

⋅+⋅=⋅ )x(f= )x(gv (u ; = )

4

2))x(g()x(g)x(f)x(g)x(f

)x(g)x(f ′⋅−⋅′

=′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2vdxdvu

dxduv

vu

dxd ⋅−⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ )x(f= )x(g (u ; v = )

5

2))x(g()x(g

)x(g1 ′

−=′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 2v1

dxdv

v1

dxd

⋅−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ )x(gv = ( )

6 )x(g))x(g(f))x(g(f( ′⋅′=′ dxdudxdudydy⋅= )u(fy = )x(g= ( ; u )

Tabla 1


La siguiente tabla presenta las derivadas de las funciones más usuales:

TABLA DE DERIVADAS DE FUNCIONES USUALES

Funciones potenciales Funciones logarítmicas y exponenciales )x(f )x(f ′ )x(f )x(f ′

C (constante) 0 xe xe nx 1nnx − xln

x1

n x


n 1nxn

1−

xa alnax ; a > 0

x x2

1 xloga ; a > 0

alnx1

Funciones trigonométricas Funciones hiperbólicas )x(f )x(f ′ )x(f )x(f ′

senx xcos

2eesenhx

xx −−=

xcosh

xcos senx−

2eexcosh

xx −+=

senhx

xtan xsec2 xcosh

senhx xhsec 2xtanh =

xcot xcsc2− xtanh

1 xhcsc 2−xcoth =

xsec xtanxsec xcosh

1 xtanhhxsec−hxsec =

xcsc xcotxcsc− senhx

1 xcothhxcsc−hxcsc =

Funciones trigonométricas inversas Funciones hiperbólicas inversas )x(f )x(f ′ )x(f )x(f ′

arcsenx

2x1

1

− )1xxln(arcsenhx 2 ++=

1x

12 +

xarccos

2x1

1

−− )1xxln(hxarccos 2 −+=

1x

12 −

xarctan 2x1

1+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=x1x1ln

21hxarctan 2x1

1−

xcotarc 2x1

1+

− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=1x1xln

21xcotharc 2x1

1−

xsecarc

1xx

12 −

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+= 2

2

xx1

x1lnhxsecarc 2x1x

1

−−

xcscarc

1xx

12 −

− ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ++= 2

2

xx1

x1lnhxcscarc 2x1x

1

+−

Tabla 2


El proceso de derivación de una función f se basa fundamentalmente en que la regla de correspondencia de f viene dada por una expresión algebraica que se construye por medio de operaciones aritméticas y composición de algunas funciones usuales. Al calcular la derivada de una función f por medio de las reglas presentadas en la Tabla 1, la derivada de f termina desglosada como una expresión algebraica en las derivadas de aquellas funciones usuales que conforman la regla de correspondencia de f. Basta conocer entonces, las derivadas de las funciones usuales (Tabla 2) y sustituirlas en esta última expresión para obtener la derivada de f.

Veamos esto resolviendo la siguiente situación problemática:

7. Dada la función definida por 1

12

+−

)x(f ′

)2(f ′

xx3)x(fy == :

a) Encuentre aplicando las reglas de derivación presentadas en las Tablas 1 y 2.

b) Evalúe .

c) Utilice la ClassPad para encontrar )x(f ′ y )1(f ′ . Solución a la situación problemática presentada en el inciso a): Veamos el proceso del calculo de la derivada de f en los siguientes pasos: • Paso 1: Identifique las operaciones que conforman la regla de correspondencia de f y el

orden de prioridad de estas operaciones. La regla de correspondencia de f está conformada por la composición de la función raíz cuadrada y una

función racional (cociente de dos polinomios). El polinomio numerador está conformado por la diferencia de dos funciones y el polinomio denominador por la suma de dos funciones.

