Cap. 8: Campo magnético y fuerzas magnéticas

1

Cap. 8: Campo magnético y fuerzas magnéticas

Magnetismo

Fenómenos magnéticos observados por primera vez ~ 2500 años atrás: • Imanes permanentes = fragmentos de mineral de hierro magnetizado

o Encontrados cerca de la antigua ciudad de Magnesia (hoy Manisa, en Turquía occidental)

Imanes permanentes ejercen fuerzas uno sobre otro y sobre trozos de hierro que no están magnetizados

• Ejemplos: o Varilla de hierro en contacto con imán natural se magnetiza

§ Si la varilla flota en agua o esta suspendida por un hilo en su parte central, tiende a alinearse con la dirección norte-‐sur

o Aguja de brújula = trozo de hierro magnetizado Polos magnéticos: 2 extremos de un imán permanente, polo norte (N) apunta al norte, y sur (S) apunta al sur

• Polos opuestos se atraen y polos iguales se rechazan • Un objeto no magnetizado con hierro es atraído por cualquiera de los

polos del imán permanente

27.1 Magnetismo 917

ahora llamamos imanes permanentes; es probable que en la puerta del refrigeradorde su hogar haya varios imanes permanentes. Vimos que los imanes permanentesejercían fuerza uno sobre otro y sobre trozos de hierro que no estaban magnetizados.Se descubrió que cuando una varilla de hierro entraba en contacto con un imán natu-ral, aquélla también se magnetizaba, y si la varilla flotaba en agua o se suspendía deun hilo por su parte central, tendía a alinearse con la dirección norte-sur. La aguja de una brújula ordinaria no es más que un trozo de hierro magnetizado.

Antes de que se entendiera la relación que había entre las interacciones magnéti-cas y las cargas en movimiento, las interacciones de los imanes permanentes y lasagujas de las brújulas se describían en términos de polos magnéticos. Si un imán per-manente en forma de barra, o imán de barra, tiene libertad para girar, uno de sus ex-tremos señalará al norte. Este extremo se llama polo norte o polo N; el otro extremoes el polo sur o polo S. Los polos opuestos se atraen y los polos iguales se rechazan(figura 27.1). Un objeto que contenga hierro pero no esté magnetizado (es decir, queno tenga tendencia a señalar al norte o al sur) será atraído por cualquiera de los polosde un imán permanente (figura 27.2). Ésta es la atracción que actúa entre un imán y lapuerta de acero no magnetizada de un refrigerador. Por analogía con las interaccioneseléctricas, describimos las interacciones en las figuras 27.1 y 27.2 como un imán debarra que genera un campo magnético en el espacio que la rodea y un segundo cuer-po responde a dicho campo. La aguja de una brújula tiende a alinearse con el campomagnético en la posición de la aguja.

La Tierra misma es un imán. Su polo norte geográfico está cerca del polo sur mag-nético, lo cual es la razón por la que el polo norte de la aguja de una brújula señala alnorte terrestre. El eje magnético de nuestro planeta no es del todo paralelo a su eje geo-gráfico (el eje de rotación), así que la lectura de una brújula se desvía un poco del nortegeográfico. Tal desviación, que varía con la ubicación, se llama declinación magnéticao variación magnética. Asimismo, el campo magnético no es horizontal en la mayoríade los puntos de la superficie terrestre; su ángulo hacia arriba o hacia abajo se denomi-na inclinación magnética. En los polos magnéticos, el campo magnético es vertical.

La figura 27.3 es un esquema del campo magnético terrestre. Las líneas, llamadaslíneas de campo magnético, muestran la dirección que señalaría una brújula que estu-viera en cada sitio; en la sección 27.3 se analizan con detalle. La dirección del campo

FF

a) Los polos opuestos se atraen

FF

b) Los polos iguales se repelen

F

F F

F

N S

N S

N S

N S

NS NS

NS

NS

27.1 a) Dos imanes de barra se atraencuando sus polos opuestos (N y S, o S y N)están cerca uno del otro. b) Los imanes debarra se repelen cuando sus polos iguales(N y N, o S y S) se aproximan entre sí.

27.2 a) Cualquiera de los polos de un imán de barra atrae a un objeto no magnetizado que contenga hierro, como un clavo. b) Ejemplo de este efecto en la vida real.

27.3 Esquema del campo magnético terrestre. El campo, que es generado por corrientesen el núcleo fundido del planeta, cambia con el tiempo; hay evidencia geológica que demuestra que invierte por completo su dirección en intervalos de alrededor de medio millón de años.

F

a)

F

F

F

b)

NS

N S

27.1 Magnetismo 917





FF


FF


F

F F

F

N S

N S

N S

N S

NS NS

NS

NS




F

a)

F

F

F

b)

NS

N S

2

La Tierra = imán permanente

• Líneas de campo magnético: dirección que señalaría una brújula o Dirección del campo = dirección de la fuerza que el campo ejercería

sobre un polo norte magnético

• El polo norte geográfico está cerca del polo sur magnético o El eje magnético anti-‐paralelo a el eje geográfico

• Una brújula se desvía del norte geográfico = declinación magnética o variación magnética

o Está desviación, varía con la ubicación • Campo magnético tampoco horizontal a la superficie terrestre

o Ángulo hacia arriba o hacia abajo = inclinación magnética • Solo en los polos magnéticos el campo magnético es vertical

Monopolo magnético: a la diferencia de la carga eléctrica, no existe polo magnético aislado (ninguno sink o source de las líneas de campo magnético)

• Los polos magnéticos siempre ocurren por pares o Un imán de barra partidos en dos, cada extremo = un polo

• La existencia de un monopolo magnético tendría implicaciones significativas para la física teórica ⇒ se han efectuado búsquedas intensas, todos con resultados negativos – ¡no existe monopolo magnético!

27.1 Magnetismo 917





FF


FF


F

F F

F

N S

N S

N S

N S

NS NS

NS

NS




F

a)

F

F

F

b)

NS

N S

3

Polos magnéticos vs carga eléctrica La ausencia de polo magnético implica que no existe fenómeno magnético estático – este es un fenómeno dinámico

• Magnetismo = interacciones entre cargas eléctricas en movimiento o Carga o conjunto de cargas en movimiento (corriente eléctrica)

producen campos magnéticos o Una segunda carga en movimiento o corriente experimenta una

fuerza magnética = fuerza magnética 1) Primera evidencia de una relación entre magnetismo y cargas eléctrica en movimiento = 1820; estudio de Hans Christian Oersted (1777-‐1851)

• Un alambre conductor de corriente desvía la aguja de una brújula

2) Estudios de André Ampère (1775-‐1836), Michael Faraday (1791-‐1867) y Joseph Henry (1797-‐1878)

• Un imán que se mueve cerca de una espira conductora genere una corriente en la espira

Modelo adoptado hoy: las fuerzas magnéticas se deben a interacciones entre electrones en movimiento en los átomos de los cuerpos

• En un cuerpo magnetizado, hay un movimiento coordinado de algunos electrones

• En un cuerpo no magnetizado los movimientos no están coordinados • También hay interacciones eléctricas, pero son más débiles por el hecho de

la neutralidad eléctrica Interacciones eléctricas y magnéticas están íntimamente relacionadas ⇒ unificación de los dos fenómenos = electromagnetismo

• Las cuatros ecuaciones de Maxwell = síntesis del electromagnetismo

918 C APÍTU LO 27 Campo magnético y fuerzas magnéticas

en cualquier punto se define como la dirección de la fuerza que el campo ejercería so-bre un polo norte magnético. En la sección 27.2 daremos una definición más funda-mental de la dirección y la magnitud de un campo magnético.

Polos magnéticos contra carga eléctricaTal vez el concepto de polos magnéticos parezca similar al de carga eléctrica, y los po-los norte y sur parezcan análogos a la carga positiva y a la carga negativa. No obstante,tal analogía puede ser errónea. Si bien las cargas positiva y negativa existen aisladas, nohay evidencia experimental de que exista un polo magnético aislado; los polos siempreocurren por pares. Si un imán de barra se parte en dos, cada extremo se convierte en unpolo (figura 27.4). La existencia de un polo magnético aislado, o monopolo magnético,tendría implicaciones significativas para la física teórica. Se han efectuado búsquedasintensas de monopolos magnéticos, pero hasta ahora muy alejadas del éxito.

La primera evidencia de la relación que hay entre el magnetismo y las cargas enmovimiento la descubrió, en 1820, el científico danés Hans Christian Oersted, quienencontró que un alambre conductor de corriente desviaba la aguja de una brújula, co-mo se ilustra en la figura 27.5. Investigaciones similares fueron llevadas a cabo enFrancia por André Ampère. Unos años más tarde, Michael Faraday, en Inglaterra, yJoseph Henry, en Estados Unidos, descubrieron que un imán que se moviera cerca deuna espira conductora generaría una corriente en la espira. Ahora sabemos que lasfuerzas magnéticas entre dos cuerpos como los que se muestran en las figuras 27.1 y27.2 se deben fundamentalmente a interacciones entre los electrones en movimientoen los átomos de los cuerpos. (También hay interacciones eléctricas entre los doscuerpos, pero éstas son más débiles que las interacciones magnéticas debido a que losdos cuerpos son eléctricamente neutros.) En el interior de un cuerpo magnetizado, co-mo un imán permanente, hay un movimiento coordinado de algunos electrones ató-micos; en un cuerpo no magnetizado los movimientos no están coordinados. (En lasección 27.7 describiremos con más detalle dichos movimientos, y veremos cómosurgen las interacciones que se muestran en las figuras 27.1 y 27.2.)

Las interacciones eléctricas y magnéticas están íntimamente relacionadas. En lossiguientes capítulos se desarrollarán los principios unificadores del electromagnetis-mo, culminando con la expresión de tales principios en las ecuaciones de Maxwell,las cuales representan la síntesis del electromagnetismo, del mismo modo que las le-yes de Newton son la síntesis de la mecánica, e igual que éstas representan un logrocumbre del intelecto humano.

Al contrario de lo que sucede con las cargaseléctricas, los polos magnéticos siempreocurren en pares y no es posible aislarlos.

Al romper un imán en dos …

… se producen dosimanes, no dos polosaislados.

N S

N S N S

27.4 Ruptura de un imán de barra. Cada trozo tiene un polo norte y un polosur, aun cuando los trozos sean de distintotamaño. (Cuanto más pequeños sean, más débil será su magnetismo.)

a)

b)

Si el alambre no conduce corriente, la aguja de la brújula apuntahacia el norte.

Si el alambre lleva corriente, la aguja de labrújula tiene una desviación, cuya direccióndepende de la dirección de la corriente.

N

S

I 5 0

I

I

I

I

N

S

O E

N

S

O E

O E

27.5 En el experimento de Oersted, se coloca una brújula directamente sobre un alambre horizontal (visto aquí desdearriba). Cuando la brújula se coloca directamente bajo el alambre, los movimientos de la brújula se invierten.

Evalúe su comprensión de la sección 27.1 Suponga que en la figura 27.5a corta la parte de la aguja de la brújula que está pintada de color gris. Se deshace de esta parte y conserva la roja, en la cual perfora un agujero para colocarla sobre el pivote del centro de la brújula. La parte roja, ¿se seguirá balanceando hacia el este y el oeste cuando se aplique una corriente como en la figura 27.5b?

!

27.2 Campo magnéticoPara introducir el concepto de campo magnético de manera adecuada repasaremosnuestra formulación de las interacciones eléctricas del capítulo 21, donde introduji-mos el concepto de campo eléctrico. Representamos las interacciones eléctricas endos etapas:

1. Una distribución de carga eléctrica en reposo crea un campo eléctrico en elespacio circundante.

2. El campo eléctrico ejerce una fuerza sobre cualquier otra carga q queesté presente en el campo.

Describimos las interacciones magnéticas de manera similar:

1. Una carga o corriente móvil crea un campo magnético en el espacio circun-dante (además de su campo eléctrico).

2. El campo magnético ejerce una fuerza sobre cualquier otra carga o corrienteen movimiento presente en el campo.

FS

FS

5 qES

ES


en cualquier punto se define como la dirección de la fuerza que el campo ejercería so-bre un polo norte magnético. En la sección 27.2 daremos una definición más funda-mental de la dirección y la magnitud de un campo magnético.

Polos magnéticos contra carga eléctricaTal vez el concepto de polos magnéticos parezca similar al de carga eléctrica, y los po-los norte y sur parezcan análogos a la carga positiva y a la carga negativa. No obstante,tal analogía puede ser errónea. Si bien las cargas positiva y negativa existen aisladas, nohay evidencia experimental de que exista un polo magnético aislado; los polos siempreocurren por pares. Si un imán de barra se parte en dos, cada extremo se convierte en unpolo (figura 27.4). La existencia de un polo magnético aislado, o monopolo magnético,tendría implicaciones significativas para la física teórica. Se han efectuado búsquedasintensas de monopolos magnéticos, pero hasta ahora muy alejadas del éxito.

La primera evidencia de la relación que hay entre el magnetismo y las cargas enmovimiento la descubrió, en 1820, el científico danés Hans Christian Oersted, quienencontró que un alambre conductor de corriente desviaba la aguja de una brújula, co-mo se ilustra en la figura 27.5. Investigaciones similares fueron llevadas a cabo enFrancia por André Ampère. Unos años más tarde, Michael Faraday, en Inglaterra, yJoseph Henry, en Estados Unidos, descubrieron que un imán que se moviera cerca deuna espira conductora generaría una corriente en la espira. Ahora sabemos que lasfuerzas magnéticas entre dos cuerpos como los que se muestran en las figuras 27.1 y27.2 se deben fundamentalmente a interacciones entre los electrones en movimientoen los átomos de los cuerpos. (También hay interacciones eléctricas entre los doscuerpos, pero éstas son más débiles que las interacciones magnéticas debido a que losdos cuerpos son eléctricamente neutros.) En el interior de un cuerpo magnetizado, co-mo un imán permanente, hay un movimiento coordinado de algunos electrones ató-micos; en un cuerpo no magnetizado los movimientos no están coordinados. (En lasección 27.7 describiremos con más detalle dichos movimientos, y veremos cómosurgen las interacciones que se muestran en las figuras 27.1 y 27.2.)

Las interacciones eléctricas y magnéticas están íntimamente relacionadas. En lossiguientes capítulos se desarrollarán los principios unificadores del electromagnetis-mo, culminando con la expresión de tales principios en las ecuaciones de Maxwell,las cuales representan la síntesis del electromagnetismo, del mismo modo que las le-yes de Newton son la síntesis de la mecánica, e igual que éstas representan un logrocumbre del intelecto humano.

Al contrario de lo que sucede con las cargaseléctricas, los polos magnéticos siempreocurren en pares y no es posible aislarlos.

Al romper un imán en dos …

… se producen dosimanes, no dos polosaislados.

N S

N S N S

27.4 Ruptura de un imán de barra. Cada trozo tiene un polo norte y un polosur, aun cuando los trozos sean de distintotamaño. (Cuanto más pequeños sean, más débil será su magnetismo.)

a)

b)

Si el alambre no conduce corriente, la aguja de la brújula apuntahacia el norte.

Si el alambre lleva corriente, la aguja de labrújula tiene una desviación, cuya direccióndepende de la dirección de la corriente.

N

S

I 5 0

I

I

I

I

N

S

O E

N

S

O E

O E

27.5 En el experimento de Oersted, se coloca una brújula directamente sobre un alambre horizontal (visto aquí desdearriba). Cuando la brújula se coloca directamente bajo el alambre, los movimientos de la brújula se invierten.

Evalúe su comprensión de la sección 27.1 Suponga que en la figura 27.5a corta la parte de la aguja de la brújula que está pintada de color gris. Se deshace de esta parte y conserva la roja, en la cual perfora un agujero para colocarla sobre el pivote del centro de la brújula. La parte roja, ¿se seguirá balanceando hacia el este y el oeste cuando se aplique una corriente como en la figura 27.5b?

!

