CAP 6

Captulo 5:

ANLISIS DE SENSIBILIDAD PARA MODELOS CONSTITUTIVOS DE DAO

En el captulo 3 se ha presentado el clculo no lineal de sensibilidades desde una perspectiva

terica y general. Posteriormente, en el captulo 4 se han particularizado las expresiones del anlisis

de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad, y en el apartado de ejemplos se

han detectado problemas de incapacidad en la prediccin de cargas ltimas, as como dificultades

en la extrapolacin de resultados entre estructuras que estn bajo un rgimen de comportamiento

distinto. En este captulo, se analiza la estrategia de clculo para realizar un anlisis de sensibilidad

suponiendo que el comportamiento del material se asemeja a un modelo de dao y se da respuesta

a alguno de los problemas planteados anteriormente.

5.1 ANLISIS DE SENSIBILIDAD PARA EL MODELO DE DAO

Los aspectos tericos y numricos del modelo de dao empleado en este trabajo se detallan en el

anexo 5.1, al final de este captulo. En este apartado se procede al clculo de las expresiones de

sensibilidad de formas para una estructura que estuviera construida con un material que cumpla las

condiciones de dicha formulacin constitutiva.

5.1.1 FORMULACIN DE LAS EXPRESIONES

Supuesto el Principio de los Trabajos Virtuales como expresin energtica general que conduce a

una ecuacin de equilibrio entre las fuerzas internas de deformacin y las fuerzas externa aplicadas,

y supuesta la consiguiente discretizacin en elementos finitos del problema, se obtendra:

( )B DBu dV ftVelem elem

1 = d 5.1.1

y en forma de sistema matricial:

( )K u u fS = 5.1.2

donde la dependencia no lineal del problema viene caracterizada por el parmetro de dao d . La

ilustracin 5.1 muestra grficamente el sentido fsico de la ecuacin de equilibrio.

5.2 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao

Si se aplica el mtodo de diferenciacin directa DDM slo ser necesario derivar la ecuacin

superior de equilibrio 5.1.2. Por consiguiente, sabiendo que la rigidez total del sistema es la

contribucin aditiva de todos y cada uno de los elementos de la malla, se puede derivar la expresin

integral particularizada para cada uno de los elementos tal y como se hizo en el captulo 2. Tngase

en cuenta que en el anlisis de formas se deber derivar el recinto de integracin del elemento, pero

no presenta especial dificultad porque se pueden aprovechar los conceptos relativos a la

integracin isoparamtrica que tambin se formularon all.

Por lo tanto, siendo q una variable de diseo y para un estado equilibrado de carga desplazamiento,

se tendra:

( )ddq

B DBudVddq

ftVelemelem elem

1 = d 5.1.3

Suponiendo que se deriva para un nico elemento isoparamtrico:

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

ddq

B DBu J dV

dBdq

D Bu J dV Bddq

DBu J dV

BdDdq

Bu J dV B DdBdq

u J dV

B DBdudq

J dV B D Bud Jdq

dV

to

V

t

oV

to

V

to

V

to

V

to

V

to

V

o

o o

o o

o o

1

1

1 1

1 1

=

+

+ +

+

d

dd

d d

d d

5.1.4

En la igualdad superior 5.1.4 se observa que la mayor parte de las expresiones son parecidas a las

que se obtenan en el anlisis lineal y por lo tanto no merecen mayor comentario, en cambio otras

como la segunda integral en concreto, presentan la particularidad de derivar el parmetro de dao

interno de la ecuacin constitutiva.

Sabiendo que en el modelo se define el parmetro de dao como, ver anexo 5.1:

Ilustracin 5.1: Equilibrio secante

Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao 5.3

d*

*

=

1

1

e

A 5.1.5

Se puede obtener su derivada segn la regla de la cadena:

ddq q A

dAdq

ddq

d d d d= + +

5.1.6

En dicha expresin la variable de diseo no aparece explcita, por lo tanto el valor de la primera

derivada es nulo. Por otro lado, la formulacin considera que el parmetro A de A5.1.48 depende de la longitud caracterstica del elemento, por lo tanto ante una modificacin de forma la longitud

caracterstica debera variar y, por lo tanto, dicho trmino derivado no sera nulo.

Obteniendo:

d

*

**

AA e

A=

1

1 5.1.7

y tambin de A5.1.48 se deduce que:

dAdq G E

ddq

t

f

c=

22 1

2f l 5.1.8

donde la ltima derivada, en base a que A5.1.45 y A5.1.46 relacionan el volumen del punto de

integracin con la longitud caracterstica, se expresa segn:

ddq J

d Jdq

cl ==1

2 5.1.9

La derivada del Jacobiano de la transformacin se defini en el captulo2 frmula 2.3.36. Sin

embargo, puede afirmarse que, en general, para mallas mnimamente densas la variacin en dicho

trmino ser despreciable.

A continuacin se deriva el ltimo trmino de 5.1.6:

ddq

ddq

d d=

5.1.10

1. La primera derivada parcial conduce a la expresin:

d fc fc= +

2

1Ae

A

5.1.11

2. El clculo de la segunda expresin es ms complejo ya que la dependencia no es explcita y por

lo tanto es necesario aplicar de nuevo la regla de la cadena sobre la norma de tensiones A5.1.18.

