Cap. 4: TEOR IA DE AUTOMATAS · 2019-04-03 · Entrada: cadena de s mbolos de algun alfabeto nito....
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AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Curso de posgrado MATEMATICA DISCRETA
T. N. Hibbard - J. F. Yazlle
Facultad de Ciencias Exactas
Universidad Nacional de Salta
Cap. 4: TEORIA DE AUTOMATAS
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas
Un automata es una maquina abstracta que recibe unaentrada y produce una salida.
Entrada: cadena de sımbolos de algun alfabeto finito.
Salida: ıdem, tal vez de otro alfabeto.
Veremos cuatro clases de automatas:
→ Automatas finitos.
→ Maquinas secuenciales.
→ Maquinas de Turing.
→ Automatas de pila.
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K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
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Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas
Un automata es una maquina abstracta que recibe unaentrada y produce una salida.
Entrada: cadena de sımbolos de algun alfabeto finito.
Salida: ıdem, tal vez de otro alfabeto.
Veremos cuatro clases de automatas:
→ Automatas finitos.
→ Maquinas secuenciales.
→ Maquinas de Turing.
→ Automatas de pila.
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Un lenguaje nocomputable
Automatas
Un automata es una maquina abstracta que recibe unaentrada y produce una salida.
Entrada: cadena de sımbolos de algun alfabeto finito.
Salida: ıdem, tal vez de otro alfabeto.
Veremos cuatro clases de automatas:
→ Automatas finitos.
→ Maquinas secuenciales.
→ Maquinas de Turing.
→ Automatas de pila.
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K(Σ) y losconjuntosregulares
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Un automata es una maquina abstracta que recibe unaentrada y produce una salida.
Entrada: cadena de sımbolos de algun alfabeto finito.
Salida: ıdem, tal vez de otro alfabeto.
Veremos cuatro clases de automatas:
→ Automatas finitos.
→ Maquinas secuenciales.
→ Maquinas de Turing.
→ Automatas de pila.
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Un automata es una maquina abstracta que recibe unaentrada y produce una salida.
Entrada: cadena de sımbolos de algun alfabeto finito.
Salida: ıdem, tal vez de otro alfabeto.
Veremos cuatro clases de automatas:
→ Automatas finitos.
→ Maquinas secuenciales.
→ Maquinas de Turing.
→ Automatas de pila.
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Un automata es una maquina abstracta que recibe unaentrada y produce una salida.
Entrada: cadena de sımbolos de algun alfabeto finito.
Salida: ıdem, tal vez de otro alfabeto.
Veremos cuatro clases de automatas:
→ Automatas finitos.
→ Maquinas secuenciales.
→ Maquinas de Turing.
→ Automatas de pila.
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Entrada: cadena de sımbolos de algun alfabeto finito.
Salida: ıdem, tal vez de otro alfabeto.
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Entrada: cadena de sımbolos de algun alfabeto finito.
Salida: ıdem, tal vez de otro alfabeto.
Veremos cuatro clases de automatas:
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Un lenguaje nocomputable
Alfabetos, palabras y lenguajes
Alfabeto Σ: Conjunto finito de sımbolos o letras.
Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.
Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.
Concatenacion de las palabras u y v :La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .Una palabra es una concatenacion de sımbolos.u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .
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K(Σ) y losconjuntosregulares
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Alfabeto Σ: Conjunto finito de sımbolos o letras.
Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.
|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.
Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.
Concatenacion de las palabras u y v :La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .Una palabra es una concatenacion de sımbolos.u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .
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Alfabeto Σ: Conjunto finito de sımbolos o letras.
Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.
ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.
Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.
Concatenacion de las palabras u y v :La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .Una palabra es una concatenacion de sımbolos.u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .
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Alfabeto Σ: Conjunto finito de sımbolos o letras.
Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0
Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.
Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.
Concatenacion de las palabras u y v :La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .Una palabra es una concatenacion de sımbolos.u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .
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Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.
Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.
Concatenacion de las palabras u y v :La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .Una palabra es una concatenacion de sımbolos.u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .
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Alfabeto Σ: Conjunto finito de sımbolos o letras.
Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.
Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.
Concatenacion de las palabras u y v :La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .Una palabra es una concatenacion de sımbolos.u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .
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Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.
Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.
Concatenacion de las palabras u y v :
La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .Una palabra es una concatenacion de sımbolos.u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .
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Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.
Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.
Concatenacion de las palabras u y v :La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .
Una palabra es una concatenacion de sımbolos.u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .
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Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.
Concatenacion de las palabras u y v :La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .Una palabra es una concatenacion de sımbolos.
u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .
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Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.
Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.
Concatenacion de las palabras u y v :La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .Una palabra es una concatenacion de sımbolos.u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .
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Un lenguaje nocomputable
Alfabetos, palabras y lenguajes
Operaciones fundamentales con lenguajes
Para U y V conjuntos de cadenas:
UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.U0 = {ε}Uk+1 = UUk para todo natural k .
U∗ = ∪∞k=0Uk
(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)
En particular:Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.Σ+ = Σ∗ − {ε}
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Un lenguaje nocomputable
Alfabetos, palabras y lenguajes
Operaciones fundamentales con lenguajes
Para U y V conjuntos de cadenas:
UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.
U0 = {ε}Uk+1 = UUk para todo natural k .
U∗ = ∪∞k=0Uk
(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)
En particular:Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.Σ+ = Σ∗ − {ε}
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Alfabetos, palabras y lenguajes
Operaciones fundamentales con lenguajes
Para U y V conjuntos de cadenas:
UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.U0 = {ε}
Uk+1 = UUk para todo natural k .
U∗ = ∪∞k=0Uk
(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)
En particular:Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.Σ+ = Σ∗ − {ε}
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Para U y V conjuntos de cadenas:
UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.U0 = {ε}Uk+1 = UUk para todo natural k .
U∗ = ∪∞k=0Uk
(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)
En particular:Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.Σ+ = Σ∗ − {ε}
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Para U y V conjuntos de cadenas:
UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.U0 = {ε}Uk+1 = UUk para todo natural k .
U∗ = ∪∞k=0Uk
(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)
En particular:Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.Σ+ = Σ∗ − {ε}
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Para U y V conjuntos de cadenas:
UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.U0 = {ε}Uk+1 = UUk para todo natural k .
U∗ = ∪∞k=0Uk
(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)
En particular:Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.Σ+ = Σ∗ − {ε}
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Para U y V conjuntos de cadenas:
UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.U0 = {ε}Uk+1 = UUk para todo natural k .
U∗ = ∪∞k=0Uk
(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)
En particular:
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Para U y V conjuntos de cadenas:
UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.U0 = {ε}Uk+1 = UUk para todo natural k .
U∗ = ∪∞k=0Uk
(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)
En particular:Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.
Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.Σ+ = Σ∗ − {ε}
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UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.U0 = {ε}Uk+1 = UUk para todo natural k .
U∗ = ∪∞k=0Uk
(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)
En particular:Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.
Σ+ = Σ∗ − {ε}
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Para U y V conjuntos de cadenas:
UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.U0 = {ε}Uk+1 = UUk para todo natural k .
U∗ = ∪∞k=0Uk
(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)
En particular:Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.Σ+ = Σ∗ − {ε}
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Automatas finitos deterministas
Automata finito determinista (AFD) sobre alfabeto Σ
Es una quıntupla A = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:
K es un conjunto finito de estados.
δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.
I ∈ K es el estado inicial.
F ⊂ K es el conjunto de estados finales.
Ejemplo
K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} I = 0 F = {0}
δ 0 1
0 0 11 2 02 1 2
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Automatas finitos deterministas
Automata finito determinista (AFD) sobre alfabeto Σ
Es una quıntupla A = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:
K es un conjunto finito de estados.
δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.
I ∈ K es el estado inicial.
F ⊂ K es el conjunto de estados finales.
Ejemplo
K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} I = 0 F = {0}
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Automatas finitos deterministas
Automata finito determinista (AFD) sobre alfabeto Σ
Es una quıntupla A = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:
K es un conjunto finito de estados.
δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.
I ∈ K es el estado inicial.
F ⊂ K es el conjunto de estados finales.
Ejemplo
K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} I = 0 F = {0}
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Automata finito determinista (AFD) sobre alfabeto Σ
Es una quıntupla A = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:
K es un conjunto finito de estados.
δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.
I ∈ K es el estado inicial.
F ⊂ K es el conjunto de estados finales.
Ejemplo
K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} I = 0 F = {0}
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Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos deterministas
Automata finito determinista (AFD) sobre alfabeto Σ
Es una quıntupla A = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:
K es un conjunto finito de estados.
δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.
I ∈ K es el estado inicial.
F ⊂ K es el conjunto de estados finales.
Ejemplo
K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} I = 0 F = {0}
δ 0 1
0 0 11 2 02 1 2
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos deterministas
Automata finito determinista (AFD) sobre alfabeto Σ
Es una quıntupla A = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:
K es un conjunto finito de estados.
δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.
I ∈ K es el estado inicial.
F ⊂ K es el conjunto de estados finales.
Ejemplo
K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} I = 0 F = {0}
δ 0 1
0 0 11 2 02 1 2
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Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos deterministas
Automata finito determinista (AFD) sobre alfabeto Σ
Es una quıntupla A = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:
K es un conjunto finito de estados.
δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.
I ∈ K es el estado inicial.
F ⊂ K es el conjunto de estados finales.
Ejemplo
K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} I = 0 F = {0}
δ 0 1
0 0 11 2 02 1 2
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Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos deterministas
δ como funcion de K × Σ∗ en K
δ : K × Σ→ K
se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → K ası:
δ∗(p, u) =
{p si u = εδ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
(δ∗ suele denotarse tambien mediante δ)
Interpretacion de δ∗
δ∗(p, u) es el estado en que la maquina queda tras comenzar enel estado p y realizar las transiciones indicadas por la sucesionde sımbolos de la cadena u.
AUTO–MATAS
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K(Σ) y losconjuntosregulares
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Computaciones
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Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos deterministas
δ como funcion de K × Σ∗ en K
δ : K × Σ→ K se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → K ası:
δ∗(p, u) =
{p si u = εδ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
(δ∗ suele denotarse tambien mediante δ)
Interpretacion de δ∗
δ∗(p, u) es el estado en que la maquina queda tras comenzar enel estado p y realizar las transiciones indicadas por la sucesionde sımbolos de la cadena u.
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Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos deterministas
δ como funcion de K × Σ∗ en K
δ : K × Σ→ K se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → K ası:
δ∗(p, u) =
{p si u = ε
δ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
(δ∗ suele denotarse tambien mediante δ)
Interpretacion de δ∗
δ∗(p, u) es el estado en que la maquina queda tras comenzar enel estado p y realizar las transiciones indicadas por la sucesionde sımbolos de la cadena u.
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Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos deterministas
δ como funcion de K × Σ∗ en K
δ : K × Σ→ K se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → K ası:
δ∗(p, u) =
{p si u = εδ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
(δ∗ suele denotarse tambien mediante δ)
Interpretacion de δ∗
δ∗(p, u) es el estado en que la maquina queda tras comenzar enel estado p y realizar las transiciones indicadas por la sucesionde sımbolos de la cadena u.
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Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos deterministas
δ como funcion de K × Σ∗ en K
δ : K × Σ→ K se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → K ası:
δ∗(p, u) =
{p si u = εδ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
(δ∗ suele denotarse tambien mediante δ)
Interpretacion de δ∗
δ∗(p, u) es el estado en que la maquina queda tras comenzar enel estado p y realizar las transiciones indicadas por la sucesionde sımbolos de la cadena u.