27.2 Campo magnéticoPara introducir el concepto de campo magnético de manera adecuada repasaremosnuestra formulación de las interacciones eléctricas del capítulo 21, donde introduji-mos el concepto de campo eléctrico. Representamos las interacciones eléctricas endos etapas:

1. Una distribución de carga eléctrica en reposo crea un campo eléctrico en elespacio circundante.

2. El campo eléctrico ejerce una fuerza sobre cualquier otra carga q queesté presente en el campo.

Describimos las interacciones magnéticas de manera similar:

1. Una carga o corriente móvil crea un campo magnético en el espacio circun-dante (además de su campo eléctrico).

2. El campo magnético ejerce una fuerza sobre cualquier otra carga o corrienteen movimiento presente en el campo.

FS

FS

5 qES

ES

4

Campo magnético El campo eléctrico, describe la interacción de carga eléctrica (partícula) estática

• Carga o distribución de cargas eléctricas en reposo = campo eléctrico E

• Interacción con otras partículas cargadas = fuerza de Coulomb:

FC = q0

E = 1

4πε0q0qr2

El campo magnético describe la interacción de cargas eléctricas en movimiento – es un fenómeno dinámico (fundamentalmente relativista)

• Carga eléctrica móvil o corriente ⇒ campo magnético B

• Interacción descrita en términos de fuerza magnética FB sobre cualquier

otra carga en movimiento o corriente presente en esté campo Para determinar la forma de esta fuerza se basamos sobre las experiencias siguientes: cuando una carga se mueve en un campo magnético se observa 4 fenómenos esenciales:

1) Magnitud de la fuerza ∝ magnitud de la carga: FB ∝ q

2) Magnitud FB magnitud o “intensidad” del campo:

F ∝

B

3) FB depende de la velocidad de la partícula

v 4) FB es perpendicular tanto a

B como a la velocidad

v

Magnitud de la fuerza magnética: (8.1)

FB = FB = q v⊥B = q vB senφ

donde φ es el ángulo entre la velocidad y la dirección del campo magnético (siguiendo la regla de la mano derecha) La fuerza magnética es el producto vectorial entre la velocidad de la carga presente en el campo y el campo magnético (8.2)

F = qv ×

B

27.2 Campo magnético 919

En este capítulo nos centraremos en el segundo aspecto de la interacción: dada lapresencia de un campo magnético, ¿qué fuerza ejerce éste sobre una carga o una co-rriente en movimiento? En el capítulo 28 volveremos al problema de cómo las cargasy las corrientes móviles crean los campos magnéticos.

Al igual que el campo eléctrico, el magnético es un campo vectorial —es decir, unacantidad vectorial asociada con cada punto del espacio. Usaremos el símbolo pararepresentar el campo magnético. En cualquier posición, la dirección de se definecomo aquella en la que tiende a apuntar el polo norte de la aguja de una brújula. En lafigura 27.3, las flechas sugieren la dirección del campo magnético terrestre; para cual-quier imán, apunta hacia fuera de su polo norte y hacia adentro de su polo sur.

Fuerzas magnéticas sobre cargas móvilesLa fuerza magnética ejercida sobre una carga en movimiento tiene cuatro característi-cas esenciales. La primera es que su magnitud es proporcional a la magnitud de lacarga. Los experimentos demuestran que, si en un campo magnético dado una cargade 1 mC y otra de 2 mC se mueven con la misma velocidad, la fuerza sobre la carga de2 mC es del doble de magnitud que la que se ejerce sobre la carga de 1 mC. La segundacaracterística es que la magnitud de la fuerza también es proporcional a la magnitud,o “intensidad”, del campo; si duplicamos la magnitud del campo (por ejemplo, usandodos imanes de barra en vez de uno solo) sin cambiar la carga o su velocidad, la fuerzase duplicará.

La tercera característica es que la fuerza magnética depende de la velocidad de lapartícula. Esto es muy diferente de lo que sucede con la fuerza del campo eléctrico,que es la misma sin que importe si la carga se mueve o no. Una partícula cargada enreposo no experimenta fuerza magnética. Y la cuarta característica es que los experi-mentos indican que la fuerza magnética no tiene la misma dirección que el campomagnético , sino que siempre es perpendicular tanto a como a la velocidad La magnitud F de la fuerza es proporcional a la componente de perpendicular alcampo; cuando esa componente es igual a cero (es decir, cuando y son paralelas o antiparalelas), la fuerza es igual a cero.

La figura 27.6 ilustra estas relaciones. La dirección de siempre es perpendicularal plano que contiene y Su magnitud está dada por

(27.1)

donde es la magnitud de la carga y f es el ángulo medido desde la dirección de hacia la dirección de como se muestra en la figura.

Esta descripción no especifica por completo la dirección de ; siempre hay dos di-recciones, opuestas entre sí, que son perpendiculares al plano de y de Para com-pletar la descripción se utiliza la misma regla de la mano derecha que se empleó paradefinir el producto vectorial en la sección 1.10 (sería una buena idea repasar esa sec-ción antes de proseguir). Dibuje los vectores y con sus orígenes unidos, como enla figura 27.7a. Imagine que gira hasta que apunta en dirección de (gire por elmás pequeño de los dos ángulos posibles). Doble los dedos de su mano derecha entorno a la línea perpendicular al plano de y , de modo que se enrosquen con el sen-tido de rotación de a Entonces, su pulgar apunta en dirección de la fuerza so-bre una carga positiva. (En forma alternativa, la dirección de la fuerza sobre unacarga positiva es aquella en que un tornillo de rosca derecha avanzaría si se girara delmismo modo.)

Este análisis indica que la fuerza sobre una carga q que se moviera con velocidaden un campo magnético está dada, tanto en magnitud como en dirección, por

(fuerza magnética sobre una partícula con carga en movimiento) (27.2)

Éste es el primero de varios productos vectoriales que encontraremos al estudiar lasrelaciones del campo magnético. Es importante notar que la ecuación (27.2) no se de-duce teóricamente, sino que es una observación basada en experimentos.

FS

5 qvS 3 BS

BS

vS

FS

FS

BS

.vSBS

vS

BS

vSBS

vS

BS

.vSFS

BS

,vS0 q 0 F 5 0 q 0 v'B 5 0 q 0 vB sen f

BS

.vSFS

BS

vSvS

vS.BS

BS

FS

BS

BS

BS

+

+

Una carga que se mueve en forma paralela alcampo magnéticoexperimenta unafuerza magné-tica igual acero.

a)

c)

b)

Una carga que se mueva con un ángulo f conrespecto a un campo magnético experimenta unafuerza magnética con magnitud F 5 0q 0 v!B 50q 0vB sen f.

Una carga que se mueva de manera perpendiculara un campo magnético experimenta una fuerzamagnética máxima con magnitud Fmáx 5 qvB.

F es perpendicu-lar al plano quecontiene v y B.

q

v!

FS

S

SS

BS

BS

vSf

q

FmáxS

BS

vS

q

q BS

vS

vS

27.6 La fuerza magnética que actúa sobre una carga positiva q que se muevecon velocidad es perpendicular tanto a como al campo magnético Para valores dados de la velocidad v y la intensidad del campo magnético B, la fuerza es mayor cuando y son perpendiculares.

BS

vS

BS

.vSvS

FS

13.4 Fuerza magnética sobre una partícula

O N L I N E

5

NOTA: Esta interacción explica la percepción de un espacio con 3 dimensión (3D); estas dimensión son los grados de libertad de las interacciones;

v y B definen un

plano (2D) y su interacción, FB , genera la tercera dimensión (3D)

Regla de la mano derecha:

La ecuación (8.2) es válida tanto para cargas positivas como cargas negativas

• Cuando q es negativa, la dirección de la fuerza es opuesta: (8.3)

F = (−q)v ×

B = q

B × v

Unidad SI para magnitud del campo magnético:

B[ ] = Fqv

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= N

C ⋅ms

= NCs⋅m

= NA ⋅m

En honor de Nikola Tesla (1857-‐1943): B⎡⎣ ⎤⎦ = tesla (T), donde 1T = 1

NA ⋅m

En la naturaleza, las magnitudes de los campos magnéticos son pequeño ⇒ unidad natural pequeña = Gauss:

B⎡⎣ ⎤⎦ = gauss (G) y1G = 10−4 T

o Instrumento de medición = gausimétro Ejemplos de intensidad de campo magnético:

• Campo magnético de la Tierra o Ecuador B ~ 0.3G = 3x10-‐5 T o Polos B ~ 0.7G = 7x10-‐5 T

• Campo magnético promedio del Sol B ~1G = 10-‐4 T o Manchas solares hasta 4000G = 1T

• En el interior del átomo B ~ 10T o105G o Producen separación de líneas de emisión en espectros atómicos

• Campo magnético estable más fuerte producido en laboratorio B ~ 45T • Electroimanes de pulsos de corriente B ~ 120T durante ~ 10−3s • Estrella de neutrones (pulsar) B ~ 108T


La ecuación (27.2) es válida tanto para cargas positivas como negativas. Cuando qes negativa, la dirección de la fuerza es opuesta a la de (figura 27.7b). Si doscargas con magnitud igual y signos contrarios se mueven con la misma velocidad enel mismo campo (figura 27.8), las fuerzas tienen igual magnitud y dirección opues-ta. Las figuras 27.6, 27.7 y 27.8 presentan varios ejemplos de las relaciones entre lasdirecciones de y para cargas tanto positivas como negativas; asegúrese de quelas entiende.

La ecuación (27.1) da la magnitud de la fuerza magnética en la ecuación (27.2).Tal magnitud se puede expresar en una forma distinta pero equivalente. Puesto que fes el ángulo entre la dirección de los vectores y se puede interpretar al productoB sen f como la componente de perpendicular a , es decir, B'. Con esta notación,la magnitud de la fuerza es

(27.3)

Hay veces en que esta forma es más conveniente, en especial en problemas que inclu-yen corrientes en vez de partículas individuales. Más adelante, en este capítulo estu-diaremos fuerzas sobre corrientes.

De la ecuación (27.1) se desprende que las unidades de B deben ser las mismas quelas unidades de F>qv. Por lo tanto, la unidad del SI para B es equivalente a 1 N ? s>C ? m,o bien, ya que un ampere es un coulomb por segundo (1 A 5 1 C>s), 1 N>A ? m. Estaunidad recibe el nombre de tesla (se abrevia T), en honor a Nikola Tesla (1857-1943),prominente científico e inventor serbio-estadounidense:

Otra unidad de B que también es de uso común es el gauss (1 G 5 1024 T). Los ins-trumentos para medir campos magnéticos en ocasiones se llaman gausímetros.

El campo magnético de la Tierra es del orden de 1024 T, o bien, 1 G. En el interiorde los átomos ocurren campos magnéticos del orden de 10 T, los cuales son importan-tes en el análisis de los espectros atómicos. El campo magnético más estable que sehaya producido hasta el presente en un laboratorio es de aproximadamente 45 T. Al-gunos electroimanes de pulsos de corriente generan campos de 120 T, aproximada-mente, durante intervalos breves de tiempo de alrededor de 1 milisegundo. Se creeque el campo magnético en la superficie de una estrella de neutrones es de unos 108 T.

Medición de campos magnéticos con cargas de pruebaPara explorar un campo magnético desconocido, se mide la magnitud y duración dela fuerza sobre una carga de prueba en movimiento, y luego se emplea la ecuación(27.2) para determinar El haz de electrones de un tubo de rayos catódicos, comoB

S.

1 tesla 5 1 T 5 1 N/A # m

F 5 0 q 0 vB'

vSBS

BS

,vS

FS

BS

vSFS

,

BS

vS 3 BS

FS

3

2

1

3

3

2 2

2

1 1

1

F 5 qv 3 B

b)a)

¡Manoderecha!

Regla de la mano derecha para la dirección de la fuerza magnética sobre una carga positiva quese mueve en un campo magnético:

Si la carga es negativa, la dirección dela fuerza es opuesta a la que da la reglade la mano derecha.Coloque los vectores v y B unidos en sus orígenes.

La fuerza actúa a lolargo de esta línea.

SS

Imagine que gira v hacia B en el plano v-B(en el menor ángulo).

La fuerza actúa a lo largo de unalínea perpendicular al plano v-B.Enrolle los dedos de su mano derechaen torno a esta línea en la mismadirección que giró a v. Ahora, supulgar apunta en la dirección queactúa la fuerza.

SS

S

SS

SS

q

Plano v-B

BS

vS

SS

qBS

S SS

F 5 qv 3 BS SS

F 5 qv 3 BS SS

F 5 (2q)v 3 BS SS

vS

2qBS

vS

2qBS

vS

27.7 Cálculo de la dirección de la fuerza magnética sobre una partícula cargada en movimiento.

+

Las cargas positivas y negativasque se mueven en la misma di-rección a través de un campomagnético experimentanfuerzas magnéticas dedirecciones opuestas.

BS

BS

vS

vS

f

f

F 5 qv 3 BS SS

F 5 (2q)v 3 BS SS

q1 5 q . 0

q2 5 2q , 0

27.8 Dos cargas de la misma magnitud,pero signos contrarios que se mueven conla misma velocidad en el mismo campomagnético. Las fuerzas magnéticas sobrelas cargas son iguales en magnitud, peroopuestas en dirección.

6

Medición de campos magnéticos con cargas de prueba Para medir un campo magnético desconocido, se mide la magnitud y duración de la fuerza sobre una carga de prueba en movimiento, usando la ecuación (8.2):

F = qv ×

B

Ejemplo = haz de electrones de un tubo catódico

• Cuando haz paralelo φ = 0( ) o anti-‐paralelo φ = π( ) al campo FB = 0

• Cuando haz al 90 al campo, φ = π 2 ⇒ senφ = 1 y la fuerza magnética es máxima

La magnitud y dirección de la deflexión determinan la magnitud y dirección del campo magnético FORMA GENERAL: en presencia de un campo eléctrico y un campo magnético la fuerza total es la suma vectorial de la fuerza eléctrica (Coulomb) y fuerza magnética: (8.4)

F =FC +

FB = q

E + v ×

B( )

27.2 Campo magnético 921

el de los televisores, es un dispositivo conveniente para realizar tales mediciones.El cañón de electrones dispara un haz de electrones estrecho a una velocidad cono-cida. Si ninguna fuerza ocasiona una desviación en el haz, éste golpea el centro dela pantalla.

Si está presente un campo magnético, en general el haz de electrones sufre unadesviación. Pero si el haz es paralelo o antiparalelo al campo, entonces f 5 0 o pen la ecuación (27.1), por lo que F 5 0; no hay fuerza ni desviación. Si se encuen-tra que el haz de electrones no tiene desviación cuando su dirección es paralela acierto eje, como en la figura 27.9, el vector debe apuntar hacia arriba o hacia abajode ese eje.

Entonces, si el tubo se gira 90° (figura 27.9b), f 5 p>2 en la ecuación (27.1), y lafuerza magnética es máxima; el haz tiene una desviación que es perpendicular al pla-no de y La dirección y la magnitud de la deflexión determinan la dirección y lamagnitud de Para confirmar la ecuación (27.1) o la (27.3) y el análisis respectivo,podemos realizar experimentos adicionales en los cuales el ángulo entre y estéentre cero y 90°. Note que el electrón tiene carga negativa; en la figura 27.9b la fuer-za tiene dirección opuesta a la fuerza de una carga positiva.

Cuando una partícula cargada se mueva a través de una región del espacio en queestén presentes los campos eléctrico y magnético, ambos ejercerán fuerzas sobre lapartícula. La fuerza total es la suma vectorial de las fuerzas eléctrica y magnética:

(27.4)FS

5 q 1ES 1 vS 3 BS 2F

S

vSBS

BS

.vS.B

S

BS

y

z

x

BS

FS

vS

b) Si el eje del tubo es paralelo al eje x, el hazsufre una desviación en la dirección 2z por loque B tiene la dirección 1y.

S

BS

a) Si el eje del tuboes paralelo al eje y,el haz no tiene des-viación, así que Btiene la dirección+y o –y.

y

x

z

vS

Haz de electrones

S

27.9 Determinación de la dirección de un campo magnético usando un tubo de rayos catódicos. Como los electronestienen carga negativa, la fuerza magnética

en el inciso b) apunta en contra de la dirección dada por la regla de la mano derecha (véase la figura 27.7b).

