CAMPOMAGNÉTICO y FUERZAS MAGNÉTICAS

CAMPO MAGNÉTICOy FUERZAS

MAGNÉTICAS

T odo el mundoutiliza las fuerzasmagnéticas.Estánenel corazónde los mo-toreseléctricos,cinescopiosde televisión,hornosdemicroondas,altavoces,

impresorasdecomputadoray unidadesde disco.Los aspectosmásconocidosdelmagnetismosonlos queasociamoscon los imanespermanentes,los cualesatraenobjetosde hierro no magnetizadosy tambiénatraeno repelenotros imanes.Unaagujadebrújulaquesealineaconel magnetismode la Tierraesun ejemplodees-ta interaccióq•.Perola narnralezafundamentaldel magnetismoesla interaccióndecargaseléctricasenmovimiento.A diferenciade las fuerzaseléctricas,queacnian

-sobrecargaseléctricasya seaqueesténen movimientoo no, las fuerzasmagnéti-casactúansólosobrecargasenmovimiento.

Aunquelasfuerzaseléctricasy magnéticassonmuydiferentesentresi, utilizamosla ideade un campoparadescribirambasclasesde fuerza.En el capítulo21 vimosque la fuerzaeléctricasurgeen dosetapas:(1) unacargacreaun campoeléctricoenel espacioquela rodea,y (2) unasegundacargarespondea estecampo.Las fuerzasmagnéticastambiénsurgenen dosetapas.Primero,unacargaen movimientoo unconjuntodecargasenmovimiento(esdecir,unacorrienteeléctrica)originanun cam-po magnético.A continuación,unasegundacorrienteo cargaenmovimientorespon-dea estecampomagnético,y deestemodoexperimentaunafuerzamab'llética.

En estecapituloestudiaremosla segundaetapade la interacciónmagnética;esdecir, cómo respondenlas cargasen movimientoy las corrientesa los camposmagnéticos.En particular,veremoscómosecalculanfuerzasy momentosde tor-siónmagnéticos,y descubriremosporquélos imanespuedenalzarobjetosdehie-rro como los clips. En el capítulo28 completaremosnuestradescripciónde lainteracciónmagnéticaexaminandocómocreancamposmagnéticoslas cargasenmovimientoy las corrientes.

Laspartículasconcargaexpulsadasdesdeel Sol sonconducidasporel campomag-néticoterrestrehacialos polosnortey surde nuestroplaneta.Cuandoestaspartículaschocanconmoléculasgaseosasen la atmós-fera superior,las moléculasemitenluz. Elresultadoesel brillanteespectáculolumi-nosollamadoauroraaustral(cn latitudessituadasmuy al sur)o auroraboreal(en la-titudesmuy septentrionales,comoenestafotografíatomadaenAlaska).

¿PorquélasparUculassolares

con cargasedesplazanprincipalmente

hacialos polosde la Tierray no haciael

ecuador?

1019

1020 CAPÍTULO 27 I Campomagnéticoy fuerzasrnagnf¡icas

27.1 I MagnetismoLosfenómenosmagnéticosseobservaronporvezprimeraal menoshace2500años,enfragmentosde mineraldehierromagnetizadocercade la antiguaciudaddeMagnesia(hoy Manisa,enel oestede Turquia).Estosfragmentoseranejemplosde lo queahoraconocemoscomoimanespermanentes;esprobablequeustedtengavariosimanespennanenlesenla puertade surefrigerador.SeencoOlI'Óquelos imanespennanen·tesejercenfuerzasentresíy tambiénsobrefragmentosdehierrono magnetizados.Sedescubrióquecuandoseponeencontactounabarradehierrocenun imánnarural,labarratambiénsemagnetiza.Cuandounabarracomoéstaseponeaflrnar sobreaguaosesuspendedesucentromedianteun cordel,tiendeaalinearseendirecciónnone/sur.La agujadeunabníjulaordinariaessimplementeun trozodehierromagnetizado.

Antesquesecomprendierala relaciónentrelasinteraccionesmab'lléticasYlascarogasen movimiento,las interaccionesde los imanespermanentesy de lasagujasdebníjula sedescribianen ténninosdepolosmagnéticos.Si un imán pennanenteconfonnadebarra,o imáll debarra, puedegirar libremente,unodesusextremosapuntahaciael none.Esteextremosedenominapolo liarte opolo N; el otro extremoesunpolosuro polo S. Los polosopuestosseatraenmutuamente,y lospolossimilaresserepelenentresí (Fig. 27.1).Un objetoquecontienehierropero!la estámagnetizadooimantado(esdecir, no muestratendenciaaapuntarhaciael noneo el sur)esatraídoporcualesquieradelospolosdeun imánpermanente(Fig. 27.2).Estaesla atracciónquesemanifiestaentreun imány la pumadeaceronomagnetizadadeun refrigera-dor. Poranalogíaconlasinteraccioneseléctricas,describimoslasinteraccionesde lasfiguras27.1 Y27.2afirmandoqueun imándebarra originauncampomagneticoenel espacioquelo rodea,y un segundocuerporespondea esecampo.Una agujadebrújulatiendeaalinearseconel campomagnéticoenla posiciónde la aguja.

LaTierramismaesun imán. Supolo nonegeográficoestápróximoa un polosurmagnético,y esporestarazónqueel polo nortedeunaagujadebníjulaapun-ta haciaal norte.El ejemagnéticode laTierranoesdel todoparaleloasuejegeo-gráfico(suejede rotación);poresto,unalecturadebrújula sedesvíaun pocodelnortegeográfico.Estadesviación,quevaríacon la ubicación,seconocecomode-clinaciónmagnéticao variaciónmagnerica.Asimismo,el campomagnéticonoeshorizontalencasi todoslos puntosde la superficieterrestre;su ángulohaciaarri·ba o haciaabajosellama inclinación magnética.En los polosmagnéticosel cam·po magnéticoesvertical.

La figura 27.3esun esbozodel campomagnéticode la Tierra. Las lineas,deno·minadaslíneasde campomagllerico,muestranla direcciónen la que unabrújulaapuntaríaencadalocalidad;seestudianendetalleen la sección27.3.Sepuededefi-nir la direccióndel campoencualquierpuntocomola direcciónde la fuerzaqueelcampoejerceríasobreun polononemagnético.En la sección27.2describiremosunamaneramásfundamentaldedefinir la direccióny magnituddeuncampomagnético.

El conceplOdepolosmagnéticospuedeparecersimilaral decargaeléctrica,y lospolosnortey surpareceríanseranálogosa la cargapositivay negativa.Peroestaana·logiapuedeserengañosa.En tantoqueexistencargaspositivasy negativas.nohayin·diciosexperimentalesdequeexistaun polo magnéticoindividual aislado;los polossiempreaparecenenpares.Si serompeendosunabarra magnética,cadaextremoro-10 seconvieneen un polo (Fig. 27.4).La existenciade un polo magnéticoaislado,omonopolomagnético,tendriaimplicacionesradicalesparala fisica teórica.Sehanrealizadobúsquedasexhaustivasdemonopolosmagnéticos,hastaahorasin éxito.

El primer indicio de la relaciónentreel magnetismoy lascargasenmovimiemofue descubienoen 1819por el científico danésHansChristianOersted,quienen-contróqueun alambreconductordecorrientedesviabala agujadeunabníjula,co-

Fk?_Ｈ｡Ｉｾ

ｾｬｾ

27.1 (a),(b)Dosimanesdebarraseatraencuandodospolosopuestos(N y S oSy N) estánpróximosunoal olro. (e), (d)Los imanesdebarrnserepelencuandodospolosiguales(N y No S y5) estáncercaunodel otro.

(el

D:J. (a). (b) Cualquierade los poJosde undebarraatraeun objelomagnetizado

ｱｒｾｨｩ･ｲｲｯＮ

'"

27.1 I Magnetismo

27.3 Unabrujula colocadaen cualquierlugardel campomagnéticode la Tierraapuntaen la direcciónde la lineade campopresenteen eselugar. La representacióndel campode la Tierra comoel deun imán debarrainclinadoessólo unaaproximaciónburdade suconfiguraciónreal, bastantecompleja.El campo,productodecorrientesdel núcleofundi·do del planeta.cambiaconel tiempo; los indiciosgcológicosmuestranqucsudirecciónse inviertetOlalmentea intervalosregularesde alrededorde mediomillón deaños.

mosemuesrraen la figura 27.5.AndréAmperellevó a eaboinvestigacionessimila·res en Francia.Algunosañosmástarde,Michael Faradayen Inglaterray JosephHenryen EstadosUnidosdescubrieronqueel movimientodeun imáncercadeunaespiraconductoradaorigena unacorrienteen la espira.Ahora sabemosque lasfuerzasmagnéticasentredoscuerposquesemuesrranen las figuras27.1 y 27.2 sedebenfundamentalmentea inleraccioncsentrelos electronesen movimientode losátomosde los cuerpos.(Hay ademásinteraccioneseléctricasentrelos doscuerpos,perosonmuchomásdébilesque las interaccionesmagnéticasporquelos doscuer-possoneléctricamenteneutros).En el interior de un cuerpomagnetizado,comounimánpermanente,existeun movimientocoordinadodecicrtoselectronesatómicos;en un cuerpono magnetizadoestosmovimientosno soncoordinados.(Describire-mosestosmovimientoscon másamplituden la sección27.7,y veremoscómoseproducenlas interaccionesquesemuestranen las figuras27.1 y 27.2).

Resultaque las interaccioneselecn;casy magnéticasestáníntimamenterela-cionadas.A 10 largodevariosde los capitulosposterioresexpondremoslos prin·cipiosunificadoresdel electromagnetismo,paraculminaren la expresióndeestosprincipiosen lasecuacionesdeMax\\"ell. Estasecuacionesrepresentanla síntesisdel electromagnetismo,del mismomodoque las leyesde Newtondel movimien·to son la síntesisde la mecánica,y al igual que las leyesde Newton,representanun logro monumentaldel intelectohumano.

Supongaquecorta la partede la agujade bnijula de la figura 27.5aqueestápin-tadadc blanco. Luegode dcsecharestaparte, taladraun orificio en la parte rojarestantey colocala parteroja sobreel pivote del centrode la brújula. ¿Continua-rá balanceándosela parteroja haciael estey el oeslecuandoseaplicaunacorrien·te comoen las figuras27.5by 27.5c?

1021

- I Ruptul3y-t ｾｰ｡ｬＳｃｩｮ.-

27.4 Rupturade un imánde barra.Cadafragmentotieneun polo noTley un polo sur.inclusosi los fragmentossonde diferentetamaño.(Cuantomáspequeñoesel frag-mento,tantomásdébil essumagnetismo).

,- O<a) No haycorrienteenel alambre:

la agujaapunlahaciael none

t'

t,(b) La conienlCfluye <e) La corrienlC

haciael norte: nuychaciaella aguja ｾ balancea sur: la aguja ｾ

haciael este balanceahaciael «SIC

27.5 En el experimentode Oerstedsero-locaunabrujula directamenteencimadeun alambre:horizontal(visto aquídesdearriba).Cuandosecolocala briljula diJec-tamentedebajodel alambre.los IDOlo""i:miN-tosde la brújulaseinvienen.

1022

F=O

(a) Velocidadvparalelao anlíparalelaal campomagnéticoB:

la fuerl3 magnéticaescero

F ., qtl8 sen<pI).L = v sen <j>

(b) va un ángulo,prespectoaB:la magnitudde la fuena

magnéticaes F = quB sen<p

F= quB

(e) ¡; perpendiculara8:la magnitudde la fuerzamagnéticaes F = quE

21.6 La fuerzamagnéticaFqueactúaso-breunacargapositivaq quesedesplazacon unavelocidadti esperpendiculartantoavcomoal campomagnéticoB. Con res-ｾｴｯ a vaJoresdadosde la rapidezv yla intensidaddecampomagnéticoB, lafuerza es maxirna cuando vy ¡j sonperpendiculares.

e A P f T U LO 27 I Campomagnéticoy fuerzasmagnéticas

27.2 I Campomagnético

A fin de presentarel conceptodecampomagnéticocomoesdebido,convienere-pasarnuestraformulación de las interaccioneseléctricasdel capítulo21, dondepresentamosel conceptode campoeléctrico. Representamoslas interaccioneseléctricasendosetapas:

l. Una distribuciónde cargaeléctricaen reposogeneraun campoeléctricoEen el espaciocircundante.

2. El campoeléctricoejerceunafuerzaF = qE sobrecualquierotra cargaqpresenteen el campo.

Podemos､･ｾ｣ｲｩ｢ｩｲ las interaccionesmagnéticasdemanerasimilar:

l. Una cargaen movimientoo unacorrientegeneraun campomagnéticoenel espaciocircundantel)demásde sucampoeléctrico).

2. El campomagnéticoejerceuna fuerzaF sobrecualquierotra cargaenmo-vimientoo corrientepresenteen el campo.

En estecapítulonosconcentraremosen el segundoaspectode la interacción:dadala presenciade un campomagnético,¿quéfuerzaejercesobreunacargaenmovimientoo unacorriente?En el capitulo28 regresaremosal problemadecómogenerancamposmagnéticoslascargasen movimientoy lascórrientes.

Al igual queel campoeléctrico,el campomagnéticoesun campovectorial,estoes,unacantidadvectorialasociadacon cadapuntodel espacio.Utilizaremosel sím-bolo Bpararepresentarel campomagnético.En cuaJquierposiciónsedefine la di-reccióndeBcomoaquellaen la quetiendeaapuntarel polonortedeunabrújula.Lasflechasde la figura 27.3 sugierenla direccióndel campomagnéticode la Tierra; encualquierimán,Eapun!.'!.haciaafueradesupolo nortey haciaadentrodesupolosur.

¿Cuálessonlascaracterísticasde la fuerzamagnéticaqueseejercesobreunacar-gaen movimiento?Primero,sumagnitudesproporcionala la magnitudde la carga.Si unacargade 1 ¡.LC y otrade2 ¡.tC setrasladanatravésde un campomagnéticode-terminadocon la mismavelocidad,los experimentos-ñlUestranquela fuerzasobrelacargade2 ¡.te esdosvecesmayorquela fuerzasobrela cargade 1 ¡.Le. La magnitudde la fuerzatambiénesproporcionaJa la magnitud,o "intensidad",del campo;si seduplicala magnituddel campo(porejemplo,empleandodosbarrasmagnéticasidén-ticasenvezdeuna)sin alterarla cargani su velocidad,la fuerzaseduplica.

Tambiénla fuerzamagnéticadependede la velocidadde la partícula.En estose distingueclaramentede la fuerza de campoeléctrico,que es la mismaya seaque la cargasemuevao no. Una partículacon cargaen reposono experimentafuerzamagnéticaalguna.Adeinás,seencuentraexperimentalmenteque la fuerzamagnéticaFno tiene la mismadirecciónque el campomagnéticoE, sino quesiempreesperpendiculartanto a Ecomoa la, velocidadV. La magnitudF de lafuerza resultaserproporcionala la componentede ti perpendicularal campo;cuandoestacomponenteescero(esdecir, cuandoti y ¡j sonparalelaso antipara-lelas), la fuerzaescero.

La figura 27.6 muestraestasrelaciones.La direcciónde F siempreesperpen-dicularal planoquecontieneti y B. SU magnitudseproporcionapor

(27.1)

dondejql es la magnitudde la cargay 4Jesel ángulomedidode la direcciónde tia la direcciónde E, comosemuestraen la figura.

•

27.2 I Campomagnético

Estadescripciónno indica totalmentela direcciónde F; siempreexistendosdi·recciones,opuestasunaa la otra, ambasperpendicularesal planode vy B. Paracompletarla descripciónseaplicala mismareglade la manoderechaqueseutilizóparadefmir el productovectorialen la sección1.10.(Seriahuenaidea repasaresasecciónantesdecontinuar).Dibuje los vectoresvy Bcoincidiendosusinicios, co-mo en la figura 27.6b.Supongaquehacegirarvhastaqueapuntaen la direccióndeB(virandoun ￡ｮｧｵｬｯｾＬ el máspequeñode losdosángulosposibles).Doblarlosde-dosdesumanoderechaen tomoa la líneaperpendicular｡ｾｬ｡ｮｯ de ¡¡ y ñ, de mo-do queseenrosquenconel sentidod':.rotacióndevhaciaB. En tal caso,su pulgarapuntaráen la direcciónde la fuerzaF sobreunacargapositiva.(Desdeotro puntodevista,la direcciónde la fuerzaFsobreunacargapositivaesla direcciónen la queavanzaríaun tornillo derosca derechasi giraradel mismomodo).

Lo antesexpuestomuestraque la fuerzasobreunacargaq quesedesplazaconvelocidadven un campomagnéticoBsepropon:iona,tanto.o::oténninosde magonitud comodedirección,por

F = qv x iJ (27.2)(fuerzamagnéticasobreunapartículaconcargaen movimiento)

Éstees el primerode varios productosvectorialesqueencontraremosen nuestroestudiode las relacionesdel campomagnético.Es importanteadvertirque laecuación(27.2)110 sededujoteóricamente;esunaobservaciónquesefundamen-ta enevidenciasexperimentales.

La ecuación(27.2)esválidacon respectoa ｣｡ｲｧ｡ｾ tanto positivascomonepti-vas.Cuandoq esnegativa,la direcciónde la fuerzaF esopuestaa la devx B. Sidoscargasde igual magnitudy signosopuestossetrasladanenel mismocampoBconunamismavelocidad(Fig. 27.7),las fuerzastienenigual magnitudy direccio-nesopuestas.Las ｦｾｲ｡ｳ 2].6 y 27.7muestranvariosejemplosde lasrelacionesdelasdireccionesde F, vy B con cargastanto positivascomonegativas.Cen:ióresede interpretarbien las relacionesquesemuestranenestasfiguras.

La ecuación(27.1) proporcionala magnitudde la fuerzamagnética¡ de laecuación(27.2). Estamagnitudsepuedeexpresarde una foonadiferente,aunqueequivalente.Puestoque ¡f¡ esel ánguloentrelasdireccionesde los vectoresV y E,sepuedeinterpretar8 senep cornola componentedeEperpendiculara v, estoes,8l-' Conestanotaciónla magnitudde la fuerzaes

F _ Iqlu8, (27.3)

En ciertoscasosestafoonaresultamásconveniente,especialmenteen los proble-masrelacionadosconcorrientesenvezdeparticulasindividuales.Examinaremoslas fuerzassobrecorrientesmásadelanteen estecapitulo.

Deacuerdocon la ecuación(27.1),B debetenerlasmismasunidadesqueFlqu.En consecuencia,la unidadSI de B esequivalentea IN·siC •m, o bien, puestoqueun ampereesun coulombporsegundo(1 A = I Cls), 1 lA •m. Estaunidadsellama tesla(seabreviaT) enhonorde Nikola Tesla(1857-1943),el destacadocientifico e inventorsemioesladounidense:

1 tesla = 1 T = 1 N/A, m

Otraunidadde Bde usocomúnesel gauss(1 G = 1O""¡ T). A los instrumentospa-ra medir camposmagnéticosseles llama en ocasionesgausímetros.

El campomagnéticode la Tierraesdel ordende 10--4Tal G. Existencamposmagnéticosdel ordende 10T cn el interior de los átomos,y son importantesen elanálisisde losespectrosatómicos.El campomagnéticoestablemásgrandequesepuedecrearhoy en día en un laboratorioes aproximadamentede 45 T. Cierlos

1023

Activｐｨｹｾ｣Ｇｳ

13.4 Fuerza magnéticasobre unapartlcula

+ql q>o .¡,•

F=-qvXB

27.7 Doscargasde la mismamagnitudperodesignoopuestosedesplazancon lamismavelocidaden un mismocampomagnético.Las fuerzasmagnéticasqueac-túansobrelascargassonde igual magni-tud perodedirecciónopuesta.

1024 CAPíTULO 27 I Campomagnéticoy fuerzasmagnéticas

,I

·1J)

27.8 Determinaciónde la direccióndeuncampomagnéticopor mediode un tuboderayoscatódicos.Debidoa quelos electro-nestienencarga_negaliva,lafuerzamagné-ticaF = qV x B de la pane(b) apuntaenla direcciónopuestaa la reglade la figura27.6.

,

:1 i

(a) Si el eje dd tuboes panlr;1oal ejo:do: I:as,.elhaznosedesvray. por laDlo.

i lieoe la dircecióayaxa+,o-y ｾ

(b) Si el eje delluboe5panlIeloal ejo: de las ｾＬ el bu x desvíaen

ｬ｡ｾＭＺ｣Ｚｰｯｲｴ｡ｮｴｯＮ

B tienela di=ci6n+,.

Estrategiapararesolverproblemas

electroimanesdecorrientepulsanteproducencamposdel ordende 120T duranteintervalosbrevesdel ordendeun milisegundo.Sepiensaqueel campomagnéticoen la superficiede unaestrellade neutronesesdel ordende 108 T.

Paraexplorarun campomagnéticodesconocido,sepuedenmedir la magnitudy la direcciónde la fuerzaqueejercesobreunacargade pruebaen movimiento,yluegoaplicar la ecuación(27.2) parahallar B. El hazde electronesde un tuboderayoscatódicos,comoel queseutiliza cn un televisor,esun dispositivoconvenien-te paraefectuarestetipo de mediciones.El cañóndeelectronesdisparaun hazes-trechode electronescon unarapidezconocida.En ausenciade una fuerzaquedesvíeel haz.,ésteincideenel centrode la pantalla.

Si estápresenteun campomagnético,engeneralel haz deelectronessufreunadesviación.Perosi el hazesparaleloOantiparaleloal campo,en tal caso1J = Oo7T en la ecuación(27.1)Y F = O; no hay fuerzay, por tanto, tampocodesviación.Si hallamosqueel hazdeelectronesno sedesviacuandosudirecciónesparalelaa cienoeje, comoen la figura 27.8a,el vector jj debeapuntarya seahaciaarribao haciaabajoa lo largodeeseeje.

Si enseguidaschacegirare! tubo90°(Hg. 27.8b),1J = TTI2 en la ecuación(27.1)yla fuerzamagnéticaesmáxima;el hazsedesvíaenunadinxción perpendicularal pIa-node ti y R. La dinxcióny la magnitudde la desviacióndetenninanla direccióny laｭｾｮｩｴｵ､ deB. Sepuedenrealizarotrosexperimentosen los queel ánguloentretiy B seaintermedioentreceroy 90°paraconfinnarla ecuación(27.1)o la (27.3),asicomoel análisiscomplementario.Désecuentaqueel electróntienecarganegativa;la direcciónde la fuerzaen la figura 27.8esopuestaa la de la fuerzasobreunacar-gapositiva.

Cuandounapaniculaconcargasetrasladaa travésde unaregióndel espaciodondeestánpresentestantoun campoeléctricocomounomagnético,amboscam-posejercenfuerzassobrela partícula.La fuerzatotal Fesla'sumavectorialde lasfuerzaseléctricay magnética:

F= q(E + ¡; x 8) (27.4)

Fuerzasmagnéticas

IDENTIFICAR los conceptospertil/el/tes: La regla de la manoderecbapermiledeterminarla fucrza magnéticaque se ejercesobreunapanículacon cargaen movimiento.

PLANTEAR elprobIonautili=ando las etapassiguientes:

l. Dibuje el vectorvelocidadvy el vectordc campomagné-

tico Bconsusinicios unidosenel mismopuntodeorigcn

paravisualizarel planoen el que:yacenestosvectores.2. Identifiqueel ángulo t/J entrelos dosvectores.

27.3 I Líneasde campomagnéticoy flujo magnético 1025

Fuerza magné;tica sobre un protónf

3. Identifique las variablesque se buscan.Puedenser lamagnitudy direcciónde la fuer¿a,o bienla magnitudo di-reccióndevo R.

EJECUTAR la soludoncomosigue:l. Expresela fuerzamagndicamediantela ecuación(27.2):

F = qv x R. La magnitudde la fuerzaestádadapor laecuación(27.1):F = qvBsencIJ.

2. RecuerdequeFesperpendicularal planode los vectoresti y R. La direcciónde--v x Restádeterminadapor la re-

Ejemplo27.1

Un hazdeprotones(q = 1.6 X 10-19 C) sedesplazaa 3.0 X lOS misatravésde un eampomagnéticouniformeconunamagnitudde 2.0T, dirigido a 10 largo del eje de las z positivo, como en la figura27.9. La velocidadde cadaprotónyaceenel planoxzformandounángulode 30° respectoal eje de las +z. Halle la fuerzaqueseejer-cesobreun protón.

lEl!mDIDENTIFICAR Y PLANTEAR: La figura 27.9muestraque los vecto-resvy Ryacenenel planoxz.El ánguloentreestosvectoresesde30°.Lasvariablesquese buscansonla magnitudy direccióndela fuena F.

y

27.9 Direccionesdevy Rconrespectoa un protónenun campomagnético.

gla de la manoderecha;consulterepetidamentelas figu-ras27.6 y 27.7 hastacerciorarsede habercomprendidoestaregla.Si q esnegativa,la fuerzaesopuestaa vx R.

EVALUAR la respuesta:Siemprequepueda,resuelvae! proble-ma por doscaminos.Hágalodirectamentea partir de la defini-ción geométricade! productovectorial. Después,encuentrelascomponentesde losvectoresen algún sistemaconvenientedeejesy calculealgebraicamenteel productovectorial a partirde las componentes.Compruebeque los resultadoscoincidan.

EJECUTAR:La cargaespositiva;por tanto,la fuerzatienela mismadirecciónqueel productovectorialvx R. De acuerdocon la regladela manoderecha,estadirecciónesalo largodel ejedelasy nega-tivo. La magnitudde la fuerzaes,segúnla ecuación(27.1),

F=qvBscncIJ

= (1.6 X 1O-'9 C)(3.0 X lOs m/s)(2.0T)(sen30°)= 4.8 X 10-14 N

EVALUAR: Secompruebae! resultadoevaluandola fuerzamedian-te e! 1cnguajevectorialy la ecuación(27.2).Setiene10 siguiente:

ti = (3.0 X lOs m/s)(sen300 )i + (3.0 X lOs m1s)(cos300 )k

8=(2.0T)kF=qvxiJ

;:O (1.6 X 10-19C)(3.0X IOSm/s)(2.0T)X (sen300i+cos300k) X k= ＨｾＴＮＸｘ 1O-14 N)j

(Recuerdequei x k = -j y k x k = O). Unavezmás,hallamosquela fuerzaesen la direcciónde lasy negativasy su magnitudesde 4.8 X 10-14 N.

