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MANUAL DE PRCTICAS PARA LA MATERIA DE CLCULO VECTORIAL DE LA CARRERA DE INGENIERIA PETROLERA.

CARRERA: Ing. Petrolera

SEMESTRE Y GRUPO: 3 E

ELABORADO POR: Adalberto Ramrez Francisco Jacob Domnguez Reyes Diego Isai Velzquez Domnguez Gabriel santos estudillo Juan Carlos Gernimo Jorge Ivn Rodrguez luna

I. E. OMAR ALVAREZ ANTONIO

20 /

09 /

11'

FECHA DE REVISIN DE LA ACADEMIA

INTRODUCCION

lgebra de vectores. El lgebra de vectores hace referencia a la operacin entre vectores, es decir, suma, resta y producto de un escalar con un vector. A travs del mtodo de medicin es posible obtener el valor de la resultante y del ngulo de dicho vector. A continuacin se presentan dos ejemplos ilustrativos del mtodo del polgono para la obtencin del vector resultante usando el proceso de medicin. Suma de vectores: La operacin de suma entre vectores se explicar a travs de un ejemplo. A partir de los vectores a, b y c, encuentre la resultante de la siguiente suma de vectores:

1.5 Descomposicin vectorial en 3 dimensiones.

El concepto de los nmeros se desarroll gradualmente. Primero fueron los enteros positivos, 1,2,3... (no el cero, que se incorpor ms recientemente) los usados para resear los objetos contables, tales como ovejas, das, miembros de la tribu, etc. El concepto de nmeros negativos pudo surgir como una extensin de la resta, , quizs del dinero, lo que se debe es riqueza negativa, nmeros rojos en la contabilidad. Los objetos que pueden dividirse, por ejemplo el suelo, trajeron las fracciones. Luego, alrededor del ao 500 a.C., un estudiante de Pitgoras prob que el nmero dado por la raz cuadrada de 2 no se poda expresar como fraccin; no lo encontr lgico y, por lo tanto, podemos decir que esos son nmeros "irracionales". Por medio de ellos, enteros, fracciones e irracionales podemos describir cualquier cosa que tenga una dimensin, una magnitud. Pero, cmo podemos describir la velocidad, que tiene una magnitud y una direccin? Para eso est el vector. Suma de Vectores Las velocidades se pueden sumar. Imagine a un aeroplano que vuela a 200 mph (o, si quiere, km/h) con un viento de cola de 40 mph. Con que rapidez cubre la distancia en relacin al suelo? Fcil: por cada 200 millas que avanza, el viento lo lleva 40 millas ms all, luego la respuesta es 200 + 40 = 240 millas Grficamente, cada tramo en el suelo velocidad puede representarse por una flecha con su direccin, y su longitud nos indica la magnitud; por ejemplo, una flecha AB de 200 mm (milmetros) de longitud para representar el movimiento del aeroplano y otra BC de 40 mm de longitud, en la misma direccin, para el viento. Para sumar las velocidades, se coloca una flecha a continuacin de la otra, como se ve en la parte superior de la figura.

