calculo propriedades
-
Upload
marco-mendez-mendez -
Category
Documents
-
view
223 -
download
0
Transcript of calculo propriedades
-
8/20/2019 calculo propriedades
1/66
UNIVERSIDADE COMUNITÁRIA DA REGIÃO DE CHAPECÓ - UNOCHAPECÓ
ÁREA DE CIÊNCIAS EXATAS E AMBIENTAS
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
CÁLCULO INTEGRAL: SUA HISTÓRIA E SUAS
APLICAÇ ÕES NAS DIVERSAS ÁREAS DO CONHECIMENTO
JULIANA CRISTINA SCHNEIDER
Chapecó - SC, 2010
-
8/20/2019 calculo propriedades
2/66
JULIANA CRISTINA SCHNEIDER
CÁLCULO INTEGRAL: SUA HISTÓRIA E SUAS
APLICAÇ ÕES NAS DIVERSAS ÁREAS DO CONHECIMENTO
Relatório de pesquisa apresentado à UNOCHAPECÓcomo parte dos requisitos para aprovação na disci-plina de Pesquisa II, sob orientação da Professora LuciaMenoncini.
Chapecó - SC, Jul. 2010
-
8/20/2019 calculo propriedades
3/66
Resumo
Nossa pesquisa baseia-se em descrever parte da história do Cálculo Integral, identificando seusprecursores, sua evolução e relação com o avanço tecnológico, bem como mostrar as aplicaçõesdo Cálculo Integral nas diversas áreas do conhecimento. Destacamos a importância de conhecer
a aplicabilidade do Cálculo Integral para entender os seus conceitos e assim poder contribuirpara despertar a motivação por parte dos acadêmicos para o estudo desta temática. O CálculoIntegral é ensinado nos cursos de graduação de diversas áreas, como na Matemática, na F́ısica,nas Engenharias, entre outras. São tantas definições, teoremas, e diversas maneiras de re-solver esses cálculos, que dependendo da forma metodológica como eles são abordados, podemgerar questionamentos quanto a sua aplicabilidade. Assim, o objetivo deste trabalho é identi-ficar algumas destas aplicações nas diferentes áreas do conhecimento, seguido da resolução dasmesmas.
Palavras-chaves: Integrais, cálculo, aplicações.
-
8/20/2019 calculo propriedades
4/66
Sumário
Introdução 2
1. História da Cálculo 5
1.1 Bonavetura Cavallieri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Johann Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Isaac Baron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 John Wallis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Isaac Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Gottfried Wilhelm Leibiniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2. Cálculo Integral 15
2.1 O Ensino do Cálculo Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. Aplicações de Integral nas Diversas Áreas 19
3.1 A integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 A integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 A Integral Como Variação Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 A Integral Via Regra do Ponto Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5 A Integral Imprópria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.6 A Integral Como Função Densidade da Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 523.7 A Integral Definida Como Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.8 Funções Definidas Como Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
-
8/20/2019 calculo propriedades
5/66
-
8/20/2019 calculo propriedades
6/66
-
8/20/2019 calculo propriedades
7/66
4
Para reforçar nossa ideia, a Sociedade Brasileira de Educação Matemática - SBEM,
destaca a importância do conhecimento histórico e da aplicabilidade dos conteúdos matemá-
ticos, particularmente para o acadêmico que pretende ser um educador em Matemática:
Esse corpo de conhecimentos matemáticos - conceitos espećıficos, definições,
convenções, procedimentos, paradigmas de investigação dessa área de conheci-
mento - devem ser selecionados e abordados de forma a possibilitar ao professor
em formação, conhecimento amplo, consistente e articulado da Matemática,
colocando em destaque aspectos de sua construção histórica, suas aplicações
em outras áreas, os principais métodos utilizados por matemáticos ao longo
dos tempos, os desafios atuais dessa área de conhecimento e as pesquisas
matemáticas em desenvolvimento (SBEM 2002, p. 14).
De modo geral, o Cálculo Integral é um componente curricular que merece atenção tanto
por parte do professor que planeja suas aulas como pelos acadêmicos, pois segundo Junior
(2006, p. 87), ”os conhecimentos do Cálculo Integral podem contribuir para que o aluno tenha
ferramentas para resolver problemas de diferentes áreas do conhecimento”.
Entendendo que o Cálculo Integral é uma importante ferramenta que dispomos e que em
alguns momentos não sabemos ou não compreendemos sua aplicação, e defendendo a necessi-
dade de conhecer as construções do conhecimento ao longo dos tempos como aporte teórico,
inicialmente buscamos informações acerca do surgimento e evolução do Cálculo Integral, co-
nhecendo a vida e o trabalho dos seus principais precursores. Tais informações estão contidas
no Caṕıtulo 1 deste trabalho.
No Caṕıtulo 2, direcionamos nossa atenção para entender um pouco sobre o ensino e a
aprendizagem dos conteúdos, uma vez que a aplicação do Cálculo Integral vem ao encontro de
justificar o porquê de estudar tal assunto.
Na sequência, formamos o Caṕıtulo 3, composto pelas aplicações do Cálculo Integral.
Aqui, buscamos enunciar alguns conceitos e resultados do Cálculo Integral e identificar algumas
áreas que utilizam-se destes para resolução de questões especı́ficicas, bem como selecionamos e
resolvemos tais situações.
-
8/20/2019 calculo propriedades
8/66
1. História do Cálculo
Vamos iniciar esse trabalho fazendo um resgate histórico do Cálculo Diferencial e Integral.
Para tanto contamos com a contribuição de alguns autores. Entre eles destacamos Boyer (1974),o qual aponta que calcular, no passado, significava fazer contas por meio de seixos. Segundo ele
a palavra calcular tem sua origem do latim, do diminutivo de calx, que significa pedra. Já na
idade média, no século XVII, surgem os conceitos mais formais para o cálculo, os quais definem
conceitos que surgiram a mais de dezessete anos antes na nossa era.
O século XVII foi extremamente produtivo para o cálculo, comenta Eves (2004), pois foi
um peŕıodo onde se fizeram grandes e vastas pesquisas em diversas áreas. O autor afirma aindaque para se falar da história do cálculo, precisamos voltar até o século V a.C, na Grécia antiga,
mesmo que a maior parte da história se situe no século XVI.
Em seu livro, Eves (2004), começa falando sobre os Paradoxos de Zenão. Para o autor foi o
filósofo Zenão de Eléia (450 a.C) que chamou a atenção para que se observassem as dificuldades
lógicas ocultas em paradoxos que tiveram forte influência na matemática. Os dois paradoxos
do qual cita o autor são: Dicotomia e a Flecha. O primeiro trata que se um segmento de reta
pode ser subdividido indefinidamente, então o movimento é impossı́vel, pois, para percorrê-lo, é
preciso antes alcançar seu ponto médio, antes ainda alcançar o ponto que estabelece a marca de
um quarto do seu segmento e assim por diante, ad infinitum. Segue-se, então, que o movimento
jamais começará. O segundo paradoxo, a flecha, afirma que se o tempo é formado de instantes
atômicos indivisı́veis, então uma flecha em movimento está sempre parada, posto que em cada
instante ela esteja numa posição fixa. Sendo isso verdadeiro em cada instante, segue-se que a
-
8/20/2019 calculo propriedades
9/66
6
flecha jamais se move.
Os primeiros problemas que apareceram na história do cálculo se referiam a problemas
de quadratura, com os processos de medição de terras e áreas. Uma das contribuições mais
antigas, segundo Eves (2004) se refere ao problema da quadratura do ćırculo que foi dada por
Ant́ıfon, que era contemporâneo de Sócrates. Ant́ıfon acreditava que por sucessivas duplicações
do número de lados de um polı́gono regular inscrito num cı́rculo, a diferença entre o cı́rculo e o
polı́gono por fim exaurir-se-ia. Ant́ıfon, continha aqui o método da exaustão grego. O método
da exaustão é creditado a Eudoxo (c. 370 a.C), ainda:
O método admite que uma grandeza possa ser subdividida indefinidamente e
sua base é a proposição: Se uma grandeza qualquer subtrai-se uma parte não
menor que a sua metade, do restante subtrai-se uma parte não menor que asua metade, e assim por diante, se chegará por fim a uma grandeza menor que
qualquer outra predeterminada da mesma espécie. (EVES 2004, p. 419).
Boyer (1974) nos coloca que o método da exaustão é creditado a Eudoxo, mas também é
conhecido como método de Arquimedes:
[...] Arquimedes atribuiu a Eudoxo a primeira prova satisfatória de que o vol-
ume do cone é um terço do volume do cilindro de mesma base e mesma altura,
o que parece indicar que o método da exaustão vem de Eudoxo. (BOYER,
1974, p. 67).
Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma
corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda
como base. Ele utilizou o problema da exaustão para determinar a área do ćırculo e descobriu
o número π .
Rocha (1986), aponta que foi com a busca de processos exatos ou mesmo aproximado de
calcular a área em uma região S limitada por uma curva fechada que deu a Arquimedes a glória
de ser considerado um dos mais importantes matemáticos de todos os tempos. Segundo ele foi
pelo método da exaustão que Arquimedes conseguiu calcular a área de vários tipos de curvas.
Nos seus trabalhos sobre áreas e volumes, Arquimedes utilizou o método da exaustão,
pelo qual se aproxima a quantidade desejada pelas somas parciais de uma série ou pelos termos
de uma sequência, conforme Boyer (1974).
-
8/20/2019 calculo propriedades
10/66
7
Figura 1: Arquimedes.Fonte: Wikipedia
Por volta do ano de 1450 os trabalhos de Arquimedes chegaram à Europa Ocidental
através de uma tradução que foi achada em Constantinopla, de uma cópia feita no século IX,
de acordo com Eves (2004).