Si el hazesde electronesen vez de protones,la cargaesnegati-va (q = -1.6 X 10-19 C), Yla direcciónde la fuerzaseinvierte.Aho-ra la fuerzaestádirigida a 10 largo del eje de las)'positivo,perolamagnitudsiguesiendola misma:F = 4.8 X ｉｏＭｬｾ N.

Si jj del ejemplo27.1 tuviera la dirección de lasxpositivas,con todaslas demáscantidadesiguales,¿cuálseríala fuerzasobreel protón?¿Y si vtuviera la direc-ción de lasy positivas,con todaslas demáscantidadescomoen el ejemplo27.1?

27.3 I Líneasde campomagnéticoy flujo magnético

Todocampomagnéticosepuederepresentarpormediode líneasdecampomag-nético, comosehizo con el campomagnéticode la Tierra en la figura 27.3. La

ideaes la mismaqueenel casode las líneasdecampoeléctricoque presentamosen la sección21.6.Sedibujanlas líneasde modoquela líneaquepasaporun pun-

1026 CAPiTULO 27 I Campomagnéticoy fuerzasmagnéticas

27.10 (a) Las lineasde campomagnéticono son"líneasde fuerza". La fuerzasobreunaparticulacon cargano seejercea lolargo de la direcciónde unalineadecam-po. (b) La direcciónde la fuen:amagnéticadependede la velocidad¡j. comolo expre-ｾ la ley deLa fuerzamagnélícaF = qv x B.

(.)

F

(b)

•

B

10 cualquieraseatangenteal vectordecampomagnéticoBenesepUnlo. Al igualqueenel casode las líneasdecampoeléctrico,sedibujansólounaspocaslíneasrepresentativas;deairo modo, las líneasocuparíantodoel espacio.Dondelas lí-neasde campoadyacentesestánpróximasunasdeotras,la magnituddel campoes grande;dondeestaslíneasde campoestanmuy separadas.la magnituddelcampoespequeña.Asimismo,envirtud dequela direccióndeñencadapuntoesúnica, las líneasde camponuncasecruzan.

CUTOADO A las lineas de campo magnético se les llama en ocasiones 'líneas

magnéticas de fuerza", pero no es un nombre adecuado para ellas; a diferenciade las lineas de campo eléctrico, no apuntan en la dirección de la fuerza que seejerce sobre una carga (Fig. 27.10). la ecuación (27.2) muestra que la fuerza so-bre una particula con carga en movimiento siempre es perpendicular al campomagnético y, por tanto, a la línea de campo magnético que pasa por la posiciónc¡bnde se halla la partícula. la dirección de la fuerza depende de la velocidad de la

partícula y del signo de su carga; por tanto, una simple mirada a las líneas decampo magnético no nos dice, por sr sola, la dirección de la fuerza sobre unaparticula con carga en movimiento elegida arbitrariamente. las lineas de cam-po magnético tienenla dirección en la que una aguja de brújula apuntaría encada ubicación; esto puede facilitar la visualización de las líneas.

La figura 27.11 muestralas líneasde campomagnéticogeneradaspor variasfuentescomunesdecampomagnético.En el espacioentrelos polosdel electroimánde la figura 27.llc, las lineasdecamposoncasi rectas,paralelasy estánigualmen-teespaciadas,10 cual indicaqueeneslaregiónel campomagnéticoesaproximada-menteuniforme(esdecir,constanteen ténninosde magnitudy dirección).

Ya que los modelosdecampomagnéticoson tridimensionales,suelesernece-sariodibujar lineasdecampomagnéticoqueapuntanhaciaadentroo haciaa.fueradel planode un dibujo. Paraello seempleaun punto(-) pararepresentarun vectordirigido haciaafueradel plano,y unacruz(X) pararepresentarun vectordirigido

27.11 (a}{e)Lineasdecampomag-nétlCOcnadasporvariasfuentesco-munesdecampomagnético.(f) LospunlOSrepresenlanun campomagné-,iro dirigido haciaafueradel plano,ylascruces.,un campomagnéticodiri-gidohaciael piaDO.

(a) UneasdecampomagnEticoquepasanporel ceOIIOde

un inWi permanente

(d) Uneasdecampomagnéticoen unplanoque contieneel ejede una

espin.cil'C1llar portador;t decomente

(b) ｾ decampomagn8icoquepasanporel centrodeunabobinacilíodric:aportadoradecorrimle

jj

(el l.í:neasde campomagnéticoenun planoperpendiculara un alamb<erectoY l3J!o portador decorriente

(cl LIneasdecampomagotticoquepa5UI porel cenlIOde un

electroinWlcoanúcleodehierro

j dirigido haciaafueradel plano

" " " "1" 'r_ X X X X8 dirigido haciael plano

X x x X

(1) Uneasde campomagofticoenun planoquecontieneun alambrerecto y 13J!o portadordecorriente

27.3 I Líneasdecampomagnéticoy flujo magnético 1017

El flujo magnéticototal a travésde la superficiees la sumade lascontribucionesde los elementosdeáreaindividuales:

(.)

27.12 (a) Similaresa pequeñasagujasdebrújula, las limadurasde hierrosealineantangentesa las lineasdecampomagnético.(b) Dibujo dc las líneasdecampocorres-pondientesa la situaciónｱｵｾ semucstraen (a).

(b)

(27_5)

(27.6)

d<PB = Bl. dA = B cos4> dA = ¡j'dA

<1>, ｾ fB, dA ｾ f BeO' <1> dA ｾ fa-dA(flujo magnéticoa travésde unasuperficie)

(Estaecuaciónemplealos conceptosde áreavectoriale integralde superficiequepresentamosen la sección22.2; puedeserconvenienterepasareseanálisis).

El flujo magnéticoesunacantidadescalar.En el casoespecialen el queBesuniformeen toda la extensiónde unasuperficieplanade árealotal A. 81. Y q, sonlos mismosen todoslos puntosde la superficie.y

<1>B = B.J.A = 8A cos4> (27.7)

haciael plano(Fig. 27.11t). Un buenmétodopararecordarestasconvencionesesel siguiente:piensequeel pUnlO es la puntade una flechaquevienedirectamenlehaciausted,y piensequela cruzsonlasplumasdeunaflechaquesealejadeusted.

Las limadurasde hierro,comolasagujasdebrujula,¡¡endena alinearsecon laslíneasde campomagnético.Por tanto,son un recursoparavisualizarfácilmentelas líneasdecampo(Fig. 27.12).

Flujo magnético y ley de Gauss del magnetismoDefiniremosahorael flujo magnético4>B a rravésde una superficiedel mismomodocomodefinimosel flujo electricoenrelacióncon la ley deGaussen la sec·ción 22.2. Cualquiersuperficiese puededividir en elementosde áreadA (Fig.27.13).Con respectoa cadaelementosedeterminaBJ.. la componenlede Bnor·mal a la superficieen la posiciónde eseelemento,comose muestra.De acuerdocon la figura, B1. = Bcos 4>. donde4> esel ánguloentrela direccióndeBy una li·neaperpendiculara la superficie.(Tengacuidadode no confundir4> con <1>B)' Engeneral,estacomponentevariade un puntoa otro de la superficie.Deímimoselflujo magnéticod4>B a travésdeestaáreacomo

f-

•

.-

Si 8 resultaserperpendiculara la superficie.en tal casocos cP = 1 Yla ecuación(27.7) se reducea <1>8 = BA. Haremosamplio usodel conceptode flujo magnéti-co al estudiarla inducciónelectromagnéticaenel capítulo29.

La unidadSI de flujo magnéticoesiguala la unidaddecampomagnético(1 T)multiplicadapor la unidadde área(1 m2). Estaunidadsellama weberen honordel fisico alemánWilhelm Weber(1804--1891):

1 Wb = I T' m2

Además. I T = I N/A· m; por esto,

IWb= IT'm1 = IN'm/A

En la ley deGaussel flujo eléctricototal a travésde unasuperficiecerradaesproporcionala la cargaeléctricatotal encerradapor la superficie.Porejemplo.sila superficiecerradacontieneun dipolo eléctrico.el flujo eléctricototal es ceroporquela cargatotal escero. (Es convenienterepasarla sección22.3, referenteala ley deGauss).Poranalogía,si existiesealgoasícomounacargamagnéticain-dividual (monopolomagnético),el flujo magnéticototal a travésde unasuperfi-cie cerradaseriaproporcionala la cargamagnéticatotal encerrada.Perohemosmencionadoquejamássehaobservadoun monopolomagnético.a pesarde que

27.13 El flujo magnéticoa travésde unelemenrodeáreadA sedefinecomod<I>, = B.J.dA.

J

1028

Ejemplo27.2

CAPfTU LO 27 I Campomagnéticoy fuerzasmagnéticas

sehabuscadoexhaustivamente.Seconcluyequeel flujo magnéticototal a tra-vésde unasuperficiecerradasiempreescero.De forma simbólica,

fñ -dA = O (flujo magnéticoa travésdecualquiersuperficiecerrada)(27.8)

A estaecuaciónse le Uamaen ocasionesley de GOIISS del magnetismo.Sepuedeverificar examinandola figura 27.11;si sedibuja unasuperficiecerradaen cual·quierpartedealgunode los mapasdecampoquesemuestranen esafigura, seve-rá que toda líneade campoquepenetrala superficietambiénsalede ella; el flujonetoa travésde la superficieescero.Tambiénsededucede la ecuación(27.8)quelas líneasdecampomagnéticosiempreformanespirascerradas.

--....--- A diferencia de las lineas de campo eléctrico, que comienzan y ter-

minan en cargas eléctricas, las lineas de campo magnético nuncatienen extremos;

un extremo de esta naturaleza indicarla la presencia de un monopolo. Uno podría

sentirse tentado a dibujar lineas de campo magnético que comienzan en el polo

norte de un imán y terminan en el polo sur. Sin embargo, como lo indica la figura

27.11,las Ifneas de campo de un imán continúan de hecho a través del interior del

imán. Como cualquier otra Ifnea de campo magnético, forman espiras cerradas.

En el casode la ley deGauss,queseocupadesuperficiescerrodas,el elemen-to deáreavectorialdA dela ecuación(27.6)siempreapuntahaciaafueradela su-perficie. De cualquiermodo, ciertasaplicacionesdel flujo magnélicotienenquevercon una superficieabierta con una línearrontera;por lo tantoexisteunaam-bigüedaddesisnoen la ecuación(27.6) en virtud de las dos posiblesopcionesdedireccióndedA. En es10scasosseeligeunode los ladosposiblesde la superficiecomoel lado"positivo" y sesigueesaopciónen todo momento.

Si el elementodeáreadA de la ecuación(27.5)fonnaángulorectaronlas líneasdecampo,en tal casoBｾ = B; si llamamosal áreadA,b tendremoslo siguiente:

<1<1>,B ｾ - (27.9)

dA,

Esdecir, la magniruddel campomagnéticoesigual alfil/jo por unidaddeáreaa tra-vésde un áreaqueforma un ángulorectocon el campomagnético.Porestarazón,al campomagnéticoiJ sele llamaa vecesdensidadde flujo magnético.

Cálculosdeflujo magnético

27.14 (a) Un itrea planaA enun campomagné,!icounifonneñ.(b) Vista decantodel áreaA. El vectordeáreaA foonaun ángulode600 conñ. (Si sehubieseoptadoporqueAapuntaseen la direc-ciónopuesta,4J habriasidode 1200 y elllujo magnético1>s habríasidonegativo).

La figura 27.14amuestraunavistaen perspectivade unasuperficieplanacon un áreade3.0cm2 en un campomagnéticounifonne.Si elflujo magnéticoatravésdeestaáreaesde0.90mWb.calculela mag-nitud del campomagnéticoy baile la direccióndel vectorde área.

E!Itm13IDENTIRCAR: En muchosproblemassepidecalcularel nujo de unampo lJII!1""ricn determinado a travesde un áreaen particular.Noobsl:iue..ene5Iieejemp&oseconocenel nujo,el áreay la direccióndelcampomagnitico.Las \'anablesquese buscanson la magnituddel campo}" la ｾ del ｈｾｃｬｯｲ dearea.

(.)

,,I •

3W*BI 20 •

'b)

27.4 I Movimientodepartículasconcargaen un campomagnético 1029

PLANTEAR: Ya queel campomagneticoesuniforme,By tP sonlosmismosen todoslospuntosde la superficie.En consecuencia.po-demosaplicarla ecuación(27.7): 4>, ::: BA cos tP. La variablequesebuscaes8.

EJECUTAR: El áreaA esde3.0 X ｬｾｭｾ［ ladireccióndeAesper-pendicularala superficie;asíque,tP podríaserde60°o 120".Perotanto41,comoB y A sonpositivos,de modoquecostPt.ambiénde-beserpositivo. Estopermitedescartar120°;por tanto, tP ::: 60°, Ysehallaque

El \'e(:tordearca;¡ esperpendicularal áreaen la direcciónquesemucstrnen la figura 27.14b.

EVALUAR: Una buenamanerade comprobarnuestroresult.adoescalculare!productoBA cos tPparacerciorarsedequcesigualal va-lor conocidodel nujo magnético4>,. ¿loes?

<1>.8=--=

A cos tP0.90 X 10-

3Wb = 6.0T

(lO X 10-4 m2)(cos6OQ)

lmagincqueasciendea lo largodel eje de la espirade la figura 27.1 Id, a partirdeun puntosituadomuyporabajode la espiray hastaun puntomuy porarribadeella.¿Cómovariaríala intensidaddel campomagnéticoa 10 largo de estetrayecto?¿Dóndeseriamásintensoel campo?¿Cómocambiaríala direccióndel campo?Expliquecómollegó a susrespuestas.

(b)

27.'5 (a)La órbitade unafl3I!!cula concargaen un campomagneticoB esuncírculocuandola velocidadinicial esper-pendicularal campo.Lascrucesrepresen-tan un campomagneticounifonnedirigidodirectamentehaciala parteinternade lapágina.(b) Hazdcelectrones(sevecomoun arcoazul)qucsecurvaen un campomagnético.

B

(.)

(27.10)

Movimientodeparticulascon cargaen un campomagnético

27.4 I

Cuandounapaniculaconcargasetrasladaenun campomagnético,actúasobreellala fuerzamagnéticadadapor la ecuación(27.2),Yel movimentoestádeterminadopor las leyesdeNeMon. La figura 27.15muestraunejemplosencillo.Unapartículaconcargapositivaq seencuentraenel punto0, desplazándosecon unavelocidad¡;en un campomagnéticouniforme ji dirigido haciael planode la figura. Los vecto-resVy jj sonperpendiculares;por lo tanto,la fuerzamagnéticaF = qv x BtienemagnitudF= quBy sudirecciónescomosemuestraen la figura. La fuerzasiempreesperpendicularav, por lo quenopuedealterarla magnitudde la velocidad;sólosudirección.En otraspalabras,la fuerzamagnéticanuncaticne unacomponentepa·ralelaal movimientode la partícula;por consiguiente,la fuerzamagnéticanuncapuederealizar¡rabajo sobrela partícula.Estoesválido inclusocuandoel campomagnéticonoesunifonne.El movimientodeunapartículacon cargabajo la so-la influenciadeun campomagnéticosiempreescon rapidezconstante.

Sobrela basedeesteprincipio, vemosqueenla situaciónquesemuestraen lafigura 27.15alasmagnirudestantodeFcomode¡; sonconstantes.Enpuntosco-mo P y S lasdireccionesde la fuerzay la velocidadhancambiadocomoseindi·ca,perosusmagnitudesrespectivassonlasmismas.Porconsiguiente,la partículasetrasladabajo la influenciade una fuerzade magnitudconstantequesiemprefonna un ángulofC1:;to con la velocidadde la partícula.Si comparamosestascon·dicionesconel análisisdel movimientocircularde lassecciones3.4y 5.4,vemosquela trayectoriade la partículaesun circulo, trazadocon rapidezconstanteu(Fig. 27.15b).La aceleracióncentrípetaesu2/R y la única fuerzaqueactúaeslafuerzamagnética;por lo tanto,deacuenlocon la segundaley deNewton,

ｾＭＭＭＭＭＭＭＭ

1030

27.16 Cuandounapartículaconcargatie-necomponentesdevelocidadtantoper-pendicularescomoparalelasaun campomagnélícouniforme,la partículadescribeuna lrayeCtoriahclicoidal. El campomag-néticono realizatrabajosobrela partícula;portanto, la rapidezy la energíacinéticadeestapermanecenconstantes.

CA pfTULO 27 I Campomagnéticoy fuerzasmagnéticas

¡; B27.17 Botellamagnética.Las partículaspróximasacualquierade losextremosde la ｲ･ｾ

giÓD experimentanunafuerzamagnéticahaciael centrode la región.8taesunamanerade contenerun gasionizadocon una lemperaturadel ordende 10& K, quevaporizaríacualquierrecipientematerial.

dondem esla masade la partícula.ResQlviendola ecuación(27.10)parael radioRde la trayectoriacircularseobliene

mvｒｾＭＭ

IqlB (radiodeunaórbitacircularen un campomagnético) (27.11)

(27.12)

27.18 Cinturonesde radiaciónVanAlIenalm:Iedorde la Tierra.Cercade los polos,bspartículasconcargaprocedentesdees-llI5 cinturonesentranen la atmósferay pro-dDcaI.laauroraboreal("lucesdel norte") y..-.un.austral ("lucesdesur"').(Véasela_! afia inK:iaI deestecapítulo.)

EstotambiénsepuedeescribircomoR= pf\qlB,dondep = muesla magnimdde lacantidaddemovimientodela partícula.Si la cargaq esnegativa,la particulasetras-ladaenel sentidode lasmanecillasdelreloj entomoa la órbitade la figura 27.l5a.

La rapidezangularw de la partículasehallaa partirde la ecuación(9.13): u =Rw.Combinandoestocon la ecuación(27.11)seobtiene

v IqlB 1qlBw=-= ｶＭＭｾＭＭ

R mv m

El númerode revolucionespor unidadde tiempoesf=wl27r. Estafrecuenciafesindependientedel radioRde la trayectoria.Sele conocecomofrecuenciadeciclo-trón; enunaceleradordepartículasllamadociclolrón, a laspartículasquesemue-ven en trayectoriascasi circularesse les proporcionaun impulsoal dobleen cadarevolución,lo cual incrementasuenergíay susradiosorbitales,perono surapidezangularni su frecuencia.De modo análogo,cierto tipo de magnetrón,unafuentecomúnderadiacióndemicroondasparahornosdemicroondasy sistemasderadar,emiteradiaciónconunafrecuenciaigual a la frecuenciadel movimientocirculardelos electronesenunacámaradevaciosituadaentrelos polosdeun imán.

Si la direcciónde la velocidadinicial /lO esperpendicularal campo,la compo-nentede velocidadparalelaal campoesconstanteporqueno hay ningunafuerzaparalelaal campo.En estas condicionesla partículasemueveen unahélice(Fig.(27.16).El radiode la héliceestádadopor la ecuación(27.11),dondev esahorala componenledevelocidadperpendicularal campoB.

El movimientodeunapartículacon cargaen un campomagnéticono unifonneesmáscomplejo.La figura 27.17 muestraun campoproducidopor dosbobinascircularesseparadasporciertadistancia.Las partículaspróximasacualquieradelasbobinasexperimentanunafuerzamagnéticahaciael centrodela región;laspartícu-lasquetienenla rapidezapropiadacirculanrepetidamenteenespiraldeunextremode la región al otroy deregreso.Ya quelaspartículasconcargapuedenquedaratra-

7

•

27.4 I Movimientode partículasconcargaenun campomagnético

padasenun campomagnéticodeestetipo, a éstesele conocecomobotellamagné-tica. Estatécnicaseutiliza para confinarplasmasmuy calientescon temperaturasdel ordende 106 K. De manerasimilar, el campomagnéticono uniformede la líe-rra atrapalaspartículascon cargaprovenientesdel Sol en regionescon forma derosquillaquecircundanla Tierra,comosemuestraen la figura 27.18.Estasregio-nes,llamadascinturonesde radiación Van Allen, fueron descubiertasen 1958conbaseendatosobtenidospor instturnentosqueibana bordodel satéliteExplorerL

Las fuerzasmagnéticasqueseejercensobrepanículascon cargadesempeñanun importantepapelen los esrudiossobrepartículaselementales.La figura 27.19muestraunacámarallenade hidrógenolíquido y conun campomagnéticodirigi-do haciael planode la fotografia. Un rayo gamadealtaenergíadesalojaun elec-trón deun átomo dehidrógenoy lo lanzacon granrapidez,creandoasí un rastrovisible en el hidrógenolíquido. El rastromuestraqueel electrónsecurva haciaabajodebidoa la fuerzamagnética.La energíade la colisiónproduceademásotroelectróny unpositrón(un electrónconcargapositiva).Debidoa suscargasopues-tas,las trayectoriasdel electróny del positrónsecurvanen direccionesopuestas.Conformeestaspanículasse abrenpasoa travésdel hidrógenolíquido, chocanconotraspanículasconcargay pierdenenergíay rapidez.En consecuencia,sere-duceel radio de crnvaruracomo lo sugierela ecuación(27.11). (La rapidezdelelectrónescomparablea la rapidezde la luz; por lanto, la ecuación(27.11)no esaplicabledirectamenteen estecaso.)Experimentossemejamesa éstepermitenalos fisicos determinarla masay la cargadepartículasreciéndescubiertas.

1031

21.19 Estaimagcndecámarade burbujasmuestrael resultadodel choquedeun rayogamadealtaenergía(queno dejarastro)contraun electróndeunátomode hidróge-no. Esteeleclrónsaledisparadohacialaderechaa granrapidez.Panede la energíadel ehoquesetransformaen un segundoelectróny un positrón(electrónconcargaposiliva). Hay uncampomagnéticodirigi-do haciael planodela imagen,el cualobligaa lascaIgaspositivasy negativasacurvarseendireccionesdiferentes.

Estrategiapararesolver problemas Movimiento en campos magnéticos

IDENTIFICAR losconceptospertinentes:Al analizarelmovimien-to de unapartículaconcargaencamposeléctricosy ｭ｡ｾ￩ｴｩ｣ｯｳＬ

seaplicala segundaley de Newtandel movimiento,"iP = ma,conla fucrzanetaproporcionadapor -¿,i" = q(E+ vx B). Enmuchoscasossepuedenpasarporaltootrasfuerzas,comola gra-vedad.Muchosdc los problemassonsimilaresalos problemasdetrayectoriay movimientocircularde las secciones3.3, 3.4 Y5.4;seriabuenaidearepasaresassecciones.

PLANTEAR elproblemautilizandolas etapassiguientes:l. Identifiquela variableo variablesquesebuscan.2. El usodecomponenlessueleserla estrategiamás eficien-

te. Elija un sistemadecoordenadasl' ｬｾ･ｧｯｾｰｲ･ｳ･ todaslascantidadesvectoriales(inclusoE. B. v, F y ti) en 160-minosdesuscomponentesenestesistema.

EJECUTAR la solucióncomosigue:1. Si la paniculasetrasladaperpendicularmenteaun campo

magnéticouniforme,la trayectoriaesun círculocuyora-dio y rapidezangularestándadospor las ecuaciones(27.11)y (27.12).

2. Si su cálculose refierea una trayectoriamáscompleja.utilice "LF = ma en forma de componente:Ｂｩｆｾ = ｭｬｬｾＬ

y asísucesivamente.Estemétodoresultaparticularmcnteútil cuandoestánpresentestantoelectronescomocamposmagnéticos.

EVALUAR la respuesta:Compruebequesusresultadosseanra-zonables.

Ejemplo27.3 Movimiento de electrones en un horno de microondas

Un magnetróndeUD hornodemicroondasemiteondaselccuomag-oeDcasde ｾｵ･ｮ｣ｩ｡ｦ］ 2450MHz. ¿QuéintensidaddecampomagoCtico serequiereparaquc los electronessetrasladenentra-yeaorias circularesconestafrecuencia?

l'l!I!!m!IlIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: La ecuación(27.12)relacionala rapi-dezangularen un movimicnlocircularcon la masay la cargade la

1032 CA "íTULO 27 I Campomagnéticoy fuerzasmagnéticas

partículay la intensidaddel campomagnético.La variableque sebuscaesla intensidaddel campomagnéticoB.

EJECUTAR: La rapidezangularquecorrespondea la frecuenciaesw = 21T1= (21T)(245üx 106 s-l

) = 1.54 x 101Os-I.Deacucr-do con la ecuación(27.12),

mw (9.11 X 1O-3I kg)(1.54 X IOlO s-1)B ｾ -1,-1 ｾ 'C-C'----''',C-.

6C'O.c-X''-'1O:C·c';'''-C;O-'-'---'--.'.

= Q.0877T

EVALUAR: Selmta de unaintensidadde campomoderada,queseproducesin dificultad con un imán permanente.Porcierto, las on-

daselectromagnéticasde 2450 MHz son absorbidasfuertementepor las moléculasde agua,por lo queresultanparticularmenteúti-lesparacalentary cocinaralimentos.

Ejemplo274 Movimiento helicoidal de partículas

En unasituacióncomola quese muestraen la figura 27.16, la par-titula concargaesun protón(q = 1.60 x ＱｏＭＱｾ C, m = 1.67 x 10-:17

kg) Yel campomagnéticounifonneestádirigido a lo largo del ejede lasx y tiene unamagnitudde 0.500T. Sólo la fuerzamagnéticaactúasobreel protón. En t = Oel protón tiene las componentesdevelocidad ｶｾ = 1.50 X ｉｏｾ mIs, vy = Oy v, = 2,00 X 105 mis. a) En1= O, halle la fuerzasobreel protóny suaceleración.b) Encuentreelradio de la trayectoriahelicoidal, la rapidezangulardel protón yel avancede la hélice (la distanciarecorridaa lo largo del eje de lahélicepor cadarevolución).

ll!II!I3IillIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Seempleael sistemadecoordenadasdescritoen la figura 27.16. La fuerza se da por F = qv x jj y la

aceleración,por la segundaley deNewton.La fuerzaesperpendicu-lar a la velocidad;asique la rapidezdel protónno cambia.Porcon-siguiente,el radiode la trayectoriahelicoidalesexactamenteel que

da la ecuación(27.11)referenteal movinúentocircular,perocon lacomponentede velocidadperpendiculara jj en vez de v. La rapi-

dcz angularestádadapor la ecuación(27.12).Dadala rapidezan-gular, sepuedeestablecerel tiemponecesarioparaunarevolución;dadala velocidadparalelaal campomagnético,sepuederesolverla

distanciarecorridaa lo largo de la héliceencstctiempo.