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Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos deterministas
δ como funcion de K × Σ∗ en K
δ : K × Σ→ K se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → K ası:
δ∗(p, u) =
{p si u = εδ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
(δ∗ suele denotarse tambien mediante δ)
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δ∗(p, u) es el estado en que la maquina queda tras comenzar enel estado p y realizar las transiciones indicadas por la sucesionde sımbolos de la cadena u.
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Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Definicion
Dado un AFD A = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porA o el lenguaje reconocido por A es
C (A) = {u ∈ Σ∗ : δ∗(I, u) ∈ F}
En el A del ejemplo anterior:
C (A) = {u ∈ {0, 1}∗ : u representa en binario un multiplo de 3}
Para verlo, notar que para todos p ∈ {0, 1, 2} y a ∈ {0, 1},
δ(p, a) = resto(2p + a, 3)
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Lenguajes regulares
Definicion
Dado un AFD A = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porA o el lenguaje reconocido por A es
C (A) = {u ∈ Σ∗ : δ∗(I, u) ∈ F}
En el A del ejemplo anterior:
C (A) = {u ∈ {0, 1}∗ : u representa en binario un multiplo de 3}
Para verlo, notar que para todos p ∈ {0, 1, 2} y a ∈ {0, 1},
δ(p, a) = resto(2p + a, 3)
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Definicion
Dado un AFD A = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porA o el lenguaje reconocido por A es
C (A) = {u ∈ Σ∗ : δ∗(I, u) ∈ F}
En el A del ejemplo anterior:
C (A) = {u ∈ {0, 1}∗ : u representa en binario un multiplo de 3}
Para verlo, notar que para todos p ∈ {0, 1, 2} y a ∈ {0, 1},
δ(p, a) = resto(2p + a, 3)
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Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Definicion
Dado un AFD A = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porA o el lenguaje reconocido por A es
C (A) = {u ∈ Σ∗ : δ∗(I, u) ∈ F}
En el A del ejemplo anterior:
C (A) = {u ∈ {0, 1}∗ : u representa en binario un multiplo de 3}
Para verlo, notar que para todos p ∈ {0, 1, 2} y a ∈ {0, 1},
δ(p, a) = resto(2p + a, 3)
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Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Definicion
Dado un AFD A = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porA o el lenguaje reconocido por A es
C (A) = {u ∈ Σ∗ : δ∗(I, u) ∈ F}
En el A del ejemplo anterior:
C (A) = {u ∈ {0, 1}∗ : u representa en binario un multiplo de 3}
Para verlo, notar que para todos p ∈ {0, 1, 2} y a ∈ {0, 1},
δ(p, a) = resto(2p + a, 3)
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Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Definicion
Si Σ es un alfabeto y L ⊂ Σ∗, decimos que L es regular sihay un automata A sobre Σ tal que L = C (A).
Ejemplos de lenguajes regulares
El conjunto de todas las cadenas binarias que representanun multiplo de 3 es un conjunto regular.
Dados B y n fijos, el conjunto de todas las cadenasB–arias que representan un multiplo de n es regular.
El conjunto de todas las cadenas binarias que contienen01011 como subcadena es regular.
Dado U ⊂ Σ∗ con |U| <∞, el conjunto de todas lascadenas sobre Σ que contienen algun elemento de U comosubcadena es regular. (En particular, Σ∗ es regular.)
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Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Definicion
Si Σ es un alfabeto y L ⊂ Σ∗, decimos que L es regular sihay un automata A sobre Σ tal que L = C (A).
Ejemplos de lenguajes regulares
El conjunto de todas las cadenas binarias que representanun multiplo de 3 es un conjunto regular.
Dados B y n fijos, el conjunto de todas las cadenasB–arias que representan un multiplo de n es regular.
El conjunto de todas las cadenas binarias que contienen01011 como subcadena es regular.
Dado U ⊂ Σ∗ con |U| <∞, el conjunto de todas lascadenas sobre Σ que contienen algun elemento de U comosubcadena es regular. (En particular, Σ∗ es regular.)
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Un lenguaje nocomputable
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Definicion
Si Σ es un alfabeto y L ⊂ Σ∗, decimos que L es regular sihay un automata A sobre Σ tal que L = C (A).
Ejemplos de lenguajes regulares
El conjunto de todas las cadenas binarias que representanun multiplo de 3 es un conjunto regular.
Dados B y n fijos, el conjunto de todas las cadenasB–arias que representan un multiplo de n es regular.
El conjunto de todas las cadenas binarias que contienen01011 como subcadena es regular.
Dado U ⊂ Σ∗ con |U| <∞, el conjunto de todas lascadenas sobre Σ que contienen algun elemento de U comosubcadena es regular. (En particular, Σ∗ es regular.)
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Definicion
Si Σ es un alfabeto y L ⊂ Σ∗, decimos que L es regular sihay un automata A sobre Σ tal que L = C (A).
Ejemplos de lenguajes regulares
El conjunto de todas las cadenas binarias que representanun multiplo de 3 es un conjunto regular.
Dados B y n fijos, el conjunto de todas las cadenasB–arias que representan un multiplo de n es regular.
El conjunto de todas las cadenas binarias que contienen01011 como subcadena es regular.
Dado U ⊂ Σ∗ con |U| <∞, el conjunto de todas lascadenas sobre Σ que contienen algun elemento de U comosubcadena es regular. (En particular, Σ∗ es regular.)
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Definicion
Si Σ es un alfabeto y L ⊂ Σ∗, decimos que L es regular sihay un automata A sobre Σ tal que L = C (A).
Ejemplos de lenguajes regulares
El conjunto de todas las cadenas binarias que representanun multiplo de 3 es un conjunto regular.
Dados B y n fijos, el conjunto de todas las cadenasB–arias que representan un multiplo de n es regular.
El conjunto de todas las cadenas binarias que contienen01011 como subcadena es regular.
Dado U ⊂ Σ∗ con |U| <∞, el conjunto de todas lascadenas sobre Σ que contienen algun elemento de U comosubcadena es regular. (En particular, Σ∗ es regular.)
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Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Ejemplos de lenguajes que no son regulares
Σ = {0, 1}
L = {0n1n : n ∈ N}= {ε, 01, 0011, 000111, . . .}
Σ = {0, 1}L = {0n : n es numero primo}
= {00, 000, 00000, 0000000, . . .}
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Ejemplos de lenguajes que no son regulares
Σ = {0, 1}L = {0n1n : n ∈ N}
= {ε, 01, 0011, 000111, . . .}Σ = {0, 1}
L = {0n : n es numero primo}= {00, 000, 00000, 0000000, . . .}
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Ejemplos de lenguajes que no son regulares
Σ = {0, 1}L = {0n1n : n ∈ N}
= {ε, 01, 0011, 000111, . . .}
Σ = {0, 1}L = {0n : n es numero primo}
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Σ = {0, 1}L = {0n1n : n ∈ N}
= {ε, 01, 0011, 000111, . . .}Σ = {0, 1}
L = {0n : n es numero primo}= {00, 000, 00000, 0000000, . . .}
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= {ε, 01, 0011, 000111, . . .}Σ = {0, 1}
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Σ = {0, 1}L = {0n1n : n ∈ N}
= {ε, 01, 0011, 000111, . . .}Σ = {0, 1}
L = {0n : n es numero primo}= {00, 000, 00000, 0000000, . . .}
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Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Propiedades basicas de los lenguajes regulares
Todo conjunto finito es regular.
El complemento de un lenguaje regular es un conjuntoregular.
La union de lenguajes regulares es un conjunto regular.
La interseccion de lenguajes regulares es un conjuntoregular.
Ejercicio Construir los respectivos AFD.
Otras propiedades de los L.R., pero difıciles de ver por AFD:
Si U es regular, el conjunto de palabras en U escritas deatras hacia adelante es regular.
Si U y V son regulares, UV es regular.
Si U es regular, U∗ es tambien regular.
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Propiedades basicas de los lenguajes regulares
Todo conjunto finito es regular.
El complemento de un lenguaje regular es un conjuntoregular.
La union de lenguajes regulares es un conjunto regular.
La interseccion de lenguajes regulares es un conjuntoregular.
Ejercicio Construir los respectivos AFD.
Otras propiedades de los L.R., pero difıciles de ver por AFD:
Si U es regular, el conjunto de palabras en U escritas deatras hacia adelante es regular.
Si U y V son regulares, UV es regular.
Si U es regular, U∗ es tambien regular.
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Todo conjunto finito es regular.
El complemento de un lenguaje regular es un conjuntoregular.
La union de lenguajes regulares es un conjunto regular.
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Ejercicio Construir los respectivos AFD.
Otras propiedades de los L.R., pero difıciles de ver por AFD:
Si U es regular, el conjunto de palabras en U escritas deatras hacia adelante es regular.
Si U y V son regulares, UV es regular.
Si U es regular, U∗ es tambien regular.
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La union de lenguajes regulares es un conjunto regular.
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Ejercicio Construir los respectivos AFD.
Otras propiedades de los L.R., pero difıciles de ver por AFD:
Si U es regular, el conjunto de palabras en U escritas deatras hacia adelante es regular.
Si U y V son regulares, UV es regular.
Si U es regular, U∗ es tambien regular.
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Propiedades basicas de los lenguajes regulares
Todo conjunto finito es regular.
El complemento de un lenguaje regular es un conjuntoregular.
La union de lenguajes regulares es un conjunto regular.
La interseccion de lenguajes regulares es un conjuntoregular.
Ejercicio Construir los respectivos AFD.
Otras propiedades de los L.R., pero difıciles de ver por AFD:
Si U es regular, el conjunto de palabras en U escritas deatras hacia adelante es regular.
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Si U es regular, U∗ es tambien regular.
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Todo conjunto finito es regular.
El complemento de un lenguaje regular es un conjuntoregular.
La union de lenguajes regulares es un conjunto regular.
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Otras propiedades de los L.R., pero difıciles de ver por AFD:
Si U es regular, el conjunto de palabras en U escritas deatras hacia adelante es regular.
Si U y V son regulares, UV es regular.
Si U es regular, U∗ es tambien regular.
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El complemento de un lenguaje regular es un conjuntoregular.
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Otras propiedades de los L.R., pero difıciles de ver por AFD:
Si U es regular, el conjunto de palabras en U escritas deatras hacia adelante es regular.
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El complemento de un lenguaje regular es un conjuntoregular.
La union de lenguajes regulares es un conjunto regular.
La interseccion de lenguajes regulares es un conjuntoregular.
Ejercicio Construir los respectivos AFD.
Otras propiedades de los L.R., pero difıciles de ver por AFD:
Si U es regular, el conjunto de palabras en U escritas deatras hacia adelante es regular.
Si U y V son regulares, UV es regular.
Si U es regular, U∗ es tambien regular.
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Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
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Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Lenguajes regulares
Propiedades basicas de los lenguajes regulares
Todo conjunto finito es regular.
El complemento de un lenguaje regular es un conjuntoregular.
La union de lenguajes regulares es un conjunto regular.
La interseccion de lenguajes regulares es un conjuntoregular.
Ejercicio Construir los respectivos AFD.
Otras propiedades de los L.R., pero difıciles de ver por AFD:
Si U es regular, el conjunto de palabras en U escritas deatras hacia adelante es regular.
Si U y V son regulares, UV es regular.
Si U es regular, U∗ es tambien regular.
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Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Automatas finitos no deterministas
Automata finito no determinista (AFND) sobre alfabeto Σ
Es una quıntupla B = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:
K , I,F son como para los AFD.
