CAMPO ELÉCTRICO Y PROPIEDADES ELÉCTRICAS DE...

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CAMPO ELÉCTRICO

Y PROPIEDADES

ELÉCTRICAS DE LA

MATERIACapítulo

1

C. A. Coulomb (1736-1806)

Este capítulo representa una introducciónal estudio del campo eléctrico. Como pun-to de partida, se hace una breve referen-cia histórica y se repasan algunos mode-los teóricos que se utilizan para explicarla estructura de la materia y que permi-ten comprender mejor sus característicaseléctricas.

La estructura del capítulo se resume a con-tinuación:

1. Introducción histórica.

2. Estructura interna de la materia:

Modelos atómicos:

• Modelo atómico de Dalton.

• Modelo atómico de Thomson.

• Experimento y modelo atómico de Rutherford.

• Modelo atómico de Bohr.

Moléculas y tipos de enlaces:

• Enlace iónico.

• Enlaces covalente y metálico.

• Enlaces y conducción eléctrica.

3. Electrización de los materiales.

4. Fuerzas y ley de Coulomb:

Ley de Coulomb:

• Principio de superposición.

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2 FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA

5. Campo eléctrico:

• Líneas de campo.

Campo eléctrico debido a distribuciones de carga:

• La carga eléctrica y su distribución espacial.

• Campo eléctrico debido a distribuciones de carga.

6. El flujo eléctrico.

7. La ley de Gauss:

Esfera uniformemente cargada.

Distribución longitudinal uniforme de carga.

Superficie plana uniformemente cargada.

8. Conductores en equilibrio electrostático.

9. Ejercicios.

1.1. Introducción histórica

Actualmente, se conoce bastante bien la constitución de la materia y su estructura interna.Incluso hablar de átomos o electrones es muy habitual en el lenguaje común y la mayoríade la gente posee unas ideas más o menos aproximadas de los elementos más básicos de lamateria; sin embargo, la consecución de tales conocimientos resultó ser una tarea ardua yque necesitó de muchas generaciones de científicos.

Las primeras observaciones de las propiedades eléctricas de la materia se deben al filósofoy matemático griego Tales de Mileto (624–546 a.C.), que descubrió que frotando con pielun trozo de ámbar (elektron, en griego), éste atraía a pequeños materiales ligeros, comocabellos o fibras de lana, e intentó explicar infructuosamente estas fuerzas. También observóla atracción que sobre el hierro ejercía un mineral originario de una ciudad de la actualTurquía que se llamaba Magnesia y que dio nombre a ese mineral: magnetita.

Posteriormente, será el también filósofo griego Demócrito (460–370 a.C.) quien, con granintuición, postule que la materia se compone de pequeñas partículas indivisibles a las quedenominó átomos (ατoµoς o atomos, en griego), aunque fueron razonamientos puramentefilosóficos los que le impulsaron a formular dicho postulado. A partir de entonces, el desa-rrollo del conocimiento de la materia estuvo paralizado hasta el siglo XVII, en el que fueronmuchos los estudiosos que comenzaron a realizar experimentos eléctricos y magnéticos que,de forma independiente, permitieron acumular mucha información, aunque aparentementeinconexa. Estos experimentos se basaban, por un lado, en las propiedades tribológicas (delgriego tribos, frotar) de muchos materiales que al ser frotados se les confería la posibilidadde atraer objetos muy ligeros o incluso de producir chispas, y por otro, en las propiedadesquímicas que sí habían recibido gran atención en la Edad Media y habían llegado a acumular

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CAPÍTULO 1. CAMPO ELÉCTRICO Y PROPIEDADES ELÉCTRICAS DE LA MATERIA 3

una gran cantidad de conocimientos, aunque muy poco sistematizada. Fue precisamente elfísico y químico inglés Dalton (1766–1844) quien publicó, en 1808, su teoría atómica de la ma-teria y sentaba las bases teóricas del conocimiento actual de la misma (Figura 1.1). En ciertomodo, esta tarea la completó el químico ruso Medeleev (1834–1907) al publicar su conocidaen 1869 tabla periódica con 67 elementos (de algunos de ellos postulaba su existencia, taly como se aprecia en la Figura 1.2, donde aparecen con un signo de interrogación, como esel caso de dos elementos que sitúa entre el arsénico, As, y el cinc, Zn, a los que adjudicabaunos pesos atómicos de 68 y 70, respectivamente; actualmente se sabe que esos elementosson el galio y el germanio, con pesos atómicos de valores 69,72 y 72,64, respectivamente),1

que permitía responder parcialmente a la pregunta formulada inicialmente por los griegos:¿de qué está constituida la realidad? Quedaba demostrado que la combinación de un númerode elementos, considerados indivisibles, permitía obtener cualquier compuesto conocido. Sinembargo, los experimentos eléctricos realizados hasta entonces permitían plantear una nuevacuestión: si la materia se compone de átomos, ¿pueden dividirse éstos en otras partículas máspequeñas?

Figura 1.1: Representación atómica según Dalton (dcha.): destacan las envolventes (las denominó comocalórico), que debían encargarse de combinar los átomos.

Desde 1650 (máquina de Von Guericke) se venían construyendo “máquinas de fricción”que incrementaban la capacidad de producir descargas eléctricas en forma de chispas. La

1Hoy día se han descubierto 109 elementos químicos, completando la tabla inicialmente esbozada porMendeleev.

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utilidad científica de estos primitivos generadores electrostáticos se vio reforzada por el des-cubrimiento, en 1746, de la conocida como botella de Leyden: un rudimentario condensadorque permitía almacenar la energía electrostática producida por las máquinas de fricción.

Figura 1.2: Tabla periódica original, publicada por Mendeleev en 1869.

Hacia 1752, Franklin realizó su célebre experimento de la tormenta y la cometa, peroanteriormente ya había llevado a cabo otras experiencias eléctricas que le permitieron llegara la conclusión de que la materia estaba formada por dos tipos de cargas que, combinadasen igual cantidad, determinaban que aquélla fuese neutra, pero que algunos procedimientos,como la fricción entre algunos materiales, podían desequilibrar e impulsar a pasar de unoscuerpos a otros. Además, denominó como positivas y negativas a tales cargas.

En 1780, el médico italiano Galvani (1737–1798) observó un fenómeno completamentenuevo y consistente en que los músculos (de un anca de rana) se contraían cuando se poníanen contacto con dos metales diferentes. Éste se lo comunicó al físico, también italiano, Voltaquien realizó una serie de experimentos con múltiples metales, descubriendo la pila eléctricaen 1800 y deduciendo que la energía eléctrica se produce por un fenómeno físico-químico yno tiene un origen orgánico, como se pensó al principio. De esta forma, el mundo científico

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de entonces dispuso así de dos tipos de generadores, uno electrostático y otro electroquímico,que facilitarían la realización de experimentos.

Hacia 1785, Coulomb utilizó unas esferas cargadas (formando una balanza de torsión)para deducir la ley que lleva su nombre:

“Dos cargas de distinto tipo se atraen con una fuerza que es proporcional alproducto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distanciaque las separa”,

resultado que ayudó a tratar de una forma científica estos fenómenos. Sin embargo, fueel físico danés Oersted quien dio a conocer en 1820 su célebre experimento con una agujaimanada y que revelaba la interacción entre los fenómenos eléctrico y magnético, consideradosindependientes hasta entonces, aunque no consiguió justificar dicho fenómeno. Este resultadoprodujo una enorme conmoción entre los científicos de entonces, atrayendo su interés sobreeste fenómeno y provocando que se multiplicasen los experimentos realizados sobre estamateria. Entre ellos, Ampère llegó a aplicar sus conocimientos de cálculo diferencial e integrala este fenómeno y sólo una semana después de conocerse la noticia de Oersted formuló lasprimeras hipótesis al respecto.

De lo comentado se deduce que a principios del siglo XIX se había llegado a una serie deresultados que empezaban a insinuar las relaciones teóricas subyacentes. Por ejemplo, aunquese pensaba que los átomos eran indivisibles, parecía claro que había una característica deéstos, que denominaron carga, y que bajo ciertas condiciones podía extraerse de un átomoneutro para traspasarlo a otro átomo, obteniéndose dos átomos cargados, uno positivamentey otro negativamente (uno con carga positiva en exceso y otro con esa carga en defecto).Llegados a este punto, hay que destacar un detalle que tendrá gran importancia en capí-tulos posteriores y que consiste en que en aquel tiempo se pensó que las cargas positivaspodían trasladarse de un átomo a otro definiéndose, por tanto, la corriente eléctrica comoun movimiento de cargas positivas por unidad de tiempo. Este hecho venía avalado por losexperimentos realizados con disoluciones en las que se hacía pasar una corriente eléctricaa través de una disolución desde un terminal sumergido o electrodo hasta otro electrodo.Se comprobó que había parte de la materia disuelta que se trasladaba hacia un electrodo,mientras que otra parte lo hacía hacia el otro. Los componentes que se trasladaban haciael electrodo, que se denominó cátodo (positivo), se denominaron cationes, mientras que loscomponentes que se dirigían al electrodo negativo o ánodo se denominaron aniones. La leyde Coulomb justifica la existencia de una fuerza que hace que los componentes positivos seanatraídos por el electrodo negativo y que los componentes negativos se vean impulsados haciael electrodo positivo.