Por consiguiente:

ddq

ddqi

eie

i

=

=

1

3

5.1.12


Entonces se deben derivar estos dos nuevos trminos, el clculo de la primera derivada parcial

conduce:

( ) ( ) ( )( )( )

ie

ie i

e

i

ie

ie

i

nr

r n=

+ +

=

=

1 1 12

1

3

2

1

3 5.1.13

y sabiendo que :

( ) ( )( )

r sig

sigie

je

j

ie

i

ie

je

jie=

+

=

= =

1 12 2

1

32

1

3

1

3

5.1.14

donde

[ ]r ie

ie

iie

ie

ie= = +

=

1

3 12

, 5.1.15

El segundo trmino de la derivada s que es explcito. Ntese que las tensiones principales

dependen de las cartesianas segn unas frmulas conocidas y stas ltimas son funcin de la

variable de diseo. En funcin de esa dependencia se desarrollar a continuacin la expresin

5.1.12 para reorganizar adecuadamente los trminos y obtener una formulacin lo ms sencilla

posible.

Entonces:

ddq

ddq

ddq

ddq

ddq

ddq

ddq

ddq

ddq

ddq

e

e

x

xe

y

ye

yz

yx

e

e

x

xe

y

ye

yz

yx

e

e

x

xe

y

ye

yz

yx

= + + +

+

+ + +

+

+ + +

1

1 1 1

2

2 2 2

3

3 3 3

L

L

L

5.1.16

Si se desarrolla la expresin anterior y se obtienen todos los productos, el resultado es el

siguiente:


ddq

ddq

ddq

ddq

ddq

ddq

ddq

e

e

x

xe

e

yz

yz

e

e

x

xe

e

yz

yz

e

e

x

xe

e

yz

yz

= + + +

+ + +

+ +

1

1

1

1

2

2

2

2

3

3

3

3

L

L

L

5.1.17

Se puede reagrupar la expresin de la siguiente manera:

ddq

ddq

ddq

e

e

xe

e

xe

e

x

x

e

e

yze

e

yze

e

yz

yz

= + +

+

+ +

+ +

1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

3

3

LLLLLL 5.1.18

En consecuencia, considerar el trmino que se busca como producto de dos vectores segn la

siguiente notacin, para el primero:

te

e

xe

e

xe

e

x

e

e

x e

e

x e

e

x

e

e

yze

e

yze

e

yz

= + +

+ +

+ +

1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

3

3

,

,

,LLLLLLLL

5.1.19

y para el segundo:

dddq

ddq

t x yz

=

, ,LLLL 5.1.20

De manera que:

ddq

dt

= 5.1.21

Ahora ya todos los trminos son conocidos dado que:

dddq

dDdq

Bu DdBdq

u D Bdudq

e

= = + + 5.1.22

Obsrvese que el trmino de las incgnitas (en negrita) aparece en la expresin que se ha

deducido:


ddq

dDdq

Bu DdBdq

u D Bt t t

= + +dudq

5.1.23

Ahora s que se est en condiciones de calcular la derivada 5.1.10, que originalmente se buscaba.

Por lo tanto, si se introducen dichas expresiones en la ecuacin 5.1.10, se obtiene:

ddq

dDdq

Bu DdBdq

u D Bdudq

t t td d= + +

5.1.24

y entrando en la expresin integral correspondiente, la segunda de 5.1.4:

Bddq

D Bu J dV BdDdq

Bu DdBdq

u D Bdudq

D Bu J dV

BdDdq

Bu DBu J dV

B DdBdq

u DBu J dV

B D Bdudq

DB u J dV

to

t to

VV

t to

V

t to

V

t to

V

oo

o

o

o

d d

d

d

d

= + +

=

+

+

5.1.25

La ltima integral contiene el trmino incgnita que interesa calcular. Entonces, cuando se

introduzca dicha expresin en la ecuacin derivada del equilibrio 5.1.4 aparentemente se obtendr

un sistema no lineal donde ser necesario iterar de alguna manera para resolverlo.

Sin embargo, si se desarrolla la expresin integral introduciendo todos los trminos que intervienen

en el producto de matrices y vectores, as como la relacin de dimensiones que tienen entre ellos,

se observa que se puede hacer una permutacin y obtener lo siguiente.

Llmese a:

$D D Bt= 5.1.26

y sabiendo que :

e D Bu= 5.1.27

Entonces la ltima integral se convierte en:


[ ]

d d $

d $

B DBdudq

DBu J dV B Ddudq

J dV

B D J dVdudq

t to

V

te o

V

te o

V

o o

o

= =

5.1.28

De manera que ahora du dq aparece como un trmino aislado y agrupable con las expresiones

anteriores. Recapitulando se obtiene:

( ) ( )

[ ][ ]

( ) ( )

( )

ddq

B DBu J dVdBdq

DBu J dV

BdDdq

B D Bu J dV

B DdBdq

DBu J dV

B D Bu D B J dV

BdDdx

Bu J dV B DdBdq

u J dV

B DB J dV

to

V

t

oV

t to

V

t to

V

t to

V

to

V

to

V

to

V

o o

o

o

o

o o

1 1

1 1

1

=

+

+ +

d d

d

d

d

d d

d

dudq

dudq

( )o o

B D Bud Jdq

dVt oV

+ 1 d

5.1.29

Por lo tanto, si se definen las siguientes matrices:

( )

[ ][ ]

K B DB J dV

K B DBu D B J dV

St

oVelem

Dt t

oVelem

o

o

=

=

1 d

d

5.1.30

y el vector de pseudocargas como:

( )

( )

( ) ( )

fdfdq

dBdq

D Bu J dV BdDdx

B DBu J dV

B DdBdq

DBu J dV BdDdq

Bu J dV

B DdBdq

u J dV B DBud Jdq

dV

elem

t

ot t

oVVelem

t to

to

VV

to

V

to

V

oo

oo

o o

* dd

dd

d d

=

+

+ +

1

1

1 1

5.1.31

En forma matricial se podra expresar el sistema como:


( ) ( )[ ]K u K u dudq

fS D =* 5.1.32

Donde aparece la matriz secante del sistema de equilibrio acompaada de otra matriz derivada y de

un trmino de pseudocargas que lgicamente ser distinto del que apareca en el sistema lineal.