δ : K × Σ→ P(K ) es la funcion de transicion hacia unoo varios estados (incluso ninguno).
Ejemplo
K = {A,B,C} Σ = {0, 1} I = A F = {B,C}
δ 0 1
A {A} {B,C}B ∅ {C}C {B} ∅
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Automata finito no determinista (AFND) sobre alfabeto Σ
Es una quıntupla B = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:
K , I,F son como para los AFD.
δ : K × Σ→ P(K ) es la funcion de transicion hacia unoo varios estados (incluso ninguno).
Ejemplo
K = {A,B,C} Σ = {0, 1} I = A F = {B,C}
δ 0 1
A {A} {B,C}B ∅ {C}C {B} ∅
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Automata finito no determinista (AFND) sobre alfabeto Σ
Es una quıntupla B = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:
K , I,F son como para los AFD.
δ : K × Σ→ P(K ) es la funcion de transicion
hacia unoo varios estados (incluso ninguno).
Ejemplo
K = {A,B,C} Σ = {0, 1} I = A F = {B,C}
δ 0 1
A {A} {B,C}B ∅ {C}C {B} ∅
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Es una quıntupla B = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:
K , I,F son como para los AFD.
δ : K × Σ→ P(K ) es la funcion de transicion hacia unoo varios estados (incluso ninguno).
Ejemplo
K = {A,B,C} Σ = {0, 1} I = A F = {B,C}
δ 0 1
A {A} {B,C}B ∅ {C}C {B} ∅
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Automata finito no determinista (AFND) sobre alfabeto Σ
Es una quıntupla B = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:
K , I,F son como para los AFD.
δ : K × Σ→ P(K ) es la funcion de transicion hacia unoo varios estados (incluso ninguno).
Ejemplo
K = {A,B,C} Σ = {0, 1} I = A F = {B,C}
δ 0 1
A {A} {B,C}B ∅ {C}C {B} ∅
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Automata finito no determinista (AFND) sobre alfabeto Σ
Es una quıntupla B = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:
K , I,F son como para los AFD.
δ : K × Σ→ P(K ) es la funcion de transicion hacia unoo varios estados (incluso ninguno).
Ejemplo
K = {A,B,C} Σ = {0, 1} I = A F = {B,C}
δ 0 1
A {A} {B,C}B ∅ {C}C {B} ∅
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Computaciones de AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), p ∈ K y u ∈ Σk ,
unacomputacion desde p para u es una sucesion de estadosp0, . . . , pk tal que
p0 = p, y
pi ∈ δ(pi−1, ui ) para todo i = 1, . . . , k .
En tal caso, escribimos (p, u) `B pk .
Aceptacion en AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porB es
C (B) = {u ∈ Σ∗ : (I, u) `B q para algun q ∈ F}
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Computaciones de AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), p ∈ K y u ∈ Σk , unacomputacion desde p para u
es una sucesion de estadosp0, . . . , pk tal que
p0 = p, y
pi ∈ δ(pi−1, ui ) para todo i = 1, . . . , k .
En tal caso, escribimos (p, u) `B pk .
Aceptacion en AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porB es
C (B) = {u ∈ Σ∗ : (I, u) `B q para algun q ∈ F}
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Computaciones de AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), p ∈ K y u ∈ Σk , unacomputacion desde p para u es una sucesion de estadosp0, . . . , pk tal que
p0 = p, y
pi ∈ δ(pi−1, ui ) para todo i = 1, . . . , k .
En tal caso, escribimos (p, u) `B pk .
Aceptacion en AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porB es
C (B) = {u ∈ Σ∗ : (I, u) `B q para algun q ∈ F}
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Computaciones de AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), p ∈ K y u ∈ Σk , unacomputacion desde p para u es una sucesion de estadosp0, . . . , pk tal que
p0 = p, y
pi ∈ δ(pi−1, ui ) para todo i = 1, . . . , k .
En tal caso, escribimos (p, u) `B pk .
Aceptacion en AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porB es
C (B) = {u ∈ Σ∗ : (I, u) `B q para algun q ∈ F}
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Computaciones de AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), p ∈ K y u ∈ Σk , unacomputacion desde p para u es una sucesion de estadosp0, . . . , pk tal que
p0 = p, y
pi ∈ δ(pi−1, ui ) para todo i = 1, . . . , k .
En tal caso, escribimos (p, u) `B pk .
Aceptacion en AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porB es
C (B) = {u ∈ Σ∗ : (I, u) `B q para algun q ∈ F}
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Computaciones de AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), p ∈ K y u ∈ Σk , unacomputacion desde p para u es una sucesion de estadosp0, . . . , pk tal que
p0 = p, y
pi ∈ δ(pi−1, ui ) para todo i = 1, . . . , k .
En tal caso, escribimos (p, u) `B pk .
Aceptacion en AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porB es
C (B) = {u ∈ Σ∗ : (I, u) `B q para algun q ∈ F}
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Computaciones de AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), p ∈ K y u ∈ Σk , unacomputacion desde p para u es una sucesion de estadosp0, . . . , pk tal que
p0 = p, y
pi ∈ δ(pi−1, ui ) para todo i = 1, . . . , k .
En tal caso, escribimos (p, u) `B pk .
Aceptacion en AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porB es
C (B) = {u ∈ Σ∗ : (I, u) `B q para algun q ∈ F}
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Computaciones de AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), p ∈ K y u ∈ Σk , unacomputacion desde p para u es una sucesion de estadosp0, . . . , pk tal que
p0 = p, y
pi ∈ δ(pi−1, ui ) para todo i = 1, . . . , k .
En tal caso, escribimos (p, u) `B pk .
Aceptacion en AFND
Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porB es
C (B) = {u ∈ Σ∗ : (I, u) `B q para algun q ∈ F}
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δ como funcion de K × Σ∗ en P(K )
δ : K × Σ→ P(K )
se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → P(K ) ası:
δ∗(p, u) =
{p} si u = ε⋃q∈δ(p,a)
δ∗(q, v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
Interpretacion de δ∗
δ∗(p, u) es el conjunto de todos los estados a los que se puedellegar comenzando en el estado p y realizando transicionessegun los sucesivos sımbolos de la cadena u.
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δ como funcion de K × Σ∗ en P(K )
δ : K × Σ→ P(K ) se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → P(K ) ası:
δ∗(p, u) =
{p} si u = ε⋃q∈δ(p,a)
δ∗(q, v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
Interpretacion de δ∗
δ∗(p, u) es el conjunto de todos los estados a los que se puedellegar comenzando en el estado p y realizando transicionessegun los sucesivos sımbolos de la cadena u.
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δ como funcion de K × Σ∗ en P(K )
δ : K × Σ→ P(K ) se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → P(K ) ası:
δ∗(p, u) =
{p} si u = ε
⋃q∈δ(p,a)
δ∗(q, v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
Interpretacion de δ∗
δ∗(p, u) es el conjunto de todos los estados a los que se puedellegar comenzando en el estado p y realizando transicionessegun los sucesivos sımbolos de la cadena u.
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δ como funcion de K × Σ∗ en P(K )
δ : K × Σ→ P(K ) se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → P(K ) ası:
δ∗(p, u) =
{p} si u = ε⋃q∈δ(p,a)
δ∗(q, v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
Interpretacion de δ∗
δ∗(p, u) es el conjunto de todos los estados a los que se puedellegar comenzando en el estado p y realizando transicionessegun los sucesivos sımbolos de la cadena u.
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δ como funcion de K × Σ∗ en P(K )
δ : K × Σ→ P(K ) se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → P(K ) ası:
δ∗(p, u) =
{p} si u = ε⋃q∈δ(p,a)
δ∗(q, v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
Interpretacion de δ∗
δ∗(p, u) es el conjunto de todos los estados a los que se puedellegar comenzando en el estado p y realizando transicionessegun los sucesivos sımbolos de la cadena u.
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Equivalencia entre AFD y AFND
Lema
Sea B = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFND. Para todos p ∈ K y u ∈ Σ∗,δ∗(p, u) = {q : (p, u) `B q}.
Teorema
Cualquier conjunto aceptado por un AFND es un lenguajeregular.
Dado B = (K ,Σ, δ, I,F ), construimos un AFDA = (KA,Σ, δA, IA,FA) ası:
KA = P(K ) IA = {I} FA = {S ⊂ K : S ∩ F 6= ∅}
δA(S , a) =⋃p∈S
δ(p, a)
resultando C (B) = C (A).
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Equivalencia entre AFD y AFND
Lema
Sea B = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFND. Para todos p ∈ K y u ∈ Σ∗,δ∗(p, u) = {q : (p, u) `B q}.
Teorema
Cualquier conjunto aceptado por un AFND es un lenguajeregular.
Dado B = (K ,Σ, δ, I,F ), construimos un AFDA = (KA,Σ, δA, IA,FA) ası:
KA = P(K ) IA = {I} FA = {S ⊂ K : S ∩ F 6= ∅}
δA(S , a) =⋃p∈S
δ(p, a)
resultando C (B) = C (A).
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Equivalencia entre AFD y AFND
Lema
Sea B = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFND. Para todos p ∈ K y u ∈ Σ∗,δ∗(p, u) = {q : (p, u) `B q}.
Teorema
Cualquier conjunto aceptado por un AFND es un lenguajeregular.
Dado B = (K ,Σ, δ, I,F ),
construimos un AFDA = (KA,Σ, δA, IA,FA) ası:
KA = P(K ) IA = {I} FA = {S ⊂ K : S ∩ F 6= ∅}
δA(S , a) =⋃p∈S
δ(p, a)
resultando C (B) = C (A).
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Equivalencia entre AFD y AFND
Lema
Sea B = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFND. Para todos p ∈ K y u ∈ Σ∗,δ∗(p, u) = {q : (p, u) `B q}.
Teorema
Cualquier conjunto aceptado por un AFND es un lenguajeregular.
Dado B = (K ,Σ, δ, I,F ), construimos un AFDA = (KA,Σ, δA, IA,FA) ası:
KA = P(K )
IA = {I} FA = {S ⊂ K : S ∩ F 6= ∅}
δA(S , a) =⋃p∈S
δ(p, a)
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Equivalencia entre AFD y AFND
Lema
Sea B = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFND. Para todos p ∈ K y u ∈ Σ∗,δ∗(p, u) = {q : (p, u) `B q}.
Teorema
Cualquier conjunto aceptado por un AFND es un lenguajeregular.
Dado B = (K ,Σ, δ, I,F ), construimos un AFDA = (KA,Σ, δA, IA,FA) ası:
KA = P(K ) IA = {I}
FA = {S ⊂ K : S ∩ F 6= ∅}
δA(S , a) =⋃p∈S
δ(p, a)
resultando C (B) = C (A).
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Equivalencia entre AFD y AFND
Lema
Sea B = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFND. Para todos p ∈ K y u ∈ Σ∗,δ∗(p, u) = {q : (p, u) `B q}.
Teorema
Cualquier conjunto aceptado por un AFND es un lenguajeregular.
Dado B = (K ,Σ, δ, I,F ), construimos un AFDA = (KA,Σ, δA, IA,FA) ası:
KA = P(K ) IA = {I} FA = {S ⊂ K : S ∩ F 6= ∅}
δA(S , a) =⋃p∈S
δ(p, a)
resultando C (B) = C (A).
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Equivalencia entre AFD y AFND
Lema
Sea B = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFND. Para todos p ∈ K y u ∈ Σ∗,δ∗(p, u) = {q : (p, u) `B q}.
Teorema
Cualquier conjunto aceptado por un AFND es un lenguajeregular.