1.2. Estructura interna de la materia

En la revisión histórica anterior se ha puesto de manifiesto la importancia que tiene elconocimiento de la estructura intrínseca de la materia en los fenómenos eléctricos. Por estemotivo, en este capítulo se aborda un breve estudio sobre la materia.

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1.2.1. Modelos atómicos

Los modelos atómicos son formulaciones teóricas que deben ser capaces de describir losfenómenos naturales relacionados con las propiedades de la materia. Los primeros modeloseran más filosóficos que físicos, aunque hay que reconocer que muchos de ellos eran sorpren-dentemente acertados a pesar de haberse formulado hace tanto tiempo, como es el caso delmodelo de Demócrito, que ya suponía que la materia estaba formada por átomos.

Modelo atómico de Dalton

La primera aproximación razonable a la estructura de la materia la realizó John Daltonen 1808 al proponer el primer modelo atómico que, siguiendo a Demócrito, establecía quela materia estaba formada por diminutas partículas indivisibles: los átomos. Sin embargo,basándose en sus conocimientos químicos, estableció que, según el elemento químico al quecorrespondiesen, sus átomos serían diferentes a los de otro elemento. Además, los átomosde diversos elementos podrían combinarse con otros diferentes para dar lugar a compuestosquímicos, postulando que dicha combinación era posible debido a la existencia de una en-volvente de cada átomo que podría ligarse a otro con el que se combinaba. Así, los distintoscompuestos químicos que se encuentran en la naturaleza se forman por combinaciones de doso más átomos de distintos elementos, formando moléculas.

Modelo atómico de Thomson

La teoría atómica de Dalton permitía explicar las combinaciones químicas, pero no permi-tía entender los fenómenos eléctricos conocidos. En 1897, J. J. Thomson descubre la existenciadel electrón (“corpúsculos” con carga negativa) tras realizar una serie de experimentos conrayos catódicos. Posteriormente, en 1904, propuso un nuevo modelo que permitiese explicarla existencia de los electrones, modificando así la teoría de Dalton. En el modelo propuesto,suponía que cada átomo era como esfera con carga eléctrica positiva en la que se encontra-ban distribuidos de forma uniforme los electrones o cargas negativas. Así, según el modelo deThomson, cada átomo era eléctricamente neutro (igual número de electrones que de cargaspositivas) a no ser que se cargase, positivamente si perdía electrones o negativamente si losganaba. Sin embargo, esta constitución de la materia presuponía una estructura compactacon muy pocos espacios en los que se pudieran desplazar partículas libres.

Experimento y modelo atómico de Rutherford

Para estudiar con más detalle la estructura de la materia, Ernest Rutherford probó abombardear una lámina de pan de oro con partículas alfa. Estas partículas son átomos dehelio completamente ionizados, faltan sus dos electrones, por lo que tienen carga eléctricapositiva +2qe (qe es la carga eléctrica de un electrón). Según el modelo de Thomson, lamateria estaba formada por átomos, pesados y compactos, de forma que la mayor parte de laspartículas lanzadas contra un material extremadamente delgado debería chocar con un átomoy serían muy pocas las partículas capaces de “colarse” por los espacios entre átomos. Portanto, supuso una sorpresa para Rutherford el hecho de que la mayoría de las partículas alfaatravesaban la lámina e impactaban sobre un detector posterior casi sin desviarse en la láminasiguiendo una trayectoria casi rectilínea, mientras que unas pocas partículas presentaban

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grandes desviaciones o rebotaban en la lámina. Este resultado hacía entrever una estructuramuy abierta o vacía en la que la colisión de las partículas era poco probable y desmontabala teoría propuesta por Thomson.

Fuente departículas

alfa

Haz incidente departículas alfa

Lámina depan de oro

Hazdesviado

Hazdirecto

Detectorcircundante

Figura 1.3: Representación esquemática del experimento de Rutherford.

Con estos nuevos datos, en 1911, Rutherford propuso un nuevo modelo que se ajustaraa las observaciones. En él, la masa positiva estaría concentrada en un núcleo diminuto encomparación con el volumen de todo el átomo con los electrones moviéndose alrededor de esenúcleo. El núcleo concentraría casi toda la masa y toda la carga positiva del átomo, mientrasque los responsables de la carga negativa seguirían siendo los electrones. Lógicamente, esoselectrones se verían atraídos por la carga positiva del núcleo, por lo que propuso que loselectrones orbitaran como si se tratara de un sistema planetario, de forma que se equilibraralas fuerzas eléctricas de atracción con las fuerzas mecánicas de inercia. Es decir, los electronesestarían dando vueltas alrededor del núcleo en órbitas, aunque éstas no serían precisas, dandoal átomo una forma indefinida. Por otra parte, los resultados obtenidos en el experimentopermitieron realizar algunas conjeturas respecto al tamaño relativo de los elementos delátomo pronosticando una distribución espacial de partículas en la que el radio del núcleosería diez mil veces menor que el del átomo. Para el oro, concluyó que el radio del núcleo esde 32 · 10−15 m, mientras que su radio atómico es de 144 · 10−12 m.

Como se verá posteriormente con el estudio de las leyes del electromagnetismo, este mo-delo adolece de una contradicción, puesto que una partícula cargada en movimiento acelerado(todo movimiento curvilíneo lo es, aunque su velocidad absoluta no varíe) emite energía elec-tromagnética y, por tanto, los electrones deberían decelerarse emitiendo energía hasta caeren el núcleo.

Modelo atómico de Bohr

A partir de las primeras teorías de la mecánica cuántica, planteadas por Max Planck en1900 y por Albert Einstein en 1905, Niels Bohr propuso un modelo cuantizado del átomo,en 1913, que permitió justificar las órbitas estables de los electrones alrededor del núcleo,asignando órbitas circulares específicas de mínima energía a cada uno de los electrones. Cadauna de estas órbitas presentaba un nivel energético concreto que se identificaba con un númerocuántico y únicamente podía ser ocupada por un electrón. Aun cuando este modelo ya estásuperado, no deja de ser una buena simplificación de la estructura de la materia, por lo queresulta muy útil, incluso en la actualidad, para la comprensión de la misma. Las principales

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aportaciones de este modelo fueron fundamentalmente dos, siendo la primera de ellas laexistencia de órbitas en las que el electrón no emitía energía electromagnética. Por otro lado,postulaba que los niveles energéticos permitidos para un electrón estaban cuantizados enmúltiplos enteros de la constante de Planck, por lo que un electrón, al cambiar de órbita,emitía o absorbía cantidades fijas de energía. Esto supuso la segunda aportación del modeloBohr, pues así se justificaban los espectros discretos de radiación y absorción que se producenen los gases como consecuencia de saltos de sus electrones entre distintas órbitas.

Con su modelo, Bohr caracterizó los niveles cuánticos del átomo de hidrógeno, encontrán-dose una correcta correspondencia con los espectros de radiación observados en el laboratoriopara ese gas. Sin embargo, al intentar trasladar el modelo a otros elementos, se encontró conque los espectros mostraban niveles de energía distintos en electrones que pertenecían a losmismos niveles energéticos conocidos. La solución a este problema la aportaron Arnold Som-merfeld y Wolfgang Pauli, entre 1920 y 1925, concluyendo que dentro de un mismo nivelpodían existir dos o más subniveles.

Tabla 1.1: Tabla periódica de los elementos.

Grupo

Período↓ I II III IV V VI VIIGasesnobles

1 2

1 H He

3 4 5 6 7 8 9 102 Li Be B C N O F Ne

11 12 13 14 15 16 17 183 Na Mg Al Si P S Cl Ar

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 364 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr

37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

5 Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe

55 56 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 866 Cs Ba * Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn

87 88 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 1187 Fr Ra ** Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg

(*)Lantánidos

57La

58Ce

59Pr

60Nd

61Pm

62Sm

63Eu

64Gd

65Tb

66Dy

67Ho

68Er

69Tm

70Yb

71Lu

(**)Actínidos

89La

90Th

91Pa

92U

93Np

94Pu

95Am

96Cm

97Bk

98Cf

99Es

100Fm

101Md

102No

103Lr

Según la mecánica cuántica, los electrones de un átomo pueden presentar un conjunto deestados discretos. Éstos vienen determinados por cuatro números cuánticos que representananalíticamente un modelo atómico tridimensional.