EJ,ECUTAR: a) Dado que vy = O, el vectorde velocidades v::::ｖｾｉ + vrk. Con baseen la ecuación(27.2), y recordandoque

i X i = Oy k xi:::: j, seobtiene10 siguiente:

F = qv x jj = ｱＨｶｾｩ + vi) x si = qV,sj= (1.60 x 1O-19C)(2.00x IlYm/s)(0.500r)j

= (1.60 X 10-14 N)j

[Paracomprobarla consistenciade unidades,recuerde(sección

27.2)que 1 T = 1N/A -m = 1N - siC- m.] Estopuedeparecerunafuerza muy débil, pero la aceleraciónrcsultantces enormepor ser

tan pequeñala masadel protón:

_ F 1.60XIO-14 N. ( "').

a=-= ｊＢＢＹＮＵＸｘＱＰｾｭＯｳｾｊm 1.67 X 10-:l7kg

b) En r = O, la componentede velocidadperpendiculara jj esvr ;

por tanto,

mv" (1.67 X 1O-:l1kg)(2.00X 105m/s)ｒｾＭｾ

Iqls (1.60 X 1O-19 C)(0.500T)

= 4,18 X lO-3 m = 4.18mm

De acuerdocon la ecuación(27.12)la rapidezangulares

IqlB (I.60X IO- 19 C)(0.soor) 7ｷｾＭＭ］ 27 = 4.79 X 10 rad/s

m 1.67 X Ｑｏｾ kg

El tiemponecesarioparaunarevolución(el periodo)es T = 2'Tf/w= 27T/(4.79X 107S-I) = 1.31 X 10-7s. El avanceesla distanciare-

corridaa lo largo del ejex duranteestetiempo,estoes,

vxT = (1.50 X lOS m/s)(1.31 X 10-7 s)

= 0.0197m = 19.7mm

EVALUAR: El avancede la héliceescasicinco vecesmayorqueelradio, Estatrayectoriahelicoidal estámuchomás"estirada"que la

de la figura 27.16.

Si seduplica la rapidezde la partículacon cargaen la figura 27.15asin alterarel

campomagnético(ni tampocola cargani la masa),¿cómoinfluye estoen el radio

de la trayectoria?¿Cómoinfluye en el tiempo necesarioparadescribirunaórbita

circularcompleta?

27.5 I Aplicacionesdel movimientodepartículasconcarga 1033

(.)

27.20 (a) Un selectordc ｶ･ｬｯ｣ｩ､｡ｾ deyar-tículascon cargaempicacamposE y Bperpendiculares.Sólo las partículasconcargaquetienen11 "" E/S lo atraviesansindesviarse.(b) FuerzaselCctricay magnéti-casobreunacargapositiva.Las fuerzasseinviertensi la cargaesnegativa.

27.5 I Aplicacionesdel movimientode particulascon carga

Estaseccióndescribevariasaplicacionesde los principiosquesehanpresentadoen estecapitulo. ESlÚdielasdetenidamente,procurandoidentificar las aplicacio-nesde la estrategiapararesolverproblemasdescritaen la secciónanterior.

Selector de velocidadEn un hazdepartículasconcargaproducidoporun cátodocalienteo unmaterialra-diactivo,no todaslaspartículassetrasladanconla mismarapidez.De cualquiermo-do, en muchasaplicacionesse requicreun hazen el que la rapidezde todaslaspartículasseala misma.Sepuedenseleccionarpanículasdel hazconunarapidezes-pedficamedianteunaconfiguracióndecamposeléctricosy magnéticosllamadase-lectordevelocidad.En la figura 27.20unapartículaconcargademasam, cargaq yrapidezv enrraenunaregióndelespaciodondeloscamposeléctricoy magnéticosonperpendicularesa la velocidaddela panículay unorespectoal otro. El campo eléc-trico Eeshaciala izquierda,y el campomagnéticoBeshaciael planode la figura.Si q espositiva, la fuerzaeléctricaeshaciala izquierdacon magnitudqE; la fuerzamagnéticaeshaciala derechacon magnitudquE. ParamagnitudesdecampodadasE y B, conrespectoa un valorparticulardeu lasftlerzaseléctricay magnéticaserande igual magnitud;porestola fuerzatotal escero,y la partículaviaja en línearectaconvelocidadconstantc.Sí la fuerzatotal escero,'1F, = Oy esnecesarioque-qE+quB = O; resolviendoparala rapidezv parala quenohay desvíación,setienequc

Ev=-

B (27.13)

SólolaspartículascuyarapidezseaigualaElB pasansinserdesviadaspor loscam-pos.Si seajustanE y B comoesdebido,sepuedenseleccionarpartículascon unarapidezenpanícularparautilizarlasenotrosexperimentos.Puestoqueq seeliminade la ecuacíón(27.13)al dividir, un selectordepartículasparapanículasconcargapositivatambiénfuncionaconelectronesu otraspartículasconcarganegativa.

ｆｾｲｾｦ［

•'foT+'be:'- +" -,ｉｾＫ ,,, ,, ,, ,,,1.. ,

B

Experimento de e/m de ThomsonEnunode los experimentosquemarcaronun hito enla física a fines del siglo XIX, J.J. Thomson(1856-1940)utilizó la ideaqueacabamosdedescribirparamedir la re-lación decargaa masadel electrón.Paraesteexperimento,realizadoen 1897en elLaboratorioCavendishdeCambridge,Inglaterra,Thomsonutilizó el aparatoquesemuestraenla figura 27.21.En un recipientedevidrio al allo vado,seaceleranelee-Ironesprovenientesdel cátodocalientey sereúnenenun haz medianteunadiferen-

Pantalla.___--.1

Act¡vPhyscs13.8 Selectordevelocidad

27.21 AparatodeThomsonparamedir larelacióne1mdel electrón.

ｲＭＭｾＢＭＭＭＭＭＭＭＭＭ

:f,

1034

ｾｾｳＬrr- s,

•,1+++1,

27.22 El espectrómerrodemasasde Bain-bridgeutiliza un selectorde vdocidadparaobtenerpartículascon rapidezuníformev.En la regióndc:1 campomagnéticoB', laspartículasde masamásgrande(ml > mI)describenrrayectoriasde radio másgrandeＨｒｾ > R1).


ciade potencialVentrelosdosánodos A YA'. La rapidezv deloselectronesestáde-terminadaporel potencialaceleradorV. La energíacinéticaimv2 esigual a la pérdi-da deenergíapotencialeléctricaeV,dondeeesla magnituddela cargadel electrón:

ｾｉｉｬｖＲ = eV o v = J2:V (27.14)

Los electronespasaneorrelasplacasP y P'e incidenen la pantalladel extre·model tubo, la cualestárecubiertadeun materialfluorescentequeemiteluz enelpuntodel impacto.Los electronespasanen línearectaentrelasplacascuandosesatisfacela ecuación(27.13);combinandoestocon la ecuación(27.14)seobtiene

ｾ = ｾＲ･ｖ portanto !.... = ｾ (27.15)B m m 2VB2

Todaslasmagnitudesdel ladoderechosepuedenmedir,porconsiguiente,sepue-de detenninarla relacióne/mdecargaa masa.No esposiblemedire ni m porse-paradopor estemétodo;sólo su proporción.

El aspectomássignificativo de las medicionesdee/mde Thomsonesqueen-conrróun solovalor deestamagnitud.No dependíani del materialdel cátodo,nidel gasresidualpresenteen el tubo, ni de ningunotro aspectodel experimento.Esta independenciademostróque las panículasdel haz,a las queahorallamamoselectrones,sonun componentecomunde todala materia.Porestarazónseatribuyea Thomsonel descubrimientode la primerapartículasubatómica:el electrón.Thomsontambiénencontróquela rapidezde loselectronesenel hazeracasiun dé-cimode la rapidezde la luz, muchomayorquecualquierrapidezde unapaniculamaterialmedidahastaentonces.

El valor másprecisodee/mdisponibleal momentodeescribirseestoes

e/m = 1.758820174(71)X IO ll C/kg

Enestaexpresión,(71) indicala incertidwnbreprobabledelosúltimosdosdígitos,74.Quinceañosdespuésde los experimentosdeThomson,el fisico estadouniden-

seRobertMillikan consiguiómedir la cargadel electróncon precisión(véaseelproblemadedesafío23.89).Estevalor, junto conel dee/m,nospermitedetermi-nar la masadel electrón.El valor másprecisodisponibleen la actualidades

m = 9.10938188(72)X 10-31 kg

Espectrómetros de masas

Sepuedenempleartecnicassimilaresal experimentodee/mdeThomsonparame·dir masasde ionesy, deestemodo,medirmasasatómicasy moleculares.En 1919,FrancisAstan (1877-1945),discípulodeThomson,construyóla primera familiade instrumentosdenominadosespectrómetrosde masas.En la figura 27.22semuestrauna varianteconstruidaporBainbridge.Los ionespositivosprovenientesde una fuentepasana travésde las ranurasSI y S2'y fonnanun haz estrecho.Enseguida,los ionesatraviesanun selectordevelocidadconcamposEy Bcruzados,comohemosdescrito,parabloqueartodoslos ionessalvoaquelloscuyarapidezues ｩｾｵ｡ｬ a E/B. Por último, los ionesentranen unaregiónconun campomagnéti-coB I perpendiculara la figura, dondesetrasladanenarcoscircularesde radio R,determinadopor la ecuación(27.11):R= mu/qB'.Los ionescondiferentesmasasincidenen la placafotográficaenpuntosdiferentes,y asi sepuedenmedir los va-loresde R. Sesuponequecadaion ha perdidoun electrón,por lo quela cargane-ta de cadaion es simplemente+e. Comose conocentodos los valoresde estaecuaciónsalvom, sepuedecalcularla masam del ion.

27.5 I Aplicacionesdel movimientodepartículascon carga

Uno de los primerosresultadosde estetrabajofue el descubrimientode queel

neóntienedosespeciesde átomos,con masasatómicasde 20 y 22 g/mol. Ahora

llamamosa estasespeciesisótoposdel elemento,Experimentosposterioreshan

mostradoque muchoselementostienen varios isótopos,estoes,átomosque son

idénticosencuantoa sucomportamientoquímicoperodiferentesen su masa,de-

bido a que tienendistinto númerode neutronesen su núcleo.Éstaestan sólo una

de las múltiplesaplicacionesde los espectrómetrosde masasen quimicay física.

Los espectrómetrosde masasactualesmiden rutinariamentemasascon una

precisiónsuperiora unaparteen 10000.La placafotográficase ha sustituidopor

un detectorde partículasmásrefinadoqueexploratoda la región de impacto.

AcI'!vPhyscs13,7 Espectrómetrode masas

1035

Ustedseproponereproducirel experimentodee/m deThomsonconun potencialdeaceleraciónde 150V Yun campoeléctricodellectorcuyamagnitudes de 6.0 X 106N/e. a) ¿A qué fracciónde la rapi-dezde la luz setrasladanlos electrones?b) ¿Dequémagnirndeselcampomagnéticoquenecesita?e) Conestecampomagnético,¿quéle ocurriráal hazdeelectronessi ustedaumentael potencialdeace-leracióna másde 150V?

lm!!millIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Setratade la mismasirnaciónque serepresentaen la figura 27.21.Seutiliza la ecuación(27.14)paraes-tablecerla rapidezde los electronesy la ecuación(27.15)parafijarel campomagnéticonecesario.

EJECUTAR: a) De acuerdocon la ecuación(27.14),la rapidezdeloselectronesu estárelacionadacon el potencialde aceleracióncomosigue:

Ejemplo27.5 Un experimento de e/m A E I

t •.d4'/f'uu/u) V50Et'u 7.27 X I06mJs = 0.024e 3.00 X lOS mis

Los electronesviajan a12A%de la rapidezde la luz.b) Segúnla ecuación(27.13),

E ＧｾＮｏｏ X 106N/CB=-= =0.83T

'- v 7.27 X 106mis

c) Si seincrementael potencialdeaceleraciónVaumentala rapidezde los electronesv. En la figura 27.21 estono alterala fuerzaeléc-trica ascendenteeE,pcrosi aumentala fuer.-:amagnéticadescenden-te euR.Porconsiguicnte,el hazdeelectronessedoblaráhaciaabajoe incidirá enel extremodel tuboabajode la posiciónsin desviación.

EVALUAR: El campomagnéticoque se necesitaesrelativamentegrande.Si el campomagnéticomáximodisponibleB cs de menosde0.83T, setendríaquereducirla intensidaddel campoeICctricoEparamantenerla proporciónE/B deseadaen la ecuación(27.15).

u = Y2(elm)V= Y2( 1.76 X 10" C/kg)(150V)

= 7.27 X 106 mis

Ejemplo276 Localización de fugas en un sistemade vacío

Casi no hay helio en el aire ordinario; por lanto, el helio rociadocercade unafugade un sislemade vacioaparecerádeinmediatoenla salidade unabombade vacio conectadaa un sistemade esteti-po. Ustedseproponeproyectarun detectorde fugasbasadoen unespectrómetrode masasparadetectariones He+ (carga+e =+1.60 X 10-19 C, masa6.65 X 10-nkg).Los ionesemergendel se-lector de velocidadcon unarapidezde 1.00 X lOs mis. Un campomagnéticoB' los obligaa seguirunatrayectoriasemicircular,y sondetectadosa unadistanciade 10.16cm de la ranuraS3 de la figura27.22.Calculela magnituddel campomagnéticoB'.

lm!!millIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: El movimientodel ion despuésdeatravesarla ranuraS3 de la figura 27.22es simplementeun movi-miento en una trayectoriacircular como se describeen la sección27.4(véasela Fig. 27.15).Conbaseen la ecuación(27.11), serela-cionala intensidaddel campomagnéticoB' (la variablequesebus-

ca) con el radio de curvaturade la trayectoriay con [a masa,cargay rapidezdel ion.

EJECUTAR: La distanciadada esel diámeJro de la traytcloriacircularquesemuestraenla figurn2722;portanlo,dradioesR= H10.16 X10-2 m) = 5.08 X 10-2 m. A partir de la ecuación(27.11),R =mv/qB',obtenemos10 siguiente:

mu (6.65 X 1O-!1kg)(I.OOX IOSm/s)ｂＧ］Ｍｾ

qR (1.60 X 10 I'C)(5.08 X 10 2m )

= 0,0817T

EVALUAR: Los detectoresde fugasde helio sondispositivosrealesque sirven paradiagnosticarproblemasdc los sistemasde alto va-cío. Nuestroresultadomuestraqueel campomagnéticorequeridoes pequeño,10 cual penniteconstruirdetectoresde fugas relativa-mentecompactos.

t

1036

• ¡t• A

• • í• J• ·". I •F

t• • • 'q •• • , •• • • ｾ •

A jj

27.23 Fuerzassobreunapartículaconcargaenmovimientoenunconductorquetransportacorriente.

e " PfTUL o 27 I Campomagnélicoy fuenasmagnéticas

Supongaque los ionesHe- del ejemplo27.5 sesustituyenpor ionesHe2>-, en losquese hanarrancadolos dos electronesdel álomode helio y la cargaiónica es+2e. ¿Seguirlafuncionandoel selectorde velocidad?De serasí,¿cómocambiarla

en la figura 27.22la distanciade la ranuraS) al puntodondesedetectanlos iones?

27.6 I Fuerzamagnéticasobreun conductorquetransportacorriente '

¿Quéeslo quehacefuncionarun moloreléctrico?Las fuerzasque10hacengirarsonfuerzasqueun campomagnéticoejercesobreunconductorquetransportacorriente.Las fuerzasmagnéticassobrelascargasenmovimiento delinteriordel conductorsetransmitenal materialdel conductor,y el conductor.enconjuntoexperimenta unafuerzadistribuidaa todo lo largodeel. El galvanómetrode bobinamóvil quedescri·bimosen la sección26.3tambienutiliza fuerzasmagneticassobreconductores.

Podemoscalcularla fuerzasobreun conductorportadordecorrientea partirdela fuerzamagnéticaF = qv x 8 sobreunasolacargaen movimiento. La figura27.23 muestraun segmentorectode un alambreconductor,de longitud I y áreadeseccióntransversalA; la corrienteesdeabajohaciaarriba.El alambreseencuentraen un campomagnético uniforme8, perpendicularal planodel diagramay dirigidohacia el plano. Supongamosen primer términoque lascargasen movimientosonpositivas.Másadelameveremosqueocurrecuandosonnegativas.

La velocidaddederivaVd esascendente,perpendiculara B. La fuerzapromediosobrecadacargaesF = qVd X 8,dirigida haciala izquierdacomosemuestraen lafigura; dadoqueVd y 8sonperpendiculares,la magnitudde la fuerzaesF = quIJ.

Podemosdeducirunaexpresiónde la fuerzatotal sobretodaslascargasenmo-vimientoenun tramodel conductorde longitud I y áreadeseccióntransversalA,empleandoel mismo lenguajequeutilizamosen lasecuaciones(25.2)y (25.3)dela sección25.1.El númerodecargasporunidaddevolumenesn; un segmentodelconductorde longitud I tieneun volumenAl y contieneun numerodecargasiguala nA/. La fuerza total F sobretodas las cargasen movimientode estesegmentotienemagnitud

De acuerdocon la ecuación(25.3), la densidadde corrienteesJ =: nqud' El pro·duetoJA es la corrientetotal 1, de modoque podemosreformularla ecuación(27.16)como

Si el campo8noesperpendicularal alambre,sinoqueformaun ángulocPconél, la situaciónsemanejacomolo hicimosen la sección27.2enel casodeunaso-la carga.Únicamemela componentede8 perpendicularal alambre(y a lasvelo-cidadesdederivade lascargas)ejerceuna fuerza;estacomponenteesB.l = B sencP. De estemodo la fuerzamagnéticasobreel segmentode alambrees

La fuerzasiempreesperpendiculartantoal conductorcomoal campo,con la di·reccióndeterminadapor la mismareglade la manoderechaqueaplicamosa unacarogapositivaenmovimiento(Fig. 27.24).Portanto,estafuerzasepuedeexpresarcomoun productovectorial, lo mismoque la fuerzasobreunacargaindividual enmovi-

27.24 Un segmentorectodealambredelongitud1conduceunacorriente1 en la di-recciónde7. La fuerzamagnéticasobrees-

le segmentoesperpendiculartantoa1comoal campomagnético8.

F = (nAi)(q"B) = ("q"A)(IB)

F = IIB

F = l/El. = l/S sen f/1

(nI6)

(27.17)

(nI8)

27.6 I Fuerzamagnéticasobreun conductorquetransportacorriente 1037

• miento. Si representamosel segmentodealambremedianteel vector1a lo largodelalambreenel sentidode la corriente,entoncesla fuerzaFsobreestesegmentoes

F =Ji x jj (fuerzamagnéticasobreun segmentorectodealambre) (27.19)

La figura 27.25 ilustra lasdireccionesde E, 7, y ¡ en varioscasos.Si el con1uctornoesrecto,podemosdividirlo ensegmentosinfinitesimalesdi.

La fuerzadF sobrecadasegmentoes

iF =/di x R (27.20)(fuerzamagnéticasobreunaseccióninfinitesimal dealambre)

(,¡

y

En estascondicionessepuedeintegrarestaexpresiónalo largo del alambreparahallar la fuerzatotal sobreun conductordecualquierforma. La integralesuna in-tegral de línea, la mismaopemciónmatemáticaquenossirvió paradefinir el tm-bajo (sección6.3) y el potencialeléctrico(sección23.2).

ID Recuerde (sección 25.1) que la corriente / no es un vector. La direc-ción del flujo de la corriente queda descrita por di, no por /. Si el conductor escurvo, la corriente res la misma en todos los puntos a lo largo de su extensión,

pero di cambia de dirección de tal modo que siempre es tangente al conductor. y

I

Por último,¿quéocurrecuandolas cargasen movimientosonnegativas,comoelectronesen un metal,por ejemplo?En estecasoen la figura 27.23unacorrienteascendentecorrespondea unavelocidaddederivadescendente.Sin embargo,dadoqueq esahomnegativa,la direcciónde la fuerzaFes la mismaqueantes.Asi, lasecuacionesde la (27.17)a la (27.20) sonválidasparacargastanto positivascomonegativas,e incluso cuandoambossignosde cargaestánpresentesa la vez. Estoocurreen ciertosmaterialessemiconductoresy en las solucionesiónicas.

Unaaplicacióncomúnde las fuerzasmagnéticassobreun alambreportadordecorrientese da en los altavoces(Fig. 27.26).El campomagnéticoradial creadopor el imán permanenteejerceuna fuerzasobrela bobinade voz, la cual espro-porcionala la corrientede la bobina; la direcciónde la fuerzaes ya seaa la iz-quierdao a la derecha,segúnel sentidode la corriente.La señalprovenientedelamplificadorhaceoscilar la corrienteen términosde sentidoy magnitud.La bo-

'o)

ｾＷ .25 (a) ｖｾ｣ｴｯｲ･ｳ dec1-mpomagnéticon, longitud1, Y fuerzaF correspondientesa un alambrerecIo queconduceunaco-rriente /. (b) Si seinvieTle iJ tambiénsein-vierteF. (e) Tambiénla inversiónde lacorrienteinvierteI y regresaa Fa la mis-ma direcciónqueen (a).

(b)

CampoBdel imán

Conorígido--1'1d,altavozBobina

devoz

ＺｾＺＺAnilloflexibledesuspensión

"J

Señaldel ..?'¿amplificador

27.26 (a) Componentesde un altavoz.(b) El imán pennanentecreaun campomagnéticoqueejercefuerzassobrela corrientede la bobinade voz; con unacorriente/ en la direc-ción quesemuestra,la fuerla eshacia la derecha.Si la corrienteeléctricaoscilaen la bo-bina de voz, el conode altavozacopladoa la bobinade voz oscilaa la mismafrecuencia.

1038

Act¡'vPhyscs13.5 Fuerza magnética sobre

un alambre

e A píT u LO 27 I Campomagnéticoy fuerzasmagnéticas

binay el conodealtavozal queestáacopladarespondenoscilandoconunaampli-tud proporcionala la amplitudde la corrienteen la bobina.Cuandoseaumentaelvolumencon la perilla del amplificador,aumentala amplitudde la corrientey, enconsecuencia,la amplitudde la oscilacióndel conoy de la ondasonoraproduci-da por el conoen movimiento.

Ejemplo27.7 Fuerza magnética sobre un conductor recto

Unabarrarectahorizontaldecobretransportaunacorrientede50.0A de oestea esteen unaregión comprendidaentrelos polosde ungranelectroimán.En estaregiónhayun campomagn6ticohorizon-tal haciael noreste(esdecir, a 45Q al nortedel este)cuyamagnitudes de 1.20T, comose muestraen la vista aéreade la figura 27.27.a) Encuentrela magnitudy direccióndela fuerzasobreunasecciónde 1.00m de la barra.b) Conservandola barraenposiciónhorizon-tal, ¿cómose debeorientarparaque la magnituddc la fuerza seamáxima?¿Cuálesla magnitudde la fucrzacn estecaso?

l'lil!!I3I'illIIDENTIFICAR V PLANTEAR: Se trata de un segmentorecto dealambre;así que,se puedeproporcionarla magnirudde la fuerzamagnéticacon baseen·laecuación(27.18),Y la dirección, aplican-do la reglade la manoderecha.Otra opción eshallar el vectordefuerza(magnitudy dirección)íl partir dc la ecuación(27.19).

EJECUTAR: El ángulo </J entrelas direccionesde la corrientey delcampoesde 45°. A partir de la ecuación(27.18)seobticne

F= IlB sen</J = (SO.OA)(1.00m)(1.20T)(sen45°)= 42.4N

ｎｯｾ

Oeste

27.27 Vista aéreade la barradecobre

La direcciónde la fuerzaesperpendicularal planode la corrienteyel campo,los cualesyacenambosen el plano horizontal.De estemodo,la fuerzadebeservertical; la reglade la manoderechaindi-ca quees verticalmentehacia arriba (saledel planode la figum).

Tambiénsepuedeemplearun sistemade coordenadasconel ejex apuntandohaciael este,el ejey haciael nortey el ejez haciaarri-ba. Por lo tantosetieneque

7= (I.OOm)i iJ = (1.20T)[(cos45Q )i + (sen45°)jJ

F=I7xiJ= (50 A)(1.00 m)i x (1.20T)[(cos45°)i + (sen45°)j]

= (42.4N)i<

Si el conductorestáenequilibrio mecánicobajo el efectode supesoy de la fuerza magnéticahaciaarriba,su pesoesde 42.4N ysu masaes

In = wlg = (42.4N )/(9.8 m/s2 ) = 4.33kg

b)_La magnitudde la fuerzaes máximasi </J = 900 de modoque7y B sonperpendiculares.Paraque la fuerzacontinúesiendohaciaarriba, hacemosgirar la barra45° en el scntidode las manecillasdel reloj con respectoa su orientaciónen la figura 27.27,demodoquela corrientefluya haciael sureste.En estostérminosla magni-tud de la fuerzamagnéticaes,

F = HB = (50.0A)( \.00 m)( \.20T) = 60.0N

y la masade unabarraquepuedesostenersecontrala gravedadesIn = wlg = (60.0 N)(9.8 mls2

) = 6.12 kg.

EVALUAR: Ésteesun ejemplosímplede levitaciónmagnética.Lalevitaciónmagnéticase utiliza tambiénen ciertostrenesespecialesde altavelocidad.Seutiliza la tecnologíaelectromagnéticaconven-cional parasuspenderel tren sobrelas vías; la eliminaciónde lafricción de rodamientopennitequeel tren alcanceunarapidezdemásde400 km/h.