Estas descobertas deram origem ao cálculo. No entanto, o seu desenvolvimento prosseguiu
graças as contribuições iniciais de personagens como Cavalieri, Barrow, Kepler, Wallis, Newton
e Leibinz. Vejamos um pouco da contribuição de cada um desses personagens.
1.1 Bonavetura Cavallieri
Bonaventura Cavallieri nasceu em Milão e aos 15 anos de idade foi aluno de Galileu.
Trabalhou como professor de matemática na Universidade de Bolonha de 1629 até 1647, quando
faleceu.
Suas obras, de acordo com Eves (2004) abrangeram óptica e astronomia e foi ele o re-
sponsável pela introdução dos logaritmos na Europa. A obra de sua autoria que mais o projetou
foi Geometria Indivisibilibus publicada em 1635.
Os prinćıpios de Cavalieri representaram para a época e continuam até hoje, poderosas
ferramentas para o cálculo de volumes e áreas.
-
8/20/2019 calculo propriedades
11/66
8
Figura 2: Cavalieri.Fonte: Wipikédia
1.2 Johann Kepler
Segundo Eves (2004), Johnann Kepler desenvolveu ideias baseadas em três leis que de-
screvem o movimento dos planetas em torno do Sol. Kepler intuitivamente descreveu o prinćıpio
da continuidade, onde os casos-limite eram cobertos por definições mais gerais. Ele recorreu à
integração para calcular áreas envolvidas com a segunda lei do movimento planetário e também
conseguiu calcular o volume de diversos sólidos. Um dos seus trabalhos que foi muito discutido
refere-se à maneira correta de calcular o volume de barris de vinho.
Figura 3: Johann Kepler.Fonte: Wipikédia
1.3 Isaac Baron
Como conta Eves (2004), Isaac Barrow nasceu em Londres em 1630. Barrow terminou seus
estudos em Cambridge em 1648. Formaou-se em F́ısica, Matemática, Astronomia e Teologia.
-
8/20/2019 calculo propriedades
12/66
-
8/20/2019 calculo propriedades
13/66
10
1.4 John Wallis
A história de John Wallis é contada por Eves (2004). Wallis nasceu em 1616 e foi con-
siderado em dos matemáticos mais capazes e originais de seu tempo. Seus trabalhos no campo
da análise contribúıram muito nos estudos de Newton. Wallis foi um dos primeiros a discutir
as cônicas como sendo curvas do segundo grau. O śımbolo ∞ (infinito), surgiu após os seusestudos. Ele obteve resultados para o cálculo e seus métodos eram mais aritméticos do que
geométricos.
Wallis empenhou-se em determinar π buscando uma expressão para π buscando
uma expressão para a área,π4 ,de um quadrante do ćırculo x2 + y2 = 1. Isso
equivale a calcular o limite 1
0 (1
−x2)( 12 )dx o que ele não tinha condições de
fazer diretamente, uma vez que desconhecia o teorema geral do bin ômio. [...]o que ele procurava era o valor interpolado dessa lei para n = 12 . (EVES, 2004,
p. 432).
As principais contribuições de Wallis para o cálculo estão relacionadas à teoria da in-
tegração. Foi Wallis quem explicou de maneira satisfatória o significado dos expoentes zero,
negativos e fracionários.
Figura 5: John Wallis.Fonte: Wipikédia
Até aqui, já haviam sido descobertos e desenvolvidos muitos dos conceitos do c álculo como
a existência do limite e conceitos de continuidade. O avanço tecnológico estava acentuado e
havia uma necessidade, segundo Eves (2004), da criação do simbolismo geral como um conjunto
de regras e procedimentos que tornasse o cálculo manipulável e proveitoso. Essa sistematização
-
8/20/2019 calculo propriedades
14/66
-
8/20/2019 calculo propriedades
15/66
12
Figura 6: Isaac Newton.Fonte: Wipikédia
tarde sobre ondulatória. Entre os anos de 1673 a 1683, dedicou-se a álgebra e a teoria das
equações. Já em 1679, verificou a teoria da gravitação. Escreveu seu primeiro livro Principia
no verão de 1685, escrevendo outros dois livros logo na sequência. Em 1692, foi acometido de
uma doença, que provocava distúrbios mentais e que durou cerca de dois anos. Depois disso
dedicou boa parte da sua vida em estudando qúımica, alquimia e teologia.
Em 1696, foi inspetor da Casa da Moeda e em 1699 passou a ser diretor da institui ção.
Já em 1703 foi eleito presidente da Royal Society, onde permaneceu até a sua morte. Newton
faleceu em 1727, tendo 84 anos de idade.
1.6 Gottfried Wilhelm Leibiniz
Leibiniz foi o grande gênio universal do século XVII e ”rival”de Newton quando se trata
da invenção do cálculo. Nasceu em 1646, em Leipzig. Aprendeu falar latim por conta própria
e aos doze anos dominava conhecimentos matemáticos, teólogos e filosóficos. Foi nesta época
que ele desenvolveu as primeiras ideias de sua obra Characterstica Generalis. Devido a sua
pouca idade foi negado a ele o t́ıtulo de doutor em leis na Universidade de Leipzig.
Em 1672, quando cumpria uma missão diplomática em Paris, Leibiniz exibiu uma máquina
de calcular para a Royal Society.
O sı́mbolo de um S alongado (śımbolo atual) para a Integral é resultado de seus estudos.
-
8/20/2019 calculo propriedades
16/66
13
Figura 7: Gottfried Wilhelm Leibiniz.Fonte: Wipikédia
Ele usou a primeira letra latina summa (soma), para indicar uma soma de indiviśıveis. As
notações que usamos ainda hoje para representar derivadas como dx/dy, sendo y = y(x) e
integrais
f (x)dx surgiram através dos escritos de Leibiniz. Dedicou-se pelo resto da vida no
serviço diplomático, falecendo em 1676, a serviço da corte de Hanover.
Até aqui falamos da parte histórica, dos fatores que contribúıram para o desenvolvimento
do cálculo.
Mas afinal, o que é cálculo? Thomas (2003, p. XV) define cálculo como a ”matemática
dos movimentos e das variações”. Para ele, onde há movimento e força sendo empregadas,
também existe o cálculo. Thomas, afirma ainda que o cálculo foi inventado inicialmente para
atender às necessidades matemáticas - basicamente mecânicas - dos cientistas dos séculos XVI
e XVII.
O autor ainda explica que o cálculo diferencial busca calcular as taxas de variação, per-
mitindo que as pessoas definissem os coeficientes angulares, calculassem a velocidade e a acel-
eração de corpos em movimento e determinassem os ângulos. Também, aproveita para ar-
gumentar que o Cálculo Integral lidou com problemas de determinar as funções a partir de
informações a respeito de sua taxa de variação, possibilitando assim:
-
8/20/2019 calculo propriedades
17/66
14
[...] que as pessoas calculassem a posição futura de um corpo a partir de sua
posição atual e do conhecimento das forças que atuam sobre ele determinassem
as áreas de regiões irregulares no plano, medissem o comprimento de curvas e
determinassem o volume e a massa de sólidos arbitrários. (THOMAS, 2003, p.
XV).
Boyer (1974) afirma que o pioneiro no desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral
foi Newton (1665-66) e que independentemente a isso, em (1673-76) Leibiniz, chega às mesmas
conclusões. Os dois viam o cálculo separadamente: Newton o via de forma mais geométrica,
enquanto Leibniz o via de forma mais anaĺıtica. Os trabalhos de Leibniz sobre Cálculo Integral
foram publicados em 1684.
O nome Cálculo Integral foi criado por Johann Bernoulli e publicado pela primeira
vez por seu irmão mais velho Jacques Bernoulli em 1690. O Cálculo de Newton foi sim-
plesmente visto como derivadas ”reversas”, ho je conhecidas como Integrais. Na mesma época
da publicação das tabelas de integrais de Newton, Johann Bernoulli descobriu o chamado
método das frações parciais.
Sabe-se que primeiramente surgiu o Cálculo Integral e que depois surgiu o Cálculo Difer-
encial. Porém hoje eles são vistos como um sendo a operação inversa.
O século XVII foi um dos séculos mais produtivos na ampliação dos conceitos
matemáticos, graças, em grande parte, às novas e vastas áreas de pesquisa que
nela se abriram. [...] É curioso que o desenvolvimento histórico do cálculo
seguiu a ordem contrária à daquela dos textos e cursos básico sobre o assunto:
ou seja, primeiro surgiu o cálculo integral e só muito depois o cálculo diferencial.
(EVES, 2004, p. 417).
Para o autor, a diferenciação originou-se de problemas relativos às tangentes de curvas
e a determinação de máximos mı́nimos. O cálculo surgiu para atender uma necessidade deresolução de problemas insolúveis na época.
Atualmente diversas áreas do conhecimento utilizam dos conceitos do cálculo integral e
diferencial para provar ou explicar suas teorias.
-
8/20/2019 calculo propriedades
18/66
2. Cálculo Integral
2.1 O Ensino do Cálculo Integral
Da parte histórica do Cálculo Integral explorada no caṕıtulo anterior, percebe-se que ele
se desenvolveu ao longo do tempo e não foi simplesmente uma descoberta momentânea. Muitos
foram os seus precursores e muitas contribuições foram dadas à sociedade.
Assim, o desenvolvimento do Cálculo Integral está diretamente ligado ao contexto social,
e apresenta uma importante relação com a evolução cientı́fica e tecnológica da sociedade.
De acordo com Frescki e Pigatto (2009), nos séculos XVI e XVII, o cálculo integral teve
seu foco direcionado principalmente ao estudo do cálculo da posição futura de um corpo em
relação a sua posição atual, conhecendo-se as forças atuantes sobre ele; à determinação de
áreas de figuras planas não-regulares, de seu volume e da massa de corpos sólidos; assim como
questões relativas ao comprimento de curvas. Estes estudos se voltavam às tecnologias daquela
época.