Comparando dicha expresin con la frmula 3.2.4 que proponan Ryu et al. en el captulo 3, parece

que de forma intuitiva se podra establecer una relacin donde las respectivas matrices seran:

K K

KKu

u

S

D

=

5.1.33

En realidad no se ha sido capaz de establecer dicha relacin porque la naturaleza de las matrices es

completamente distinta, por lo tanto se concluye que la formulacin es diferente.

Por lo tanto, a travs de 5.1.32 se ha conseguido una expresin secante para calcular las

sensibilidades sin necesidad de acudir a un esquema incremental como el que se necesita para

resolver la ecuacin de equilibrio. Con esto se desmiente la creencia errnea segn la cual la

sensibilidad de todo material dependiente de la historia debe calcularse a travs de un

procedimiento incremental al mismo tiempo que se obtiene el equilibrio. Ntese que el

planteamiento secante es una ventaja porque calcula la sensibilidad en el momento del equilibrio

que interese, sin necesidad de ir actualizando la informacin en cada incremento de carga

equilibrado. Esta estrategia puede evitar los errores que suelen acumular los mtodos incrementales

o iterativos.


5.1.2 ANLISIS CRTICO DE LAS EXPRESIONES

A un incremento de carga dado, y habiendo convergido, parece que el problema est

satisfactoriamente resuelto, y que se estara en condiciones de utilizar la informacin de las

derivadas para predecir el comportamiento de la estructura, o para evaluar la variacin de una

restriccin. En particular, el conocimiento de la sensibilidad dara la pauta de comportamiento de la

variable desplazamiento y, por lo tanto, se podra extrapolar su valor con una aproximacin de

orden uno y predecir cmo va a comportarse una estructura ante la modificacin de una variable de

diseo. Vase la ilustracin 5.2.

( ) ( )u q q u q dudq

q+ = + 5.1.34

Algoritmo 5.1 Anlisis de sensibilidad con un modelo de dao

Resolucin de la ecuacin

de equilibrio Ku f=

Formacin de la matrices secante y derivada en la posicin de equilibrio

( )K uS y ( )K uD

Formacin la pseudocarga

f* 5.1.31

Resolucin del sistema y obtencin de la sensibilidad

( ) ( )[ ]K u K u dudq

fS D =*


Sin embargo, existe un conjunto de ejemplos donde las hiptesis anteriores ponen en duda el

planteamiento del problema:

Ntese que, a priori, no se conoce como va a afectar la

modificacin de las variables de diseo al comportamiento

estructural. No se sabe si la alteracin de la forma va a aumentar

la capacidad resistente de la estructura o, por el contrario, va a

disminuirla. En particular, en los casos para los cuales la

capacidad resistente disminuya, ni siquiera va a tener sentido

intentar calcular las sensibilidades de los desplazamientos a

carga dada porque si el nivel de fuerzas es excesivo para la

estructura modificada, la extrapolacin horizontal a carga dada conducir a puntos donde no

est definido el equilibrio.

En otros casos, para una posicin de

equilibrio de fuerzas en la estructura

original resulta que la estructura

modificada puede tener ms de una.

Por consiguiente, no es tan evidente

en qu situacin se colocara la

extrapolacin, Rama de carga o de

descarga?

Por otro lado, un tipo de anlisis interesante consiste en ser capaces de intentar extrapolar el

valor de la carga ltima. En el caso opuesto al primero ejemplo, es decir, que una modificacin

de la forma aumente la capacidad resistente de la estructura, una extrapolacin a carga

constante desde la estructura original jams podr proporcionar la posicin del nuevo mximo

de la curva fuerza-desplazamiento. Es evidente que este hecho exige conocer la variacin

Ilustracin 5.2: Extrapolacin de la

respuesta

Ilustracin 5.3: Extrapolacin imposible

Ilustracin 5.4: Existe ms de una posicin de equilibrio


simultnea en las direcciones de fuerzas y desplazamientos, y por lo tanto, ser un objetivo

imposible si slo se dispone de informacin sobre el comportamiento de los desplazamientos.

Finalmente, sealar que en el captulo anterior se haba observado que en los modelos

elastoplsticos, a pesar de tener endurecimiento y ser capaces de llegar siempre a una posicin

de equilibrio a carga dada, en algunos problemas estructurales no se obtenan buenas

extrapolaciones de comportamiento porque el rgimen de trabajo entre las estructuras original y

modificada era diferente.

Llegados a este punto se observa que existe una problemtica comn en todo este conjunto de

objeciones: para ciertos tipos de anlisis en rgimen no lineal, no es suficiente conocer la

variacin de las variables incgnita en la ecuacin de equilibrio, es decir los desplazamientos,

tambin es necesario conocer la variacin de las fuerzas.

Se podra considerar que la variacin de las fuerzas ya est calculada en la formulacin precedente

y que, en consecuencia, se puede extrapolar utilizando la informacin del trmino de derivacin de

las fuerzas, es decir definir lo siguiente:

( ) ( )f q q f q dfdq

q+ = + 5.1.35

Sin embargo, slo en ocasiones muy particulares se estar en condiciones de realizar la

extrapolacin segn 5.1.35. Exactamente en los casos para los cuales las fuerzas se expresen como

funcin explcita de la variable de diseo, la ilustracin 5.6 muestra ambas situaciones.

