Erick Galvan Alcantara/Calculo vectorial.

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECANICA Y ELECTRICA

UNIDAD ZACATENCO

MATERIA: CALCULO VECTORIAL.

ALUMNO: ERICK GALVAN ALCANTARA

MAESTRO: AMBRIZ BUSTOS EDUARDO

SALÓN:2CV8

Erick Galvan Alcantara/Calculo vectorial.

CONCEPTO DE CAMPOConsideremos el campo gravitatorio. Un hecho fundamental de la gravitación es que dos masas ejercen fuerzas entre sí, existe una interacción entre ellas. Se puede considerar esta circunstancia como una interacción directa entre las dos partículas de masa, si así se desea. Este punto de vista se llama acción-a-distancia

Otro punto de vista es el concepto de campo que considera a una partícula de masa como modificando en alguna forma el espacio que la rodea y formando un campo gravitatorio. Este campo actúa entonces sobre cualquier otra partícula de masa colocada en él, ejerciendo la fuerza de la atracción gravitacional sobre ella. Por consiguiente, el campo juega un papel intermedio en nuestra forma de pensar acerca de las interacciones entre las partículas de masa. De acuerdo con este punto de vista tenemos en nuestro problema dos partes separadas: En primer lugar está el campo producido por una distribución dada de partículas de masa; y segundo, es necesario calcular la fuerza que ejerce este campo en otra partícula de masa colocada en él.

Se dice que en una determinada región del espacio se tiene un "campo físico" cuando en ella se presentan u observan propiedades físicas. Estas propiedades pueden tener carácter escalar, vectorial o tensorial.

El campo gravitatorio es un ejemplo de campo vectorial, porque en este campo cada punto tiene un vector asociado con él. También se puede hablar de un campo escalar, tal como el campo de temperatura en un sólido conductor del calor. El campo gravitatorio que resulta de una distribución fija de masa es también un ejemplo de campo estacionario, porque el valor del campo en un punto dado no cambia con el tiempo.

El concepto de campo es particularmente útil para comprender las fuerzas electromagnéticas entre cargas eléctricas en movimiento. Tiene ventajas especiales, tanto conceptualmente como en la práctica, sobre el concepto de acción-a-distancia. El concepto de campo no se usaba en la época de Newton. Fue desarrollado más tarde por Faraday para el electromagnetismo y sólo entonces se aplicó a la gravitación. Hoy día se utiliza el concepto de campo en la descripción de todas las interacciones de la Naturaleza.

El objeto principal del capítulo que sigue es la familiarización con un concepto que resulta ser importante en el desarrollo y comprensión de las teorías físicas

Erick Galvan Alcantara/Calculo vectorial.

CAMPO ESCALARSi a cada punto (x,y,z) de una región del espacio se le puede asociar un escalar V(x,y,z), hemos definido un campo escalar V en esta región. La función V depende, pues, del punto y por ello se llama función escalar de punto.

Si el campo escalar no depende del tiempo se llama estacionario

.Recibe el nombre de superficie equiescalar o isoescalar, el lugar geométrico de los puntos del espacio en los que el campo escalar tiene el mismo valor. Las superficies equiescalares vienen determinadas por la expresión:

V(x, y, z) = ki (ki es una constante)

Estas superficies no pueden tener puntos comunes por la imposibilidad de que la función escalar en un mismo punto tenga diferentes valores. Como ejemplos de campos escalares podemos citar el campo de temperaturas de un sólido o el campo de presiones de un gas.

Campos escalares:Los que proporcionan la densidad,Los que proporcionan la temperatura,Los que proporcionan la altura.

CAMPO VECTORIALSi a cada punto (x,y,z) de una región del espacio se le puede asociar un vector E(x,y,z), queda definido un campo vectorial E en esta región. La función E depende, pues, del punto y por ello se llama función vectorial de punto.

Erick Galvan Alcantara/Calculo vectorial.

Si el campo vectorial no depende del tiempo se llama estacionario. En los campos vectoriales se definen las líneas de fuerza o Líneas de campo, como las curvas tangentes en cada punto a los vectores definidos en ellos.

Decimos que un campo vectorial es uniforme cuando tenemos el mismo valor del vector campo y la misma dirección y sentido en todos los puntos. Un campo uniforme está representado, evidentemente, por líneas de campo paralelas y equidistantes.

Como ejemplos de campos vectoriales podemos citar el campo de velocidades en un fluido, el campo gravitatorio, el campo eléctrico y el campo magnético.

Campos vectoriales:Campos de fuerzas: campos eléctricos, campos gravitatorios.Campos de velocidades: movimiento del viento junto a una superficie aerodinámica,Corrientes oceánicas, velocidad de un fluido.Campos de flujo: El que describe un flujo de calor.

Teorema de GreenEn este teorema se necesitará integrar un campo vectorial a lo largo de la frontera de cierta región R del plano xy, que puede estar formada por más de una curva.

Erick Galvan Alcantara/Calculo vectorial.

Definición. Sea R un conjunto conexo, cerrado y acotado de R2 cuya frontera ðR está formada por n curvas cerradas simples y regulares a trozos C1,C2,…. Cn (n>1) que no se cortan entre si.

Al igual que sobre una sola curva, sobre ðR se van a considerar dos orientaciones posibles:

1. Si la curva C 1 (la exterior) se orienta en el sentido anti horario, y las demás C 2 ; : : : ; C n (interiores) en el caso de que existanse orientan en el sentido horario, entonces se dice que la frontera de R tiene orientación izquierda (o posi- tiva ), y se denota ðR + .