• Paso 2: Desglose la derivada de f en términos de las derivadas de las funciones usuales. Al calcular la derivada de f será necesario desglosar primeramente la composición de las dos funciones

antes mencionadas. Al hacer uso de la regla 6 de la Tabla 1 se obtiene:

=

′

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎛ −

=

′

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ − ↓ 1x311x3 2

6glaRe2

⎜⎝ +

+−⎟

⎠⎜⎝

+ 1x

1x1x32

1x 2

Observe que al finalizar este paso, nos queda desglosar un cociente. Al aplicar la regla 4 de la Tabla 1 obtenemos:

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎛

+

′+−−+′−=

′

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+− ↓

2

22

2

4glaRe2

2)1x)(1x3()1x()1x3(1

1x1x31

⎝+−⎠⎝

+− )1x(

1x1x32

1x1x32

Para desglosar las derivadas indicadas en el paso anterior aplicaremos la regla 1 de la Tabla 1:

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

′+′−−+′−′

−=↓

2

22

2

1glaRe

)1x())1()x)((1x3()1x)()1()x3((

1x3

1

2x3y =


+ 1x2

Para dejar la derivada en términos de las derivadas de las funciones presentadas en la Tabla 2, aplicamos finalmente la regla 2 de la Tabla 1 a la función :


=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

′+′−−+′−′

+−

=↓

2

22

2

2glaRe

)1x())1()x)((1x3()1x)()1()x(3(

1x1x32

1

• Paso 3: Sustituya las derivadas de las funciones usuales encontradas en el proceso de desglose.

Sustituyendo ahora las derivadas de las funciones , 2xy = xy = y 1y = que se encuentran en la Tabla 2, se obtiene la expresión:

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+−−+−

+−

2

2

2 )1x()01)(1x3()1x)(0)x2(3(

1x1x32

1

• Paso 4: Simplifique la expresión obtenida. Simplificando esta última expresión se obtiene:

=⎟⎟

⎠

⎞⎛ +⎞⎛ 222 1⎜⎜

⎝ +

−+

+−

=⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝ +

−−+

+−

2222 )1x(x3x6x6

1x1x32

1)1x(

)1x3()1x(x6

1x1x32

1

11x

2

22

−

+++⎞⎛ ++

x3)1x(21x6x3

)1x(1x6x3

1x1x32

1222 +

=⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝ +

+−

Luego la función derivada de f es:1x

1x1x6x32

2

−

+++

3)1x(2)x(f 2+=′ .

Solución a la situación problemática presentada en el inciso b): Para calcular basta sustituir x en la función derivada y simplificar: )2(f ′ 2=

19833251212623) 22

2=

−⋅

+

+

+⋅+⋅=


123)12(22(f ′

Solución a la situación problemática presentada en el inciso c): El submenú [Cálculo ►] de los menús [Acción] e [Interactivo] de la Aplicación Principal, presenta

el comando [Diff] que permite el cálculo de la función derivada y el cálculo de la derivada de una función en un punto. Este comando pude activarse directamente con el botón en el teclado virtual mth. También el teclado virtual 2D presenta de una plantilla con la notación diferencial para calcular derivadas.

El comando [Diff] presenta la siguiente sintaxis: Diff(función, variable, orden de la derivada, punto en que se desea calcular la derivada)

Veamos como opera este comando:


(62) Toque para acceder a la aplicación Principal. (63) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.]. (64) Toque [Adm. de variable] [Main] [Main] [Todo] [Seleccionar todo] [Edit] [Borrar] [Acep]. (65) Toque [Cerr.] [Cerr.] para regresar al área de trabajo.



• Para trabajar con comodidad definamos la función f: (66) Active el teclado virtual. (67) Toque [Acción] [Comando ►] [Define].

(68) Toque .

(69) Utilice la plantilla de cociente y edite la expresión 1x

1x3+− .

2

(70) Toque . (71) Toque ahora [Acción] [Cálculo ►] [Diff].

• Esto activa el comando [Diff].

(72) Toque seguidamente .

• Se obtiene 2

2)1x(

1x1x32

)x(

++−

=′2x3 1f + que es la derivada de f. x6+

• Observe que cuando la variable por defecto es x, no es necesario incluirla en la sintaxis. Además, como lo que queremos en primer lugar calcular la derivada de f, los demás elementos de la sintaxis no se toman en consideración.

• Para calcular )2(f ′ se procede de la siguiente manera:

(73) Toque .

(74) Toque ahora .

• Se obtiene 198

)2 3325= . (f ′

• Aquí fue necesario indicar la variable x, el orden de la derivada que en nuestro caso es 1 y el punto donde queremos evaluar la derivada que es 2x = .

