Resistencia de

Materiales

Profesor: Nelson Alvarez Campillay

Capítulo 5

Torsión en Ejes

Mm

Mc

Mm

Mc

TORSION En el diseño de máquinas y de algunas estructuras se presenta frecuentemente el problema de transmisión de torque o potencias rotacionales. Considerando el rotor de un motor eléctrico, tenemos que el eje es un elemento sometido a torsión.

x !

dx d

l

Esfuerzos debido a la Torsión En términos relativos, se puede considerar un extremo empotrado; mientras el otro, se tuerce debido al momento de torsión.

Se puede apreciar que el cilindro se tuerce, pero no se deforma (mantiene el diámetro y el largo); o sea, cada elemento de disco que conforma el cilindro gira con respecto al anterior, pero sigue siendo disco desarrollando la generatriz deformada.

! r

x dx l

τ

Se puede apreciar que el elemento cuadrado, comprendido entre dos generatrices y el disco infinitesimal, se distorsiona transformándose en rombo. Para que ello ocurra será indispensable que actúen esfuerzos cortantes.

! = tg! = d"dlr = " ! r

l

!máx

!"

dA

"

R

γ depende linealmente del radio ρ

!" =#l!"

! " =G !#l!"

!" = máx" !!R

El momento de torsión

dMt = ρ (dA τρ)

!"

!máx

R

"

I! = !2 dA0

A

"

Se define el Momento de Inercia Polar

[cm4]

τ = γ ⋅ G

tM = !máxR

! I" !máx =Mt

I!R

"

#$

%

&'

Se define el Módulo de Sección Polar W! =I!R

cm3

Para una sección circular:

r

dA=2 π r dr

I! = !2 dA0

A

"

I! =! 4d32 !W = ! 3d

16

dr

Deformación por torsión

Para la obtención del ángulo ϕ de giro de un plano respecto a otro separado una distancia l

! = tM ! lI"R

#

$%

&

'(!R !G

= ! = tM ! lI" !G

es la relación elástica entre la carga Mt y la deformación ϕ

τ = γ ⋅ G

! = tg! = d"dlr = " ! r

l

!n = - "xy sen 2#"

El máximo esfuerzo normal se produce a 45° con respecto al de cortadura máxima.

!x = 0

!y = 0 máx! = ( x" - y"2

2) + xy2! = xy!

"xy = Mt/W!

!n

"xy

"yx

σ

τ

2θτ

Esfuerzo por torsión pura

Transmisión de Potencia Rotacional Potencia es la razón entre el trabajo realizado y el tiempo empleado en ello. En la transmisión de potencia rotacional se emplea generalmente ejes de sección circular.

N = dWdt

=T d!dt=T"

N= potencia en watt [Nm/s] T= momento torsor o torque Nm W= velocidad angular rad/s

Pero la potencia, por lo general, se da HP (745 watt), la velocidad de los motores en R.P.M. y el Momento torsor se necesita en cm kgf.

Mt = 71620 N/n (cm kgf)

con N= potencia en HP n= velocidad de rotación en R.P.M.

Ejemplo Un eje de acero de un motor eléctrico entrega una potencia de 10 HP a 1500 R.P.M., si su diámetro es 20 mm, determinar los esfuerzos máximos, normales y cortante y el ángulo de torsión si su largo es 100 mm.

xy! = tM0W= 477,4671,5708

= 304 kg2cm

0W = ! 3d16

= ! 2, 3516

=1,5708 3cm

tM =71620 101560

= 477,467cmkgf

τmáx = 304 [kgf/cm2]

σ1 = 304 [kgf/cm2]

σ2 = -304 [kgf/cm2]

G= E2(1+! )

= 2,1• 6102(1+0,3)

kg2cm= 8,077 • 510 kg / 2cm

J = ! 4d32

= ! 232

=1,5700

! = tM lJG

= 477,467 •1001,5708•8,077 • 510

= 37,6 • -310 rad = 0,0376rad = 2° !9 22"

! = tM ! lI" !G

Mc

(1) !Mx = 0 MA + MB - MC = 0

C/A! = AM aG _aI

C/B! = bM bG _bI

Indeterminación estática en torsión

db

da

a b

MC

aM aG _aI

= bM bG _bI

_aI =4!da

32

_bI =4! bd

32

(2) aMbM= ba

4

( adbd)

C/A! = C/B!

Indeterminación estática en torsión

Ejercicio 1: El eje cilíndrico AB tiene 250 mm de longitud y un diámetro de 22 mm, de

los cuales 125 mm tienen una cavidad de 16 mm de diámetro. El eje está empotrado en ambos extremos. Determine el torque ejercido en cada soporte. Considere acero AISI 1030 E=2,1 [Gpa] ν = 0,2

Ejercicio 2: Dos ejes de acero sólido están conectados por los enganajes que se

muestran. Sabiendo que para cada eje G=77 [Gpa] y el esfuerzo permitido de corte es 55 [Mpa], determine (a) el máximo torque permitido en A y (b) el ángulo de giro de C con respecto a D.

Ejercicio 3: El eje horizontal AD está empotrado en D y

sometido a los torques que se muestran. En la porción DC está perforado con diámetro de 44[mm]. Todo el eje está hecho de acero G=77 [Gpa]. Determine el ángulo de giro en A. Si además se aplica un carga P, determine el estado de esfuerzos en D.

P=100 [KN]

Ejercicio 4: Un eje de acero y un tubo de aluminio están conectados por una pared

fija y un disco rígido como lo muestra la figura en corte. Sabiendo que el esfuerzo inicial es cero, determine el torque máximo que puede ser aplicado en el disco si el esfuerzo admisible es 120 [MPa] en el acero y de 70 [MPa] en el aluminio. Use G=77 [Gpa] para el acero y G=27 [GPa] para el aluminio