FS

5 qvS 3 BS

Estrategia para resolver problemas 27.1 Fuerzas magnéticas

IDENTIFICAR los conceptos relevantes: La regla de la mano derechapermite determinar la fuerza magnética sobre una partícula cargada enmovimiento.

PLANTEAR el problema de acuerdo con los siguientes pasos:1. Dibuje el vector de velocidad y el campo magnético con sus

orígenes juntos, con la finalidad de visualizar el plano donde se encuentran.

2. Identifique el ángulo f entre los dos vectores.3. Identifique las incógnitas. Éstas pueden ser la magnitud y dirección

de la fuerza, o la magnitud o dirección de o de

EJECUTAR la solución como sigue:1. Exprese la fuerza magnética usando la ecuación (27.2),

La magnitud de la fuerza está dada por la ecua-ción (27.1), F 5 qvB sen f.FS

5 qvS 3 BS

.

BS

.vS

BS

vS

2. Recuerde que es perpendicular al plano de los vectores yLa dirección de está determinada por la regla de la mano de-recha; mientras no esté seguro de entender esta regla, consulte la figura 27.7. Si q es negativa, la fuerza es opuesta a

EVALUAR la respuesta: Siempre que se pueda, resuelva el problemade dos formas. Hágalo directamente con la definición geométrica delproducto vectorial. Después encuentre las componentes de los vectoresen algún sistema de ejes conveniente y calcule el producto vectorial enforma algebraica a partir de las componentes. Compruebe que los re-sultados concuerden.

vS 3 BS

.

vS 3 BS

BS

.vSFS

7

Ejemplo 8.1: Fuerza magnética sobre un protón Haz de protón (rayos cósmicos) se mueve a 3.0 ×105 m sa través de un campo magnético uniforme de 2.0T dirigido a lo largo del eje z La velocidad de cada protón en el plano xz con ángulo 30 grados con respecto al eje +z

La carga es positiva, por lo que la fuerza esta en la dirección del producto vectorial v ×B , esto es en la dirección –y

La magnitud de la fuerza magnética

F = qvB sen30 ≈ 4.8 ×10−14 N

Forma analítica (calculo vectorial):

v = 3.0 ×105 ms

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ sen30( ) i + 3.0 ×105 m

s⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ cos 30( ) k

B = 2.0T( ) kF = qv ×

B = 1.6 ×10−19 C( ) 3.0 ×105 m

s⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ 2.0T( ) ⋅ sen30( ) i + cos 30( ) k⎡⎣ ⎤⎦ × k

= − 4.8 ×10−14 N( ) j

Esto porque i × k = − j y k × k = 0

En general i × i = j × j = k × k = 0

i × j = k, j × k = i , k × i = j

Con un haz de electrones, la magnitud habría sido igual con dirección opuesta, B × v en lugar de

v ×B


27.3 Líneas de campo magnético y flujo magnético

Cualquier campo magnético se representa usando líneas de campo magnético, delmismo modo que hicimos para el campo magnético terrestre en la figura 27.3. La ideaes la misma que para las líneas de campo eléctrico estudiadas en la sección 21.6. Sedibujan las líneas de modo que la línea que pasa a través de cualquier punto sea tan-gente al vector del campo magnético en ese punto (figura 27.11). Igual que hicimoscon las líneas de campo eléctrico, tan sólo dibujamos unas cuantas líneas que sean re-presentativas pues, de otra manera, ocuparían todo el espacio. Donde las líneas decampo adyacentes están cerca entre sí, la magnitud del campo es grande; donde taleslíneas están separadas, la magnitud del campo es pequeña. Asimismo, debido a que ladirección de en cada punto es única, las líneas de campo nunca se cruzan.

CUIDADO Las líneas de campo magnético no son “líneas de fuerza” En ocasiones, alas líneas de campo magnético se les llama “líneas magnéticas de fuerza”, aunque éste no es unnombre adecuado; a diferencia de las líneas de campo eléctrico, no apuntan en dirección de la fuer-za que se ejerce sobre la carga (figura 27.12). La ecuación (27.2) muestra que la fuerza sobre unapartícula con carga en movimiento siempre es perpendicular al campo magnético y, por lo tanto, a lalínea de éste que pasa por la posición donde se halla la partícula. La dirección de la fuerza depende

BS

BS

S N

BS

En cada punto, lalínea de campo estangente al vector delcampo magnético B.

S

Cuanto más saturadasestén las líneas de cam-po, más intenso será elcampo en ese punto.

En cada punto, laslíneas de campoapuntan en la mismadirección en que loharía una brújula . . .

. . . por lo tanto, las líneasde campo magnético siem-pre señalan hacia fuera delos polos N y en direccióna los polos S.

BS

27.11 Líneas de campo magnético de unimán permanente. Observe que las líneasde campo pasan por el interior del imán.

Ejemplo 27.1 Fuerza magnética sobre un protón

Un haz de protones (q 5 1.6 3 10219 C) se mueve a 3.0 3 105 m>s a través de un campo magnético uniforme, con magnitud 2.0 T dirigido alo largo del eje z positivo, como se indica en la figura 27.10. La veloci-dad de cada protón se encuentra en el plano xz con un ángulo de 30°con respecto al eje 1z. Calcule la fuerza sobre un protón.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: Este problema usa la expresión para la fuerza magné-tica sobre una partícula cargada en movimiento.

PLANTEAR: La figura 27.10 muestra que los vectores y están enel plano xz. El ángulo entre estos vectores es de 30°. Las incógnitasson la magnitud y dirección de la fuerza F

S.

BS

vS

EJECUTAR: La carga es positiva, por lo que la fuerza está en la mismadirección que el producto vectorial Según la regla de la manoderecha, esta dirección es a lo largo del eje y negativo. De acuerdo conla ecuación (27.1), la magnitud de la fuerza es:

EVALUAR: El resultado se comprueba evaluando la fuerza con el len-guaje de vectores y la ecuación (27.2):

(Recuerde que y De nuevo resulta que lafuerza está en la dirección negativa del eje y, con magnitud de 4.8 310214 N.

Si el haz fuera de electrones en vez de protones, la carga sería ne-gativa (q 5 21.6 3 10219 C) y la dirección de la fuerza se invertiría,para estar dirigida ahora a lo largo del eje y positivo, pero su magnitudsería la misma que antes, F 5 4.8 3 10214 N.

k 3 k 5 0. 2d 3 k 5 2e 5 124.8 3 10214 N 2e 3 1 sen 30° d 1 cos 30°k 2 3 k

5 1 1.6 3 10219 C 2 1 3.0 3 105 m/s 2 12.0 T 2 FS

5 qvS 3 BS

BS

5 1 2.0 T 2 k vS 5 13.0 3 105 m/s 2 1 sen 30° 2 d 1 13.0 3 105 m/s 2 1 cos 30° 2 k 5 4.8 3 10214 N

5 1 1.6 3 10219 C 2 13.0 3 105 m/s 2 12.0 T 2 1 sen 30° 2 F 5 qvB sen f

vS 3 BS

.

y

x

z

q

308BS

vS

27.10 Direcciones de y para un protón en un campo magnético.

BS

vS

Pruebe su comprensión de la sección 27.2 La figura de la izquierda ilustraun campo magnético uniforme dirigido hacia el plano del papel (que se muestra con símbolos 3 azules); en tal plano se mueve una partícula con carga negativa. ¿Cuál de las tres trayectorias sigue la partícula: 1, 2 o 3?

!

BS

Trayec-toria 1

Trayec-toria 2

Trayec-toria 3

BS

vS

8

Líneas de campo magnético y flujo magnético

Líneas de campo magnético: Idea = misma que para el campo eléctrico:

• Se dibujan líneas de modo que cada línea es tangente al vector del campo magnético

B

o Donde las líneas de campo adyacentes están cerca entre sí, la magnitud del campo es grande

o Donde tales líneas están separadas, la magnitud del campo es pequeña

• Debido a que la dirección de B en cada punto es única, las líneas de campo

nunca se cruzan • Las líneas de campo magnético no son líneas de fuerzas -‐ no apuntan en

dirección de la fuerza que se ejerce sobre la carga -‐ la dirección de la fuerza depende de la velocidad y el signo de la carga se moviendo en el campo


27.3 Líneas de campo magnético y flujo magnético

Cualquier campo magnético se representa usando líneas de campo magnético, delmismo modo que hicimos para el campo magnético terrestre en la figura 27.3. La ideaes la misma que para las líneas de campo eléctrico estudiadas en la sección 21.6. Sedibujan las líneas de modo que la línea que pasa a través de cualquier punto sea tan-gente al vector del campo magnético en ese punto (figura 27.11). Igual que hicimoscon las líneas de campo eléctrico, tan sólo dibujamos unas cuantas líneas que sean re-presentativas pues, de otra manera, ocuparían todo el espacio. Donde las líneas decampo adyacentes están cerca entre sí, la magnitud del campo es grande; donde taleslíneas están separadas, la magnitud del campo es pequeña. Asimismo, debido a que ladirección de en cada punto es única, las líneas de campo nunca se cruzan.

CUIDADO Las líneas de campo magnético no son “líneas de fuerza” En ocasiones, alas líneas de campo magnético se les llama “líneas magnéticas de fuerza”, aunque éste no es unnombre adecuado; a diferencia de las líneas de campo eléctrico, no apuntan en dirección de la fuer-za que se ejerce sobre la carga (figura 27.12). La ecuación (27.2) muestra que la fuerza sobre unapartícula con carga en movimiento siempre es perpendicular al campo magnético y, por lo tanto, a lalínea de éste que pasa por la posición donde se halla la partícula. La dirección de la fuerza depende

BS

BS

S N

BS

En cada punto, lalínea de campo estangente al vector delcampo magnético B.

S

Cuanto más saturadasestén las líneas de cam-po, más intenso será elcampo en ese punto.

En cada punto, laslíneas de campoapuntan en la mismadirección en que loharía una brújula . . .

. . . por lo tanto, las líneasde campo magnético siem-pre señalan hacia fuera delos polos N y en direccióna los polos S.

BS

27.11 Líneas de campo magnético de unimán permanente. Observe que las líneasde campo pasan por el interior del imán.

Ejemplo 27.1 Fuerza magnética sobre un protón

Un haz de protones (q 5 1.6 3 10219 C) se mueve a 3.0 3 105 m>s a través de un campo magnético uniforme, con magnitud 2.0 T dirigido alo largo del eje z positivo, como se indica en la figura 27.10. La veloci-dad de cada protón se encuentra en el plano xz con un ángulo de 30°con respecto al eje 1z. Calcule la fuerza sobre un protón.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: Este problema usa la expresión para la fuerza magné-tica sobre una partícula cargada en movimiento.

PLANTEAR: La figura 27.10 muestra que los vectores y están enel plano xz. El ángulo entre estos vectores es de 30°. Las incógnitasson la magnitud y dirección de la fuerza F

S.

BS

vS

EJECUTAR: La carga es positiva, por lo que la fuerza está en la mismadirección que el producto vectorial Según la regla de la manoderecha, esta dirección es a lo largo del eje y negativo. De acuerdo conla ecuación (27.1), la magnitud de la fuerza es:

EVALUAR: El resultado se comprueba evaluando la fuerza con el len-guaje de vectores y la ecuación (27.2):

(Recuerde que y De nuevo resulta que lafuerza está en la dirección negativa del eje y, con magnitud de 4.8 310214 N.

Si el haz fuera de electrones en vez de protones, la carga sería ne-gativa (q 5 21.6 3 10219 C) y la dirección de la fuerza se invertiría,para estar dirigida ahora a lo largo del eje y positivo, pero su magnitudsería la misma que antes, F 5 4.8 3 10214 N.

k 3 k 5 0. 2d 3 k 5 2e 5 124.8 3 10214 N 2e 3 1 sen 30° d 1 cos 30°k 2 3 k

5 1 1.6 3 10219 C 2 1 3.0 3 105 m/s 2 12.0 T 2 FS

5 qvS 3 BS

BS

5 1 2.0 T 2 k vS 5 13.0 3 105 m/s 2 1 sen 30° 2 d 1 13.0 3 105 m/s 2 1 cos 30° 2 k 5 4.8 3 10214 N

5 1 1.6 3 10219 C 2 13.0 3 105 m/s 2 12.0 T 2 1 sen 30° 2 F 5 qvB sen f

vS 3 BS

.

y

x

z

q

308BS

vS

27.10 Direcciones de y para un protón en un campo magnético.

BS

vS

Pruebe su comprensión de la sección 27.2 La figura de la izquierda ilustraun campo magnético uniforme dirigido hacia el plano del papel (que se muestra con símbolos 3 azules); en tal plano se mueve una partícula con carga negativa. ¿Cuál de las tres trayectorias sigue la partícula: 1, 2 o 3?

!

BS

Trayec-toria 1

Trayec-toria 2

Trayec-toria 3

BS

vS

9

Ejemplo: Imán permanente, limaduras de hierro se alinean tangente a las líneas de campo magnético

Otros ejemplos:

27.3 Líneas de campo magnético y flujo magnético 923

de la velocidad de la partícula y del signo de la carga, de modo que una simple mirada a las líneas decampo magnético no basta para indicar la dirección de la fuerza sobre una partícula cargada que semueva arbitrariamente. Las líneas de campo magnético sí tienen la dirección en que apuntaría laaguja de una brújula colocada en cada sitio; tal vez esto lo ayude a visualizar las líneas. !

Las figuras 27.11 y 27.13 muestran líneas de campo magnético producidas por varias fuentes comunes de campo magnético. En el espacio entre los polos del imánde la figura 27.13a, las líneas de campo son aproximadamente rectas y paralelas, y es-tán igualmente espaciadas, lo cual demuestra que el campo magnético en esta regiónes aproximadamente uniforme (es decir, tiene magnitud y dirección constantes).

Como los patrones de campo magnético son tridimensionales, con frecuencia esnecesario dibujar líneas de campo magnético que apunten hacia dentro o hacia fueradel plano de un dibujo. Para hacer esto se usa un punto que representa un vectordirigido hacia fuera del plano, y una cruz que denota que el vector se dirige ha-cia el plano (figura 27.13b). Veamos una manera adecuada de recordar tales conven-ciones: el punto semeja la cabeza de una flecha que se dirige hacia usted; en tanto quela cruz representa las plumas de una flecha que se aleja de usted.

Las limaduras de hierro, como las agujas de brújula, tienden a alinearse con las lí-neas de campo magnético, por lo que brindan una forma sencilla de visualizar las líneas de campo magnético (figura 27.14).

13 2 1 # 2INCORRECTO

CORRECTO

La dirección de la fuerza magnética dependede la velocidad v, según se expresa en laley de la fuerza magnética F 5 qv 3 B.

S

S

S S

Las líneas de campo magnético no son “líneasde fuerza”. La fuerza sobre una partículacargada no se ejerce a lo largo de la direcciónde una línea de campo.

BS

FS

BS

FS

vS

27.12 Las líneas de campo magnético noson “líneas de fuerza”.

S

Observe que el campo de laespira y, especialmente, dela bobina, se parecen al campode un imán de barra (véase lafigura 27.11).

Para representar un campo que sale del planodel papel o llega a éste se usan puntos y cruces,respectivamente.

Entre polos magnéticos paralelos y planos,el campo magnético es casi uniforme.

b) Campo magnético de un alambre recto que conduce corrientea) Campo magnético de un imán en forma de C

II

BS

II

c) Campos magnéticos de una espira y una bobina (solenoide) que conducen corriente

B

I

I

BS

BS

El alambre está en el plano del papelVista en perspectiva

I I

B sale del planoS

B se dirige al planoS

BS

27.13 Líneas de campo magnético producidas por varias fuentes comunes de campo magnético.

27.14 a) Similares a pequeñas agujas de brújula, las limaduras de hierro se alinean tangentes a las líneas de campo magnético. b) Dibujo de las líneas de campo para la situación que se ilustra en el inciso a).

a) b)

SB

27.3 Líneas de campo magnético y flujo magnético 923

de la velocidad de la partícula y del signo de la carga, de modo que una simple mirada a las líneas decampo magnético no basta para indicar la dirección de la fuerza sobre una partícula cargada que semueva arbitrariamente. Las líneas de campo magnético sí tienen la dirección en que apuntaría laaguja de una brújula colocada en cada sitio; tal vez esto lo ayude a visualizar las líneas. !