Dado B = (K ,Σ, δ, I,F ), construimos un AFDA = (KA,Σ, δA, IA,FA) ası:
KA = P(K ) IA = {I} FA = {S ⊂ K : S ∩ F 6= ∅}
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Lema
Sea B = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFND. Para todos p ∈ K y u ∈ Σ∗,δ∗(p, u) = {q : (p, u) `B q}.
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Cualquier conjunto aceptado por un AFND es un lenguajeregular.
Dado B = (K ,Σ, δ, I,F ), construimos un AFDA = (KA,Σ, δA, IA,FA) ası:
KA = P(K ) IA = {I} FA = {S ⊂ K : S ∩ F 6= ∅}
δA(S , a) =⋃p∈S
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Ejemplo de aplicacion de AFND
Los lenguajes regulares revertidos son tambien regulares
Si L es regular, sea A = (K ,Σ, δ, I,F ) AFD tal que L = C (A).
Definimos un AFND B = (KB,Σ, δB, IB,FB}) ası:
KB = K ∪ {IB} (se supone que IB /∈ K )
FB =
{{I} si I /∈ F{I, IB} si I ∈ F
∀a ∈ Σ: δB(IB, a) = {p : δ(p, a) ∈ F}∀(q, a) ∈ K × Σ: δB(q, a) = {p ∈ K : δ(p, a) = q}
Con esto: w ∈ C (B) ⇐⇒ wR ∈ C (A)
Luego, el conjunto de todas las palabras de L escritas al reveses regular.
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Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Ejemplo de aplicacion de AFND
Los lenguajes regulares revertidos son tambien regulares
Si L es regular, sea A = (K ,Σ, δ, I,F ) AFD tal que L = C (A).
Definimos un AFND B = (KB,Σ, δB, IB,FB}) ası:
KB = K ∪ {IB} (se supone que IB /∈ K )
FB =
{{I} si I /∈ F{I, IB} si I ∈ F
∀a ∈ Σ: δB(IB, a) = {p : δ(p, a) ∈ F}∀(q, a) ∈ K × Σ: δB(q, a) = {p ∈ K : δ(p, a) = q}
Con esto: w ∈ C (B) ⇐⇒ wR ∈ C (A)
Luego, el conjunto de todas las palabras de L escritas al reveses regular.
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Un lenguaje nocomputable
Ejemplo de aplicacion de AFND
Los lenguajes regulares revertidos son tambien regulares
Si L es regular, sea A = (K ,Σ, δ, I,F ) AFD tal que L = C (A).
Definimos un AFND B = (KB,Σ, δB, IB,FB}) ası:
KB = K ∪ {IB} (se supone que IB /∈ K )
FB =
{{I} si I /∈ F{I, IB} si I ∈ F
∀a ∈ Σ: δB(IB, a) = {p : δ(p, a) ∈ F}∀(q, a) ∈ K × Σ: δB(q, a) = {p ∈ K : δ(p, a) = q}
Con esto: w ∈ C (B) ⇐⇒ wR ∈ C (A)
Luego, el conjunto de todas las palabras de L escritas al reveses regular.
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Los lenguajes regulares revertidos son tambien regulares
Si L es regular, sea A = (K ,Σ, δ, I,F ) AFD tal que L = C (A).
Definimos un AFND B = (KB,Σ, δB, IB,FB}) ası:
KB = K ∪ {IB} (se supone que IB /∈ K )
FB =
{{I} si I /∈ F
{I, IB} si I ∈ F
∀a ∈ Σ: δB(IB, a) = {p : δ(p, a) ∈ F}∀(q, a) ∈ K × Σ: δB(q, a) = {p ∈ K : δ(p, a) = q}
Con esto: w ∈ C (B) ⇐⇒ wR ∈ C (A)
Luego, el conjunto de todas las palabras de L escritas al reveses regular.
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Si L es regular, sea A = (K ,Σ, δ, I,F ) AFD tal que L = C (A).
Definimos un AFND B = (KB,Σ, δB, IB,FB}) ası:
KB = K ∪ {IB} (se supone que IB /∈ K )
FB =
{{I} si I /∈ F{I, IB} si I ∈ F
∀a ∈ Σ: δB(IB, a) = {p : δ(p, a) ∈ F}∀(q, a) ∈ K × Σ: δB(q, a) = {p ∈ K : δ(p, a) = q}
Con esto: w ∈ C (B) ⇐⇒ wR ∈ C (A)
Luego, el conjunto de todas las palabras de L escritas al reveses regular.
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Si L es regular, sea A = (K ,Σ, δ, I,F ) AFD tal que L = C (A).
Definimos un AFND B = (KB,Σ, δB, IB,FB}) ası:
KB = K ∪ {IB} (se supone que IB /∈ K )
FB =
{{I} si I /∈ F{I, IB} si I ∈ F
∀a ∈ Σ: δB(IB, a) = {p : δ(p, a) ∈ F}
∀(q, a) ∈ K × Σ: δB(q, a) = {p ∈ K : δ(p, a) = q}
Con esto: w ∈ C (B) ⇐⇒ wR ∈ C (A)
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Si L es regular, sea A = (K ,Σ, δ, I,F ) AFD tal que L = C (A).
Definimos un AFND B = (KB,Σ, δB, IB,FB}) ası:
KB = K ∪ {IB} (se supone que IB /∈ K )
FB =
{{I} si I /∈ F{I, IB} si I ∈ F
∀a ∈ Σ: δB(IB, a) = {p : δ(p, a) ∈ F}∀(q, a) ∈ K × Σ: δB(q, a) = {p ∈ K : δ(p, a) = q}
Con esto: w ∈ C (B) ⇐⇒ wR ∈ C (A)
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Ejemplo de aplicacion de AFND
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Si L es regular, sea A = (K ,Σ, δ, I,F ) AFD tal que L = C (A).
Definimos un AFND B = (KB,Σ, δB, IB,FB}) ası:
KB = K ∪ {IB} (se supone que IB /∈ K )
FB =
{{I} si I /∈ F{I, IB} si I ∈ F
∀a ∈ Σ: δB(IB, a) = {p : δ(p, a) ∈ F}∀(q, a) ∈ K × Σ: δB(q, a) = {p ∈ K : δ(p, a) = q}
Con esto: w ∈ C (B) ⇐⇒ wR ∈ C (A)
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Los lenguajes regulares revertidos son tambien regulares
Si L es regular, sea A = (K ,Σ, δ, I,F ) AFD tal que L = C (A).
Definimos un AFND B = (KB,Σ, δB, IB,FB}) ası:
KB = K ∪ {IB} (se supone que IB /∈ K )
FB =
{{I} si I /∈ F{I, IB} si I ∈ F
∀a ∈ Σ: δB(IB, a) = {p : δ(p, a) ∈ F}∀(q, a) ∈ K × Σ: δB(q, a) = {p ∈ K : δ(p, a) = q}
Con esto: w ∈ C (B) ⇐⇒ wR ∈ C (A)
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Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Fijado un alfabeto Σ, sabemos que:
√cualquier conjunto finito sobre Σ es regular.
√la union de dos conjuntos regulares es regular.
√la concatenacion de dos conjuntos regulares es regular.
√U∗ es regular cuando U es regular.
Por lo tanto, la clase de todos los conjuntos regulares sobre Σcontiene a todos los conjuntos finitos y es cerrada bajo union,concatenacion y operacion ∗.
Teorema
La clase de todos los conjuntos regulares sobre Σ es la maspequena (en el sentido de la contencion) de las familias desubconjuntos de Σ∗ que contiene a todos los conjuntos finitos yes cerrada bajo union, concatenacion y operacion ∗.
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Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Fijado un alfabeto Σ, sabemos que:√
cualquier conjunto finito sobre Σ es regular.
√la union de dos conjuntos regulares es regular.
√la concatenacion de dos conjuntos regulares es regular.
√U∗ es regular cuando U es regular.
Por lo tanto, la clase de todos los conjuntos regulares sobre Σcontiene a todos los conjuntos finitos y es cerrada bajo union,concatenacion y operacion ∗.
Teorema
La clase de todos los conjuntos regulares sobre Σ es la maspequena (en el sentido de la contencion) de las familias desubconjuntos de Σ∗ que contiene a todos los conjuntos finitos yes cerrada bajo union, concatenacion y operacion ∗.
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Fijado un alfabeto Σ, sabemos que:√
cualquier conjunto finito sobre Σ es regular.√
la union de dos conjuntos regulares es regular.
√la concatenacion de dos conjuntos regulares es regular.
√U∗ es regular cuando U es regular.
Por lo tanto, la clase de todos los conjuntos regulares sobre Σcontiene a todos los conjuntos finitos y es cerrada bajo union,concatenacion y operacion ∗.
Teorema
La clase de todos los conjuntos regulares sobre Σ es la maspequena (en el sentido de la contencion) de las familias desubconjuntos de Σ∗ que contiene a todos los conjuntos finitos yes cerrada bajo union, concatenacion y operacion ∗.
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Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Fijado un alfabeto Σ, sabemos que:√
cualquier conjunto finito sobre Σ es regular.√
la union de dos conjuntos regulares es regular.√
la concatenacion de dos conjuntos regulares es regular.
√U∗ es regular cuando U es regular.
Por lo tanto, la clase de todos los conjuntos regulares sobre Σcontiene a todos los conjuntos finitos y es cerrada bajo union,concatenacion y operacion ∗.
Teorema
La clase de todos los conjuntos regulares sobre Σ es la maspequena (en el sentido de la contencion) de las familias desubconjuntos de Σ∗ que contiene a todos los conjuntos finitos yes cerrada bajo union, concatenacion y operacion ∗.
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Un lenguaje nocomputable
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Fijado un alfabeto Σ, sabemos que:√
cualquier conjunto finito sobre Σ es regular.√
la union de dos conjuntos regulares es regular.√
la concatenacion de dos conjuntos regulares es regular.√
U∗ es regular cuando U es regular.
Por lo tanto, la clase de todos los conjuntos regulares sobre Σcontiene a todos los conjuntos finitos y es cerrada bajo union,concatenacion y operacion ∗.
Teorema
La clase de todos los conjuntos regulares sobre Σ es la maspequena (en el sentido de la contencion) de las familias desubconjuntos de Σ∗ que contiene a todos los conjuntos finitos yes cerrada bajo union, concatenacion y operacion ∗.
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Fijado un alfabeto Σ, sabemos que:√
cualquier conjunto finito sobre Σ es regular.√
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la concatenacion de dos conjuntos regulares es regular.√
U∗ es regular cuando U es regular.
Por lo tanto, la clase de todos los conjuntos regulares sobre Σcontiene a todos los conjuntos finitos y es cerrada bajo union,concatenacion y operacion ∗.
Teorema
La clase de todos los conjuntos regulares sobre Σ es la maspequena (en el sentido de la contencion) de las familias desubconjuntos de Σ∗ que contiene a todos los conjuntos finitos yes cerrada bajo union, concatenacion y operacion ∗.
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Fijado un alfabeto Σ, sabemos que:√
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la union de dos conjuntos regulares es regular.√
la concatenacion de dos conjuntos regulares es regular.√
U∗ es regular cuando U es regular.
Por lo tanto, la clase de todos los conjuntos regulares sobre Σcontiene a todos los conjuntos finitos y es cerrada bajo union,concatenacion y operacion ∗.
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La clase de todos los conjuntos regulares sobre Σ es la maspequena (en el sentido de la contencion) de las familias desubconjuntos de Σ∗ que contiene a todos los conjuntos finitos yes cerrada bajo union, concatenacion y operacion ∗.
