Calculo Integral
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El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.
Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.Pasos para integrar por cambio de variable
1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:
Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:
2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:
3º Se vuelve a la variable inical:
Ejemplo
Cambios de variables usuales
1.
2.
3.
4. 5. En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un mismo radicando lineal ax + b, el cambio de variable es t elevado al mínimo común múltiplo de los índices.
6. Si es par:
7. Si no es par:
Ejemplos
El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:
Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen comov'.
Ejemplos
Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.
Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por partestomando: v' = 1.
Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación.
I:INVERSAL: LOGARITMICAA:ALGEBRAICAT:TRIGONOMETRICAE:EXPONENCIAL
YA TENIENDO ESTO LA PRIMERA LETRA QUE APAREZCA EN LA INTEGRAL VA A SER NUESTRO U,
EN LA INTEGRAL ESTA DE PRIMERO X^-2 QUE SERIA INVERSA ESTE VA A SER NUESTRO U.
Logaritmikas y exponenciales
Ejercicios
TEOREMAS DE DERIVACIÓN TEOREMAS DE INTEGRACIÓN
La integración por sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones que tienen la forma
, y
Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras e identidades trigonométricas.
En el caso general la integral a resolver es:
Simplifiquemos paso a paso el termino de la raíz, primeramente sacaremos factor común, y operaremos
para poder dejarlo como suma de cuadrados.
De esta forma estaremos en tres situaciones posibles:
1. Λ es decir:
2. Λ es decir:
3. Λ es decir:
teniendo la forma las ecuaciones conocidas: con
Estos los cambios que hay que realizar según la situación:
1.
2.
3.
La integral de esta forma, se transforma en una integral trigonométrica en , se resuelve y se deshace el
cambio.