• Otra manera de realizar los cálculos con la plantilla del teclado virtual 2D, teniendo presente que en la notación de diferenciales

dx)x(df) = , es la siguiente: x(f ′

(75) Toque .

(76) Con el cursor en el recuadro inferior toque . (77) Ubique el cursor en el recuadro superior y toque la secuencia de

botones . • Se obtiene el resultado anterior. • Para evaluar la derivada en 2x = se procede de la siguiente

manera: (78) Ubique el cursor en la línea de entrada anterior, delante de la

expresión ))x(f(d y toque dx

.

• Se obtiene 198dx

)x(df)2(2x

=′=

3325f = .

Figura 13

Figura 14

Figura 15

Figura 16


9. Dada la función definida por 21x

xxarctan21y 2

π+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−= :

a) Encuentre dxdy aplicando las reglas de derivación presentadas en las Tablas 1 y 2.

b) Evalúe1xdx

dy

=.

c) Utilice la ClassPad para encontrar dxdy y

1xdxdy

=.

10. Dada la función definida por 151)1x(

32)1x(

52y 35 +−+−= :

a) Encuentre dxdy aplicando las reglas de derivación presentadas en las Tablas 1 y 2.

b) Evalúe5x=dx

dy .

c) Utilice la ClassPad para encontrar dxdy y

5xdxdy

=.

9.4 Tasas de cambio y aproximaciones por diferenciales.

Supongamos que una cantidad y está relacionada con otra cantidad x por medio de la ecuación donde, como siempre, y representa la variable dependiente y x la variable independiente. En esta

sección nos dedicaremos más profundamente al problema de cómo medir la tasa de cambio o razón de cambio de la variable dependiente y como resultado de un cambio arbitrario en la variable independiente x.

)x(fy =

)x(f= 0x

)x(f 0

xΔ 0x

+

xΔ+

9.4.1 Tasa de cambio promedio y tasa de cambio instantáneo.

Consideremos un punto A situado sobre la gráfica de la función definida por la ecuación

(observe la Figura 17), tal que sea el valor que asume en ese punto la variable independiente, y el correspondiente valor que toma la variable dependiente. Se realiza un incremento arbitrario en el valor de la variable independiente obteniéndose un punto B sobre la gráfica de f tal que sea un nuevo valor que asume la variable independiente y

el correspondiente valor de la variable dependiente. Al pasar del punto A al punto B, el cambio en el valor de x se mide por:

y

(f

xΔx0

)x0Figura 17

}valorfinalvalor

0 x)xx(x −Δ+=Δ48476


inicial

0



Δ xEl símbolo “Delta” indica variación o cambio, de manera que Δ significa “variación o cambio de x”. El cambio correspondiente en el valor de y se mide por:

8inicial

0 )yΔ

7648476valorfinalvalor

0 x(f)xx(fy −Δ+=Δ

donde significa “variación o cambio de y”.

En general el cálculo de los valores de xΔ y yΔ por separado no presenta una información relevante, pues es más importante conocer la relación que existe entre ambas variaciones, y por lo tanto se construye la razón de estos cambios, es decir, el cociente incremental

x)xx(f

xy 0

Δ−Δ+

=ΔΔ )x(f 0

Este cociente representa el cambio que experimenta la variable y por cada unidad de cambio que experimente la variable x y se denomina la tasa o razón de cambio promedio de y con respecto a x en el intervalo [ ]xΔ+x,x 00 . Esta tasa la denotaremos por:

[ ]xx

xx,xRCP 000x/y Δ

=Δ

=Δ+)x(f)xx(fy 0−Δ+Δ

))x(f,x(A ))xx(f,xx(

Gráficamente, esta tasa representa el valor de la pendiente de la recta secante a la gráfica de f en los puntos y B0 000 Δ+Δ+

x.