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Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
La familia K(Σ)
Dado un alfabeto Σ, designamos por K(Σ) a la mas pequenafamilia de subconjuntos de Σ∗ tal que:
∀U ⊂ Σ∗, |U| <∞ =⇒ U ∈ K(Σ).
∀U,V ∈ K(Σ),U ∪ V ∈ K(Σ).
∀U,V ∈ K(Σ),UV ∈ K(Σ).
∀U ∈ K(Σ),U∗ ∈ K(Σ).
(P(Σ∗) cumple las cuatro propiedades. La interseccion detodas las familias que cumplen las cuatro propiedades tambienlas cumple. Luego, K(Σ) esta bien definida.)
Veremos que K(Σ) = {R ⊂ Σ∗ : R es regular}
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La familia K(Σ)
Dado un alfabeto Σ, designamos por K(Σ) a la mas pequenafamilia de subconjuntos de Σ∗ tal que:
∀U ⊂ Σ∗, |U| <∞ =⇒ U ∈ K(Σ).
∀U,V ∈ K(Σ),U ∪ V ∈ K(Σ).
∀U,V ∈ K(Σ),UV ∈ K(Σ).
∀U ∈ K(Σ),U∗ ∈ K(Σ).
(P(Σ∗) cumple las cuatro propiedades. La interseccion detodas las familias que cumplen las cuatro propiedades tambienlas cumple. Luego, K(Σ) esta bien definida.)
Veremos que K(Σ) = {R ⊂ Σ∗ : R es regular}
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La familia K(Σ)
Dado un alfabeto Σ, designamos por K(Σ) a la mas pequenafamilia de subconjuntos de Σ∗ tal que:
∀U ⊂ Σ∗, |U| <∞ =⇒ U ∈ K(Σ).
∀U,V ∈ K(Σ),U ∪ V ∈ K(Σ).
∀U,V ∈ K(Σ),UV ∈ K(Σ).
∀U ∈ K(Σ),U∗ ∈ K(Σ).
(P(Σ∗) cumple las cuatro propiedades. La interseccion detodas las familias que cumplen las cuatro propiedades tambienlas cumple. Luego, K(Σ) esta bien definida.)
Veremos que K(Σ) = {R ⊂ Σ∗ : R es regular}
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La familia K(Σ)
Dado un alfabeto Σ, designamos por K(Σ) a la mas pequenafamilia de subconjuntos de Σ∗ tal que:
∀U ⊂ Σ∗, |U| <∞ =⇒ U ∈ K(Σ).
∀U,V ∈ K(Σ),U ∪ V ∈ K(Σ).
∀U,V ∈ K(Σ),UV ∈ K(Σ).
∀U ∈ K(Σ),U∗ ∈ K(Σ).
(P(Σ∗) cumple las cuatro propiedades. La interseccion detodas las familias que cumplen las cuatro propiedades tambienlas cumple. Luego, K(Σ) esta bien definida.)
Veremos que K(Σ) = {R ⊂ Σ∗ : R es regular}
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La familia K(Σ)
Dado un alfabeto Σ, designamos por K(Σ) a la mas pequenafamilia de subconjuntos de Σ∗ tal que:
∀U ⊂ Σ∗, |U| <∞ =⇒ U ∈ K(Σ).
∀U,V ∈ K(Σ),U ∪ V ∈ K(Σ).
∀U,V ∈ K(Σ),UV ∈ K(Σ).
∀U ∈ K(Σ),U∗ ∈ K(Σ).
(P(Σ∗) cumple las cuatro propiedades. La interseccion detodas las familias que cumplen las cuatro propiedades tambienlas cumple. Luego, K(Σ) esta bien definida.)
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La familia K(Σ)
Dado un alfabeto Σ, designamos por K(Σ) a la mas pequenafamilia de subconjuntos de Σ∗ tal que:
∀U ⊂ Σ∗, |U| <∞ =⇒ U ∈ K(Σ).
∀U,V ∈ K(Σ),U ∪ V ∈ K(Σ).
∀U,V ∈ K(Σ),UV ∈ K(Σ).
∀U ∈ K(Σ),U∗ ∈ K(Σ).
(P(Σ∗) cumple las cuatro propiedades. La interseccion detodas las familias que cumplen las cuatro propiedades tambienlas cumple. Luego, K(Σ) esta bien definida.)
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La familia K(Σ)
Dado un alfabeto Σ, designamos por K(Σ) a la mas pequenafamilia de subconjuntos de Σ∗ tal que:
∀U ⊂ Σ∗, |U| <∞ =⇒ U ∈ K(Σ).
∀U,V ∈ K(Σ),U ∪ V ∈ K(Σ).
∀U,V ∈ K(Σ),UV ∈ K(Σ).
∀U ∈ K(Σ),U∗ ∈ K(Σ).
(P(Σ∗) cumple las cuatro propiedades. La interseccion detodas las familias que cumplen las cuatro propiedades tambienlas cumple. Luego, K(Σ) esta bien definida.)
Veremos que K(Σ) = {R ⊂ Σ∗ : R es regular}
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Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Sea L regular, y A = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFD tal que C (A) = L.
Para cada q ∈ K definimos
Bq = {u : δ(q, u) ∈ F}
En particular, BI = C (A) = L.
Haciendo
Aq =
{{ε} si q ∈ F∅ si q /∈ F
se tiene que Aq ∈ K(Σ) (por ser finito) y se cumple que, paracada q ∈ K ,
Bq = Aq ∪⋃a∈Σ
{a}Bδ(q,a)
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Sea L regular, y A = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFD tal que C (A) = L.
Para cada q ∈ K definimos
Bq = {u : δ(q, u) ∈ F}
En particular, BI = C (A) = L.
Haciendo
Aq =
{{ε} si q ∈ F∅ si q /∈ F
se tiene que Aq ∈ K(Σ) (por ser finito) y se cumple que, paracada q ∈ K ,
Bq = Aq ∪⋃a∈Σ
{a}Bδ(q,a)
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Sea L regular, y A = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFD tal que C (A) = L.
Para cada q ∈ K definimos
Bq = {u : δ(q, u) ∈ F}
En particular, BI = C (A) = L.
Haciendo
Aq =
{{ε} si q ∈ F∅ si q /∈ F
se tiene que Aq ∈ K(Σ) (por ser finito) y se cumple que, paracada q ∈ K ,
Bq = Aq ∪⋃a∈Σ
{a}Bδ(q,a)
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Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Sea L regular, y A = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFD tal que C (A) = L.
Para cada q ∈ K definimos
Bq = {u : δ(q, u) ∈ F}
En particular, BI = C (A) = L.
Haciendo
Aq =
{{ε} si q ∈ F∅ si q /∈ F
se tiene que Aq ∈ K(Σ) (por ser finito) y se cumple que, paracada q ∈ K ,
Bq = Aq ∪⋃a∈Σ
{a}Bδ(q,a)
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Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Sea L regular, y A = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFD tal que C (A) = L.
Para cada q ∈ K definimos
Bq = {u : δ(q, u) ∈ F}
En particular, BI = C (A) = L.
Haciendo
Aq =
{{ε} si q ∈ F∅ si q /∈ F
se tiene que Aq ∈ K(Σ) (por ser finito)
y se cumple que, paracada q ∈ K ,
Bq = Aq ∪⋃a∈Σ
{a}Bδ(q,a)
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Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Sea L regular, y A = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFD tal que C (A) = L.
Para cada q ∈ K definimos
Bq = {u : δ(q, u) ∈ F}
En particular, BI = C (A) = L.
Haciendo
Aq =
{{ε} si q ∈ F∅ si q /∈ F
se tiene que Aq ∈ K(Σ) (por ser finito) y se cumple que, paracada q ∈ K ,
Bq = Aq ∪⋃a∈Σ
{a}Bδ(q,a)
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Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
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Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Sea L regular, y A = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFD tal que C (A) = L.
Para cada q ∈ K definimos
Bq = {u : δ(q, u) ∈ F}
En particular, BI = C (A) = L.
Haciendo
Aq =
{{ε} si q ∈ F∅ si q /∈ F
se tiene que Aq ∈ K(Σ) (por ser finito) y se cumple que, paracada q ∈ K ,
Bq = Aq ∪⋃a∈Σ
{a}Bδ(q,a)
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Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Fijando q ∈ K ,
para cada p ∈ K llamamos
Aqp = {a ∈ Σ : δ(q, a) = p}
(Observar que ∀q, p ∈ K ,Aqp ∈ K(Σ) y ε /∈ Aqp.)
Ası resulta que, para cada q ∈ K ,
Bq = Aq ∪⋃p∈K
AqpBp
con Aq y los Aqp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ Aqp.
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Fijando q ∈ K , para cada p ∈ K llamamos
Aqp = {a ∈ Σ : δ(q, a) = p}
(Observar que ∀q, p ∈ K ,Aqp ∈ K(Σ) y ε /∈ Aqp.)
Ası resulta que, para cada q ∈ K ,
Bq = Aq ∪⋃p∈K
AqpBp
con Aq y los Aqp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ Aqp.
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Fijando q ∈ K , para cada p ∈ K llamamos
Aqp = {a ∈ Σ : δ(q, a) = p}
(Observar que ∀q, p ∈ K ,Aqp ∈ K(Σ) y ε /∈ Aqp.)
Ası resulta que, para cada q ∈ K ,
Bq = Aq ∪⋃p∈K
AqpBp
con Aq y los Aqp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ Aqp.
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Fijando q ∈ K , para cada p ∈ K llamamos
Aqp = {a ∈ Σ : δ(q, a) = p}
(Observar que ∀q, p ∈ K ,Aqp ∈ K(Σ) y ε /∈ Aqp.)
Ası resulta que, para cada q ∈ K ,
Bq = Aq ∪⋃p∈K
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con Aq y los Aqp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ Aqp.
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Fijando q ∈ K , para cada p ∈ K llamamos
Aqp = {a ∈ Σ : δ(q, a) = p}
(Observar que ∀q, p ∈ K ,Aqp ∈ K(Σ) y ε /∈ Aqp.)
Ası resulta que, para cada q ∈ K ,
Bq = Aq ∪⋃p∈K
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con Aq y los Aqp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ Aqp.
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Fijando q ∈ K , para cada p ∈ K llamamos
Aqp = {a ∈ Σ : δ(q, a) = p}
(Observar que ∀q, p ∈ K ,Aqp ∈ K(Σ) y ε /∈ Aqp.)
Ası resulta que, para cada q ∈ K ,
Bq = Aq ∪⋃p∈K
AqpBp
con Aq y los Aqp perteneciendo todos a K(Σ)
y ε /∈ Aqp.
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Fijando q ∈ K , para cada p ∈ K llamamos
Aqp = {a ∈ Σ : δ(q, a) = p}
(Observar que ∀q, p ∈ K ,Aqp ∈ K(Σ) y ε /∈ Aqp.)
Ası resulta que, para cada q ∈ K ,
Bq = Aq ∪⋃p∈K
AqpBp
con Aq y los Aqp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ Aqp.
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Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Haciendo J = K (y por lo tanto I ∈ J)
, el sistema de todas lasecuaciones Bq = Aq ∪
⋃p∈J
AqpBp : q ∈ J
puede verse como un “sistema” en las |J| “incognitas”
{Bq : q ∈ J}
con “coeficientes”
{Aq : q ∈ J} {Aqp : q, p ∈ J}
todos en K(Σ).