Ejemplo278 Fuerza magnética sobre un conductor curvo

Eab. figurn. 27_28el campomagnéticoiJ esuniformey perpendicu-la iIIpboode la figura, y apuntahaciaafuera.El conductortieneun54!_M. rtao de Iongirud L perpendicularal planode la figura ab dcm=bz. CQI b corrienteopuestaa B; seguidode un semicírculode radioJt-.) fieah.".l!e attosegmentorectode longitudL paraleloal ejex. comosemoc:sua..El conductortransportaunacorricnteJ.Proporcionela fuerzalIl3pIética total sobreestostressegmentosdealambre.

l'lil!!I3I'illIIDENTIFICAR V PLANTEAR: Seencuentrala fuerzasobrelos seg-mentosrectosa partir de la ecuación(27.19).En el casodel semi-circulo, primero se aplica la ecuación(27.20)parahallar la fuenasobreun segmentoinfinitesimal,en seguidaseintegraparaencon-trar la fuerzasobreel semicírculoen conjunto.La fuerza magnéti-ca total sobrelos tressegmentosesla sumavectorialde las fuerzassobrecadasegmentoindividua!.

27.7 I fuerzay momentodetorsiónen unaespiradecorriente 1039

, Lascomponcntesde la fuerzaii sobreel segmentodI son

Seinsertaun alambrerectoportadordecorrienteenunaregióndel espaciodondehay un campomagnéticointenso dirigidoverticalmentehaciaabajo.¿Cómosepuedeorientarel alambrede modoque la fuerzamagnética10 mantengasuspen·dido enel aire?

EVALUAR: Sepodriahaberpredichopor simetríaque la campo-nenlex de la fuerzasobreel semicirculoseriacero.Sobrela miladderechadel semicírculola componenlex de la fuerzaespositiva(haciala derecha),y en la milad izquierdaesnegativa(haciala iz-quierda);lasconlribucionesposilivay ｮ･ｧ｡ｾｶ｡ a la integralsecan-celan.

Desecuentaquela fuerzanetasobrelos tressegmenlosjuntosesla mismafuerzaqueseejerceríasi sesustituyeseel semicirculoporun segmentorectoa [o largodel ejedelasx. ¿Veustedporqué?

dF., = IRd88senO

F, "'" 18(L + 2R)

F = IB(L + 2R)j

ｆｾ = O

､ｆｾ = IR d8 8 cos8

o

Paraproporcionarlascomponenlesdela fuerzalotal seintegranes-tasexpresiones,haciendoque8varicdeOa .. para incluir IOdo elsemicírculo.Seobtienelo siguienle:

ｆｾ "'" IRBi'"COS8d8= O

F., = IRBir sen8 d8 = 2IRB

Porúltimo.. la fuerzat01a1sehallasumandolasfuerzassobrelossegmentosrectosy el semicircular.

27.28 ¿Cuáles la fuerzamagnéticatotal sobrt:el conductor?

EJECUTAR: Resolvamos primero laspartes taci.J.es(los segmenlOSrec-tos).No hayningunafuer2asobreel segmenlOde la dem:hapapen-dicularal planode la figura porqueesantiparaleloa.8;i x B= O, o! "'" 180"Ysendi "'" O. En el casodelscgmenlOm.todela izquierda,L apuntahaciala izquierda(en la direcciónde la corrienle),perpen-dicularaB. La magnitudde la fuerzaesF = /LB, Ysudireceióneshaciaarriba(la dirección+yen la figura).

La panedivenidaesel semicirculo.La figura muestraun seg-mentodi de longituddi = R dO, enel ángulo8. La direccióndedi x Besrndialmenlehaciaafueraconrespectoal centro;cercióresedeverificarestadirección.Puestoqueii y Bsonperpendiculares,lamagnituddF de la fuerasobreel segmentodi essimplementedF "'"Jdi 8; por tanto,tenemosque

dF = I(Rd8)B

27.7 I Fuerzay momentode torsiónen unaespiradecorriente

Por10 regular,losconductoresquetransportancorrienteformanespirascerradas;portanto,vale la penautilizar los resultadosde la sección27.6paraencontrarla fuerzayel momentode torsiónmagnéticostotalessobreun conductorcon forma de espi-ra. Muchosdispositivosprácticoshacenusode la fuerza o momentode lorsiónmagnéticosobreunaespiraconduclora;por ejemplo,los altavoces(véasela Fig.27.26)Y los galvanómetros(véasela sección26.3).Porconsiguiente,los resulta-dosdeestaseccióntienenunaimponanciaprácticaconsiderable.Estosresultadostambiénnos permitiráncomprendermejorel comportamientode los imanesdebarradescritosen la sección27.1.

Comoejemplo,examinemosunaespirarectangulardecorrienteen un campomagnéticouniforme. Podemosrepresentarla espiracomounaseriedesegmentosrectilineos.Hallaremosque la fuerzatotal sobrela espiraescero.peroquepuedehaberun momentode torsión nelo queactúesobrela espira.conalgunaspropie-dadesinteresantes.

1040 eA pf T U LO 27 I CamJXImagnético'J fuerlUS magnéticas

F' = IbB sen(90° - q,) = IbB cosq,

Unafuerza- Pde la mismamagnitudperoendirecciónopuestaacruasobreel la-do opuestode la espira,comosemuestraen la figura.

Los ladosde longitudh formanun ángulo(90° - q,) con la direccióndeR. Lasfuerzassobreestosladosson los vectoresP' y -F'; sumagnitudF' estádadapor

(27.21)F= laB

,I

• ,, ,'F.

_Á(oonnaI)

" • s.-,ｾＩ

Las líneasdeacciónde ambasfuerzasseencuentrana lo largodel ejedey.La fuerzatotal sobrela espiraesceroporquelas fuerzassobreladosopuestosse

cancelanpor pares.La fuerza netasobreunaespirade corrienteen un campomagnéticouniformeescero.No obstante,elmomelltodetorsión netoen generalnoesigual a cero.(puedcserconvenienterepasarenestemomentola exposiciónso-breel momentode torsiónen la sección10.1). Lasdos fuerzasF' y -P' de la figura27.29ayacena 10 largode la mismalíneay, por tanto,danorigena LUl momentodetorsiónnctodecerocon respectoa cualquierpunto. LasdosfuerzasFy - Fyacena10 largode líneasdiferentes,y cadaunadaorigena un momcntode torsiónen tomoal ejey. Deacuerdoconla regladela manoderechaparahal1arla direcciónde los mo-mentosde torsión,los momentosdetorsiónvectorialesdebidosaFy - Ptienenam-bos la dirección+y; por tanto,el momentode torsiónvectorialneto ;¡. tambiéntienela dirección+y. El momenlodebrazodecadaunadeestasfuerzas(igual a la distan·ciaperpendiculardelejederotacióna la líneadeaccióndela fuerza)es(bI2)sen4>; portanto, la magniruddel momentode torsióndebidoa cadafuerzaesF(bf1)sen4>. Siaplicamosla ecuación(27.21)deF, la magniruddel momentodetorsiónnetoes

7 ｾ 2F(bI2)'eo'" - (iBa)(b seo",) (27.22)

El momentodetorsiónesmáximocuandoq, = 90°,.8estáenel planode la espira,yla IlOrmal a esteplanoesperpendiculara B(Fig. 27.29b).El momentode torsiónescerocuando4> esceroo 180°y la normala la espiraesparalelao antiparalelaal cam·po(Fig. 27.29c).El valor 4> = Oesunaposicióndeequilibrio estableporqueel mo-mentode torsiónesceroen esepunlo, y cuandosehaccgirar la espiraun pocorespectoaestaposición,el momemodetorsiónresultantetiendeahacerlogirardere·

La figura 27.29muestraunaespirarectangulardealambrecon ladosde longi-tudesa y b. Una linea perpendicularal planode la espira(estoes,unanormalalplano) forma un ángulo q, con la diret;ción del campomagnético.8, y la espiratransportaunacorrientel. Seomiten los alambresque introduceny sacanla co-rrientede la espira,asícomode la fuentede fem, parasimplificarel diagrama.

La fuerzaPsobreel ladoderechode la espira(longituda) estáa la derecha,enla dirección+x comosemuestra.En estelado, .8 esperpendiculara la direcciónde la corriente,y la fuerzasobreestelado tienemagnitud

27.29 (a) Fuerzasqueactúansobrelos la-dosde unaespiraconductorade corrienteenun campomagnéticouniforme.La fuer-zaresultanteescero; la magnituddel mo-mentode torsiónesT = IAB senq,. (b) Elmomentode torsiónesmáximocuandolanormala la espiraesperpendiculara8,(e) Cuandola normala la espiraesparale-la a8, el momentode torsiónesceroy elequilibrio ｾｳ estable.Si la normalesanti-paralelaa B, el momentode torsión tam-bién esceroperoel equilibrio esinestable.

(.)

Ad¡"VPhyscs13.6 Momento de torsi6n magnético

sobre una espira

,

21.7 I Fuerzay momentode torsiónen unaespiradecorriente

gresohaciacP = O. La posiciónq, = 1800 esunaposicióndeequilibrio inestable:sisedesplazaunpocorespectoaestaposición,la espiratiendeatrasladarseaUnmásdecP = 180°.La figura 27.29muestrala rotaciónentomoal ejey.peroyaquela fuer*zanelasobrela espiraescero,la ecuaci6n(27.22)del momentodetorsiónesvalidacualquieraqueseael ejequeseelija (véaseel problema27.80).

El áreaA de la espiraesigual aah; por tanto,podemosreformularla ecuación(27.22)como

7' = IBA senl' (27.23)

(magnituddel momentode torsiónen unaespiradecorriente)

El productolA sedenominamomentodipoJarmagnético(magnituddel momen-to detorsiónsobreunaespiradecorriente)o momentomagnéticode la espira,yserepresentamedianteel símboloJJ, (la letragriega"mu"):

p. ｾ lA (27.24)

Esanálogoal momentodipolarelectricopresentadoen la sección21.7.En termi-nasde ¡.t, la magnituddel momentodetorsiónsobreunaespiradecorrientees

l' = p.Bsen4> (27.25)

dondee/> esel ánguloentrela normala la espira(la direccióndel áreavectorial.4.)y ¡j. El momentode torsión tiendea hacergirar la espiracn la direcciónde e/> de-creciente,esdecir, haciasu posiciónde equilibrio establedondela espirayaceenel planoxy, perpendiculara la direccióndel campo¡j (Fig. 27.29c).Unaespiradecorriente,o cualquierotrocuerpoqueexperimentaun momentodetorsiónmagné-tico dadopor la ecuación(27.25),recibetambiénel nombrededipolo magnético.

AdemáspodemosdeÍmirun momentomagnéticovectorial ji demagnitudlA;estesemuestraen la figura 27.29.La direcciónde ji sedefinecomoperpendicu-lar al planode la espira,con un sentidodeterminadopor la reglade la manodere-cha,comosemuestraen la figura 27.30.Doble los dedosde su manoderechaentomo al perímetrode la espiraen la direcciónde la corriente.A continuaciónex-tiendael pulgardemodoqueseaperpendicularal planode la espira;sudirecciónesla direcciónde ji (y del áreavectorial.4.de la espira).El momentodetorsiónesmaximocuandoji. y ¡j sonperpendiculares,y escerocuandosonparalelosOan-tiparalelos.En la posicióndeequilibrio estable,ji y ¡j sonparalelos.

Por último, podemosexpresarestainteracciónen términosdel vectorde mo-mentode torsión T, queya utilizamosen las interaccionesde dipoloseléctricos,en la sección21.7.De acuerdocon la ecuación(27.25)la magnitudde T es iguala la magnitudde ji x ¡j, y unaconsultaa la figura 27.29muestraque las direc-cionestambiensonlasmismas.Por tanto,tenemosque

T = ji x ¡j (momentodetorsiónvectorialsobreunaespiradecorriente)(2726)

Esteresultadoesdirectamenteanálogoal resultadoobtenidoen la sección21.7con respectoal momentodetorsiónqueejerceun campoeJectricoEsobreun di-poloeléctricocon un momentodipolat p: T = P x E.

Cuandola orientaciónde un dipolo magnéticocambiaenun campoelectrico,elcamporealizatrabajosobreél. En undesplazamientoangularinfInitesimalde/> el tra-bajodW estádadopor 1'dcf.¡, y hay un cambiocorrespondientede energíapotencial.Como10sugierelo antesexpuesto,la energíapotencialesmínimacuando¡¡ y ñsonparalelos,y máximacuandoson antiparalelos.Parahallarunaexpresiónde la ener-gía potencialU en función de la orientación,podemosaprovecharla bellasirnetriaqueexisteenttelasinteraccionesdedipoloselectricosy magnéticos.El momentodetorsiónsobre undipolo eléctricoenuncampoeléctricoesT = Px E; enla sección

1041

21.30 La reglade la manoderechadeter-minala direccióndel momentomagnelicodeunaespiraportadoradecorriente.Estadirecciónestamblenla del vectordeareaAde la espira;ji = lA esunaecuaciónvectorial.

1042

27.31 El conjuntode rectánguloscoincideexactamentecon la espiraplanairregularenc:11imite,confonneel númerode rec·tángulostiendea infinito y la anchwadecadarectángulotiendeacero.


21.7hallamosquelaenergíapotencialcorrespondienteesU :::: -P' E. El momentode torsiónsobreun dipolo magnéticoen un campomagnéticoesT = ¡¡ x B, portanto,concluimosde inmediatoque la energíapotencialcorrespondientees

U = - ji' B= -J.LBcosep (energíapotencialde un dipolo magnético)(27.27)

Conestadefinición, U escero cuandoel momentodipolarmagnéticoesperpen-dicularal campomagnético.

Aunquehemosdeducidolasecuacionesde la (27.21)a la (27.27)conrespectoaunaespirarectangulardecorriente,todasestasrelacionessonaplicablesaunaespiraplana'dela forma quesea.Sepuedetenerunaaproximacióntan cercanacomosequie,raacualquierespiraplanamediameun nUmeromuygrandedeespirasreclallgu·lares,comosemuestraen la figura 27ＮＳＱｾ Si todasestasespirastransportancorrien-tesigualesenel mismosentido,entonceslas fuerzasy momentosdetorsiónsobrelosladosdedosespirasadyacentessecancelan,y las Unicasfuerzasy momemosde torosiónquenosecancelansedebena corrientesen tomoa la frontera.Portamo,todaslas relacionesanterioressonválidaspara unaespiradecorrientedesuperficieplanadecualquierforma,conel momemomagneticoji dadopor ji = lA.

Podemosgeneralizarasimismotodaestaformulaciónconrespectoa unabobi-naconsistenteenN espirasen un planopróximasentresí; el efectoessimplemen-te el de multiplicar cadafuerza,el momentomagnético,el momentode torsiónyla energíapotencialporun factorde N.

Unaconfiguraciónqueofreceun interésparticularesel solenoide,un devana-do helicoidaldealambrecomo,porejemplo,unabobinaenrolladasobreun cilin-dro (Fig. 27.32). Si los devanadosestánmuy próximosunosde otros,unaaproximacióndelsolenoideesunciertonúmerodeespirascircularessobreplanosqueformen angulorectoconsu eje longitudinal.El momentode torsión total so-breun solenoideen un campomagnéticoessimplementela sumade los momen-tosde torsiónde lasespirasindividuales.Enel casode un solenoideconN espirasenun campouniformeB, el momentomagnéticoesJ1 = NIA Y

donde4> esel ánguloentreel ejedel solenoidey la direccióndel campo.El vectorde momemomagnéticojl estáorientadoa lo largo del eje del solenoide.El mo-mentode torsión esmáximocuandoel eje del solenoidey el campomagnéticosonperpendiculares,y cero cuandoson paralelos.El efectode estemomentodetorsiónesunatendenciaa hacergirarel solenoidehaciaunaposicióndondesuejeesparaleloal campo.Los solenoidestambiénsonútiles comofuentesde campomagnético,comoveremosenel capítulo28.

El galvanómelTOded'Arsonval,descritoen la sección26.3,utiliza un momentodetorsiónmagnéticosobreunabobinaqueconduceunacorriente.Comoseveen lafigura 26.14,el campomagnéticono esuniformesino radial, de modoqueel em-puje lateral sobrela bobinaessiempreperpendiculara suplano. De estemodo,elángulo4> dela ecuación(27.28)siempreesde90°,y el momentode torsiónmagné-tico esdirectamenteproporcionala la corriente,cualquieraquesealaorientacióndela bobina.Dosespiralesde reloj proporcionanun momentode torsiónde recupera-ción queesproporcionalal desplazamientoangularde la bobina,y tambiénsirvencomoconductoresdecorrientehaciala bobina.Cuandosesuministracorrientea labobina,éstagira junto con su aguja indicadoraacopladahastaqueel momentodetorsiónde recuperaciónde las espiralescompensaexactamenteel momentode tor-siónmagnético.De estemodola desviaciónde la agujaindicadoraesproporcionala la corriente.Estosinstrumentospuedenmedircorrientesmuy pequeñas,de hasta10-7A, Yciertasversionesmodificadasmidencorrientesde hasta10-10A.

27.32 El momento de torsión:; = ji. x ñsobreestesolenoideen un campomagnéti-co unifonneestádirigido directamenteha-cia la parteinternade la página.Tiendeahacergirarel solenoideen el sentidode lasmanecillasdel reloj paraalinearel momen-to magnéticoy el eje del solenoidecon elcampomagnérico.Un solenoidereal tieneun númeromuchomayordeespiras,deva-nadasmuy próximasentresi.

T = NIAB sen4> (27.28)

Ejemplo279

27.7 I Fuerzay momentodetor.;iÓD en unaespiraderomenle

Momento de torsión magnético sobre una bobina circular

1043

"

Unabobinacircularde0.0500ro deradio,CaD 30espirasdealambre,yaceen un planohorizontal(Fig. 27.33).Conduceunacorrientede5.00A ensentidoconmuioa lasmanecillasdel reloj vistadesdearri-ba.La bobinaestá enun campomagnéticouniformedirigido hacialaderechay cuyamagnitudesde 1.20T. Halle lasmagnitudesdel IDO-

mentomagnéticoy del momentode lor.;ión sobrela bobina.

m!mIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: La magnitudJL del momentomagné-tko de Ulla sola espirade alambreestádadaen términosde la co-rriente y del áreade la bobinapor la ecuación(27.24).Con Nespiras,el momentomagnéticoesN vecesmásgrande.La magni-tud 7" del momentodetoniónsehallamediantela ecuación(27.25).

EJECUTAR:El áreade la bobinaes

A = r.r! = 'IT(0.0500m)2 = 7.85 X 10-3 m!

ＭＭＨ｟ｾﾱ｟ｯｾｔｾ

1- S.OOA

27.33 Bobinacirculardealambreportadordecorrienteen uncampomagnéticouniforme.

El momentomagnéticodecadaespirade la bobinaes

JL = lA = (5.00A)(7.85 X 10 -J m!) = 3.93 X 10-2 A 'm2

y el momentomagnéticototal. de las30espiras es

ｾ = (30)(3.93 X IO-!A-m!) = LlSA'ml

El ángulot/J entrela direccióndeBy la ｾￓｄ de ji. (queesa lo largodela normalal planode la bobina)esdeWO. De acuerdocon la ecuación(27.25),

'T = /J"ooJ8sen q, = (1.18A' m2)( 1.20T)(sen9(0)

= 1.41 N'm

O bien,deacuerdocon la ecuación(27.23),el momentode toniónsobrecadaespirade la bobinaes

T = IBA sen q, = (5.00A)( 1.20T)(7.85 X 10-3 m2)(sen90°)

= 0.0471N'm

yel momentode torsióntotal sobrela bobinaes

T = (30)(0.0471N'm) = 1.41 N'm

EVALUAR: El momentodetorsióntiendeahacergirar el ladodere-chode la bobinahaciaabajoy el lado izquierdohaciaarriba,haciaunaposicióndondela normala suplanoesparalelaa B.

Ejemplo27.10 Energía potencial de una bobína en un campo magnétíco

,

Si la bobinadel ejemplo27.9gira res]X{:to a su posiciónoriginal auna posicióndondcsu momentomagnéticoesparaleloa 8. ¿cuálesel cambiode energíapotencial?

m!mIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Secalculala energíapotencialco-rrespondientea cadaorientaciónmediantela ecuación(27.27). Enseguidaseobtienela diferenciaentrelos valoresfmal e inicial pan!

encontrarel cambiode energiapotencial.

EJECUTAR: De acuerdoCaD la ecuación(27.27), la energlapoten-cial inicial VI es

y la energíapotencialfinal U2 es

V2 = -JL.c,w8costPl = - (1.18A' ml)( 1.20T)(cos0°)

= -1.41 J

El cambiodeenergíapotenciales6.U = U2 -UI = -1.41 J.

EVALUAR: La energiapotencialdisminuyeporquela rotaciónesenla direccióndel momentode torsiónmagnético.

1Ejemplo27.11 Equilibrio de una bobinaen un campomagnético

¿Quéfuerzasverticalesaplicadasa los bordesizquíerdoy derechode la bobinade la figura 27.33 se necesitarianpara mantenerlaenequilibrio en su posicióninicial?

m!mIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: ｾ el ejemplo27.9,el bordedere-chode la bobinatiendea girarhaciaabajo,y el lado izquierdo,ha-cia arriba.Paraestabilizarla bobinaseaplicaunafuerzaascendente

1044 CA pfTULO 27 I Campomagnéticoy fuerzasmagnéticas

,1

de magniwdF aliadoderechode la bobina,y una fuerzadescen-denlede la mismamagniwdal lado izquierdo.La magnirudF ｾelige de modoque el momentode torsiónqueseapliquetengalamismamagnitudqueel momentode lorsiónal queseopone.

EJECUTAR: Una fuerzahaciaarribade magnirudF en el ladodere-cho y una fuerzahaciaabajode la mismamagnituden el lado iz-quierdotendríanun momentode torsióntotal de

1':: 2rF '" (2)(0.0500m)F

La magnitudde estemomenlode torsiónaplicadodebeserigual ala del momentodetorsióndel campomagnético:1.41 N °m. Seha-lla quela magnitudde las fuerzasｮｾｳ｡ｲｩ｡ｳ esF = 14.1 N.

EVALUAR: La orientaciónde la bobinaen la figura 27.33 esla queproporcionael momentode torsiónmagnéticomásgrandey, portanto, requierelas fuerzasmásgrandesparamantenerlaen posi-ción. En cualquierotra orientación,las fuerzasnecesariasseríandemenosde 14.1 N.

1

I,I

,1 -nelaP ｾ

ｾEmE ｾ

(a)La fuenaDetasobreestabobi.... ..,akja.&l polooone&1imán

ｾｾｾｔＱ

"(b) La fueru oelaIObre la m.i"nabobinaeshadael polo Surdel ｩｭｾｮ

27.34 Fuerzasqueactúansobreespirasdecorrienteen un campono unifonneB. Entodoslos casosel eje del imánde barraesperpendicularal planodela espiray pasa.porel centrodeesta.

Dipolo magnéticoen un campomagnéticono uniformeHemosvisto queunaespiradecorriente(estoes,un dipolo magnético)experimentauna fuerzanetadeceroen un campomagnéticouniforme. La figura 27.34muestradoscspirasdecorrienteen el campono Imifonne8de un imánde bamI.;en amboscasosla fuerzanctasobrela espiranoesccro. En la figura 27.34ael momentomag-nético¡¡ tienela direcciónopuestaa la del campo,y la fuerzaiF = 1di x 8 so-breun segmentodeespiratieneunacomponenteradial y tambienunacomponentehaciala derecha.Cuandosesumanestasfuerzasparahallar la fuerzanetaFsobrela espira,las componentesradialessecancelan,de tal modoque la fuerzanetaeshaciala derecha,alejándosedel imán. Desecuentaqueen estecasola fuerzaesha·cia la regióndondelas líneasdeeampoestánmásseparadasy la magnituddel cam-poB esmenor.En la figura 27.34se invierte la polaridaddel imánde barra.por loque ji. y 8 sonparalelos;ahorala fuerzanetasobrela espiraeshaciala izquierda,haciala regiónde mayormagnituddecampocercadel imán. Másadelanteeneslasecciónnosserviremosdeestas observacionesparaexplicarporquelos imanesdebarrapuedenalzarobjelosde hierro no magnetizados.

Dipolos magnéticosy funcionamientode los imanesEl comportamientodeun solenoideenun campomagnélico(27.32)seasemejaalde un imánde barraO unaagujade brújula; si tienenlibre rotación,tantoel sole-noidecomoel imán seorientancon susejesparalelosal campoB. En ambosca-sosestosedebea la interaccióndecargaseléctricasen movimientocon el campomagnético;la diferenciaes que en un imán de barrael movimientode la cargaocurreen la escala microscópicadel átomo.

Piensequeel electrónescomounaesferadecargaquegira sobresí misma.Enestaanalogíala circulacióndecargaen lomo al ejede rotaciónescomounaespi-ra de corrientey, por lanto, el electrónliene un momentomagnéticonelo. (Estaanalogía,aunqueútil. es inexacta;un electrónno esenrealidadunaesferaen ro-lación. Unaexplicacióncompletadel origendel momentomagnéticode un elec-trón tieneque vercon la mecánicacuánlica.queestáfuerade nuestroalcanceporahora).En un átomode hierrounafracciónímportamede los momentosmagnéticosde loselectronessealineanunosconotros,y el átomotieneun momentomagnéticodiferentedecero.(Encontraste,losátomosdela mayorpartedeloselementostienenpocoo ningúnmomentomagnéticonclo). En un trozode hierro no magnetizadonohay unaalineaciónglobal de los momentosmagnéticosde los átomos;su sumavectorialescero,y el momentomagnéticonetoescero(Fig. 27.35a).Peroen unimán de barrade hierro los momentosmagnéticosde muchosde los átomossonparalelos,y hay un momentomagnéticoneto¡¡ apreciable(Fig. 27.35b).Si seco-loca el imán en un campomagnético8, el campoejerceun momentode torsión,dadopor la ecuación(27.26),quetiendea alinear¡¡ conB(Fig. 27.35c).Un imán

27.7 I Fuerzay momentodetorsiónen unaespirodecorrienle 1045

(b)

'ol

s

27.35 a) Momentosmagnélicosorienta-dosal azaren un trozode hierrono mag-netizado.(Sólosemuestranunospocosmomentosatómicosrepresentativos.)(h)Momenlosmagnéticosalineadosen un tro-zo dehierromagnetizado(imándebarra).(e) El momentode torsiónsobre: un imánde harraen un campomagnericotiendeaalinearel momentodipolardel imánconelcampoO.

