calculo iii

29/5/2015 Vectores,rectasyplanos

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Prof.WalterMoraF.

Contenido123456

Rectasenelespacio

Consideremos la recta que pasa por y por . Esta recta es paralela al vector

,porlotanto,dadounpunto ,sedebecumplirque

dedonde .

Figura23.Ecuacinvectorialdeunarecta

[Veren3D:versin1][Veren3D:versin2]

Definicin1Si esunarectaquepasaporlospuntos ,y

siponemos entonces

1. Laecuacinvectorialde es

2. Despejando obtenemoslasecuacionesparmetricasde



3. Sicada ,despejando obtenemoslasecuacionessimtricasde

Como podemos escoger dos puntos cualesquiera (distintos) de una recta paraobtenerunaecuacin,lasecuacindeunarectanoesnica.

EJEMPLO1

Consideremoslarecta quepasapor y .Eneste

caso ,luego

Figura24.Recta



1. Ecuacinvectorial:

2. Ecuacionesparmetricas:

3. Ecuacionessimtricas:

Observequeelsegmentoquevade a eselconjuntodepuntos

En particular, si , obtenemos el punto medio del segmento

Figura25.segmentoPQ

ngulo,paralelismo,perpendicularidadeinterseccin

Definicin2



Consideremosdosrectas,

1. siyslosi

2. siyslosi

3. Elnguloentre y esigualalnguloentre y

Figura26.Rectasparalelas

[Veren3D]



Figura27.Rectasperpendiculares

[Veren3D]

Interseccin

Paracalcularlainterseccinentredosrectas y ,igualamossusecuaciones

Figura28.Interseccinderectas

[Veren3D]

Lasolucindelsistema ,osea,

nos da el o los puntos de interseccin entre y . Como el sistema es lineal,

entonces



Sihaysolucinnica:lasrectasseintersecanenunsolopunto

Sihayinfinitassoluciones:lasrectascoinciden

Sinohaysolucin:lasrectasnoseintersecan

Observeque,paraelclculodelainterseccin,usamosunprametrodistintoencada recta. Esto es as porque si hay un punto de interseccin, usualmentepuede ser obtenido, en cada recta, con un valor de parmetro distinto. Porejemplo:

Larectas

,

seintersecanenelpunto .

Este punto se obtiene con en la primera recta y con en la

segundarecta.

EJEMPLO2

Consideremoslarecta deecuacionessimtricas

vaenladireccinde

1. es paralela a la recta pues



2. es perpendicular a la recta

pues

3. nointersecaa pueselsistema

no tiene solucin (hay una clara inconsistencia entre la segunda y terceraecuacin).

Figura29.

[Veren3D]

Planosenelespaciotridimensional.Ecuacinvectorial,normalycartesiana

As como una recta esta determinada por dos puntos distintos, un plano estdeterminadoportrespuntosnocolineales.

Unamaneramuyconvenientedeobtenerunaecuacindelplano en que pasapor los puntos , es observar que los puntos tienen la

propiedad



Estaecuacinesunaecuacinnormalde

Figura30.

[Veren3D][Veren3DconJview]

Si ponemos y desarrollamos la ecuacin anterior,

obtenemosunaecuacincartesianade

Finalmente,podemosobservarquesi esten ,entonces

Estaesunaecuacinvectorialde .



Figura31.

[Veren3DLG3D][Veren3DconJview]

Figura32.


Definicin3

Consideremosunplano quepasaporlospuntosnocolineales .

1. esunvectornormalalplano si

paracualquier .

2. Si esunvectornormalalplano entonces



sellamaunaecuacinnormalde

3. Si esunvectornormaldelplano entonces

sellamaunaecuacincartesianadelplano

4. Si ysi entonces

sellamaunaecuacinvectorialdelplano

Tres puntos y

sonnocolinealessi

EJEMPLO3

Consideremos un plano que pasa por los puntos no colineales

y

1. Ecuacinvectorial:

2. Ecuacin cartesiana: un vector normal es. Como

,unaecuacincartesianaes



Figura33.

Paralelismo,perpendicularidadyngulo

Definicin4Consideremos una recta y dos planos de ecuacin

cartesiana

Entonces, siendo y , normales a y

,respectivamente,

1. siyslosi

2. siyslosi

3. Elnguloentrelosplanoseselnguloentrelosvectoresnormales

4. siyslosi

5. siyslosi



Figura34.


Figura35.

[Veren3DconJview]



Figura36.


Figura37.


EJEMPLO4

Consideremos tres puntos no

colineales. Para obtener un punto tal que los cuatro puntos conformen unparalelogramo,debemosescoger delasiguientemanera

Estoesaspuestoque debeestarenelplanoquecontienea .



Figura38.

EJEMPLO5

Consideremos el problema de obtener la ecuacin cartesiana del plano que

contengaalarecta

yalpunto (quenoesten ).

Para encontrar la ecuacin cartesiana del plano , buscamos tres puntos no

colinealesenesteplanopodemosconsiderarelpunto queyatenemosydospuntosdelarecta.

Paraobtenerestosdospuntosdelarecta,ledamosunapardevaloresalparmetro ,enlarecta,talquenosgenerendospuntosadicionales.Digamosqueponemosy .As,trespuntosenelplano son

Observeque ,asquesonpuntosnocolineales

Bien, ahora tomemos .

Como ,unaecuacincartesianaes



Figura39.

EJEMPLO6

Consideremos el problema de obtener la ecuacin cartesiana del plano que sea

paralelo,simltaneamente,alasrectas

yquecontengaalpunto

Deacuerdoa la teora, unvectornormala debe ser perpendicular a y a

entonces para encontrar la ecuacin cartesiana del plano , podemos

tomar .Como ,unaecuacin

cartesianaes



Figura39.

[Veren3D]

EJEMPLO7

Consideremos el problema de obtener la ecuacin cartesiana del plano que sea

perpendicularalarecta

yquecontengaalpunto

Paraencontrarlaecuacincartesianadelplano ,podemos tomar .

Como ,unaecuacincartesianaes

Figura40.

[Veren3D]

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