Cap 1 Sistemas Coordenadas Vers 1.0.0

1ra. Entrega

1

Vectores y Rectas: (Segmento de la

recta dirigido)

Recta Real:

• Cualquier número real tiene un único punto asociado en la recta.

• Puntos y números de la recta son la misma cosa.

0 1 2-1-2

Número = √ 2

P = Punto = Número

-∞ +∞

π

3


recta dirigido)

Recta dirigida:

• Es aquella en la que una dirección se define comopositiva y a su dirección opuesta (permutar) comonegativa.

• La porción de recta comprendida entre dos de suspuntos se llama segmento.

0 1 2-1-2

Positiva ó +Negativa ó -

Segmento

-∞ +∞

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recta dirigido – Sistemas coordenados

Unidimensionales)

0 A(1) P(p)-1Q(q)

Segmento

-∞ +∞

1

Definición:

• Sobre una recta fjamos un punto 0 = origen, un sentido (delos dos que tiene esta recta) lo designaremos como positivoy el otro como negativo y sobre el definimos un segmentounidad.

• Se llama abscisa, de un punto P de una recta a la medidadel segmento 0P, tomando 0A como unidad. Dicha medidaes positiva cuando el sentido va de izquierda a derecha ynegativa en caso contrario.

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Unidimensionales)

Definición:

• Un segmento AB, se considera positivo cuando elsentido de A hacia B va de izquierda a derecha ynegativo en caso contrario: AB = - BA

• La suma de varios segmentos dirigidos consecutivo, esel segmento dirigido que tiene por origen el del primeroy por extremo el del último: AB + BC + CD = AD

• La suma de varios segmentos orientados yconsecutivos, tales como el origen del primero seconfunda con el extremo del último, es nula: AB + BC +CA = 0, origen y extremos coincidentes AA tienelongitud nula.

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Unidimensionales)

Definición:

• La longitud de un segmento dirigido, contenido en unarecta es igual a la abscisa de su extremo (B) menos laabscisa de su origen (A).

AB = b - a

-∞ +∞1 A(a) B(b)Q(0)-1

a

b

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Unidimensionales)

Distancia

• Dados los puntos A(a) y B(b), entonces.

dAB = |AB| = |b – a|

dAB ≥ 0; dAB = 0 ↔ A = B

dAB = dBA

pues:

dAB = |b - a| = | - (a - b)| = |a - b| = dBA

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Bidimensionales)

Definición

• Es aquel en el que a cada punto del plano lecorresponde un par ordenado de números reales.

• Al número del eje X se conoce como abscisa, y aleje Y ordenada.

Abscisa: números

tomados sobre el eje X que

miden la distancia en magnitud

y el signo desde el origen.

Ordenada: números

tomados sobre el eje Y

miden la distancia en

magnitud y signo desde el

origen.

x

y

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Bidimensionales)

Definición

• Recta numérica: La línea horizontal es el eje de“x”, la vertical es el eje de “y” y su intersección es elorigen. Estos ejes dividen el plano en cuatro zonasllamadas cuadrantes.

Cuadranate I

(x, y)

(+,+)x

yCuadranate II

(x, y)

(-,+)

Cuadranate III

(x, y)

(-,-)

Cuadranate IV

(x, y)

(+,-)

origen

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Bidimensionales)

Definición

• Par de números de la forma ( x, y ) utilizados paralocalizar puntos en un plano, se expresan en formade pares ordenados. El orden en que se escribe esimportante.

Par Ordenado

( 1, 2)

1 2-1-2

x

-1

-2

1

2

y( 1, 2)

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TriDimensionales)

0

x

y

z

Definición

• El sistema tridimensional de coordenadas rectangulares se formaa partir de tres ejes perpendiculares entre sí, de manera queexiste un eje que se proyecta hacia delante, es decir, que se"sale" del papel.

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TriDimensionales)

Definición

• Los tres ejes coordenados determina los tres PLANOS COORDENADOS. ElPlano (x y) contienen los ejes x y y, y el plano (y z) contiene los ejes y y z, yel plano (x z) contiene los ejes x y z. Estos tres planos coordenaddos dividenal espacio en ocho partes llamados OCTANTES. El primer octante, que estáen el primer plano, está determinado por los ejes positivos.

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TriDimensionales)

Definición

• Los tres ejes coordenados determina los tres PLANOS COORDENADOS. ElPlano x y contienen los ejes (x y), y el plano (y z) contiene los ejes y y z, y elplano xz contiene los ejes x y z. Estos tres planos coordenaddos dividen alespacio en ocho partes llamados OCTANTES. El primer octante, que está enel primer plano, está determinado por los ejes positivos.

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Vectores y la geometría del plano

Componentes de un vector: (Origen, modulo, dirección y sentido)

• Área, volumen, temperatura = medidas en cantidadnumérica real = magnitudes escalares.

• Fuerza, velocidad, aceleración = medidad por sumagnitud y dirección. Para representarlas usamosSegmentos de Rectas Dirigidas = magnitudes vectoriales.

Q

P

v

Punto

Inicial

Punto

Final

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Estudio Geometrico

Estudio Analítico



• En un segmento de recta dirigido PQ que tienecomo punto inicial P y como punto final Q, suLongitud, Magnitud o Módulo se representa:

Q

P

v

Punto

Inicial

Punto

Final

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• Segmentos de rectas dirigidos que tiene igual longitud ydirección son equivalentes. En la figura, u y v son equivalentes.

