Cap 4 Modos y Criterios de Falla (d) Versión 2015
-
Upload
wilmer-calle-cruz -
Category
Documents
-
view
224 -
download
6
description
Transcript of Cap 4 Modos y Criterios de Falla (d) Versión 2015
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
180
4.3.1. COMPORTAMIENTO INELASTICO DE ELEMENTOS CARGADOS
AXIALMENTE
Ejemplo 4.6. Determinar el comportamiento con endurecimiento por deformación y
elastoplástico de una armadura de dos elementos con carga en su extremo D, como se
muestra en la figura.
Con Endurecimiento por deformación (- bilineal)
La curva esfuerzo deformación de un metal isotrópico se aproxima a dos líneas rectas
AB y BF, de pendientes "E" y "E", respectivamente, donde E es el módulo de
elasticidad y el factor de endurecimiento por deformación del metal. La intersección
de las dos líneas define el esfuerzo de fluencia f y la deformación de fluencia f = f /
E. Las relaciones esfuerzo versus deformación son:
Línea AB: = E si f
Línea BF: = (1 - ) f + E si > f
a) Determinar los valores de , f , E, f para el acero de alta resistencia de la figura.
b) En la armadura de la figura, cada elemento tiene un área de 645 mm2, y están
hechos del acero anterior; cuando se aplica la carga P=170 kN calcular la deflexión
“u”.
c) Repetir la parte b para cargas P=270 kN y P=300 kN
d) Usar los resultados para graficar la curva carga vs. deflexión de la estructura
Elastoplástico perfecto
La curva esfuerzo deformación de un metal isotrópico tiene esfuerzo de fluencia de 252
MPa con una deformación unitaria de 0.0012 (=0)
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
181
a) La línea AB: E , reemplazando la información del gráfico se tiene
)0012.0(252 E , donde el módulo de elasticidad es: MPaE 210000 . Para la zona
BF, se tiene la siguiente pendiente:
Pendiente MPa180000012.00022.0
252270
EpendientependienteE /
0857.0210000
18000
Finalmente, se tiene las ecuaciones que definen la curva esfuerzo – deformación:
Para, 0012.0
210000 (*)
Para, 0012.0
18000252)0857.01(
180004.230 (**)
b) El área de la sección transversal es: 2645mmA , y su longitud es: mmL 3000 , del
diagrama de cuerpo libre de la figura (b), se pude aplicar equilibrio de fuerzas
PF )8.0(2
6.1
PF
Para P=170 kN
Entonces:
kNF 25.1066.1
170
Verificando si fluye:
2
3
645
1025106
mm
Nx
A
F
MPa7.164
f , se verifica que no fluye
De la ecuación (*) 210000 210000
f 00078.0210000
7.164
Determinando el alargamiento de la barra de la armadura
22
3
645/210000
3001025106
mmmmN
mmNx
EA
FL
mm35.2
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
182
Compatibilidad
8698.36
u
cos
25.1
cosu
Si consideramos un primer punto para el gráfico uP , denotamos al desplazamiento
del punto D con 1u :
mmu 94.2)35.2(25.11
c) Para la carga P=270 kN
kNF 75.1686.1
270
Verificando si fluye:
fMPaA
F 6.261
645
75.168
f , se verifica que fluye
De la ecuación (**), se obtiene la ecuación de la deformación, como hablamos de un
segundo punto llamaremos 2 , así mismo se calcula el alargamiento 2 y el
desplazamiento del nudo D 2u .
2180004.2306.261
00173.02
mmL 205.5)3000)(00173.0(22
mmu 506.6205.525.125.1 22
Para la carga P=300 kN
kNP
F 5.1876.1
300
6.1
fMPa 7.290
f , se verifica que fluye
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
183
Se puede notar que es mayor al esfuerzo de 270 MPa del material, si la línea BF del
diagrama esfuerzo deformación del material no continuara, indicaría que la barras ya
han fallado. Ahora calcularemos 3 , así mismo se calcula el alargamiento 3 y el
desplazamiento del nudo D 3u
3180004.2307.290
00335.03
mml 05.10)3000(00335.033
mmu 56.1225.1 33
d) Graficando los puntos calculados se obtiene la siguiente gráfica uP
Para determinar la carga de fluencia fP , se considera que la fuerza de la barra es:
fAF
Realizando el equilibrio de fuerzas, se tiene:
ff PA )8.0(2
kNkNPf 260064.260
La deformación y el desplazamiento del punto D, donde empieza la fluencia son:
mmLff 6.330000012.0
25.1
cos
f
fu
mmu f 5.46.325.1
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
184
Ejemplo 4.7. La barra rígida ACB, está soportada por 3 alambres iguales, de material
elastoplástico. Se pide.
- En la fluencia ff DP , (carga de fluencia, deformación de fluencia)
- En el colapso uu DP , (carga ultima, deformación última)
- Dibujar el diagramo P versus D
Del Diagrama de cuerpo libre, se realiza el equilibrio estático
0 cM
0)2()()()3( 321 aFaFaFaP
PFFF 32 321 (*)
Para poder obtener las fuerzas internas de las barras, realizamos la compatibilidad
Donde los desplazamientos de los nudos A, D, E y B, son:
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
185
DA
AE 2 (**)
AB 3
Aplicando la Ley de Hooke
AE
LFíi ií
L
AEF
Se obtienen las fuerzas en función de los desplazamientos
AL
EAFF 21
)2(3 AL
EAF
Remplazando en (**) en (*), se tiene el desplazamiento en el extremo A:
PL
EA
L
EA
L
EAAAA 322
PL
EAA 36
EA
PLA
2
En (**), se obtiene los desplazamientos de los puntos D, E y B:
EA
PLD
2
EA
PL
EA
PLE
2
2
EA
PLB
2
3
Reemplazando los desplazamientos en las fuerzas, se tiene:
2221
P
EA
PL
L
EAFF
PF 3
Dividiendo entre las áreas se tiene los esfuerzos:
A
P
221 ;
A
P3
Donde se puede decir que la estructura empezará a fluir cuando 3 alcance a f , y se
obtiene la carga de fluencia de la estructura fP
A
Pf
f 3
ff AP
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
186
Luego el desplazamiento del extremo B es el desplazamiento de fluencia:
EA
LAD
f
f
)(
2
3
E
LD
f
f
2
3
Para una carga fPP , se tendrá que la fuerza 21 FF , y ambas llegan a la fluencia al
mismo tiempo, por tal motivo, se tiene el siguiente valor de fuerzas:
Realizando el equilibrio de fuerzas antes del colapso, se tiene la carga última uP :
ufff PAAA 3)(2
fu AP 3
4
Finalmente se tiene el desplazamiento del extremo A
E
LL
f
A
·
E
LD
f
Au
33
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
187
ESFUERZOS Y DEFORMACIONES RESIDUALES
Existen dos términos usualmente utilizados de esfuerzos residuales: uno que obedece a
elementos de acero estructural laminados en caliente donde aparecen estos esfuerzos,
debidos a las deformaciones permanentes que se originan por el enfriamiento irregular
desde la temperatura de laminación hasta la del medio ambiente, donde los extremos de
los patines y la parte central del alma de un perfil I por ejemplo, se enfrían con mayor
rapidez que la intersección del alma y el patín, por estar más expuestas al medio
ambiente (ver figura 4.31, del libro de Oscar de Buen Lopez de Heredia “Diseño de
estructuras de acero); el otro obedece a la descarga que sufre un material ideal e
isotrópico y sin problemas de un enfriamiento irregular, este último concepto lo
usaremos en esta parte del curso.