No século atual, o estudo do Cálculo Integral continua relacionado, e porque não dizer
fortemente relacionado, aos avanços cientı́ficos e tecnológicos. Neste contexto, Whipkey e Whip-
key (apud SCHLICKMANN, CUSTODIO e SILVA, 2008, p. 32) afirmam que:
a aplicação atual do Cálculo está presente nos problemas que afetam a hu-
manidade, entre os quais podemos citar a construção de modelos abstratos
para o estudo de Ecologia de populações, da Cibernética e seu impacto social
sobre o homem, além das práticas no campo da administração, da economia e
medicina.
-
8/20/2019 calculo propriedades
19/66
16
Também Schlickman, Custodio e Silva (2008) enfatizam outros fatos, que relacionados ao
Cálculo, o torna, junto com as tecnologias, um ferramenta essencial para o mundo moderno, a
saber:
[...] a previsão de tempo, fluxo de ar passando por um autom óvel, representação
de imagem da medicina e estrutura do DNA, pois com os avanços na ressonância
magnética é possı́vel verificar a estrutura de moléculas relacionadas com a du-
plicação do DNA, além do controle do comportamento caótico do coração hu-
mano, exploração do espaço profundo e alguns ainda arriscando modelar o
futuro do mundo. (SCHLICKMAN, CUSTODIO E SIVA, 2008, p. 32-33).
Esta relação de caŕater cient́ıfico e tecnoĺogico, talvez seja um dos fatores res-
ponsáveis por introduzir e manter o Cálculo Integral no curŕıculo de muitos cursos superiores.
Assim, o Cálculo Integral tem por finalidade, em conjunto com as demais disciplinas, servir
de base para que muitos conceitos especı́ficos de cada curso de graduação sejam desenvolvidos.
No entanto, uma das exigências do Cálculo é a necessidade de conhecimentos matemáticos
gerais. Neste sentido Stewart (2009, p. XVII) afirma que ”o sucesso no cálculo depende
em grande parte do conhecimento da matemática que precede o cálculo: álgebra, geometria
analı́tica, funções e trigonometria”.
Já Leithold (1994, p. 01) se direciona aos acadêmicos que cursam Cálculo atestando que
“”aprender Cálculo pode ser sua experiência educacional mais empolgante e estimulante pois é
a base para quase toda a Matemática e para muitas grandes realizações no mundo moderno”.
Entretanto, o ensino de Cálculo Integral baseado em métodos tradicionais pode se tornar
um tema de médio ou dif́ıcil entendimento. Aqui, entende-se por forma tradicional aquela que
utiliza o modelo cartesiano de curŕıculo, centrado na exposição teórica e formal que enfatiza a
memorização e a transmissão de conhecimento.
Um modelo pedagógico bastante comum no ensino superior de matemática é
aquele em que a apresentação dos conteúdos é organizada nos moldes de sua
estrura formal. Em particular, os conceitos são introduzidos a partir de sua
definição formal. [...] O comportamento esperado pelos professores é que os
alunos sempre recorram à definição de conceito antes de dar a resposta, mas
não é isso que se observa em geral. (ESCARLATE, p. 02).
Quanto a este aspecto, Moraes e Mendonça (2003, p. 02) destacam que em geral,
”um livro texto é normalmente adotado, aulas expositivas introduzem a teoria ao aluno, exe-
-
8/20/2019 calculo propriedades
20/66
17
mplos são resolvidos em sala de aula a fim aplicar a teoria apresentada e exerćıcios e/ou prob-
lemas são propostos com o intuito de solidificar o conhecimento”.
Skovsmose (2000), faz menção de que em algumas de suas observações sobre o ensino
da Matemática pode evidenciar que o ensino enquadra-se no “”paradigma do exerćıcio”, onde
o professor apresenta idéias e técnicas matemáticas e em seguida os alunos trabalham com
exerćıcios selecionados. Geralmente estes exerćıcios, constantes nos livros didáticos, tiveram
sua formulação realizada por “”uma autoridade externa à sala de aula”o que denota que a
importância ou relevância dos exerćıcios não faz parte da aula. Para ele, desafiar o paradigma
do exerćıcio, pode significar para alguns professores sair da “”zona de conforto”para a “”zona
de risco”. Isso tudo porque historicamente o professor é visto como detentor de todo o saber e
não como uma facilitador ou ainda como uma ”ponte”que permite a ligação entre o conteúdo
cientı́fico e o estudante.
Na visão de D’Ambrósio (1998, p. 69), o ponto central do ensino é a “”passagem do
curŕıculo cartesiano, estruturado previamente à prática educativa, a um curŕıculo dinâmico,
que reflete o momento sociocultural e a prática educativa inserida”.
O currı́culo dinâmico defendido por D’Ambrósio pode ser alcançado ao se reestruturar
os métodos pedagógicos de ensino de Cálculo Integral, ou seja, pensar em novas alternativas
metodológicas, que contemplem os aspectos teóricos e formais, mas que também tratem dos
aspectos históricos e evidenciem suas aplicações nas diferentes áreas do conhecimento.
Para Junior (2006) a abordagem de conceitos matemáticos por meio de situações-problema
pode justificar o ensino, servir de motivação, ou contribuir para o fortalecimento de conceitos
ensinados.
[...] a maioria das pessoas sente-se mais motivada ao estudo quando é capaz
de perceber que o conhecimento adquirido será útil para sua vida. Portanto,
acreditamos que partir de um problema para chegar a um conceito matem ático
é muito mais significativo para o aluno. (JUNIOR, 2006, p. 84).
Ferruzzi (2003, p. 38) destaca a importância de aplicar os conhecimentos matemáticos e
a necessidade de avaliar os resultados obtidos:
-
8/20/2019 calculo propriedades
21/66
18
A simples memorização de conceitos matemáticos não garante o reconheci-
mento de uma situação problema e da aplicação dos conceitos necessários para
solucioná-la. É importante desenvolver nos alunos a capacidade de aplicação
dos conhecimentos matemáticos em situações do dia-a-dia, e mais do que isso,
é preciso que os estudantes desenvolvam a capacidade de refletir acerca dos
resultados destas aplicações.
De acordo com Frescki e Pigatto (2009, p. 05), “”é de extrema importância que os alunos,
ao cursarem a disciplina de Cálculo, aprendam não só a resolver expressões ou equações, mas que
compreendam a sua finalidade aplicada à realidade, resolvendo problemas que são de interesse
social”.
Para salientar a importância de apresentar aplicações dos conteúdos do Cálculo, e, por-
tanto, do Cálculo Integral, Ferruzzi (2003, p. 37) elenca:
Uma das indagações feitas pelos alunos, geralmente é sobre a falta de visão da
aplicabilidade dos conteúdos matemáticos estudados, em sua vida acadêmica e
futuramente em sua vida profissional. Geralmente as disciplinas com conteúdo
matemático, entre elas o Cálculo, são tratadas de forma independente das dis-
ciplinas especı́ficas da área, provocando assim, a falta de visão de aplicação
da Matemática em seu curso e possuem a caracteŕıstica da ênfase ser dada
às técnicas de resolução, não levando em conta a elaboração dos conceitos e
ignorando as aplicação em cada área.
De modo geral, o Cálculo Integral é uma ferramenta que proporciona a resolução de
inúmeros problemas do mundo moderno e possui aplicações em muitas áreas do conhecimento,
como na Matemática, na F́ısica, na Qúımica, na Psicologia, nas Engenharias, nas Ciências
Sociais, entre outras.
Então, mostrar a aplicabilidade do Cálculo Integral nos cursos superiores talvez seja um
diferencial que contribua para minimizar as dificuldades no processo de aprendizagem e resgatar
a motivação em aprender conceitos relativos a este tema.
Com este propósito, no caṕıtulo seguinte serão exploradas aplicações do Cálculo Integral
em diversas áreas do conhecimento.
-
8/20/2019 calculo propriedades
22/66
3. Aplicações de Integral nas Diversas
Áreas
Este capı́tulo está voltado às aplicações do Cálculo Integral em algumas áreas do co-
nhecimento. Para tanto, vamos primeiramente apresentar alguns conceitos relativos a integrais
e em sequência resolver algumas aplicações.
3.1 A Integral Indefinida
Segundo afirma Stewart (2009), em virtude da relação dada pelo Teorema Fundamental
do Cálculo entre as funções primitivas e integrais a notação
f (x)dx é tradicionalmente usada
para a primitiva de f e é chamada de integral indefinida. Portanto temos que:
f (x)dx = F (x)
significa que F (x) = f (x).
Segundo Flemming (1992, p. 329) podemos definir a Integral Indefida como: ”uma
função F (x) é chamada uma primitiva da função f (x) em um intervalo I (ou simplesmenteuma primitiva de f (x), se para todo x ∈ I , temos F (x) = f (x)”.
Vejamos algunas aplicações de Integral Indefinida:
-
8/20/2019 calculo propriedades
23/66
20
Economia
Ex 3.1.1 Um produtor descobre que o custo marginal é de 3q 2 − 60q + 400 u.m. por
unidade, quando q unidades do produto são produzidas. O custo total de produzir as primeiras
2 unidades é de R 900,00. Qual é o custo total de produzir as primeiras 5 unidades?
Resolução: O custo marginal é a derivada da função custo total C (q ). Assim temos
C (q ) = 3q 2 − 60q + 400 e portanto C(q) deve ser a antiderivada (integral)dada por:
C (q ) =
C (q )dq =
(3q 2 − 60q + 400)dq = q 3 − 30q 2 + 400q + C , onde C é uma
constante que precisamos encontrar.
Sabendo que para 2 unidades o custo é R 900,00 ou seja, C (2) = 900, podemos encontrar
o valor de C, fazendo
900 = (2)3 − 30(2)2 + 400(2) + C , o que implica C = 212.
Assim, C (q ) = q 3 − 30q 2 + 400q + 212.