En ocasiones se necesita evaluar la razón de cambio de y respecto de x cuando el cambio Δ se hace más y más pequeño, es decir en términos gráficos, cuando el punto B se acerca al punto A. A medida que esto sucede, Δ se va acercando a cero, y la razón de cambio promedio de y con respecto a x tiende a una razón de cambio límite que llamaremos razón de cambio instantánea de y con respecto a x en el punto . Esta tasa la denotaremos por:

x

0x

[ ]0xx

00 dy)x(f)xx(fy

=

−Δ+Δ

0x

0x x

00x0x

00x/y0x

0x/y dx)x(f

xlím

xlímxx,xRCPlím)x(RCI

→Δ→Δ→Δ=′=

Δ=

Δ=Δ+=

Se tiene entonces que la razón o tasa de cambio instantánea de y respecto de x en el punto es justamente la derivada de f en el punto . Por otra parte, si Δ se acerca a cero, entonces se tiene que

dxdyy

≈Δ

xΔ , es decir que

dxdyxy Δ≈Δ ; o sea que si la variable independiente x cambia en , el cambio

resultante

xΔ

yΔ en la variable dependiente y es aproximadamente igual a dxdy x multiplicado por el cambio Δ

en la variable independiente x. En particular, si el cambio es 1x =Δ (una unidad) una estimación del

cambio será precisamente yΔdxdy .

11. Un físico describe que cuando cierta sustancia se calienta, la temperatura, medida en grados centígrados después de t minutos, está dada por 8t6t30)t(T ++= para 5t0 ≤≤ . a) Encuentre la razón de cambio promedio de T con respecto de t en el intervalo de tiempo

. [ ]5.4,4b) Calcule la razón de cambio instantánea de T respecto de t justo al cuarto minuto. Solución a la situación problemática planteada en a):

[ ] min/Cº46,31)329(25.0

)846430(85.465.43045.4

)4(T)5.4(T5.4,4RCP t/T ≈+=+⋅+⋅−+⋅+⋅

=−−

=

Lo que significa, en términos promedios, que durante ese lapso de tiempo que va de 4 a 4.5 minutos la temperatura aumentará a razón de 31,46 ºC por minuto.


Solución a la situación problemática planteada en a):

min/

Cº5,31

Cº5.314

330t

330dtdT)4(RCI

4t4tt/T =+=+==

==

Lo que significa que la temperatura justo a los 4 minutos aumenta a razón de 31.5 ºC por minuto. En términos predictivos, esto significa que la temperatura aumentará en el próximo minuto en aproximadamente en 31,5 ºC, o bien, )4(T)5(T +≈ .

12. Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba. Su altura en pies sobre el suelo a los t segundos viene dada por . 2t16

)x(f= x

t144)t(s −=

a) ¿Cuál es la velocidad del proyectil a los tres segundos de vuelo? b) ¿Cuál es la velocidad media del proyectil durante el tiempo que estuvo en el aire?

9.4.2 Aproximaciones por diferenciales. Sea una función derivable, y sea y Δ un incremento de la variable independiente x. La

diferencial dy de la variable dependiente y se define por x)x(fdy Δ′= . Con esta definición tenemos que y en consecuencia xΔ=dx dx)x(fx)x(fdy ′=Δ′= .

El concepto de diferencial se utiliza para realizar aproximaciones lineales. Sean un punto sobre la gráfica de f, un incremento arbitrario en el valor de la variable independiente x y

))x( 0xΔ 0x y

f,x(A 0Δ la

variación resultante en el valor de la variable dependiente y; si xΔ es “suficientemente pequeño”,

entonces como hemos visto )x(f 0′xy≈

ΔΔ o bien, )x()x(f

000 ′≈

+

)0

fx)x

ΔΔ+ x(f−

. Por lo tanto se tiene que el

valor de se puede aproximar por la fórmula: )xΔx(f 0xx(f)x(f)xx(f 00 Δ′+≈Δ+ para 0x ≈Δ

Es importante resaltar que la diferencial x)0x(fdy Δ′= no es el incremento real de la variable dependiente y cuando la variable independiente x cambia de a 0x x0 Δx+ , sino la variación que y tendría si continuara variando a la misma tasa fija )x(f 0′ cuando x cambia de a x0x 0 xΔ+ . Por eso se dice que la diferencial dy es el incremento de la ordenada a la tangente (vea la Figura 17). )x(f 0

Si se considera el movimiento del punto ))xx(f,xx(B 00 Δ+Δ+ hacia el punto a lo largo de la gráfica de f cuando la variable independiente x cambia de a

))x( 0f,x(A 0x0x x0 Δ+ , es decir, cuando se realiza

una variación horizontal , la variación resultante vertical real xΔ yΔ de la variable independiente y se ilustra

gráficamente en la Figura 17 por el segmento BC . Se puede observar sobre la base de la ilustración gráfica que dyy ≈Δ cuando , en vista que la

longitud del segmento

0x ≈Δ

BD representa la diferencia entre yΔ y dy, ésta se acerca a cero cuando 0x →Δ .