Las figuras 27.11 y 27.13 muestran líneas de campo magnético producidas por varias fuentes comunes de campo magnético. En el espacio entre los polos del imánde la figura 27.13a, las líneas de campo son aproximadamente rectas y paralelas, y es-tán igualmente espaciadas, lo cual demuestra que el campo magnético en esta regiónes aproximadamente uniforme (es decir, tiene magnitud y dirección constantes).

Como los patrones de campo magnético son tridimensionales, con frecuencia esnecesario dibujar líneas de campo magnético que apunten hacia dentro o hacia fueradel plano de un dibujo. Para hacer esto se usa un punto que representa un vectordirigido hacia fuera del plano, y una cruz que denota que el vector se dirige ha-cia el plano (figura 27.13b). Veamos una manera adecuada de recordar tales conven-ciones: el punto semeja la cabeza de una flecha que se dirige hacia usted; en tanto quela cruz representa las plumas de una flecha que se aleja de usted.

Las limaduras de hierro, como las agujas de brújula, tienden a alinearse con las lí-neas de campo magnético, por lo que brindan una forma sencilla de visualizar las líneas de campo magnético (figura 27.14).

13 2 1 # 2INCORRECTO

CORRECTO

La dirección de la fuerza magnética dependede la velocidad v, según se expresa en laley de la fuerza magnética F 5 qv 3 B.

S

S

S S

Las líneas de campo magnético no son “líneasde fuerza”. La fuerza sobre una partículacargada no se ejerce a lo largo de la direcciónde una línea de campo.

BS

FS

BS

FS

vS

27.12 Las líneas de campo magnético noson “líneas de fuerza”.

S

Observe que el campo de laespira y, especialmente, dela bobina, se parecen al campode un imán de barra (véase lafigura 27.11).

Para representar un campo que sale del planodel papel o llega a éste se usan puntos y cruces,respectivamente.

Entre polos magnéticos paralelos y planos,el campo magnético es casi uniforme.

b) Campo magnético de un alambre recto que conduce corrientea) Campo magnético de un imán en forma de C

II

BS

II

c) Campos magnéticos de una espira y una bobina (solenoide) que conducen corriente

B

I

I

BS

BS

El alambre está en el plano del papelVista en perspectiva

I I

B sale del planoS

B se dirige al planoS

BS

27.13 Líneas de campo magnético producidas por varias fuentes comunes de campo magnético.

27.14 a) Similares a pequeñas agujas de brújula, las limaduras de hierro se alinean tangentes a las líneas de campo magnético. b) Dibujo de las líneas de campo para la situación que se ilustra en el inciso a).

a) b)

SB

10

Flujo magnético y ley de Gauss del magnetismo

Flujo magnético ΦB a través de una superficie

• Divide cualquier superficie en elementos de área normal a la superficie, dA

• Determina B⊥ , componente de B normal a la superficie = proyección de

B

en la dirección de dA ; B⊥ =

B ⋅dA = Bcosφ

• El flujo magnético dΦB a través del elemento de área dA

(8.5) dΦB =B ⋅dA = BdAcosφ = Bcosφ( )dA = B⊥dA

El flujo magnético total, integrar sobre todo el área (integral de superficie): (8.6)

ΦB =

B ⋅dA∫

• El flujo magnético (como el flujo eléctrico) es una cantidad escalar

Unidad SI: ΦB[ ] = Weber (Wb) (en el honor de Wilhelm Weber 1804-‐1891)

Wb = T ⋅m2 = NA ⋅m

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅m

2 = N ⋅mA

• Caso especial =

B uniforme sobre superficie con plano de área total A; B⊥ y

φ son constante en todos los puntos de la superficie gaussiana:

(8.7) ΦB =

B ⋅dA∫ = Bcosφ d

A∫ = Bcosφ( )A

• Para

B ⊥ A⇒φ = 0⇒Φmaxima

Densidad de flujo magnético:

(8.8) B = dΦB

dA⊥

• La magnitud del campo magnético es igual al flujo por unidad de área a través de un área que forma un ángulo recto con el campo magnético


dA

B'

Bi

f BS

dAS

27.15 El flujo magnético a través de unelemento de área dA se define comodFB 5 B' dA.

Flujo magnético y ley de Gauss del magnetismoDefinimos el flujo magnético FB a través de una superficie al igual que definimos elflujo eléctrico en relación con la ley de Gauss, en la sección 22.2. Se puede dividircualquier superficie en elementos de área dA (figura 27.15). Para cada elemento sedetermina B', la componente de normal a la superficie en la posición de ese ele-mento, como se ilustra. De la figura, donde f es el ángulo entre la di-rección de y una línea perpendicular a la superficie. (Hay que tener cuidado de noconfundir f con FB.) En general, esta componente varía de un punto a otro de la su-perficie. Definimos el flujo magnético dFB a través de esta área como normal

(27.5)

El flujo magnético total a través de la superficie es la suma de las contribuciones des-de los elementos de área individuales:

(27.6)

(Esta ecuación utiliza los conceptos de área vectorial e integral de superficie, que sepresentaron en la sección 22.2; el lector quizá desee repasar aquel análisis.)

El flujo magnético es una cantidad escalar. En el caso especial en que es unifor-me sobre la superficie de un plano con área total A, B' y f son los mismos en todoslos puntos de la superficie, y

(27.7)

Si fuera perpendicular a la superficie, entonces cos f 5 1 y la ecuación (27.7) se re-duce a FB 5 BA. Al estudiar la inducción electromagnética en el capítulo 29, usa-remos mucho el concepto de flujo magnético.

La unidad del SI para el flujo magnético es igual a la unidad del campo magnético(1 T) multiplicada por la unidad de área (1 m2). Esta unidad se llama weber (1 Wb),en honor del físico alemán Wilhelm Weber (1804-1891):

Asimismo, por lo que

En la ley de Gauss, el flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada es pro-porcional a la carga eléctrica total encerrada por la superficie. Por ejemplo, si la su-perficie cerrada contiene un dipolo eléctrico, el flujo eléctrico total es igual a ceroporque la carga total es cero. (Quizá usted desee repasar la sección 22.3 acerca de laley de Gauss.) Por analogía, si existiera algo como una sola carga magnética (mono-polo magnético), el flujo magnético total a través de la superficie cerrada sería pro-porcional a la carga magnética total encerrada. Pero ya dijimos que nunca se haobservado un monopolo magnético, a pesar de la intensa búsqueda que se hace de él.Se concluye lo siguiente:

El flujo magnético total a través de una superficie cerrada siempre es igual a cero.

Simbólicamente,

(flujo magnético a través de cualquier superficie cerrada) (27.8)

En ocasiones, esta ecuación recibe el nombre de ley de Gauss del magnetismo. Sepuede comprobar analizando las figuras 27.11 y 27.13; si se dibuja una superficie ce-rrada en cualquier lugar de uno de los mapas de campo que se ilustran en las figuras,se verá que toda línea de campo que penetra la superficie también sale de ella; el flujoneto a través de la superficie es igual a cero. De la ecuación (27.8) también se sigueque las líneas de campo magnético siempre forman espiras cerrados.

CUIDADO Las líneas de campo no tienen extremos A diferencia de las líneas decampo eléctrico, que comienzan y terminan en cargas eléctricas, las líneas de campo magnéticonunca tienen puntos extremos; tales puntos indicarían la presencia de un monopolo. Quizás us-

CBS # dA

S5 0

1 Wb 5 1 T # m2 5 1 N # m/A1 T 5 1 N/A # m,

1 Wb 5 1 T # m2

BS

FB 5 B' A 5 BA cos f

BS

(flujo magnético a travésde una superficie)FB 5 3B' dA 5 3B cos f dA 5 3B

S # dAS

dFB 5 B' dA 5 B cos f dA 5 BS # dA

S

BS

B' 5 B cos f,BS

11

Ejemplo 8.2: cálculo de flujo magnético Superficie de 3.0 cm2 ubicada en un campo magnético uniforme formando ángulo de 60 grados relativo al campo El flujo pasando por esta área es 0.90 mWb

Como el campo magnético es uniforme, B y φ tienen el mismo valor en todos los puntos de la superficie ΦB = BAcosφ La magnitud del campo será por lo tanto:

B = ΦB

Acosφ= 0.90 ×10−3Wb3.0 ×10−4m2 cos60

≈ 6.0T

Consecuencia directa de la no existencia del monopolo magnético En la ley de Gauss, el flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga eléctrica dentro de la superficie

• La carga corresponde o a un punto fuente (positiva) o a un pozo (negativa) donde origina o termina las líneas de campo

Primera ecuación de Maxwell:

No existe equivalente para el campo magnético, porque no existe monopolo magnético (no source o sink); por lo tanto cualquier flujo magnético que entra dentro de una superficie cerrada de Gauss sale del otro lado El flujo magnético total a través de una superficie cerrada de gauss siempre es igual a cero (8.9)

B ⋅dA∫ = 0

Esto es la segunda ecuación de Maxwell:

B ⋅dA∫ = 0

27.4 Movimiento de partículas cargadas en un campo magnético 925

ted se sienta tentado a dibujar líneas de campo magnético que comiencen en el polo norte de unimán y terminen en el polo sur . No obstante, como se observa en la figura 27.11, las líneas decampo de un imán en realidad pasan por el interior de éste. Al igual que todas las demás líneasde campo magnético, forman espiras cerradas. !

Para la ley de Gauss, que siempre trata con superficies cerradas, el elemento deárea vectorial en la ecuación (27.6) siempre apunta hacia fuera de la superficie.Sin embargo, ciertas aplicaciones del flujo magnético implican una superficie abiertacon línea de frontera, lo cual produce una ambigüedad en el signo de la ecuación(27.6) porque hay dos posibilidades en elección de la dirección para En estos casos se elige uno de los dos lados de la superficie como “positivo” y se emplea así en forma consistente.

Si en la ecuación (27.5) el elemento de área dA forma ángulos rectos con las líneasde campo, entonces si se denota al área dA', tenemos

(27.9)

Es decir, la magnitud del campo magnético es igual al flujo por unidad de área a tra-vés de un área que forma un ángulo recto con el campo magnético. Por esta razón, alcampo magnético en ocasiones se le llama densidad de flujo magnético.B

S

B 5dFB

dA'

B' 5 B;

dAS

.

dAS

Evalúe su comprensión de la sección 27.3 Imagine que se mueve a lo largodel eje de la espira conductora de la figura 27.13c, comienza en un punto muy a la izquierda de la espira y termina en otro punto muy a la derecha de la espira. a) ¿Cómo variaría la intensidad del campo magnético a medida que usted se moviera a lo largo de dicha trayectoria? i) Sería la misma a todos los puntos de la trayectoria; ii) aumentaría y luego disminuiría; iii) disminuiría y luego aumentaría; b) ¿Variaría la dirección del campomagnético conforme usted se mueve por la trayectoria?

!

Ejemplo 27.2 Cálculos del flujo magnético

La figura 27.16a muestra una vista en perspectiva de una superficieplana con área de 3.0 cm2 en un campo magnético uniforme. Si el flujomagnético a través de esta área es de 0.90 mWb, calcule la magnituddel campo magnético y obtenga la dirección del vector de área.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: En muchos problemas, se pide calcular el flujo de uncampo magnético dado a través de un área específica. Sin embargo, en

este ejemplo se nos da el flujo, el área y la dirección del campo magné-tico. Nuestras incógnitas son la magnitud del campo y dirección delvector de área.

PLANTEAR: Como el campo magnético es uniforme, B y f tienen elmismo valor en todos los puntos de la superficie, por lo que es posibleutilizar la ecuación (27.7): FB 5 BA cos f. Nuestra incógnita es B.

EJECUTAR: El área A es 3.0 3 1024 m2; la dirección de es perpen-dicular a la superficie, por lo que f podría ser de 60° o 120°. Pero FB,B y A son positivos, de modo que cos f también debe ser positivo. Estoelimina los 120°, por lo cual f 5 60°, y se obtiene:

El vector de área es perpendicular al área en la dirección que se ilus-tra en la figura 27.16b.

EVALUAR: Una buena forma de comprobar el resultado es calcular el producto BA cos f para estar seguros de que es igual al valor dadodel flujo magnético FB. ¿Lo es?

AS

B 5FB

A cos f5

0.90 3 1023 Wb13.0 3 1024 m2 2 1 cos 60° 2 5 6.0 T

AS

a) Vista en perspectiva

308

BS

A

27.16 a) Superficie plana A en un campo magnético uniforme b) El vector de área forma un ángulo de 60° con (Si hubiéra-mos elegido que apuntara en la dirección opuesta, f tendría queser de 120° y el flujo magnético FB tendría que ser negativo.)

AS B

S.A

SBS

.

b) Nuestro esquema del problema(vista de perfil)

27.4 Movimiento de partículas cargadas en un campo magnético

Cuando una partícula cargada se mueve en un campo magnético, sobre ella actúa lafuerza magnética dada por la ecuación (27.2), y su movimiento está determinado porlas leyes de Newton. La figura 27.17 muestra un ejemplo sencillo. Una partícula con

E ⋅dA∫ = Qenc

ε0

12

Movimiento de partículas cargadas en un campo magnético En la mecánica de Newton, la interacción eléctrica entre dos partículas cargadas se describe en términos de una fuerza:

(8.10) q0E =F = m0

a0 = m0dv0dt

=d m0

v0( )dt

= dp0dt

• En cada punto del campo, la carga q0 siente una aceleración

a0 en la dirección tangente a las líneas del campo eléctrico

E

• Si la partícula esta en reposo, empezara a mover se en el sentido de la fuerza

• En general, su velocidad cambiara, a0 = d

v0 dt , o más bien su cantidad de movimiento cambiara, d

p0 dt = d m0v0( ) dt

El equivalente a la noción de fuerza = trabajo

• El campo produce un trabajo sobre la partícula q0 que se desplaza de un punto a hasta un punto b

• El trabajo es igual a la diferencia de energía potencial eléctrico ΔU o

potencial eléctrico V = Uq0 entre los dos puntos a y b

(8.11) Wab =

F ⋅dl

a

b

∫ = −ΔU = q0Vab

El campo eléctrico es igual al negativo del gradiente del potencial eléctrico: (8.12)

E = −∇V

De modo que la fuerza: (8.13)

F = −q0∇V

Las líneas de campo eléctricos representan la interacción en forma de trabajo = variación de energía potencial y cinética En el caso del campo magnético, la relación entre el campo y trabajo no es tan directa

• Para un campo estático tenemos dB dt = 0 y Wab = 0 ; no hay variación de energía potencial o cinética

• Solo para un campo magnético variable,dB dt ≠ 0 tenemos Wab ≠ 0

13

A) Orbita de partícula cargada en un campo uniforme Para una partícula cargada q0 que se mueve en un campo magnético a la velocidad

v0 , F = q0

v0 ×B = m0

a⊥ La aceleración

a⊥ es perpendicular al campo y a la velocidad, por lo tanto: El movimiento de una partícula cargada bajo la sola influencia de un campo magnético siempre ocurre con rapidez constante ΔK = 0( ) ; solo cambia su dirección (la fuerza es conservativa)

Para una partícula cargada que se desplaza perpendicularmente al campo: • La partícula se mueve bajo la influencia de una fuerza de magnitud

constante que siempre forma ángulos rectos con la velocidad de la partícula • La trayectoria de la partícula es un círculo de radio R, con constante v y

aceleración centrípeta v2 R • La fuerza constante tiene la forma:

(8.14) F = q vB = m v2

R

Con radio de orbita:

(8.15) R = mvqB

= pqB

La magnitud de la cantidad de movimiento es constante, solamente cambia su dirección – fuerza es conservativa

• Más grande p, más grande la energía, y mas largo su radio • Más fuerte el campo más chico el radio • Más grande la carga q y más chico el radio


carga positiva q está en el punto O, moviéndose con velocidad en un campo magné-tico uniforme dirigido hacia el plano de la figura. Los vectores y son perpen-diculares, por lo que la fuerza magnética tiene una magnitud F 5 qvB yla dirección que se indica en la figura. La fuerza siempre es perpendicular a por loque no puede cambiar la magnitud de la velocidad, únicamente su dirección. Para de-cirlo de manera diferente, la fuerza magnética nunca tiene una componente paralela almovimiento de la partícula, de modo que la fuerza magnética nunca realiza trabajosobre la partícula. Esto se cumple aun si el campo magnético no es uniforme.