Por el momento, es una va complicada para hacer algo obvio. Lo que hace a la "suma de flechas" til es que sirve tambin cuando las direcciones son distintas. Imagine que el aeroplano vuela con un viento contrario de 40 mph: prevemos que la velocidad relativa al suelo ser de 200 - 40 = 160 mph y la "suma de flechas" (en la mitad de la figura) lo confirma. Ahora imagine que la ruta del piloto es hacia el este, pero un viento lateral sopla hacia el nordeste: en que direccin se mover el aeroplano y con qu rapidez? La intuicin no ayuda, pero la suma de flechas si lo hace (el pi de la figura, que no est a escala) . La regla general es que las velocidades combinadas hacen que el aeroplano se desplace en una hora al mismo punto que alcanzara si se moviera primero con un movimiento y luego con el otro, actuando solos durante una hora. Como se espera, la direccin es alguna entre la direccin este y la norte. Todos los vectores se pueden sumar entre ellos de esta manera, como flechas, uniendo la cabeza de uno a la cola del otro. Existe un mtodo alternativo, con frecuencia ms fcil de usar y que se describe a continuacin. Descomposicin de vectores en sus componentes Al igual que se pueden combinar dos vectores en uno, o sea su suma, tambin es posible hacer lo contrario; dado un vector, encontrar los dos vectores cuya suma es el vector primitivo.. Imagine que el vector dado est representado por la fecha AB del dibujo y queremos descomponerlo en las partes de la suma de dos vectores dirigidos a lo largo de AA' y AA". Dibujamos lneas a lo largo de AA' y AA" y tambin lneas paralelas a ellas desde B, el otro final del vector. Si AA' y AA" son perpendiculares entre si (lo usual), entonces estas lneas encierran un rectngulo ACBD, donde AB es su diagonal. Es evidente que AC y CB son la solucin a nuestro problema y en la suma de vectores AC + CB = AB AC y CB se llaman los componentes de AB ( vectores componentes de AB) a lo largo de las dos direcciones dadas. AD y DB, que tienen la misma longitud y direccin, son tambin una solucin y representan los mismos componentes, la diferencia es que su suma se efecta en orden inverso. Si AA' y AA" no son perpendiculares entonces ACBD es un paralelogramo.

Los usos de los vectores componentes Descomponer los vectores en sus componentes puede ser muy til. Se dan tres ejemplos abajo y hay ms en la seccin (22a). (a) Suma de varios vectores Considere que se necesita sumar 10 vectores (si, existe esa circunstancia..). Para conseguirlo de la forma descrita anteriormente, sumamos los dos primeros vectores cabeza con cola, luego sumamos el tercero a la suma, luego el cuarto,... tediosa labor! Una forma ms rpida es escoger dos direcciones perpendiculares, y al igual que se indicaba en las coordenadas cartesianas, podemos denominarlas "la direccin x" y "la direccin y". Descomponemos cada vector V en sus componentes: "Vx" en la direccin x y "Vy" en la direccin y. Ahora no tenemos 10, sino 20 vectores que necesitamos sumar, pero el trabajo es mucho ms sencillo. De estos vectores, 10 estn alineados con la direccin x y los vectores en la misma direccin (como el viento de cola del ejemplo anterior del aeroplano) se suman igual que nmeros ordinarios. Lo mismo se hace con los 10 vectores alineados en la direccin y. El problema ahora es reducir las dos series de sumas y restas ordinarias (los vectores opuestos tienen el signo menos), y solo se necesita la suma de tipo vectorial en la suma de los totales de las direcciones x e y. Nota: El mundo real es tridimensional y as son sus vectores. Pero los vectores en 3D tambin se pueden resolver, cada uno de ellos es igual a la suma de los tres vectores en las direcciones (x, y, z); ahora el rectngulo es una caja rectangular. Los componentes del mismo tipo se suman como en el ejemplo bidimensional anterior y la suma final implica una suma vectorial en cada dimensin. Ahora el vector suma es la diagonal de la caja rectangular, en la cual las tres sumas son los lados de dicha caja. (b) Clculo del vector suma La suma cabeza a cola de vectores nos permite construir su suma grficamente. Los componentes permiten ser calculados. Tome el primer ejemplo de suma de vectores, un aeroplano volando hacia el este a 200 mph (su velocidad de vuelo, su velocidad relativa al aire), mientras a 100 mph sopla el viento hacia el nordeste. El tringulo de la suma de los vectores de este ejemplo est en la parte inferior del dibujo de esta seccin. Haga que la direccin x sea hacia el este y la y hacia el norte. Luego los componentes de la velocidad (x,y) son, en mph,

--de la velocidad de vuelo, (200,0) --de la velocidad del viento (100 cos 45o,100 sen 45o) = (70.7, 70.7)

Dado que el cos 45o = sen 45o = 0.707 (para deducir aqu). As los componentes de la velocidad total son

(Vx,Vy) = (200+70.7,0+70.7) = (270.7,70.7) Esto nos da la velocidad total V. Por el teorema de Pitgoras, V2 = (Vx)2 + (Vy)2 dando la magnitud de V aproximadamente 280 mph, mientras que el ngulo agudo en el punto A del dibujo (lo llamaremos A, tambin) satisface que senA = 70.7/280 = 0.2527 De donde A es aproximadamente 16..