Como ejemplo consideremos la función definida por que mide el área de un cuadrado de lado x. Se un valor dado del lado y

un incremento bastante pequeño en comparación con las magnitudes y . Entonces por medio de la formula de aproximación por

diferenciales tenemos que

2x) =

0xxΔ

xΔ+

x(A

x)x(A 00x x0

)x(Ax(A 00 )x Δ′+≈Δ+

xx2x 020 Δ+≈

; lo que se

traduce en . Observe que el valor real es: )xx( 20 Δ+


2)x(Δ020

20 xx2x)xx( +Δ+=Δ+

Figura 18



2)xΔ

xΔ+ xx0Δ

0x x

Al realizar la aproximación por diferenciales de la cantidad que representa el área del

cuadrado de cuyo lado mide , se obtiene que ésta es . Con esto el área se estará

aproximando por el área del cuadrado cuyo lado mide x y la suma de las áreas de los rectángulos cuyos lados miden y Δ . La aproximación no considera el área del cuadrado cuyo lado mide

0x( +

2x20 +x0

0x Δ . El área

de este último cuadrado representa en realidad el error cometido en la aproximación. 2)x(Δ

)0La fórmula predictiva xx(f)x(f)xx(f 00 Δ′+≈Δ+ para 0x ≈Δ aproxima el valor de )xx(f 0 Δ+ por el valor que toma la variable y en la ecuación de la recta tangente en el punto cuando ésta se evalúa en x . Para visualizar esto resolvamos la siguiente situación problemática:

))x(f, 00x(Ax0 Δ+

13. Utilice la fórmula de aproximación por diferenciales para calcular valores aproximados de las raíces 90 , 99 , 108 , 117 , 126 y 135 . Encuentre en cada caso el valor exacto de cada raíz que da la ClassPad y el error cometido en cada aproximación.

Solución a la situación problemática planteada:

Observe primeramente que 10390 = , 11399 = , 123108 = , 133117 = , 143126 = y

153135 = . Para encontrar aproximaciones a los valores de estas raíces consideraremos la función

definida por x3= 90 = e incrementos para )x(f , el punto inicial x 6,5,4,3,2,1x =Δ . Haremos uso de la Aplicación Principal de la ClassPad para realizar los cálculos y establecer comparaciones entre los valores exactos que proporciona la calculadora y los valores aproximados obtenidos.


(79) Toque para acceder a la aplicación Principal. (80) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.]. (81) Toque [Adm. de variable] [Main] [Main] [Todo] [Seleccionar

todo] [Edit] [Borrar] [Acep]. (82) Toque [Cerr.] [Cerr.] para regresar al área de trabajo. (83) Active el teclado virtual.

• Calcularemos las aproximaciones realizando un cálculo iterativo. Para ello definiremos en primer término la función de trabajo

x3)x = . (f(84) Toque [Acción] [Comando ►] [Define].

(85) Toque . • Ahora utilizaremos una variable para asignar los valores de los

incrementos xΔ . Iniciaremos en cero el primer incremento.

(86) Toque . • Calcularemos ahora el valor real de )x9(f Δ+ :

(87) Seleccione en la línea de entrada anterior xΔ y toque . (88) Ubique el cursor en la línea de entrada vacía y toque la secuencia de

botones: .

Figura 19

Figura 20


Prof. Robinson Arcos 17 Departamento Matemática Aplicada

• Se obtiene obviamente el valor de 93 9 =)9(f =

• Calcularemos ahora el valor aproximado de )x9(f Δ+ :

(89) Toque .

• Se obtiene en este caso nuevamente 9)9(f = ya que 0x =Δ .

• Para obtener el error en la aproximación debemos calcular la diferencia en valor absoluto x)x( 0 Δ′ . Para ello ejecute las siguientes instrucciones:

f)x(f)xx(f 00 −−Δ+

(90) Seleccione en la penúltima línea de entrada )x9(f Δ+ y toque .