Agora podemos descobrir o custo de produção para as primeiras 5 unidades:
C (5) = (5)3 − 30(5)2 + 400(5) + 212 C (5) = 1587, 00
Referência:
HOFFMANN e BRANDLEY (1999) p. 254.
Crescimento Populacional
Ex 3.1.2 Estima-se que daqui a x meses a população de uma certa cidade estará variando
a uma taxa de 2 + 6√
x pessoas por mês. A população atual é de 5 000. Qual será a populção
daqui a 9 meses?
-
8/20/2019 calculo propriedades
24/66
-
8/20/2019 calculo propriedades
25/66
22
S (t) =
dS
dt dt =
(100− 20t)dt = 100t− 10t2 + C , para alguma constante C.
Precisamos descobrir a variável C. Como no instante em que o embarque chega (t = 0) o
custo não existe, então
0 = 100(0)− 10(0)2 + C , o que implica em C = 0 e a função dada por S (t) = 100t− 10t2.
Após 5 meses de armazenamento o custo será
S (5) = 100(5)− 10(5)2 = 250, 00.
Referência:
HOFFMANN E BRANDLEY (1999) p. 254.
Fı́sica
Ex 3.1.4 Após a aplicação dos freios, um carro desacelera a uma taxa constante de 22 pés
por segundo. Se o carro está viajando a 45 milhas por hora (66 pés por segundo) no momento
em que os freios são aplicados, que distância ele percorre antes de parar por completo?
Resolução: Seja s(t) o deslocamento (distância) do carro t segundos após os freios serem
aplicados. Porquanto o carro desacelera a 22 pés por segundo, segue-se que a(t) = −22. Comoa(t) =
dv
dt, então integrando esta equação encontramos:
v(t) = −22dt = −22t + C 1Para calcular C 1 note que v = 66 quando t = 0, de modo que 66 = v(0) = −22(0) + C 1 e
portanto, C 1 = 66. Assim a velocidade no instante t é v(t) = −22t + 66.
Em seguida, para encontrar o deslocamento s(t), vamos usar o fato de que
ds
dt = v(t) = −22t + 66.
-
8/20/2019 calculo propriedades
26/66
-
8/20/2019 calculo propriedades
27/66
24
limmaxxk→0
nk=1
f (x∗k)xk existir
e não depender da escolha das partições ou da escolha dos pontos x∗k nos subintervalos.
Neste caso, denotamos o limite pelo śımbolo
ba
f (x)dx = limmaxxk→0
nk=1
f (x∗k)xk
que é denominado de integral definida de f de a até b. Os números a e b são denominados
limite de integração inferior e limite de integração superior, respectivamente, e f (x) é
denominado integrando.
Para Stewart (2009, p. 345) o significado da definição de integral é:
Para todo número ε > 0 existe um inteiro N tal que | ba
f (x)dx−n
i=1
f (x∗i )x |< ε paratodo inteiro n > N e toda escolha de x∗i em [xi−1, xi].
Um resultado importante da integral definida é o Teorema Fundamental do Cálculo
(TFC).
Flemming (1992, p. 368) lembra que ”o Teorema Fundamental do Cálculo nos permite
relacionar as operações de derivação e integração”. Isso porque conhecendo uma primitiva
de uma função contı́nua f : [a, b] → R, podemos calcular a sua integral definida ba
f (t)dt.
Formalmente, o TFC pode ser definido:
Teorema 1 (Teorema Fundamental do C´ alculo)
Se f for cont́ınua sobre [a, b] e se F é uma primitiva de f neste intervalo, ent˜ ao
ba
f (t)dt = F (b)− F (a).
Vamos ver algumas aplicações da integral definida:
-
8/20/2019 calculo propriedades
28/66
25
Economia
Ex 3.2.1 Os economistas usam uma distribuição acumulada chamada curva de Lorenz para
descrever a distribuição de renda entre as famı́lias em um dado páıs. Tipicamente uma curva
de Lorenz é definida no intervalo [0,1], tem extremidades (0,0) e (1,1) e é cont́ınua, crescente
e côncava para cima. Os pontos sobre essa curva são determinados classificando-se todas as
famı́lias pela renda e então calculando a porcentagem de famı́lias cuja renda é menor ou igual
a uma porcentagem dada da renda total do páıs. Por exemplo, o ponto(a/100, b/100) está
sobre a curva de Lorenz se a% de famı́lias recebe menos do que ou igual a b% da renda total.
A igualdade absoluta da distribição de renda ocorreria se a parte mais baixa a% das faḿılias
recebesse a% da renda e, nesse caso a curva de Lorenz seria a reta y = x. A área entre a curva
de Lorenz e a reta y = x mede quanto a distribuição de renda difere da igualdade absoluta. O
coeficiente de desigualdade é a razão da área entre a curva de Lorenz e a reta y = x para a área
sob y = x
(a) Mostre que o coeficiente de desigualdade é o dobro da área entre a curva de Lorenz
e a reta y = x, isto é, mostre que o coeficiente de desigualdade C d é definido por C d =
2
10
[x− L(x)]dx.
A área entre a curva de Lorenz e a reta y = x é dada por
10
[x− L(x)]dx.
-
8/20/2019 calculo propriedades
29/66
26
A área abaixo da curva é dada por
10
xdx.
Assim, o coeficiente de desigualdade C d será:
C d = 10 [x− L(x)]dx 1
0
xdx
C d =
10
[x− L(x)]dx1
2
C d = 2 1
0
[x
−L(x)]dx
(b) A distribuição de renda para um certo paı́s está representada pela curva de Lorenz
definida pela equação L(x) = 5
12x2 +
7
12x. Qual é a porcentagem da renda total recebida pelas
50% das faḿılias que recebem menos? Encontre o coeficiente de desigualdade.
Usando que L(x) = 5
12x2 +
7
12x e que L(50%) = L(1/2), temos
L(1/2) = 5
12
.1
4
+ 7
12
.1
2
L(1/2) = 19
48 0, 396.
Então o coeficiente de desigualdade C d será
C d = 2
10
[x− L(x)]dx = 2 10
x− ( 5
12x2 +
7
12x)
dx
C d = 2 1
0x−
5
12
x2
− 7
12
x dxC d =
5
36
Referência:
STEWART (2009) p. 374.
-
8/20/2019 calculo propriedades
30/66
27
Ex. 3.2.2 Suponha que daqui a x anos, um plano de investimentos estará gerando lucro a
uma taxa de R1x = 50 + x2 u.m.(unidades monetárias) por ano, enquando um segundo plano
estará gerando lucro a uma taxa de R2x = 200 + 5x u.m. (unidades monetárias) por ano.
(a) Por quantos anos o segundo plano será mais lucrativo que o primeiro?
(b) Calcule o seu lucro ĺıquido excedente se você investir no segundo plano em vez de no
primeiro pelo peŕıodo de tempo do item (a).
(c) Interprete o lucro excedente no item (b) como uma área entre as curvas.
Resolução: Para ajudar a visualização da situação, começamos esboçando as curvas
y = R1(x) e y = R2(x) como mostra a figura:
(a) Como o gráfico indica a taxa R2(x) na qual o segundo plano gera lucro é ini-
cialmente maior que a taxa R1(x) na qual o primeiro plano gera lucro, o segundo plano será
mais lucrativo até que R1(x) = R2(x), isto é, até que
50 + x2 = 200 + 5x
x2 − 5x− 150 = 0
(x− 15)(x + 10) = 0
x = 15 anos (despreze x = −10)
-
8/20/2019 calculo propriedades
31/66
28
(b) Para 0 ≤ x ≤ 15, a taxa na qual o lucro gerado no segundo plano excede o primeiro éde R2(x)−R1(x) u.m. por ano. Portanto, o lucro lı́quido gerado durante o peŕıodo de 15 anospelo segundo plano é dada pela integral definida
150
[R2(x)−R1(x)]dx = 150
[(200 + 5x)− (50 + x2)]dx 150
[R2(x)−R1(x)]dx = 150
[150 + 5x− x2]dx = 1678, 50
(c) Em termos geométricos, a integral definida que fornece o lucro ĺıquido excedente do
item (b) é a área da região sombreada da figura, entre as curvas y = R2(x) e y = R1(x) de
x = 0 at́e x = 15.
Referência:
HOFFMANN E BRANDLEY (1999) p. 282.
Medicina
Ex. 3.2.3 A respiração é ćıclica é um ciclo completo que começa pela inalação e acaba
pela exalação, durante cerca de 5 s. A taxa máxima do fluxo de ar para dentro dos pulmões
é e cerca de 0,5 L/s. Isso explica, em parte, por que a função f (t) = 1
2sen(2π/5) tem sido
frequentemente usada para modelar a taxa de fluxo de ar para dentro dos pulmões. Use esse
modelo para encontrar o volume de ar inalado nos pulmões no instante t.
O volume de ar inalado para dentro dos pulmões num tempo t qualquer é:
V (t) =
t0
f (x)dx =
t0
1
2sen(
2πx
5 )dx (1)
Chamando u = 2πx
5 temos du =
2π
5 dx. Substituindo em (1), temos:
V (t) = 1
2
t0
senu. 5
2πdu
V (t) =
1
2 .
5
2π t0 senudu
-
8/20/2019 calculo propriedades
32/66
29
V (t) = 5
4π.(−cosu)|t0
V (t) = −5
4π cos
2πt
5
+ 1 litros
Referência:
STEWART (2009) p. 382.
Ex. 3.2.4 O método da diluição do contraste é usado para medir a capacidade card́ıaca com
6 mg de contraste. As concentrações de contraste, em mg/L, são modeladas por c(t) = 20te−0,6t,
0
≤t
≤10, na qual t é medido em segundos. Calcule a capacidade cardı́aca.
A capacidade cardı́aca é definida como F = A
I , sendo A o contraste e I =
t0
C (t)dt.