El movimiento de una partícula cargada bajo la sola influencia de un campo magnético siempre ocurre con rapidez constante.

Con este principio, se observa que para la situación ilustrada en la figura 27.17a lamagnitud tanto de como de son constantes. En puntos tales como P y S, las direc-ciones de fuerza y velocidad han cambiado como se ilustra, pero sus magnitudes sonlas mismas. Por lo tanto, la partícula se mueve bajo la influencia de una fuerza demagnitud constante que siempre forma ángulos rectos con la velocidad de la partícu-la. Si se comparan estas condiciones con el análisis del movimiento circular estudiadoen las secciones 3.4 y 5.4, se observa que la trayectoria de la partícula es un círculo,trazado con constante v. La aceleración centrípeta es v2>R, y la única fuerza que actúaes la fuerza magnética, por lo que de acuerdo con la segunda ley de Newton,

(27.10)

donde m es la masa de la partícula. Al despejar el radio R de la ecuación (27.10) parala trayectoria circular, se obtiene

(radio de una órbita circular en un campo magnético) (27.11)

Esto también se puede escribir como donde p 5 mv es la magnitud de lacantidad de movimiento de la partícula. Si la carga q es negativa, en la figura 27.17ala partícula se mueve en sentido horario alrededor de la órbita.

La rapidez angular v de la partícula se calcula con la ecuación (9.13), v 5 Rv. Alcombinar ésta con la ecuación (27.11):

(27.12)

El número de revoluciones por unidad de tiempo es f 5 v>2p. Esta frecuencia f es inde-pendiente del radio R de la trayectoria. Se denomina frecuencia del ciclotrón; en unacelerador de partículas llamado ciclotrón, las partículas que se mueven en trayectoriascasi circulares reciben un impulso al doble en cada revolución, lo cual incrementa suenergía y sus radios orbitales, pero no su rapidez angular o frecuencia. De manera simi-lar, un tipo de magnetrón, fuente común de radiación de microondas en los hornos y enlos sistemas de radar, emite radiación con una frecuencia igual a la frecuencia del movi-miento circular de los electrones en una cámara de vacío entre los polos de un imán.

Si la dirección de la velocidad inicial no es perpendicular al campo, la componen-te de la velocidad paralela al campo es constante porque no hay fuerza paralela alcampo. Así que la partícula se mueve en un patrón helicoidal (figura 27.18). El radiode la hélice está dado por la ecuación (27.11), donde v ahora es la componente de lavelocidad perpendicular al campo .

El movimiento de una partícula cargada en un campo magnético no uniforme esmás complejo. La figura 27.19 ilustra un campo producido por dos bobinas circularesseparadas por cierta distancia. Las partículas cerca de la bobina experimentan unafuerza magnética hacia el centro de la región; las partículas con rapideces adecuadasdescriben repetidamente una espiral de uno a otro extremo de la región, y de regreso.Como las partículas cargadas pueden ser atrapadas en ese campo magnético, este re-cibe el nombre de botella magnética. Esta técnica se usa para confinar plasmas muy

BS

v 5vR

5 v

0 q 0Bmv

50 q 0Bm

R 5 p/ 0 q 0B,

R 5mv0 q 0B

F 5 0 q 0 vB 5 m

v2

R

vSFS

vS,FS

5 qvS 3 BS

BS

vSBS

vS

Una carga que se mueve con ángulos rectos conrespecto a un campo B uniforme se mueve encírculo a rapidez constante, porque F y v siempre son perpendiculares entre sí.

R

P

S

OBS

FS

FS

vS

S S

S

vS

vS

FS

a) Órbita de una partícula cargada en un campomagnético uniforme

b) Haz de electrones (arco azul) que se curvaen un campo magnético

27.17 Una partícula cargada se mueve en un plano perpendicular a un campomagnético uniforme B

S.

y

zx

q

v'

vi

BS

vS

El movimiento de esta partícula tiene compo-nentes tanto paralelos (vi) como perpendicu-lares (v') al campo magnético, por lo que semueve en una trayectoria helicoidal.

27.18 El caso general de una partículacargada que se mueve en un campo mag-nético uniforme El campo magnético no hace trabajo sobre la partícula, por loque su rapidez y la energía cinética permanecen constantes.

BS

.

14

La rapidez angular ω = v R( ) : (8.16) ω = v

R= v q B

mv=qmB

• Para la misma razón de carga sobre la masa, más fuerte el campo y más

rápido gira la partícula El número de revoluciones por unidad de tiempo = frecuencia del ciclotrón

(8.17) f = ω2π

= 12π

qmB

• La frecuencia del ciclotrón es independiente del radio de la trayectoria

• Ciclotrón = un acelerador de partícula

o Las partículas que se mueven en trayectorias casi circulares reciben un impulso en cada revolución

o Esto incrementa su energía y sus radios orbitales R = pqB

o Pero no su rapidez angular ω =qmB o frecuencia f = ω

2π

NOTA: la partícula acelerada perderá alguna energía por ondas electromagnética (OEM) = radiación ciclotrón Aplicación tecnológica = Magnetrón = fuente común de radiación de microondas en los hornos y en los sistemas de radar

• La radiación esta emitida con una frecuencia igual a la frecuencia del movimiento circular de los electrones en una cámara de vacío entre los polos de un imán

NOTA: Si la dirección de la velocidad inicial de una partícula en un ciclotrón no es perpendicular al campo, la componente de la velocidad paralela al campo es constante porque no hay fuerza paralela al campo Así que la partícula se mueve en un patrón helicoidal





(27.10)





(27.12)




BS

v 5vR

5 v

0 q 0Bmv

50 q 0Bm

R 5 p/ 0 q 0B,

R 5mv0 q 0B

F 5 0 q 0 vB 5 m

v2

R

vSFS

vS,FS

5 qvS 3 BS

BS

vSBS

vS


R

P

S

OBS

FS

FS

vS

S S

S

vS

vS

FS




S.

y

zx

q

v'

vi

BS

vS



BS

.

15

B) Orbita de partícula cargada en un campo no uniforme Dos bobinas circulares (electroimanes) separadas por cierta distancia produce un campo magnético intenso

• Este sistema permite contener un plasma con temperatura ~ 106 K que vaporizaría cualquier material para contenedores

• En un plasma (gas ionizado) las partículas cerca de la bobina experimentan una fuerza magnética hacia el centro

• Las partículas con rapideces adecuadas describen repetidamente una espiral de uno a otro extremo de la región, y de regreso

• Las partículas cargadas son atrapadas en ese campo magnético = botella magnética

Botella magnética natural = Cinturón de Van Allen, descubierto en 1958 con datos obtenidos por instrumentos a bordo del satélite Explorer I

• El campo magnético no uniforme de la Tierra atrapa partículas cargadas

provenientes del Sol (el viento solar), en regiones con forma de dona que rodean nuestro planeta = Cinturón de Van Allen

• Las partículas cargadas ionizan el gas del atmosfera produciendo auroras boreales

calientes con temperaturas del orden de 106 K. En forma similar, el campo magnéticono uniforme de la Tierra atrapa partículas cargadas provenientes del Sol, en regionescon forma de dona que rodean nuestro planeta, como se ilustra en la figura 27.20. Es-tas regiones se llaman cinturones de radiación Van Allen y fueron descubiertas en1958 con datos obtenidos por instrumentos a bordo del satélite Explorer I.

Las fuerzas magnéticas sobre partículas cargadas juegan un papel importante en elestudio de las partículas elementales. La figura 27.21 muestra una cámara llena de hi-drógeno líquido y con un campo magnético dirigido hacia el plano de la fotografía.Un rayo gamma de alta energía desprende un electrón de un átomo de hidrógeno y lolanza con gran rapidez y crea un rastro visible en el hidrógeno líquido. El rastromuestra al electrón que se curva hacia abajo debido a la fuerza magnética. La energíade la colisión también produce otro electrón y un positrón (electrón con carga positi-va). Debido a sus cargas opuestas, las trayectorias del electrón y el positrón se curvanen direcciones opuestas. A medida que estas partículas se abren paso a través del hi-drógeno líquido, chocan contra otras partículas cargadas, con lo que pierden energía yrapidez. Como resultado, disminuye el radio de curvatura, como lo sugiere la ecua-ción (27.11). (La rapidez del electrón es comparable a la rapidez de la luz, por lo quela ecuación (27.11) no se aplica directamente aquí.) Experimentos similares permitena los físicos determinar la masa y la carga de partículas recién descubiertas.


a) b)

Electrones atrapados en cinturonesde radiación exteriores

PoloSur

PoloNorte

Protones atrapa-dos en cinturonesde radiacióninteriores

Partículas cargadas delSol entran al campo mag-nético terrestre

27.20 a) Cinturones de radiación Van Allen alrededor de la Tierra. Cerca de los polos, partículas cargadas de estoscinturones ingresan a la atmósfera y producen auroras boreales (“luces del norte”) y auroras australes (“luces delsur”). b) Fotografía de la aurora boreal.

Positrón demovimiento lento

(q . 0)

Trayectoria delrayo gammaque ingresa

Átomo dehidrógeno

BS

Electrón demovimiento lento

(q , 0)

Electrón demovimiento

rápido(q , 0)

27.21 Esta imagen de cámara de burbujasmuestra el resultado de la colisión de unrayo gamma de alta energía (que no dejarastro) contra un electrón en un átomo de hidrógeno. El electrón sale despedidohacia la derecha a alta rapidez. Algo de laenergía de la colisión se transforma en unsegundo electrón y un positrón (electróncon carga positiva). Un campo magnéticose dirige hacia el plano de la imagen, que hace que las partículas positivas y negativas se curven en direcciones diferentes.

+I I

Bobina 1 Bobina 2

BS

BS

BS

FS

FS

FS

vS

vS

vS

27.19 Botella magnética. Las partículascerca de cualquier extremo de la región experimentan una fuerza magnética haciael centro de la región. Ésta es una forma de contener un gas ionizado con tempera-tura del orden de 106 K, que vaporizaríacualquier material para contenedores.

Estrategia para resolver problemas 27.2 Movimiento en campos magnéticos

IDENTIFICAR los conceptos relevantes: Al analizar el movimientode una partícula cargada en campos eléctricos y magnéticos, se aplicala segunda ley de Newton del movimiento, con la fuerza neta dada por Es frecuente que se ignorenotras fuerzas, como la gravedad. Muchos de los problemas son simila-res a los problemas de trayectoria y movimiento circular de las seccio-nes 3.3, 3.4 y 5.4; sería buena idea repasar esas secciones.

gFS

5 q 1ES 1 vS 3 BS 2 . gF

S5 maS,

PLANTEAR el problema usando los pasos siguientes:1. Determine la(s) incógnita(s).2. Con frecuencia, el uso de componentes es el enfoque más eficiente.

Elija un sistema de coordenadas y después exprese todas las canti-dades vectoriales (incluso y en términos de sus com-ponentes en este sistema.

aS)FS

vS,BS

,ES

,

continúa




a) b)


PoloSur

PoloNorte





(q . 0)


Átomo dehidrógeno

BS


(q , 0)


rápido(q , 0)


+I I

Bobina 1 Bobina 2

BS

BS

BS

FS

FS

FS

vS

vS

vS




gFS

5 q 1ES 1 vS 3 BS 2 . gF

S5 maS,



aS)FS

vS,BS

,ES

,

continúa

16

C) Orbitas de partículas cargadas en estudio de partículas elementales La figura muestra una cámara llena de hidrógeno líquido, con un campo magnético dirigido hacia el plano de la fotografía

• Un rayo gamma de alta energía desprende un electrón de un átomo de hidrógeno y lo lanza con gran rapidez creando un rastro visible en el hidrógeno líquido

• El rastro muestra al electrón

que se curva hacia abajo debido a la fuerza magnética

• La energía de la colisión

también produce otro electrón lento, y un positrón lento

• Debido a sus cargas opuestas, las trayectorias del electrón lento y el positrón lento se curvan en direcciones opuestas

• A medida que estas partículas se abren paso a través del hidrógeno líquido, chocan contra otras partículas cargadas, con lo que pierden energía y rapidez

o Como resultado, disminuye el radio de curvatura NOTA: El fenómeno es relativista, la rapidez del electrón rápido es comparable a la rapidez de la luz, por lo que la ecuación (8.15) no se aplica directamente (se necesita usar p dado por la relatividad) Experimentos similares permiten determinar las masas y la cargas de partículas desconocidas Partículas cargadas aceleradas por campo magnético que se mueven a velocidades relativistas pierden energía por OEM = radiación sincrotrón Fenómeno observable en radio galaxias y quásares – ej. el chorro de la galaxia con núcleo activo (quásar) M 87




a) b)


PoloSur

PoloNorte





(q . 0)


Átomo dehidrógeno

BS


(q , 0)


rápido(q , 0)


+I I

Bobina 1 Bobina 2

BS

BS

BS

FS

FS

FS

vS

vS

vS




gFS

5 q 1ES 1 vS 3 BS 2 . gF

S5 maS,



aS)FS

vS,BS

,ES

,

continúa

17

Ejemplo 8.3: Movimiento de electrones en un horno de microondas El magnetrón de un horno de microondas emite OEM con frecuencia f = 2450 MHz -‐ las OEM emitidas a esta frecuencia son absorbidas fuertemente por las moléculas de agua, por lo que son útiles para calentar y cocinar alimentos La intensidad de campo magnético que se requiere para que los electrones se muevan en trayectorias circulares con esta frecuencia es igual a: Como la rapidez angular es ω = 2π f = 2π ⋅2450 ×106s−1 ≈1.54 ×1010s−1

La magnitud del campo será B = mωq

=9.11×10−31kg( ) 1.54 ×1010s−1( )

1.60 ×10−19C≈ 0.0877T

Esta es una intensidad moderada de campo que un imán permanente genera con facilidad Ejemplo 8.4: Movimiento helicoidal Un protón moviendo se en un campo de 0.500T En t = 0, vx = 1.50 ×105 m s−1 , vy = 0 y vz = 2.00 ×105 m s−1 En forma vectorial tenemos que

v = vxi + vzk

Po lo tanto

F = qv ×

B = q vxi + vzk( )× Bi = qvz j ≈ 1.60 ×10−14N( ) j

La aceleración es:

a =Fm

=1.60 ×10−14N( )1.67 ×10−27 kg

j ≈ 9.58 ×1012 ms2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ j

La componente de la velocidad perpendicular al campo es vz, asi que el radio:

R =mvzq B

≈ 4.18 ×10−3m = 4.18 mm

La rapidez angular ω =q Bm

≈ 4.79 ×107 rads y el tiempo requerido para una

revolución (periodo) es T = 2πω

≈1.31×10−7s

Durante este tiempo el protón avanzo la distancia Δx = vxT ≈19.7mm





(27.10)





(27.12)




BS

v 5vR

5 v

0 q 0Bmv

50 q 0Bm

R 5 p/ 0 q 0B,

R 5mv0 q 0B

F 5 0 q 0 vB 5 m

v2

R

vSFS

vS,FS

5 qvS 3 BS

BS

vSBS

vS


R

P

S

OBS

FS

FS

vS

S S

S

vS

vS

FS




S.

y

zx

q

v'

vi

BS

vS



BS

.