Figura 4.31. Esfuerzos residuales en perfiles laminados
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
188
Los esfuerzos y deformaciones residuales, se produce cuando la carga se retira
lentamente y el elemento se descarga. La estructura no recupera sus dimensiones
originales cuando se retira la carga. Veamos con el ejemplo 4.7, como se descarga la
estructura, instantes antes del colapso, se supone que el material trabaja elásticamente
con fuerzas en las barras de sentido contrario a la etapa de carga. Con lo que se tiene la
siguiente distribución de fuerzas
La solución para “ iF ”, es similar a las obtenidas en la etapa elástica de carga, para este
caso de descarga se tendrá iDF (fuerza de el elemento “i” en la descarga)
221
U
DD
PFF
UD PF 3
Para este caso, todas las fuerzas están en compresión. Las fuerzas finales serán la
superposición de la carga más la descarga.
33
4·
2
121
ff
f
AAAfinalFfinalF
33
43
ff
f
AAAfinalF
El siguiente gráfico, muestra que las fuerzas internas de los elementos son diferentes de
cero, muestras la fuerza exterior es cero.
Los esfuerzos residuales serán:
321
f
RESIDUALRESIDUAL
(Tracción)
33
f
RESIDUAL
(Compresión)
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
189
De la solución elástica se tuvo
EA
PLB
2
3
Además en la descarga UPP
3
4 f
U
AP
Reemplazando esta última ecuación en el desplazamiento, se tendrá el desplazamiento
de descarga:
E
Lf
BDESCARGA
2
Finalmente el desplazamiento residual es:
DESCARGABCARGABRESIDUALB
E
L
E
L
E
L fff
RESIDUALB
23
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
190
Ejemplo 4.8. Estructura elastoplástica perfecta de elementos cargados axialmente
La estructura mostrada en la figura consiste de una viga rígida AB y de 5 alambres
dispuestos simétricamente con respecto a la línea CD. Se aplica la carga P hacia abajo.
El material de los alambres se asume como acero elastoplástico perfecto, con E=200
Gpa. Cada alambre tiene un área de sección igual a 100 mm2. El esfuerzo de fluencia
de los alambres CD, FG y HJ es de f = 500 MPa y el de los alambres MN y RS es de
f = 250 Mpa.
a) despreciando el peso propio de la viga, determinar la magnitud de la carga P y el
desplazamiento vertical correspondiente a la viga AB para la carga Pf que produce
la primer fluencia en la estructura.
b) determinar la magnitud de la carga P y el desplazamiento vertical correspondiente a
la viga AB para la carga Pp que produce la fluencia en todos los alambres de la
estructura.
c) Construir el diagrama carga-desplazamiento vertical de la viga AB.
d) Si la carga plástica Pp se retira gradualmente, determinar las fuerzas residuales en
todos los alambres.
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
191
4.3.2. COMPORTAMIENTO DE ELEMENTOS DE MATERIAL
ELASTOPLÁSTICO SOMETIDOS A FLEXIÓN
Se analizará el comportamiento de una rebanada sometida a la acción de un momento
flector (FLEXIÓN PURA).
Figura 4.32. Flexión en una barra con un eje de simetria
La sección transversal tendrá por lo menos un eje de simetría, que coincidirá con
el plano donde actúan las cargas (figura 4.32)
Hipótesis
1. Se cumple la hipótesis de Navier: “las secciones planas antes de la aplicación de
las cargas, continúan planas luego de la aplicación de las mismas”. En los cursos
de Resistencia de Materiales se demuestra que como consecuencia de esta hipótesis,
las deformaciones unitarias varían linealmente y son proporcionales a la distancia
“y” de la fibra al eje neutro:
y
Si “c” es la distancia de la fibra más alejada del eje neutro, la deformación unitaria
máxima será:
maxmax ;
c
yc
2. El material es homogéneo, elastoplástico ideal. Por lo tanto, la relación esfuerzo-
deformación unitaria - es como se muestra en la figura:
3. Las deformaciones son pequeñas, por lo tanto no varían los puntos de aplicación de
las cargas.
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
192
Comportamiento plástico de una Sección Rectangular
En el rango elástico se cumplen las relaciones conocidas en Resistencia de Materiales:
La ecuación de equilibrio de fuerzas (F=0) permite ubicar el eje neutro en el
centroide de la sección.
La ecuación de equilibrio de momentos conduce a:
I
My
2max
6
bh
M
ffMM max
ff
f
f
bhM
bh
M
6
6 2
2
El valor de 6
2bh, se conoce como el módulo de sección elástico “S”
Si se aplica un momento fMM 1 , las deformaciones unitarias aumentan pero los
esfuerzos no pueden superar el valor de f , por lo que las fibras más alejadas del eje
neutro entran a la etapa plástica. Además:
Se continúa cumpliendo la hipótesis de Navier (secciones siguen planas)
El esfuerzo en las fibras vecinas a las fibras extremas alcanza el valor f.
La altura de las fibras que están aún en etapa elástica es 1h ( hh 1 ). Dentro de este
“núcleo”, la deformación unitaria en cualquier punto es menor o igual a la
deformación unitaria de fluencia f .
h
h
2
h
2
h
1
max
fmax
1
f
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
193
Equilibrio de la sección rectangular
Se cumple por simetría, el eje neutro es el centroide de la sección, a continuación se
relaciona los esfuerzos
f
f h
y
h
y
11
2
2
A continuación, se hace equilibrio de momentos, para ello, se prescinde de los signos:
0M
2
0
2
2
1
1
1
2
h h
h
f dAyydAM
dA = bdy (sección rectangular)
2
0
2
211
1
1
22
h h
h
ff dyybybdyh
yM
2/
0
2/
2/
2
1
1
1
1
2 4 h h
h
f
fdyybdyy
h
bM
12
h
4
hb
4
h
4
h
6
hbM
2
1
2
f
2
1
22
1f1
2
1
2
13
11
4 h
hbhM f
Para hh 1 : f
2
f16
bhMM
Cuando 1M aumenta, el valor de 1h disminuye.