Calculando a integral
I =
t0
C (t)dt = 20
100
te−0,6tdt
Chamando u = t, du = dt, dv = e−0,6t e v = −e−0,6t
0, 6 , temos
I = 20
−t0, 6
e−0,6t + 1
0, 6
10
e−0,6tdt
I = 20
−t0, 6
e−0,6t − 10, 36
e−0,6t|100
I 20[(−0, 04− 6, 88.10−3)− (0− 2, 77)] 54, 46
Logo, a capacidade card́ıaca é F = A
I
= 6
54, 46 0, 11 L/seg ou 6,6 L/min
Referência:
STEWART (2009) p. 524.
Administração
-
8/20/2019 calculo propriedades
33/66
30
Ex. 3.2.5 A Alabama Instruments Company preparou uma linha de montagem para
fabricar uma nova calculadora. A taxa de produção dessas calculadoras após semanas é dx
dy =
5000
1− 100
(t + 10)2
calculadoras por semana. (Observe que a produção tende a 5 000 por
semana à medida que passa o tempo, mas a produção inicial é baixa, pois os trabalhadoresnão estão familiarizados com as novas técnicas.) Ache o número de calculadoras produzidas do
começo da terceira semana até o fim da quarta semana.
Resolução: O número de calculadoras pode ser encotrado resolvendo:
x(4)− x(2) = 42
5000
1− 100
(t + 10)2
dt
x(4)− x(2) = 5000 42
(1− 100(t + 10)−2)dt
x(4)− x(2) = 5000(t + 100(t + 10)−1)42
x(4)− x(2) = 4048 calculadoras.
Referência:
STEWART (2009) p. 383.
Ex. 3.2.6 Uma empresa possui uma máquina que se deprecia uma taxa cont́ınua f = f (t),
onde t é o tempo medido em meses desde seu último recodicionamento. Como cada vez em
que a máquina é recondicionada incorre-se em um custo fixo A, a empresa deseja determinar o
tempo ótimo T (em meses) entre os recondicionamentos.
(a) Explique porque 1
0
f (s)ds representa a perda do valor da máquina sobre o perı́odo
de tempo T desde o último recondicionamento.
Resolução: Seja F (t) =
t0
f (s)ds. Do TFC temos, F (t) = f (t) = taxa de depreciação.
Assim, F (t) representa a perda do valor no intervalo [0, t].
(b) Seja C = C (t) dado por C (t) = 1
t[A +
10
f (s)ds] o que representa C e por que a
empresa que minimizar C ?
-
8/20/2019 calculo propriedades
34/66
31
Resolução: Temos que
C (t) = 1
t
A +
t0
f (s)ds
= A +
F (t)
t , que representa a média de recondicionamentos
por unidade de tempo durante o intervalo [0, t], assumindo que só há uma revisão naquele
peŕıodo de tempo. A empresa deseja minimizar a média de recondicionamentos.
(c) Mostre que C em um valor mı́nimo nos números t=T onde C (T ) = f (T ).
Resolução: Usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da derivada do produto,
temos:
C (t) = 1
t2 A + t
0
f (s)ds = 1
tf (t)
C (t) = 1
t (f (t)− f (0)) = 1
tf (t)
Vamos encontrar os pontos cŕıticos, fazendo C (t) = 0, ou seja
tf (t) = A +
t0
f (s)ds
f (t) = 1
t A + t
0
f (s)ds = C (t).Logo, C tem um valor mı́nimo em t = T , onde C (T ) = f (T ).
Referência:
STEWART (2009) p. 366.
Fı́sica
Ex. 3.2.7 Uma part́ıcula move-se ao longo de um eixo coordenado de tal forma que sua
velocidade no instante t é v(t) = t2 − 2t m/s.
(a) Encontre o deslocamento da part́ıcula no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 3.
Resolução: Calculando o deslocamento
-
8/20/2019 calculo propriedades
35/66
32
d =
30
v(t)dt
d =
30
(t2 − 2t)dt
d =
t3
3 − t2
3
0
= 0
Assim, em t = 3, a part́ıcula está na mesma posição que em t = 0.
(b) Encontre a distância total percorrida pela part́ıcula no intervalo 0 ≤ t ≤ 3.
Resolução: A velocidade pode ser escrita como v(t) = t2 − 2t = t(t− 2t), logo v(t) ≤ 0se 0
≤t
≤2 se 2
≤t
≤3. Desse modo, segue que a distância total percorrida é
d =
30
|v(t)|dt
d =
20
−v(t)dt + 32
v(t)dt
d =
20
−(t2 − 2t)dt + 32
(t2 − 2t)dt
d = −t3
3 − t22
0+t3
3 − t23
2
d = 4
3 +
4
3 =
8
3 m.
Referência:
ANTON (2007) p. 411.
Astronomia
Ex. 3.2.8 O peso de um astronauta (ou, mais precisamente, seu peso terrestre) é a força
exercida sobre ele pela gravidade da Terra. À medida que o astronauta se move para cima no
espaço, a atração gravitacional da Terra decresce e, portanto, o mesmo acontece com raio de
4.000 milhas (cerca de 6.400 km), então, um astonauta que pesa 150 libras (cerca de 68 kg) na
-
8/20/2019 calculo propriedades
36/66
33
Terra terá um peso de
w(x) = 2.4000.000.000
x2 lb, x ≥ 4000.
A uma distância de x milhas do centro da Terra. Use essa fórmula para determinar o
trabalho em pés-libras necessário para elevar o astronauta a um ponto que está a 800 milhas
acima da superf́ıcie da Terra.
Como a Terra tem um raio de 4 000 milhas, o astronauta será elevado para um ponto
a 4 800 milhas do centro da Terra. Como 1 milha = a 5 280 pés, o trabalho necessário para
elevá-lo é:
W = 48004000
2400000000x2
dx
W =
−2400000000x
48004000
W = −500000 + 600000
W = 100000 milhas.lb
W = (100000) milhas.lb x 5280 pés/milhas
W = 5, 28 x 108 ṕes.lb
Referência:
ANTON (2007) p. 485.
Engenharia
Ex. 3.2.9 Água está sendo bombeada de um tanque a uma taxa de 5−5e−0,12t litros/minuto,onde t está em minutos a partir do instante em que a bomba foi ligada. Se o tanque continha
1000 litros de água quando a bomba foi ligada, quanta água resta no tanque uma hora depois?
-
8/20/2019 calculo propriedades
37/66
34
Resolução: Seja V (t) o volume de água que é bombeada para fora do tanque. Seja
V (0) = 1000l o volume inicial, ou seja, o volume total do tanque antes de iniciar o bombeamento.
Vamos calcular o volume de água que saiu do tanque em 1 hora, ou seja, 60 minutos:
V (60) =
60
0
(5− 5e−0,12t)dt
V (60) =
5t +
5
0, 12e−0,12t
600
V (60) (300 + 0, 031)− (0 + 41, 67)
V (60) 258, 36 litros
Assim, restam 741,63 litros de água aproximadamente no tanque, já que V (0)− V (60) =1000− 258, 36 = 741, 63
Referência:
HALLET (2004) p. 213.
Economia
Ex.3.2.10 Encontre os valores presente e futuro de um fluxo de renda constante de
1000,00 durante um peŕıodo de 20 anos, supondo que a taxa de juros de 10% é composta
continuamente.
Resolução: O valor presente P (t) é encontrado utilizando a fórmula P (t) = ba
A(t)eidt,
onde A(t) é o valor inicial e i a taxa de juros.
O valor presente será
P (t) =
200
1000e−0,1tdt
P (t) = 1000−e−0,1t0, 1
20
0
-
8/20/2019 calculo propriedades
38/66
-
8/20/2019 calculo propriedades
39/66
36
3.3 A Integral Como Variação Total
Segundo Stewart (2009), em decorrência do Teorema Fundamental do Cálculo, podemos
ter um teorema que representa a taxa de variação de y = F (x) em relação a x e F (b)−
F (a)
que é a variação em y quando x varia de a até b.
Teorema 2 (Teorema da Variaç˜ ao Total - TVT)
A integral de uma taxa de variaç˜ ao é a variaç˜ ao total:
ba
f (x)dx = F (b)− F (a)
Vejamos algumas aplicações:
Biologia
Ex 3.3.1 Uma colmeia com uma população inicial de 100 abelhas cresce a uma taxa de
n’(t) abelhas por semana. O que 100 +
15
0
n(t)dt representa?
Resolução:
150
ntdt = n(15)− n(0).
Como n(0) é a população inicial de abelhas, então n(0) = 100.
Assim, P (t) =
150
ntdt = n(15) − 100 representa o aumento da população de abelhas
nas 15 primeiras semanas. Então,
P (t) = 100 +
150
ntdt = n(15) representa a população total de abelhas depois de 15
semanas.
Referência:
STEWART (2009) p. 373.
-
8/20/2019 calculo propriedades
40/66
37
Ex. 3.3.2 Uma população de bactérias tem inicialmente 400 bactérias e cresce a uma taxa
de r(t) = (450268)e1,1256t bactérias por hora. Quantas bactérias existirão após 3 horas?
Resolução: A fórmula geral de r(t) é r(t) = aebt. Neste caso, a = 450268 e b = 1, 1256
e n(t) representa a população de bactérias após t horas. Como r(t) = n(t), então
n(t) =
30
r(t)dt = n(3)− n(0) o que expressa a população total após 3 horas.
Sabendo que a população inicial é de 400, isto é, n(0) = 400, temos
n(3) = 400 +
30
450268e1,1256tdt
n(3) = 400 +450268
1, 1256 e1,1256t
30
n(3) 11.311.877 bactérias.
Referência:
STEWART (2009) p. 382.
Engenharia
Ex. 3.3.3 A água escoa pelo fundo de um tanque de armazenamento a uma taxa de
r(t) = 200− 4t litros por minutos, onde 0 ≤ t ≤ 50. Encontre a quantidade de água que escoado taque durante os primeiros 10 minutos.
