Cálculo II
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CÁLCULO Imparte: Oziel Carmona Ortega
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Presentación
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CÁLCULOImparte: Oziel Carmona Ortega
Supervisar el reemplazo
o fabricación de partes
de los sistemas
electromecánicos en
maquinaria, equipo y
redes de distribución
industrial empleado
normas para mantener
en óptimas condiciones
los sistemas.
COMPETENCIA
OBJETIVO DE LA ASIGNATURA
El alumno resolverá problemas de
las áreas de electrónica,
electromecánica y mecatrónica
mediante el uso de las
herramientas del cálculo diferencial
e integral para sustentar la toma de
decisiones ante problemas del
Mantenimiento Industrial.
DESGLOSE DE UNIDADES
I. FUNCIONES POTENCIALES
Y SUS GRÁFICOS
ESTRUCTURA TEMÁTICA
I.1 Funciones potenciales y sus gráficos
I.2 Funciones trigonométricas
I.3 Funciones exponencial y logarítmicas y sus gráficos
I.4 Aplicaciones en la industria
El alumno empleará las funciones matemáticas más comunes y su representación Gráfica para resolver problemas reales de mantenimiento.
OBJETIVO
I.1 Funciones potenciales y
sus gráficos
Imaginemos una manzana que fuera haciéndose más pequeña cada vez hasta que no pudiéramos distinguirla a simple vista; con la ayuda de un microscopio podríamos observarla de nuevo, pero como seguiría empequeñeciendo ni los microscopios más potentes serían suficientes. La manzana, pues, acabaría por quedar reducida a un simple punto.
HAGAMOS VOLAR NUESTRA IMAGINACIÓN…
El punto geométrico es una porción de espacio más pequeña que todas las demás que puedan suponerse. Se señala la posición de un punto geométrico por un punto de escritura (.)
DEFINICIÓN
ASÍ…
Un punto, recorriendo el espacio, describe una línea
La línea no tiene grueso alguno, y sí sólo longitud o largo. Las líneas pueden ser rectas o curvas.
DEFINICIÓN
La recta es la línea más corta que puede trazarse entre dos puntos, y queda determinada por éstos.
DEFINICIÓN
El plano es la superficie que contiene completamente una recta que tenga dos puntos comunes con la superficie, cualquiera que sea la posición de la recta.
DEFINICIÓN
DEFINICIÓN
La palabra "plano", como las palabras "punto" y "recta", es en geometría un término indefinido. Nuestra noción intuitiva de un plano geométrico es la de una superficie llana, lisa, que se extiende infinitamente en todas las direcciones de la superficie.
EJEMPLOS
Del movimiento del punto sobre la superficie del campo gráfico, se genera la línea.
Una línea, por lo general transmite la sensación de delgadez. La delgadez, igual que la pequeñez, es relativa.
La forma total de la línea se refiere a su apariencia general, que puede ser descrita como: recta, curva, quebrada, irregular o trazada a mano.
La línea puede ser abstracta, no definir áreas, así como también puede ser perímetro de ellas, estableciendo figuras simples o complejas, geométricas y figurativas.
POR EJEMPLO…
Una línea recta se puede entender como un conjunto de puntos alineados en una única dirección.
DEFINICIÓN
Uno de los postulados de la geometría Euclidiana dice “para determinar una recta solo es necesario dos puntos del plano”.
El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta.
DEFINICIÓN
Se llama ecuación principal de una recta a una expresión de forma: y= mx +n.
m representa la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posición y es el número en que la recta corta al eje de las coordenadas.
DEFINICIÓN
La recta es el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que tomados dos puntos cualquiera de ella, la pendiente m calculada mediante la fórmula:
resulta siempre constante.
DEFINICIÓN
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente:
Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos.
La pendiente m es la tangente de la recta con el eje de las abscisas.
Ésta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, a la cual se le puede llamar b.
También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.
Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10.
Usa la información que te dan: m = 3 y b = 10 y sustituye en la ecuación
La cual es la ecuación buscada.
EJEMPLO 1
y = 3x + 10.
EJEMPLO 2Hallar la ecuación de la recta que
pasa por el punto (1, 2) y tiene
pendiente m = - 5.
Usa la información que te dan: m
= - 5 y sustituye en la ecuación: y
= - 5x + b.
Ahora tienes que buscar la b; usa el otro dato; la recta pasa por el punto (1, 2), por lo tanto, ese punto es una solución de la ecuación que estás buscando.