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Haciendo J = K (y por lo tanto I ∈ J), el sistema de todas lasecuaciones Bq = Aq ∪
⋃p∈J
AqpBp : q ∈ J
puede verse como un “sistema” en las |J| “incognitas”
{Bq : q ∈ J}
con “coeficientes”
{Aq : q ∈ J} {Aqp : q, p ∈ J}
todos en K(Σ).
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Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Haciendo J = K (y por lo tanto I ∈ J), el sistema de todas lasecuaciones Bq = Aq ∪
⋃p∈J
AqpBp : q ∈ J
puede verse como un “sistema” en las |J| “incognitas”
{Bq : q ∈ J}
con “coeficientes”
{Aq : q ∈ J} {Aqp : q, p ∈ J}
todos en K(Σ).
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Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Haciendo J = K (y por lo tanto I ∈ J), el sistema de todas lasecuaciones Bq = Aq ∪
⋃p∈J
AqpBp : q ∈ J
puede verse como un “sistema” en las |J| “incognitas”
{Bq : q ∈ J}
con “coeficientes”
{Aq : q ∈ J} {Aqp : q, p ∈ J}
todos en K(Σ).
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Haciendo J = K (y por lo tanto I ∈ J), el sistema de todas lasecuaciones Bq = Aq ∪
⋃p∈J
AqpBp : q ∈ J
puede verse como un “sistema” en las |J| “incognitas”
{Bq : q ∈ J}
con “coeficientes”
{Aq : q ∈ J} {Aqp : q, p ∈ J}
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Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI).
Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen
{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}tales que para todo q ∈ J ′,
Bq = A′q ∪⋃p∈J′
A′qpBp
con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ A′qp.
Lema
Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que
ε /∈ A, y
S = T ∪ AS .
Entonces S = A∗T . Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).
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Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI). Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen
{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}
tales que para todo q ∈ J ′,
Bq = A′q ∪⋃p∈J′
A′qpBp
con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ A′qp.
Lema
Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que
ε /∈ A, y
S = T ∪ AS .
Entonces S = A∗T . Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).
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Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI). Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen
{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}tales que para todo q ∈ J ′,
Bq = A′q ∪⋃p∈J′
A′qpBp
con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ A′qp.
Lema
Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que
ε /∈ A, y
S = T ∪ AS .
Entonces S = A∗T . Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).
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Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI). Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen
{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}tales que para todo q ∈ J ′,
Bq = A′q ∪⋃p∈J′
A′qpBp
con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ)
y ε /∈ A′qp.
Lema
Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que
ε /∈ A, y
S = T ∪ AS .
Entonces S = A∗T . Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).
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Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI). Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen
{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}tales que para todo q ∈ J ′,
Bq = A′q ∪⋃p∈J′
A′qpBp
con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ A′qp.
Lema
Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que
ε /∈ A, y
S = T ∪ AS .
Entonces S = A∗T . Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).
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Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI). Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen
{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}tales que para todo q ∈ J ′,
Bq = A′q ∪⋃p∈J′
A′qpBp
con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ A′qp.
Lema
Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que
ε /∈ A, y
S = T ∪ AS .
Entonces S = A∗T . Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).
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Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI). Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen
{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}tales que para todo q ∈ J ′,
Bq = A′q ∪⋃p∈J′
A′qpBp
con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ A′qp.
Lema
Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que
ε /∈ A, y
S = T ∪ AS .
Entonces S = A∗T . Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).
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Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI). Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen
{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}tales que para todo q ∈ J ′,
Bq = A′q ∪⋃p∈J′
A′qpBp
con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ A′qp.
Lema
Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que
ε /∈ A, y
S = T ∪ AS .
Entonces S = A∗T . Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).
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Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI). Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen
{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}tales que para todo q ∈ J ′,
Bq = A′q ∪⋃p∈J′
A′qpBp
con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ A′qp.
Lema
Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que
ε /∈ A, y
S = T ∪ AS .
Entonces S = A∗T
. Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).
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Un lenguaje nocomputable
Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares
Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI). Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen
{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}tales que para todo q ∈ J ′,
Bq = A′q ∪⋃p∈J′
A′qpBp
con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ A′qp.
Lema
Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que
ε /∈ A, y
S = T ∪ AS .
Entonces S = A∗T . Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).
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Maquinas Secuenciales
Definicion
Maquina secuencial: sextupla (K ,Σ,∆, δ, λ,I)
K es un conjunto finito de estados.
Σ: Alfabeto finito de entradas.
∆: Alfabeto finito de salidas.
δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.
λ : K × Σ→ ∆ es la funcion de salidas.
I ∈ K es el estado inicial.
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Maquinas Secuenciales
Definicion
Maquina secuencial: sextupla (K ,Σ,∆, δ, λ,I)
K es un conjunto finito de estados.
Σ: Alfabeto finito de entradas.
∆: Alfabeto finito de salidas.
δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.
λ : K × Σ→ ∆ es la funcion de salidas.
I ∈ K es el estado inicial.
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Definicion
Maquina secuencial: sextupla (K ,Σ,∆, δ, λ,I)
K es un conjunto finito de estados.
Σ: Alfabeto finito de entradas.
∆: Alfabeto finito de salidas.
δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.
λ : K × Σ→ ∆ es la funcion de salidas.
I ∈ K es el estado inicial.
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Definicion
Maquina secuencial: sextupla (K ,Σ,∆, δ, λ,I)
K es un conjunto finito de estados.
Σ: Alfabeto finito de entradas.
∆: Alfabeto finito de salidas.
δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.
λ : K × Σ→ ∆ es la funcion de salidas.
I ∈ K es el estado inicial.
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Definicion
Maquina secuencial: sextupla (K ,Σ,∆, δ, λ,I)
K es un conjunto finito de estados.
Σ: Alfabeto finito de entradas.
∆: Alfabeto finito de salidas.
δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.
λ : K × Σ→ ∆ es la funcion de salidas.
I ∈ K es el estado inicial.
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Definicion
Maquina secuencial: sextupla (K ,Σ,∆, δ, λ,I)
K es un conjunto finito de estados.
Σ: Alfabeto finito de entradas.
∆: Alfabeto finito de salidas.
δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.
λ : K × Σ→ ∆ es la funcion de salidas.
I ∈ K es el estado inicial.
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Definicion
Maquina secuencial: sextupla (K ,Σ,∆, δ, λ,I)
K es un conjunto finito de estados.
Σ: Alfabeto finito de entradas.
∆: Alfabeto finito de salidas.
δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.
λ : K × Σ→ ∆ es la funcion de salidas.
I ∈ K es el estado inicial.
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Ejemplo
Maquina secuencial que emite salida r ∈ {0, 1, 2} cuando lacadena de entradas en {0, 1}, interpretada como numerorepresentado en binario, es r mod 3.
K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} ∆ = {0, 1, 2} I = 0
δ, λ 0 1
0 0, 0 1, 11 2, 2 0, 02 1, 1 2, 2
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Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Maquinas Secuenciales
Ejemplo
Maquina secuencial que emite salida r ∈ {0, 1, 2} cuando lacadena de entradas en {0, 1}, interpretada como numerorepresentado en binario, es r mod 3.
K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} ∆ = {0, 1, 2} I = 0
δ, λ 0 1
0 0, 0 1, 11 2, 2 0, 02 1, 1 2, 2
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Maquina secuencial que emite salida r ∈ {0, 1, 2} cuando lacadena de entradas en {0, 1}, interpretada como numerorepresentado en binario, es r mod 3.
K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} ∆ = {0, 1, 2} I = 0
δ, λ 0 1
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Maquinas Secuenciales
Extension de δ y λ a K × Σ∗
δ∗(p, u) =
{p si u = ε
δ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
λ∗(p, u) =
{ε si u = ε
λ(p, a)λ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
Interpretacion de δ∗ y de λ∗
δ∗(p, u) es igual que para los AFD.λ∗(p, u) es la sucesion de salidas emitidas por la maquina trascomenzar en el estado p y realizar las transiciones indicadas porla sucesion de sımbolos de la cadena u.
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Extension de δ y λ a K × Σ∗
δ∗(p, u) =
{p si u = ε
δ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
λ∗(p, u) =
{ε si u = ε
λ(p, a)λ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
Interpretacion de δ∗ y de λ∗
δ∗(p, u) es igual que para los AFD.λ∗(p, u) es la sucesion de salidas emitidas por la maquina trascomenzar en el estado p y realizar las transiciones indicadas porla sucesion de sımbolos de la cadena u.
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δ∗(p, u) =
{p si u = ε
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λ∗(p, u) =
{ε si u = ε
λ(p, a)λ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗
Interpretacion de δ∗ y de λ∗
δ∗(p, u) es igual que para los AFD.λ∗(p, u) es la sucesion de salidas emitidas por la maquina trascomenzar en el estado p y realizar las transiciones indicadas porla sucesion de sımbolos de la cadena u.
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{p si u = ε
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λ∗(p, u) =
{ε si u = ε
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δ∗(p, u) es igual que para los AFD.λ∗(p, u) es la sucesion de salidas emitidas por la maquina trascomenzar en el estado p y realizar las transiciones indicadas porla sucesion de sımbolos de la cadena u.
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{p si u = ε
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{ε si u = ε
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δ∗(p, u) =
{p si u = ε
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λ∗(p, u) =
{ε si u = ε
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Maquinas secuenciales
Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I),
definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante
g(u) = λ∗(I, u)
Proposicion
Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.
Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante
KB = K × KA
δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))IB = (I, IA)
FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}
Entonces, C (B) = {u ∈ Σ∗ : g(u) ∈ R}.
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Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I), definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante
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Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.
Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante
KB = K × KA
δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))IB = (I, IA)
FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}
Entonces, C (B) = {u ∈ Σ∗ : g(u) ∈ R}.
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Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I), definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante
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Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.
Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante
KB = K × KA
δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))IB = (I, IA)
FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}
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Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I), definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante
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Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.
Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante
KB = K × KA
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FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}
Entonces, C (B) = {u ∈ Σ∗ : g(u) ∈ R}.
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Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I), definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante
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Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.
Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.
Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante
KB = K × KA
δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))IB = (I, IA)
FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}
Entonces, C (B) = {u ∈ Σ∗ : g(u) ∈ R}.
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Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante
KB = K × KA
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Proposicion
Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.
Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante
KB = K × KA
δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))IB = (I, IA)
FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}
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Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.
Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante
KB = K × KA
δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))
IB = (I, IA)FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}
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Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I), definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante
g(u) = λ∗(I, u)
Proposicion
Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.
Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante
KB = K × KA
δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))IB = (I, IA)
FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}
Entonces, C (B) = {u ∈ Σ∗ : g(u) ∈ R}.
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Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I), definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante
g(u) = λ∗(I, u)
Proposicion
Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.
Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante
KB = K × KA
δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))IB = (I, IA)
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Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I), definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante
g(u) = λ∗(I, u)
Proposicion
Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.
Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante
KB = K × KA
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Un lenguaje nocomputable
Maquinas de Turing
Definicion
Maquina de Turing: M = (K ,Σ,∆, β, δ, I,F)
K : conjunto finito de estados.
Σ y ∆: alfabetos finitos (de entrada y de cinta) conΣ ⊂ ∆.
β: blanco; β ∈ ∆− Σ.
I y F : estados inicial y final.
δ: funcion parcial de (K − {F})×∆ en K ×∆× {I ,D}.
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Maquinas de Turing
Definicion
Maquina de Turing: M = (K ,Σ,∆, β, δ, I,F)
K : conjunto finito de estados.
Σ y ∆: alfabetos finitos (de entrada y de cinta) conΣ ⊂ ∆.
β: blanco; β ∈ ∆− Σ.
I y F : estados inicial y final.