Resolução: Como r(t) é a taxa de escoamento da água, usando o TVT, temos com o
tempo t variando de 0 a 10:
Q(t) =
100
r(t)dt
Q(t) =
100
(200− 4t)dt
Q(t) = (200t−
2t2)100
-
8/20/2019 calculo propriedades
41/66
38
Q(t) = 1800 litros de água escoados nos primeiros 10 minutos.
Referência:
STEWART (2009) p. 374.
Economia
Ex. 3.3.4 A função custo marginal C (x) foi definida como a derivada da função custo.
Se o custo marginal para produzir x metros de um tecido é C (x) = 5 − 0, 008x + 0, 000009x2
(medido em dólares por metro) e o custo fixo é C (0) = 20000, 00, use o Teorema da Variação
Total para achar o custo de produzir as primeiras 2 mil unidades.
Resolução: C (2000)− C (0) = 20000
C (x)dx, sendo C (x) a função custo.
Sendo o custo fixo C (0) = 20000, 00, então
C (2000) = 20000 + 2000
0
(5− 0, 008x + 0, 000009x2)dx
C (2000) = 20000 + (5x− 0, 004x2 + 0, 000003x3)20000
C (2000) = 38000 unidades monetárias.
Referência:
STEWART (2009) p. 523.
Ex. 3.3.5 Sendo a função marginal R(x) como a derivada da função rendimento R(x),
onde x é o número de unidades vendidas. O que
50001000
R(x)dx representa?
Resolução: Temos que
50001000
R(x)dx = R(5000)−R(1000), que reprensenta o aumentono rendimento quando a venda varia de 1000 a 5000 unidades.
-
8/20/2019 calculo propriedades
42/66
39
Referência:
STEWART (2009)p.373
Biologia
Ex 3.3.6 Um verão úmido está causando uma explosão da população de mosquitos em
uma cidade tuŕıstica. O número de mosquitos aumenta a uma taxa estimada de 2200 + 10e0,8t
por semana (com t medido em semanas). Em quanto aumenta a população de mosquitos entre
a quinta e a nona semana do verão?
Resolução: n(9)− n(5) = 95
2200 + 10e0,8t
dt
Seja n(t) o número de mosquitos na semana t. Assim como queremos encontrar o aumento
da população entre t = 5 e t = 9, temos:
n(9)− n(5) =
2200t + 10
0, 8e0,8t
95
n(9)− n(5) =
2200.9 + 10
0, 8e0,8.9
−
2200.5 + 10
0, 8e0,8.5
n(9)− n(5) 24860 mosquitos.
Referência:
STEWART (2009) p. 524.
3.4 A Integral Via Regra do Ponto Médio
Sterwart (2009) afirma que frequentemente escolhemos um espaço amostral x∗i , como
extremidade direita do i-ésimo intervalo, porque isso é conveniente para o cálculo do limite.
Mas se o propósito for encontrar uma aproximação para uma integral, se torna conveniente
-
8/20/2019 calculo propriedades
43/66
-
8/20/2019 calculo propriedades
44/66
41
E i = 2 + 10 + 24 + 36 + 46 + 54 = 172 toneladas.
As informações contidas na tabela podem ser representada graficamente por
Figura 8: Leituras das taxas de erupção.Fonte: Elaborado pela autora
(b) Use a regra do ponto médio para estimar Q(6).
Resolução: Usando a Regra do Ponto Médio e n = 3, temos:
t = 6− 03
= 2
Q(6) =
60
r(t)dt
Q(6) 2.(r(1) + r(3) + r(5))
Q(6) = 2.(10 + 36 + 54)
Q(6) = 200 toneladas.
Referência:
STEWART (2009) p. 374.
-
8/20/2019 calculo propriedades
45/66
42
Medicina
Ex. 3.4.2 Uma tomografia computadorizada produz vistas e secções trasversais igualmente
espaçadas de um órgão humano, as quais fornecem informções sobre esse órgão que de outra
maneira só seriam obtidas por cirurgia. Suponha que uma tomografia computadorizada de
um f́ıgado humano moste secções transversais espaçadas por 1,5. O f́ıgado tem 15 cm de
comprimento e as áreas das secções tansversais, em cent́ımetros quadrados, são 0, 18, 58, 79,
94, 106, 117, 128, 63, 39 e 0. Use a Regra do Ponto Médio para estimar o volume do tronco.
Resolução: Usando a regra do ponto médio, sabendo que há 10 subintervalos de tamanho
1,5 cm, vamos usar n2
= 102
= 5 subpartições. Assim, o volume do f́ıgado pode ser aproximado
por
V =
150
A(x)dx, onde A(x) é a área do f́ıgado.
V 3(A(1, 5) + A(4, 5) + A(7, 5) + A(10, 5) + A(13, 5))
V = 3(18 + 79 + 106 + 128 + 39)
V = 1110cm3
Referência:
STEWART (2009) p. 406.
Engenharia
Ex. 3.4.3 É mostrada a seção transversal da asa de uma avião. As medidas da espessura
da asa a cada 20 cent́ımetros são 5,8, 20,3, 26,7, 29,0, 27,6, 27,3, 23,8, 20,5, 15,1, 8,7 e 2,8. Use
a Regra do Ponto Médio para estimar a área da seção trasversal da asa.
Resolução: Temos 10 intervalos de 20 cm cada. Logo, tomando n = 5:
-
8/20/2019 calculo propriedades
46/66
43
s = 10.20− 05
= 40 cm, com s a variação do espaço.
Assim,
2000
wds 40.(5, 8 + 26, 7 + 27, 3 + 20, 5 + 8, 7) 2000
wds 3660 cm2
Referência:
STEWART (2009) p. 396.
Ex. 3.4.4 Há um fluxo de água para dentro e para fora de um tanque de armazenamento.
A seguir, temos um gráfico que mostra a taxa de troca r(t) do volume de água no tanque, em
litros por dia. Se a quantidade de água no tanque no instante de tempo t = 0 é 25 000 litros,
use a Regra do Ponto Médio para estimar a quantidade de água depois de 4 dias.
Resolução: A quantidade de água após 4 dias é:
Q(t) = 25000 +
40
r(t)dt
Q(t) 25000 + M 4, onde M 4 = média de água por dia.
Assim, dividindo o intervalo [0, 4] em 4 partições, temos:
Q(t) = 25000 + 40
r(t)dt
-
8/20/2019 calculo propriedades
47/66
44
Q(t) 25000 + 4 − 04
(r(0, 5) + r(1, 5) + r(2, 5) + r(3, 5))
Q(t) 25000 + [1500 + 1700 + 750 − 650]
Q(t) 28320 litros
Portanto, a quantidade de água após o quarto dia será de 28 320 litros aproximadamente.
Referência:
STEWART (2009) p. 374.
Ex. 3.4.5 As larguras (em metros) de uma piscina com o formato de rim foram medidas
a intervalos de 2 metros, como indicado na figura. Use a Regra do Ponto Médio para estimar
a área da piscina.
Vamos usar uma partição n = 4. Como as medidas são indicadas de 2 em 2 metros, então
a variação total x = b− an
= 8.2− 0
4 = 4, sendo x a distância.
Assim,
A =
16
0
wd(x)
-
8/20/2019 calculo propriedades
48/66
45
A = 4(6, 2 + 6, 8 + 5, 0 + 4, 8)
A = 4(22, 8)
A = 91, 2m2
Referência:
STEWART (2009) p. 396.
3.5 A Integral Imprópria
Hallet et al. (2004, p. 271) apresenta a integral imprópria da seguinte maneira:
Definiç˜ ao:
i) Suponha que f (x) é positiva para x ≥ a.
Se limb→∞
ba
f (x)dx é um número finito, dizemos que
∞
a
f (x)dx converge e definimos
∞
a
f (x)dx = limb→∞
ba
f (x)dx.
Caso contrário, dizemos que
∞
a
f (x)dx diverge.
-
8/20/2019 calculo propriedades
49/66
46
Definimos
a−∞
f (x)dx de maneira análoga.
Vejamos as aplicações:
Psicologia
Ex. 3.5.1 Em um experimento psicológico, descobre-se que a proporção de participantes
que exigem mais do que t minutos para terminar determinada tarefa é dada por
∞
t
0, 07e−0,07udu.
(a) Encontre a proporção de participantes que precisa de mais de 5 minutos para terminar
a tarefa.
Resolução: vamos considerar P (u) = porção de participantes
P (u) =
∞
t
0, 07e−0,07udu
P (u) = limb→+∞ bt 0, 07e
−0,07u
du
P (u) = limb→+∞
(e−0,07u)b5
P (u) = limb→+∞
e−0,07b + e−0,07.5
P (u) 0, 70 70% dos pacientes precisam de mais de 5 minutos para realizar a tarefa.
Referência:
HOFFMANN E BRANDLEY (1999) p. 329.
Quı́mica
Ex. 3.5.2 Uma substância radioativa decai exponencialmente: a massa no tempo t é
-
8/20/2019 calculo propriedades
50/66
47
m(t) = m(0)ekt, onde m(0) é a massa inicial e k, uma constante negativa. A vida média M de
um átomo na substância é
M = k
∞
0
tektdt.
Para o isótopo radiativo de carbono, C 14, usado para a datação, o valor de k é −0, 000121.Calcule a vida média de um átomo de C 14.