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
194
El máximo valor de 1M será aquel en el cual se presente la deformación unitaria de
ROTURA en la fibra más deformada. Para determinar este valor debe recordarse la
relación :
h
hf 1
max
El valor de la deformación unitaria en la rotura rotura , para algunos metales, puede ser
hasta 0.25, mientras que f alcanza valores entre 0.0012 y 0.004. Por lo tanto: rotura es
del orden de 50 veces mayor que f .
h
hf
f1
max
max50
150
hh
h 02,050
1
Teóricamente se acepta 01 h , que correspondería a un diagrama:
El momento que causa este diagrama se denomina “Momento plástico” ( pM ), y por
equilibrio:
f
2
p4
bhM
A semejanza del módulo de sección elástico “S”, se define el módulo de sección
plástico “Z” como la relación:
f
MpZ
Por otro lado, el giro relativo de una cara de la rebanada, respecto de la otra es
prácticamente total. Se dice entonces que se ha formado una RÓTULA PLÁSTICA.
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
195
Factor de forma
Se denomina “f” factor de forma a la relación S
Z
M
M
f
p
Este factor es una propiedad de la forma de cada sección transversal.
En el caso de la sección rectangular esta relación es:
5.16/
4/2
2
bh
bh
M
Mf
f
p
Otras secciones tienen otros valores, en general, se debe calcular los módulos Z y S para
luego determinar f. Por ejemplo en la sección circular maciza Z = 1.7; en la sección
rombo, f=2.0; en secciones tipo T, I o similares, f=1.1 aproximadamente.
Secciones con un solo Eje de Simetría
Se tratará el caso de secciones con un eje de simetría que coincide con el plano de carga.
En el gráfico se muestra la distribución de esfuerzos. El máximo esfuerzo normal se
presenta en la fibra más alejada del eje neutro (distancia “c”).
Durante el comportamiento elástico (M Mf) la ecuación:
0dA0Fx A
Lo anterior permite afirmar que el eje neutro coincide con el centroide de la sección
transversal.
ff
c
y
cy
En efecto:
0ydAc
dAc
ydA
AA A
ff
A
0dA y
Se denomina Me al momento flector para el cual el esfuerzo en la fibra más alejada
alcanza el valor de f. Cuando el valor del momento aplicado aumenta, comienza el
proceso de plastificación de las fibras más alejadas, variando la posición del eje neutro.
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
196
El desarrollo para valores del momento flector mayores a Me es complicado y tedioso,
debido a que en cada etapa es necesario ubicar al eje neutro por tanteos.
Cuando se produce la plastificación total ( pMM ) la ecuación dAA
se puede escribir:
- 0dAdA 2
A
f1
A
f
21
- 21
A
2
A
1 AA0dAdA
21
Por lo tanto: el eje neutro plástico divide la sección en dos partes, de áreas iguales: Si
“A” es el área total:
AAA2
121
Por otro lado:
21
21
A
f
A
fp ydAdAyM
21 A
2
A
1fp ydAydAM
2211 AyAyM fp
2121
222yy
AAy
AyM
f
fp
(4.45)
La distancia entre centros de gravedad 21
yy , se puede denominar z , donde el
módulo de sección plástica será:
zA
Z2
(4.46)
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
197
El valor de Z, también puede calcularse tomando momentos de las áreas respecto al eje
neutro plástico, ecuación 4.47.
ititicic yAyAZ (4.47)
Donde:
icic yA : es la sumatoria del producto de las áreas en compresión por su centro de
gravedad de cada área respecto al centro plástico.
itit yA : es la sumatoria del producto de las áreas en tracción por su centro de gravedad
de cada área respecto al centro plástico.
Ejemplo 4.9. Calcular el factor de forma de la sección “T”, mostrada
(Unidades en mm)
Calculando el centro de gravedad se tiene:
Parte A y yA
1 2000 160 320000
2 3000 75 225000
5000 545000
mmA
yAy 109
Respecto al centro de gravedad se obtiene el momento de inercia:
23
23
)75109(300012
15020)109160(2000
12
20100
XI
4667.14361 mmIX
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
198
Con lo que se obtiene el módulo de sección elástico “S”:
3
max
56.131109
667.14361mm
c
IS X
Ahora calcularemos el módulo de sección plástico, para ello calcularemos primero el eje
neutro plástico. El eje neutro plástico se obtiene igualando áreas en compresión y
tracción:
20)·150(202000 dd
mmd 25
Tomando momentos de las áreas respecto al eje neutro plástico, se obtiene:
ititicic yAyAZ
)2/125)(25150(20)2/25(2520)2510(10020 Z 3232500mmz
Finalmente el factor de forma es:
765.176.131
232500
S
Zf
Esfuerzos Residuales en Flexión Pura
Cuando en un elemento sometido a flexión pura, el momento flector alcanza un valor
M1 > Me, algunas fibras de la sección transversal llegarán a plastificarse. Si la descarga
se produce de manera “elástica”. La sección transversal permanecerá con esfuerzos, los
cuales se denominan “residuales” a pesar de que el momento aplicado sea nulo.
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
199
Ejemplo 4.10. Para una sección transversal rectángular, se determinarán los esfuerzos
residuales luego de efectuarse la descarga, para un elemento de sección rectangular
(bxh) sobre el cual se ha aplicado un momento flector M1, de tal manera que la altura de
las fibras que se mantienen en la etapa elástica es h/2.
Se sabe que:
2
1
2
13
11
4 h
hbhM f ; como
2
1
2
11
h
hhh
ff
bhbhM
48
11
12
11
4
22
1
En el retorno elástico los esfuerzos normales responden a la fórmula:
33
12
12/ bh
My
bh
My
I
My
En este caso M = M1:
Por lo tanto, los esfuerzos que se producen en el retorno son:
yh
ybh
bh
f
f4
11
48
1112 2
3
Para la fibra superior 2/hy :
8
11
24
11 ff h
h
Para la fibra intermedia 4/hy :
16
11
44
112
ff h
h
Los esfuerzos residuales serán:
Para la fibra superior 2/hy :
8
3
8
11 ff
fR
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
200
Para la fibra intermedia 4/hy :
16
5
16
11 ff
fR
El equilibrio de fuerzas y momentos es de sencilla comprobación:
Fuerzas Horizontales: Aparecen cuatro fuerzas que se anulan puesto que las de
tracción son iguales en magnitud a las de compresión.