Ilustracin 5.5: Extrapolacin de la carga

mxima

Ilustracin 5.6: Posibles casos de

relacin entre fuerzas y variable de

diseo


En el primer caso se podr construir una expresin explcita que permita la derivacin de las fuerzas

en funcin de la variable de diseo. Pero en el segundo caso no, a pesar de que existe una clara

relacin entre la variable de diseo y las fuerzas, simplemente pinsese que un cambio de seccin

aumenta la inercia a flexin y, por tanto, la capacidad portante de la estructura.

A la vista de todo ello, en el apartado siguiente se formular una propuesta de solucin general que

permita resolver las cuestiones planteadas, empezando por el problema del ablandamiento que es

motivo de este captulo.

5.2 REFORMULACIN DEL PROBLEMA DE SENSIBILIDAD En primer lugar, es necesario sealar que los modelos no lineales con ablandamiento, como el dao

o ciertas formulaciones elastoplsticas, presentan problemas en la propia resolucin de la ecuacin

de equilibrio. Como se ha visto en la ilustracin 5.4, obviando la cuestin de la extrapolacin de

resultados, para determinados valores de la solicitacin existe ms de una posicin de equilibrio.

Ciertamente, en el ablandamiento, a partir de un cierto instante se produce una prdida de la

capacidad portante de la estructura y, en esas condiciones, es imposible seguir aumentando la

solicitacin del sistema. En cambio, los desplazamientos s que pueden seguir aumentando y

permitir as, la existencia de nuevos puntos de equilibrio en la curva. En consecuencia, el anlisis

clsico, basado en el incremento de la solicitacin1, no permite llegar a soluciones ms all de la

carga mxima de la estructura y por ello, en los problemas con ablandamiento, se lleva a cabo el

anlisis del comportamiento estructural utilizando estrategias de control de desplazamientos

(longitud de arco). El mtodo de la longitud de arco permite obtener puntos de equilibrio a lo largo

de la curva fuerza-desplazamiento y se fundamenta en exigir al mismo tiempo: el equilibrio

estructural del sistema y una condicin sobre el valor de los desplazamientos. Dicho mtodo se

encuentra descrito con detalle en el anexo 2 al final de este captulo.

En este trabajo se propone que el anlisis de sensibilidad se lleve a cabo a longitud de arco

constante en lugar del anlisis clsico realizado hasta ahora, a solicitacin constante. Este

planteamiento tiene la ventaja que no presupone cual va a ser la variacin en la capacidad portante

de la estructura y ser adems consistente con la formulacin del anlisis de equilibrio.

1 No se va a trabajar la metodologa del desplazamiento impuesto porque carece de inters dada su aplicabilidad limitada y, adems, porque es reproducible con una adecuada definicin de la longitud de arco.


Por lo tanto, se realiza la derivacin de las ecuaciones que comporta la longitud de arco, la ecuacin

de equilibrio A5.2.1 y la condicin sobre el control de desplazamientos A5.2.2:

[ ] [ ]ddq

K uddq

fS = 5.2.1

( )( )ddq

ug = 0 5.2.2

Esto conduce a:

Kdudq

fddq

dfdq

dKdq

uSS =

5.2.3

ddq

g= 0 5.2.4

De las expresiones superiores aparece como trmino conocido la derivada de la matriz secante de

rigidez. En cambio, otros son completamente nuevos, como la derivada de la condicin de arco, o

una nueva pseudocarga. A continuacin se desarrollan los nuevos miembros de las ecuaciones

5.2.3 y posteriormente se conjuntarn con los trminos calculados en el apartado 5.1.1.

El vector de pseudocargas se modificar segn la expresin siguiente:

( )

( )

( ) ( )

fq

fdfdq

dBdq

D Bu J dV BdDdq

B DB u J dV

dB D

dBdq

DBu J dV BdDdq

Bu J dV

B DdBdq

u J dV B D Bud Jdq

dV

arcoelem elem

t

ot

oVVelem

t to

to

VV

to

V

to

V

oo

oo

o o

*

dd

d

d d

= +

+ +

+

1

1

1 1

5.2.5

Se reescribe la expresin usando la notacin siguiente:

fq

f farcoelem

new* *= + 5.2.6

La condicin de arco tambin se deriva aplicando la regla de la cadena se obtiene que:

( )ddq q u

dudq

ddq

g ug g g

= + +

5.2.7


En general, nunca existir una dependencia explcita de la condicin de arco respecto de la variable

de diseo as que la primera derivada parcial normalmente ser nula y un razonamiento parecido

puede hacerse para el ltimo sumando que, en general, nunca va a existir.