Para un electrón en órbita, los números cuánticos son n, l, m y s. El número cuánticoprincipal es n y especifica la capa de un electrón. El número cuántico del momento angularu orbital es l y representa la magnitud del momento angular del electrón (en función deeste número aparecen los distintos tipos de orbitales s, p, d, f , g, . . . ) El número cuántico

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que describe la orientación del plano orbital del electrón respecto a un campo magnéticoexterno es m. Por último, s es el espín, que puede ser negativo (−1/2) o positivo (+1/2),según el sentido de rotación del electrón. Estas características permiten ordenar los elementosconocidos en grupos y series de elementos, dando lugar a una tabla (Tabla 1.1) que concuerdacon la ordenación que presenta la tabla periódica de los elementos de Mendeleev (en la Figura1.2 puede verse la tabla publicada originalmente).

Posteriormente, se demostró que los electrones no sólo se comportan como corpúsculos demasa determinada que giran en torno a un núcleo, sino que también presentaban propiedadesondulatorias. Este nuevo punto de vista llevó a Erwin Schrödinger a reformular, en 1926, elmodelo atómico de Bohr como ecuaciones diferenciales, llegando a la ecuación fundamentalde la mecánica cuántica. Este modelo desecha los postulados mecanicistas que representan alas partículas, y en particular a los electrones, como esferas cargadas, pasando a describirlascomo funciones de onda. Estas funciones no describen una posición exacta de un electróndentro del átomo, sino que representa la probabilidad de presencia de un electrón en unaregión acotada del espacio. Al espacio en el que la probabilidad de encontrar al electrón eselevada se le conoce con el nombre de orbital.

1.2.2. Moléculas y tipos de enlaces

Hasta ahora se ha comentado la naturaleza atómica de la materia y que la combinaciónde los elementos básicos da lugar a todos los compuestos existentes. Por ello, se verá aquí deuna forma muy superficial cómo se unen los átomos elementales para formar la materia quenos rodea.

Enlace iónico

La teoría de Dalton suponía que debía existir algo que enlazase átomos de diferenteselementos para dar lugar a otros compuestos químicos. Por ejemplo, se puede preguntar porlos motivos por los que un átomo de cloro (Cl) puede combinarse con un átomo de sodio(Na) para dar lugar a una molécula de cloruro sódico (NaCl), más conocida como sal común.La existencia de elementos químicos que se ionicen fácilmente, cediendo o recibiendo algunoselectrones de su capa de valencia, permite explicar la existencia de dos tipos de iones concarga opuesta que podrían formar una molécula estable. Los experimentos de electrólisismuestran que el cloruro sódico disuelto en agua se encuentra ionizado en dos tipos de iones,cationes de sodio (Na+) con carga positiva y aniones de cloro (Cl−) con carga negativa.Por tanto, la atracción electrostática entre catión y anión permite justificar la combinaciónentre elementos que presenten esa característica de tendencia a la ionización. Este tipo deenlace entre átomos se denomina enlace iónico y es más habitual entre elementos de losgrupos I y II (forman cationes) de la tabla periódica con elementos de los grupos VII y VI(forman aniones).

Enlaces covalente y metálico

La existencia de moléculas con dos átomos idénticos hace que no sea aplicable la teoríade la atracción electrostática para explicar los enlaces de dichas moléculas. Por ejemplo, una

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molécula de oxígeno está formada por dos átomos de oxígeno que, como es lógico, tienen lamisma afinidad por los electrones de su capa de valencia. El enlace que une a estos átomosse denomina enlace covalente y se justifica a partir de la teoría de Bohr, suponiendo que lacombinación de estos átomos da lugar a unos niveles energéticos más estables en combinaciónque por solitario y que, por tanto, existen “órbitas” en las que ambos átomos comparten loselectrones de valencia. Algo parecido sucede con el enlace metálico, en el que un númeroindefinido de átomos comparten los electrones de valencia. Estas cuestiones se explicarán conmás detalle en el Capítulo 2 al tratarse la teoría de bandas en metales y semiconductores,lo que condiciona la conducción eléctrica.

Enlaces y conducción eléctrica

Aunque se dedicará el Capítulo 2 a estudiar estas cuestiones, conviene aquí adelantar queel tipo de enlaces presente en un material suele ser de gran importancia en las característicaseléctricas de dicha sustancia. Más concretamente, una de sus características fundamentales esla facilidad o no que presenta un material para que los electrones de las órbitas más externasde sus átomos puedan pasar a otros átomos; así, si el material facilita esos movimientos,entonces se dice que es conductor, mientras que, por el contrario, si tiende a impedirlos sedenomina aislante.

1.3. Electrización de los materiales

Los materiales se encuentran habitualmente en equilibrio electrostático, esto es, con susátomos en estado neutro. Sin embargo, el primer método conocido de romper ese equilibrioconsiste en frotar entre sí dos cuerpos de los que al menos uno debe ser aislante. Es sobrada-mente conocido el experimento de frotar un bolígrafo de plástico contra una tela, resultandoque así es posible atraer pequeños trozos de papel con dicho bolígrafo. Este fenómeno seconoce como efecto triboeléctrico y se basa en la separación de cargas de los átomos de la su-perficie de los materiales frotados. No se consigue el mismo efecto con todos los materiales ysuele ser más pronunciado con algunas sustancias conocidas desde la antigüedad, como el ám-bar, el vidrio, la ebonita, el papel o telas de distintos tipos. Materiales plásticos como láminasde poliestireno, de PVC o bolsas de polipropileno también son fácilmente electrizables.

(a) (b) (c)

Figura 1.4: Electrización: (a) por fricción, (b) por inducción y (c) por contacto.

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La electrización es un proceso mediante el cual un objeto adquiere carga eléctrica, ya seapositiva (ausencia de electrones) o negativa (presencia de electrones). Por otra parte, comoconsecuencia de dicha electrización, se observa que dos objetos electrizados con el mismo tipode carga se repelerán, mientras que con distinta carga producirán fuerzas atractivas. Esteproceso de intercambio de electrones tiene lugar cuando se frotan dos sustancias aislanteso una sustancia aislante con una conductora, como se muestra en la Figura 1.4(a). Cuandose frotan dos sustancias conductoras, también se produce este efecto, pero no permanece enel tiempo, ya que como las cargas pueden desplazarse libremente por un conductor, éstasvuelven a distribuirse rápidamente por los conductores cuando se dejan de frotar, restable-ciéndose el estado neutro original. Por el contrario, en los aislantes, este efecto persiste enel tiempo, pues al dejar de frotarlos las cargas no pueden desplazarse y permanecen en elmaterial al que se han desplazado debido a la fricción.

Un ejemplo típico de electrización puede observarse en los automóviles, pues éstos ad-quieren cierta carga eléctrica por la fricción del aire sobre la pintura aislante exterior. Comola estructura del vehículo es fundamentalmente conductora, pero está aislada del suelo porlos neumáticos, la carga se distribuye por todo él, pero no se descarga a tierra hasta quealguno de los pasajeros, al descender del vehículo y tocar con los pies en el suelo, conectainvoluntariamente el vehículo con tierra produciéndose la descarga de electricidad estática.

Existe una aplicación práctica de la electrización, de uso cotidiano, que es su utilizaciónen las máquinas fotocopiadoras, en las cuales se electriza selectivamente una hoja de papelpara que atraiga las partículas de tinta en polvo (denominado tóner) que se fijan sobre elpapel formando la imagen copiada.

Actualmente, ha adquirido gran importancia el conocimiento de los fenómenos de elec-trización, pues son los responsables de grandes desperfectos en la industria electrónica, yaque al manipular circuitos electrónicos es posible destruirlos si se produce una descarga elec-trostática (ElectroStatic Discharge, ESD). Por ese motivo es de gran importancia el conocerqué materiales pueden producir una mayor electrización y cómo mantenerlos descargados.Por ejemplo, una persona que camina sobre una alfombra en un ambiente de gran sequedadpuede llegar a acumular una gran cantidad de carga, por lo que si se trata de un operario quedeba manipular, por ejemplo, unos circuitos integrados de memoria de un equipo informáticopuede destruirlos con sólo tocarlos con una mano. Así, en la industria electrónica, es habi-tual el que los operarios deban portar unas pulseras conectadas eléctricamente a tierra, quevistan trajes y calzado especiales y que trabajen sobre alfombras y tapetes que conduzcanfácilmente la carga eléctrica a tierra.