Momentos: Los dos pares que se producen son de la misma magnitud y de sentido
contrario.
Ejemplo 4.11. Calcular los esfuerzos residuales de la sección tubular cuadrada, si el
esfuerzo de fluencia es MPaf 240
Calculando primero el momento plástico Mp. hasta que la sección se plastifique.
2·)5.7(15152)1515(6030240 pM
mmNxM p .1054.27 6
Luego se retira el momento plástico Mp. y se aplica un momento de descarga con valor
igual al momento plástico y se obtiene un esfuerzo máximo elástico:
I
yM p max
max
443
357750012
309060mmI
MPax
x42.346
10577.3
45)1054.27(6
6
max
Finalmente se hace la superposición de efectos:
MParesid 42.10642.346240sup.
MParesid 42.106inf.
MPacentro 2400240
MPacentro 2400240
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
201
Deformación permanente después de la descarga
Para las fibras que se encuentran en etapa elástica se puede aplicar la expresión:
y
Ey
E
yy
/
En este caso la fibra más alejada del eje neutro que se encuentra en etapa elástica es y = h/4:
16
5 f
fff
EhEhhE
8.0
5
4
4
16
5
Si, por ejemplo el elemento analizado tuviera una sección de 25x50 cm. y fuese de un
material cuyo GPaE 200 y MPaf 250 , tendríamos:
mx
x320
10250
50.01028.0
6
11
RELACION MOMENTO-CURVATURA EN RANGO POST ELÁSTICO PARA
MATERIALES DUCTILES (ACERO ESTRUCTURAL)
En la etapa elástica, la curvatura es proporcional al momento flector, es decir que si
fM es el momento que produce la primera fluencia, para fMM se cumple, que la
curvatura elástica es:
EIM //1
Donde: es el radio de curvatura.
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
202
Si fMM se logra la curvatura de fluencia EIM ff /
Se puede entonces escribir una relación adimensional para la relación momento
curvatura en el rango elástico, dividiendo las curvaturas anteriores:
fMf
M
para fMM 0 (a)
Cuando el momento es mayor a fM , parte de la viga se vuelve plástica. La relación
entre momento y curvatura se vuelve no lineal. (Ver figura 4.33)
Figura 4.33. Diagrama momento curvatura para una viga de material elastoplástico
Para el caso particular de una sección rectangular (figura 4.34). La parte en fluencia
está representada por la parte achurada en los extremos, y la parte aún elástica se define
con la distancia “e” desde el eje neutro hasta el borde en fluencia. En la figura 4.34 se
muestra también la distribución de esfuerzos.
El momento en la sección rectangular de la figura 4.34 se deduce de la distribución de
esfuerzos:
3
2
22
2ebe
he
hbM ff (b)
Figura 4.34. Distribución de esfuerzos en una viga de sección transversal rectangular
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
203
El momento anterior, corresponde a una parte elástica y a otra plástica, tal como se
muestra:
M = M (zona elástica) + M (zona plástica)
2
2
2
222
2
32
2
3
6 h
eM
h
ebhM f
f (c)
La curvatura es y/ , por lo que en las fibras que están al borde del límite
elástico:
Eff / y )/(Eef (d)
Esta ecuación (d) puede expresarse en forma adimensional introduciendo la expresión
de la curvatura de fluencia aplicado a la sección rectangular, donde e=h/2:
EhEIM fff /2/ (e)
Combinando las ecuaciones (d) y (e):
e
h
f 2
(f)
Reemplazando la ecuación (f) en la ecuación (c), se obtiene la relación momento-
curvatura de forma adimensional:
2
2
22
3
f
fM
M (válido para Mf M Mp)
De esta última relación se puede despejar la curvatura en función de los momentos, la
que se grafica en la figura 4.35
f
f
M
M23
1
(válido para Mf M Mp)
Si el momento M tiende al valor del momento plástico pM , la relación fp MMf /
tiende al valor 1.5, con lo que el denominador tiende a cero (curvatura tiende a infinito).
Para otras secciones transversales, se puede obtener las relaciones momento versus
curvatura de modo similar. En la figura 4.35, se muestran también las gráficas de esas
ecuaciones para una sección rombo, una circular y una de patín ancho (o ala ancha).
En cada caso, el diagrama consiste en una línea recta que representa la región
linealmente elástica, seguida por una línea curva que representa la región donde la
sección de la viga es parcialmente plástica y parcialmente elástica. La deformación de
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
204
la viga está controlada por la deformación de la parte elástica; a este comportamiento se
le denomina “flujo plástico controlado”
Figura 4.35. Diagrama momento curvatura para vigas de material elastoplástico
Cuando la curvatura se vuelve muy grande, cada una de las curvas de la figura 4.35 se
aproxima a una asíntota horizontal. Si la deformación aumenta sin mayor incremento
del momento, se estará pasando a un estado denominado “flujo plástico incontrolado”
con un momento igual al momento plástico pM . En este momento se ha formado una
“articulación plástica” o “rótula plástica”.
ARTICULACIÓN PLÁSTICA o RÓTULA PLÁSTICA
Cuando una viga está sometida a cargas crecientes, en una sección determinada de esta
viga se puede alcanzar un momento flector igual al momento de fluencia fM . La fibra
más esforzada de la sección empieza a fluir; al crecer el momento, más fibras de esa
sección entrarán en fluencia, y en las secciones adyacentes, los valores del momento
flector también irán alcanzando y superando el valor del momento fM . Este proceso
de aumento de carga y consiguiente aumento de los momentos en la viga puede
continuar hasta que en la primera sección en que se inició la fluencia, se alcanza el
momento plástico pM ; en las secciones adyacentes, el momento flector aún no alcanza
el valor pM , pero ya ha superado el valor de fM . La parte de la viga donde recién se
ha alcanzado el momento fM y hasta la parte donde el momento alcanza pM , nos da
la longitud de la articulación plástica pL .
La relación momento versus curvatura (M versus ) de la sección puede usarse para
reflejar en cada sección donde se conoce el momento flector, cuánta es la curvatura.
Recordemos que mientras el momento M esté debajo de fM , la relación M vs. es
lineal. Para valores de fMM la curvatura crece de modo pronunciado, hasta que en
el límite que pMM , la curvatura se hace infinita.
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
205
La figura 4.36 ilustra los conceptos anteriores aplicados a una viga simplemente
apoyada, de longitud total L, sometida a una carga P en el centro de la luz. El momento
flector varía linealmente; el máximo se produce en el centro y es igual a 4/PL .