Para los casos que se contemplaban en A5.2.3-4 se obtienen las siguientes expresiones en la

derivacin de la condicin de arco:

Control de desplazamiento de un nodo:

ddq

dudq

kg = =0 0 5.2.8

Control esfrico:

ddq

ududqi

i

i

g= =0 0 5.2.9

Con las expresiones obtenidas en 5.2.1, 5.2.2, 5.130 y 5.2.6 se obtiene una estructura de ecuaciones

relativamente cmoda. Ntese que el trmino incgnita que contiene d dq puede ponerse en el

primer miembro, con las magnitudes desconocidas, y adems, la condicin de derivada del control

de desplazamientos es lineal con respecto a las incgnitas. Pero en caso de escoger otras

condiciones de control de desplazamientos se puede obtener una estructura extremadamente

complicada, incluyendo trminos altamente no lineales. Si se opera un poco y siguiendo la notacin

de 5.1.42 se obtiene2:

K K fd dq

du dqd dq

fs D new

=

g

*

0 0 5.2.10

Desarrollando un poco la expresin matricial 5.2.10 para ambas condiciones de control sobre los

desplazamientos se obtiene:

Control de desplazamientos en un punto:

K K f du dq

d dqfS D new

=

0 1 0 0L L

*

5.2.11

Control esfrico:

K K f

u udu dqd dq

fS Dn

new

=

1 0 0L

*

5.2.12


Sin embargo, se observa que el sistema de ecuaciones en ninguno de ambos casos es simtrico y,

por lo tanto, resolver el sistema directamente puede exigir un alto coste computacional. Se propone

una estrategia iterativa para obtener la solucin de forma ms econmica.

Simplemente se trata de ensayar un valor para d dq y resolver un sistema simtrico con todas

las ventajas que conlleva, modificando posteriormente dicho valor en funcin de la verificacin de

la condicin derivada del arco.

( ) ( )[ ] ( )K u K u dudq

f d dqS D arco =* 5.2.13

ddq

g= 0 5.2.14

En general, slo es necesario un par de iteraciones para hallar un valor satisfactorio de la condicin

derivada de la longitud de arco dado que la ecuacin que la gobierna 5.2.8-9 tiene una expresin

lineal con respecto a las derivadas. El esquema de funcionamiento del mtodo de anlisis de

sensibilidad con longitud de arco se describe en el algoritmo 5.2 que aparece en la pgina siguiente:

2 Kleiber et al. (1996)[K1] estudiando un problema de no linealidad geomtrica y con un planteamiento incremental de la sensibilidad deduce una expresin similar, pero dada la diferente naturaleza del problema, los trminos tienen un sentido completamente diferente.


Algoritmo 5.2 Anlisis de sensibilidad con un modelo de dao y longitud de arco

Resolucin de la ecuacin de equilibrio

Ku f=

Formacin de la matrices secante y derivada en la posicin de equilibrio

( )K uS y ( )K uD

valor inicial cualquiera de ( )d dq 0

Formacin de la pseudocarga f0* 5.2.5


( ) ( )[ ]K u K u dudq fS D = 0*

Verificacin de la condicin derivada de arco 5.2.8 o 9

( )d dqg 0

otro valor de ( )d dq i

Formacin de la pseudocarga fi* 5.2.5


( ) ( )[ ]K u K u dudq fS D i =*

Verificacin de la condicin derivada de arco 5.2.8 o 9

( )d dq ig

Tcnicas de minimizacin unidimensional Con:

( )d dq 0 ( )d dqg 0 ( )d dq i ( )d dq ig Se halla un nuevo valor de

( )d dq i +1

FIN

S

No

No

S


Del algoritmo 5.2 se deduce que la estrategia del anlisis de sensibilidad tiene un coste mnimo. En

el apartado 5.1.1 ya se vio que el clculo de la sensibilidad tambin tiene naturaleza secante como la

ecuacin de equilibrio; por lo tanto, una vez llegados al equilibrio se obtiene, en un slo paso, la

sensibilidad en ese punto y no es necesario acumular de forma incremental los resultados como

suceda con la elastoplasticidad. Esto quiere decir que se puede resolver el problema estructural

con la ecuacin de equilibrio hasta el nivel de carga/desplazamiento deseado y, una vez all, calcular

de una sola vez la sensibilidad de la estructura.

La estrategia del anlisis de sensibilidad a travs del control de desplazamientos descrita

anteriormente es fcilmente generalizable a la mayor parte de problemas no lineales, en concreto

todos aquellos para los que la posicin de equilibrio es nica, es decir, donde no se producen

bifurcaciones.

A travs de la estrategia descrita se estar en condiciones de realizar la doble extrapolacin, en

desplazamientos y en fuerzas, y predecir el comportamiento estructural no lineal ante

modificaciones de forma segn la aproximacin siguiente:

( ) ( )u q q u q dudq

q+ = + 5.2.15

( ) ( ) q q q ddq

q+ = + 5.2.16

En consecuencia, la posibilidad de simular cualquier problema estructural, incluyendo elasticidad y

elastoplasticidad, y poder extrapolar el comportamiento tanto en fuerzas como en desplazamientos

ofrece una metodologa general para calcular la sensibilidad en problemas no lineales.

Sin embargo, toda la potencia del clculo secante slo ser aprovechable si la ecuacin constitutiva

permite dicha posibilidad. En cualquier otro caso ser necesario utilizar un mtodo incremental

Ilustracin E5.7: Ahora s que se estar en

condiciones de extrapolar correctamente


como el descrito en elastoplasticidad para evaluar la sensibilidad al mismo tiempo que se equilibra

la estructura.

El mtodo de anlisis de sensibilidad con longitud de arco descrito permite resolver el problema de

la extrapolacin de cargas ltimas y de la existencia de ms de una posicin de equilibrio,

soluciones inalcanzables mediante el anlisis clsico de sensibilidad a carga constante.

En el Apndice 5.1 se muestran diversos ejemplos de aplicacin del anlisis de sensibilidad en

estructuras con materiales que cumplen el modelo de dao.


ANEXO 5.1: LOS MODELOS CONSTITUTIVOS DE DAO

A lo largo de este anexo se desarrolla la formulacin terica y las tcnicas numricas que requiere

un modelo de dao.