Se ha comentado que la capacidad de electrización por fricción no es la misma con todoslos materiales, sino que algunos de ellos lo hacen en mayor medida. Existe una clasificaciónexperimental de muchos materiales que permiten conocer si es más o menos propenso queotros a cargarse positiva o negativamente. Se trata de la tabla conocida como serie tri-boeléctrica, de la que se ofrece una muestra en la Tabla 1.2. El algodón es el materialde referencia y, por un lado, el teflón tiene la máxima tendencia a cargarse negativamente,mientras que, por otro lado, el aire tiene la máxima tendencia a cargarse positivamente. Portanto, la electrización es máxima cuando se frotan materiales de los extremos de esa serie.

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Tabla 1.2: Serie triboeléctrica (el algodón es el material de referencia).

Materiales...

electronegativos ↑ Algodón (Referencia)

Teflón Papel

Silicio Aluminio

Poliéster Seda

Oro Piel

Cobre Lana

Caucho Vidrio

Ámbar Manos

Acero Aire

Algodón (Referencia) Materiales...

↓ electropositivos

Ya se ha dejado entrever que el proceso de electrización no sólo se produce por efec-to triboeléctrico, sino que al poner en contacto un elemento cargado con otro descargadose transfieren cargas entre ellos (lo que permite cargar objetos conductores) haciendo queambos resulten electrizados con el mismo tipo de carga. A este proceso se le conoce comoelectrización por contacto, según se muestra en la Figura 1.4(c)

Existe una tercera forma de electrización, denominada electrización por inducción,que se produce sin necesidad de contacto entre materiales y se debe a las fuerzas de Coulombejercidas por un objeto cargado sobre los electrones de otro objeto descargado, como puedeverse en la Figura 1.4(b). Este efecto es muy claro cuando un conductor descargado se sitúaen las inmediaciones de un objeto cargado, pues éste atraerá o repelerá a los electronesdel conductor provocando que éstos se concentren en uno de sus extremos dando lugar aun desequilibrio local, aunque el objeto siga siendo eléctricamente neutro. Más adelante severá que este fenómeno resulta fundamental en la polarización de aislantes, en la carga dedispositivos denominados condensadores o en la actuación de elementos electrónicos comolos denominados transistores de efecto campo.

(a) (b)

Figura 1.5: Dispositivos electrostáticos: (a) electroscopio, (b) balanza de torsión electrostática.

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Un dispositivo que utiliza los mecanismos de electrización estudiados anteriormente es elelectroscopio. Este instrumento fue inventado por el médico inglés William Gilbert (1544-1603)para experimentar con las cargas electrostáticas y permite comprobar la presencia de un ob-jeto electrizado, su carga eléctrica y el signo de la misma. Como se aprecia en la Figura 1.5(a),este aparato consiste en una varilla metálica aislada que tiene conectadas en uno de sus ex-tremos dos láminas metálicas delgadas que pueden girar respecto de ese extremo. El otroextremo es el terminal de carga y suele ser esférico para mejorar sus características electros-táticas, ya que las cargas eléctricas tienden a concentrarse en zonas puntiagudas o de radiode curvatura pequeño. La varilla se introduce en una botella de vidrio transparente que hacede aislamiento.

El funcionamiento del electroscopio es sencillo una vez que se conoce el comportamientode las cargas eléctricas. Al poner un objeto cargado en contacto con el extremo de la varillametálica, ésta se electriza por contacto. Sin embargo, como es conductora, entonces la cargase distribuye por todo el volumen metálico, láminas incluidas. Debido a que ambas láminastienen el mismo tipo de carga, según la ley de Coulomb que se verá a continuación, serepelerán entre sí distanciándose una de la otra por el extremo libre hasta adquirir un ángulotal que la fuerza de repulsión equilibre el efecto mecánico del peso de las láminas, por lo que elángulo de abertura de las láminas dependerá de la cantidad de carga que se haya desplazadoa ellas. Además, si se electriza previamente la varilla con una serie de cargas conocidas, esposible calibrar el electroscopio.

1.4. Fuerzas y ley de Coulomb

Varias experiencias evidencian la existencia de fuerzas de origen eléctrico. Por ejemplo,las experiencias de la atracción de pequeñas partículas mediante materiales electrificados ola de repulsión en las láminas de un electroscopio constatan no sólo la existencia de dichasfuerzas, sino que pueden ser de signos opuestos, de atracción o de repulsión.

Fue el físico e ingeniero militar francés Charles A. Coulomb, buen conocedor de los esfuer-zos mecánicos en hilos y vigas, quien utilizó una balanza de torsión para medir las fuerzas deatracción y repulsión electrostática, publicando en 1785 la ley que lleva su nombre. Entre susconclusiones, establece que la atracción o repulsión electrostática dependen de la desigualdado igualdad del signo de las cargas respectivas de los materiales que interactúan.

La balanza utilizada se muestra, de forma esquemática, en la Figura 1.5(b) y consta dedos esferas equilibradas en peso unidas por una barra y suspendidas por un hilo cuya torsiónera conocida (la relación entre el par de torsión y el giro observado). Si se carga una de estasesferas y frente a ella se sitúa otra esfera cargada, entonces es posible medir el giro del hilo aque da lugar la interacción electrostática entre esas esferas. A partir de una serie de medidasde la torsión del hilo provocada por diversas cargas, Coulomb pudo llegar a las conclusionesconocidas por la ley que lleva su nombre.

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1.4.1. Ley de Coulomb

La ley de Coulomb de la electrostática se puede enunciar mediante las siguientes afir-maciones:

Dos cargas del mismo tipo (signo) se repelen, mientras que si son de tipos distintos seatraen.

La magnitud de la fuerza de atracción o de repulsión es directamente proporcional alproducto de sus cargas y es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia quelas separa.

La dirección en la que se manifiesta dicha fuerza viene determinada por una recta quepasa por ambas cargas.

o en forma matemática:

F = kQ1Q2

d2(1.1)

donde k es una constante de proporcionalidad de valor igual a 9,0·109 N·m2/C. Esta constanteequivale a

k =1

4πǫ0(1.2)

donde ǫ0 es la denominada permitividad del vacío y su significado se tratará con másdetalle en el Capítulo 3. El valor de la permitividad del vacío es ǫ0 = 8,854 · 10−12 C2/N·m2.

Debe observarse que la expresión (1.1) sólo permite calcular la magnitud de la fuerza deatracción o de repulsión (su módulo), por lo que si desea conocer la dirección y sentido dela fuerza resultante debe deducirse cualitativamente. En el caso mostrado en la Figura 1.6puede observarse que, según la ley de Coulomb, las fuerzas sobre las cargas son de atracciónpor ser las cargas de signos opuestos. La fuerza sobre QA es idéntica a la fuerza sobre QB,pero de signo contrario, lo que resulta acorde con la ley de Newton de acción y reacción.

Y

X

dQA

QB

A(xA, yA)

B(xB, yB)

~FA

~FB

~rA

~rB

~rAB

xA xB

yA

yB

Figura 1.6: Ley de Coulomb: atracción de cargas de signo opuesto y vectores de posición.

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Para determinar la dirección y sentido de las fuerzas puede ser más adecuada la expresiónsiguiente:

~F = kQAQB

d2~uQA−QB

(1.3)

donde ~uQA−QBes un vector unitario (su módulo vale 1) que tiene la dirección de la recta

que pasa por las cargas QA y QB y el sentido indicado por la ley de Coulomb, pero teniendoen cuenta el principio de acción y de reacción de Newton. Si se desea calcular directamentela fuerza ~FA sobre la carga QA, entonces el sentido de este vector unitario debe ser tal que“vaya hacia” la carga sobre la que se desea conocer la fuerza, esto es:

~FA = kQAQB

d2~uQB−QA

= kQAQB

d2~uBA = k

QAQB

d2

( ~rA − ~rB

|~rA − ~rB|)

(1.4)

donde ~rA y ~rB son los vectores directores de los puntos en los que se encuentran esas cargas.Obsérvese que ~rA −~rB no es unitario (tiene módulo igual a d), mientras que el término entreparéntesis en (1.4) sí lo es.

Si se tiene en cuenta que d = |~rA −~rB |, entonces la ecuación (1.4) puede escribirse como:

~FA = kQAQB

d2~uBA = k

QAQB

|~rA − ~rB |3 (~rA − ~rB)

~FB = kQAQB

d2~uAB = k

QAQB

|~rA − ~rB |3 (~rB − ~rA)

(1.5)

En el ejemplo siguiente se aclarará el significado de los diversos elementos involucradosen esta ley, especialmente el formalismo matemático utilizado.

