Cantidad de Movimiento Yaa

CANTIDAD DE MOVIMIENTO DEL SOLIDO RÍGIDO

OBJETIVOS

Desarrollar formulaciones para la cantidad de movimiento lineal y la cantidad de

movimiento angular de un cuerpo rígido.

Aplicar los principios de impulso lineal y angular, cantidad de movimiento angular y

lineal para resolver problemas del cuerpo rígido que implican fuerza velocidad y

tiempo.

Estudiar la aplicación de la conservación de la cantidad de movimiento.


CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Al aplicarse una fuerza es evidente que la velocidad de un cuerpo cambia, cambia

"la

cantidad de movimiento" de ese cuerpo, y la cantidad de movimiento puede

medirse físicamente.

Tenemos un cuerpo que tiene una masa m, (valor escalar) el que adquiere una

velocidad determinada al aplicársele una fuerza exterior. La masa y la velocidad

resultan ser inversamente proporcionales ya que, a igual magnitud de fuerza, si la

masa aumenta al doble su velocidad se reducirá a la mitad.

Ejemplo:

Expresado de una manera más sencilla, si empujamos al mouse adquirirá mayor

velocidad que si empujamos, con la misma cantidad de fuerza, a la CPU.


Al ser inversamente proporcionales, la masa y la velocidad se multiplican para

obtener un valor constante. La velocidad es un vector mientras que la masa una

magnitud escalar, matemáticamente al multiplicar un vector por un escalar

obtendremos otro vector.

Físicamente ese vector producto entre la masa y la velocidad se denomina cantidad

de movimiento y se lo designa con la letra p:

p⃗=m v⃗

Donde:

P - es la cantidad de movimiento

m - es la masa

v - es la velocidad


CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL

La cantidad de movimiento lineal de un cuerpo rígido es determinado sumando

vectorialmente la cantidad de movimiento lineal de todas las partículas del cuerpo:

L=∑ mi v i

Como ∑ mi v i=mvG también podemos escribir L=mvG , donde vG es la velocidad

del centro de masa del cuerpo.en general ∑ (sistemamv )1=∑ (sistemamv)2

CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR

Considere el cuerpo de la figura 1.1 el cual esta sometido a movimiento plano

general. En el instante mostrado en punto auxiliar P tiene velocidad VP y el cuerpo

tiene velocidad angular . Si la velocidad de la partícula i-esima debe ser calculada

entonces:


diagrama de momento de la partícula

v i=v p+v i/ p=v p+w xr

La cantidad de movimiento angular de la partícula i con respecto al punto P es igual

al momento de la cantidad de movimiento lineal de la partícula con respecto al

punto P:

(H p)i=r xmi v i

Expresando Vi en términos de VP y usando vectores cartesianos tenemos:

Haciendo mi dm e integrando sobre toda la masa m del cuerpo obtenemos:


Aquí Hp representa el la cantidad de movimiento angular del cuerpo con respecto a

un eje perpendicular al plano de movimiento que pasa por el punto P. como

, se utilizan para encontrar el centro de masa G del cuerpo con

respecto a P (fig. 1.2), además la ultima integral representa el momento de inercia

del cuerpo respecto al eje z; así: entonces:

…………..(1)

Esta ecuación se reduce a una forma mas simple si el punto P coincide con el

centro de masa G del cuerpo, en cuyo caso por consiguiente,

……….(2)

………..(3)

Efectuando el producto cruz e igualando las respectivas componentes i y j resultan

las dos ecuaciones escalares:


Sustituyendo estos resultados en la ecuación (3) resulta:

…….. (4)

Con referencia a la figura 1.3, este resultado indica que cuando el momentum

angular del cuerpo se calcula con respecto al punto P, es equivalente al momento

del momentum lineal o de sus componentes y con respecto a P

más el momentum angular . Advierta que como es un vector libre HG puede

actuar en cualquier punto sobre el cuerpo siempre que conserve su misma

magnitud y su dirección. Además, como el momentum angular es igual al

“momento” del momentum lineal, la línea de acción de L debe pasar por el centro

de masa G del cuerpo para observar la magnitud correcta de HP cuando se calculan

“momentos” con respecto a P, figura (3). Como resultado de este análisis,

consideraremos ahora tres tipos de movimiento.


IMPULSOEl impulso es el producto entre una fuerza y el tiempo durante el cual está aplicada.

Es unamagnitud vectorial. El módulo del impulso se representa como el área bajo

la curva de la fuerza en el tiempo, por lo tanto si la fuerza es constante el impulso

se calcula multiplicando la F por Δt, mientras que si no lo es se calcula integrando

la fuerza entre los instantes de tiempo entre los que se quiera conocer el impulso.