(91) Ubique el cursor en la línea de entrada vacía y toque .

• Se obtiene en este caso el valor 0 dado que no hay aproximación. • Para calcular los valores aproximados de las raíces realizaremos un

cálculo iterativo para 6,5,4,3 . Esto se realiza haciendo uso del historial de cálculo y la actualización del valor asignado a

xΔ .

,2,1x =Δ

(92) Desactive el teclado virtual. (93) En la barra de estado que se encuentra al final de la pantalla toque

[Estándar] para configurar la calculadora en modo [Decimal]. (94) Ubique el cursor en la línea de entrada donde se encuentra la

instrucción x0 Δ⇒ . Borre únicamente el valor 0 oprimiendo y cámbielo por el valor 1 oprimiendo la tecla del teclado plástico.

(95) Oprima ahora la tecla para recalcular el historial de cálculo.

• Se obtiene que 486832981.910 =3 y el valor aproximado es

5.910 ≈ con un error absoluto de 0.0131670195. 3 Realice de manera análoga los cálculos para 6,5,4,3,2x =Δ y

complete la tabla que se da a continuación.

Figura 21

Figura 22

0x xΔ xx0 Δ+)xx(f 0

Valor exacto de Δ+

Valor aproximado de )xx(f 0 Δ+

Error absoluto cometido en la aproximación

9 0 9 9 9 0

9 1 10 9.486832981 9.5 0.0131670195

9 2 11

9 3 12

9 4 13

9 5 14

9 6 15 Tabla 3

Observará, en la columna de los errores absolutos, que la aproximación desmejora a medida que el valor del incremento va aumentando (se aleja de cero). Esto se debe a que se está tomando como aproximación a cada raíz el valor que toma la variable y en la recta tangente y no el valor sobre la curva.

xΔ


El problema también puede visualizarse y calcularse en la Aplicación Geometría.


(96) Toque para acceder a la aplicación Geometría. (97) Toque [Arch] [Nuevo] [Acep.]. (98) Toque [Dibuj] [función ►] [f(x)].

(99) En el cuadro de diálogo toque . • Configuremos ahora la ventana de visualización.

(100) Toque [Ventana vis.]. (101) En el cuadro de diálogo configure los siguientes parámetros:

6:mínx 18:máxx 6:; ; medy

(102) Toque . (103) Toque ahora [Dibuj] [Punto].

(104) Oprima la tecla para realizar un alejamiento. (105) Marque el punto )12,16(A que está sobre la gráfica de f.

(106) Toque y luego toque el punto A y la gráfica de f para seleccionarlas.

(107) Toque [Edit] [Animación ►] [Agregar animación]. (108) Toque [Edit] [Animación ►] [Editar animaciones]. (109) En el cuadro de diálogo configure los siguientes parámetros:

Pasos: 7 ; ;


9:t0 15:t1(110) Toque la pantalla de la gráfica y corrobore los parámetros

introducidos. Su pantalla debe presentarse como la de la Figura 23.

(111) Toque para maximizar la pantalla.

(112) Oprima la tecla para realizar un acercamiento. (113) Toque [Dibuj] [Construir ►] [Tangente a curva]. (114) Toque ahora el punto )9,9(B que está sobre la gráfica de f.

• Aparece la tangente a la curva en el punto B. • Construyamos ahora la recta vertical que pasa por A:

(115) Toque [Dibuj] [Recta] y luego toque los puntos )12,16(A y )0,16(C .

(116) Toque y luego toque únicamente la recta tangente y la recta vertical para seleccionarlas.

(117) Toque [Dibuj] [Construir ►] [Intersección]. • Aparece el punto D de intersección.

(118) Cancele la selección tocando cualquier punto de la pantalla donde no aparezcan objetos.

(119) Toque para acceder al cuadro de medidas. (120) Toque el punto A y la recta vertical para seleccionarlos.

(121) Toque y el icono , al aparecer la palabra Si en el cuadro de

Figura 23

Figura 24

Figura 25


Prof. Robinson Arcos 19 Departamento Matemática Aplicada

medidas toque el botón de verificación para fijar el punto A a la recta vertical.