EJEMPLO 1.1

Para las cargas QA y QB de la Figura 1.6,calcule la fuerza de atracción o repulsión enlos casos siguientes:

(a) Las cargas son QA = 7 µC, QB = 5µCy están separadas por una distancia d = 3 msobre el eje X.

(b) En este caso valores de las cargas sonQA = −7µC y QB = 5 µC, estando situadasen los puntos P(x,y): A(−1, 0) y B(2,0), deunos ejes coordenados con sus unidades indi-cadas en metros.

(c) La carga QA está situada en A(−3, 0)y tiene una carga de −7µC, mientras que lacarga QB está situada en B(0, 4) y tiene unacarga de +5µC.

(d) Finalmente, suponga que las cargas sonQA = +7 µC, QB = −5µC y están situadasen los puntos A(−1, 3) y B(2,−1).

SOLUCIÓN

Caso a: La figura siguiente muestra esta si-tuación:

XQA QB

~FA~FB

d

Aplicando la ley de Coulomb, se tiene:

F = keQ1Q2

d2= ke

7 · 10−6 · 5 · 10−6

32=

= 0,035 N

donde se observa que se han tomado los va-lores absolutos de las cargas, pero se analizala situación de forma cualitativa para deducirque la fuerza en este caso debe ser de repul-sión y con dirección del eje X y de sentido po-sitivo sobre la carga B y negativo sobre la car-ga A, o sea, ~FA = −0,035i N y ~FB = 0,035i N

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Caso b: Ahora, la nueva situación es la mos-trada en la figura siguiente:

X

Y

QA QB~FA~FB

d

De la figura se deduce que:

~rBA = ~rA − ~rB =

= (−1, 0) − (2, 0) = −i − 2i =

= −3i = (−3, 0) m

donde se ha utilizado tanto la notación car-tesiana como la que utiliza los vectores direc-tores de los ejes.

Aplicando la expresión (1.5), se tiene:

~FA = keQAQB

d2~uBA =

= ke(−7 · 10−6) 5 · 10−6

33(−3i) =

= 0,035i N

~FB = keQAQB

d2 ~uAB =

= ke(−7 · 10−6) 5 · 10−6

33 (3i) =

= −0,035i N

Caso c: Ahora, la figura siguiente muestrala nueva posición de las cargas y sus signos:

X

Y

QA

QB

~FA

~FB

d


~rAB = ~rB − ~rA = (4j) − (−3i) =

= 3i + 4j m


Ahora la distancia entre cargas vale:

d = |~rAB | =p

32 + 42 = 5 m


~FA = keQAQB

d2~uBA =

= ke7 · 10−6 5 · 10−6

53(−3i − 4j) =

= −2,52(3i + 4j)mN

~FB = keQAQB

d2~uAB =

= ke7 · 10−6 5 · 10−6

53 (3i + 4j) =

= 2,52(3i + 4j) mN

Caso d: Finalmente, la nueva posición de lascargas y sus signos se muestra en la siguientefigura:

X

Y

QA

QB

~FA

~FB


~rAB = ~rB − ~rA = (2i − j) − (−i + 3j) =

= 3i − 4j m


Ahora la distancia entre cargas vale:

d = |~rAB | =q

32 + (−4)2 = 5m

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~FA = keQAQB

d2~uBA =

= ke7 · 10−6 (−5 · 10−6)

53(−3i + 4j) =

= 2,52(3i − 4j) mN

~FB = keQAQB

d2~uAB =

= ke7 · 10−6 (−5 · 10−6)

53(3i − 4j) =

= 2,52(−3i + 4j) mN

Principio de superposición

Anteriormente se ha evaluado el efecto de una carga sobre otra exponiendo la formamatemática de la ley de Coulomb para dos partículas cargadas. Sin embargo, es eviden-te preguntarse por el efecto que sobre una partícula determinada producen varias cargasdispuestas en sus proximidades.

Debido al carácter vectorial de una fuerza, aquí también puede aplicarse el principio desuperposición por el que la fuerza resultante de la acción combinada de una serie de cargas,es igual a la suma vectorial de las acciones individuales de cada una de ellas. Así, la fuerzaresultante sobre una partícula cargada QP , situada en el punto P del espacio, debida a laacción de varias cargas Q1 . . . Qn situadas en los puntos con vectores de posición ~r1 . . . ~rn esigual a la suma vectorial de cada una de las acciones individuales, ~F1P . . . ~FnP . Según (1.4),la fuerza ~FiP ejercida por una carga Qi, situada en el punto de vector director ~ri, sobre lacarga QP , situada en P, con vector director ~rP es:

~FiP = kQP · Qi

d2iP

~uiP = kQP Qi

|~rP − ~ri|3(~rP − ~ri) (1.6)

donde diP es la distancia entre las cargas Qi y QP .

Por tanto, al aplicar el principio de superposición, se tiene que la fuerza resultante sobreQP es:

~FP =

n∑

1

~FiP = kQP

n∑

1

Qi

d2iP

~uiP = QP

n∑

1

Qi

|~rP − ~ri|3(~rP − ~ri) (1.7)

EJEMPLO 1.2

Se disponen cuatro cargas QA, QB , QC yQD en los puntos A(2,0), B(−2, 0), C(0,2) yD(0,−2). Calcule la fuerza que ejercen estascargas sobre una carga de −5µC si se sabeque todas las cargas son de 20µC, pero don-de las cargas de A y C son positivas, mientrasque las situadas en B y D son negativas.

SOLUCIÓN

La figura siguiente muestra esta situación:

X

Y

QA

QB

QC

QD

QP~FAP

~FBP~FCP

~FDP

~FP

Como la carga QP está a la misma distanciade cada una de las otras cargas, entonces la

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aplicación de la ley de Coulomb conduce a:

~FiP = keQP Qi

d2iP

~uiP =

= ke−5 · 10−6 · ±20 · 10−6

22~uiP =

= ±2,25 ~uiP N

Obteniéndose que los módulos de las cua-tro fuerzas son iguales, pero sus direccionesy sentidos dependen del signo de la cargaQi y del vector director ~uiP . Por tanto, si

se observa que ~uBP = −~uAP = i y que~uBP = −~uAP = i, resulta que la fuerza queejercen las cuatro cargas sobre QP es:

~FP = ~FAP + ~FBP + ~FCP + ~FDP =

= 0,035(i + j) N

Finalmente, si las cuatro cargas tuviesen elmismo signo (positivo o negativo) resultaríaque la fuerza resultante sobre QP sería nula,independientemente del signo de esta última.

1.5. Campo eléctrico

El concepto de campo es una abstracción que facilita el estudio de todo aquello que seasensible a dicho campo. Una forma sencilla de comprender el campo eléctrico es analizar laanalogía existente entre las fuerzas de Coulomb y la fuerza de la gravedad, medible sobre lasuperficie de nuestro planeta. A todo el mundo le parecerá evidente que el peso de diversascantidades de fruta que intentemos comprar en una frutería sólo dependerá de la masa dela fruta que se ponga sobre la báscula. Pues bien, esto es así porque damos por hechoque existe un campo gravitatorio terrestre que es constante en toda la superficie terrestre.Realmente, este campo depende de la masa terrestre y, si se supone constante, dará lugar aque sobre cualquier masa m que se sitúe en su superficie aparezca una aceleración gravitatoriaconstante, ~g, produciendo sobre esa masa una fuerza ~F que, según la segunda ley de Newton,es ~F = m~g.

En el caso de las fuerzas electrostáticas, podemos intentar realizar algo análogo asociandoa una o varias cargas un campo eléctrico, de tal forma que, al situar en él una cargadeterminada, podremos calcular la fuerza que soporta la nueva carga de forma inmediatamediante una simple multiplicación. Si denotamos por ~E al campo eléctrico producido porun conjunto de cargas, la fuerza de Coulomb que se produce sobre una carga q expuesta adicho campo será igual a q ~E, es decir:

~F = q ~E ⇒ ~E =~F

q(1.8)

Resulta evidente que con este enfoque, el cálculo del campo eléctrico equivale a calcular lafuerza que se ejerce sobre una “carga de prueba” positiva de 1 C que se sitúa sobre un puntoen el que se desea conocer el campo.

A partir de la expresión (1.8) se deduce que la unidad del campo eléctrico es el newton porculombio, N/C. Al módulo del campo eléctrico, ~E, se le denomina intensidad del campoeléctrico.