18

Aplicaciones tecnológicas para el campo magnético 1) Selector de velocidad Un cátodo caliente (o cierto material radioactivo) produce un haz de partículas cargadas producidas que se mueven con rapidez diferentes

• Selector de velocidad = arreglo de campos eléctricos y magnéticos capaz de seleccionar partículas con una velocidad específica

Principio físico: Una partícula cargada +q con masa m y rapidez v ingresa a una región del espacio donde

E ⊥B y con respecto a

v

• E esta hacia la izquierda

• B en el plano de la figura

• FE esta a la izquierda con magnitud qE

• FB esta a la derecha con magnitud qvB

Para magnitudes de campo dadas, E y B, y para un valor particular de v, las fuerzas eléctricas y magnéticas serán iguales en magnitud Entonces, la fuerza total Fy∑ = 0⇒ y la partícula viaja en línea recta con velocidad constante

La condición para que no hay desviación es:

(8.18) v = EB

• Solo las partículas con rapidez igual a la razón de las magnitudes de los campos E B pasan sin ser desviadas

• Al ajustar E y B de manera adecuada, es posible seleccionar partículas que tengan una rapidez específica para usarlas en otros experimentos

27.5 Aplicaciones del movimiento de partículas cargadas 929

27.5 Aplicaciones del movimiento de partículas cargadas

En esta sección se describen varias aplicaciones de los principios presentados en elcapítulo. Estúdielas con cuidado, y observe las aplicaciones que se describen en laEstrategia para resolver problemas 27.2 (sección 27.4).

Selector de velocidadEn un haz de partículas cargadas producidas por un cátodo caliente o cierto materialradiactivo, no todas las partículas se mueven con la misma rapidez. Sin embargo,muchas aplicaciones requieren un haz en el cual la velocidad de todas las partículassea la misma. En un haz es posible seleccionar partículas que tengan una velocidadespecífica usando un arreglo de campos eléctricos y magnéticos llamado selector develocidad. En la figura 27.22a, una partícula cargada con masa m, carga q y rapidez v,ingresa a una región del espacio donde los campos eléctrico y magnético son per-pendiculares entre sí y con respecto a la velocidad de la partícula. El campo eléctri-co es hacia la izquierda, y el campo magnético está en el plano de la figura. Si qes positiva, la fuerza eléctrica es a la izquierda con magnitud qE, en tanto que lafuerza magnética es a la derecha con magnitud qvB. Para magnitudes de campo da-das, E y B, para un valor particular de v, las fuerzas eléctricas y magnéticas serániguales en magnitud; entonces, la fuerza total es igual a cero y la partícula viaja enlínea recta con velocidad constante. Para una fuerza total de cero, se ne-cesita que 2qE 1 qvB 5 0; al despejar la velocidad v, para la que no hay desvia-ción, se tiene que

(27.13)

Solo las partículas con rapidez igual a E>B pasan sin ser desviadas por los campos (fi-gura 27.22b). Al ajustar E y B de manera adecuada, es posible seleccionar partículasque tengan una rapidez específica para usarlas en otros experimentos. Como q se elimina en la ecuación (27.13), un selector de velocidad para partículas con carga po-sitiva también funciona para electrones u otras partículas cargadas negativamente.

Experimento de de ThomsonAl finalizar el siglo XIX se realizó uno de los experimentos cruciales de la física: J. J.Thomson (1856-1940) usó la idea que se acaba de describir para medir la razón quehay entre la carga y la masa del electrón. Para este experimento, efectuado en 1897 enel laboratorio Cavendish, en Cambridge, Inglaterra, Thomson utilizó el aparato que se ilustra en la figura 27.23. En un contenedor de vidrio al alto vacío se aceleraronelectrones provenientes del cátodo caliente, para formar un haz mediante una diferen-cia de potencial V entre los dos ánodos A y La rapidez v de los electrones estabadeterminada por el potencial de aceleración V. La energía cinética es igual a lapérdida de energía potencial eléctrica eV, donde e es la magnitud de la carga del electrón:

(27.14)12

mv2 5 eV o bien, v 5 Å 2eVm

12 mv2

A r.

e/m

v 5EB

gFy 5 0,

BS

ES

Evalúe su comprensión de la sección 27.4 a) Si se duplicara la rapidez de lapartícula cargada de la figura 27.17a mientras el campo magnético (así como la carga y la masa) se mantiene(n) igual(es), ¿cómo se afectaría el radio de la trayectoria? i) El radiopermanecería sin cambio; ii) el radio se duplicaría; iii) el radio se cuadruplicaría; iv) el radiodisminuiría a la mitad; v) el radio se reduciría a la cuarta parte. b) ¿Cómo afectaría esto el tiempo requerido para que se completara una órbita circular? i) El tiempo no cambiaría; ii) el tiempo se duplicaría; iii) el tiempo se cuadruplicaría; iv) el tiempo se reduciría a la mitad;v) el tiempo disminuiría a la cuarta parte.

!

27.22 a) Un selector de velocidades parapartículas cargadas utiliza campos y perpendiculares. Tan sólo partículas cargadas con v 5 E>B lo cruzan sin sufrirdesviación. b) Las fuerzas eléctrica y magnética sobre una carga positiva. Las fuerzas se invierten si la carga es negativa.

BS

ES

13.8 Selector de velocidad

O N L I N E

27.5 Aplicaciones del movimiento de partículas cargadas 929

27.5 Aplicaciones del movimiento de partículas cargadas

En esta sección se describen varias aplicaciones de los principios presentados en elcapítulo. Estúdielas con cuidado, y observe las aplicaciones que se describen en laEstrategia para resolver problemas 27.2 (sección 27.4).

Selector de velocidadEn un haz de partículas cargadas producidas por un cátodo caliente o cierto materialradiactivo, no todas las partículas se mueven con la misma rapidez. Sin embargo,muchas aplicaciones requieren un haz en el cual la velocidad de todas las partículassea la misma. En un haz es posible seleccionar partículas que tengan una velocidadespecífica usando un arreglo de campos eléctricos y magnéticos llamado selector develocidad. En la figura 27.22a, una partícula cargada con masa m, carga q y rapidez v,ingresa a una región del espacio donde los campos eléctrico y magnético son per-pendiculares entre sí y con respecto a la velocidad de la partícula. El campo eléctri-co es hacia la izquierda, y el campo magnético está en el plano de la figura. Si qes positiva, la fuerza eléctrica es a la izquierda con magnitud qE, en tanto que lafuerza magnética es a la derecha con magnitud qvB. Para magnitudes de campo da-das, E y B, para un valor particular de v, las fuerzas eléctricas y magnéticas serániguales en magnitud; entonces, la fuerza total es igual a cero y la partícula viaja enlínea recta con velocidad constante. Para una fuerza total de cero, se ne-cesita que 2qE 1 qvB 5 0; al despejar la velocidad v, para la que no hay desvia-ción, se tiene que

(27.13)

Solo las partículas con rapidez igual a E>B pasan sin ser desviadas por los campos (fi-gura 27.22b). Al ajustar E y B de manera adecuada, es posible seleccionar partículasque tengan una rapidez específica para usarlas en otros experimentos. Como q se elimina en la ecuación (27.13), un selector de velocidad para partículas con carga po-sitiva también funciona para electrones u otras partículas cargadas negativamente.

Experimento de de ThomsonAl finalizar el siglo XIX se realizó uno de los experimentos cruciales de la física: J. J.Thomson (1856-1940) usó la idea que se acaba de describir para medir la razón quehay entre la carga y la masa del electrón. Para este experimento, efectuado en 1897 enel laboratorio Cavendish, en Cambridge, Inglaterra, Thomson utilizó el aparato que se ilustra en la figura 27.23. En un contenedor de vidrio al alto vacío se aceleraronelectrones provenientes del cátodo caliente, para formar un haz mediante una diferen-cia de potencial V entre los dos ánodos A y La rapidez v de los electrones estabadeterminada por el potencial de aceleración V. La energía cinética es igual a lapérdida de energía potencial eléctrica eV, donde e es la magnitud de la carga del electrón:

(27.14)12

mv2 5 eV o bien, v 5 Å 2eVm

12 mv2

A r.

e/m

v 5EB

gFy 5 0,

BS

ES

Evalúe su comprensión de la sección 27.4 a) Si se duplicara la rapidez de lapartícula cargada de la figura 27.17a mientras el campo magnético (así como la carga y la masa) se mantiene(n) igual(es), ¿cómo se afectaría el radio de la trayectoria? i) El radiopermanecería sin cambio; ii) el radio se duplicaría; iii) el radio se cuadruplicaría; iv) el radiodisminuiría a la mitad; v) el radio se reduciría a la cuarta parte. b) ¿Cómo afectaría esto el tiempo requerido para que se completara una órbita circular? i) El tiempo no cambiaría; ii) el tiempo se duplicaría; iii) el tiempo se cuadruplicaría; iv) el tiempo se reduciría a la mitad;v) el tiempo disminuiría a la cuarta parte.

!

27.22 a) Un selector de velocidades parapartículas cargadas utiliza campos y perpendiculares. Tan sólo partículas cargadas con v 5 E>B lo cruzan sin sufrirdesviación. b) Las fuerzas eléctrica y magnética sobre una carga positiva. Las fuerzas se invierten si la carga es negativa.

BS

ES

13.8 Selector de velocidad

O N L I N E

19

2) Espectrómetros de masa Sirve para medir masas de iones y así determinar masas atómicas y moleculares – instrumento Inventado en 1919 por Francis Aston (1877-‐1945) Principio físico – (se describe una variante construida por Kenneth Tompkins Bainbridge, 1904-‐1996, en 1932)

• Los iones + forman una fuente que pasa a través de las ranuras S1 y S2 para formar un haz estrecho

• Después, los iones pasan a través de un selector de velocidad con campos

E y

B

cruzados, para bloquear todos los iones, excepto los que tiene velocidad v = E B

• Por último, los iones pasan hacia una región con un campo

′B

perpendicular a la figura, donde se mueven en arcos circulares

con radio R igual a R = m vq ′B

• Los iones con masas diferentes golpean al detector (que en el diseño de Bainbridge es una placa fotográfica) en diferentes puntos, y se miden los valores de R

• Se supone que cada ion perdió un electrón, por lo que la carga neta de cada ion es simplemente 1e

• Con todos los parámetros son conocidos en esta ecuación, excepto m, se determina la masa del ion

Uno de los primeros resultados de este trabajo fue el descubrimiento de que el neón tiene dos especies de átomos (isotopos), con masas atómicas de 20 y 22g/mol

• Experimentos posteriores han demostrado que muchos elementos tienen varios isótopos = átomos que son idénticos en cuanto a su comportamiento químico, pero diferentes en su masa debido a que tienen distinto número de neutrones en su núcleo


Los electrones pasan entre las placas P y y chocan contra la pantalla al final deltubo, que está recubierto de un material que emite fluorescencia (brilla) en el lugardel impacto. Cuando se satisface la ecuación (27.13), los electrones viajan en línearecta entre las placas; al combinar esto con la ecuación (27.14),

(27.15)

Todas las cantidades en el lado derecho se pueden medir, así que se determina la razóne>m de la carga a la masa. Con este método no es posible medir e ni m por separado,solo su proporción.

El aspecto más significativo de la mediciones de e>m de Thomson fue que descu-brió un valor único para tal cantidad, el cual no dependía del material del cátodo, delgas residual en el tubo ni de algo más en el experimento. Esta independencia demos-tró que las partículas en el haz, que ahora llamamos electrones, son un constituyentecomún de toda la materia. Así, a Thomson se le da el crédito por descubrir la primerapartícula subatómica: el electrón. También descubrió que la rapidez de los electronesen el haz era cerca de un décimo de la rapidez de la luz, mucho mayor que cualquierotra rapidez que se hubiera medido antes para una partícula material.

El valor más preciso de e>m disponible hasta el momento de escribir este libro es

En esta expresión, el (15) indica la incertidumbre probable en los dos últimos dígitos, 12.Quince años después de los experimentos de Thomson, el físico estadounidense

Robert Millikan tuvo éxito en medir con precisión la carga del electrón (véase el pro-blema de desafío 23.91). Este valor, junto con el valor de e>m nos permite determinarla masa del electrón. El valor más preciso disponible en la actualidad es

Espectrómetros de masaTécnicas similares a las utilizadas por Thomson en su experimento para determinare>m sirven para medir las masas de iones y así conocer masas atómicas y molecu-lares. En 1919 Francis Aston (1877-1945), un discípulo de Thomson, construyó la pri-mera de una familia de instrumentos llamada espectrómetros de masas. En la figura27.24 se ilustra una variante construida por Bainbridge. Los iones positivos formanuna fuente que pasa a través de las ranuras S1 y S2 para formar un haz estrecho. Des-pués, los iones pasan a través de un selector de velocidad con campos y cruza-dos, como ya se describió, para bloquear todos los iones, excepto aquellos conrapidez v igual a E>B. Por último, los iones pasan hacia una región con un campomagnético perpendicular a la figura, donde se mueven en arcos circulares con ra-dio R determinado por la ecuación (27.11): Los iones con masas dife-R 5 mv/qB r.

BSr

BS

ES

m 5 9.1093826 116 2 3 10231 kg

e/m 5 1.75882012 1 15 2 3 1011 C/kg

EB

5 Å 2eVm

o bien, em

5E2

2VB2

P r

Entre las placas P y P! hay campos E y B uniformesy perpendiculares entre sí.

S S

Los electrones viajan del cátodo a la pantalla.

ÁnodosCátodo

Pantalla

+

A A! P

P!

+

Haz de electrones

V

BS

ES

–

27.23 Aparato de Thomson para medir larazón e>m del electrón.

++

++

++

+

El selector develocidadselecciona laspartículas conrapidez v.

El campo magnético separa las partículaspor masa; cuanto más grande sea la masade una partícula, mayor será el radio de sutrayectoria.

S1S2

S3

m2 R2

Detectorde partículas

R1m1

B!S

E, BS S

27.24 El espectrómetro de masas de Bainbridge utiliza un selector de velocidadpara generar partículas con rapidez uniforme v. En la región del campo magnético las partículas con mayormasa (m2 . m1) viajan en trayectorias con radio más grande (R2 . R1).

B r,

20

Fuerza magnética sobre un conductor que transporta corriente Segmento rectilíneo de alambre conductor, con longitud l y área de sección transversal A

• Corriente I de abajo hacia arriba

• Alambre en campo magnético uniforme

B perpendicular al

plano y dirigido hacia el plano

• Cargas móviles positivas con velocidad de deriva

vd hacia arriba

• Fuerza media sobre cada carga

F = qv ×

B , dirigida a la

izquierda

• Como vd y

B son perpendiculares, la magnitud de la fuerza es F = qvdB

• Cargas por unidad de volumen = n • Para un segmento con longitud l , el volumen es Al y el número de cargas

igual a nAl La fuerza total F sobre todas las cargas en movimiento en este segmento tiene una magnitud:

(8.19) F = Fii=1

nAl

∑ = nAl( ) qvdB( ) = nqvd( ) A( )lB Densidad de corriente J = nqvd ⇒ producto total JA = corriente total I por lo que: (8.20) F = IlB Cuando el campo

B forma un ángulo φ

con el alambre, solo la componente perpendicular al alambre ejerce una fuerza: (8.21) F = IlB⊥ = IlB senφ La fuerza siempre es perpendicular tanto al conductor como al campo, con la dirección determinada por la regla de la mano derecha


q

l

AVelocidad dederiva delos trans-portadoresde carga

BS

vdS

FS

JS

JS

27.25 Fuerzas sobre una carga móvil positiva en un conductor que transporta corriente.

Evalúe su comprensión de la sección 27.5 En el ejemplo 27.6, los iones He1

con carga 1e se mueven en línea recta a 1.00 3 105 m>s a través de un selector de velocidad. Suponga que los iones He1 se remplazan con iones He21, en los que ambos electrones se han eliminado del átomo de helio y la carga del ion es 12e. ¿A qué rapidez deben viajar los iones He21 a través del mismo selector de velocidad para que se muevan en línea recta? i) aproximadamente de 4.00 3 105 m>s; ii) 2.00 3 105 m>s aproximados; iii) 1.00 3 105 m>s; iv) aproximadamente de 0.50 3 105 m>s; v) 0.25 3 105 m>s aproximados.