27.36 Un imándebarra atraeun objetodehierrono magnetizadoendosetapas.Pri·mero,el campoOdel imándebarra daori-genaun momentomagneticonetoenelobjeto.Segundo,ya queel campodel imánde barrano csunifonne,estedipolomag-néticoesatraídohaciael imán. la atracociónesla misma ya seaqueel objetoestémáspróximo(a)al polonortedel imáno(b) al polosurdel imán.

de barratiendea alinearsecon un campoB demodoqueunalíneadel polo suralpolonortedel imántengala direccióndeB; porconsiguiente,la significaciónrealdelos polosnortey surdeun imán esquerepresentanla puntay la cola, respectiva·mente,del dipolo magneticoIt del imán.

El momentode torsiónqueexperimentaunaespirade corrienteen un campomagnéticotambiénexplicacómosemagnetizaun objetode hicrro no magnetiza-do comoel de la figura 27.35a.Si un clip dehierronomagnetizadosecolocajun-to a un imán potente,los momentosmagnéticosde los átomosdel clip tiendenaalinearseconel campomagnéticoBdel imán.Cuandoseretirael clip, susdipo-.losalómicostiendenapermaneceralineadosy el clip tieneun momentomagnéti-co neto.Sepuededesmagnetizarel clip dejándolocaeral pisoo calentándolo;laenergíainternaadicionalzarandeay redistribuyeal azarlos dipolosatómicos.

La descripcióndedipolosmagnéticosdeun imándebarraexplicalas fuerzasdeatraccióny repulsiónentrelos imanesdebarrade la figura 27.1.El momentomag-néticoIt de un imán debarraapuntade su polo sura supolo norte;por tanto, lasespirasde corrientede las figuras 27.34ay 27.34bson ambosequivalentesa unimánconsupolo nortea la izquierda.Asi pues,la situaciónde la figura 27.34aesequivalenteadosimanesdebarraconsuspolosnortepróximosunoal otro; la fuer-zaresultanteesderepulsión,comoenla figura 27.lc. En la figura 27.34bsetieneunavez másel equivalentededosimanesdebarraextremoconextremo,peroconel polo surdel imán de la izquierdajunto al polo nortedel imán de la derecha.Lafuerzaresultanleesdeatracción.comoen la figura 27.1b.

Por último. explicaremoscómoes que un imán atraeun objeto de hierro nomagnelizado(Fig. 27.2).Setratade un procesoen doselapas.Primero.los mo-mentosmagnéticosatómicosdel hierro tiendena alinearsecon el campoBdelimán; enconsecuencia,el hierro adquiereun momentodipolarmagnéticoneto jiparaleloal campo.Después,el campono uniformedel imán atraeel dipolo magonetico.La figura 27.36amucstraun ejemplo.El polonortedel imánestámás próxi-moala navajadebolsillo (quecontienehierro),y el dipolomagnéticogeneradoenlanavajaesequivalenteaunaespiraconunacorrientequecirculaensentidoopuestoalquesemuestraenla figura 27.34a.Portamo.la fuerzamagnéticanetasobrela na-vajaesopuestaa la fuerzasobrela espiraen la figura 27.34a,y la navajaesalrai-dahaciael imán. Si secambiala polaridaddel imán,comoen la figura 27.36b,seinviertenlasdireccionestantode Bcomode ji. La situaciónesahoraequivalentea la quesemuestraenla figura 27.34b;al igual quela espiradeesafigura, la na·vajaesatraídahaciael imán. Porconsiguiente,un objelono magnelizadoprevia-mentequecomienehierro esatraídohaciacualquierade los polosdel imán. Encambio,los objelosde latón,aluminioo maderaprácticamenteno respondena unimán; los dipolosmagnéticosatómicosde estosmateriales,en casodeestarpre-sentes,tienenmenostendenciaa alinearsecon un campoexterno.

Nuestroanálisisde la interacciónentrelos imanesy los objetosde hierroape-nasha rascadola superficiedeun variadotemaqueconocemoscomolaspropie-dadesmagnéricasde los materiales.Estudiaremoscon másdetenimientoeslaspropiedadesenla sección28.8.

La figura 27.11d representalas lineasde campomagnéticodebidasa unaespiracircularportadoradecorriente.¿Cuálesla direccióndel mome.ntomagnéticodeeslaespira?¿Cuálde los ladosde la espiraequivaleal polo nonede un imán, ycuál ladoequivaleal polo sur?

•

r

1046 CA píTULO 27 I Campomagnéticoy fuerzasmagnéticas

*27.8 I El motor decorrientecontinua

• Las escobillas.stánalineada.<cOn lo, segmenlo,del conmlUador• La comenteentrapor el lado azuldo! rolor y salepor el ladorojo• De nuevo.el momentodetorsiónmagnélicohacegirarel rotor en senlidocontrarioa lasmanecillasdel ,.,loj

(e)

• El rolor ha girado9(1"

• Cadaescobillaestáenconlactocon ambo<segm.nlosd.l conmmador• La comentesedesvíalOllllmentc del rotor• No hay momemodetorsiónmagnélicosobreel rotor

o,

A nadieesprecisorecordarlela importanciade los motoreseléctricosen la socic+dadcontemporánea.En un motor un momentode torsión magnéticoactúasobreun conductorportadordecorriente,y seconvierteenergíaeléctricaenenergiame-cánica.Comoejemplo,examinemosun tipo sencillode motorde corrienteconti-nua(cc), e! cual semuestraen la figura 27.37.

La partemóvil del motoresel rotor, un tramodealambreal quesehadado ｦｯｲｾ

madeespiradeextremosabiertosy quetiene libertadparagiraren tornoa un eje.Los e;o¡tremosde los alambresdel rotorestánacopladosa segmentosconductorescircularesque fonnanun conmutador.En la figura 27.37a,cadauno de los dossegmentosdel conmutadorhacecontactQcon uno de los bornes,o escobillas,deun circuito externoque incluye unafuente de fem. Esto hacequeentreunaco-rrienteen el rotor por un lado, el cual semuestraenrojo, y salgade! rotor por elotro, quesemuestraen azul. Porconsiguiente,el rotor esunaespirade corrientecon un momentomagnético¡L. El rotor selocalizaentrelos polosopuestosdeunimánpennanente,de modog,ueexisteun campomagnéticoBqueejerceun mo-mentode torsión T = ¡L x B sobreel rotor. Con la orientacióndel rotor que semuestraen la figura 27.37.1,el momentode torsiónhacegirar el rotor en sentidocontrarioa las manecillasdel reloj, en la direcciónquealinea¡L conR.

En la figura 27.37bel rotor hagirado90° respectoa suorientaciónen la figura27.37.1.Si la corrientea travésdel rotor fueraconstante,el rotor estaríaahoraen suorientaciónde equilibrio; simplementeoscilaríaen torno a estaorientación.Peroaquíesdondeentraenjuegoel conmutador;ahoracadaescobillaestáen contactoconambossegmentosde! conmutador.No haydiferenciadepotencialentrelos con-mUladares,por lo queenesteinstanteno fluye corrienteatravésdel rotor, y el mo-mentomagnéticoescero.El rotor continúagirandoen sentidocontrarioa lasmanecillasdel reloj debidoa su inercia,y unavezmásfluye corrientea travésdelrotorcomoenla figura 27.37c.Peroahoralacorrienteentrapore! ladodecolorazuldel rotor y saleporel lado decolor rojo, unasituaciónexactamenteopuestaa la dela figura 27.37.1.En tantoquee! sentidode la corrienteseha invertidoconrespectoal rotor, e! rotor mismoha girado 180° y el momentomagnético¡L tiene la mismadirecciónqueel campomagnético.Por tanto,el momentode torsión magnético::¡.tienela mismadirecciónen la figura27.37cqueen la figura 27.37.1.Graciasal con-mutador,la corrienteseinvierte luegodecadagiro de 180°,por 10 queel momentodetorsiónsiempretienela direcciónquehacegirarel rotorensentidocontrarioalasmanecillasdel reloj. Cuandoe! motorha llegadohastasu rapidez,el momentodetorsiónmagnéticopromedioestácompensadoexactamenteporun momentode tor-

<7Íwｅｾ de rotación, "'Rotor

".-'}'-'-'

• Las escobillasestánalineada,ron los segmentosdel conmutador• La romenlccotr1l pordIadorojodel rotor y salepor clladoamI• El momentodetorsión ｭ｡ｧｮｾｴｩｯｯ bacegirarel rotor en <emidocootrllrÍQ a \a.< manecillasdel reloj

(.)

27.37 Diagramaesquemáticodeun molorsimpledece. El rotor esunaespiradealambrequegira librementeen torno a uneje; los extremosdel rotor estánacopladosa los dosconductorescurvosque fonnanelconmutador.Los segmentosdel conmuta-dor estánaisladosunosdeotros.

•

27.8 I El motordecomentecontinua

siónopuestodebidoa la resistenciadel aire, la fricción de loscojinetesdel rotory lafricción entreel conmutadory lasescobillas.

El motorsimplequesemuestraen la figura 27.37tieneunasolaespiradealam-breen surotor. En losmotoresprácticosel rotor tienemuchasespiras;estoaumen-ta el momentomagnéticoy el momentode torsión paraqueel motorpuedahacergirarcargasmásgrandes.Tambiénseaumentael momentodetorsiónempleandouncampomagnéticomásintenso;éstaesla razónpor la queenmuchosdiseñosdemo-tor seutilizan electroimanesen vezde imanespermanentes.Otro inconvenientedeldiseñosimplede la figura 27.37esquela magnituddel momentodetorsiónaumen-tay disminuyeconformeel rotorgira. Esto,seremediaincluyendoenel rotor variasbobinasdealambreindependiemes,orientadasendistintosángulos(Fig. 27.38).

Puestoqueun molorconvieneenergíaelectricaen energíamecánicao trabajo,re-quiereunaalimentacióndeenergíaeléctrica.Si la diferenciade potencialentresusborneses V.. Y la corrientees1, por lo tantola potenciade alimentaciónesP = VJ.Inclusosi la resistenciadelasbobinasdel motores insignificante,debehaberunadi-ferenciadepotencialentrelos bornespara quePseadiferentedecero.Estadiferen·ciadepotencialesprincipalmenteresultadode las fuenasmagnéticasqueseejercensobrelas corrientesde los conductoresdel rotor conformeéstosgiran a travésdelcampomagnético.La fuerzaelectromotrizasociadaErecibeel nombredefem indu-cida; tambiénse le llama fuerzacolltmelectromotrizporquesu sentidoesopuestoalde la corriente.En el capítulo29 estudiaremoslasfem inducidasresultantcsdel mo-vimientodeconductoresencamposmagnéticos.

En un motorenserieel rotorestáconectadoenserieconel electroimánquepro-duceel campomagnético;en un mOlaren derivacióll, la conexiónesenparalelo.En un mOlaren serieconresistenciainternar, V.. esmayorqueE, y la diferenciaesla caída depotencialIr entrelos extremosde la resistenciainterna.Esdecir,

V.. = E + Ir (27.29)

Ya quela fuerzamagnéticaesproporcionala la velocidad,Eno esconstante,sinoproporcionala la rapidezde rotacióndel rotor.

1047

27.38 Estemotorde unaunidadde discodecomputadoratiene 12 bobinasconduc-torasdecorriente,lascualesinteractúancon imanespermanentesde la tornamesa(no semuestra)paraqueéstagire. (Estediseñoesel inversodel diseñode la figura27.37,dondelos imanespennanentessonfijos y la bobinagira).Ya quehay variasbobinas,el momentodetorsioomagnéticoescasiconstantey la tornamesagiraconrapidezcasiconstante.

Ejemplo27.12 Motor dece en serie

EJECUTAR: a) De acuerdocon la ecuación(27.29),Vah = f, + Ir,tenemoslo siguiente:

b) La potenciaentregadaal molardesdela fuentees

P_= V,.J= (120V)(4.0A) =480\\1

e) La potenciaquesedisipaen la resistenciar es

p..- =Pr = (4.0 AP(2.0O) = 32 w

d) La potenciade salidamecánicaes la potenciade abmmración･ｨｾ｣ｴｲｩ｣｡ menosla rapidezdedisipacióndeeuagíaCD la resisleDciadel motor(suponiendoqueno hayOIIaSperdidasdepxmcia);

P>.limo,"ocÓllfl = PuJido - p.... = -'SOW - 32 W =.usw

e) La eficienciaeesla proporciónde la palenciadesalidamecáni-ca respectoa la potenciadealimcntaetOoeléctrica;

p_ +;SWe= =--=0.93=93%

p--. 48QW

Un motordecc consu rotor y susbobinasde campoconectadosenserietieneunaresistenciainternade2.00O. Cuandotrabajaconcar-gacompletaconectadoa una líneade 120V, toma unacomentede4.00A a)¿Cuálesla fem en el rotor?b) ¿Cuálesla potenciaentre-gadaal molar?e)¿Enqueproporciónsedisipaenergíaenla resisten·ciadelfO(or? d) ¿Cuálesla potenciamecánicadesarrollada?e)¿Cuáleslaeficienciadel motor?f) ¿Quesucedesi la máquinaqueel motorimpulsaseatascay el fO(OT dejadegirarrepentinamente?

llil!!I3I'il:IIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Conocemosla resistenciainternar

= 2.00n, el voltaje V.. = 120V entrelos bornesdel molor y lacorrienteI = 4.00A a travésdel motor. Usamosla ecuación(27.29)paradeterminar[emfdeestascantidades.La potenciacn-tregadaal motorcsV";, la proporcióndedisipaciónes¡2r, y la po-tenciade salidadel motores la diferenciaentrela potenciadealimentacióny la potenciadisipada.La eficienciae es la propor·ción de la potenciade salidamecánicarespectoa la potenciadealimentacióneléctrica.

120V = f, + (4.0 A)(2.0 n) y por tanto E = 112 V

1048 e APfT UL o 27 I Campomagnéticoy fuerzasmagnéticas

.1

f) Con el rotor instalado,la fuerzacontraelectromotriz[(que esproporcionala la rapidezdel rotor) sehacecero.De acuerdocon laecuación(27.29) la corrienteesentonces

Val> 120VＱｾＭｾＭＭ］ＶＰａ

r 2.0ny la energíadisipadaen la resistenciar seconvieneen

EVALUAR: Si estasobrecargaenonncno quemaun fusibleo dispa-ra un cortacircuitos,la bobina se fundirá rápidamente.Cuandoseactivael motor, hayunaoleadamomentáneadecorrientehastaqueel motor adquierevelocidad.Estaoleadaprovocacaídasde volta-je (V = IR) mayoresque lo usual en las lineasde energíaeléctri-ca quesuministranla corriente.A efectosanálogossedebela ate-nuaciónmomentáneade las lucesde unacasacuandoarrancaunmotorde acondicionadordeaireo lavavajillas.

En el circuito de la figura 27.37seagre'gaun interruptoren seriecon la fuentedefem paraquesepuedaactivare interrumpirla corriente.Cuandosecierrael inte-rruptor y sepermitequefluya corriente,¿comenzaráa girar el motorno importacuál seasu orientaciónoriginal?¿Porqué?Si no gira, ¿cómocambiaríaustedeldisenodel motorpararemediarestasituación?

*27.9 I EfectoHall

• b /y

Ｍｾ EolB,

q " 0- 1,

(b)

27.39 Fuerzasqueactúansobrelos por-tadoresdecargadeun conductorenuncampomagnetico.(a) Los ponadoresdecorrientenegativos(electrones)sonempu-jadoshaciala panesuperiorde la cinta,yeslO creala distribucióndecargaquesemuestra.El puntoa estáaun potencialmásgnmdequeel punlOb. (b) Conporta-doresdecorrientepositi\·os,la polaridadde la diferenciadr poleIlCÍaI esopuestaala de la pane(a).

La realidadde las fuerzasqueactúansobre13s c3rgasen movimientode un con-ductoren un campomagnéticosedemuestrade modo sorprendentemedianteelefectoHall, análogoa la desviacióntransversaldeun hazdeelectronesenuncam-po magnéticoenel vacío.(Esteefectofue descubiertopor el físico estadouniden-se Edwin Hall en 1879cuandotodavíaera un estudiantede posgrado).Paradescribiresteefecto,considéreseun conductoren forma de cinta plana,comosemuestraen la fib'Ura 27.39.La corrientefluye en la direccióndel eje de las +x yhay un campomagnéticouniformeBperpendicularal planode la cinta,en la di-recciónde las +y. La magnitudde la velocidaddederivadelascargasenmovimien-to (magnitudde la carga: Iql) es Vd. La figura 27.39amuestrael casode cargasnegativas,porejemploelectrones,enun metal,y la figura27.39bmuestracargaspo-sitivas.En amboscasosla fuerzamagnéticaeshaciaarriba,del mismomodoquelafuerzamagnéticasobreun conductores la mismaya seaque lascargasseanposi-tivaso·negativas.En amboscasosunacargaenmovimientoesimpulsadahaciaelbordesuperiorde la cintapor la fuerzamagnéticaFz = IqlvJ1.

Si los portadoresdecargasonelectrones,comoen la figura 27.39a,seacumu-la un excesodecarganegativaenel bordesuperiorde la cinta,dejandoun excesode cargapositiva en el bordeinferior. Estaacumulacióncontinúahastaque elcampoelectrostáticotranversalE, llega a sersuficientementegrandeparagene-rar unafuerza(magnitud:IqlEe) igual y opuestaa la fuerzamagnética(magnitud:ｉｱｬｶｾＩＮ Cuandoestoocurre,ya no hayunafuerzatransversalnetaquedesvíelascargasen movimiento.Estecampoeléctricogenerauna diferenciade potencialtransversalentrebordesopuestosde la cinta, llamadavoltaje de Hall o fem deHall. La polaridaddependedel signopositivo o negativode las cargasen movi-miento.Los experimentosmuestranque,enel casode metales,el bordesuperiorde la cinta de la figura 27.39aadquierecarganegativa,lo quedemuestraque enun metal los portadoresde cargasonen efectoelectronesnegativos.

De cualquiermodo,si los portadoresdecargasonpositivos,comoen la figura27.39b,entoncesseacumulacargapositivaenel bordesuperior,y la diferenciadepotencialesopuestaa la situaciónconcargasnegativas.Pocodespuésde habersedescubiertoel efectoHall en 1879,seobservóqueciertosmateriales,en particu-lar algunossemiconductores,muestranunafem de Hall opuestaa la de los meta-

(27.30)

27.9 I EfectoHall

les, comosi susportadoresde cargatuviesencargaposiliva.Ahora sabemosqueesosmaterialesconducenmedianteun procesoqueseconocecomoconduccióndehuecos.Dentrodelosmaterialesdeestetipo hay lugares,llamadoshuecos,quenormalmenteestarianocupadospor un electrónperoquede hechoestánvacíos.Una carganegativafaltanteequivalea unacargapositiva.Cuandoun electronsetrasladaen un sentidoparallenar un hueco,dejaotro huecotrasde él. El huecoemigraenel sentidoopuestoal del electrón.

En términosdel eje decoordenadasde la figura 27.39a,el campoelectrostáti-coEecorrespondienteal casoconq positivatienela dirección-z; sucomponentezdel campoeléctricoE: esnegativa.El campomagnéticotienela dirección+y, yseescribecomoBr La fuerzamagnética(en la dirección+z) esqv.IJr La densi-dad de corrienteJx tiene la dirección +X. En el estadoestacionario,cuanQolasfuerzasqE: YqVJ1)'sonde igual magnitudy dedireccionesopuestas,

qE: + qvdB)' = O o E: = -v,/1y

Estoconfirmaque,cuandoq espositiva,E: esnegativa.La densidaddecorrienteJxes

Jx = nqvd

EliminandoVd entreestasdosecuacionesseobtienelo siguiente:-Jx8,

nq = -- (efectoHall)E,

Désecuentaqueesteresultado(asi comola deducciónen su totalidad)es validaconrespectoaunaq tantopositivacomonegativa.Cuandoqesnegativa,E: espo-sitiva, y viceversa.

PodemosmedirJx, B, y E:; por tanto,podemoscalcularel productoIIq. Tantoen los metalescomoen los semiconductores,q tiene la magnitudde la cargadelelectrón;por tamo,el efectoHall permitemedirdirectamente11, la concentracióndecargasponadorasde corrienteenel material.El sigilO de lascargasestádeter-minadopor la fem de Hall, comoya sedescribió.

El efectoHall tambiénpermitemedir directamentela rapidezde derivaUd delos electronesen los metales.Comovimosenel capítulo25, estarapidezesmuypequeña,en muchoscasosdel ordende I mmls o menos.Si trasladamosel con-ductorcompletoen sentidoopuestoa la corrientecon unarapidezigual a la rapi-dezde deriva,entonceslos electronesestánen reposocon respectoal campomagnético,y la fem de Hall desaparece.En estostérminos,la rapidezdel conduc-tor quehacedesaparecerel efectoHall esigual a la rapidezdederiva.

1049

Ejemplo27.13 Utilización del efectoHall

Secolocaunaplacadecobredc 2.0nundeespesory 1.50cm dean-choen un campomagnéticouniformecuyamagnitudesde0.40T,comosemuestraen la figura 27.39a.Cuandofluye unacorrientede75A en la dirección+x, unamedici6ncuidadosadel potencialen lapaneinferior de la placaindicaquecs0.81 p.V másgrandequeenla panesuperior.Conbaseenestamedición,halle la concentracióndeelectronesmóvilesenel cobre.

lIil!!m':'llIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: La concentracióndeelectroncsm6-viles nsedeterminaapanirde la ecuación(27.30).

EJECUTAR: Primerosehalla la densidaddecorricnteJx yel campoeléctricoE,:

/ 75 A o' 'J =-= =2.5X I Alm"ｾ A (2.0 X 1O-1m)(I.50X 10 1m)

V 0.81 X 10-6VE. = - = = 5.4 X ｉｏＭｾ Vlm" d UX lO-1 m

Despues.,conbaseen la ecuación(2730),

ＭｊｾｂＬ - (2.5 x lo' Alm1 ){0.40T)ＢｾＭＭｾ

qE: (-1.60 x 1O-I·C)(5.4x 10 lYlm)

= 11.6X lIT" m-1

1050 CAPfTULQ 27 I Campomagnéticoy fuerzasmagnéticas

EVALUAR: El valor real dendel cobreesde8.5 x Jlfl m-J, lo quedemuestraqueel modelosimpledelefectoHall deestasección,quepasapor alto los efectoscuánticosy las interaccioneselectrónicascon los iones,debeutilizarsecon precaución.Esteejemplomuestraademásqueen los buenosconductoresla (emdeHall esmuypeque-

ña, incluso con grandesdensidadesde corriente.Los dispositivosdel efectoHall paramedicionesdecampomagnéticoy otrosusosempleanmaterialessemiconductores,en los cualeslas densidadesdecorrientemoderadascreanefectosHall muchomayores.

Sele entregaun trozode metalcon un concentracióndeelectronesmóvilescono-cida.Expliquecómopodríamedirla intensidaddeun campomagnelicoutilizandosóloestetrozodemetal,una fuentede fem, un voltímetroy un amperimetro.

Resumen

RESUMEN

1051

Las interaccionesmagnéticassonfundamentalmenteinteraccio-nesentrepartículasconcargaen movimiento.Estasinteraccionessedescribenmedianteel campomagnéticovectorial,quesedenotacon8. Unapartículaconcarga!Jquesedesplaza con una_\'eloci-dadti enun campomagnelicoB experimentaunafuerzaF queesperpendiculartantoa ¡; comoa B. La unidadSI de campomag-nélicoeseltesla(1 T = 1 N/A .m). (Véaseel ejemplo28.1).

(27.2)

F t:4q+

jj

"> • •F = quBsenrf>

vJ.=vscnrf>

Los camposmagnéticosserepresentangráficamentepor mediode líneasde campomagnético.En cadapuntounalíneade campomagnéticoestangentea la direcciónde jj en esepunto.Don-de las líneasdecampoestánpróximasunasde otras,la magnituddel campoesgrande,y vice-versa.

El flujo ｭ｡ｧｮ￩ｴｩ｣ｯｾＢ a travésdeun amtsedefinede modoanálogoal flujo elecllico. La unidadSI deflujo eléctricoesel weber(1 Wb = I T .m2).

El flujo magnéticonetoa travésdecualquiersu-perficiecerradaescero(ley dc Gaussdel magne-tismo). En consecuencia,las líneasdecampomagnéticosiempresecierransobresí mismas.(Véaseel ejemplo27.2).

ｾＬＬ］ fSJ.dA= fBcos</>dA

= fB.dA (27.6)

fB. dA = O (superficiecerrada)(27.8)

La fuerzamagnéticasiempreesperpendiculara ti; unaparticulaenmovimientobajo la solaacciónde un campomagnéticosetrasladacon rapidezconstante.En un campounifonoe,unapar-tículacuyavelocidadinicial espcrpendicularal camposemueveen un círculode radio Rquedependcde la intensidaddel campomagnéticoB y de la masa111, rapidcz(! y cargaq de la partícula.(Véanselos ejemplos27.3y 27.4).

(27.11)

Los camposeléctricosy magnélicostransversalesseutilizan comoun selectordevelocídad.Lasfuerzaseléctricay magnéticasecancelanexaClamenlecuando(1 = E/B. (Veanselos ejemplos27.5y 27.6).

Un segmentorectode un conductorque transportaunacorrienteI en un campomagnélico8 experimentauna fuerzaF queesperpendiculartantoa jj comoal vCClor l. queapuntaen la direc-ción de la comentey cuyamagnilUdesígual a la longiruddelsegmento.Unarelaciónsimilar proporcionala fuerzadF sobreun segmenloinfinílesimaldi ponadorde comenle.(Véansclosejemplos27.7Y27.8).

¡ = J1)( B (27.19)

dF = 1di )( iJ (27.20)

1052 e A P í TUL o 27 I Campomagnéticoy fuerzasmagnéticas

Unaespirade corrientedeáreaA y con unacorrienteJ enun campomagnéticouniforme jj no experimentauna fuenamagnéticaneta,perosí un momentode torsiónmagnéticode magnitud7. El momentode torsiónvectorial ;;¡. sepuedeexpresarentérminosdel momentomagnéticoji. = fA de laespira,al igual que la energíapotencialU de un momentomagnéticoen un campomagnéticoB. El momentomagnéti-co de unaespiradependeúnicamentede la corrientey delárea;esindependientede la forma de la espira.(Véanselosejemplosde127.9a127.11).