Sustituye esos valores de x = 1, y = 2 en la ecuación que estás buscando:2 = - 5 ( 1 ) +
b
Despeja la variable b en: 2 = - 5 ( 1 ) + b
2 = - 5 + b2 + 5 = b
b = 7Sustituye el valor de b en la
ecuación que estás buscando: y = - 5x + 7.
La ecuación es y = - 5x + 7.
Debes conocer los siguientes enunciados:
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.
Si b = 0 la recta pasa por el origen.
Supongamos que tenemos la
ecuación de una recta y haciendo
las modificaciones oportunas, la
ponemos en esta forma:
y = mx + b. Esta forma se llama
forma explícita.
Formas de expresar la ecuación de una recta
Si la ponemos en esta forma: y2 – y1 = m(x2 – x1),
decimos que está en forma punto-pendiente. En este caso m es la pendiente de la recta y x1, y1 las coordenadas de un punto cualquiera de la recta.
Si la ponemos en esta forma:
decimos que está en la forma canónica o sementaria. En este caso, a es la distancia desde el origen de coordenadas al punto donde la recta corta al eje x y b es la distancia desde el origen de coordenadas al punto donde la recta corta al eje y.
Trazar las rectas que pasan por los pares de puntos siguientes y encontrar sus pendientes.
a) A(-1, 4) y B(3, 2)b) A(4, 3) y B(-2, 3)c) A(4, 3) y B(2, 3)d) A(4, -1) y B(4, 4)
Ejercicio 1.
Se dice que una función f es creciente en el punto a si para todo x suficientemente próximo a a, se cumple que:
Si x<a entonces f(x)≤f(a)si x>a entonces f(x) ≥ f(a)
Definición
Se dice que una función f es decreciente en el punto a si para todo x suficientemente próximo a a, se cumple que:si x < a entonces f(x) ≥ f(a)si x > a entonces f(x) ≤ f(a)
Definición
Trazar la recta que pasa por P(2, 1) cuya pendiente es:
a)m=5/3b)m=-5/3
Ejercicio 2.
Trazar la gráfica de la ecuación 2x – 5y = 8. Hallar la pendiente y la ordenada al origen.
Ejercicio 3.
Analicemos la relación funcional que existe entre el control de reportes de mantenimiento de grúas hidráulicas, y el sueldo del mecánico:
y=20x+50 donde "y" es el sueldo del mecánico, y "x" es la cantidad de reportes de mantenimiento. El mecánico recibe un sueldo base de $50 y por cada reporte elaborado recibe una comisión de $20.
APLICACIÓN
Estamos frente a una función lineal, cuya representación gráfica es:
(ir a Maple 11)
1. Es función creciente
2. Al aumentar el número de reportes elaborados, aumenta el sueldo del
mecánico.
3. (f) = 50, ∞)
Podemos observar:
HOJA DE TRABAJO
En una empresa de motores eléctricos, paga a cada técnico una comisión de $30 por cada motor eléctrico de 2kW con 80% de eficiencia armado, es decir, y = 30x. Si la empresa contrata a un nuevo técnico al que sólo se le pagará $25 por cada motor eléctrico de 2kW con 80% de eficiencia armado, es evidente que la situación se diferenciará de la anterior, ya que para este técnico se tiene y = 25x.
Supóngase que a cada técnico se le paga un sueldo base de $60.
Halla las dos ecuaciones que describen esta nueva situación y represéntalas gráficamente. Observa el grafico e interpreta la situación de ambos técnicos.
Problema 1.
Hace seis años la empresa Coca Cola compró un máquina de control numérico computarizado por $950,000. Este año fue valuada en $590,000. Suponiendo que el valor de la máquina está relacionado linealmente con el tiempo, encuentre una fórmula que especifique el valor de la máquina para cualquier tiempo después de la fecha de compra. ¿Cuándo valía la máquina $730,000?
Problema 2.
Una función cuadrática es la que corresponde a un polinomio en x de segundo grado, según la forma:
donde a, b y c son constantes y a distinto de 0.
La representación gráfica en el plano xy haciendo:
esto es es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.
FUNCIÓN CUADRÁTICA
La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0): lo que resulta:
la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función.