!

Fuerza F sobre un alambre recto que lleva co-rriente positiva y está orientado a un ángulo fcon respecto a un campo magnético B:

• La magnitud es F 5 IlB! 5 IlB sen f. • La dirección de F está dada por la regla de la mano derecha.

I

Bif

B' 5 B sen f

BS

S

l

FS

S

S

S

27.26 Segmento recto de alambre con longitud que lleva una corriente I en la dirección de La fuerza magnética eneste segmento es perpendicular tanto a como al campo magnético B

S.l

S

lS

.l

S

27.6 Fuerza magnética sobre un conductorque transporta corriente

¿Qué es lo que hace funcionar un motor eléctrico? Las fuerzas que hacen que gire sonlas que ejerce un campo magnético sobre un conductor que lleva corriente. Las fuerzasmagnéticas sobre las cargas en movimiento en el interior del conductor se transmitenal material del conductor, el cual en conjunto experimenta una fuerza distribuida en to-da su longitud. El galvanómetro de bobina móvil que se describió en la sección 26.3también emplea fuerzas magnéticas sobre conductores.

Se puede calcular la fuerza sobre un conductor que transporta corriente empezan-do con la fuerza magnética sobre una sola carga en movimiento. La fi-gura 27.25 muestra un segmento rectilíneo de un alambre conductor, con longitud l yárea de sección transversal A; la corriente va de abajo hacia arriba. El alambre está enun campo magnético uniforme perpendicular al plano del diagrama y dirigido ha-cia el plano. En primer lugar, supondremos que las cargas móviles son positivas. Des-pués, veremos lo que sucede cuando son negativas.

La velocidad de deriva es hacia arriba, perpendicular a La fuerza media encada carga es dirigida a la izquierda, como se indica en la figura; como

y son perpendiculares, la magnitud de la fuerza es Es posible deducir una expresión para la fuerza total en todas las cargas móviles

en una longitud l del conductor con área de sección transversal A, con el mismo len-guaje empleado en las ecuaciones (25.2) y (25.3) de la sección 25.1. El número decargas por unidad de volumen es n; un segmento de conductor con longitud l tiene unvolumen Al y contiene un número de cargas igual a nAl. La fuerza total sobre todaslas cargas en movimiento en este segmento tiene una magnitud

(27.16)

De la ecuación (25.3), la densidad de corriente es J 5 nqvd. El producto JA es la co-rriente total I, por lo que rescribimos la ecuación (27.16) como:

(27.17)

Si el campo no es perpendicular al alambre sino que forma un ángulo f con él,la situación se maneja como se hizo en la sección 27.2 para una sola carga. Sólo lacomponente de perpendicular al alambre (y a las velocidades de deriva de las car-gas) ejerce una fuerza; tal componente es Entonces, la fuerza magnéti-ca sobre el segmento de alambre es

(27.18)

La fuerza siempre es perpendicular tanto al conductor como al campo, con la di-rección determinada por la misma regla de la mano derecha que se usó para una cargamóvil positiva (figura 27.26). Por lo tanto, esta fuerza se expresa como producto vec-torial, al igual que la fuerza sobre una sola carga en movimiento. El segmento de

F 5 IlB' 5 IlB sen f

B' 5 B sen f.BS

BS

F 5 IlB

F 5 1nAl 2 1qvdB 2 5 1nqvd A 2 1 lB 2 FS

F 5 qvdB.BS

vSd

FS

5 qvSd 3 BS

,BS

.vSd

BS

,

FS

5 qvS 3 BS

13.5 Fuerza magnética sobre un alambre

O N L I N E


q

l

AVelocidad dederiva delos trans-portadoresde carga

BS

vdS

FS

JS

JS

27.25 Fuerzas sobre una carga móvil positiva en un conductor que transporta corriente.

Evalúe su comprensión de la sección 27.5 En el ejemplo 27.6, los iones He1

con carga 1e se mueven en línea recta a 1.00 3 105 m>s a través de un selector de velocidad. Suponga que los iones He1 se remplazan con iones He21, en los que ambos electrones se han eliminado del átomo de helio y la carga del ion es 12e. ¿A qué rapidez deben viajar los iones He21 a través del mismo selector de velocidad para que se muevan en línea recta? i) aproximadamente de 4.00 3 105 m>s; ii) 2.00 3 105 m>s aproximados; iii) 1.00 3 105 m>s; iv) aproximadamente de 0.50 3 105 m>s; v) 0.25 3 105 m>s aproximados.

!

Fuerza F sobre un alambre recto que lleva co-rriente positiva y está orientado a un ángulo fcon respecto a un campo magnético B:

• La magnitud es F 5 IlB! 5 IlB sen f. • La dirección de F está dada por la regla de la mano derecha.

I

Bif

B' 5 B sen f

BS

S

l

FS

S

S

S

27.26 Segmento recto de alambre con longitud que lleva una corriente I en la dirección de La fuerza magnética eneste segmento es perpendicular tanto a como al campo magnético B

S.l

S

lS

.l

S

27.6 Fuerza magnética sobre un conductorque transporta corriente

¿Qué es lo que hace funcionar un motor eléctrico? Las fuerzas que hacen que gire sonlas que ejerce un campo magnético sobre un conductor que lleva corriente. Las fuerzasmagnéticas sobre las cargas en movimiento en el interior del conductor se transmitenal material del conductor, el cual en conjunto experimenta una fuerza distribuida en to-da su longitud. El galvanómetro de bobina móvil que se describió en la sección 26.3también emplea fuerzas magnéticas sobre conductores.

Se puede calcular la fuerza sobre un conductor que transporta corriente empezan-do con la fuerza magnética sobre una sola carga en movimiento. La fi-gura 27.25 muestra un segmento rectilíneo de un alambre conductor, con longitud l yárea de sección transversal A; la corriente va de abajo hacia arriba. El alambre está enun campo magnético uniforme perpendicular al plano del diagrama y dirigido ha-cia el plano. En primer lugar, supondremos que las cargas móviles son positivas. Des-pués, veremos lo que sucede cuando son negativas.

La velocidad de deriva es hacia arriba, perpendicular a La fuerza media encada carga es dirigida a la izquierda, como se indica en la figura; como

y son perpendiculares, la magnitud de la fuerza es Es posible deducir una expresión para la fuerza total en todas las cargas móviles

en una longitud l del conductor con área de sección transversal A, con el mismo len-guaje empleado en las ecuaciones (25.2) y (25.3) de la sección 25.1. El número decargas por unidad de volumen es n; un segmento de conductor con longitud l tiene unvolumen Al y contiene un número de cargas igual a nAl. La fuerza total sobre todaslas cargas en movimiento en este segmento tiene una magnitud

(27.16)

De la ecuación (25.3), la densidad de corriente es J 5 nqvd. El producto JA es la co-rriente total I, por lo que rescribimos la ecuación (27.16) como:

(27.17)

Si el campo no es perpendicular al alambre sino que forma un ángulo f con él,la situación se maneja como se hizo en la sección 27.2 para una sola carga. Sólo lacomponente de perpendicular al alambre (y a las velocidades de deriva de las car-gas) ejerce una fuerza; tal componente es Entonces, la fuerza magnéti-ca sobre el segmento de alambre es

(27.18)

La fuerza siempre es perpendicular tanto al conductor como al campo, con la di-rección determinada por la misma regla de la mano derecha que se usó para una cargamóvil positiva (figura 27.26). Por lo tanto, esta fuerza se expresa como producto vec-torial, al igual que la fuerza sobre una sola carga en movimiento. El segmento de

F 5 IlB' 5 IlB sen f

B' 5 B sen f.BS

BS

F 5 IlB

F 5 1nAl 2 1qvdB 2 5 1nqvd A 2 1 lB 2 FS

F 5 qvdB.BS

vSd

FS

5 qvSd 3 BS

,BS

.vSd

BS

,

FS

5 qvS 3 BS

13.5 Fuerza magnética sobre un alambre

O N L I N E

21

La fuerza = producto vectorial, al igual que la fuerza sobre una sola carga en movimiento Para un segmento del alambre

l la fuerza sobre este segmento es:

(8.22)

F = I

l ×B

Para conductor no recto, dividir en segmentos infinitesimales d

l de manera que:

(8.23) dF = Id

l ×B

Integrar a lo largo del alambre = fuerza total sobre conductor de cualquier forma -‐ la integral es una integral de línea Para cargas móviles negativas, como electrones en metal, la corriente ascendente corresponde a una velocidad de deriva descendente; pero como q ahora es negativa, la dirección de la fuerza es la misma que antes: las ecuaciones (8.22) y (8.23) son válidas tanto para cargas positivas como para negativas, e incluso cuando los dos signos de carga están presentes a la vez, como ocurre en ciertos materiales semiconductores y en soluciones iónicas

27.6 Fuerza magnética sobre un conductor que transporta corriente 933

alambre se representa con un vector a lo largo del alambre y en dirección de la co-rriente; entonces, la fuerza sobre este segmento es

(fuerza magnética sobre un segmento recto de alambre) (27.19)

La figura 27.27 ilustra las direcciones de y para varios casos.Si el conductor no fuera recto, se dividiría en segmentos infinitesimales

La fuerza en cada segmento es

(fuerza magnética sobre una sección infinitesimal de alambre) (27.20)

Esta expresión se integra a lo largo del alambre para obtener la fuerza total sobre unconductor de cualquier forma. La integral es una integral de línea, la misma opera-ción matemática que se empleó para definir el trabajo (sección 6.3) y potencial eléc-trico (sección 23.2).

CUIDADO La corriente no es un vector De la sección 25.1 recuerde que la corriente Ino es un vector. La dirección del flujo de la corriente está descrito por no por I. Si el con-ductor es curvo, la corriente I es la misma en todos los puntos de su longitud, y cambia de dirección de manera que siempre es tangente al conductor. !

Por último, ¿qué sucede cuando las cargas móviles son negativas, como los elec-trones en un metal? Entonces, en la figura 27.25 una corriente ascendente correspon-de a una velocidad de deriva descendente. Pero como q ahora es negativa, ladirección de la fuerza es la misma que antes. Así, las ecuaciones (27.17) a (27.20)son válidas tanto para cargas positivas como para negativas, e incluso cuando los dossignos de carga están presentes a la vez. Esto es lo que ocurre en ciertos materiales se-miconductores y en soluciones iónicas.

Una aplicación común de las fuerzas magnéticas sobre un alambre que conduzcacorriente es en los altavoces (bocinas) (figura 27.28). El campo magnético radialcreado por el imán permanente ejerce una fuerza sobre la bobina del sonido, que esproporcional a la corriente en la bobina; la dirección de la fuerza es a la izquierda ola derecha, dependiendo de la dirección de la corriente. La señal del amplificadorocasiona que la corriente oscile en dirección y magnitud. La bobina y el cono del al-tavoz al que está sujeta responden con una oscilación, cuya amplitud es proporcionala la amplitud de la corriente en la bobina. Al girar la perilla del volumen el amplifi-cador aumenta la amplitud de la corriente y, con ello, las amplitudes de la oscilacióndel cono y de la onda sonora producida por el cono móvil.

FS

d lS

d lS

,

dFS

5 I d lS

3 BS

dFS

d lS

.FS

lS

BS

,

FS

5 I lS

3 BS

FS

lS

Campo Bdel imánpermanente

S

b)

IDirecciónde movi-miento de labobina delsonido ycono delaltavoz

Corrienteen la bobinadel sonido

a)

ImanesCanasta

Señal delampli-ficador

Anilloflexiblede suspensión

Bobina delsonido

Conorígidodelaltavoz

27.28 a) Componentes de un altavoz. b) El imán permanente crea un campo magnético que ejerce fuerzas sobre la corriente en la bobina del sonido; para una corriente I en la dirección que se indica, la fuerza es hacia la derecha. Si la corriente eléctrica en la bobinadel sonido oscila, el cono de altavoz unido a la bobina del sonido oscila con la misma frecuencia.

y

x

zI

a)

BS

S

S

Sl

FS

f

y

x

zI

b)

l

BS

S

FS

f

y

!x

z

I

c)

l

BS

FS

Al invertirse B seinvierte la direcciónde la fuerza.

Si se invierte la corriente [en relación con elinciso b)], se inviertela dirección de la fuerza.

27.27 Vectores de campo magnético longitud y fuerza para un alambre recto que transporta una corriente I.

FS

lS

,BS

,











FS

d lS

d lS

,

dFS

5 I d lS

3 BS

dFS

d lS

.FS

lS

BS

,

FS

5 I lS

3 BS

FS

lS


S

b)



a)

ImanesCanasta



Bobina delsonido



y

x

zI

a)

BS

S

S

Sl

FS

f

y

x

zI

b)

l

BS

S

FS

f

y

!x

z

I

c)

l

BS

FS




FS

lS

,BS

,











FS

d lS

d lS

,

dFS

5 I d lS

3 BS

dFS

d lS

.FS

lS

BS

,

FS

5 I lS

3 BS

FS

lS


S

b)



a)

ImanesCanasta



Bobina delsonido



y

x

zI

a)

BS

S

S

Sl

FS

f

y

x

zI

b)

l

BS

S

FS

f

y

!x

z

I

c)

l

BS

FS




FS

lS

,BS

,

22

Aplicación común = altavoces (bocinas) • Campo magnético radial creado por imán permanente

• Se ejerce fuerza sobre la bobina del sonido ∝ a la corriente en la bobina

• Dirección de la fuerza a la izquierda o la derecha, dependiendo de la

dirección de la corriente

• La señal del amplificador ⇒ la corriente oscile en dirección y magnitud

• La bobina y el cono del altavoz al que está sujeta responden con una oscilación, cuya amplitud ∝ a la amplitud de la corriente en la bobina

• Al girar la perilla del volumen el amplificador aumenta la amplitud de la corriente y, con ello, las amplitudes de la oscilación del cono y de la onda sonora producida por el cono móvil











FS

d lS

d lS

,

dFS

5 I d lS

3 BS

dFS

d lS

.FS

lS

BS

,

FS

5 I lS

3 BS

FS

lS


S

b)



a)

ImanesCanasta



Bobina delsonido



y

x

zI

a)

BS

S

S

Sl

FS

f

y

x

zI

b)

l

BS

S

FS

f

y

!x

z

I

c)

l

BS

FS




FS

lS

,BS

,

23

Ejemplo 8.5: Fuerza magnética sobre un conductor recto

Varilla de cobre, recta y horizontal, transportando corriente de 50.0 A de oeste a este, entre los polos de un electroimán grande -‐ campo magnético horizontal dirigido a 45° al norte del este, con magnitud de 1.20 T Amplitud de la fuerza: F = IlB senφ ≈ 42.4N Aplicando la regla de la mano derecha ⇒ fuerza es por arriba (sale de la figura) Usando sistema de coordenadas con x = este, y = norte y z = arriba:

⇒l = 1.00m( ) i ,

B = 1.20T( ) cos 45( ) i + sen45( ) j⎡⎣ ⎤⎦

La fuerza:

F = I

l ×B = 50A( ) 1.00m( ) i × 1.20T( ) cos45( ) i + sen45( ) j⎡⎣ ⎤⎦ = 42.4N( ) k

Si el conductor se encuentra en equilibrio mecánico bajo la acción de su peso y de la fuerza magnética hacia arriba, su peso es de 42.4 N y su masa es:

m = wg= 42.4N9.8m s2

= 4.33kg

Cuando φ = 90 , la fuerza es máxima F = IlB = 60.0N y la masa de la varilla que puede sostenerse el campo contra la gravedad es m = 6.12kg Éste es un ejemplo sencillo de la levitación magnética, que también se utiliza en trenes especiales de alta rapidez Se emplea tecnología electromagnética convencional para mantener suspendido el tren sobre las vías; la eliminación de la fricción por rodamiento permite que el tren alcance rapideces superiores a 400 km/h (ej. TGV en Europa)


27.29 El diagrama de la varilla de cobre, vista desde arriba.

Ejemplo 27.8 Fuerza magnética en un conductor curvo

En la figura 27.30, el campo magnético es uniforme y perpendicularal plano de la figura, apuntando hacia fuera. El conductor tiene un seg-mento rectilíneo con longitud L perpendicular al plano de la figura a laderecha, con la corriente en sentido opuesto a seguido de un semi-círculo con radio R y, por último, otro segmento rectilíneo con longitud Lparalelo al eje x (como se indica). El conductor transporta una corrien-

BS

;

BS te I. Obtenga la fuerza magnética total sobre estos tres segmentos de

alambre.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: Dos de los tres segmentos del alambre son rectilíneosy el campo magnético es uniforme, por lo que la fuerza sobre éstos seencuentra usando las ideas de esta sección. Podemos analizar el seg-mento curvilíneo dividiéndolo, primero, en un gran número de segmen-tos rectilíneos infinitesimales. Calculamos la fuerza sobre uno de dichossegmentos y luego integramos para obtener la fuerza sobre todo el seg-mento curvo.