La expresión matemática para el campo eléctrico creado por una única carga Qi situadaen un punto de vector director ~ri es similar a (1.5), pero teniendo en cuenta que el vector

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campo tiene el sentido desde “la carga hacia el punto” P en el que se desea calcular dichocampo:

~EP = k Qi~rP − ~ri

|~rP − ~ri|3(1.9)

y, de forma similar, la expresión para el campo producido por N cargas sería:

~EP = k

N∑

1

Qi(~rP − ~ri)

|~rP − ~ri|3(1.10)

Líneas de campo

Se conoce por líneas de campo a unas líneas que tienen su origen y su destino en lascargas eléctricas (o en el infinito) existentes en un determinado entorno, tales que en cadapunto de esas líneas el vector campo eléctrico ~E es tangente a la línea de campo. En laFigura 1.7 se muestran algunas líneas de campo producidas por un dipolo (cargas igualesy de distinto signo). Si se situase una carga de prueba positiva en un punto de una línea decampo, la fuerza resultante sería tangente a dicha línea (en dicha figura se muestran esosvectores de campo en cuatro posiciones sobre una línea).

~E

Figura 1.7: Líneas de campo producidas por cargas iguales y de distinto signo (dipolo).

1.5.1. Campo eléctrico debido a distribuciones de carga

Hasta ahora se ha visto cómo calcular tanto el campo eléctrico como las fuerzas resultantesdebidos a cargas puntuales. Sin embargo, en la práctica, lo más habitual es encontrar unacierta cantidad de carga que se encuentra distribuida sobre un objeto por lo que si se deseaconocer el campo eléctrico que existe, por ejemplo, debajo de una línea de alta tensión hayque tener en cuenta que la carga distribuida a lo largo de dicha línea en vez de pensar encargas puntuales.

La carga eléctrica y su distribución espacial

Según se desprende de lo explicado en los apartados anteriores, la mínima unidad de cargaeléctrica que se puede transferir de un cuerpo a otro es la carga de un electrón. Cualquier

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cantidad de carga superior a ésta debe ser múltiplo entero de la carga de un electrón, y poreste motivo se dice que la carga eléctrica está cuantizada. En el Sistema Internacional deunidades, la unidad de medida de carga eléctrica es el culombio (C), siendo la carga de unelectrón igual a −1,60 · 10−19 C, o lo que es lo mismo, son necesarios 6,24 · 1018 electronespara tener una carga negativa de un culombio. Un protón tiene la misma cantidad de carga,pero con signo positivo, aunque el principal protagonista de la electrización es el electróndebido a que es el que puede desplazarse con mayor o menor facilidad desde unos átomos aotros. Por tanto, la electrización con carga positiva se debe a la pérdida de electrones.

En general, la carga eléctrica no se encuentra concentrada en un punto, sino que sue-le encontrarse distribuida por los objetos electrizados de forma homogénea o no. Según lasdimensiones del objeto por el que se distribuye una cierta cantidad de carga, pueden distin-guirse tres casos extremos: la distribución lineal de carga, la distribución superficial de cargay la distribución volumétrica de carga.

1. Si una cantidad de carga eléctrica Q está distribuida por un cuerpo lineal de anchuradespreciable y de longitud L (como puede verse en la Figura 1.10), entonces hablaremosde densidad longitudinal de carga λ, cuyo valor será, para el caso de que la carga estéuniformemente distribuida por dicha longitud:

λ =Q

L

y su unidad de medida es el Cm−1.

2. Si una cantidad de carga eléctrica Q está distribuida por toda la superficie S de uncuerpo (como puede verse en la Figura 1.11), entonces hablaremos de densidad su-perficial de carga σ, cuyo valor será, para el caso de que la carga esté uniformementedistribuida por dicha superficie:

σ =Q

S

utilizándose como unidad de medida el Cm−2.

3. Si una cantidad de carga eléctrica Q está distribuida por todo un volumen V de uncuerpo, entonces hablaremos de densidad volumétrica de carga ρ, cuyo valor será, parael caso de que la carga esté uniformemente distribuida por dicho volumen:

ρ =Q

V

siendo ahora su unidad de medida el Cm−3.

Campo eléctrico debido a distribuciones de carga

El campo eléctrico para una distribución uniforme de carga en un volumen V es:

~EP = k

∫

V

ρ~rρ

|~rP − ~rρ|3dV (1.11)

donde la integral representa la suma de las pequeñas contribuciones al campo de cada unode los elementos de volumen dV que están cargados con una carga ρ, y ~rρ es el vector deposición de dicho elemento cargado.

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De forma similar, las expresiones para el campo creado por distribuciones superficiales ylongitudinales de carga son:

~EP = k

∫

S

σ~rσ

|~rP − ~rσ|3dS

~EP = k

∫

L

λ~rλ

|~rP − ~rλ|3dL

(1.12)

Más adelante se verá que el cálculo del campo eléctrico debido a distribuciones de cargapueden simplificarse en buena parte de los casos mediante la aplicación de la ley de Gauss,lo que evita la resolución de las expresiones integrales presentadas anteriormente.

1.6. El flujo eléctrico

Una vez visto el concepto de líneas de campo eléctrico creadas por una carga eléctricapuntual o por una distribución de cargas, el paso siguiente es cuantificarlo midiendo el númerode líneas de campo que atraviesan una superficie cualquiera. Esta medida cuantitativa la dael flujo eléctrico.

~E

S1 S2

θ

S3

~E

(a) (b)

Figura 1.8: Definición del flujo eléctrico.

Sea un campo eléctrico uniforme ~E y una superficie S1 perpendicular al campo y deárea A, tal y como se representa en la Figura 1.8(a). Como la densidad de líneas de campoeléctrico es proporcional a la intensidad del campo, E, el número de líneas que atraviesa lasuperficie A1 será proporcional al producto de E por A. De esta forma, se define el flujoeléctrico como el producto de la intensidad del campo eléctrico E por el área A de lasuperficie perpendicular al campo:

Φ = E A (1.13)

A partir de esta expresión, se deduce que la unidad del flujo eléctrico es el newton-metrocuadrado por culombio, Nm2/C. Más adelante se verá que otra unidad del campo eléctrico

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es el voltio por metro, V/m, por lo que el flujo eléctrico también puede expresarse en voltio-metro, Vm:

1Nm2

C= 1 Vm

El flujo eléctrico, tal y como se ha visto, se ha definido para una superficie perpendicularal campo eléctrico. En la Figura 1.8(b), la superficie S2 tiene un área A y no es perpendicularal campo eléctrico ~E, sino que su normal forma un ángulo θ con él; el número de líneas decampo que atraviesan la superficie S2 es igual que el que atraviesa la superficie S3, que sí esperpendicular al campo eléctrico y cuya área es A cos θ. Así, para una superficie cualquierade área A cuya normal forma un ángulo θ con el campo eléctrico ~E, se define el flujo eléctricocomo:

Φ = E A cos θ = ~E ◦ ~A (1.14)

d ~A

θ ~E

△A

Figura 1.9: Definición del flujo eléctrico a través de un elemento diferencial de superficie.

En general, para una superficie cualquiera, el campo eléctrico puede variar tanto enintensidad como en el ángulo que forma con la normal a la superficie. Para obtener unaexpresión general del flujo eléctrico, considérese ahora un pequeño elemento diferencial desuperficie de área ∆A de una superficie cualquiera, tal y como se representa en la Figura 1.9.El flujo eléctrico ∆Φ a través de ese pequeño elemento de superficie es:

∆Φ = E ∆A cos θ = ~E ◦ ∆ ~A (1.15)

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Integrando esta expresión para toda la superficie considerada, S, se obtiene el flujo totala través de ella:

Φ =

∫

S

~E ◦ d ~A (1.16)

Supóngase ahora que la superficie considerada es una superficie cerrada (es decir, unasuperficie que divide el espacio en dos regiones, una interior y otra exterior a ella, de talforma que para pasar de una a otra siempre hay que atravesar la superficie). El flujo eléctricototal o neto ΦC es proporcional al número neto de líneas de campo que atraviesan esasuperficie cerrada, entendiendo por tal al número de líneas de campo eléctrico que salen de lasuperficie menos el número de líneas que entran en ella. Matemáticamente, se expresa como:

ΦC =

∮

~E ◦ d ~A =

∮

En dA (1.17)

donde el símbolo∮

representa la integral sobre una superficie cerrada y el término En es lacomponente del campo eléctrico normal a la superficie en el elemento de superficie diferencialdA. Aunque el cálculo de esta integral en muchos casos puede resultar complejo, en otros essencillo si existe simetría en la superficie o si el campo eléctrico es uniforme. El ejemplo 1.3permite ilustrar esta sencillez.