T = IBA senrP (27.23)

;;; = "[.t x jj (27.26)

u= -"[.tojj = -pBcosrP(27.27)

En un motordece un campomagnéticoejerceun mo-mentodetorsiónsobreunacorrienteen el rotor. El movi-mientodel rotor a travésdel campomagnéticogeneraunafem inducidallamadafuerzacontrae1ectromotriz.En elcasode un motoren serie,en el quela bobinadel rotor es-tá enparalelocon las bobinasqueproducenel campomagnético,el voltaje debornesesla sumade la fuerzacontraelectromotrizy la caidaIr entrelos extremosde laresistenciainterna.(Véaseel ejemplo27.12). •

• Lasescobillasestánalineadascon los segmentosdel conmutador• La corrienteenlTapor el lado rojodel rotor y saleporel ladoazul• El momentode torsiónmagnéticohacegirarel rotoren sentidocontrarioa lasmanecillasdel reloj

El efectoHall esunadiferenciadepotencialperpendiculara ladirecciónde la corriente,quesecreacuandosecolocael ｣ｯｮｾductorenun campomagnético.El potencialde Hall estádeter-minadopor el requisitode queel campoeléctricoasociadodebecompensarexactamentela fuerzamagnéticasobreunacargaenmovimiento.Las medicionesdel efeeloHall permitendetenni-narel signode los portadoresde cargay su concentraciónn.(Véaseel ejemplo27.13).

Términosclave

(27.30),h ｾｙ

ＭＮＮＡＮｊＮＮｲＺｾＢ＾ｾＧＭＧＭｾＺｾｾｾＧＭｾｉ＼ｾｾＬ｟ｾｂｂＱ Jx

......... - x./ By a .........

campomagnético,1022densidadde flujo magnético,

1028dipolo magnético,1041espectrómetrode masas,1034

Notas

flujo magnético,1027frecuenciade ciclotrón, 1030gauss,1023imán permanente,1020isótopo,1035

líneade campomagnético,1025

momentodipolar magnético,1041

momentomagnético,1041

monopolomagnético,1020solenoide,1042tesla,1023weber,1027

Preguntasparaanálisis 1053

, Respuestaa la preguntainicialdel capítulo

Las partículascon cargase desvíansi se muevenperpcndicular-menteal campomagneticojj de la Tierra, peropuedentrasladarscfácilmentea lo largode la direcciónde jj o ensentidocontrario.Es-tasdirecciones"fáciles" dirigen lasparticulasde modonaturalha-cia los polosmagnéticosnortc y surde la Tierra.

Respuestasa las preguntasdeEvalúesucomprensión

Sección27.1 Sí. Cuandosecortaun imán,.cadapartetieneun po-lo norte y un polo sur (véasela Fig. 27.4). Por tanto, la parterojapequeñasecomportade modo muy parecidoa la agujade bníjulacompletaoriginal.

Sección27.2 Si jj tiene la dirección +x, por la regla dc la manodcrecha¡ tiene la direcciónypositiva.El ángulocntrevy jj es <p= 600

; portanto,la magnitudde la fuerzaesF = quBsen <p = (1.6X 10-19 C) X (3.0 X IOl mls)(2.0T)(sen60°) = 8.3 X 10-14 N. Si

jj tiene la direccióny positiva, por la regla de la manoderecha¡ = qv x 8 ticne la direcciónx positiva. Los vectoresVy jj son

mutuamentepcrpendiculares;asíque, <p = 90° Y la magnituddc lafuerza es F = qvB sen90° = (1.6 X 10-19 C)(3.0 X IOl mls)(2,QT)(I) = 9.6 x 10-14 N,

Sección27.3 La magnitudde jj aumentariaal trasladarsehaciaarri-balogr,mdoun máximoal pasara travésdel planodela espira.Al pro-seguirmásarribadel planode la espira,la magnituddel campodisminuiría.Estosesabeenvirtud dela separaciónentrelas líneasdecampo:cuantomáspróximasestánlas lineasdecampounasdeotras,tantomásintensoesel campo.La direccióndel camposenadirecta-mentehaciaarribaen todoslos puntosa lo largodel trayecto,puesés-te esa lo largodeunalíneadecampo,y la direcciónde jj encualquierpuntoestangentea la líneade campoquepasaporesepunto.

Sección27.4 El radio de la órbita, segúnla ecuación(27.11),esdirectamentcproporcionala la rapidez;por tanto, al duplicar la ra·pidezde la partículael radio tambiénseduplica. La partículadeberecorrerel dobledc distanciaparacompletarunaórbita, peroviajaconel doblede rapidez,por 10 queel tiemponecesarioparadescri-bir unaórbita no cambia.Esteresultadotambiénsededucede laecuación(27.12), la cual establecequela rapidezangularw es in-dependientede la rapidezlineal tJ. Por tanto,el tiempoporórbita, r= 27T/W,además,no dependede v.Sección27.5 El selectordevelocidadno dependeni de la magni-rud ni del signode la carga.Todo10 querequlereesque lasparticu-

las (iones,en estecaso)tengancarga.Si seduplica la cargaq, scdeducede la ecuación(27,11)queel radioR de la trayectoriasemi-circular es la mitad. Por tanto, los ionesaterrizarána unadistancia､･ｾＨｉｏＮＱＶ｣ｭＩ = 5.08cmdelaranuraS3'Sección27.6 No existeunaorientacióndel alambreque consigasuspenderloen cl aire. La fuerzasobreun alambreportadorde co-rriente es perpendiculara la direccióndel campomagnéticoverti-cal; por tanto,la fuerzamagnéticadebeserhorizontal.Comotal, nosepuedeoponera la fuerzahaciaabajode la gravedad.Sección27,7 Si dobla los dedosde la manoderechaen torno a labobinaen la direcciónde la corriente,supulgardcrechoapuntadi-rectamentehaciaarriba(perpendicularal planode la bobina). Ésta

es la direccióndel momentomagnéticojL. El momentomagnétícoapuntadel polo sural polo norte: asíque,el lado supcriorde la es-pira equivalea un polo none,y el lado inferior, a un polo sur.·Sección27.8 El rotor-nocomenzaria girar al cerrarel interruptor

si el rotor estáorientadoinicialmentecomose muestraen la figura27.37b.En estecaso00 hayCOfT'iente a trll"'es del rotor y, por tanto,tampocoun momentodelDFSilXl mag¡Xrico. Esta situaciónseremediaempleandovarias bobinasdel'Ol«oricmadasadistintosángulosalre-dedordel ejederotación.ConesmOlIÚtgmaciónsiempresetieneunmomentodetorsiónmagnético,.ＢＬ｡ｾ queseala orientación.·Sección27.9 Coloqueel trozodemeul demodoquec&edecaraal campomagnético,comoen la figura r..39a..AOllpk la fuentedefem al trozodemetalparaquefluya unacu1ic1ile co ladímxiónqueindicanlos vectoresidentificadoscomoJ....AcopIed8LLpCtirndJoenserieconla fuentedefem yel ｩｔｏｺｯ､･ｭ･ｴ｡ｬＮｙｃｕｊｏｃＺｬｬＺ､ｾentrelos puntosa y b. La lecruradel ampaímalO iDdic:a la c:orricute1; dividiendoéstaentreel áreadesecciónｴｲＮＱｮｓＢｾ､･ｦ｡ｯｺｯ､･ｮｲﾭtal seobtieneJr El cocicntede la lecturadel ｭｬｴ￭ｭｭｯｾ bcfis.tanciavertical de a a b proporeionael campoelCañcoｾ Dalh laconcentracióndeelectronesmóvilesn y la cargadel dcctróoq=-e..sepuededespejarel campomagnéticoByde la ecuación ｾＮＳＰＩＮ

Preguntasparaanálisis

P27.1 ¿Puedeunapartículacon cargatrasladarsea navesde uncampomagnéticosin cxperimentarningunafuerza?De serasi,¿ro.mo?En casocontrario,¿porqué?P27.2 En cualquierpunto del espacio,el campoeléctricoEtiene

por definición la direccióndela fuerzaeléctricaqueseejercesobreunapartículacon cargapositivaen esepunto.¿Porquéno sedefi-ne de modo análogola direccióndel campomagnéticoBcomo lade la fuerzamagnéticaqueseejercesobreunapartículacon cargapositivaen movimiento?

....P27.3 La sección27.2describeun procedimientoparahallar la di·recciónde la fuerzamagnéticamediantcla manoderecha.Si sesi-guieseel mismoprocedimiento,pero con la manoizquierda,¿seobtendríala direccióncorrectade la fuerza?Expliquesu respuesta.P27.4 La fuerzamagnéticasobreunapartículacon cargaen movi-mientosiempreesperpendicularal campomagnéticoB. ¿Esla trayec-

toriadeunapartículaconcargaenmovimientosiempreperpendiculara las lineasdecampomagnético?Expliquesurazonamiemo.P27.5 Se disparaunapartículacon cargahaciauna región cúbica

del espaciodondehay un campomagnéticouniforme. Afucra dcestaregiónno haycampomagnéticoalguno.¿Esposiblequela par-tícula permanezcadentrode la regióncúbica?¿Porqué?P27.6 Si la fuerzamagnéticano realizatrabajo sobreunapartículacon carga,¿cómopuedeinfluir en el movimientode la partícula?¿Hayotrosejemplosde fuerzasqueno realizantrabajoperotienenun efecto importantesobreel movimientode la partícula?P27.7 Unapartículaconcargasetrasladaa travésdeunaregióndelespaciocon velocidad(magnitudy dirección)constante.Si el cam-po magnéticoexternoesceroen estaregión,¿sepuedeconcluirque

el campoeléctricoexternoenla regióntambiénescero?Expliquesurespuesta.(El adjetivo externose refierea camposdistintosa losproducidospor la particulacon carga).Si el campoeléctricoexter-

no esceroen la región,¿scpuedeconcluirqueel campomagnéticoexternocn la región tambiénescero?

1054 CA PíT ULO 27 I Campomagnéticoy fuerzasmagnéticas

P27.22 La fuerzamagnéticaqueactúasobreunapartículacon"car-ga nuncarealiza trabajo,porqueen todo instantela fuerzaesper-pendiculara la velocidad. El momentode torsión ejercidopor uncampomagnéticorealizatrabajo sobreuna espirade corrientecuandola espiragira. Expliquecómosepuedenconciliarestasafir-macionesaparentementecontradictorias.

27.6 Un electrónsetrasladaa 2.50 x 106 mis a travésdeunaregiónen la que hay un campomagnéticode direcciónno ospecificadaycuyamagnitudes de 7.40 x 10-2 T. a) ¿Cuálesson las magnitudesmáximay minimaposiblesde la aceleracióndel electróndebidaalcampomagnético?b) Si la aceleraciónreal del electrónesde t dela magnitudmáximadcl inciso(a), ¿cuálesel ánguloentrela velo-cidaddcl electróny el campomagnético?27.7 Un electrónexperimentauna fuerzamagnéticacuyamagni-tud es de 4.60 X 10-15 N cuandosedesplazaa un ángulode 60.00

,

,

b

,

,,,,," ,7-'--_"

d

Figura27.4D Ejercicio 27.5.

Ejercicios

,P27.8 ¿Cómose podríausarcomobrujula unaespimde alambrequetransportauna corriente?¿Seriacapazuna brújula comoéstade distinguirentreel nortey el sur?¿Porqué?P27.9 ¿Cómosepodríahallar la direccióndeun campomagnéticoefeclUandosólo observacionescualitativasde la fuerzamagnéticasobreun alambrerecIo quetransportaulla corriente?P27.10 Una espirasueltay flexible de alambretransportauna co-rrientel. Secolocala espiradealambresobreunamesahorizolllai enun campomagnéticoBperpendicularal planode la mesa.Estopro-

Sección 27.2 Campo magnéticovoca que la espirade alambrese expandahastaadoptaruna forma27.1 Unapartículacon unacargade-1.24 X 10-8 esedesplazacon

circularmientrasyacesobrela mesa.Muestreen un diagramatodaslasposiblesorientacionesde la corrienteI y del campomagnéticoR una velocidadinstantánea¡j = (4.19 X 10

4m/s)í+ (-1S5 X

quepodríanproduciresteefecto.Expliquesu razonaIhielllo. 104 mls)j.¿Quéfuerzaejer.=esobreestaーｾｲｴｩ｣ｵｬ｡ un campomagné-

P27.11 La ecuación(27.19)dela fuerzasobreun alambreportador tico:a)B = (1.40T)í, b)B = (1.40T)k?decorriente,F= 17 x R, sededujocon baseenel supuestodeque 27.2 Una particulacon una masade 0.195g tiene una cargadeel áreadeseccióntransversaldel alambreesconstanteentodasuex- 2.50 X 10-ll C. Se le proporcionaa la particulaunavelocidadhori-

. . . l' d . . zontal inicial haciael nortey coY' nwgnitudesde 4.00 X 104 mis.tensión.¿Siguesiendoválida estaecuaclOnSI e area e seCClOntransversalvaríaa lo largo dela extensióndel alambre?¿Porqué? ¿Cuálessonla magnitudy direccióndel campomagnéticominimoP27.12 Un estudianteafirma quesi caeun rayo enun astametáli- quemantendrála particulaen movimientoen el campogravitatorioca, la fuerza queel campomagnéticoterrestreejercesobrela co- de la Tierraen la mismadirecciónhorizontalhaciael norte?mentedel astapuedeserlo bastantegrandeparadoblarel asta.Las 27.3 Una particulaque inicialmentese trasladahaciaal surcn uncorrientestípicasdelos rayossondel ordende 104 a 105A. ¿Sejus- campomagnéticoverticalhaciaabajosedesviahaciael este.¿Cuáltifica la opinión del esrudianle?Expliquesu razonamiento. es el signo de la cargade la partícula?Explique su respuestaconP27.13 Una estudianteintentóhaceruna brújula electromagnética ayudadeun diagrama.suspendiendounabobinadealambredeun cordel(conel planode la 27.4 Unaparticulaconunamasade I.SI X 10-3 kg Yunacargadebobinaenposiciónvertical)haciéndolepasarunacorriente.La estu- / 1.22 X 1(r'l C tiene,en un instantedado,una velocidadv= (3.00dianteesperabaque la bobinasealineaseperpendiculannentea las X 104 mis) j. ¿Cuálessonla magnitudy la direcciónde la acelera-componenteshorizontalesdel campomagnéticoterrestre;en cam- ción de la particulaproducidapor un campomagnéticouniformebio, la bobinaadquirió lo quepareciaserun movimientoarmónico R= (!.63 T)í + (0.980T)j?simpleangular,oscilandohaciaatrásy haciaadelanteen tomo a la 27.5 Cadauno de los puntoscon letrasde los vérticesdel cubodedirección_esperada.¿Quéestabaocurriendo?¿Emel movimiento la figura 27.40representaunacargapositivaq quesedesplazaconverdaderamenteannónicosimple? una velocidadde magnitudu cn la direcciónque se indica. La re-P27.14 Seaceleraun protónenun ciclotrón. Si seduplica la ener- gi6n de la figura sehalla enun campomagnéticoR. paraleloal ejegia del protón,¿porquéfactor cambiael radiode la trayectoriacir- de lasx y dirigido hacia la derecha.Copie la figura, encuentrelacular?¿Quéocurrecon el periodoorbital, estoes,el tiempo que magnitudy dirección de la fuerza sobrecadacargay muestretomaunarevoluciónde la partícula,cuandoseduplica la energia? la fuerzaen su diagrama.P27.1S Un altavozordinario comoel que se muestraen la figura27.26no se dcbccolocarcercade un monitor de computadoraopantallade televisor.¿Porqué?P27.16 Conun imánpennanentesepuedealzarunacadenadecla-vos, tachuelaso clips, no obstantequeéstosno son imanespor sisolos.¿Cómoseexplicaesto?P27.17 Si seproduceunafem enun motordecc,¿seriaposibleutili-zardeal¡,'Únmodoel motorcomogeneradoro fuente,extrayendoener-gia deél envezdealimentarleenergía?¿Cómosepodriahaceresto?P27.18 Cuandose invierte la polaridaddel voltaje aplicadoa unmotor de cc, la direccióndel movimentono se invierte. ¿Porqué'!¿Cómosepodria invertir la direccióndel movimiento?P27.19 En un experimentodel efecto Hall, ¿esposibleque no seobserveunadiferenciade potencialtransversal?¿Enqué circuns-lanCias podríaocurrir esto?P27.2D Los voltajesdeefectoHall sonsupcrioresen los conducto-resrelarn"aIlleDtemalos(comoel gennanio)queen los buenoscon-ductores(comoel cobre)en condicionescomparablesdecorrientes,camposy dimensiones.¿Porqué?P27.21 ¿Sepodria construirun aceleradoren el que todaslas fuer-zassobrelaspanículas.,tantolasquesirvenparadirigirlas comolasqueaumentansu rapidez,seanmagnéticas?¿Porqué?

Ejercicios 1055

Figura 27.43 Ejercicio27.20.

Figura 27.42 Ejercicios27.15y27.16.

Jí\.___IO.Ocm-----+/

•••

con respectoa un campomagnéticocon unamagnitudde 3.50 x diculara la órbita. a) ¿Cualesla magnitudde la cantidaddemovi-10-3 T. Proporeionela rapidezdel electrón. mientolineal pdela panícula?b) ¿Cuálesla magnitudde la canti-27.8 Unaparticuiaconunacargade-5.60oC sedesplazaenun cam- daddemovimientoangularLde la panícula?po magneticouniformeii = -( 1.25T)k. Cuandosemide, la fuerza 27.15 Un electrónque se hallamagnéticasobrela panícularesultaser¡ = - (3.40 X 10-1N); + en el puntoA de la figura 27.42(7.40 X 10-1 N)i. a) Calculetodaslascomponentesdc la velocidad tiene una rapidezVa de 1.41 Xde la partículaquepuedacon baseen estainformación.b) ¿Existen 106 mIs. Halle a) la magnitudycomponentesde la velocidadque no hayansido determinadasal dirección del campomagnéticomedir la fuerza'!Expliquesurespuesta.c) Calculeel productocsca- queobliga al electróna seguir lalar V·F. ¿Cuálesel ánguloentreti y F? trayectoriasemicirculardeA a B;27.9 Unapaniculaconunacargade 7.80p.Csedesplazacon velo- b) el tiemponecesarioparaqueelcidad ¡¡ = -(3.80x HP mls)j. Cuando.semide, la fuerzamag- electrónsetrasladedeA a B.néticasobre la partícularesultaser F = + (7.60 x IO-J N); 27.16 Repirael ejercicio27.15aplicadoal casoenel quela particu-

- (5.20 x 10-) N) k. a) Calculetodaslas componentesdel cam- la esun protónen \·ezde un electrón.27.17 Reactorde fusión. Si dos núcleosde deuterio(carga:+e;

po magnéticoquepuedacon baseen esrainformación.b) ¿Existenmasa:3.34 X Ion kg) seaproximanlo suficiente,la atraccióndebi-

componentesdel campomagnéticoquenohayansidodeterminadas daa la fuerzanuclearfuenelos fusionarápara formar un isótopodeal medirla fuerza?Expliquesurespuesta.c) Calculeel productoes- belio, con desprendimientode cantidadesenormesde energía.El

calarii· F. ¿Cualesel ánguloentreiJ andF? alcancede estafuerzaescaside lO-u m. Ésteesel principio en el

Sección27.3 Líneasdecampomagnéticoy flujo magnético quesebasael reactorde fusión. Los núcleosdedeuteriosemueven27.10 El flujo magnéticoa travésde unacarade cierto cuboes de con demasiadarapidezparasercontenidospor paredesfísicas,por+0.120Wb. a) ¿Cuáldebeserel flujo magnéticototal a travésde las lo quese utiliza un confinamienlomagnético.a) ¿Conquérapidezolrascincocamsdel cubo?b) ¿Porquéno esnecesarioconocerlasdi- tendríanquetrasladarsedosnúcleosparaque en choquefrontal semensionesdel cubopara responderel inciso (a)?c) Supongaqueel acercasenlo suficienteparafusionarse?(Trate [os núcleoscomoflujo magnéticosedebea un imán permanentecomoel de la figura cargaspuntualesy supongaqueserequiereunaseparaciónde 1.0 x27.1Ia.En un dibujo, muestredóndepodriahallarseel cubodel in- 10-15 parala fusión). b) ¿Cualesla intensidaddecampomagnéticociso(a) con respectoal imán. quesenecesiraparaconseguirquenúcleosdedeuteriocon estara-27.11 Un áreacircularconunradiode6.50cm yaceenel planoxy. pidezdescribanun círculode 2.50m dediámetro?i..Cuál esla magnituddel flujo magnéticoa travésdeestecírculode- 27.18 a) Un núcleode 16Q(carga:+8e)quesedesplazahorizontal-bido a un campomagnéticouniformeB = 0.230T: a) en la direc. mentedeoestea esteconunarapidezde 500 kmfs experimentaunación +z, b) a un ángulode53.10 respectoa la dirección+::, c)enla fuerzamagnéticade 0.00320nN en direcciónvenical haciaabajo.dirección+y? Halle la magnitudy direccióndd campomagnéticomásdébil quese27.12 El campomagnéticoBenciertaregiónesde0.128T, Ysudi- requiereparaproducirestafuerza.Expliquecómosepodriagenerarrecciónesla del eje de las+z enla figura 27.4l. a) ¿Cuálesel flujo estamismafuerzaa partir de un campomagnéticomasgrande.magnéticoa travésde la superficieabcd dc la figura?b) ¿Cuálesel b) Un electrónsetrasladaenuncampomagnéticouniformehorizon-flujo magnéticoa travésde la su- tal de 2.10T dirigido haciael oeste.¿Cuálesdebenserla magnitudpcrficie befc?c) ¿Cuálesel flujo y Y direcciónde la velocidadminima del electrónparaque la fuerza

bmagnéticoa travésde la superfi- 40.0e magnéticasobreél seade 4.60pN, verticalmentehaciaarriba?Ex-cieaefrI! d) ¿Cuálesel flujo neto pliquecómopodriatenerla velocidadun valormayorqueestemini-a travésde las cinco superficies a e 30.0cm mo sin quela fuerzadejedetenerestamismamagnitudy dirección.queencierranel volumensom- 27.19 Sedejacaerunaesferade 150g con4.00X 105 electronesenbreado? d 50.0cm Z excesoporun pozovenicalde 125m. En el fondodel pozo.la esfera27.13 Una estudiantedefisiea: entrade improvisoen un campo magnéticohorizontaluniformeconafirma que ha acomodadoima- unamagnitudde0.250T Yunadirecciónde estea oeste.Si la Tesis-nesde modo tal que el campo Figura 27.41 Ejercicios tcneiadel aireesfaIl pequeñaqueresultaim.ignificante,balle1amag-magnéticodentrodel volumen 27.12Y27.13. nirud y direcciónde: la fuerzaqueestecampomagnéticoejercesobre

sombreadode la figura 27.41 es iJ =(13 _ 1'),2)], donde ｾ = laesfmenel ｭｯｾ･ｮｴｯ enqueentraｾ･ｾ campo. .

0300T -200TIm')H 1I Ifl' d B- < d [ .,..27.20 Enunexpenmentocoorayoscosnucos,unhazventcaldepar-. yy. .a a ee uJoneto e atravcs e as . I "_ '--"]e 12 '-"-1. ....., . . I [ b d d I ro t1cuasconunacargauc magro"... y unamasa veces.... I.I'C pro-

ClOCO SUperrieleSqueencIerrane vo umcnsom rea o e a'lgura . . .27.41.b) ｅｾ plausiblela afirmaciónde la esrudiante?¿Porqué? hton.entraｉＢＧｾＧ =>pod-0250T

co t9S0cm,Iomonta unl orme e y .

Sección27.4Movimiento de particulascon cargaen un sedoblaformandounsemicírculo •• l'· ..ｾcampomagnético de 95.0cm dediámetro,comose • '\..J . jj

27.14 Una paniculacon unacargade 6.40 x 10-19 C recorreuna muestraen la figura 27.43.a) En-órbitacircularde4.68mm deradiodebidoa la fuerzaquesobreella cuentrela rapidezde laspanícu-ejerceun campomagnéticocon unamagnitudde 1.65T Y perpen- lasy el signode su carga.b) ¿Es

•

•

(

eA P fT U L o 27 I Campomagnéticoy fuerzasmagnéticas

,r,ｾ

I

1056

razonablepasarporallo la fuerzade gravedadsobrelas partículas?e) ¿Cómo esla rapidezde laspanículasenel momentodeentrarenelcampoencomparaciónconsurapidaal salirdel campo?27.21 El dcuterón(el núcleode un isótopodehidrógeno)tieneunamasade 3.34 X 10-27 kg y una cargade +e. Un deuterónrecorreuna ｴｲ｡ｹｾ｣ｴｯｲｩ｡ circularde6.96mm deradioenun campomagnéti-co cuya magnitudes de 2.50T. a) Halle la rapidezdel deUleróo.b) Halle el tiempoquerequierepara completarmediarevolución.e)¿A lnwesdequédiferenciadepoleoclalhabriaqueacelerarel deu-leTÓn paraqueadquirieseestarapidez?21.22 Supongaquelos electronesdel magnetróndel ejemplo27,3(sección27.4) se trasladana 2.80 X 106mis en el planoperpen-dicularal campomagnético.¿Cuálesel radiodesuórbita?27.23 Un fisiro seproponegenernrondaselectromagoCticasconunafrecucnciade3.0THz(1THz = I cerahenz=10'2Hz) pcw mediodeun magnetrón(véaseel ejemplo27.3 de la sección27.4).a) ¿Quécampomagnéticosenecesitaria?Compareesteeampocon los cam-posmagnéticosconstantesmásgrandesquesehancreadohastaaho-ra enla Tierra,apro",imadosa45 T. b)¿Setendríaalgunaventajasi seutilizan protonesenvezdeelectTOllesenel magnetrón?¿Porqué?27.24 En la situaciónquesemuestraen la figura 27.16la particu-la concargaesun prolón(q = 1.60 X 10-19 C), m = 1.67 x lcmkg) y la direccióndel campomagnéticouniformede magnitud8 esa 10 largodel eje +x. La rapidezdel protónesv, y su velocidadVoen I "" Otieneunacomponentez decero.¿Cuáldebeserel angulaque forma Vo con el planox= paraqueel avancede la héliceseaigual asuradio(véaseel ejercicio27.4de la sección27.4)?27.25 Un protón (q = 1.60 X 10-19 C), m = 1.67 X 10-21kg) setrasladaen un campomagnético uniformeB "" (0.500T)i. En t =Olascomponentesdc la velocidaddel protónson ｶｾ = 1.50 X Ufmis,UJ' = OyUz = 2.00 X lOS mis (véaseel cjemplo27.4de la sec-ción 27.4).Ademásdel campomagnéticohay un campoeléctricouniformeen la dirección+x: E"" (+2.00X let Vlm)i. a) Des-criba la trayectoriadel protón.¿Influyeel campoeléctricoen el ra-dio dela hélice?Explique surespuesta.b) En t = ro, dondeTeselperiododel movimientocirculardcl protÓn,¿cmil esla componentex del desplazamientodel protónrespectoasu posiciónenI "" O?27.26 Un ionde7Lj (un isótopodelitio) conunasolacargatieneunamasade 1.16 X 10-:!lS kg. Es aceleradoa travésdeunadiferenciadepotencialde 220V Yenseguidaentraen un campomagneticoconunamagnitudde0.723T, perpendiclÚarala trayectoriadel ion. ¿CuáJesel radiode la trayectoriadel ion enel campomagnético'!27.27 Un electróndcl hazdeun cinescopiodc tclevisoresaceleradopor unadiferenciade potencialdc 2.00kV, acontinuaciónatraviesaunaregióndondehay un campomagnéticorransversaly describe UD

arcocircularde0.180mderadio.¿Cuilesla magnituddel campo'!