2. Si todas las curvas se orientan en sentido contrario al de la orientación izquierda, entonces se dice que la frontera de R tiene orientación derecha (o negativa), y se denota ðR -.

Teorema 3 (de Green) conexo y abierto y F = ( F 1 ; F 2 ) 2 C 1 ( A ) . Sea R Ω A un subconjunto conexo, cerrado y acotado cuya frontera ðR esta formada por varias curvas cerradas simples y regulares a trozos C 1 ; C 2 ; : : : ; C n . Entonces, (a) si @R = @R + (orientación izquierda o positiva), se satisface la igualdad:

Erick Galvan Alcantara/Calculo vectorial.

Nota: Para entender mejor hay videos sobre este tema de tareas plus.com en la biografías estará el link. El video para este tema es el 190.

El teorema de Green nos ayuda en diversos temas derivantes como pueden ser.

Curvas de Jordán En lo que sigue vamos a trabajar con un tipo particular de caminos, que

reciben el nombre de caminos simples. Intuitivamente un camino es simple cuando no tiene auto-intersecciones, es decir, un móvil que lo recorre no pasa dos veces por un mismo punto

Campos irrotacionales y conservativos Está bastante claro que el teorema de Green nos va a permitir obtener

nueva información relevante sobre la relación entre campos conservativos e irrotacionales. Siempre que podamos aplicar el teorema a un campo irrotacional, la integral doble que aparece en el segundo miembro de la fórmula de Green será nula, luego también habrá de anularse la integral de línea del primer miembro y esto nos acerca a la posibilidad de que el campo sea conservativo.

Cálculo de áreas mediante la fórmula de Green Para un campo con rotacional escalar constantemente igual a 1, la integral

doble que aparece en la fórmula de Green es el área de la región interior a una curva de Jordán, luego podemos calcular tal área mediante una integral de línea. Disponemos de varias elecciones posibles para el campo vectorial, ya que es fácil dar ejemplos de campos vectoriales de clase C 1 en todo el plano con rotacional escalar constantemente igual a 1.

Erick Galvan Alcantara/Calculo vectorial.

El teorema de Gauss (o de la divergencia)

El teorema de Gauss ofrece la posibilidad de calcular una integral de un campo vectorial sobre una superficie cerrada mediante una integral triple sobre la región del espacio formada por dicha superficie y la región que encierra.

Teorema 5 (de Gauss o de la divergencia) Sea F: V Ω R 3! R 3 de clase C 1 (V), donde V es un conjunto conexo, cerrado y acotado, cuya frontera ðV es una superficie cerrada, suave a trozos y orientable. (a) Si ðV se orienta hacia el exterior de V, que se denotará por ðV = V +, entonces se satisface la siguiente igualdad:

Ejemplo. Calculemos el flujo del campo vectorial F ( x; y; z ) - ( z; y; x ) sobre la esfera unidad orientada hacia el exterior. Primero calculamos div F ( x; y; z ) = 1 : La esfera unidad es la frontera de la bola unidad B dada por x 2 + y 2 + z 2 ∑ 1 . Entonces el teorema de Gauss calcula el flujo a través de una integral triple.

Erick Galvan Alcantara/Calculo vectorial.

El teorema de Stokes

El teorema de Stokes puede considerarse como una versión del teorema de Green para tres dimensiones. Mientras el teorema de Green relaciona una integral doble sobre una región plana con una integral de línea sobre la curva cerrada frontera plana, o unión de varias, el teorema de Stokes relaciona una integral de superficie con una integral de línea sobre la curva cerrada frontera de la superficie (que no necesariamente es una curva plana) o unión de varias (i.e. superficie con agujeros)

Teorema 4 (de Stokes) Sea F : B Ω R 3 ! R 3 , B conexo y abierto, F 2 C 1 ( B ) . Sea una superficie S Ω B orientable, suave y simple respecto de s : A Ω R 2 ! R 3 . Supongamos A conexo, cerrado y acotado cuya frontera @A es una curva cerrada simple y regular a trozos respecto de f : [ a; b ] ! R 2 , que la orienta en el sentido anti horario o izquierdo, @A = @A + . Si se parametriza @S mediante la función r = s ± f , entonces se satisface la siguiente igualdad: Z @S F dr = ZZ S rot F ds: (3) Nota . En general, la igualdad anterior del teorema de Stokes se satisface siempre que las orientaciones dadas a @S y a S , respeten la regla del sacacorchos , en el caso contrario (como la parte (b) de la gura 5), la integral de superficie irá precedida de signo negativo

Erick Galvan Alcantara/Calculo vectorial.

Conclusiones.Los tres teoremas tienen en común que relacionan dos tipos de integrales distintas, una sobre cierto dominio y otra sobre su frontera o borde.

Se diferencian en cuanto al tipo de campos y dominios en los que se aplican:

Los teoremas de Stokes y de Gauss tratan de campos vectoriales en R 3 , mientras que el teorema de Green utiliza campos vectoriales en R 2 .

El dominio considerado en el teorema de Green es un trozodel plano xy cuyo borde consta de una o varias curvas cerradas planas.

En el teorema de Stokes, el dominio es una superficie en R 3 cuyo borde consta de una o varias curvas cerradas no planas en general.

En el teorema de Gauss, el dominio es un cuerpo o sólidocuyo borde es una superficie cerrada

Biografías

http://www.textfixer.com/tools/remove-line-breaks.php

http://www.mat.ucm.es/~dazagrar/docencia/cap13.pdf

http://www.ual.es/~plopez/docencia/ita/EVA_trasptema9.pdf

https://aula.tareasplus.com/Camilo-Serna/calculo-vectorial-y-varias-variables