A5.1.1 GENERALIDADES

Se sabe que la simulacin numrica, mediante elementos finitos, del comportamiento constitutivo

de un material fisurable es un problema que todava no ha encontrado una solucin definitiva. En el

caso del hormign en particular, existen numerosos modelos constitutivos basados en diferentes

pautas de comportamiento3 que pueden clasificarse en cinco grandes grupos: Elasticidad lineal y

no lineal, plasticidad con ablandamiento, teora endocrnica de la plasticidad y, finalmente,

fractura. Dado que la sensibilidad de los modelos elsticos lineales y no lineales, y la de los

modelos endocrnicos conducen a expresiones explcitas conocidas (vase captulos 2 y 3), y dado

que el tema de la elastoplasticidad ya ha sido tratado en el captulo 4 se plante abordar la

sensibilidad de los modelos de fractura. De todos los modelos de fractura posibles se escogieron

los modelos constitutivos de dao porque se usan extensamente en el clculo con elementos

finitos del comportamiento de rocas, metales, materiales cermicos y compuestos y, en particular,

del hormign, uno de los materiales ms usados en las obras de ingeniera.

En trminos generales, los modelos de fractura se basan en considerar que el comportamiento no

lineal del hormign se debe principalmente al fenmeno de la fisuracin. Todo el mundo sabe que al

someter al hormign a un estado tensional donde se producen tracciones, inmediatamente aparecen

microfisuras internas en las conexiones intergranulares debido a la baja resistencia que presenta el

material ante este tipo de solicitacin. El aumento del estado tensional facilita que la fractura interna

vaya creciendo hasta degenerar en una fisura externa apreciable. Por lo tanto, el comportamiento

del material vendr determinado segn se est en uno de los dos estados posibles siguientes:

Elstico antes de la fisuracin o fracturado despus de la fisuracin.

Segn Chen4, en el mundo de los elementos finitos los modelos de fractura se pueden clasificar

segn tres grupos:

Modelos segn la mecnica de fractura clsica basada en la elasticidad lineal. En este caso el

inicio de la fractura y su posterior evolucin es funcin de unos coeficientes de intensidad de

tensiones K K KI II III, , dependiendo del modo bsico de fisuracin5.

3 El lector interesado encontrar un estupendo estado del arte en Oller [O1].


Modelos de fisura discreta que pretenden trazar una trayectoria de la fisura segn las

conexiones internodales.

Modelos de fisura distribuida que consideran que la fisura se desarrolla disipando la energa de

fractura en un punto del material. En este caso, en oposicin a los anteriores, la fisura no

aparece como una discontinuidad fsica apreciable en el cuerpo sino que su presencia se

detecta por una degradacin del mdulo elstico en ciertos puntos. Cuando esto sucede se dice

que el modelo localiza la fractura.

A5.1.2 EL MODELO DE DAO

En trminos coloquiales, se puede decir que el modelo de dao intenta reproducir la prdida de

rigidez del material debida a la fisuracin, evalundola a travs de uno o varios escalares, llamados

parmetros de dao, que ponderan convenientemente el tensor constitutivo elstico. El grado de

conveniencia de dicha aproximacin genera distintas formulaciones, pero todas tiene una cosa en

comn: Existe una superficie lmite que acota la existencia del dao y una funcin que modifica la

cantidad de dao que se produce segn una norma del estado de tensiones. Esto significa que el

comportamiento del material es dependiente de la historia, en el sentido que guarda en memoria el

nivel de dao anterior (irrecuperable) y lo modifica segn el nivel tensional actual.

La ecuacin constitutiva del modelo de dao ms sencillo de un slo parmetro se escoge como :

[ ] = 1 d D A5.1.1 siendo d una funcin escalar que depende de una norma de tensiones y, por lo tanto, de la energa

de deformacin. Para este caso, la curva de comportamiento tensin deformacin es la que aparece

en la ilustracin 5.9. Ntese que en fenmenos de carga se produce una degradacin del

comportamiento mientras que en descarga se mantiene lineal, con un nuevo mdulo elstico cuyo

valor es proporcional a la magnitud de la degradacin que ha sufrido el material.

4 W.F. Chen. Plasticity in Reinforced Concrete. 1982 Mc Graw Hill.

Ilustracin 5.8: Diferentes planteamientos de fractura


De la ilustracin 5.9 se destacan dos cosas, en primer lugar que el modelo constitutivo de dao se

caracteriza porque en la posicin de equilibrio se consigue definir una matriz secante, ntese que

dicha matriz reproduce el comportamiento del material en la rama elstica de carga y descarga. En

segundo lugar, se debe resaltar que el fenmeno del ablandamiento slo puede ser seguido a travs

de una deformacin impuesta o, alternativamente, gracias a una estrategia incremental-iterativa con

control de desplazamientos, tambin conocido como longitud de arco.

FORMULACIN DEL MODELO

Existen diferentes enfoques relativos a la definicin de los modelos de dao, por ejemplo Carol et

al.(1994) [C1] consideran que los modelos de dao corresponden a una teora de degradacin

elstica que puede relacionarse como un modelo evolucionado de la elastoplasticidad6. En este

trabajo se utiliza el enfoque de Lubliner et al. 1989 [L1] basado en consideraciones energticas.

Tambin se pueden encontrar ms detalles sobre el modelo que se presenta en Oliver et al. 1990

[O2] y Cervera et al. [C2].

Definiciones energticas y formulacin de la ecuacin constitutiva.