Sección27.sAplicacionesdel movimientode partículasconcarga27.28 a) ¿Cuálesla rapidezde un hazde electronescuandola in-fluenciasimuluineade un campoeléctricode 1.56 X 104Vlm y uncampomagneticode4.62 X 10-1T, conamboscamposnonnalesalhaz y rnttt si. no desvianloseleclrones?b) Muestreen un diagra-malaorientaciónrelativade los vectoresv. E. andB. c) Cuandoseeliminael campoelécrrico,¿cuáles el radiode la órbita del elec-tTÓn?¿Cuálesel periododela órbita'!

27.29 Selectorde nlocidad.Un selectorde velocidadsecompo-ne de un campoeléclricoy uno magnético,comosemuestraen lafigura 27.20.a)¿Cuáldebe.serla intensidaddel campomagneticoparaquesólo los ionescon una rapidezde 2000kmls emerjansindesviación,si el campoeléctricoesde 2.0 X IOl N/C?¿Sesepara-rtln los ionesposilivosde los ionesnegativos'!b) En ciertoselcclordevelocidadel campoeléctricoseproducemedianteunabaleriadevoltajevariableconectadaadosplacasmetálicasparalelasgrandesseparadas3.25cm, y el campomagnélieoprovienede un eleclrOi-miln deiOlensidaddecampovariable.Si el voltajedela bateriapue-de fluctuarentre120V Y 560 V, Yel campomagnético,entre0.054T Y0.180T, ¿cuálesel intervalode vclocidadesde ionesquepue-de produciresteselectorcon los ajustcscorrespondientes?27.30 CamposEy Btrannersales.Unapartículaconuna velo-cidadinicial Vo= (5.85 X loJ mfs)j entraenunaregióndecam-poseleclricoy magnéticounifonnes.En estaregiónel campomagneticoes jj =- (1.35T)k. Calculela magnitudy direccióndel campocléctricoquedebehabercn la regiónparaquela partícu-la pasesin desviarsesi la cargadc la partículaesdea) +0.640nC;b) -0.320nC. No lengaencuentael pesodc la particula.27.31 Cómodeterminarla masade un ísÓtopo.El campoeléc-trico enrrelasplacasdel seleclorde velocidaddeun cspectrómelrOdemasasde Bainbridge(véasela Fig. 27.22)esde 1.12 X IOSVlm,y el campomagnéticoenambasregionesesde0.540T. Un torrentede ionesselenioconunasolacargacadauno describeunatrayecto-ria circularde31.0cm de radioenel campomagnético.Detenninela masadeun ion selenioy el númerodemasadeesteiSÓtopode.se-lenio. (El numerode masaesigual a la masadel isótopoenunida-desde masaatómica,redondeadoa ellleros. Una unidadde masaatómica= 1u = 1.66X 10 17 kg).27.32 En un espectrámetrode masasde Bainbridge(véasela Fig.27.22),la magnituddel campomagnéticodel selectordevelocidadesdeO.650T,y los ionescuyarapidczesde 1.82X IWm!s lo acra-viesansin desviarse.a) ¿Cuáles la magniruddel campoeléclricodel seleclorde velocidad'!b) Si la separaciónde lasplacasesde5.20mm,¿cualesla difercnciadepotencialentrelasplacasP y P'?

Sección27.6 Fuerzamagnéticasobreun conductorquetransportacorriente27.33 Una barrahorizontaldemasam y longitudL sealineaendi-recciónnorte-sur.La barnaconduceunacorrienteI en la direcciónhaciael none.Cuandoseaplicaun campomagneticouniformejj atodo lo largode la barra,la fuerzamagnéticasobrela barrala man-tiene ｳｵｾ｣ｮ､ｩ､｡ en reposoenel aire.a) ｅｮ｣ｵ･ｾｲ｣ la magnitudmíni-maqueB puedetener.b) Halle ra direccióndeB si tienela magnitudhalladaen el inciso(a).27.34 Un alambrevertical rectoconduceunacomenlede 1.20Ahaciaabajoen una regióncomprendidaentrelos polosde un granelectroimánsuperconductor,dondeel campomagnéticotieneunamagnitud8 = 0.588T Yes horizontal.¿Cualessonla magnitudydirecciónde la fuerzamagnéticasobreunasecciónde 1.00cm delalambrequeseencuentraenestecampomagnéticounifonne,si ladirecciondel campomagnéticoes:a) haciael este;b) haciael sur,c) 30.0"al surdel oeste?27.3S Una barrahorizontalde 0.200m de largoestá.montadaenunabalanzay conduceunacorriente.En la ubicaciÓndondeseha-lla la barraun campomagneticohorizontaluniforme tieneuna

Ejercicios 1057

•

(d)lo)

FiguliI 27..47 Ejercicio27.44.

ｾＩ

Figura27.48 Ejercicio27.46.

27.41 Considereel conductory la corrientedelejemplo27.8.Peroahoraseael campomagnéticoparaleloal ejex, a) ¿Cuálesson lamagnirndy direcciónde la fuerzamagnericaIOtal sobrcel conduc-tor'! b) En el ejemplo27.8, la fuerzalotal esla mismaquesi sesus-tirnyerael semicirculopor un segmentorectoa lo largodel ejex.¿Siguesiendovalido estocuandoel campomagnéticotieneestaotradirección?¿Puedeustedexplicarporqué?

Sección27.7 Fuerzay momentode torsiónen unaespiradecorriente27.42 El planode unaespirareclangulardealambrcde5.0 cm x8.0cmesparaleloaun campomagnéticode 0.19T. La espiracon-duceunacorrientede 6.2 A. a)¿Quémomentodetorsiónactúaso-bre la espira?b) ¿Cuálesel momentomagneticode la espira?c) ¿Cuálesel momentode torsiónmáximoquese puedeobtencrcon la mismalongitud total dealambreconduciendola mismaco-rrienteenestecampomagnético?27.43 Una bobinacirculardealambrede 8.6 cm dediámetrotiene15 espirasy conduceunacorrientede 2.7A. La bobinaestáenunaregióndondeel campomagnéticoesde0.56T. a)¿Quéoricntaciónde la bobinaproporcionael momentode torsiónmáximoen la bo-bina, y cual esestemomentode torsión maximo?b) ¿Conquéorientaciónde la bobinaesla magnituddel momcnlodc torsiónel71%del halladoenel inciso(a)?27.44 Una bobinarectangulardealambre.de 22.0cm por 35.0cm y queconduceunacorrientede 1040A, estli orientadacon elplanode suespiraperpendiculara un campomagnctioo uniformede 1.50T, comosemuestraen lafigura 27.47.a) Calculela fuerzaneta YellDOlDnllO de torsiónqueel campomagneticoejercesobrela bobina.b) Sehacegirar la bobi·na un ángulode30.0"en tomo al ejequesemuestra. demodo queel ladoizquierdosalgadel planodela figura y diadodem:boenltten el plano.Calculela fuerzanetay el momentode torsiónqut: elcampomagnéticoejerccahorasobrela bobina.(Sugerencia:Parafacilitar la visualizacióndc esteproblcmatridimcnsional,hagaundibujo minuciosode la bobinavistaa10 largodcl ejede rotación).27.45 Momentomagnéticodeun átomodehidrógeno.Enel mode-lo de Bohr del átomodc hidrógeno(sección39.8),enel estadodeme·norenergiael electróngira alrededordel prolónconunarapidezde2.2 X lfl' misenunaórbitacircularde5.3 X 10-11 mderadio.a)¿Cuálesel periodoorbitaldel electrón?b)Si seconsiderael electrónenórbi-ta comounaespiradecorriente,¿cuálesla corrientef! c) ¿Cuáleselmomentomagneticodel átomodebidoal rnavimientodel elecuón?27.46 Unabobinacircular conunáreaA YN espirasgira librementeen tornoaundiimelroquecoincide conel ejex. En la ｾｩｮ｡ circulaunacorrientel. Hay un campomagnelicouniformeB en la direc-cióny positiva. Calculela magnilUdy direccióndel momentode

$'$'$'$'

R

x X

b 5.00n

m

jjx x

x x x

v

x x



magnitudde0.067T Ysudirecciónesperpendiculara la barra.Labalanzamide la fuerza ｭ｡ｧｮｾＨｩ｣｡ solm la barra,la cual resultaserde0.13N. ¿Cualesla corrienle?27.36 Un electroimáncreaun campomagnéticode0.550T enunaregióncilindrica de 2.50cm dt: I"3dio entresuspolos. UD alambrerecIOqueconduceWl3 corrientede 10.8A pasa por el centrodees-ta regióny esperpendiculartantoal eje de la regióncilindric3 co-moal campomagnético.¿Cuáles la magnitudde la fuerzaqueseejercesobreel alambre?27.37 Un alambresituadoa10 largodel eje;rconduceunacorrien-te de 3.50A en la direcciónnegativa.Calculela fuerza(expresadaen términosde vectoresunitarios)que los ca¡nposmagnéticossi·guientesejercensobreun segmentode 1.00cm del alambre:a}B = -(O.65T)j;b)B = +(0.56T)k; "e) jj = - (0.31 T)i; d) B=+ (0.33T)i - (0.28T) k;e)E = +(0.74T)} - (O.36T)k.27.38 En la figura 27.44, unalambrequetransportacorrientehaciael planode la figura seha-lla entrelos polosnortey surdedos imanesde barra.¿Cuales ladireccióndela fuerzaquelos imanesejercensobreel alambre?21.39 Unabarrametálicadelgadade50.0cm de largo,conunama-sade 750 g, descansasobredossoportesmetilicos(sinestarsuje-ta aellos)enun campo magne¡i-ro uniformede0.450T, comosemuestraen la figura 27045.Unabateríayun resistorde25.0n es-tan conectadosa los soportes.a)¿Cuálesel voltajemáximoquela bateríapuedetenersin queseinterrumpael circuitoen los sopones?b) El voltajede la bateriatie-ne el valor máximocalculadoen el inciso(a). Si el resistorsufredeimprovisouncortocircuitoparcialy suresistenciadisminuyea2.0n,encuentrela aceleracióninicial de la barra.27.40 Balanzamagnética.El circuito quesemuestraen la figura27.46sirveparaconstruirunaba-lanzamagnéticaparapesarobje-tos.La masam,quesevaamedir,secuelgadel centrode la barra,queestáen un campomagnético

x x X Barra Xuniformede1.50T dirigido haciael planode la figura. Sepuede x x xajustarel voltajede la bateriapa-ramodificarla corrienteenelcir-cuito. La barrahorizontalmide Figura27.46 Ejercicio27.40.60.0cmde largoy esdeun mate-rial sumamenteligero. Está.conectadaa la balería6ledianleunosalambresverticalesfinos incapacesde soportar unatensiónaprecia-ble; todoel pesodela masasuspendidamestá.sostenidopor la fuer-zamagnéticaqueseejen:esobrela barra.HayunresislorR = 5.00Q

en seríecon la barra; la resistenciadel regladel circuito esmuchomenorqueésta.A) ¿Cualpunto,aob, debeserel bornepositivode labalería?b) Si el voltajemáximode bornesde la bateríaesde 175 V,¿cualesla masamásgrandequeel instrumentopuedemedir?

,

1058 CA pfTULQ 27 I Campo magniStico y fuerzas magnéticas

•I

:'[[9Figura21.49 Ejercicios27.49y 27.50.

del ejercicio27.51.Cuandocl campomagnéticoes de 2.29T Y lacorricnteesde 78.0A, la fem dc Ha11 resultaserde 131 ｾ V. ¿Cuálesla densidaddeeltx:troneslibresenel melaldesconocidoscgúnelmodelosimplificadodel efeclOHall presenladoen la sección27.91

Figura27.51 Problema27.53.

21.53 Cuandouna paniculacon unacargaq > Osc rrasladaconunavelocidadVI oriemadaa45.0"con respectoal eje +x enel pla-no xy, un campomagnéticouniformeejerceuna fuerza¡ I a lo lar-go del eje -z (véascla Fig. 27.51).Cuandola mismaparticulasetrasladaconuna velocidadvl de la mismamagnitudqueVj peroa10 largodel eje +z, seejercesobreella unafuerzaP1 de magnitudF2 a lo largodel eje+,x. a)¿Cuálessonla magnilUd(entérminosdeq, VI YFiJ Yla direccióndel campomagnélico'!b) ¿Cuálesla mag-nilUd de ¡lenlérminosdeF l ?

Problemas

27.54 La fuerzasobreunapanículaconcargaquesedesplazaenun campomagnéticose puedecalcularcomo la sumavectorialdclas fuerzasdcbidasacadacomponenteindividual del campomag-nético.Porejemplo,unapaniculaconcarga:q scdesplazaconmpi-dezu en la dirección -y. Se mueveen un campomagnéticouniformeB ｾ B) + B,} + BJe.a) ¿Cuálesson lascomponcntesde la fuerzaF queel campomagnéticoejercesobrela panicula?b) Si q > O, ¿cuálesdebenserlos signosde lascomponentesdc iJsi todaslascomponentesde j: sonno negativas?e)Si q < Oy ｂｾ =By = Br > O, encuentrela direcciónde¡ y ademássumagnitudentérminosde Iql, uy Br •

,27.55 Tiro al blancomagnético.Dunmleuna visita a la FeriadelCondadodeSantaBárbara,usleddtx:ide impresionara su chicaga-nandoun animaldepelucheenel "tiro al blancomagnético".El oh-jetivo del juegoesdaren un blancocon unapanículaligera (2.50g)concarga eléctrica(+0.640q.Sedisparala panículahorizontalmen·te medianteunrifle deaireconunarapidezdesalidadelcañónde 14.0mis,y el centrodel blancoestáa la mismaallUra quela bocadel rifle.Lo interesantedel juegoesquehay un campomagnéticouniformeyhaciaabajodeO.SOOTentodoslospuntosdel tiro al blanco.Luegodeevaluar rápidamentela situación,ustedcalculaquesi e! tiro al blancoluvieseadcmásun campoeléctricouniformedeciertaintensidad,po-driadarene! blancoapuntandoel rifle directamentehaciaél. El encar-gadodel tiro al blancoquedatanimpresionadoconsuatinadocálculo,que le entregael animal de pelucbemásgrandede lodossin queUSled tengaquedipararWl tiro. ¿Cuálesfueron la magnirudydireccióndel campoeléctricoqueustedcalculó?¿Quéefectosno tuvoencuen·ta ensucalculo'!Hagaun dibujoquemuestrelasdireccionesdel movi·mientodela particula,del campomagnéticoy del campoeléctrico.27.56 En el cailón de electronesde Wl cinescopiode televisorloselectrones(carga:-e; masa:m) sonaceleradospor Wl vollaje Y. Dcs-

*Sección 27.9 Efecto Hall*27.51 La figura 27.50mueslraun segmentodeunacintade platacon II "" 11.8mm y Yl = 0.23 mm, queconduceunacorrienlede120A en la dirección+x. La cintaseencuentraen un campomag-nético uniforme,en la direccióny, cuyamagnitudesde 0.95T.Aplique el modelosimplificado }'del efectoHall quesepresenlóenla sección27.9.Si hay5.85 xItP electroneslibres por metrocúbico.bailea) la magniluddela "e1ocidadde deriva de loselectronesen la direcciónx; b) la Figura27.s0 EjerciciosmagnilUdy direccióndel campo 27.51 Y27.52.eléctricoen la dirección=debidoal efectoHall; c) la fem de Hall.*27.52 Seala figun 27.50la represcntaciónde unacintade unmelaldesconocidodi: lasmismas dimensionesquela cimadeplala

·Secci6n27.8El motorde corrientecontinua/ *27.48 Un motordececon su rotor y bobinasdecampoconecla-

dosen serietieneunaresistenciainternade 3.2 n. Cuandotrabajaconcargacompletaconectadoa una líneade 120V, la Cemenel ro-tor esde 105 V. a) ¿Cuálesla corrienlequeel molor lomade la li-nea?b) ¿Cuáles la potenciaentregadaal motor?e) ¿Cuáles lapotenciamecánicaquedesarrollael mOlor?*21.49 En un mOlor de cc de-vanadocn derivacióncon lasbobinasde campoy el rotor co-nectadosen paralelo(véaselaFig. 27.49), la resistenciaｾ delas bobinasdecampoesde 106n, y la resistenciaR,del rotor esde5.9n. Cuandoseaplicaunadiferenciade polencialde 120Valasescobillasy el mOloreslárrabajandoamaximarapidezparaen-lregarenergiamecánica,la corrientequcse le suministraesde4.82A. a)¿Cuálesla corricnteen las bobinasdecampo?b) ¿Cuálesla corrienteenel rotor?e)¿Cuálesla fem inducidaquedesarro-lla el motor?d) ¿Cuantaenergiamecánicadesarrollaestemotor?*21.50 Un motorde ecdevanadoen derivacióncon las bobinasdecampoy el rotoreonCC18dosenparalelo(véasela Fig. 27.49)funcio-naconectadoa unalineaelectricadecede 120V. La resistenciadelosdevanadosdecampo,Rf, esde218n. La resislenciadel rotor,R"esde5.9 n. Cuandoel molorestáfuncionando,el rotor desarrollauna fcm e. El molar lomade la lineaunacorrientede 4.82 A. Laspérdidaspor fricción alcanzanlos 45.0W Calculea) la corrientedelcampo;b) la corrientcde! rotor; e) la fcm [; d) la rapidezde des·prendimientode energlatérmicaen los devanadosde campo;e) larapidezdedesprendimienlodc energíatérmicaenel rotor; f) la po-lenciadealimentaciónal motor; g) la eficienciadel motor.

torsión '7 y el valorde la energíapotencialU dadopor la ecuación(27.27)cuandola bobinaestáorienladacomosemuestraen los in-cisosdel (a)al (d) de la figura 27.48.27A7 Unabobinaconun momentomagneticode 1.45A· m2estáorientadainicialmenteconsu momentomagnéticoanliparalcloaun campomagneticauniforme de 0.835T. ¿Cuálesel cambiodeenergiapotencialde la bobinacuandosela hacegirar 1800 de mo-do queSU momentomagnéticoseaparaleloal campo?

¡

)

Problemas 1059

,Figura27.53 Problema27.65.

tricto de la palabra,las coordenadasx y y varíande maneraperiódi-ca.Si lascoordenadasdela particulaenI s Oson(x,y, z) = (R, O, O),encuentresuscoordenadasen el tiempot = 2r, dondeTesel perio-do del movimienloen el planoxy.27.62 Un electrónsetrasladacnuna trayectoriacircularderadior =4.00cmenel espacioentredoscilindrosconcéntricos.El cilindro in-Icriar esun alambrecon cargapositivade radio a = 1.00 mm, Y elcilindro eXlerior cs un cilindrohuccode radio b = 5.00cm. Ladiferenciade potencialentrelosdoscilindroses Val> = 120V, conel alambreal potencialmásalto.(Veasela Fig. 27.52.Dése cuenlaquela figuranoest3dibujadaa ･ｳｾ

cala).El campoelectricoEen laregióncomprendidacnlrC loscilin-droscs radial haciaafuera,y enel Figura27.52 Problema27.62.problema2J.57sedemostróquesumagnitudcsE = V..J[r In (bfa) j.a) Proporcionela rapidezqueel electrónlIt."cesitaparaconservarsuór-bita circular. No tengaen cuentalos camposni gravitatorioni mag-néticode la Tierra.b) Ahora incluya el efeclodel campomagnélicolerrestre.Si el eje de simetríade los cilindros esparaleloal campomagnéticode laTierra,¿conquerapidezsedebetrasladarel electrónpara conservarla mismaórbita circular?Supongaquela magniruddel campomagnéticoterrestreesde 1JO X [ir"T, y quesudirtteióneshaciaafueradel planode la pagina en la figura 27.52.c) Repitaelcálculodel inciso (b) con respectoal casoen el que la dim:ción delcampomagnéticoesopuestaa la del inciso (b).27.63 Supongaqueel campoeléctricoentrelasplacasP y P' de lafigura 27.22esde 1.88 X l<f V/m y queel campomagneticoenambasregionesesde0.701T. Si la fuenleconticne105 tresisótoposdc criptón,12J<r,"'Kr Y16Kr, y los ioncslienenunasolacarga, hallela distanciaenlrelaslineasformadaspor los tresisótoposen la pla-ca fotográfica.Supongaquelasmasas de los isótopos(enunidadesdc masaatÓmica)son igualesa susnumerosde masa:82, 84 y 86.(Una unidadde masaatómica= I u = 1.66 X 10-21 kg).27.64 Una particulacon una cargade 9.45 X lO-s C semueveenuna región dondehay un campomagnélicouniforme de 0.450Ten la dirección+x. En un instantedetcnninado,las componentesde la velocidadde la partículason ｶｾ = -1.68 X lO· mis, v, =-3.11 X l<f misyv: = 5.85 X l<fmls. ¿Cuálessonlascompooen-lesde la fuerzaque:acluasobrcla particulacn esemomento?27.65 El cubodela figura 27.5J. ,.de 75.0cm por lado, estáen uncampomagnéticouniforme de0.860T paraleloal eje de las.T.El alambreabcdeJconduceunacorrienlede 6.58A en la direc-ción que se indíca.a) Encuentrela magnitudy direcciónde lafuerzaqueaC1Üasobrecadaunodelos segmeDlOSah,be,cd,deyel b) ¿Cuálessonla magnitudydirecciónde la fuerzalolal queactuasobreellllambre?27.66 Cañón･ｬｾｴｲｯｭｬｬｧｮ￩ｴｩ｣ｯ de rieles.Unabarraconductorademasam y longitudL sedeslizasobrerieles horizontalesconectadosa

puésdesalir del cañónde electrones,el hazde electronesrecorreunadislanciaD hastala pantalla;en estaregiónhay un campomagnéticotransversaldemagnirndB y ningúncampoelectrico.a) Demuestrequela desviaciónaproximadadel hazdebidaaestecampomagnéticoes

d= ｂｾ J:nvb) Evalúeestaexpresióncon V = 750 V, D = 50 cm y B = 5.0 x10-' T (comparableal campode la Tierra). ¿Essignificativaestadesviación?27.57 u,spolosmagnéticosde un ciclotrón pequeñoproducenuncampomagnéticocuya magnitudesde 0.85 T. Los polos lienenun rndiode0.40m, quees el radiomáximode lasÓl'biw de laspar-tículasaceleradas.a) ¿Cuálesla energíamáximaa la queesteciclo-trón puedeacelerarprotones(q = 1.60 X HrI9C, m = 1.67 X 10-11

kg)? Expresesu respuestaen electrónvolt y enjoule. b) ¿Cuáleseltiempocorrespondientea una revoluciónde un protón que describeÓrbilasconesteradio máximo?e) ¿Cuáltendriaqueserla magIÚtuddel campomagnéticoparaque la energíamáximaa la quesepuedeacelerarunprolónseael dobledela calculadaenel inciso(a)?d) ConB = 0.85T, ¿cuálesla energiamáximaa la queesteciclOlrÓn puedeacelerarpartículasalfa (q = 3.10 X 10-19 C, m = 6.65 X [0-11 kg)?¿Cómoesestevaloren comparacióncon la energíamáximacorres-pondientea losprotones?27.58 Unaparticulacon cargaq > Osedesplazacon rapidezv enla dirección+z a travésdeunarcgión de campomagnéticounifor-meR. La fuerzamagnéticasobrela partículaesF = Fo(Ji + 4j),dondeFa csunaconstantcpositiva.a) Halle lascomponentesｂｾＬ Byy B.. o al menostantasde las trescomponentescomoseaposibleapartirdela informacióndada.b) Si ademássesabequela magnituddel campomagneticoes ＶｆｾｱｶＬ averigüelodo 10 quepuedaacercade lascomponenlesrestantesde B.27.59 Un electróny un nucleode1Li (un isótopode litio con tresprolonesy cuatronemrones)se trasladanen un campomagneticosiguiendotrayectoriascircularescon la mismarapideztangencial.Calculela proporcióndel numerode revolucioncsqueel electróndescribecadasegundorespectoal numeroquedescribepor segundoel nucleode1Li. La masadel nucleode lLi esde 1.16 X 10-26 kg.27.60 Un ciclolrón debeacelerarproloneshastaunaenergíade5.4MeY. El electroimánsuperconductordel ciclotrón creaun campomagneticade 3.5 T perpendiculara las órbilasde los protones.a) Cuandolos protoneshanalcanzadounaenergíacinéticade 2.7MeV, ¿cuálesel radiodesuórbila circulary cuálessu rapidczanoguIar?b) Repitael inciso(a) cuandolos protoncshanalcanzadosuencrgíacinélieafinal de 5.4 MeY.27.61 Unapartieulaconcarganegativaq y masam = 2.58 X 10-11

kg viaja a travésde una región queconlieneun campomagnéticouIÚforme¡j =- (0.120T) 1. En un instanledetenninadola veloci-dadde la partículaesv= (1.05 X lo' mls)(-Ji + 4j + 12k) Yla magnirudde la fuerza sobrela particulaes de 1.25 . a) Halle lacargaq. b) Determinela aceleraciónii de la partícula.e) Expliquepor quéla trayectoriade la partículaesunahélice,y proporcioneelradio de curvaturaR de la componentecircularde la trayectoriahe-licoida1. d) Obtengala frecuenciade ciclotrón de la partícula.

e)Aunqueel movimientohelicoidalno esperiódicoenel sentidoes-

"

t

1060 CAPfTU LO 27 I Cam¡xl magnéticoy fuerzasmagnéticas

Figura 27.56 Problema27.68.

x ¡j x

•

siemprey cuandoy sigasiendomuchomenorqucx. b) ¿Podriaser·vir estediseñoparasepararisólopos?¿Porqué?27.70 Espectrógrafode masas.El espectrógrafode masassc uti·liza paramedir masasde iones,o parasepararionesde difcrentcmasa(sección27.5). En ciertodisenode un instrumentodeesteti-po,seaceleranionesdc masani y cargaq a travésdeunadiferenciade potencial 11, los cualesenlnln despuésen un campomagneticounifonneperpendiculara suvelocidad,y sondesviadosenunatra-yecloria circular de radio R. Un delectarmide el puntodondelosionescompletanel semicin;ulo,y a panirdeestOesíacil calcularR.a) Deduzcaunaecuaciónparacalcular la masadel ion a panirdemedicionesdeB, /1, R Yq. b) ¿Quédiferenciadepotencialsenece-sita paraquelos átomosde '2C monoionizadoslenganun R = 50.0cm en un campomagnéticode O.150nc) Supongaqueel hazsecomponedeunamezclade iones12Cy '4C. Si /1 YB tienen[os mis-mos valoresqueen el inciso (b), calculela scparaciónde estosdosisótoposen el detector.¿Consideraustedqueestaseparacióncntrelos hacesbastaparadistinguir losdosiones?(Hagala suposiciónquesedescribeenel problema27.63respectoa las masasde los iones).27.71 Una varilla delgadauniforme de masainsignificantey de0.200m de largo estasujetaalpiso medianteuna bisagrasinfricción en el punto P (véaselaFig. 27.57). Un resortehorizon-tal con constantede fuerza k =

4.80N/m enlazael airo extremode la varilla a un muro vcnical.La varilla se encuentraen uncampomagnéticounifonneB = figura 27.57 Problema27.71.