EJEMPLO 1.3

Sea el prisma triángular de la figura que seencuentra dentro de un campo eléctrico uni-forme ~E orientado en la dirección del eje x.Calcular el flujo eléctrico neto que atraviesala superficie cerrada definida por el prisma.

Y

X

Z

d ~A

θ

d ~A

αa

~E

SOLUCIÓN

El flujo eléctrico neto ΦC puede calcularsecomo la suma del flujo que atraviesa cadauna de las cinco caras del prisma. Las doscaras triangulares, como se observa en la fi-gura, son paralelas al campo eléctrico, por lo

que el flujo eléctrico en cada una de ellas escero, ya que las líneas de campo eléctrico nolas atraviesan. Lo mismo ocurre con la baserectangular paralela al plano xz.

Para la cara cuadrada paralela al planoyz, el flujo eléctrico es, según (1.14):

Φ1 = EA cos 180o = − Ea2

El signo menos indica que las líneas de cam-po eléctrico en esa cara entran en la superficiecerrada definida por el prisma. Para la carainclinada, el flujo eléctrico es:

Φ2 = EA cos θ =

= Ea2

sen αcos(90o − α) = Ea2

Así, el flujo total o neto que atraviesa la su-perficie cerrada definida por el prisma es:

ΦC = Φ1 + Φ2 = − Ea2 + Ea2 = 0

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Este resultado se podía anticipar, ya que alser el campo eléctrico uniforme y exterior alprisma (no hay cargas en su interior), el nú-mero de líneas de campo que entran en esa

superficie cerrada es igual al de las que saleny, por tanto, el flujo eléctrico neto es nulo.

1.7. La ley de Gauss

En el ejemplo 1.3 se ha visto que al no existir ninguna carga en el interior del prisma,el flujo eléctrico es nulo. Este mismo resultado se obtiene para cualquier superficie cerradaen cuyo interior no haya una carga neta. Por tanto, lo que interesa son los casos en los quedentro de la superficie cerrada existe una carga puntual o una distribución de cargas conuna carga neta no nula; la relación que exista entre el flujo eléctrico neto que atraviesa lasuperficie y la carga neta que hay dentro de ella se conoce como ley de Gauss y es una de lasleyes fundamentales de los campos eléctricos.

Para llegar a esta ley, considérese una esfera hueca de radio r y espesor despreciable yuna carga puntual q situada en su centro. A partir de la ley de Coulomb, el campo eléctricoen cualquier punto de la superficie esférica debido a la carga q es:

E = kq

r2(1.18)

En este caso, las líneas de campo eléctrico son radiales, perpendiculares a la superficie entodos sus puntos y dirigidas hacia fuera (ya que se considera que la carga q es positiva). Deesta forma, al aplicar la expresión (1.17), el flujo neto a través de la superficie esférica es:

ΦC =

∮

En dA = E

∮

dA =kq

r2(4πr2) = 4πkq (1.19)

y teniendo en cuenta el valor de la constante de Coulomb (k = 1/4πǫ0), resulta:

ΦC =q

ǫ0(1.20)

Como se puede apreciar, el resultado es independiente del radio r de la esfera y dependesólo de la carga q encerrada en ella. Este resultado obtenido para el caso particular de unasuperficie esférica se demuestra que es válido para cualquier superficie cerrada, denominadatambién superficie gaussiana, y constituye la ley de Gauss.

La ley de Gauss es, por tanto, la generalización del caso anterior y establece que elflujo eléctrico neto a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta que seencuentra en su interior dividida por la permitividad del vacío ǫ0. De forma integral, la leyde Gauss se puede escribir como:

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ΦC =

∮

~E ◦ d ~A =qint

ǫ0(1.21)

Al aplicar la expresión (1.21) ha de tenerse en cuenta que ~E es el campo eléctrico totaly, por tanto, incluye tanto el campo eléctrico creado por las cargas que se encuentran en elinterior de la superficie gaussiana como cualquier otro campo eléctrico exterior a ella.

La ley de Gauss se puede aplicar también en sentido inverso, es decir, para calcularel campo eléctrico creado por una distribución cualquiera de cargas. Sin embargo, y porsencillez, esto se hace sólo en aquellos casos en los que hay una elevada simetría, como, porejemplo, cuando la distribución de cargas tiene simetría esférica, cilíndrica o plana. Algunosde estos casos se analizan a continuación.

1.7.1. Esfera uniformemente cargada

Sea una esfera aislante de radio R con una carga total Q distribuida uniformemente en suvolumen, lo que se corresponde con una carga por unidad de volumen ρ constante de valorρ = Q/V . Para calcular el campo eléctrico en cualquier punto exterior a la esfera situado auna distancia r del centro (y, por tanto, r > R), se elige como superficie gaussiana una esferaconcéntrica de radio r. Aplicando la ley de Gauss, se tiene:

ΦC =Q

ǫ0= EA = E 4πr2 (1.22)

de donde se obtiene:

E =Q

4πr2ǫ0= k

Q

r2(1.23)

Es decir, el campo eléctrico en cualquier punto exterior a la esfera es igual que el queproduce una carga puntual Q situada en el centro de la esfera.

Para calcular la intensidad del campo eléctrico en un punto cualquiera de la esfera a unadistancia r de su centro (y, por tanto, r < R), se toma como superficie gaussiana una esferade radio r. Aplicando la ley de Gauss, se tiene ahora:

ΦC =qint

ǫ0= E 4πr2 (1.24)

Como la distribución de carga por unidad de volumen en la esfera es uniforme, la cargaqint en el interior de la superficie cerrada elegida es:

qint = ρ4

3πr3 = Q

r3

R3(1.25)

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Sustituyendo este valor en la expresión (1.24) y despejando E, se obtiene:

E = Qr3

R3

1

ǫ04πr2= k

Q

R3r (1.26)

¿Qué ocurriría en el caso de que toda la carga Q estuviese distribuida uniformemente en lasuperficie de la esfera (caso de una esfera aislante hueca de espesor despreciable)? Aplicandola ley de Gauss y operando de la misma forma, para cualquier punto exterior a la esferahueca se obtiene que la intensidad del campo eléctrico es la dada por la expresión (1.23),mientras que para cualquier punto interior es nulo.

1.7.2. Distribución longitudinal uniforme de carga

Sea una distribución lineal de carga de longitud infinita en la que la carga por unidad delongitud es λ. Para calcular el campo eléctrico a una distancia r de la carga lineal se tomacomo superficie gaussiana un cilindro de radio r y longitud l cuyo eje coincida con el de ladistribución de carga, tal y como se representa en la Figura 1.10.

r

l

~E

d ~A

Figura 1.10: Distribución longitudinal uniforme de carga.

El campo eléctrico ~E creado por la carga lineal es perpendicular a la superficie curvadel cilindro y de valor constante en cualquier punto de esa superficie. En las dos tapas delcilindro, como ~E es paralelo a la superficie, el flujo eléctrico a través de ellas es cero. De estaforma, el flujo eléctrico neto corresponde sólo a las líneas de campo eléctrico que atraviesanla superficie curva del cilindro. Aplicando la ley de Gauss, se tiene:

ΦC =qint

ǫ0=

λl

ǫ0= E 2πrl (1.27)

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de donde se despeja el valor del campo eléctrico:

E =λ

2πǫ0r= 2k

λ

r(1.28)

1.7.3. Superficie plana uniformemente cargada

Sea una superficie aislante plana e infinita que tiene una carga por unidad de superficie σuniforme. El campo eléctrico que crea será también uniforme, perpendicular a la superficie yde sentidos opuestos en cada lado de la superficie, tal y como se representa en la Figura 1.11.Para calcular el campo eléctrico en un punto situado a una distancia x de la superficie plana,se toma como superficie cerrada un cilindro de radio r y longitud 2x perpendicular a lasuperficie.

~E

~E

Figura 1.11: Superficie plana uniformemente cargada.

El flujo eléctrico a través de la superficie curva del cilindro es cero, ya que el campoeléctrico ~E es perpendicular a la normal de esa superficie en todos sus puntos. Por tanto, elflujo eléctrico neto será únicamente el debido a las líneas de campo eléctrico que atraviesanlas dos tapas circulares del cilindro:

ΦC = EA = E2πr2 (1.29)

La carga encerrada en la superficie gaussiana es la que corresponde a un círculo de radior (que es la intersección entre el cilindro y la superficie plana), por lo que al aplicar la ley deGauss, resulta:

ΦC =qint

ǫ0=

πr2σ

ǫ0= E 2πr2 (1.30)

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de donde se despeja el valor del campo eléctrico:

E =σ

2ǫ0(1.31)

Como se observa, la distancia x entre el punto y la superficie plana no aparece, por lo queel valor del campo eléctrico es el mismo para cualquier distancia al plano plano cargado. Esdecir, el campo eléctrico es uniforme en todos los puntos y perpendicular a la superficie delplano. Este resultado tiene una importante aplicación práctica para el caso del condensadorde placas paralelas, que se verá en el Capítulo 3.