(122) Cancele la selección y toque la recta vertical. Toque y el icono

, al aparecer el valor 270 en el cuadro de medidas toque el

botón de verificación para fijar la medida.

(123) Toque para regresar a la barra de herramientas. (124) Toque ahora [Edit] [Animación ►] [Reproducir (repetir)].

• Mientras se realiza la animación observe que cada uno de los 7 pasos de la animación, el punto A recorre los puntos de abscisas

15,14, . Por otra parte, las ordenadas del punto A en movimiento, nos da los valores exactos de la función (valores exactos de las raíces) mientras que las ordenadas del punto D en movimiento, nos da los valores aproximados de la función (valores aproximados de las raíces). Además la longitud del segmento

13,12,11,10,9x =

AD nos da los errores absolutos cometidos en las aproximaciones.

• Construyamos ahora una tabla con los valores generados durante la animación:

(125) Toque [Edit] [Animación ►] [Parar] para detener la animación.

(126) Toque para acceder al cuadro de medidas. (127) Toque el punto A para seleccionarlo.

(128) Toque el botón para visualizar en la tabla de animación los valores de la variable x y los valores exactos de las raíces.

• Aquí la columna x nos da los valores que toma la variable x y la columna y los valores exactos de las raíces (Figura 27). Compare con los valores anotados por usted en la Tabla 3.

(129) Toque la pantalla de la gráfica y luego toque para maximizarla.

(130) Toque el punto D para seleccionarlo. Toque luego . • Aparecen las coordenadas de los puntos D obtenidos en la

animación. (131) Toque la columna x (que se ha repetido) para seleccionarla. (132) Toque [Edit] [Borrar] para eliminarla.

• Aparecen ahora tres columnas (Figura 28), la última contiene los valores aproximados de las raíces. Compare con la Tabla 3.

(133) Toque nuevamente la pantalla de la gráfica y luego toque para maximizarla.

(134) Toque ahora los puntos A y D para seleccionarlos. Toque .

(135) Toque la pantalla de la tabla y luego toque para maximizarla. (136) Deslice a la derecha la barra de desplazamiento.

• Aparece para cada paso de la animación la distancia entre estos dos puntos. La columna Distancia (Figura 29) nos da los errores absolutos cometidos en las aproximaciones. Compare con los valores de la Tabla 3.

Figura 26

Figura 27

Figura 28

Figura 29



En la actividad anterior hemos visto algunos aspectos importantes: en primer término se ha mostrado que la diferencial dy se usa para estimar yΔ cuando xΔ es muy pequeño en comparación con las magnitudes de y . Esto es, xx0 Δ+ 0x dyx)x(f))xy 00 x(f 0x(f =Δ′≈−Δ+=Δ cuando . Por otra parte la diferencia nos el error que se ha cometido en la aproximación. Esta diferencia puede ser positiva o negativa, e incluso

0x ≈Δdyy −Δ

yΔΔ y dy pueden ser positivos o negativos. Para el caso en que estos

diferenciales sean positivos, si , la curva se encontrará por encima de la tangente. Si , será la curva la que se encontrará por debajo de la tangente; que es lo que ocurre en el

ejemplo precedente. A veces interesa calcular el error en términos absolutos y por ello se calcula

0dyy − >0dyy <−Δ

dyy −Δ .

Una segunda aplicación de las diferenciales es la de determinar la influencia que tienen pequeños errores en los datos en el cálculo de magnitudes.

Veamos la siguiente situación problemática:

16. Se mide el radio de un circulo y se encuentra que es 5.2 cm con un error máximo de (0.05 cm de más o de menos). Estime un valor aproximado del máximo error que puede

cometerse al calcular el área del círculo. cm05.0±

Solución a la situación problemática planteada: Sea r el diámetro del círculo y A el área del mismo, entonces A y r están relacionados por la fórmula

. Definamos r cm el radio medido y dr2rπ= 2.5= 05.0)r(A 0 ±= cm el error máximo cometido en la medición del radio. Esto quiere decir que si r es al valor exacto del radio, entonces dicho valor se encuentre entre o bien,

e.0+ 052.5re ≤≤05.02.5 − 05.0r2.5 e ≤− .