Corte con el eje y
La función corta al eje x cuando y vale 0:
las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen como es sabido por la
expresión:
donde:se le llama discriminante, D:
Corte con el eje x
Según el signo del discriminante podemos distinguir:
Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas: 1. Factorización Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Fórmula Cuadrática
RAÍCES
x2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8
Ejemplo:
x = -2 ± 6 2
x = -2 + 6 x = -2 - 6 2 2 x = 4 x = -8 2 2
x1 = 2 x2 = - 4
Siendo, x1 y x2 las raíces de la ecuación x2 + 2x – 8 = 0.
9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10 3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0 -6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10
Grafique las siguientes funciones y encuentre la o las raíces:
El dominio de la función polinomial es el conjunto de los números reales.
FUNCIÓN POLINOMIAL
Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normado. Siendo x un símbolo llamado indeterminada.
A cada sumando ai xi del polinomio se le llama término. Un polinomio con uno, dos o tres términos es llamado monomio, binomio o trinomio, respectivamente.
A las funciones polinomiales de grado 0 se les llama funciones constantes (excluyendo el polinomio cero, que tiene grado indeterminado), grado 1 se les llama funciones lineales, grado 2 se les llama funciones cuadráticas, grado 3 se les llama funciones cúbicas.
Polinomio de grado 2:f(x) = x2 - x - 2 = (x+1)(x-2)
Polinomio de grado 3: f(x) = x3/5 + 4x2/5 - 7x/5-2= 1/5 (x+5)(x+1)(x-2)
Polinomio de grado 4:f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5
Polinomio de grado 5: f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2
EJEMPLO
Sea f(x)= - x3 + 8. Hallar el punto donde corta en el eje x y en el eje y. Traza su gráfico.
Solución.La gráfica corta al eje y en 8. - x3 + 8 = 0
x3 = 8 Así x=2
La gráfica corta al eje x en 2.
IR A MAPLE 11
HOJA DE TRABAJO
EJERCICIOS
Para cada función, indicar cuántas soluciones tienen y hallar el punto de intersección con el eje x & y. Trazar la gráfica de cada una.
a) f(x) = -x4 + x3 – x2 + x – 1b)g(x) = x3 – 3x2 + 2x – 7c) h(x) = x3 – (1/2)x2 - 2x + 1
EJERCICIOS
FUNCIONES EXPONENCIALES
Una función de la formadonde a > 0 y a distinto de 1, y x es cualquier número real se denomina función exponencial de base a.
Por ejemplo si:
FUNCIÓN EXPONENCIAL
x -2 -1 0 1 2 3
f(x) 1/4 1/2 1 2 4 8
g(x) 4 2 1 1/2 1/4 1/8
Si entonces:Si a>1 la f(x) es siempre creciente. Si a>1 cuando x ∞ entonces y ∞. Cuando x -∞, y 0.
La curva es asintótica respecto del eje x. El dominio de x es . El codominio es .
Trazar la gráfica de las siguientes funciones:a) f(x)= 2x
b)g(x)= 3x
c) h(t)= 1000 * 2t
EJERCICIOS
LOGARÍTMOS
Definición: Dados dos números positivos a y b, definimos el logaritmo en base a de b, y lo denotamos como loga b al número al que hay que elevar la base a para obtener b, es decir, loga b = x si y solamente si a˟ = b
En el caso que la base sea el número e se dice que es un logaritmo natural o logaritmo neperiano, en honor del escocés John Napier (1550-1617).
En el caso en que la base sea 10, se dice que son logaritmosdecimales o vulgares.
Dado loga b = x, se dice que b es el antilogaritmo de x en base a,es decir, Antiloga x= b
Función logarítmica: Se llama función logarítmica a una función de la forma: y = f(x) = loga x, a>0 a≠1Es aquella función que a cada número mayor que cero le hace corresponder su logaritmo en la base a.
El dominio de la función logarítmica es ℜ+ = ]0 , +∞[, y su gráfica se dibuja siempre, por tanto, a la derecha del eje Y.
Resultado:Si y = f(x) = loga x entonces a(y) = x . La función logarítmica es la función inversa de la función exponencial (la función exponencial es inyectiva a la vista de su gráfica).
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
EJEMPLOS DE FUNCIONES
LOGARÍTMICAS
Visitar la página:
http://www.tinet.cat/~picl/mates/funlog/funlog.htm#problemas
Para la resolución de ejercicios.
CÁLCULOM . en C. JULISSA BEANET PEREA
GARCÍA
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