Figura 4.36. Viga Parcialmente plástica
La longitud de la rótula plástica Lp (figura 4.37), puede calcularse a partir del hecho que
en la orilla de la zona plástica, el momento es igual a fM . Por lo tanto,
2/2/ pf LLPM (a)
La carga se obtiene del hecho que 4/PLM p ; luego:
LMP p /4 (b)
Sustituyendo (b) en (a) se puede despejar pL :
)/11()/1( fLMMLL pfp
Siendo f el factor de forma. Para una sección rectangular, 5.1f , y la longitud pL sale
3/LLp ; para una viga con sección de ala ancha, 1.1f a 1.2, con lo que Lp sale
0.09 L a 0.17 L; es decir, la longitud de la zona plástica es mucho menor en una viga de
ala ancha que en una viga rectangular.
Figura 4.37. Viga con articulación plástica
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
206
Aún cuando la zona plástica puede extenderse sobre una longitud apreciable de la viga,
la curvatura tiende a concentrarse en la sección transversal de la rótula plástica (figura
4.36c). Por lo tanto, en muchos casos, se puede despreciar las dimensiones o longitud
de la rótula plástica.
Factor de Carga
La carga que inicia la fluencia es fP , cuando 4/PLM alcanza fM , es decir:
4/LPM ff ó LMP ff /4
La carga última uP es aquella en la que la viga alcanza su máxima capacidad por estar
próxima al colapso. En el caso de las vigas isostáticas, la carga última se logra apenas
se forma la primera rótula plástica.
Se denomina “factor de carga” a la relación fu PP / , esto es, el incremento de carga
desde la primera fluencia, hasta el colapso de la viga.
En el caso de la viga simplemente apoyada anterior, LMP pu /4 , por lo que:
Factor de carga fMMLMLMPP fpfpfu //4//4/
Generalizando, se puede decir que en vigas isostáticas, el factor de carga es igual al
factor de forma de la sección.
En vigas hiperestáticas, el factor de carga es en general mayor al factor de forma de la
sección. Veamos por ejemplo la viga biempotrada AB de longitud L y sección
transversal constante, sometida a carga uniforme “w”.
La solución elástica nos da que los momentos máximos se dan en los empotramientos A
y B, y valen: 12/2
max LMM f (en valor absoluto).
Para el inicio de la fluencia, 12/2
max LMM f , por lo que: 2/12 LMw ff
Al seguir incrementando la carga se formarán rótulas plásticas en ambos
empotramientos, llegándose a una carga w1,2 (usamos dos subíndices para indicar que se
forman dos rótulas simultáneamente). Si la capacidad de la sección de la viga es pM ,
entonces 2
2,1 /12 LMw p . En este momento la sección en el centro del tramo tiene un
momento positivo 2/24/2
2,1 pc MLwM .
Pero la viga aún puede seguir tomando más carga, hasta la formación de la tercera rótula
plástica y el consiguiente “mecanismo de colapso” tipo viga.
La tercera rótula en el centro C ocurre cuando la carga w aumenta hasta que pc MM :
ppc MwLMM 8/2/ 2
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
207
Se despeja : 2/4 LMw p
La carga última o carga de colapso es uw
22
2,1 /4/12 LMLMwww ppu
2/16 LMw pu
El factor de carga es en este caso 22 /12//16/ LMLMww fpfu
3/4/3/4/ fMMww fpfu (f: factor de forma)
Si la sección fuera rectangular, con 5.1f , entonces 2/ fu ww .
Deflexiones de materiales dúctiles en comportamiento post-elástico
Las deflexiones en vigas inelásticas se pueden determinar mediante métodos similares a
los utilizados para vigas elásticas, pero con cálculos mucho más complicados por la
relación no lineal que hay entre los momentos y las curvaturas.
EIM //1 es la curvatura en el rango elástico.
Para deformaciones pequeñas y despreciando efectos de cortante, 22 / dxyd
En una viga inelástica, debe emplearse una expresión adecuada para las curvaturas y
luego se puede proceder al método de la doble integración.
Otro método es usar una versión generalizada de los teoremas de área de momento, los
que ahora se enuncian como método del área de curvaturas.
Primer Teorema
El ángulo entre las tangentes a la curva deformada de una viga entre dos puntos A y B
es igual al área del diagrama de curvaturas entre tales puntos.
Segundo Teorema
La desviación tangencial definida como la distancia entre la curva deformada en el
punto B a la tangente trazada desde el punto A es igual al primer momento del área del
diagrama de curvaturas entre tales puntos, respecto al punto B.
Estos dos teoremas permiten obtener las pendientes (o ángulos) y las deflexiones de
vigas inelásticas, de la misma forma que los teoremas de área de momentos se utilizan
para vigas elásticas.
Como el diagrama de curvaturas no suele tener expresión en términos de funciones
simples, generalmente se requiere encontrar las áreas y los primeros momentos de las
áreas de los diagramas en forma numérica. Luego, se pueden emplear los dos teoremas
anteriores para determinar deflexiones y pendientes.
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
208
Las limitaciones de este procedimiento son que sólo es válido para vigas con secciones
transversales doblemente simétricas, para materiales con el mismo diagrama esfuerzo
deformación tanto en tracción como en compresión, y que ya no se puede aplicar el
principio de superposición.
Ejemplo 4.12. Una viga en voladizo AB que soporta una carga concentrada P en su
extremo libre (ver figura) se construye con un material elastoplástico. Determinar el
ángulo de rotación y la deflexión en el extremo libre de la viga desde el inicio de la
carga hasta la falla, suponiendo que la viga tiene sección transversal rectangular
Empecemos por trazar un esquema del diagrama de momento flexionante para la viga.
Vemos así que el momento máximo es igual a PL, y mientras este valor sea menor que
el momento de fluencia Mf, la viga será completamente elástica. Para el intervalo
elástico tenemos, la rotación y la deflexión
EI
PL
2
2
EI
PL
3
3
La carga de fluencia Pf que produce la fluencia de la viga está dada por la ecuación
L
MP
f
f (a)
En ángulo f , y la deflexión f causados por esta carga son
EI
LPf
f2
2
; EI
LPf
f3
3
(b)
En forma adimensional, se expresa el ángulo de rotación y la deflexión para todo el
intervalo elástico mediante las siguientes ecuaciones
ff P
P
;
ff P
P
10
fP
P (c)
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
209
Cuando el momento máximo en la viga excede Mf, la viga tendrá dos regiones: (1) una
región de comportamiento elástico y (2) una región de comportamiento elastoplastico,
como se indica en el diagrama de curvaturas de la siguiente figura.