(c) El plano inclinado Regresemos al experimento de Galileo . Suponga que tenemos un plano inclinado con una inclinacin suave a un ngulo s (dibujo inferior) y sobre el un bloque bien engrasado, listo para deslizarse hacia abajo (Galileo usaba una bola rodante, con la que el experimento es ms fcil de ejecutar pero ms difcil de calcular, dado que la energa cintica est ahora dividida entre el movimiento de deslizamiento y el de rotacin).

Si despreciamos la friccin, con que rapidez se desliza el bloque? la fuerza de la gravedad sobre el bloque, tiene un nombre: peso del bloque W, puede representarse por una fecha vertical AB de longitud W, dirigida hacia abajo. Esta no es la direccin en la que puede acelerar el bloque. Sin embargo, el vector AB puede descomponerse en sus fuerzas perpendiculares:

Una es perpendicular a la superficie y est representada por la lnea AC y su magnitud es W cos s. Esta fuerza est completamente contrarrestada por la resistencia de la superficie, que no permite el movimiento en esa direccin, un asunto que se tratar de nuevo al final de la seccin 18. Si el movimiento incluye la friccin, sin embargo, la fuerza de friccin es proporcional a este componente. La otra fuerza es paralela a la superficie, est representada por la lnea AD, tiene una magnitud W sen s y, si la friccin no impide el movimiento, es libre para acelerar el bloque en esa direccin. La fuerza es menor que el peso W por un factor (multiplicador) sen s, un nmero siempre menor que 1, mientras que la masa del bloque no ha cambiado. Su aceleracin es, por consiguiente, reducida por un factor similar y no igualar a g como si fuera en libre, pero ser solo g sen s.

1.6 Ecuaciones de rectas y planos.

Rectas Sea L una recta en el espacio tridimensional tal que contenga un punto P0(x0, y0, z0) y sea paralela a las representaciones de un vector de posicin R = (a, b, c). La recta L es el conjunto de puntos P(x,y,z) tal que el vector V que va de P0 a P sea paralelo al vector de posicin R. V = (x - x0, y - y0, z - z0) P se halla sobre la recta L, si y slo si, existe un escalar t distinto de cero tal que V = tR (x - x0, y - y0, z - z0) = t (a, b, c)

Separando: y tb y0=

x - x0 =

ta

z z0=

-

tc

Re arreglando: x= x0 + ta y y + tb = 0 z= z0 + tc

Donde t = (- , + ) Las ecuaciones anteriores se denominan Ecuaciones Paramtricas de la Recta, en las cuales el parmetro es t. Ecuaciones Simtricas de la Recta Si ninguno de los nmeros a, b, c, es cero, entonces:

El vector R = (a, b, c) determina la direccin de la recta, y los nmeros a, b,

c, se llaman nmeros directores de la recta. Cualquier vector paralelo a R tiene la misma u opuesta direccin a R; por tanto, tal vector se puede usar en lugar de R. Planos La grfica de una ecuacin de dos variables, x y y, es una curva en el plano xy. El tipo de curva ms simple en el espacio bidimensional es la recta y la ecuacin general de una lnea recta es de la forma Ax + By + C = 0, que es un ecuacin de primer grado. En el espacio tridimensional, la grfica de una ecuacin en tres variables, x, y y z, es una superficie. El tipo de superficie ms simple es el plano cuya ecuacin es de primer grado en tres variables. Si N es un vector dado no cero y P0 es un punto dado, entonces el conjunto de todos los puntos P, para los cuales V y N son ortogonales, se define como plano que pasa P0 y tiene a N como vector normal. En geometra analtica plana podemos obtener una ecuacin de una recta si se nos da un punto en la recta y su direccin (pendiente). De manera anloga, en geometra analtica slida, una ecuacin de un plano se puede determinar conociendo un punto en el plano y la direccin de un vector normal a dicho plano. Si P0(x0, y0, z0) es un punto en un plano y un vector normal a l es N = (a, b, c), entonces una ecuacin del plano es a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 O bien,