δ: funcion parcial de (K − {F})×∆ en K ×∆× {I ,D}.
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Definicion
Maquina de Turing: M = (K ,Σ,∆, β, δ, I,F)
K : conjunto finito de estados.
Σ y ∆: alfabetos finitos (de entrada y de cinta)
conΣ ⊂ ∆.
β: blanco; β ∈ ∆− Σ.
I y F : estados inicial y final.
δ: funcion parcial de (K − {F})×∆ en K ×∆× {I ,D}.
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Definicion
Maquina de Turing: M = (K ,Σ,∆, β, δ, I,F)
K : conjunto finito de estados.
Σ y ∆: alfabetos finitos (de entrada y de cinta) conΣ ⊂ ∆.
β: blanco; β ∈ ∆− Σ.
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Definicion
Maquina de Turing: M = (K ,Σ,∆, β, δ, I,F)
K : conjunto finito de estados.
Σ y ∆: alfabetos finitos (de entrada y de cinta) conΣ ⊂ ∆.
β: blanco; β ∈ ∆− Σ.
I y F : estados inicial y final.
δ: funcion parcial de (K − {F})×∆ en K ×∆× {I ,D}.
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Definicion
Maquina de Turing: M = (K ,Σ,∆, β, δ, I,F)
K : conjunto finito de estados.
Σ y ∆: alfabetos finitos (de entrada y de cinta) conΣ ⊂ ∆.
β: blanco; β ∈ ∆− Σ.
I y F : estados inicial y final.
δ: funcion parcial de (K − {F})×∆ en K ×∆× {I ,D}.
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Definicion
Maquina de Turing: M = (K ,Σ,∆, β, δ, I,F)
K : conjunto finito de estados.
Σ y ∆: alfabetos finitos (de entrada y de cinta) conΣ ⊂ ∆.
β: blanco; β ∈ ∆− Σ.
I y F : estados inicial y final.
δ: funcion parcial de (K − {F})×∆ en K ×∆× {I ,D}.
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Definicion
Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:
p ∈ K (el estado actual de M).
i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).
t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).
Configuraciones iniciales
Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.
Paros
La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.
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Definicion
Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:
p ∈ K (el estado actual de M).
i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).
t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).
Configuraciones iniciales
Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.
Paros
La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.
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Definicion
Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:
p ∈ K (el estado actual de M).
i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).
t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).
Configuraciones iniciales
Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.
Paros
La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.
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K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Configuraciones de Maquinas de Turing
Definicion
Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:
p ∈ K (el estado actual de M).
i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).
t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).
Configuraciones iniciales
Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.
Paros
La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
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MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
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Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Configuraciones de Maquinas de Turing
Definicion
Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:
p ∈ K (el estado actual de M).
i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).
t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆,
tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).
Configuraciones iniciales
Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.
Paros
La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.
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Un lenguaje nocomputable
Configuraciones de Maquinas de Turing
Definicion
Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:
p ∈ K (el estado actual de M).
i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).
t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).
Configuraciones iniciales
Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.
Paros
La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.
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Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Configuraciones de Maquinas de Turing
Definicion
Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:
p ∈ K (el estado actual de M).
i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).
t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).
Configuraciones iniciales
Dada u ∈ Σ∗,
la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.
Paros
La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.
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Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
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Definicion
Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:
p ∈ K (el estado actual de M).
i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).
t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).
Configuraciones iniciales
Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u
(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.
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La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.
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Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Configuraciones de Maquinas de Turing
Definicion
Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:
p ∈ K (el estado actual de M).
i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).
t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).
Configuraciones iniciales
Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u))
es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.
Paros
La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.
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Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
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Definicion
Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:
p ∈ K (el estado actual de M).
i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).
t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).
Configuraciones iniciales
Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1)
tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.
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La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.
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Codificacion demaquinas
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Definicion
Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:
p ∈ K (el estado actual de M).
i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).
t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).
Configuraciones iniciales
Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.
Paros
La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.
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Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Configuraciones de Maquinas de Turing
Definicion
Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:
p ∈ K (el estado actual de M).
i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).
t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).
Configuraciones iniciales
Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.
Paros
La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.
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Configuraciones
Computaciones
Lenguajescomputables
Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Computabilidad
Transicion entre configuraciones
Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j),
escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1
d = D =⇒ j = i + 1
Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):
Computaciones
Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.
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Computaciones
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Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Computabilidad
Transicion entre configuraciones
Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando
δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1
d = D =⇒ j = i + 1
Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):
Computaciones
Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.
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Computaciones
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Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Computabilidad
Transicion entre configuraciones
Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde
• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1
d = D =⇒ j = i + 1
Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):
Computaciones
Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.
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Computaciones
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Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Computabilidad
Transicion entre configuraciones
Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b
• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1
d = D =⇒ j = i + 1
Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):
Computaciones
Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.
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Configuraciones
Computaciones
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Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Computabilidad
Transicion entre configuraciones
Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk
• d = I =⇒ j = i − 1d = D =⇒ j = i + 1
Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):
Computaciones
Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.
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Un lenguaje nocomputable
Computabilidad
Transicion entre configuraciones
Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1
d = D =⇒ j = i + 1
Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):
Computaciones
Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.
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Transicion entre configuraciones
Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1
d = D =⇒ j = i + 1
Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):
Computaciones
Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.
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Computabilidad
Transicion entre configuraciones
Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1
d = D =⇒ j = i + 1
Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):
Computaciones
Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.
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Configuraciones
Computaciones
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Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Computabilidad
Transicion entre configuraciones
Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1
d = D =⇒ j = i + 1
Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):
Computaciones
Una computacion de M
es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.
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Configuraciones
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Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Computabilidad
Transicion entre configuraciones
Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1
d = D =⇒ j = i + 1
Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):
Computaciones
Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que
ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.
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Configuraciones
Computaciones
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Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Computabilidad
Transicion entre configuraciones
Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1
d = D =⇒ j = i + 1
Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):
Computaciones
Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.
En tal caso, escribimos c1 `M cn.
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K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
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Configuraciones
Computaciones
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Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Computabilidad
Transicion entre configuraciones
Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1
d = D =⇒ j = i + 1
Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):
Computaciones
Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.
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Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
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Aceptacion
M acepta u ∈ Σ∗
si M(u) `M (t,F , i) para algunos t, i .
M rechaza u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t, p, i) para algunost, p, i , donde (t, p, i) es un paro con p 6= F .
M acepta L ⊂ Σ∗ si acepta cada palabra en L y rechazacada palabra en Σ∗ − L.
Definicion
Un conjunto se dice computable si es aceptado por algunamaquina de Turing.
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Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
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Aceptacion
M acepta u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t,F , i) para algunos t, i .
M rechaza u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t, p, i) para algunost, p, i , donde (t, p, i) es un paro con p 6= F .
M acepta L ⊂ Σ∗ si acepta cada palabra en L y rechazacada palabra en Σ∗ − L.
Definicion
Un conjunto se dice computable si es aceptado por algunamaquina de Turing.
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Aceptacion
M acepta u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t,F , i) para algunos t, i .
M rechaza u ∈ Σ∗
si M(u) `M (t, p, i) para algunost, p, i , donde (t, p, i) es un paro con p 6= F .
M acepta L ⊂ Σ∗ si acepta cada palabra en L y rechazacada palabra en Σ∗ − L.
Definicion
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Aceptacion
M acepta u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t,F , i) para algunos t, i .
M rechaza u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t, p, i) para algunost, p, i , donde (t, p, i) es un paro con p 6= F .
M acepta L ⊂ Σ∗ si acepta cada palabra en L y rechazacada palabra en Σ∗ − L.
Definicion
Un conjunto se dice computable si es aceptado por algunamaquina de Turing.
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Aceptacion
M acepta u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t,F , i) para algunos t, i .
M rechaza u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t, p, i) para algunost, p, i , donde (t, p, i) es un paro con p 6= F .
M acepta L ⊂ Σ∗
si acepta cada palabra en L y rechazacada palabra en Σ∗ − L.
Definicion
Un conjunto se dice computable si es aceptado por algunamaquina de Turing.
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Aceptacion
M acepta u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t,F , i) para algunos t, i .
M rechaza u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t, p, i) para algunost, p, i , donde (t, p, i) es un paro con p 6= F .
M acepta L ⊂ Σ∗ si acepta cada palabra en L y rechazacada palabra en Σ∗ − L.
Definicion
Un conjunto se dice computable si es aceptado por algunamaquina de Turing.
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Aceptacion
M acepta u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t,F , i) para algunos t, i .
M rechaza u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t, p, i) para algunost, p, i , donde (t, p, i) es un paro con p 6= F .
M acepta L ⊂ Σ∗ si acepta cada palabra en L y rechazacada palabra en Σ∗ − L.
Definicion
Un conjunto se dice computable si es aceptado por algunamaquina de Turing.
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Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Ejemplo: Reconocimiento de {0n1n : n ∈ N}
inicio
. si (leo β) aceptar
. si (leo 0)
. . escribir β
. . buscar β a derecha
. . retroceder una posicion
. . si (leo 1)
. . . escribir β
. . . buscar β a izquierda
. . . avanzar una posicion
. . . repetir desde inicio
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K(Σ) y losconjuntosregulares
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inicio. si (leo β) aceptar
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. . si (leo 1)
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. . . buscar β a izquierda
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inicio. si (leo β) aceptar. si (leo 0)
. . escribir β
. . buscar β a derecha
. . retroceder una posicion
. . si (leo 1)
. . . escribir β
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inicio. si (leo β) aceptar. si (leo 0). . escribir β
. . buscar β a derecha
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inicio. si (leo β) aceptar. si (leo 0). . escribir β. . buscar β a derecha
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inicio. si (leo β) aceptar. si (leo 0). . escribir β. . buscar β a derecha. . retroceder una posicion
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inicio. si (leo β) aceptar. si (leo 0). . escribir β. . buscar β a derecha. . retroceder una posicion. . si (leo 1)
. . . escribir β
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Ejemplo: Reconocimiento de {0n1n : n ∈ N}
inicio. si (leo β) aceptar. si (leo 0). . escribir β. . buscar β a derecha. . retroceder una posicion. . si (leo 1). . . escribir β. . . buscar β a izquierda
. . . avanzar una posicion
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Ejemplo: Reconocimiento de {0n1n : n ∈ N}
inicio. si (leo β) aceptar. si (leo 0). . escribir β. . buscar β a derecha. . retroceder una posicion. . si (leo 1). . . escribir β. . . buscar β a izquierda. . . avanzar una posicion
. . . repetir desde inicio
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Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Ejemplo: Reconocimiento de {0n1n : n ∈ N}
inicio. si (leo β) aceptar. si (leo 0). . escribir β. . buscar β a derecha. . retroceder una posicion. . si (leo 1). . . escribir β. . . buscar β a izquierda. . . avanzar una posicion. . . repetir desde inicio
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Ejemplos
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Un lenguaje nocomputable
Ejemplo: Reconocimiento de {0n1n : n ≥ 1}
si (leo 0 o 1)
. volver cabezala primera posicion
. entregar controla M del ejemplo anterior
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Un lenguaje nocomputable
Ejemplo: Reconocimiento de {0n1n : n ≥ 1}
si (leo 0 o 1). volver cabezal
a primera posicion
. entregar controla M del ejemplo anterior
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Un lenguaje nocomputable
Ejemplo: Reconocimiento de {0n1n : n ≥ 1}
si (leo 0 o 1). volver cabezal
a primera posicion. entregar control
a M del ejemplo anterior
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Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Con ∆ = {0, 1, β} se puede simular cualquier M
∆ = {a, b, c , d , β}
a↔ 00b ↔ 01c ↔ 10d ↔ 11
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Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Con ∆ = {0, 1, β} se puede simular cualquier M
∆ = {a, b, c , d , β}
a↔ 00b ↔ 01c ↔ 10d ↔ 11
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Ejemplos
Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Codificacion de maquinas
Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ.
Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.
Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:
c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)
(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por
c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)
y M queda representada por la concatenacion
c(M) = 1N0c(1)0c(2)0 · · · 0c(N)
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Un lenguaje nocomputable
Codificacion de maquinas
Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N.
Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.
Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:
c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)
(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por
c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)
y M queda representada por la concatenacion
c(M) = 1N0c(1)0c(2)0 · · · 0c(N)
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Codificacion de maquinas
Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.
Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:
c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)
(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por
c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)
y M queda representada por la concatenacion
c(M) = 1N0c(1)0c(2)0 · · · 0c(N)
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Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.
Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆,
si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:
c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)
(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por
c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)
y M queda representada por la concatenacion
c(M) = 1N0c(1)0c(2)0 · · · 0c(N)
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Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.
Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:
c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)
(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por
c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)
y M queda representada por la concatenacion
c(M) = 1N0c(1)0c(2)0 · · · 0c(N)
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Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.
Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:
c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)
(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por
c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)
y M queda representada por la concatenacion
c(M) = 1N0c(1)0c(2)0 · · · 0c(N)
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Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.
Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:
c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)
(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)
Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por
c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)
y M queda representada por la concatenacion
c(M) = 1N0c(1)0c(2)0 · · · 0c(N)
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Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.
Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:
c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)
(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por
c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)
y M queda representada por la concatenacion
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Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.
Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:
c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)
(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por
c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)
y M queda representada por la concatenacion
c(M) = 1N0c(1)0c(2)0 · · · 0c(N)
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Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.
Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:
c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)
(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por
c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)
y M queda representada por la concatenacion
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Un lenguaje nocomputable
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Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.
Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:
c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)
(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por
c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)
y M queda representada por la concatenacion
c(M) = 1N0c(1)0c(2)0 · · · 0c(N)
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Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
Sea L el conjunto de todas las cadenas de 0 y 1
de la formac(M)u tales que:
M es maquina de Turing (y c(M) su codificacion).
u ∈ {0, 1}∗.M(u) `M c con c un paro de M (en cualquier estado).
Teorema
L es no computable.
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Un lenguaje no computable
Sea L el conjunto de todas las cadenas de 0 y 1 de la formac(M)u tales que:
M es maquina de Turing (y c(M) su codificacion).
u ∈ {0, 1}∗.M(u) `M c con c un paro de M (en cualquier estado).
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L es no computable.
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Sea L el conjunto de todas las cadenas de 0 y 1 de la formac(M)u tales que:
M es maquina de Turing
(y c(M) su codificacion).
u ∈ {0, 1}∗.M(u) `M c con c un paro de M (en cualquier estado).
Teorema
L es no computable.
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Sea L el conjunto de todas las cadenas de 0 y 1 de la formac(M)u tales que:
M es maquina de Turing (y c(M) su codificacion).
u ∈ {0, 1}∗.M(u) `M c con c un paro de M (en cualquier estado).
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Codificacion demaquinas
Un lenguaje nocomputable
Un lenguaje no computable
Sea L el conjunto de todas las cadenas de 0 y 1 de la formac(M)u tales que:
M es maquina de Turing (y c(M) su codificacion).
u ∈ {0, 1}∗.
M(u) `M c con c un paro de M (en cualquier estado).
Teorema
L es no computable.
AUTO–MATAS
Automatas
Lenguajes
AFD
Lenguajesregulares
AFND
Caracterizacionde Kleene
K(Σ)
K(Σ) y losconjuntosregulares
MaquinasSecuenciales
Maquinas deTuring
Configuraciones
Computaciones
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Sea L el conjunto de todas las cadenas de 0 y 1 de la formac(M)u tales que:
M es maquina de Turing (y c(M) su codificacion).
u ∈ {0, 1}∗.M(u) `M c con c un paro de M (en cualquier estado).
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Sea L el conjunto de todas las cadenas de 0 y 1 de la formac(M)u tales que:
M es maquina de Turing (y c(M) su codificacion).
u ∈ {0, 1}∗.M(u) `M c con c un paro de M (en cualquier estado).
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Un lenguaje nocomputable
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Si lo fuera...
Sea U ′ = (K , {0, 1}, {0, 1, β}, β, δ, I,F) una maquina deTuring que acepta L.
Entonces, para cada maquina M y cada cadena u ∈ {0, 1}∗:U ′(c(M)u) para en F ⇐⇒ M(u) para.
U ′(c(M)u) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(u) no para.
Entonces...
Sea U ′′ una maquina de Turing tal que:
1 realiza una copia de su cadena de entrada a la derecha dela misma, luego
2 mueve el cabezal hasta la posicion 1 de la cinta, y
3 entra en una submaquina como la U ′.
(El estado final de U ′′ sigue siendo F .)
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Si lo fuera...
Sea U ′ = (K , {0, 1}, {0, 1, β}, β, δ, I,F) una maquina deTuring que acepta L.Entonces, para cada maquina M y cada cadena u ∈ {0, 1}∗:
U ′(c(M)u) para en F ⇐⇒ M(u) para.
U ′(c(M)u) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(u) no para.
Entonces...
Sea U ′′ una maquina de Turing tal que:
1 realiza una copia de su cadena de entrada a la derecha dela misma, luego
2 mueve el cabezal hasta la posicion 1 de la cinta, y
3 entra en una submaquina como la U ′.
(El estado final de U ′′ sigue siendo F .)
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Sea U ′ = (K , {0, 1}, {0, 1, β}, β, δ, I,F) una maquina deTuring que acepta L.Entonces, para cada maquina M y cada cadena u ∈ {0, 1}∗:
U ′(c(M)u) para en F ⇐⇒ M(u) para.
U ′(c(M)u) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(u) no para.
Entonces...
Sea U ′′ una maquina de Turing tal que:
1 realiza una copia de su cadena de entrada a la derecha dela misma, luego
2 mueve el cabezal hasta la posicion 1 de la cinta, y
3 entra en una submaquina como la U ′.
(El estado final de U ′′ sigue siendo F .)
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U ′(c(M)u) para en F ⇐⇒ M(u) para.
U ′(c(M)u) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(u) no para.
Entonces...
Sea U ′′ una maquina de Turing tal que:
1 realiza una copia de su cadena de entrada a la derecha dela misma, luego
2 mueve el cabezal hasta la posicion 1 de la cinta, y
3 entra en una submaquina como la U ′.
(El estado final de U ′′ sigue siendo F .)
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U ′(c(M)u) para en F ⇐⇒ M(u) para.
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Entonces...
Sea U ′′ una maquina de Turing tal que:
1 realiza una copia de su cadena de entrada a la derecha dela misma, luego
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3 entra en una submaquina como la U ′.
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U ′(c(M)u) para en F ⇐⇒ M(u) para.
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Entonces...
Sea U ′′ una maquina de Turing tal que:
1 realiza una copia de su cadena de entrada a la derecha dela misma, luego
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Sea U ′ = (K , {0, 1}, {0, 1, β}, β, δ, I,F) una maquina deTuring que acepta L.Entonces, para cada maquina M y cada cadena u ∈ {0, 1}∗:
U ′(c(M)u) para en F ⇐⇒ M(u) para.
U ′(c(M)u) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(u) no para.
Entonces...
Sea U ′′ una maquina de Turing tal que:
1 realiza una copia de su cadena de entrada a la derecha dela misma, luego
2 mueve el cabezal hasta la posicion 1 de la cinta, y
3 entra en una submaquina como la U ′.
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Sea U ′ = (K , {0, 1}, {0, 1, β}, β, δ, I,F) una maquina deTuring que acepta L.Entonces, para cada maquina M y cada cadena u ∈ {0, 1}∗:
U ′(c(M)u) para en F ⇐⇒ M(u) para.
U ′(c(M)u) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(u) no para.
Entonces...
Sea U ′′ una maquina de Turing tal que:
1 realiza una copia de su cadena de entrada a la derecha dela misma, luego
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Sea U ′ = (K , {0, 1}, {0, 1, β}, β, δ, I,F) una maquina deTuring que acepta L.Entonces, para cada maquina M y cada cadena u ∈ {0, 1}∗:
U ′(c(M)u) para en F ⇐⇒ M(u) para.
U ′(c(M)u) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(u) no para.
Entonces...
Sea U ′′ una maquina de Turing tal que:
1 realiza una copia de su cadena de entrada a la derecha dela misma, luego
2 mueve el cabezal hasta la posicion 1 de la cinta, y
3 entra en una submaquina como la U ′.
(El estado final de U ′′ sigue siendo F .)
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Un lenguaje nocomputable
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Dada una maquina M cualquiera:
U ′′ permite decidir si c(M)c(M) ∈ L,
es decir, si M para o nocuando la cinta de M contiene inicialmente la codificacion de lapropia M.
U ′′(c(M)) para en F ⇐⇒ M(c(M)) para.
U ′′(c(M)) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(c(M)) no para.
Pequenos ajustes a U ′′
Sea U la maquina que resulta de modificar U ′′ ası:
1 agregar movimientos δ(F , a) = (F , a,D) para cada a ∈ ∆.
2 agregar nuevo estado F ′ (sera el estado final de U).
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Dada una maquina M cualquiera:
U ′′ permite decidir si c(M)c(M) ∈ L, es decir, si M para o nocuando la cinta de M contiene inicialmente la codificacion de lapropia M.
U ′′(c(M)) para en F ⇐⇒ M(c(M)) para.
U ′′(c(M)) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(c(M)) no para.
Pequenos ajustes a U ′′
Sea U la maquina que resulta de modificar U ′′ ası:
1 agregar movimientos δ(F , a) = (F , a,D) para cada a ∈ ∆.
2 agregar nuevo estado F ′ (sera el estado final de U).
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Dada una maquina M cualquiera:
U ′′ permite decidir si c(M)c(M) ∈ L, es decir, si M para o nocuando la cinta de M contiene inicialmente la codificacion de lapropia M.
U ′′(c(M)) para en F ⇐⇒ M(c(M)) para.
U ′′(c(M)) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(c(M)) no para.
Pequenos ajustes a U ′′
Sea U la maquina que resulta de modificar U ′′ ası:
1 agregar movimientos δ(F , a) = (F , a,D) para cada a ∈ ∆.
2 agregar nuevo estado F ′ (sera el estado final de U).
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Dada una maquina M cualquiera:
U ′′ permite decidir si c(M)c(M) ∈ L, es decir, si M para o nocuando la cinta de M contiene inicialmente la codificacion de lapropia M.
U ′′(c(M)) para en F ⇐⇒ M(c(M)) para.
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2 agregar nuevo estado F ′ (sera el estado final de U).
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Dada una maquina M cualquiera:
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U ′′(c(M)) para en F ⇐⇒ M(c(M)) para.
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Dada una maquina M cualquiera:
U ′′ permite decidir si c(M)c(M) ∈ L, es decir, si M para o nocuando la cinta de M contiene inicialmente la codificacion de lapropia M.
U ′′(c(M)) para en F ⇐⇒ M(c(M)) para.
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U ′′(c(M)) para en F ⇐⇒ M(c(M)) para.
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¿Que pasa con U?
Dada una maquina de Turing M cualquiera:
U(c(M)) para⇐⇒ U ′′(c(M)) para en algun p 6= F
⇐⇒ M(c(M)) no para
¿Y si M = U?
U(c(U)) para ⇐⇒ U(c(U)) no para
Contradiccion que proviene de suponer L computable.
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