En la región 1 la curvatura es
EI
Px (d)
En la región 2 es:
f
f
MPx /23
(e)
Donde EIMx ff / . La longitud 1x de la región elástica se encuentran a partir de la
ecuación fMPx 1 , tal que
P
Mx
f1 (f)
El ángulo en el extremo de la viga, a partir del primer teorema del área de curvaturas, es
igual al área total del diagrama mencionado:
L
x f
fx
MPx
dx
EI
Pxdx
1
1
0/23
ff
ffMPLMPx
P
M
EI
Px/23/23 1
2
1
Si sustituimos fx por EIM f / , 1x por PM f / y fM por LPf , la ecuación anterior
resulta
f
f
y
PPP
P/2323
para
2
30
fP
P (g)
La figura siguiente, muestra la carga en función del ángulo de rotación para la viga en
voladizo, en la cual f está dada por la ecuación (b), ésta ecuación es valida hasta que el
momento máximo en la viga resulta igual al momento plástico pM , el cual corresponde
a 2/3/ fPP
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
210
En el instante en que fPP / alcanza este valor, el ángulo de rotación es 2/ f . La
deflexión en el extremo de la viga se calcula a partir del segundo teorema del área de
curvaturas, como sigue:
L
x f
fx
MPx
xdx
EI
dxPx
1
1
0
2
/23
Evaluando estas integrales y efectuando las mismas sustituciones que para la ecuación
(g) obtenemos
ff
f
f P
P
P
P
P
P 2335
2
para
2
31
fP
P (h)
En la cual f está dada por la ecuación b. Cuando fPP / es igual a 3/2, la deflexión es
9/20/ f . A continuación se muestra el gráfico adimensional relación de cargas
versus relación de desplazamientos.
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
211
4.3.3. DIAGRAMA MOMENTO-CURVATURA POST-ELÁSTICO DE
SECCIONES DE CONCRETO ARMADO
El diagrama de Momento-Curvatura, de secciones de concreto, depende principalmente
de los diagramas esfuerzo deformación de los materiales que lo conforman es decir del
concreto y del acero de refuerzo
Las gráficas de esfuerzo deformación del concreto a compresión tienen una rama
ascendente casi lineal cuya pendiente varia de acuerdo a la resistencia y se extiende
hasta aproximadamente 1/3 f´c a 1/2 f´c. Posteriormente adoptan la forma de una
parábola invertida cuyo vértice corresponde al esfuerzo máximo en compresión. Luego
tienden a descender, hasta la ruptura. Para ello basado en ensayos de laboratorio y
fórmulas matemáticas se ha llegado a diferentes modelos tales como.
a. Modelo de Hognestad (1951)
b. Modelo de Mander
c. Modelo de Kent – Park
d. Modelo europeo CEB
e. Modelo de Desayi –Krishnan
El modelo para el concreto que vamos a desarrollar en el curso de mecánica estructural
es el modelo de Hognestad que es para un concreto no confinado, además de ser el
modelo más conocido.
Por otro lado los diagramas esfuerzo deformación de las varillas corrugadas ASTM 615-
Grado 60 (varillas de construcción), pueden ser:
a. Modelo elastoplástico
b. Modelo Bilineal
c. Modelo Trilineal
d. Modelo considerando endurecimiento por deformación (Mander)
El modelo para el acero más utilizado es el elastoplástico ya que es el más simplificado,
pero hay otros mas sofisticados que consideran el endurecimiento por deformación
(Mander), basado en este modelo, se puede plantear la siguiente curva esfuerzo
deformación para el acero corrugado (figura 4.38)
Figura 4.38. Diagrama esfuerzo deformación del acero propuesto por Mander
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
212
El modelo para el acero que vamos a desarrollar en el curso de mecánica estructural es
el modelo elastoplástico, que es el más sencillo para utilizar.
Modelo Hognestad para concreto
La curva de Hognestad tiene puntos característicos, comienza con una parábola
invertida en el origen y que tiene un vértice en las coordenadas ( 0 , cf ), donde el
valor de 0 , se considera como 0.002:
Donde:
cf : Esfuerzo máximo de compresión del concreto
0 : Deformación del concreto para el esfuerzo máximo
La ecuación de la parábola es la siguiente:
0c
2
00
ε0 para 2
)(
cc
cc ff (4.48)
Llegando al vértice donde el valor del esfuerzo del concreto cf es el máximo y la
deformación tiende a un valor de 0.002, la curva se convierte en línea recta de
pendiente negativa, cuya ecuación es:
u
u
cccc
fff
c0
0
0 ε para )(
)·(·15.0)( (4.49)
Según el modelo de Hognestad la deformación de ruptura se da para un valor de
0040.0u y un esfuerzo del cf 85.0 . A continuación se muestra en la figura 4.38,
una curva característica de resistencia del concreto según Hognestad.
Figura 4.38. Diagrama esfuerzo deformación
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
213
De ensayos de laboratorio se pueden sacar varias conclusiones:
a. La deformación correspondiente a los esfuerzos máximos para la mayoría de
concretos en compresión es aproximadamente de 0.002.
b. En la parte descendente del diagrama los concretos menos resistentes tienen
menor pendiente que los concretos de mayor resistencia.
c. Los concretos de mayor resistencia tienen mayor módulo de elasticidad.
Para determinar la fuerza resultante que actúa en la sección transversal del elemento
y la distancia donde actúa esta fuerza con respecto a la parte superior se calculan
coeficientes, denominados k1 y k2, que van a representar porcentajes de área
rectangular y de distancia respectivamente.
Estos valores de k1 y k2 se pueden determinar de la siguiente manera.
Determinación de k1:
El coeficiente de k1 es un porcentaje del área por debajo de la parábola o por debajo de
la curva con respecto al área de un rectángulo de valor f´c·c, entonces solo es una
relación:
Para oc εε0
cc
c
c
f
df
k
0
2
00
1
2
Desarrollando la integral se tiene:
2
0
0
1
)3(
3
1
c
ck
(4.50)
Para uc 0
cc
u
c
cc
f
df
fdf
k
c
0
00 0
0
2
00
1
)(100
)(152
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
214
Desarrollando la integral se tiene:
))((
)91021203140(
120
1
0
2
0
2
0
1
cu
ccucuok
(4.51)
Determinación de k2:
El coeficiente de k2 es un porcentaje de distancia de la diferencia de xxc con
respecto al valor de la deformación c, entonces la relación será:
Para 00 c
c
c
df
df
k
c
c
c
c
0
2
00
0
2
00
2
2
2
1
Desarrollando la integral se tiene:
)3(
)4(
4
1
0
0
2
c
ck
(4.52)
Para uc 0
0
0
0
0
0 0
0
2
00
0 0
0
2
00
2
)(100
)(152
)(100
)(152
1
c
c
df
fdf
df
fdf
k
u
ccc
u
ccc
c
c
Desarrollando la integral se tiene:
uc 0
)91021203140(
71035160314012
0
2
00
3
0
2
0
3
0
222
002
ccucu
uccuccuc
c
k
(4.53)
Finalmente estos coeficientes k1, k2 nos servirán para evaluar la fuerza resultante
generada por los esfuerzos de compresión y la ubicación del punto de aplicación de
la fuerza, respectivamente.