V=

(x - x0, y - y0, z - z0) (a, b, c)

N=

V.N=

0

0=

(x - x0, y - y0, z - z0) . (a, b, c) (x - x0)(a) + (y - y0)(b) + (z - z0)(c) ax + by + cz - (ax0 + by0 + cz0)

0=

0=

Un plano est determinado por: Tres puntos no colineales. Una recta y un punto que no se halla en la recta. Dos rectas que se cortan. Dos rectas paralelas.

Para hacer un dibujo de un plano a partir de su ecuacin, conviene hallar los puntos de interseccin del plano con los ejes coordenados. La coordenada x del punto en el cual el plano corta el eje x se llama interseccin x del plano. Lo mismo aplica para las coordenadas y y z. ngulo entre dos planos Se define como el ngulo entre los vectores normales de ambos planos.

Considerando los vectores normales N1 y N2

Planos paralelos Dos planos son paralelos si, y slo si, sus vectores normales son paralelos. Considerando los vectores normales N1 y N2, la condicin de paralelismo se da cuando N1 = k N2 k es una constante.

Planos perpendiculares Dos planos son perpendiculares, si, y slo si, sus vectores normales son

ortogonales. Considerando los vectores normales N1 y N2, la condicin de ortogonalidad se da cuando N1 . N2 = 0

Distancia no dirigida de un plano a un punto La ecuacin general del plano es ax + by + cz + d = 0. El vector normal al plano es N = (a, b, c) o -N = (-a, -b, -c) El punto dado es P(x1, y1, z1).

Encuentre un punto perteneciente al plano Q(x2, y2, z2). Obtenga un vector V cuyo origen sea P y se dirija hasta Q. V = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) Considerando el vector normal N que genere el ngulo menor entre N y V.

distancia = |V| cos q

1.7 Aplicaciones fsicas y geomtricas.

En fsica, un vector es una herramienta geomtrica utilizada para representar una magnitud fsica del cual depende nicamente un mdulo (o longitud) y una direccin (u orientacin) para quedar definido.1 2 3 4 Los vectores se pueden representar geomtricamente como segmentos de recta dirigidos o flechas en planos o ; es decir, bidimensional o tridimensional. Ejemplos

La velocidad con que se desplaza un mvil es una magnitud vectorial, ya que no queda definida tan slo por su mdulo (lo que marca el velocmetro, en el caso de un automvil), sino que se requiere indicar la direccin hacia la que se dirige.

La fuerza que acta sobre un objeto es una magnitud vectorial, ya que su efecto depende, adems de su intensidad o mdulo, de la direccin en la que opera.

El desplazamiento de un objeto.

Conceptos fundamentales Esta seccin explica los aspectos bsicos, la necesidad de los vectores para representar ciertas magnitudes fsicas, las componentes de un vector, la notacin de los mismos, etc. Magnitudes escalares y vectoriales

Representacin grfica de una magnitud vectorial, con indicacin de su punto de aplicacin y de los vectores cartesianos.

Representacin de los vectores. Frente a aquellas magnitudes fsicas, tales como la masa, la presin, el volumen, la energa, la temperatura, etc; que quedan completamente definidas por un nmero y las unidades utilizadas en su medida, aparecen otras, tales como el desplazamiento, la velocidad, la aceleracin, la fuerza, el campo elctrico, etc., que no quedan completamente definidas dando un dato numrico, sino que llevan asociadas una direccin. Estas ltimas magnitudes son llamadas vectoriales en contraposicin a las primeras llamadas escalares.