Resolução: Vamos calcular a integral I =
∞
o
tektdt. Usando o método de integração
por partes, chamando u = t e dv = ektdt, temos
I = limb→+∞
b
o
tektdt
I = limb→+∞
t.ekt
k
b0
− 1k
b0
ektdt
I = limb→+∞
t
kekt − 1
k2ektb
0
I = limb→+∞
b
kekb − 1
k2
−
0 + 1
k2e0
I = limb→+∞
b
k ekb − 1
k2ekb − 1
k2 +
I = 1
k2, usando L’Hospital e considerando k
-
8/20/2019 calculo propriedades
51/66
48
Resolução: Por conveniência, vamos supor que o ćırculo esteja centado na origem; nesse
caso, sua equação será x2 + y2 = r2. Encontraremos o comprimento de arco da parte do ćırculo
que está no primeiro quadrante e, então, vamos multiplicá-lo por 4 para obter a circunfer̂encia
total. Como a equação do semicı́rculo superior é y =√
r2
−x2, temos, a patir da fórmula, que
a circunferência C é
C = 4
r0
1 + (dy/dx)2dx
C = 4
r0
1 +
x√ r2 − x2
2dx
C = 4r r
0
dx
√ r2
− x2
Essa integral é imprópria por causa da descontinuidade infinita em x = r, de modo que
para calcularmos escrevemos:
C = limk→r−
k0
√ r2 − x2dx
C = 4r limk→r−
arcsen
xr
k0
C = 4r limk→r−
arcsen
kr
− arcsen0
C = 4r[arcsen1− arcsen0]
C = 4rπ
2 − 0
= 2πr.
Referência:
ANTON (2007) p. 575.
Medicina
Ex. 3.5.4 Um paciente de um hospital recebe 5 unidades intravenosas de uma certa droga
por hora. A droga é eliminada exponencialmente, de modo que que a fração que permanece
-
8/20/2019 calculo propriedades
52/66
49
no corpo do paciente por t horas é f (t) = e−t10 . Se o tratamento continua indefinidamente,
aproximandamente quantas unidades da droga estarão no corpo do paciente a longo prazo?
Resolução: N (t) é o número de unidades da droga que permanece no corpo do paciente
e r(t) = 5 é a taxa da droga injetada no paciente por hora. Temos então
N (t) =
+∞0
5e−t10 dt
N (t) = limb→+∞
5
b0
e−t10 dt
N (t) = limb→+∞
−5.10e−t10
b0
N (t) = limb→+∞
−50(e−b10 − 1)
N (t) = 50 unidades da droga.
Referência:
HOFFMANN E BRANDLEY (1999) p. 29.
Economia
Ex. 3.5.5 Estima-se que, daqui a t anos, uma determinada usina nuclear estará produzindo
rejeito radioativo a uma taxa de f (t) = 400t libras por ano. O rejeito decai exponencialmente
a uma taxa de 2% ao ano. O que acontecerá com o estoque radioativo da usina a longo prazo?
Resolução: Para encontrar a quantidade de rejeito radioatvo presente após N anos,
divida o intervalo de N anos em n subintervalos iguais de comprimento t e faça t j denotaro ińıcio do j-ésimo subintervalo. Então, o montante de reśıduo produzido durante o j-ésimo
subintervalo 400t jt.
Como o rejeito decai exponencialmente a uma taxa de 2% ao ano, e como há (N − t j)anos entre os instantes t = t j e t = N , seque-se que o montante de resı́duos produzidos durante
-
8/20/2019 calculo propriedades
53/66
50
o j-ésimo subintervalo ainda presente em t = N é 400t je−0,02(N −t)t.
Assim, o montante de reśıduos presente em N anos será
limn→∞
n
j=1
400t je−0,02(N −tj)
t =
N
0
400te−0,02(N −t)dt
limn→∞
n j=1
400t je−0,02(N −tj)t = 400e−0,02N
N 0
te0,02tdt
O montante de rejeito radioativo presente a longo prazo é o limite desta expressão quando
N tende ao infinito. Isto é:
limn→∞
n
j=1
400t je−0,02(N −tj)t = lim
N →∞400e−0,02N
N
0
te0,02tdt
limn→∞
n j=1
400t je−0,02(N −tj)t = lim
N →∞400e−0,02N (50te0,02t − 2500e0,02t)|N 0
limn→∞
n j=1
400t je−0,02(N −tj)t = lim
N →∞400e−0,02N (50Ne0,02N − 2500e0,02N + 2500)
limn→∞
n
j=1 400t je−0,02(N −tj)t = lim
N →∞400e−0,02N (50N − 2500 + 2500e−0,02N ) = ∞
Isto é, a longo prazo a acumulação de rejeito radioativo da usina crescerá indefinidamente.
Referência:
HOFFMANN E BRANDLEY (1999) p. 327.
Economia
Ex. 3.5.6 Uma pessoa deseja fazer uma doação para uma faculdade partiular e fará uma
retirada de 7 000 por ano, perpetuamente, de forma a sustentar a operação do seu centro
de computação. Supondo que a taxa de juros anual permaneceŕa fixa em 10% caitalizados
continuamente, quanto deve a pessoa doar a faculdade? Isto é valor presente da doação?
-
8/20/2019 calculo propriedades
54/66
51
Resolução: Para encontrar o valor presente de uma doação que gera 7 000 por ano
durante N anos, divida o intervalo de N anos em n subintervalos iguais de comprimento t edenote por t j o ińıcio do j-ésimo subintervalo. Então
Montante gerado durante o j-ésimo subinervalo 7000t. Valor presente do motantegerado durante j-ésimo subintervalo 7000e−0,1tjt.
Assim, o valor presente da doação no n-ésimo ano será dado por
limn→∞
n j=1
7000e−0,1tjt = N 0
7000e−0,1tjdt.
Para encontrar o valor presente da doação total, tome o limite desta integral quando N
tende ao infinito. Isto é,
V (t) = limN →∞
N 0
7000e−0,1tdt
V (t) = limN →∞
(−70000e−0,1t)N 0
V (t) = limN →∞
(−70000e−0,1N − 1)
V (t) = 70000 dólares.
Referência:
HOFFMANN E BRANDLEY (1999) p. 326.
Fı́sica
Ex. 3.5.7 Calcular o trabalho necessário para lançar um satélite de 1000 kg para fora do
campo gravitacional. Sabendo que a Lei de Newton da Gravitação Universal afirma que dois
corpos com massas m1 e m2 atraem um ao outro com uma força de F = Gm1.m2
r2 m1 é a massa
da Terra (m1 = 5, 98x1024kg), m2 é a massa do satélite (m2 = 1000kg), R é o raio da Terra
(R = 6, 37.106m) e G a constante gravitacional (G = 6, 67.10−11N.m2/kg).
-
8/20/2019 calculo propriedades
55/66
52
Resolução: O trabalho é dado por W =
ba
F (t)dt.
Neste caso, podemos definir o trabalho W por:
W = ∞R
Gm1m2r2 dr
W = limt→∞
∞
R
Gm1m2r2
dr
W = limt→∞
Gm1m2v
−1r
tR
=
W = limt→∞
Gm1m2
−1t
+ 1
R
W = Gm1m2
R .
Substituindo os dados do problema temos
W = 6, 67.10−11.5, 98.1024.1000
6, 37.106
W 6, 26.1010J .
Referência:
Stewart (2009) p.488, ex 64
3.6 A Integral Como Função Densidade da Probabilidade
Supondo que desejamos saber como uma certa caracteŕıstica x, que pode ser altura, peso
ou idade, está distribuida pela população. Para analisar a caracteŕıstica x, Hallet(2004) afirma
que podemos utizar a função densidade, a qual pode ser definida da seguinte forma:
Definiç˜ ao A função p(x) é uma função densidade se a fração da população para a qual x
está entre a e b é igual a área sob o gráfico de p entre a e b, ou seja,
ba
p(x)dx.
A função densidade possui área máxima quando atinge o valor unitário, isto é,
-
8/20/2019 calculo propriedades
56/66
53
+∞−∞
p(x)dx = 1 e p(x) ≥ 0 para todo x.
Essa função deve ser não-segativa, pois sua integral sempre resulta em uma fração da
população. Ela também é frequentemente usada para a aproximação de fórmulas.
Já a função densidade da probabilidade, como encontramos em Stewart(2009), surge com
a análise de comportamento aleatório. Afinal podemos escolher aleatoriamente uma pessoa
entre um grupo de pessoas, para um exame, por exemplo. Essa pessoa seria o que vamos
chamar de variável aleatória cont́ınua, uma vez que os valores que estarão representados por
essa pessoa fazem parte de um conjunto de números reais, embora possam ser medidos ou
registrados apenas como um inteiro. Neste caso, podemos considerar que x é o número que
pegamos dentre um intervalo [a, b], então:
P (a ≤ X ≤ b)
Cada variável x aleatória cont́ınua x, tem uma função densidade de probabilidade
f . Sendo assim, podemos encontrar a probabilidade de x estar entre a e b é encontrada pela
integração de f de a até b:
P (a ≤ x ≤ b) =
b
a
f (x)dx.
Vejamos algumas aplicações:
Economia
Ex. 3.6.1 Suponha que o tempo médio de espera para um cliente ser atendido pelo
funcionário da firma para a qual ele está ligando seja 5 minutos.
(a) Calcule a probabilidadae de a ligação ser atendida no primeiro minuto.
Resolução: Temos que a média da distribuição exponencial é µ = 5 min, e assim,
sabemos que a função densidade de probabilidade é:
-
8/20/2019 calculo propriedades
57/66
54
f (x) =
0, se t ≤ 00, 2e−t/5, se t ≤ 0
Então a probabilidadae de a ligação ser atendida no primeiro minuto é
P (0 ≤ T ≤ 1) =
1
0
f (t)dt
P (0 ≤ T ≤ 1) = 10
0, 2e−t5 dt = 0, 2(−5)
e−t5
10
P (0 ≤ T ≤ 1) = 1 − e−t5 0, 1813
Assim, cerca de 18% das ligação dos clientes são atendidas durantes o primeiro minutos.
(b) Calcule a probabilidade do consumidor esperar mais que cinco minutos para ser atendido.
Resolução: A probabilidade de o consumidor esperar mais ue cinco minutos é
P (T > 5) =
∞
5
f (t)dt =
∞
5
0, 2e−t5 dt
P (T > 5) = limx→∞
x5
0, 2e−t5 dt
P (T > 5) = limx→∞(e
−1
− e−x5
)
P (T > 5) = 1
e
P (T > 5) 0, 368.