En todo material sano que se somete a un estado tensional, aparece un campo de deformaciones

como respuesta estructural a la solicitacin externa. Durante el proceso de deformacin del cuerpo

se libera una energa interna de deformacin que equilibra el trabajo que las fuerzas externas

invierten en provocar dicha deformacin. En general, los materiales sanos se comportan bajo la

hiptesis de la elasticidad lineal para pequeas deformaciones y entonces, se puede definir el

trabajo interno de deformacin en un cierto instante como:

5 Se recomienda D.R.J. Owen and A.J. Fawkes. Engineering Fracture Mechanics: Numerical Methods and Applications. 1983. Pineridge Press. 6 Segn los autores:it seems appropiate to devote new efforts to establish a unified theory of elastic degradation that brings elastic degradation models to a similar degree of development as their elastoplaticity counterparts. En la definicin del modelo, el artculo borrows concepts and terminology from the well-known flow theory of plasticity.

Ilustracin 5.9: Comportamiento tenso-deformacional del material

degradable


e D=12

: : A5.1.2

Para simular la degradacin del material y, en consecuencia, la prdida de su capacidad portante, se

puede suponer que el material va a absorber slo una parte proporcional de toda la energa elstica

que debera, por consiguiente se puede definir la energa de deformacin en el caso de existencia de

dao como:

( ) = 1 d e A5.1.3

Donde d es una variable interna de la formulacin (parmetro escalar de dao) que ser definida

posteriormente, pero que siempre debe ser positiva y menor que 1. Ntese que a medida que

crece d al material se le supone cada vez ms dbil y en el lmite, cuando d valga 1, ser incapaz de

resistir ningn tipo de solicitacin. En palabras sencillas, se puede decir que en un estado

equilibrado tensin-deformacin, el material degradado necesariamente debe deformarse ms que el

elstico. Porque al estar daado, una parte de la energa se pierde en aumentar su dao, mientras

que otra parte se convierte en energa de deformacin que equilibra la solicitacin externa.

Toda ecuacin constitutiva se reduce a establecer una relacin entre las tensiones y las

deformaciones que puede soportar cierto material, y una de los maneras posibles de formular dicha

expresin es a travs de un planteamiento energtico. Al realizar la deformacin se moviliza una

energa y por lo tanto, en el problema, se debe exigir el cumplimiento de la inecuacin de Clasius-

Planck [M1] para procesos termo -mecnicos desacoplados. Utilizando la parte mecnica de la

misma, y aprovechando la definicin de la energa de deformacin que se ha hecho en A5.1.3, se

obtiene que la disipacin energtica en el cuerpo es:

& : & : &d

&d

= 0 A5.1.4

Para que se cumpla dicha inecuacin frente a una variacin arbitraria de la variable libre, tensor de

deformaciones & , necesariamente deben exigirse dos condiciones simultneas:

Ilustracin 5.10: Las energas de deformacin, elstica y

de dao


1. En primer lugar:

= 0 A5.1.5

de donde se deduce que:

( ) ( ) ( )

= = = 1 1 1d d de eD: A5.1.6

2. En segundo lugar, como &d > 0 por definicin de la variable interna de la formulacin:

d

0 A5.1.7

de manera que de A5.1.3 se halla:

d

= e A5.1.8

En consecuencia se deduce que el incremento en la disipacin energtica ser:

& &d = e A5.1.9

Superficie lmite de degradacin.

En el apartado anterior se ha definido una relacin constitutiva a partir de unas consideraciones

energticas. Se deduca que las deformaciones y tensiones se relacionaban mediante una variable

de dao, variable interna de la formulacin, que ponderaba la aproximacin elstica. En el modelo es

necesario definir una superficie lmite que informe del estado actual de la variable, y por lo tanto,

saber si se est en comportamiento elstico o con dao. Matemticamente, la superficie de

degradacin es una funcin de discontinuidad en el espacio de tensiones, y tiene una relacin

directa con la superficie de fluencia que se defina en elastoplasticidad. Aprovechando dicha

analoga con la plasticidad, la funcin de degradacin se puede utilizar como criterio umbral de

existencia de dao.

Ilustracin 5.11: La energa de deformacin en el modelo

de dao


En consecuencia, se desea definir una funcin de degradacin, segn la cual el estado tensional

siempre deba estar en su superficie o en su interior, tal y como se enuncia en la teora de

plasticidad:

( ) ( ) ( )F , G G = A5.1.10 Donde debe ser una norma escalar de las tensiones y un parmetro de consistencia que

depende de las propiedades del material.

Varias funciones son posibles, pero se escoge en particular [O2]:

( )G*

*

=

1

1e

A A5.1.11

y anlogamente se define la funcin de endurecimiento como:

( )G

=

11

0oA

e A5.1.12

De las expresiones superiores A5.1.11 y A5.1.12 se observa que G es una funcin montona creciente y que se mueve en el intervalo [0,1], ntese que coincide con los mismas acotaciones que

debe tener la variable de dao. Asimismo, se define * como el valor umbral de la norma escalar de

tensiones y o como el valor lmite del dao obtenido de la condicin de consistencia. Finalmente

se define A como un parmetro que depende de las propiedades mecnicas del material y cuya expresin se deducir ms adelante. La analoga con plasticidad sigue siendo evidente donde la

primera funcin ( )G correspondera a uno de los criterios de fallo, Tresca, Von Mises, etc. y la

segunda ( )G sera la ley de endurecimiento del material.