A continuación se muestran los valores de k1 y k2
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
215
VALORES K1, K2 DE HOGNESTAD
Para diferentes f´c del concreto
eo = 0.002000 mm/mm
eu= 0.004 mm/mm
Deformación k1 k2 Deformación k1 k2 Deformación k1 k2
0.000000 0.00000 0.00000 0.001300 0.50917 0.35638 0.002550 0.73411 0.39436
0.000050 0.02479 0.33403 0.001325 0.51620 0.35695 0.002575 0.73629 0.39525
0.000075 0.03703 0.33439 0.001350 0.52313 0.35753 0.002600 0.73840 0.39613
0.000100 0.04917 0.33475 0.001375 0.52995 0.35811 0.002625 0.74045 0.39701
0.000125 0.06120 0.33511 0.001400 0.53667 0.35870 0.002650 0.74245 0.39788
0.000150 0.07313 0.33547 0.001425 0.54328 0.35929 0.002675 0.74439 0.39875
0.000175 0.08495 0.33584 0.001450 0.54979 0.35989 0.002700 0.74628 0.39961
0.000200 0.09667 0.33621 0.001475 0.55620 0.36050 0.002725 0.74812 0.40047
0.000225 0.10828 0.33658 0.001500 0.56250 0.36111 0.002750 0.74991 0.40132
0.000250 0.11979 0.33696 0.001525 0.56870 0.36173 0.002775 0.75164 0.40217
0.000275 0.13120 0.33734 0.001550 0.57479 0.36236 0.002800 0.75333 0.40302
0.000300 0.14250 0.33772 0.001575 0.58078 0.36299 0.002825 0.75498 0.40385
0.000325 0.15370 0.33811 0.001600 0.58667 0.36364 0.002850 0.75658 0.40469
0.000350 0.16479 0.33850 0.001625 0.59245 0.36429 0.002875 0.75813 0.40551
0.000375 0.17578 0.33889 0.001650 0.59813 0.36494 0.002900 0.75964 0.40633
0.000400 0.18667 0.33929 0.001675 0.60370 0.36561 0.002925 0.76111 0.40715
0.000425 0.19745 0.33969 0.001700 0.60917 0.36628 0.002950 0.76254 0.40796
0.000450 0.20813 0.34009 0.001725 0.61453 0.36696 0.002975 0.76393 0.40876
0.000475 0.21870 0.34050 0.001750 0.61979 0.36765 0.003000 0.76528 0.40956
0.000500 0.22917 0.34091 0.001775 0.62495 0.36834 0.003025 0.76659 0.41035
0.000525 0.23953 0.34132 0.001800 0.63000 0.36905 0.003050 0.76787 0.41114
0.000550 0.24979 0.34174 0.001825 0.63495 0.36976 0.003075 0.76910 0.41192
0.000575 0.25995 0.34217 0.001850 0.63979 0.37048 0.003100 0.77031 0.41269
0.000600 0.27000 0.34259 0.001875 0.64453 0.37121 0.003125 0.77148 0.41346
0.000625 0.27995 0.34302 0.001900 0.64917 0.37195 0.003150 0.77262 0.41423
0.000650 0.28979 0.34346 0.001925 0.65370 0.37270 0.003175 0.77372 0.41498
0.000675 0.29953 0.34390 0.001950 0.65813 0.37346 0.003200 0.77479 0.41574
0.000700 0.30917 0.34434 0.001975 0.66245 0.37422 0.003225 0.77583 0.41648
0.000725 0.31870 0.34479 0.002000 0.66667 0.37500 0.003250 0.77684 0.41723
0.000750 0.32813 0.34524 0.002025 0.67077 0.37579 0.003275 0.77782 0.41796
0.000775 0.33745 0.34569 0.002050 0.67475 0.37660 0.003300 0.77878 0.41869
0.000800 0.34667 0.34615 0.002075 0.67861 0.37743 0.003325 0.77970 0.41942
0.000825 0.35578 0.34662 0.002100 0.68236 0.37828 0.003350 0.78059 0.42014
0.000850 0.36479 0.34709 0.002125 0.68600 0.37914 0.003375 0.78146 0.42085
0.000875 0.37370 0.34756 0.002150 0.68953 0.38000 0.003400 0.78230 0.42156
0.000900 0.38250 0.34804 0.002175 0.69296 0.38088 0.003425 0.78312 0.42227
0.000925 0.39120 0.34852 0.002200 0.69629 0.38177 0.003450 0.78391 0.42297
0.000950 0.39979 0.34901 0.002225 0.69952 0.38266 0.003475 0.78468 0.42366
0.000975 0.40828 0.34950 0.002250 0.70266 0.38355 0.003500 0.78542 0.42435
0.001000 0.41667 0.35000 0.002275 0.70571 0.38445 0.003525 0.78613 0.42503
0.001025 0.42495 0.35050 0.002300 0.70868 0.38536 0.003550 0.78683 0.42571
0.001050 0.43313 0.35101 0.002325 0.71156 0.38626 0.003575 0.78750 0.42639
0.001075 0.44120 0.35152 0.002350 0.71436 0.38717 0.003600 0.78815 0.42706
0.001100 0.44917 0.35204 0.002375 0.71708 0.38807 0.003625 0.78878 0.42772
0.001125 0.45703 0.35256 0.002400 0.71972 0.38897 0.003650 0.78938 0.42838
0.001150 0.46479 0.35309 0.002425 0.72229 0.38988 0.003675 0.78997 0.42904
0.001175 0.47245 0.35363 0.002450 0.72479 0.39078 0.003700 0.79053 0.42969
0.001200 0.48000 0.35417 0.002475 0.72722 0.39168 0.003725 0.79107 0.43034
0.001225 0.48745 0.35471 0.002500 0.72958 0.39258 0.003750 0.79160 0.43098
0.001250 0.49479 0.35526 0.002525 0.73188 0.39347 0.003775 0.79210 0.43162
0.001275 0.50203 0.35582 0.004000 0.79583 0.43717
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
216
En concreto armado se define ductilidad de una seccíón a la capacidad de deformación
que tiene, se expresa como
f
u
(4.54)
Donde:
Ductilidad de la sección
u Curvatura última
f Curvatura de fluencia
Además, ya hemos definido curvatura anteriormente como la relación y/ .