Sea el cambio en A correspondiente a AΔ rΔ . Podemos interpretar AΔ como el error en el área calculada debida al error . Al estimar rΔ AΔ por dA obtenemos:

2cm

2 2cm64

cm2.50

00 64.1)05.0(2.52drr2dr)r(AdAA ±=±⋅⋅π=π=′=≈Δ

Por lo tanto, una estimación del error máximo posible en el cálculo del área debido al error de medición del radio es de aproximadamente ( de más o de menos). cm64 .1.1±

Cuando se trabaja con errores en términos absolutos no se puede precisar “qué tan pequeño” o “qué tan grande” es el error cometido, es necesario tener una idea de la magnitud con las que se está trabajando para compararla con la magnitud del error.

Por ejemplo, si al calcular la longitud de un pasillo que mide 20 m y la misma tiene error de 1 m se puede decir que el error es excesivamente grande y que la medida se ha realizado de manera descuidada. Pero si tenemos el mismo error al medir 20 km, diremos que el error es despreciable y que la medida se ha realizado prácticamente sin error.

Regresando a la situación problemática que hemos resuelto, el radio del círculo medido es r =

y el error cometido en la medición es cm05.0dr ±= , si calculamos la razón 0r

dr para comparar estas

cantidades, encontramos en términos relativos:

0096,0cm05±==

cm2.5r0.0dr ±

Este número significa que, en promedio, se comete un error de ± 0.0096 cm (por exceso o por defecto) por cada centímetro de longitud que se mide del radio. En términos porcentuales si multiplicamos esta razón por 100% obtenemos:

%96,0%100cm2.5

cm05.0rdr

±=×±

=0


Lo que significa que por cada centímetro de longitud que se mide del radio, se comete un error del 0,96% por defecto o por exceso.

En general, si tenemos una función derivable definida por )x(fy = , entonces:

• x

dx se define como el error medio o error relativo que se comete al medir x con un error

máximo dx.

• %100x

dx× es el error porcentual que se comete al medir x con un error máximo dx.

• y

dy se define como el error medio aproximado o error relativo aproximado que se comete en

la medida y al realizar la medida x con un error máximo dx.

• %100y

dy× es el error porcentual aproximado que se comete en la medida y al realizar la

medida x con un error máximo dx.

17. ¿Cuál es el error porcentual aproximado que se comete al calcular el área del círculo?

18. Utilice diferenciales para estimar el valor de . 52 −)01.2(4)01.2(3)01.2(N 34 +−=

a) ¿Cuál es el valor exacto de N? b) ¿Cuál es el error que se comete al estimar el valor de N por diferenciales? c) ¿Cuál es el error porcentual aproximado que se comete al calcular N?

19. Se desea construir una caja en forma de cubo de 1 de capacidad. 3dm

3cma) ¿Con qué exactitud debe construirse la arista para que el error máximo que pueda cometerse

en el volumen no sea mayor de 3 de más o de menos? b) ¿Cuál es aproximadamente el error porcentual máximo permisible en el cálculo de la arista?

20. El período de oscilación de un péndulo se calcula por medio de la fórmula gl

πT =

2s/m8

, donde

la longitud l del péndulo se mide en metros, T en segundos y siendo . Encuentre: .9g =

a) La longitud del péndulo que oscila una vez por segundo. b) ¿Cuál es la alteración en T si el péndulo en a) se alarga 3 mm. c) ¿Cuánto se adelantaría o atrasaría en un día un reloj con el error calculado en b)?

21. Una empresa de cerámica fabrica baldosas cuadradas de primera calidad con un área . Por desperfectos en los moldes, debido quizás al uso continuo y otros factores, no es

fácil calibrarlos para que el lado de la pieza quede ajustado exactamente a 10 cm. Sin embargo, un informe del departamento de control de calidad de la mencionada empresa, establece que es posible controlar aproximadamente el rango de error cometido al calibrar el lado si se conoce el error máximo permisible en el área de la pieza. Si se considera que una pieza es de alta calidad cuando este error permisible no supera al , ¿en qué intervalo de valores debe calibrarse el lado para que el área se mantenga a ?

2cm100

%1.0%1.0cm100 2 ±


CALCULO I: Práctica 9 con la calculadora ClassPad 330€¦ · El concepto de derivada es uno de...

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