Suponiendo que inicialmente se incrementa el estado tensional hasta llegar a un valor lmite donde

se inicia el dao, se cumple:

( )

=

=o

G o 0 A5.1.13

Por lo tanto, como el estado tensional no puede estar fuera de la superficie de degradacin,

necesariamente se debe cumplir que:

( )F , o = 0 A5.1.14

En consecuencia:

=

* *e

A 10 A5.1.15


La nica forma de cumplir esta igualdad es a travs de la exigencia:

= * A5.1.16

Por consiguiente, una forma muy simple de definir el lmite de degradacin ser a travs de la

expresin:

( ) ( )F , F , * * o = = = 0 A5.1.17 De donde se deriva que * = o y por lo tanto el parmetro umbral de consistencia del material

corresponde a un valor mximo admisible de la norma de tensiones.

Norma escalar de tensiones

El modelo necesita una norma de tensiones, de manera que dado un estado tensional triaxial real se

pueda calcular una tensin equivalente de comparacin que evale el trmino de la superficie lmite definida anteriormente en A5.1.10. La ilustracin 5.12 pretende dar un ejemplo sencillo de la

idea de comparacin en un estado plano de tensiones.

Nuevamente el planteamiento es equivalente al que se daba en plasticidad al definir un criterio de

fallo segn las expresiones de Von Mises, Tresca, etc. como se ha comentado anteriormente. En

caso de dao se define la norma escalar de tensiones de la siguiente forma:

( )[ ] ( ) ( ) ( ) = + + +1 1 1 2 2 2 3 2r n e e e A5.1.18 siendo:

[ ]r

n

ie

ie

iie

ie

ie

comp

trac

c

t

= = +

= =

=

1

3 12

,

ff

max

max

A5.1.18 bis

Donde e D= es la aproximacin elstica de las tensiones y ie son las tensiones principales

elsticas de dicho tensor. Por lo tanto, la norma de tensiones representa una longitud ponderada

del tensor de tensiones en un espacio eucldeo. En el factor escalar de ponderacin, interviene la

Ilustracin 5.12: Criterio uniaxial de comparacin


relacin n que hay entre las mximas tensiones que soporta el material a compresin y a traccin, de

esta manera se tiene en cuenta el desigual comportamiento que pueda tener, segn est trabajando

en uno u otro estado de solicitacin. Finalmente el trmino r se ocupa de saber si en el estado

tensional actual predomina la traccin o la compresin.

Para aclarar conceptos, se analizan dos casos simples que permiten comprobar la correcta

definicin de las expresiones:

Caso uniaxial de traccin (tensin positiva) supuesto que se llega al lmite:

e te

ten= = A5.1.19

segn el criterio de comparacin A5.1.17:

( )F , * o = = 0 A5.1.20 en consecuencia la tensin umbral ser:

* cf= =n te A5.1.21

Caso uniaxial de compresin (tensin negativa) supuesto que se llega al lmite:

e ce

ce= = A5.1.22

en el criterio de comparacin:

( )F , * o = = 0 A5.1.23 y se obtiene que:

* cf= =ce A5.1.24

Por consiguiente, se definir de forma natural el valor umbral de la norma como la mxima tensin

admisible a compresin:

* max f= =comp c A5.1.25

Evolucin de la variable de dao

Finalmente es necesario definir la evolucin de la variable de dao. Anteriormente se ha comentado

que a medida que crece la degradacin, al material le cuesta cada vez ms generar energa de

deformacin que equilibre las solicitaciones, por lo tanto el valor de d debe ir cambiando a medida

que el dao aumente en la estructura.

Se define la ley de evolucin de la variable de dao como:

( )&d & F ,=

A5.1.26

siendo [ ]& & & = +12


En la expresin A5.1.26 el trmino & juega el papel del multiplicador plstico & que apareca en la

formulacin de la elastoplasticidad. Por su parte, la derivada parcial representa la direccin de

crecimiento de la superficie lmite respecto de las tensiones de comparacin. De manera que,

conceptualmente, la variable interna d tiene su analoga con la variable interna que apareca en la

deformacin elastoplstica del captulo 4:

d dtpt

&0

A5.1.27

Si se considera la superficie de degradacin definida anteriormente:

( ) ( ) ( )F , G G = = 0 A5.1.28 y se establece una variacin de la misma, se obtiene la condicin de consistencia de la formulacin

que fsicamente exige que el estado tensional no salga al exterior de la superficie lmite:

( ) ( ) ( )&F , &G & &G & = = 0 A5.1.29 y por la condicin en el inicio de la degradacin:

( ) ( ) ( ) ( )G G , &G &G = = A5.1.30 se deduce que:

& & = A5.1.31

En consecuencia, la variacin en la norma de tensiones definir la variacin en el parmetro de

consistencia.

Por otro lado, se ha definido la norma escalar de tensiones en A5.1.18, y se sabe que las tensiones

dependen de las deformaciones, por lo tanto se puede aplicar la regla de la cadena y obtener:

& &

= A5.1.32

Finalmente y utilizando las expresiones A5.1.26-32 se obtiene:

( ) ( )&d & F , : & G= =

A5.1.33

Como ilustracin del comportamiento general de la ley de la variable interna se van analizar los dos

estados posibles del problema, solicitacin frente a carga y frente a descarga:


Caso de carga: Suponiendo que se entra en degradacin y que el estado tensional se sita en la

superficie lmite.

( )( )

( )

F ,

&d &G

d G

=

= =

0 A5.1.34

Caso de descarga: Suponiendo que el estado tensional entra en el interior de la superficie de

degradacin

( )F ,

& &d d .

CAP 6

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