Las magnitudes escalares quedan representadas por el ente matemtico ms simple; por un nmero. Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemtico que recibe el nombre de vector. En un espacio euclidiano, de no ms de tres dimensiones, un vector se representa por un segmento orientado. As, un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud o mdulo, siempre positivo por definicin, y su direccin, la cual puede ser representada mediante la suma de sus componentes vectoriales ortogonales, paralelas a los ejes de coordenadas; o mediante coordenadas polares, que determinan el ngulo que forma el vector con los ejes positivos de coordenadas.5 6 Se representa como un segmento orientado, con una direccin, dibujado de forma similar a una "flecha". Su longitud representa el mdulo del vector y la "punta de flecha" indica su direccin.1 2 3 Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flecha sobre la letra que designa su mdulo (el cual es un escalar). Ejemplos:

... representan, respectivamente, las magnitudes vectoriales de mdulos A, a, , ... El mdulo de una magnitud vectorial tambin se representa encerrando entre barras la notacin correspondiente al vector: ...

En los textos manuscritos se escribe: ... o ... para los mdulos.

... para los vectores y

Cuando convenga, se representan la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento orientado que la representa geomtricamente; as, se

designan los vectores representados en la Figura 2 en la forma , ... resultando muy til esta notacin para los vectores que representan el desplazamiento. Adems de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo mdulo es la unidad, se representan frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo . Clasificacin de vectores Segn los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:

Vectores libres: no estn aplicados en ningn punto en particular. Vectores deslizantes: su punto de aplicacin puede deslizar a lo largo de su recta de accin. Vectores fijos o ligados: estn aplicados en un punto en particular. Podemos referirnos tambin a:

Vectores unitarios: vectores de mdulo unidad. Vectores concurrentes: sus rectas de accin concurren en un punto propio o impropio (paralelos). Vectores opuestos: vectores de igual magnitud, pero direccin contraria. Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de accin. Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de accin son coplanarias (situadas en un mismo plano). Componentes de un vector

Componentes del vector. Un vector en el espacio se puede expresar como una combinacin lineal de tres vectores unitarios o versores perpendiculares entre s que constituyen una base vectorial. En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por , , , paralelos a los ejes de coordenadas x, y, z positivos. Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre parntesis y separadas con comas:

o expresarse como una combinacin de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. As, en un sistema de coordenadas cartesiano, ser

Estas representaciones son equivalentes entre s, y los valores ax, ay, az, son las componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario, son nmeros reales. Una representacin conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila, particularmente cuando estn implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base), del modo siguiente:

Con esta notacin, los vectores cartesianos quedan expresados en la forma:

Operaciones con vectores Suma de vectores Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

Mtodo del paralelogramo.

Mtodo del tringulo. Mtodo del paralelogramo Este mtodo permite solamente sumar vectores de a pares. Consiste en disponer grficamente los dos vectores de manera que los orgenes de ambos coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro y de igual longitud, formando as un paralelogramo (ver grfico a la derecha). El resultado de la suma es la diagonal de dicho paralelogramo que parte del origen comn de ambos vectores. Mtodo del tringulo Consiste en disponer grficamente un vector a continuacin de otro; es decir, el origen de cada uno de los vectores se lleva sobre el extremo del otro. El vector resultante es aqul que nace en el origen del primer vector y termina en el extremo del ltimo. Mtodo analtico para la suma y diferencia de vectores Dados dos vectores libres,

El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma

y ordenando las componentes,

Con la notacin matricial sera

Conocidos los mdulos de dos vectores dados, entre s, el mdulo de es:

y

, as como el ngulo que forman

La deduccin de esta expresin puede consultarse en deduccin del mdulo de la suma. Producto de un vector por un escalar

Producto por un escalar. El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo mdulo es el producto del escalar por el mdulo del vector, cuya direccin es igual a la del vector, o contraria a este si el escalar es negativo. Partiendo de la representacin grfica del vector, sobre la misma lnea de su direccin tomamos tantas veces el mdulo de vector como indica el escalar. Sean un escalar y un vector, el producto de por se representa y se realiza multiplicando cada una de las componentes del vector por el escalar; esto es,