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Componentes de un vector: (Angulo director)

• El ángulo director de cualquier vector diferente delvector 0 es el ángulo θ medido desde la parte positivadel eje x en el sentido contrario al giro de lasmanecillas del reloj hasta la representación de posicióndel vector.

y

x

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• Si θ se mide en radianes, entonces:

• Si: entonces:

Si v1 = 0 y v2 > 0, entonces θ = (1/2)π ; Si v1 = 0 y v2 < 0, entonces

θ = (3/2)π19



• Observe que si: y θ es el ángulo director de v entonces:

y

x0

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• Valores de los ángulos más comunes y las coordenadas correspondientes sobre la circunferencia goniométrica:

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Vector en el plano mediante sus componentes

• Si v es un vector en el plano cuyo punto inicial es el origen y cuyo punto

final es (v1 , v2 ) entonces v esta dado por sus componentes v=(v1 , v2 )

• Las coordenadas (v1 , v2 ) son componentes de v, si el punto inicial y el

final estan en el origen entonces v es un vector nulo. 0 = (0, 0)

•u=(u1 , u2 ) y v=(v1 , v2 ) son iguales si y solo si: u1 = v1 y u2 = v2

x

y

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 60,0

P

Q

v

(v1 , v2 )

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Vector en el plano mediante sus componentes

• Si P (p1, p2) y Q (q1, q2) son los puntos inicial y final de un segmentodirigido, la LONGITUD esta dada por la raiz cuadrada de la suma delcuadrado de sus componentes v = PQ es: (v1 , v2 ) = (q1 - p1 , q2 - p2 )

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Operaciones con vectores

• Sean u=(u1 , u2 ) y v=(v1 , v2 ) Vectores y sea c un Escalar.

• La suma vectorial de u y v es el vector:

• El multiplo escalar de c y u es el vector:

• El negativo de v es el vector:

• La diferencia de u y v es:

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Multiplicaión de un escalar por un vector

• El múltiplo escalar de un vector v y un escalar ces el vector que tiene |c| veces la longitud de v.

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Suma de vectorial. (método del paralelogramo)

• Geométricamente si colocan los vectores (sin cambiar dirección ymagnitud) de manera que el punto inicial del uno, coincida con elpunto final del otro.

• El Vector Resultante ( u + v ) es la diagonal de un

paralelogramo, sus lados subyacentes son u y v

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Operaciones vectoriales.

SumaMultiplicación

EscalarSustracción

27


28


Longitud de un multiplo escalar.

• Sea v un vector y c un entonces:

|c| es el valor absoluto de c.

Demostración:

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Espacio Vectorial

• Un espacio vectorial real v es un conjunto deelementos, llamados vectores , junto con el conjunto denúmeros reales, denominados escalares, con dos operacionesllamadas adición vectorial y multiplicación por un escalar.

Vector unitario

• Debido a que el módulo de cada uno de los vectores (1,0) y(0,1) es una unidad, se les conoce como vectores unitarios.

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Espacio Vectorial y Vector Unitario

• De acuerdo a la figura se considerara un vector v arbitrarioexpresado de la siguiente forma:

x

y

0

1

1i

j

Notación

31


Espacio Vectorial y Vector Unitario

• Si v es un vector distinto de cero en el plano, entonces el vector y UVector Unitario tiene longitud 1 y la misma dirección que v entonces:

x

y

0

1

1i

j

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Coordenadas y vectores en el

espacio

Definición del espacio numérico tridimensional

• El conjunto de todas la ternas ordenadas de números reales, recibeel nombre de espacio numérico tridimensional, y de denota por R3.

Cada terna ordenada (x, y, z) se denomina punto del espacionumérico tridimensional.

0

x

y

z

z

x

yplano(x, z)

plano(y, z)

plano(x, y)

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espacioTeorema

• Una recta es paralela al plano yz si y solo si todos los puntos de la

recta tienen la misma coordenada x.

• Una recta es paralela al plano xz si y solo si todos los puntos de la

recta tienen la misma coordenada y.

• Una recta es paralela al plano xy si y solo si todos los puntos de la

recta tienen la misma coordenada z.

Recta paralela al plano xy Recta paralela al plano xz Recta paralela al plano yz

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espacioTeorema

• Una recta es paralela al eje x si y solo si todos los puntos de la recta

tienen la misma coordenada y y la misma coordenada z.

• Una recta es paralela al plano y si y solo si todos los puntos de la recta

tienen la misma coordenada x y la misma coordenada z.

• Una recta es paralela al plano z si y solo si todos los puntos de la recta

tienen la misma coordenada x y la misma coordenada y.

Recta paralela al eje x Recta paralela al eje y Recta paralela al eje z

x

y

z

0

x

y

z

0

x

y

z

0

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espacioTeorema

• Si P(x1, y, z) y Q(x2, y, z) son dos puntos de un recta paralela al ejex, entonces la distancia dirigida de P a Q, está dada por:

• Si R(x, y1, z) y S(x, y2, z) son dos puntos de un recta paralela al eje

y, entonces la distancia dirigida de R a S, está dada por:

• Si T(x, y, z1) y V(x, y, z2) son dos puntos de un recta paralela al eje

z, entonces la distancia dirigida de T a V, está dada por:

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espacio

Teorema

• La distancia NO DIRIGIDA entre los puntos P(x1, y, z) y Q(x2, y,

z), esta dada por:

Teorema

• Las coordenadas del punto medio del segmento de recta cuyosextremos son: P(x1, y, z) y Q(x2, y, z), esta dada por:

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Referencias:

Bibliográficas

LEITHOLD, LOUIS (2007):“ El cálculo.”. OXFORD, 7MA EDICIÓN.

LARSON, EDWARDS. (2006): “Cálculo”. MC. GRAW HILL. 8VA.

EDICIÓN.

Direcciones electrónicas

Wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Portada

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http://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Portada

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