1.8. Conductores en equilibrio electrostático

Un conductor es un material generalmente metálico, como, por ejemplo, el cobre, queposee una cierta cantidad de electrones que pueden moverse libremente dentro del material,ya que no están ligados a sus átomos. Esto hace que en presencia de un campo eléctrico enel conductor esos electrones se muevan originando una corriente eléctrica (esta característicaeléctrica de los materiales es el objeto del capítulo siguiente). Sin embargo, cuando dentrode un conductor no hay un movimiento neto de carga eléctrica, se dice que el conductor estáen equilibrio electrostático. Un conductor en equilibrio electrostático tiene las siguientespropiedades:

El campo eléctrico en cualquier punto del interior del conductor es cero.

Cualquier exceso de carga en un conductor aislado está situada enteramente sobre susuperficie.

El campo eléctrico en cualquier punto exterior sobre la superficie del conductor esperpendicular a la superficie y tiene un valor de σ/ǫ0, donde σ es la carga por unidadde superficie en ese punto.

En un conductor de forma irregular, la carga tiende a acumularse en regiones donde elradio de curvatura de la superficie es menor, como, por ejemplo, las puntas.

La primera propiedad se comprende fácilmente a la vista de la Figura 1.12. Considéreseuna lámina de material conductor aislada que tiene un cierto espesor (aunque menor que elresto de sus dimensiones) situada dentro de un campo eléctrico exterior ~E uniforme. Ante lapresencia del campo eléctrico exterior, los electrones libres del conductor se moverán haciala izquierda, dejando la cara derecha de la lámina con una carga neta positiva (por falta deelectrones) y la cara izquierda con una carga negativa (por exceso de electrones) del mismovalor absoluto. Esta distribución de cargas hace que en el interior del conductor aparezca uncampo eléctrico interno de valor − ~E que anula el campo eléctrico exterior. Este movimiento decargas se realiza rápidamente, de forma que en un buen conductor el equilibrio electrostáticose recupera en un orden de microsegundos. Así, el campo eléctrico en el interior del conductores cero, mientras que las líneas de campo del campo eléctrico exterior terminan en la caraizquierda de la lámina conductora y empiezan de nuevo en la cara derecha.

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~E~E

Figura 1.12: Equilibrio electrostático: lámina conductora aislada situada en el interior de un campoeléctrico.

A partir de esta primera propiedad y de la ley de Gauss, se demuestran las propiedadessegunda y tercera. Considérese una superficie gaussiana cualquiera dentro del conductor queesté próxima a su superficie. Como el campo eléctrico es cero dentro del conductor, tal ycomo se ha visto, también lo será en cualquier punto de la superficie gaussiana consideraday, por tanto, el flujo eléctrico neto que la atraviesa también será cero. A partir de este hechoy mediante la ley de Gauss, se concluye que no puede haber carga neta dentro de la superficiecerrada considerada, que está dentro del conductor, por lo que cualquier carga neta que existaen el conductor ha de encontrarse necesariamente en su superficie.

La cuarta y última propiedad de los conductores en equilibrio electrostático indica cómose distribuye ese exceso de carga (carga neta) en la superficie del conductor. La demostraciónde esa propiedad se hace en el apartado 3.4, ya que son necesarios conceptos desarrolladosen los próximos capítulos.

EJEMPLO 1.4

La lámina plana conductora de la Figura 1.12es un cuadrado de 10 m de lado y el campoeléctrico ~E uniforme y perpendicular a esalámina tiene un valor de 500 kN/C. Calcular:(a) la densidad de carga en cada una de lasdos caras de la lámina conductora; (b) la den-sidad de carga y el campo eléctrico sobre lasuperficie de cada cara si sobre la lámina sesitúa una carga neta adicional de 0,2 mC.

SOLUCIÓN

(a) En la cara derecha de la lámina conduc-tora la densidad de carga es:

σDcha = ǫ0E =

= 8,85·10−12 · 500·103 =

= 4,425 µC/m2

En la cara de la izquierda, como las líneasde campo entran en la superficie, su signo seránegativo y, por tanto, la densidad superficialde carga será:

σIzq = ǫ0E =

= 8,85·10−12 · −(500·103) =

= −4,425 µC/m2

(b) La carga neta adicional de 2 · 10−4 C sedistribuye por igual entre las dos caras de la

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lámina para que el campo eléctrico en su in-terior siga siendo nulo. Como la lámina es uncuadrado de 10m de lado, la densidad de car-ga adicional que se sitúa en cada cara es:

1

2· 2 · 10−4

102= 1µC/m2

Luego las densidades de carga que hay en ca-da cara de la lámina son:

σDcha = 4,425 + 1 = 5,425 µC/m2

σIzq = −4,425 + 1 = −3,425 µC/m2

El valor del campo eléctrico en un pun-to situado sobre la superficie derecha de lalámina y alejado de sus extremos es:

EDcha =σDcha

ǫ0=

=5,425·10−6

8,85·10−12= 613 kN/C

Y en un punto situado en la superficie de lacara izquierda es:

EIzq =σIzq

ǫ0=

=−3,425·10−6

8,85·10−12= − 387 kN/C

El signo negativo significa que el sentidodel campo eléctrico es opuesto al de la normala la superficie, lo que en este ejemplo indicaque el campo eléctrico entra en la cara dellado izquierdo de la lámina conductora, tal ycomo se representa en la Figura 1.12.

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Ejercicios

E_1.1 Calcular la relación que existe entre la fuerza electrostática y la fuerza gravitatoriaejercidas entre dos protones.

E_1.2 Sean dos cargas puntuales q1 y q2 situadas, respectivamente, en los puntos (0,0)y (4,0) del plano XY (las coordenadas están expresadas en metros). Calcular la fuerza queejerce cada carga sobre la otra y el punto en el eje X en el que el campo eléctrico es ceropara los dos casos siguientes:

(a) q1 = 1 µC y q2 = 4 µC;

(b) q1 = 1 µC y q2 = −4 µC.

E_1.3 Para los dos casos del ejercicio anterior E_1.2, calcular el campo eléctrico en elpunto (2,2) del plano XY .

E_1.4 Sea una barra aislante delgada de 20 cm de longitud y que tiene una cargauniforme por unidad de longitud de 50 nC/m. Calcular el campo eléctrico en un punto Psituado a 1 m de la barra en la línea perpendicular a la barra que pasa por su punto medio.

E_1.5 Un electrón entra en un campo eléctrico uniforme paralelo al eje Y , ~E = 2000j N/C,con una velocidad perpendicular al campo ~v0 = 2 · 106im/s. Se pide: (a) ¿qué trayectoria si-gue el electrón dentro del campo?; (b) ¿cuánto se habrá desviado después de haber avanzado1 cm en la dirección del eje X?

E_1.6 La figura E_1.6 representa dos pequeñas esferas cargadas de 100 g de masa queestán suspendidas de un mismo punto mediante dos cuerdas aislantes de 20 cm de longitudcada una. Sabiendo que el ángulo θ que forma cada cuerda con la vertical es de 15o, calcularla carga que tiene cada esfera.

l l

q, m q, m

θ θ

Figura E_1.6.

E_1.7 Un disco de 3 cm de radio tiene una distribución uniforme de carga de 5 µC/m2.En el eje del disco y a 0,5m de su centro se encuentra una carga puntual de −10 nC. Calcularel campo eléctrico en el punto situado en el eje equidistante del centro del disco y de la carga.

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E_1.8 Sea un plano infinito con una densidad de carga superficial de 20 nC/m2 paraleloal plano XY en z=0 y un segundo plano también infinito y con una densidad de cargasuperficial de −20 nC/m2 paralelo al primero y situado en z=1 m. Calcular el campo eléctricoen cualquier punto de los planos: (a) z=0,2 m; (b) z=0,8 m; (c) z=2 m.

E_1.9 Sea una superficie cilíndrica (cilindro hueco de espesor despreciable) de radio Rque tiene una distribución uniforme de carga por unidad de superficie σ. Aplicando la ley deGauss, calcular el campo eléctrico en un punto P situado a una distancia r de su eje paralos dos casos siguientes: (a) P es un punto en el interior de la superficie (r < R); (b) P es unpunto exterior (r > R).

E_1.10 Repetir el ejercicio anterior, E_1.9, suponiendo ahora que el cilindro es sólidocon una distribución uniforme de carga por unidad de volumen ρ.

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