Con la notacin matricial sera

Derivada de un vector Dado un vector que es funcin de una variable independiente

Calculamos la derivada del vector con respecto de la variable t, calculando la derivada de cada una de sus componentes como si de escalares se tratara:

teniendo en cuenta que los vectores unitarios son constantes en mdulo y direccin. Con notacin matricial sera

Veamos un ejemplo de derivacin de un vector, partiendo de una funcin vectorial:

Esta funcin representa una curva helicoidal alrededor del eje z, de radio unidad, como se ilustra en la figura. Podemos imaginar que esta curva es la trayectoria de una partcula y la funcin Derivando tendremos: representa el vector posicin en funcin del tiempo t.

Realizando la derivada:

La derivada del vector posicin respecto al tiempo es la velocidad, as que esta segunda funcin determina el vector velocidad de la partcula en funcin del tiempo, podemos escribir:

Este vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria en el punto ocupado por la partcula en cada instante. Si derivsemos de nuevo obtendramos el vector aceleracin.

ngulo entre dos vectores El ngulo determinado por las direcciones de dos vectores y viene dado por:

Cambio de base vectorial

Cambio de base vectorial. En matemticas las rotaciones son transformaciones lineales que conservan las normas en espacios vectoriales en los que se ha definido una operacin de producto interior. La matriz de transformacin tiene la propiedad de ser una matriz unitaria, es decir, es ortogonal y su determinante es 1. Sea un vector expresado en una sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z) con una base vectorial asociada definida por los versores ; esto es,

Ahora, supongamos que giramos el sistema de ejes coordenados, manteniendo fijo el origen del mismo, de modo que obtengamos un nuevo triedro ortogonal de ejes (x, y, z), con una base vectorial asociada definida por los versores componentes del vector en esta nueva base vectorial sern: . Las

La operacin de rotacin de la base vectorial siempre puede expresarse como la accin de un operador lineal (representado por una matriz) actuando sobre el vector (multiplicando al vector):

que es la matriz de transformacin para el cambio de base vectorial.

Cambio de base vectorial. Ejemplo En el caso simple en el que el giro tenga magnitud transformacin: alrededor del eje z, tendremos la

Al hacer la aplicacin del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el vector, obtendremos la expresin del vector en la nueva base vectorial:

siendo

las componentes del vector en la nueva base vectorial. Requerimientos fsicos de las magnitudes vectoriales No cualquier n-tupla de funciones o nmeros reales constituye un vector fsico. Para que una n-tupla represente un vector fsico, los valores numricos de las componentes del mismo medidos por diferentes observadores deben transformarse de acuerdo con ciertas relaciones fijas. En mecnica newtoniana generalmente se utilizan vectores genuinos, llamados a veces vectores polares, junto con pseudo vectores, llamados vectores axiales que realmente representan el dual de Hodge de magnitudes tensoriales antisimtricas. El momento angular, el campo magntico y todas las magnitudes que en cuya definicin interviene el producto vectorial son en realidad pseudovectores o vectores axiales. En teora especial de la relatividad, slo los vectores tetra dimensionales cuyas medidas tomadas por diferentes observadores pueden ser relacionadas mediante alguna transformacin de Lorentz constituyen magnitudes vectoriales. As las componentes de dos magnitudes vectoriales medidas por dos observadoras y deben relacionarse de acuerdo con la siguiente relacin:

Donde son las componentes de la matriz que da la transformacin de Lorentz. Magnitudes como el momento angular, el campo elctrico o el campo magntico o el de hecho en teora de la relatividad no son magnitudes vectoriales sino tensoriales.

OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES

Referente a los temas aqu propuestos en este apartado observamos que podemos plasmar un vector en tres dimensiones y a si visualizarlos bien, tambin podemos plantear ecuaciones a travs de ellos y resolverlos de manera practica.

En conclusin los vectores son de gran utilidad en la ingeniera con lo cual podemos resolver un sinfn de problemas como reas encontrar un punto referido etc.