RELACION ENTRE IMPULSO Y CANTIDAD

DE MOVIMIENTO

La segunda ley de Newton fue expresada en base a la variación de la cantidad de

movimiento en función del tiempo, es decir que si se aplica una fuerza exterior a un

cuerpo este experimentará una variación de cantidad de movimiento a medida que

transcurre el tiempo.


La variación de la cantidad de movimiento se conoce con el nombre de ímpetu o

impulso, que se designa con la letra I.

I⃗=∆ p⃗

Dado que el impulso es igual a la fuerza por el tiempo, una fuerza aplicada durante un tiempo provoca una determinada variación en la cantidad de movimiento, independientemente de su masa:


IMPULSO Y CANTIDAD DE

MOVIMIENTO EN:

TRASLACION

Cuando un cuerpo rígido de masa m esta sometido a traslación rectilínea o

curvilínea, figura 2.1, su centro de masa tiene una velocidad para el

cuerpo. Por consiguiente, el momentum lineal y el momentum angular calculados

con respecto a G se convierte en:


Si el momentum angular es calculado con respecto a cualquier otro punto A sobre o

fuera del cuerpo, el “momento” del momentum lineal L debe ser calculado con

respecto al punto. Ya que d es el “brazo del momento” como se muestra en la

figura, entonces, de acuerdo con la ecuación (4), H A=(d )(mvG)

ROTACION CON RESPECTO A UN EJE FIJO

Cuando un cuerpo rígido esta girando con respecto a un eje fijo que pasa por el

punto O, el momentum lineal y momentum angular con respecto a G son:

A veces es conveniente calcular el momentum angular del cuerpo con respecto al

punto O. en este caso es necesario tomar en cuenta el “momento” de L y HG con

respecto a O. Observando que L(o VG) es siempre perpendicular a rG, tenemos:


………(5)

Esta ecuación puede ser simplificada sustituyendo primero , en cuyo caso

, y por el teorema de los ejes paralelos, observando que los términos

dentro del paréntesis representan el momento de inercia I0 del cuerpo con respecto

a un eje perpendicular al plano del movimiento que pasa atravez del punto O. Por

consiguiente:

……….(6)

Entonces para el cálculo, pueden usarse las ecuaciones (5) y (6).

MOVIMIENTO PLANO GENERAL


Cuando un cuerpo rígido esta sometido a movimiento plano general, figura 2.3, el

momentum lineal y el momentum angular calculados con respecto a G se

convierten en:

Si el momentum angular es calculado con respecto a un punto A ubicado sobre o

fuera del cuerpo, es necesario encontrar los momentos de L y HG con respecto a

ese punto. En este caso.

Aquí d es el brazo de momento como se muestra en la figura:

PRINCIPIO DEL IMPULSO Y MOMENTUM

LINEAL

Como en el caso del movimiento de una partícula, el principio del impulso y del

momentum para un cuerpo rígido se desarrolla combinando la ecuación del

movimiento con cinemática. La ecuación resultante permite lograr una solución

directa de problemas que implican fuerza, velocidad y tiempo. La ecuación de

movimiento traslacional para un cuerpo rígido puede escribirse como

. Como la masa del cuerpo es constante,


Multiplicando ambos lados por dt e integrando a partir de t=t1, VG=( VG)1 a t= t1,

VG=( VG)2 se obtiene:

A esta ecuación se le llama principio del impulso y momentum lineal. Establece que

la suma de todos los impulsos creados por el sistema de fuerzas externas que

actúan sobre el cuerpo durante el intervalo de tiempo t1 a t2 es

PRINCIPIO DEL IMPULSO Y MOMENTUM

ANGULAR

Si el cuerpo tiene movimiento plano general, podemos escribir

. Como el momento de inercia es constante,

+ =


Multiplicando ambos lados por dt e integrando a partir de t=t1 , a t=t2 ,

obtenemos:

∑∫t1

t2

MOdt=IOω2−IOω1

IOω1+∑∫t 1

t 2

MOdt=IOω2

CONSERVACIÓN DEL MOMENTUM

Conservación del momentum lineal.- si la suma de todos los impulsos lineales que

actúan sobre un sistema de cuerpos rígidos conectados es cero, el momentum


lineal del sistema es constante, o se conserva. En consecuencia, las primeras dos

ecuaciones se reducen a la forma:


A esta expresión se le conoce como ecuación de la conservación del momentum

lineal.