En concreto armado hay varias maneras de calcular los puntos o coordenadas del
diagrama momento-curvatura, se puede considerar un primer punto cuando ocurre el
primer agrietamiento de la sección, un segundo punto la fluencia del acero y un tercer
punto cuando ocurre la fractura del concreto; está manera es la que vamos a utilizar en
el siguiente ejemplo, para una sección simplemente reforzada. El procedimiento usual
es darse valores de deformación del concreto obtener los valores de 1k y 2k , realizar la
compatibilidad de deformaciones, realizar el equilibrio de momento, obtener las
variables como la profundidad del bloque en compresión y si el acero fluye o no (el
valor máximo del esfuerzo del acero es de f , por ser elastoplástico).
Ejemplo 4.13. Calcular la ductilidad de sección de la vigueta simplificada de losa
aligerada de 10cmx20cm, que cuenta con dos aceros de refuerzo, de diámetro 3/8” con
un recubrimiento de 2.50 cm al eje de las varillas. El esfuerzo de fluencia del acero es
de 2/4200 cmkgfyf y la resistencia del concreto es 2/210' cmkgcf
2/210 cmkgfc 26 /102 cmkgxEs 2/4200 cmkgf 2/217370 cmkgEc
cmd 5.17 9n Aproximado (relación de módulos de elasticidad)
a) Primer punto del diagrama momento curvatura: agrietamiento del concreto,
transformando el área de acero a un área de concreto en comportamiento elástico
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
217
)8(42.1)20(10
)5.17)(8)(42.1()10)(20(10
y
36.211
8.2198y
cmy 40.10
223
)1.7)(8)(42.1()40.0)(20(1012
)20(10I
432.7271 cmI
Calculando el esfuerzo de agrietamiento del concreto se tiene:
cR ff 2
2/98.28 cmkgfR 2/29 cmkgfR (Redondeando)
Calculando el momento correspondiente, éste será el momento de agrietamiento de
la sección
6.9
28.210868
)40.1020(
)32.7271(29
)20(
y
IfM R
cr
cmkgM cr .44.21965
mkgM cr .65.219
Determinando el esfuerzo en el concreto Cf
2/42.3132.7271
)40.10(44.21965·cmkg
I
yM
S
Mf crcr
C
La deformación del concreto será:
410·445.1217370
42.31 C
CC
E
f
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
218
La ductilidad correspondiente es:
4.10
10445.1 4
c
C
cm/1039.1 5
b) Fluencia del acero: se determinará una fórmula para determinar la ubicación del
eje neutro “c”
fsc Abcfk 1
)( 2ckdAM fsn
)( 21 ckdbcfkM cn
Sabemos que 1k toma el valor de la siguiente ecuación siempre y cuando la
deformación del concreto esté en el rango de 002.0εε0 oc :
2
0
01
)3(
3
1
c
ck
Reemplazando se tiene:
fsc
c
c Abcf
2
0
0 )3(
3
1
De la compatibilidad de las deformaciones del gráfico anterior se tiene:
)(
·
cd
cf
c
Reemplazando en la ecuación anterior se tiene:
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
219
fscc
c Acbf
)3(3
1 2
02
0
fs
ffc Accd
c
cd
cbf
2
2
0
2
0)(
)(
)(
3
3
1
fs
ffc Accd
ccdcbf
2
2
0
2
0)(
)()(3
3
1
222
02
0
)()()(33
1cdAccccd
bffsff
c
22222
002
0
2333
1cdcdccccd
A
bffff
fs
c
Finalmente se tiene una ecuación cúbica, donde se obtiene “c”, para la condición de
fluencia del acero de refuerzo, denominaremos a esta ecuación (4.55). Notar que
esta ecuación solo es aplicable para secciones donde se tiene solamente acero en
tracción (es decir trabaja solamente en flexión) y no tiene carga axial.
22
0
232
02
0
23(33
1cdcdccd
A
bffff
fs
c
(4.55)
Finalmente reemplazando se tiene:
22
2
232
)5.17(25.17)4200)(42.1()002.0(
)0021.0)(002.0(30021.0()0021.0)(002.0)(5.17(3)10)(210(
3
1cc
cc
232 3525.3060021126.00002205.072.29342 cccc 025.3063547.55.0 23 ccc
645.12
159.6
864.7
íc
La respuesta válida sería c=6.159cm, con este valor hay que verificar la
deformación de 002.0c , ya que el 1k utilizado fue para 002.0εε0 oc
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
220
341.11
)159.6(0021.0c
00114.0c
Calculando la curvatura de fluencia
159.6
00114.0
c
cf
51051.18 f 1/cm
Calculando el momento de fluencia
)( 2ckdfAM ysf
c
cok
0
23
4
4
1
00114.0)002.0(3
00114.0)002.0(4
4
12k
353.02 k
))159.6(353.05.17)(4200(42.1 fM
cmkgM f .5.91403
mkgM f .914
c) Rotura de concreto
43717.0
79583.00040.0
2
1
k
kcu
cmc 568.3)10)(210(79583.0
)4200(42.1
Calculando la curvatura última
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
221
568.3
004.0
c
cu
5101.112 u 1/cm
Calculando el momento:
)( 2cKdAM fsn
))568.3(43717.05.17)(4200(42.1 nM
cmkgMn .22.95067 mkgMn .67.950
Se muestra a continuación, un diagrama momento curvatura simplificado, para tres
puntos calculados, más adelante se mostrará el diagrama completo con más puntos,
donde se podrá notar las diferencias
Calculando la ductilidad de curvatura de la sección, se tiene:
5
5
1051.18
101.112
f
u
056.6
A continuación, se muestra una tabla desarrollada en el programa Mathcad, a detalle,
considerando en la columna 1 la deformación (incrementos de deformación del concreto
de 0.0002), la 2da y 3ra columna los valores de k1 y k2 del modelo de Hognestad, la 4ta
columna los valores de “c” (altura del bloque comprimido), la 5ta columna, el esfuerzo
del acero en tracción, la 6ta columna el momento flector (en Tn·m) y finalmente la 7ma
columna la curvatura de la sección (1/cm).
Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla
Profesor: José Acero Martínez
222
El siguientes gráfico muestra el diagrama momento curvatura, con los datos de la tabla
anterior, se muestra como la resistencia, se incrementa ligeramente, antes de llegar a la
deformación máxima.