Cerca de 37% dos consumidor esperam mais que cinco minutos antes de terem sua liga ção
atendida.
Referência:
STEWART (2009) p. 528.
Ex. 3.6.2 (a) O rótulo de um tipo de lâmpada indica que ela tem uma vida útil média
de 1 000 horas. É razoável modelar a probabilidade de falha dessas lâmpada por uma função
densidade exponencial com média µ = 1000. Use esse modelo para encontrar a probabilidade
-
8/20/2019 calculo propriedades
58/66
55
de uma lâmpada:
(i) queimar durante as primeiras 800 horas.
(ii) funcionar por mais de 800 horas.
(b) Qual a mediana da durabilidade dessas lâmpadas?
Resolução: (a) A função densidade de probabilidadae é:
f (t) =
t0
1
u.e
−tu dt, com u a média.
Assim, resolvendo o primeiro item, temos:
i) P (0 ≤ x ≤ 200) = 2000
1
1000e −t1000 dt
P (0 ≤ x ≤ 200) =−e −t1000
2000
P (0 ≤ x ≤ 200) = e −15 + 1
P (0 ≤ x ≤ 200) 0, 181
ou seja, a probabilidade de queimar durante as primeiras 200 horas é de 18,10%.
ii) P (x > 800) =
∞
800
1
1000e −t1000 dt
P (x > 800) = limb→+∞
∞
800
1
1000e −t1000 dt
P (x > 800) = limb→+∞
−e −t1000
b800
P (x > 800) = −e −b
1000 + e−800
1000
P (x > 800) 0, 449isto é, a probabilidade de queimar após 800 horas é de 44,9%.
Referência:
STEWART (2009) p. 531.
-
8/20/2019 calculo propriedades
59/66
56
3.7 A Integral Definida Como Média
Para Hoffmann e Brandley (1999), existem situações práticas onde nos interessa saber o
valor médio de uma função cont́ınua em um intervalo.
Hallet et al.(2004), por sua vez, destaca que o cálculo da média de n números pode ser
efetuado somando-se os números e dividindo esta soma por n. O autor também questiona a
possibilidade de encontrar o valor médio de uma função que varia continuamente.
Assim, Hallet et al.(2004, p. 200) apresenta a seguinte integral como Valor Médio de f
de a até b.
Valor médio de f de a até b = 1
b− a ba
f (x)dx.
O Valor Médio da função f também é conhecido como Teorema do Valor Médio para
Integrais.
Vejamos algumas aplicações:
-
8/20/2019 calculo propriedades
60/66
57
Economia
Ex. 3.7.1 Suponha que C(t) representa o custo diário para refrigerar sua casa, medido
em reais por dia, onde t é o tempo meddo em dias e t = 0 corresponde a 1◦ de janeiro de 2001.Interprete
900
C (t)dt e 1
90− 0 900
C (t)dt.
Resolução: As unidades para a integral
900
C (t)dt são (reais/dia) x (dias) = reais. A
integral representa o custo total, em reais, para refrigerar a sua casa, durante os 90 primeiros
dias de 2001, isto é, durante os meses de janeiro, fevereiro e março. A segunda expressão é
medida em (1/dias)(reais), ou reais por dia, as mesmas unidades de C(t). Ela representa o
custo médio por dia para refrigerar sua casa durante os 90 primeiros dias de 2001.
Referência:
HALLET (2004) p. 200.
Ex. 3.7.2 Como atacadista, a Tracey Burr Distribuidores (TBD) recebe um carregamento
de 1 200 caixas de barras de choolate a cada 30 dias. A TBD vende o chocolate para varejistas
a uma taxa fixa, e t dias depois que um carregamento chega, seu estoque de caixas dispońıveis
é I (t) = 1200− 40t, 0 ≤ t ≤ 30. Qual o estoque diário médio da TBD para 30 dias? Qual seráo custo diário de estocagem se o custo de estocagem por caixa é de 0,03 por dia?
Resolução: O estoque diário médio é encontrado resolvendo a integral:
E (t) = 1T
t0
I (t)dt
E (t) = 1
30
300
(1200− 40t)dt
E (t) = 1
30
1200t− 20t230
0
E (t) = 1
30(36000− 18000) = 600 barras de chocolate
-
8/20/2019 calculo propriedades
61/66
58
O custo diário é dado por
C (t) = E (t).0, 03
C (t) = 600.0, 03
C (t) = 18 dólares por dia.
Referência:
THOMAS (2002) p. 392.
Engenharia
Ex. 3.7.3 Uma engenharia de tráfego monitora o trânsito durante uma hora do horário
de pico da tarde. A partir de seus dados, ela estima que, entre as 4 horas e 30 minutos e às
5 horas e 30 minutos a tarde, a taxa R(t) segundo a qual os carros entram em uma certa via
expressa é dada pela fórmula R(t) = 100(1 − 0, 0001t2) carros por minuto, onde t é o tempo(em minutos) desde as 4 horas e 30 minutos. Encontre a taxa média, em carros por minuto,
segundo a qual os carros entram na via expressa entre as 4 horas e 30 minutos e às 5 horas da
tarde.
Seja R(t) a taxa dada por R(t) = 100(1 − 0, 0001t2). Usando o teorema do valor médiopara integrais, temos:
N (t) = 1
b− a b
a R(t)dt, com N(t) a taxa média de carros por minuto.
N (t) = 1
30− 0 300
100(1− 0, 0001t2)dt
N (t) = 1
30.100
t− 0, 0001t
3
3
300
N (t) = 100
30 (30− 0, 9)
-
8/20/2019 calculo propriedades
62/66
59
N (t) = 97 carros por minutos.
Referência:
ANTON (2007) p. 480.
Ex. 3.7.4 Por várias semanas, o departamento de estradas de rodagem vem regis-
trando a velocidadedo tráfego em uma estrada a partir de um certo ponto. os dados sug-
erem que, entre as 13h e 18h de um fim de semana normal, a velocidade do tr áfego no ponto é
de aproximadamente S (t) = t3− 10, 5t2 + 30t + 20 milhas por hora, onde t é o número de horasapós o meio-dia. Calcule a velocidade média do tráfego entre 13h e as 18h.
Resolução: A meta é encontrar o valor médio de S(t) no intervalo 1 ≤ t ≤ 6. Eis entãoa velocidade média
V m = 1
6− 1 61
(t3 − 10, 5t2 + 30t + 20)dt
V m = 1
5 1
4t4 − 10, 5
3 t3 + 15t2 + 20t
6
1
V m = 1
5(228− 31, 75)
V m = 39, 25 milhas por hora
Referência:
HOFFMANN E BRANDLEY (1999) p. 318.
Ex. 3.7.5 Após t meses no trabalho, um empregado do correio pode classificar Q(t) =
700 − 400e−0,5t cartas por hora. Qual a taxa média na qual o funcionário classifica as cartasdurante os primeiros 3 meses de trabalho?
C (2160) = 1
b− a ba
(700− 400e−0,5t)dt
-
8/20/2019 calculo propriedades
63/66
-
8/20/2019 calculo propriedades
64/66
61
Referência:
THOMAS (2002) p. 394.
(c) Função de Fresnel.
É assim conhecida em homenagem ao fı́sico francês Augustin Fresnel (178-1827), famoso
por seu estudo em óptica, como afirma Stewart (2009). Essa função apareceu primeiramente na
teoria de difração das ondas de luz de Fresnel. Ela também tem sido aplicada no planjamento
de autoestradas e é definida por:
S (x) = x0
senπt2
2 dt.
Referência:
STEWART (2009) p. 360.
(d) Capacidade Cardı́aca.
A capacidade cardı́aca pode ser definida pela integral
F = A T 0
C (t)dt
,
onde A é a quantidade total de contraste e C (t) a concetração deste.
Vejamos um exemplo:
A figura abaixo mostra o sistema cardiovascular humano. O sangue retorna do corpo pelas
veias, entra no átrio direito do coração e é bombeado para os pulmões pelas artérias pulmonares
para a oxigenação. Então volta para o átrio esquerdo por meio das veias pulmonares e dai
circula para o resto do corpo pela aorta. A capacidade card́ıaca do coração é o volume de
sangue bombeado pelo coração por unidade de tempo, isso é, a taxa de fluxo na aorta.
-
8/20/2019 calculo propriedades
65/66
62
Resolução: O método da diluição do contraste é usado para medir a capacidade card́ıaca.
O contraste (corante) é injetado no átrio direito e escoa pelo coração para a aorta. Uma
sonda inserida na aorta mede a concentração do contraste sáıda do coração em intervalos
regulares de tempo durante um intervalo [0, T ], até que o contraste tenha terminado. Seja C (t)
a concentração do contraste no instante T . Se dividirmos [0, T ] em subintervalos de igual t,então a quantidade de contraste que circula pelo ponto de medição durante o subintervalo de
t = ti−1 a t = ti é aproximadamente
(concentração)(volume) = C (ti)(F t).em que F é a vazão (taxa de escoamento) que estamos tentando determinar.
Então, a quantidade total de contraste é aproximadamente
ni=1
C (ti)F t = F n
i=1
C (ti)t.
Fazendo n →∞, calculamos que a quantidade total de contraste é
-
8/20/2019 calculo propriedades
66/66
63
A = F
T 0
C (T )dt.
Então, a capacidade cardı́aca é dada por
F =
A T
0
C (t)dt.
Referência:
STEWART (2009) p. 522-523.
(e) Lei da Radiação de Plank.
A Lei da Radiação de Plank, muito utilizada nas engenharias e na f́ısica também pode
ser definida por uma integral. A saber,
I =
∞
1
dx
x5(e1
x−1)
.
Referência:
HALLET (2004) p. 279.