Sin inducir apreciables errores en los cálculos, puede ser posible aplicar la ecuación

19-16 en una dirección específica para la cual los impulsos lineales son pequeños o

no impulsivos. Específicamente, las fuerzas no impulsivas ocurren cuando fuerzas

pequeñas actúan por periodos muy cortos. Ejemplo típico incluyen la fuerza de un

resorte ligeramente deformado, el contacto inicial con el suelo blando, y en algunos

casos el peso del cuerpo.

Conservación del momentum angular.- el momentum angular de un sistema de

cuerpos rígidos conectados se conserva con respecto al centro de masa G del

sistema, o con respecto a un punto fijo O, cuando la suma de todos los impulsos

angulares creados por las fuerzas externas que actúan sobre el sistema es cero, o

apreciablemente pequeña (no impulsiva), si se calcula con respecto a esos puntos.

La tercera de las ecuaciones 19-15 es entonces:

…….19-17

A esta se le llama ecuación de la conservación del momentum angular. En el caso

de un solo cuerpo rígido, la ecuación 19-17 aplicada al punto G se convierte en

. Para ilustrar una aplicación de esta ecuación, considere a un

clavadista que ejecuta una voltereta después de saltar de un trampolín. Al doblar

sus brazos y piernas y llevarlos cerca de su tórax, el disminuye el momento de

inercia de su cuerpo incrementando así su velocidad angular. Si el clavadista se

endereza justo antes de entrar al agua, el momento de inercia de su cuerpo

aumenta y su velocidad angular disminuye. Como el peso de su cuerpo crea un


impulso lineal durante el tiempo de movimiento, este ejemplo también ilustra como

el momentum angular de un cuerpo puede conservarse y no así el momentum

lineal. Tales casos ocurren siempre que las fuerzas externas generan un impulso

lineal que pasa por el centro de masa del cuerpo o por un eje fijo de rotación.

Con tal que la velocidad lineal o angular inicial del cuerpo sea conocida, la

conservación del momentum lineal o del momentum angular se usa para

determinar la respectiva velocidad lineal o angular del cuerpo.

IMPACTO EXCÉNTRICO

En general un problema que implica el impacto de dos cuerpos requiere la

determinación de dos incognitas (v¿¿A)2 ¿ y (v¿¿B)2¿, suponiendo que (v¿¿A)1 ¿ y

(v¿¿B)1¿ son conocidas o que pueden ser determinadas. Para resolver este

problema deben escribisrse dos ecuaciones . generalment, la primera ecuación

implica aplicar laconservacion del momentum angular a los os uerpos. En el caso de

ambos cuerpos A y B, podemosestablecer que el momentum angular se conserva

con respecto al punto O ya que los impulsos en C son internos al sistema y los

impulsos en O crean un momento cero (o impulso angular cero) con respecto al

punto O . La segunda ecuación se obtiene usando la definición del coeficinte de

restitución. e , que es una razón del impulso de restitución al impulsod e deformación. Para

establecer una forma útil de esta ecuación primero debemos aplicar el principio de impulso angular y

del momentum angular con respecto al punto O a los cuerpos B y A por separado. Combinando los


resultados obtenemos la ecución necesaria. Al proceder de esta manera, el principio de impulso angular

y momentum angular aplicadoal cuerpo B desde el tiempo justo antes de la colisión hasta el instante de

máxima deformación.

IO¿

Aquí IO es el momento de inercia del cuerpo B con respecto al punto O. de manera

similar, aplicando el principio del impulso angular y del mometum angular a partir

del instante de máxima deformación hasta el tiempo justo después del impacto.

IOw+r∫Rdt=IO¿

Resolviendo ∫Pdt y ∫Rdt en las ecuaciones 19.18 y 19.19 respectivamente, y

formulando e , tenemos:

e=∫ Rdt∫ Pdt

=r (w ¿¿B)2−rw

rw−r (w ¿¿B)1=(v¿¿ B)2−vv−(v¿¿B)1 ¿

¿¿¿

De la misma forma, podemos escribir una ecuación que relaciones las magnitudes

de la (v¿¿A)2 ¿ y (v¿¿A)2 ¿ del cuerpo A. el resultado es:

e=(v¿¿ A)2−vv−(v¿¿ A )1 ¿

¿


Al combinar las dos ecuaciones anteriores, eliminando la velocidad común

obtenemos:

e=(v¿¿ B)2−(v¿¿ A )2

(v¿¿A)1−(v¿¿B)1¿¿¿¿

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