0.340T dirigido haciael planode la figura. Hay unacorrienteI -6.50 en la varilla, enel sentidoqueseindica.a) Calculeel momen-to de torsióndebidoa la fuerzamagnéticasobre la varilla, con res-pectoa un ejeen P. ¿Escorrectoconsiderarquela fuerzamagneticatotal actúaen el cenll'O de gravedadde la varilla al calcularel mo-mentode torsión?Expliquesu respuesta.b) Cuandola varilla estáenequilibrio y fonnaun ángulode 53.0°conel piso,¿estáel resor·te estiradoo comprimido?e) ¿Cuantaenergíasehalla almacenadaen el resonecuandola varilla eslaenequilibrio?27,72 La espiratriangularde alambrequesemuestrnen la figura27.58conduceunacorriente1 = 5.00A enel sentidoqueseindica.

muesrrequela trayectoriade la paniculasigueel mismoarcocircu-lar quefoonabael alambresi la rapidezdela panículaesII = qTl",I.(Es por estal1lZÓfl queseutilizan alambrespesados enel diseñodesistemasmagnéticosparadirigir hacesde panículasconcarga.Laflexión del alambreponadorde corrienteindica cómosedoblaránlas trayectoriasde laspanículas).27,69 Dos ionespositivosquelienen la mismacargaq, perodife-renlesmasasmI Y m2' sonaceleradoshorizontalmentedesdeunaposici6nde reposo a travesde unadiferenciade potencial /l. Des·puésentranen unaregióndondehay un campomagnéticounifor·me jj noonalal planode la trayectoria.a) Demuestreque,si el hazentraenel campomagneticoa lo largodel ejex. el valor de la coor-denaday de cadaion encualquierticmpo t esapro¡¡imadamente

y = BX2(-'L)'"

8nrV


una fuenle de voltaje. La fuentede voltaje mantieneunacorrienteconstanteI enlos rielesy en la barra,y un campomagnéticovenicaiuniformey constanteBllena la regióncomprendida,.entrelos rieles(véasela Fig. 27.54).a) Proporcionela magnitudy direcciónde lafuerzanetaqueactúasobrela barraconductora.No tengaen cuentani la fricción, ni la resistenciadel aireni la resistenciaeléctrica.b) Sila barratieneunamasam, halle la distanciad quela barradebereco-rrera Jo largodelos rielesapartirde unaposicióndereposoparaal-canzarunarapidezu. e)Sehasugeridoquecañonesderielesbasadosen esteprincipio podrianacelerarcargashaslaunaórbita tem:srreomáslejosaún.Halle la distanciaquela barradeberecorrera lo largode los rieles paraalcanzar larapidezde escapede la Tierra (11.2km/s).SeanB = 0.50T,1= 2.0 x loJA, m = 25 kg YL = 50cm.27.67 Secolocaun lJ1llllO recIOdealambrecooouClordemasaM y10ngilUd L sobreunapendiente B(vaticaI)

sin fricción queforma un ángulo8 con la horizontal(véasela Rg.27.55).Hayun canyomagnéticovenical uniforme B en lodoslospuntos(creadopor un aaeglodeimanesque no semueslraen la figura 27.55 Problema27.67.figura). Paraevilarqueel alambreresbalepor la pendiente,seacoplaunafucntedevoltajea los extremosdel alambre.Cuando fluye exac-tamentela cantidadadecuadade corrienlepor el alambre,ésteper-maneceenreposo.Halle [a magnitudy direccióndela corrienteenelalambrequemantendráa ésteen reposo.Copiela figura y dibuje ladireccióndela corrienteen sucopia.Además,muestreen un diagra-ma de cuerpolibre todaslas fuerzasqueactúansobreel alambre.27.68 Como se muestraen la figura 27.56,un alambreflexiblecuelgadel puntoP en unaregióndondehay un campomagnéticohorizontaluniformedemagnitudB, dirigido haciael planode la fi-gura y perpendiculara él. Sesu-jeta una pesaa la paneinferiordel alambrea fin de proporcio-nar una tensión unifonne T atodo el alambre.(El pesodelalambremismoes insignifican.te). Cuandofluye unacorriente1de la panesuperiora la pane in-ferior del alambre,éstesecurvapara formarun an:ocircularde ra·dio R.. a) Considerandolas fuerzasqueactúansobreun segmentopequeño<Id alambrequesubtiendeun ángulo 8, demuestrequeelradiodeCUI"o&Wr.l del alambreesR=TIlB. {Sugerencia:Recuerdequesi 8 espequeño.sen 8 == tan (J == (J. donde (J estáen radianes.b) Aborasemiradalambre.Se lanzaunapanículacon carga-qymasam desdeel mismo puntoP del quesecolgó el alambre,en lamismadirecciónen la queel alambreseextendiaa panirde P. De-

i

I

Problemas 1061

Figura 27.59 Problema27_75.

•

1

,

,

r'.00



Con respectoa cadauno de loscamposmagnéticosanteriores,¿quémomentode IOrsión se ne-cesitariapara quela espiragiraseen tomoa un ejequepasapor sucentro,paraleloal ejede lasy?27.77 Un solenoideconN espi-rasde alambre,cadaunacon unáreade seccióntransversalA, es-tá conectadoa unafuentede femquemantieneunacorrientecons-tante[en el alambre.El solenoi-de estácolocadoinicialmentecomosemuestraenla figura 27.32,conel ejedel solenoidea un án-gulo fjJ respectoa un campomagnéticouniforme8. A continuaóónse libera el soleooide,por lo quegira librementeen tomoa un ejeperpendicularal planodela figura 27.32.El momentodeinerciadelsolenoideen tornoa esteejees1•. Proporcioneel periodode oscila·ción del solenoide.Supongaqueel ángulo4Jesmuchomenorqueelquesemuestraen la figura 27.32.(Sugerencia:Vea la sección13.6)27.78 Un alambredelgadode longitud L estáhechode un materialaislante.Sedoblael alambrepara foonaronaespiracircular,y sedis-tribuyeuniformementeuna carga positivaq en todala circunferenciadela espira.En seguidasepone a girar la espiraconrapidezangularw alrededordeun ejeperpendicularal planode la espiray quepasapor su centro.Si la espiraseencuentraen unaregióndondehay uncampomagnéticouniforme8, paraleloal planodela espira,calculela magnituddel momentode torsiónmagnéticode la espira.27.79 Bobina de voz. En la sec-ción 27.7 se demostróque lafuerzanetasobreuna espiradecorrienteen un campomagnéticouniformeescero.La fuerzamag-néticasobrela bobinade voz deun altavoz(véasela Fig. 27.26)esdiferentedeceroporqueen la bo-bina el campomagnéticono esunifonne.Ciertabobinadevoz deun altaVoztiene50 espirasdealam·brey undiámetrode 1.56cm,y la corrienteenla bobinaesde0.950A.Supongaqueel campomagnéticoencadapuntodela bobinatieneunamagnitudconstantede0220TYestídirigido a un ángulode60.00ha-ciaafuernrespecto ala nonnaI al planodela bobina(Fig. 21.61).El ejede la bobinaestáen la direcciooy. La corrienteen la bobinatieneelsentidoqueseindica(en sentidocontrarioa las manecillasdel rdojvistadesdeun puntoencimade la bobinasobreel ejede lasy). Calcu-le lamagnitudy direccióndela fuenamagnéticanetasobrela bobina.27.80 Seaplicanvarias fuerzasexternasF, a un cuerporigido. Conrespectoa un origenO.la fuerzaFI seaplica enel punIOsituadoenr l •

la fuerzaF2enF2> Yasisuccsi\1lDlenIe. El puDIOPseencuentl!en',.Si el cuerpoestá en equilibrio ttasIacioDaI..de modo queYF¡ = O.pruebequela suma delos rD(lIIJf7IJffi detorsión entomoal purilO P esigualala sumademementosdelDESiónen tomoal puntoO. (Estojus-tifica unaafinnaciOn.hechaen la sección27.7:Dadoqueen un cam-po magnéticouniformela fuerzamagnéticanetasobreunaespiradecorriemeescero,el momentode torsión magnéticotienela mismamagnirndy direcciónCUQ/quiera queseael ejequeseescoja).

,

,ro

,

ｔｾｑ 1,0.600 jI ｾ

1 ..LPｾＮＸＰＰ m------+iR

La espirase encuentraen uncampomagnéticouniforme demagnitudB '"" 3.00T, orientadoen la mismadirecciónquela co-rrienteendiadoPQde la espira.a) Halle la fuerza queel campomagneticoejercesobrecadala-do del triángulo. Si la fuerzaes Figura 27.58 Problema21.72.

diferentedecero,especifiquesudirección.b) ¿Cuálesla fuerla ne-ta sobrela espira'!c) La espiragira alrededorde un eje situadoa lolargo de1ladoPRo Con baseen las fuerzascalculadasen el inciso(a), calculeel momenlodetorsiónsobrecadaladodela espira(véa-seel problema27.11).d) ¿Cuálésla magnituddel momentodelor-sión netosobrela espira?Calculeel momentode torsión netoapartirde los momentosde torsióncalculadoscn el ineiso(c) y tam-bién dela ecuación27.28.¿Coincidenestosresultados?e) ¿Estádi-rigido el momentode torsión de modoquehacegirar el punto Qhaciael planode la figura o haciaafueradecsteplano?27.73 La banderacmbrujada.Ustedconsiguióun empleoen laindustriacinematográficacomoingenierode efectosespeciales.Elguión de la películaa la queha sido asignadopide que unabande-ra cuadrada,queordinariamentecuelgahaciaabajode un astahori-zontal, se balanceehaciaarriba y cuelguea un ángulode 37.0°respectoa la vertical, como si la hubiesealzadoun viento fantas-mal. Paracrearesteefecto,ustcdestableceun campomagnéticounifonne,venical haciaarribade0.600T, Ycolocaun alambreal-rededorde todo el perimetrode la bandera.Cuandoustedconectael alambrea una fuentede voltaje, fluye una corrienteen el alam-bre y la bandera"levita". La banderamide 1.00m por lado,esuni-fonne y pesa16.0N. Detenninecuántacorrientedebefluir en elalambrepara quela banderacuelgueenel ángulodeseado.27.74 Un alambrede 25.0cm de largo yacea lo largo del ejez yconduceunaeorrienlede9.00 A enla dirección+Z. El campomag-nético es unifonney suscomponentesson Bz = -0.242T, B, =-0.985T Y 8, = -0.336T. a) Halle las componentesde la fuerzamagnéticaque acniasobreel alambre.b) ¿Cuáles la magnituddela fuerzamagnéticanetasobreel alambre?27.75 La espirarectangulardealambrequese muestraen la fi-gura 27.59 tiene una masade0.15g porcentímelTOde longitudy giraen lOmo alIadoahsobreunejesin meción.La corrienteenelalambreesde8.2A, enel sentidoque se indica. Encuentrela mag-nitud y dirección del campomagnéticoparaleloal ejey queprovocaráquela espirasebalan-ceehastaquesu plano forme unángulode30.0°conel planoyz.27.76 La espirarectangularde la figura 27.60gira en lomoal ejeYYconduceunacorrientede 15.0Aenel sentidoqueseindica.a) Si laespirase localiza en un campomagnéticouniformede 0.48T enla dirección+x, encuentrela magnitudy direccióndel momentodetorsiónqueserequiereparamantenerla espiraen la posiciónquesemuestra.b) Repitael inciso (a) con el campoen la dirección-Z. e)

,

,

1062 CAPÍTULO 27 I Campomagnéticoy fuerzasmagnéticas


íJ

,/

í



respectoa su posiciónoriginal. a) Determinela rapidezv dd alam-bre en el momentoen que saledel mercurio.b) Suponiendoque lacorrienteI a ｴｲ｡ｶ￩ｾ del alambrefue constantedesdeel momentoenque ｾ･ cerróel interruptorhastaqueel alambresalió del mercurio,halle /. e) Sin teneren cuentala resistenciadel mercurioy de losalambresdd circuito, determinela resistenciadd alambremóvil.27.84 Modelo de quarksdel neutrón.El neUltónesunapartícu-la con carganula. Sin embargo,tieneun momentomagnéticodife-rentede cerocuyacomponentezesde 9.66 X I ＰＭｾＷ A . mI Estoseexplicaen virtud de la estrucrurainternadel neutTÓn.Un importan-te conjuntode pruebasindica que el neutrónse componede tresparticulasfundamentalesllamadasql/arks: un quark "arriba" (1/),con unacargade +2e13,y dosquarks"abajo" (ti), cadauno conuna

cargade--e/3.La combinaciónde -""::,,-iíJ-,los tresquarksproduceunacarganetade 2e13- el3 - el3 = O. Silos quarksestáncn movimiento,puedengenerarun momentomagnéticodiferentede cero.Co-mo un modelo muy simple,su-pongaqueel quark1/ se trasladaen una trayectoriacircular ensentidocontrarioa las maneci-llas del reloj, y que los quarksd describenuna trayectoriacircularenel sentidode lasmanecillasdel reloj, todosderadior y todosconla mismarapidezu (Fig. 27.64).a) Encuentrela corrientedebidaa la circulacióndel quark l/. b) Determinela magniruddel momen-to magnéticodebidoal quark 1I circulante.c) Detenninela magni-tud del momentomagnéticodel sistcmade tres quarks.(Tengacuidadodeutilizar lasdireccionescorrectasdel momentomagnéti-co). d) ¿Conquérapidezu debentrasladarselos quarksparaquees-te modeloreproduzcael momentomagnéticodd nentTÓn?Tomedradiode las órbitascomor = 1.20 X 1O-ll m (el radiodel neutrón)parael radio de la órbita.27.85 Una espiracireularde áreaA yaceen el plano.>:y.Vista a lolargo del eje z mirandoen la dirección-z haciael origen,unaco-rrientef circula en el sentidode las manecillasdel reloj entorno ala espira.El momentode torsiónqueproduceun campomagnéticoexternoBestádadopor;r =D( 4i - 3j), dondeD esunaconstan-te positiva.ycon estaorientaciónde la espirala energíapotencialU = -ji..B esnegativa.La magniruddel campomagnéticoes80

= 13D/lA. a) Deterrtlineel momentomagnéticovectorial de la es-pira decorriente.b) Proporcionelascomponentes8x , By Y B, de B.27.86 Deducciónde la ecuación(27.26) respectoa una espiracircularde corriente.Un anillode alambreyaceen el planoxycon su centroen el origen. Elanillo conduceunacorriente1ensentidocontrarioa las maneci-Ilas del reloj (Fig. 27.65). Hayun campomagnéticouniformejj en la dirección +x: ¡j = BX(Es fácil ampliarel resultadoa jjen una direcciónarbitraria).a)En la figura 27.65, demuestreque el elementodl =RdIJ( -sen8i+ eos8j), y halle ir =

y

(0;1 ｾ [(o. O) ｾ (L. O)

Figura 27.62 Problemas27.&1 y 27.82.

M.fCUriO

xxxxxxxxxxx

ｾＷＢＧｾ［,-, ,-'

ｾI.SOV

27.81 Fuerzasobreuna espiradecorrienteen un campomag-néticono uniforme.En la sección27.7sedemostróquela fucl7.ane-ta sobreunaespimdecorrienteenun campomagnéticol/niformeescero. Pero,¿y si jj no esunifor-me?La figura 27.62muestraunaespiracuadradade alambrequeyaceenel plano.xy.Los vérticesde la espiraestánen (O, O), (O, L), (L,O) Y(L, L), Ye11a.zoconduceunaconienteconstante1enel sentidodelas manecillasdel reloj. El campomagnéticono tienecomponentex,perosicomponentesyyz:jj= (BoziL)j + (BoyIL)k,dondeBoesunaconstantepositiva.a) Dibuje las líneasdecampomagnéticoenelplanoyz.b) Encuentrela magnitudy direccióndela fuerzamagnéticaque seejercesobrecadauno de los ladosde la espiraintegrandolaecuación(27.20).c) Proporcioncla magnirudy direccióndela fuerzamagnéticanetasobrela espira.27.82 Momentode torsión sobreuna espiradc corrientccn uncampomagnéticono uniformc.En la sección27.7sededujo la ex-presióndel momentode torsión sobreunaespirade corrientesupo-niendoqueel campomagnético¡j eraunifonne.Pero,¿y si ¡j /lO esunifomle?La figura 27.62muestrauna espiracuadradade alambrequeyaceenel planoxy.Los vérticesdela espiraestánen(O, O), (O, L),(L, O) y (L, L), Yla espiraconduceunacorrienteconstante/ enel sen-tido de lasmanecillasdel reloj. El campomagnéticono tienecompo-nenteZ, pero si componentesx y y: ¡j = (BoYIL)i + (BoxIL)j,dondeBoes unaconstantepositiva.a) Dibuje las lineasde campomagnéticoenel plano.\)'.b) Halle la magnitudy direccióndela fuer-zamagnéticaqueseejercesobrecadaunode los ladosde la espirain-tegrandola ecuación(27.20).e) Si la espirapnedegirar librementeentomoal ejex, cncuentrcla magnirudy direccióndel momentodetor-siónmagnéticosobrela espira.(d) Repitael inciso(c) con respectoalcasodondela espirapuedegirar librementeen tomoal ejey. e) ¿Eslaecuación(27.26).T = ji. x ¡j, unadescripciónapropiadadel mo-mentodetorsiónsobrecstaespira?¿Porqué?27.83 Un alambreaisladode masam = 5.40 X 10-5 kg estádobla-doen foonade U invertida,detal modoquela partehorizontaltieneunalongitud1= 15.0cm. Los extremosdobladosdel alambreestánparrialmenteinmersosen dosdepósitosdemercurio,con 2.5 cm decadaextremoabajode la superficiede! mercurio.La estructuraente-ra sehallaenunaregiónquecontieneun campomagnéticonnifonnede0.00650T dirigido haciala parteinternade la página(Fig. 27.63).Seestableceunaconexióneléctricaentrelos depósitosdemercurioatravésde los extremosdel alambre.Los depósitosdemercurioestánconectadosa unabateríade 1.50V Ya un interruptorS. Cuandosecierrae! interruptorS, el alambresalta35.0cm en el aire, medidos

Problemasdedesaffo 1063

Figura27.68 Problemadedesafio27.91.

•

desded puntodeentradaen la regióndecampomagnéticohayunapared.La longituddela regiónlibre decampoes,portanto,de50.0cm. Cuandola particulacon cargaentraenel campomagnético,si-gueunatrayectoriacurvacuyoradiodc curvaturaesR. Despuéssa-le del campomagnéticoal cabode un tiempo tI> habiendosidodesviadaunadistancia41'1' A continuaciónla panículaviaja en laregión libre de campoe incide en la pareddespuésde sufrir unadesviaciónlotal4x. a) Encuentreel radioRde la partecurvade latrayectoria.b) Detennine'1> el tiempoque la partículapasaen elcampomagnético.c) Determine4xl • la desviaciónhorizontalenel punlOde salidadel campo.d) Delennine4t",la desviaciónhori-zontal total.27.90 Bombaelectromagnéti.ca. Las fuerzasmagnéticasqueactúansobrefluidos conductoresofrecenun medio convenienteparabombearestOSfluidos. Porejemplo,estemétodopermitebombearsangresin quesuscélu-lassufranel dañoqucunabombamecarucapuedeprovocar.Un tu-

bo horizontaldeseccióntransver- Mecalllquido

sal cuadrada(alturah, anchura O'lallgTe

w) secolocaen ángulorecto res- Figura27.67 Problemadepectoa un campomagnt1:icouni- desafio27.90.fonnedc magnitudB, dc tal moooqueun tramodc longitud I estáenel campo(Fig. 27.67).El tuboestálleno deun líquidoconductor,y semantieneunacorriente･ｬｾｴｲｩ｣｡ de densidadJ en la terceradirec-ción mutuamenteperpendicular.a) Demuestreque la diferenciadepresiónentreun puntodel liquido situadoen un planovertical quepasapor ab y un punto del líquido simadoen otro plano verticalque pasapor ed, en condicioncstalesque se impida el flujo de li-quido,esóp = JIB. b) ¿Quédensidaddecorrientesenecesitaparacrearuna difcrenciadepresiónde 1.00atm entreestosdospunlossi B = 2.20Ty/-35.0mm?27.91 Trayectoriacicloidal. Unapartículade masani y con unacar-gapositivaqestáinicialmenteenreposoenel origencomosemuestraenla figura 27.68.Hay un campoeléctricouniformeEenla dirección+y y un campomagnéticouniforme8dirigido haciaafuerade la pá-gina:. En librosmásavaDladossedemuesuaquela trayectoriaesun d-cJoide cuyoradiodecurvaturaen lospuntosmásaltosesel doblede lacoordenaday cnesenivel. a) Expliqueporquéla trayectoriatieneestafarolageneraly por quéesrepetitiva.b) Pruebeque la mpidezen unpunrocualquieraesigual a V2qEylm.(Sugerencia:Aplique la conser-vación de la energia.)e)Aplicandola segundaley de ｾｃ｜｜ｴｯｮ al puntomásalto Y lomandocomodatoque el radio de ｣ｵｮｾｄｊｲ｡ enesepuntoes igual a2y,pruehcquela rapidezenestepuntoesIDB.

Bx • • • R • • d-25.0=• • • • • • • ••"

Id! x 8. b) IntegredF alrededordela espiraparademostrarquelafuerzanela ･ｳ｣･ｲｯＮｾＩ Con ｢ｾ･ｮ el inciso(a), halled'7= r x dF,donder =R(cos81 + sen8J) csel vectordel centrode la espiraalelemento(Ji. (Désecuentaquedi esperpendiculara r.) d) Integredi conrespectoa la espiraparahallarel momentodetorsiónlotal isobrela esEira.Demuestrequeel resultadosepuedeescribircomo'7 =ji x B, dondeｾ = lA. (Nota: f cos2 x d.1' =!x = ｾ senh,f sen-.I d.1' =!x - ! senh,yJ senx cosx d:r = tsen2.1').

27.87 Uso de la ley de Gauss､ｾｬ magnetismo.En cienaregióndel espacio,el campomagnéticoB no esunifonnc. El campomag-neticotieneuna componente=y tambiénunacomponentequeapun-ta radialmenteendirecciónopuestaal ejede lasxo haciaesteeje. lacomponentez estádadapor BI=) = /k, dondef3 esuna constantepositiva.La componenteradial B, dependesólode r, la distancianl-dial respectoal ejede lasz. a) Conbaseenla ley deGaussdel mag-netismo(ecuación(27.8)),halle la componenteradial B, en funciónder. (Sugerencia:Pruebe conuna superficiegaussianacilíndricaderadio r concéntricacon el eje de las=, conun exlTeIDO en = = OYelairo enz = L). b) Dibuje las Ilncasdecampomagnético.27,88 Un anillo circularconun áreade4.45cm2conduceunacorricn-te de 12.5A. El anillo girn librementeentomoa undiámetro.El anillo,ｩｮｩｦｾｬｭ･ｮｴ･ enreposo,seintroduceenunaregión decampoｾ￩ｴｩﾷco uniformedado por 8 = (1.15 X 10-2 T)( 12i + 3j - 4k).Laposicióninicial del anillo estal quesumomentomagnCricoestádadopor ji, = ｾＨＭｏＮＸＰＰｩ + O.600j).dondeIl. es la magnitud(positiva)del momentomagnético.Se libera el anillo, y éstegira un ángulode90.0°, pUllto en el cual su momentomagnéticoestádado porjir = - ｾｫＮ a) Determine la disminucióndeenergía poIencial.b) Si elmomentode inereiadelanillo entomoa undiimetroesde8.50x 10-1

kg. m2, halle la rapidezangulardel anillo cuandoéstepasa por la se-

gunJaposición.

Problemasdedesafío

yI

ｾｸ '

27.89 Unapaniculacon una cargade2.15 ¡.¡.C y unamasade 3.20X 10"11 kg viaja inicialmenteen la dirección+yconunarapidezvo= 1.45 X ｉｾ mis. Despuésentraen una región que contieneuncampomagnéticouniformedirigido haciala parteimernade la pá-gina (y perpendiculara ella) en la figura 27.66.La magnituddelcampoesde 0.420T. La región see:ttiendehastauna distanciade25.0cm a lo largo de la direccióninicial del recorrido;a 75.0cm

Figura 27,66 Problemadedesafio27.89.

l

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CAMPOMAGNÉTICO y FUERZAS MAGNÉTICAS

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