PLANTEAR: Calculamos la fuerza sobre los segmentos rectilíneos me-diante la ecuación (27.19), y la fuerza sobre un elemento infinitesimaldel segmento curvo con la ecuación (27.20). La fuerza magnética totalsobre los tres segmentos es la suma vectorial de las fuerzas sobre cadasegmento individual.

EJECUTAR: Hagamos primero lo fácil (los segmentos rectilíneos). So-bre el segmento de la derecha perpendicular al plano de la figura nohay fuerza porque es antiparalelo a o bien, f 5 180° y sen f 5 0. Para el segmento recto de la izquierda, apunta hacia la iz-quierda (en dirección de la corriente), perpendicular a La fuerza B

S.

LS

LS

3 BS

5 0,BS

;I

L O I (entra)

R I

I

dFx

y

x

du

dl

dFy

B (sale)S

FS

LS

dlS

dFS

u

u

27.30 ¿Cuál es la fuerza magnética total sobre el conductor?

Ejemplo 27.7 Fuerza magnética sobre un conductor recto

Una varilla de cobre, recta y horizontal, transporta una corriente de50.0 A de oeste a este, en una región entre los polos de un electroimángrande. En esta región hay un campo magnético horizontal dirigido ha-cia el noreste (es decir, a 45° al norte del este), con magnitud de 1.20 T.a) Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza sobre una sección de1.00 m de longitud de la varilla. b) Si la varilla permanece horizontal,¿cómo debería orientarse para maximizar la magnitud de la fuerza? Eneste caso, ¿cuál es la magnitud de la fuerza?

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: Éste es un segmento rectilíneo de alambre en un cam-po magnético uniforme, cuya situación es la misma que la de la figura27.26. Nuestras incógnitas son la fuerza sobre el segmento de varillay el ángulo f para el que es máxima la magnitud de la fuerza.

PLANTEAR: La figura 27.29 muestra la situación. Con la ecuación(27.18) encontramos la magnitud de la fuerza magnética, y la direc-ción de ésta con la regla de la mano derecha. De manera alternativa, elvector de fuerza (magnitud y dirección) se puede determinar con laecuación (27.19).

EJECUTAR: a) El ángulo f entre las direcciones de la corriente y elcampo es de 45°. De la ecuación (27.18) se obtiene

F 5 IlB sen f 5 1 50.0 A 2 1 1.00 m 2 1 1.20 T 2 1 sen 45° 2 5 42.4 N

FS

La dirección de la fuerza es perpendicular al plano de la corriente y elcampo, los cuales están en el plano horizontal. Así, la fuerza debe servertical; la regla de la mano derecha indica que está dirigida vertical-mente hacia arriba (sale del plano de la figura).

Alternativamente, podemos usar un sistema de coordenadas con eleje x dirigido hacia el este, el y hacia el norte, y el z hacia arriba. En-tonces,

Si el conductor se encuentra en equilibrio mecánico bajo la acciónde su peso y de la fuerza magnética hacia arriba, su peso es de 42.4 N ysu masa es

b) La magnitud de la fuerza es máxima si f 5 90°, de modo que y sean perpendiculares. Para que la fuerza siga dirigida hacia arriba,la varilla se gira en el sentido horario, a 45° de la orientación que tieneen la figura 27.29, así que la corriente viaja en dirección sureste. En-tonces, la fuerza magnética tiene una magnitud de área perpendicular.

y la masa de una varilla que puede sostenerse contra la gravedad es

EVALUAR: Éste es un ejemplo sencillo de la levitación magnética, quetambién se utiliza en trenes especiales de alta rapidez. Se emplea tec-nología electromagnética convencional para mantener suspendido eltren sobre las vías; la eliminación de la fricción por rodamiento permi-te que el tren alcance rapideces superiores a 400 km>h (250 mi>h).

m 5 w/g 5 160.0 N 2 / 1 9.8 m/s2 2 5 6.12 kg.

F 5 IlB 5 150.0 A 2 11.00 m 2 1 1.20 T 2 5 60.0 N

BS

lS

m 5wg

542.4 N

9.8 m/s25 4.33 kg

5 1 42.4 N 2 k 5 1 50 A 2 11.00 m 2 d 3 11.20 T 2 3 1 cos 45° 2 d 1 1 sen 45 ° 2e 4 FS

5 I lS

3 BS

lS

5 11.00 m 2 d BS

5 1 1.20 T 2 3 1 cos 45° 2 d 1 1 sen 45° 2e 4

24

Ejemplo 8.6: Fuerza magnética en un conductor curvo

• Campo magnético

B uniforme, perpendicular al plano de la figura, y

apuntando hacia fuera • El conductor transporta una corriente I en el sentido indicado

• Un segmento rectilíneo con longitud L perpendicular al plano de la figura a

la derecha, con la corriente en sentido opuesto a B

• Un segmento semicírculo con radio R • Un segmento rectilíneo con longitud L paralelo al eje x

Sobre los segmentos rectilíneos:

• Para el segmento paralelo al campo magnético F = 0 • Para el segmento perpendicular al campo F = ILB

Sobre el semicírculo se usa una integral de línea:

• El segmento dl tiene magnitud dl = Rdθ con ángulo θ

• La dirección dl ×B es radialmente hacia fuera del centro

• Como dl y B son perpendiculares, la magnitud de la fuerza

dF = IdlB = IRdθB con componentes dFx = IRdθBcosθ y dFy = IRdθB senθ Las dos integrales de líneas son:

Fx = IRB cosθ dθ

0

π

∫ = 0

Fy = IRB senθ dθ0

π

∫ = 2IRB

La suma de las fuerzas nos da: Fx = 0, Fy = IB L + 2R( ) o bien,

F = IB L + 2R( ) j

Por simetría, es fácil de ver que la componente en x debe ser cero; La fuerza neta sobre los tres segmentos es la misma que se ejercería si se remplazara el semicírculo con un segmento recto sobre el eje x (de longitud 2R)


27.29 El diagrama de la varilla de cobre, vista desde arriba.

Ejemplo 27.8 Fuerza magnética en un conductor curvo

En la figura 27.30, el campo magnético es uniforme y perpendicularal plano de la figura, apuntando hacia fuera. El conductor tiene un seg-mento rectilíneo con longitud L perpendicular al plano de la figura a laderecha, con la corriente en sentido opuesto a seguido de un semi-círculo con radio R y, por último, otro segmento rectilíneo con longitud Lparalelo al eje x (como se indica). El conductor transporta una corrien-

BS

;

BS te I. Obtenga la fuerza magnética total sobre estos tres segmentos de

alambre.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: Dos de los tres segmentos del alambre son rectilíneosy el campo magnético es uniforme, por lo que la fuerza sobre éstos seencuentra usando las ideas de esta sección. Podemos analizar el seg-mento curvilíneo dividiéndolo, primero, en un gran número de segmen-tos rectilíneos infinitesimales. Calculamos la fuerza sobre uno de dichossegmentos y luego integramos para obtener la fuerza sobre todo el seg-mento curvo.

PLANTEAR: Calculamos la fuerza sobre los segmentos rectilíneos me-diante la ecuación (27.19), y la fuerza sobre un elemento infinitesimaldel segmento curvo con la ecuación (27.20). La fuerza magnética totalsobre los tres segmentos es la suma vectorial de las fuerzas sobre cadasegmento individual.

EJECUTAR: Hagamos primero lo fácil (los segmentos rectilíneos). So-bre el segmento de la derecha perpendicular al plano de la figura nohay fuerza porque es antiparalelo a o bien, f 5 180° y sen f 5 0. Para el segmento recto de la izquierda, apunta hacia la iz-quierda (en dirección de la corriente), perpendicular a La fuerza B

S.

LS

LS

3 BS

5 0,BS

;I

L O I (entra)

R I

I

dFx

y

x

du

dl

dFy

B (sale)S

FS

LS

dlS

dFS

u

u

27.30 ¿Cuál es la fuerza magnética total sobre el conductor?

Ejemplo 27.7 Fuerza magnética sobre un conductor recto

Una varilla de cobre, recta y horizontal, transporta una corriente de50.0 A de oeste a este, en una región entre los polos de un electroimángrande. En esta región hay un campo magnético horizontal dirigido ha-cia el noreste (es decir, a 45° al norte del este), con magnitud de 1.20 T.a) Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza sobre una sección de1.00 m de longitud de la varilla. b) Si la varilla permanece horizontal,¿cómo debería orientarse para maximizar la magnitud de la fuerza? Eneste caso, ¿cuál es la magnitud de la fuerza?

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: Éste es un segmento rectilíneo de alambre en un cam-po magnético uniforme, cuya situación es la misma que la de la figura27.26. Nuestras incógnitas son la fuerza sobre el segmento de varillay el ángulo f para el que es máxima la magnitud de la fuerza.

PLANTEAR: La figura 27.29 muestra la situación. Con la ecuación(27.18) encontramos la magnitud de la fuerza magnética, y la direc-ción de ésta con la regla de la mano derecha. De manera alternativa, elvector de fuerza (magnitud y dirección) se puede determinar con laecuación (27.19).

EJECUTAR: a) El ángulo f entre las direcciones de la corriente y elcampo es de 45°. De la ecuación (27.18) se obtiene

F 5 IlB sen f 5 1 50.0 A 2 1 1.00 m 2 1 1.20 T 2 1 sen 45° 2 5 42.4 N

FS

La dirección de la fuerza es perpendicular al plano de la corriente y elcampo, los cuales están en el plano horizontal. Así, la fuerza debe servertical; la regla de la mano derecha indica que está dirigida vertical-mente hacia arriba (sale del plano de la figura).

Alternativamente, podemos usar un sistema de coordenadas con eleje x dirigido hacia el este, el y hacia el norte, y el z hacia arriba. En-tonces,

Si el conductor se encuentra en equilibrio mecánico bajo la acciónde su peso y de la fuerza magnética hacia arriba, su peso es de 42.4 N ysu masa es

b) La magnitud de la fuerza es máxima si f 5 90°, de modo que y sean perpendiculares. Para que la fuerza siga dirigida hacia arriba,la varilla se gira en el sentido horario, a 45° de la orientación que tieneen la figura 27.29, así que la corriente viaja en dirección sureste. En-tonces, la fuerza magnética tiene una magnitud de área perpendicular.

y la masa de una varilla que puede sostenerse contra la gravedad es

EVALUAR: Éste es un ejemplo sencillo de la levitación magnética, quetambién se utiliza en trenes especiales de alta rapidez. Se emplea tec-nología electromagnética convencional para mantener suspendido eltren sobre las vías; la eliminación de la fricción por rodamiento permi-te que el tren alcance rapideces superiores a 400 km>h (250 mi>h).

m 5 w/g 5 160.0 N 2 / 1 9.8 m/s2 2 5 6.12 kg.

F 5 IlB 5 150.0 A 2 11.00 m 2 1 1.20 T 2 5 60.0 N

BS

lS

m 5wg

542.4 N

9.8 m/s25 4.33 kg

5 1 42.4 N 2 k 5 1 50 A 2 11.00 m 2 d 3 11.20 T 2 3 1 cos 45° 2 d 1 1 sen 45 ° 2e 4 FS

5 I lS

3 BS

lS

5 11.00 m 2 d BS

5 1 1.20 T 2 3 1 cos 45° 2 d 1 1 sen 45° 2e 4

25

Espira de corriente Espira rectangular de alambre con lados de longitudes a y b

• Una línea perpendicular al plano de la espira (esto es, una normal al plano) forma un ángulo φ con la dirección del campo magnético

B , y la espira

transporta una corriente I

La fuerza

F sobre el lado derecho de la espira (longitud a) va hacia la derecha

(dirección +x) ; sobre este lado B es perpendicular a la dirección de la corriente y la

fuerza sobre este lado tiene la magnitud: (8.24) F = IaB Sobre el lado opuesto de la espira actúa una fuerza −

F con la misma magnitud

pero con dirección opuesta Los lados de longitudes b forman un ángulo

90 −φ( ) con la dirección de B y las

fuerzas sobre estos dos lados son ′F y −

′F en la dirección y con magnitud:

(8.25) ′F = IbB sen 90 −φ( ) = IbBcosφ

• La fuerza total en la espira es igual a cero porque las fuerzas en lados

opuestos se cancelan por pares

• Sin embargo, el pare de torsión neto en general no es igual a cero


La fuerza total en la espira es igual a cero porque las fuerzas en lados opuestos secancelan por pares.

La fuerza neta sobre una espira de corriente en un campo magnético uniforme esigual a cero. Sin embargo, el par de torsión neto en general no es igual a cero.

(Tal vez encuentre que en este momento sería útil repasar el análisis de un par de tor-sión, en la sección 10.1.) En la figura 27.31a, las dos fuerzas y están en lamisma línea, por lo que originan un par de torsión neto de cero con respecto a cual-quier punto. Las dos fuerzas y quedan a lo largo de distintas líneas de acción, ycada una origina un par de torsión con respecto al eje y. Según la regla de la mano de-recha para determinar la dirección de los pares de torsión, los pares de torsión vecto-riales debidos a y a están, ambos, en la dirección 1y; de ahí que el par detorsión vectorial neto también esté en la dirección 1y. El brazo de momento paracada una de estas fuerzas (igual a la distancia perpendicular desde el eje de rotaciónhasta la línea de acción de la fuerza) es (b>2) sen f, así que el par de torsión debido acada fuerza tiene magnitud F(b>2) sen f. Si se utiliza la ecuación (27.21) para F, lamagnitud del par de torsión neto es

(27.22)

El par de torsión es máximo cuando f 5 90°, está en el plano de la espira y la nor-mal a este plano es perpendicular a (figura 27.31b). El par de torsión es igual a cerocuando f es 0° o 180°; en tanto que la normal a la espira es paralela o antiparalela alcampo (figura 27.31c). El valor f 5 0° es una posición de equilibrio estable porqueahí el par de torsión es cero, y cuando la espira se gira un poco de dicha posición, elpar de torsión resultante tiende a girarlo de regreso hacia f 5 0°. La posición f 5180° es una posición de equilibrio inestable: si se aparta un poco de ella, la espiratiende a alejarse aún más allá de f 5 180°. La figura 27.31 ilustra la rotación alrede-dor del eje y, pero como la fuerza neta sobre la espira es cero, la ecuación (27.22) pa-ra el par de torsión es válida para cualquier selección de ejes.

El área A de la espira es igual a ab, por lo que la ecuación (27.22) se puede rescri-bir como

(magnitud del par de torsión en una espira de corriente) (27.23)t 5 IBA sen f

BS

BS

t 5 2F 1b/2 2 sen f 5 1 IBa 2 1 b sen f 2tS

2FS

FS

2FS

FS

2FSrF

Sr

Los dos pares de fuerzas que actúan sobre la espira se cancelan, por lo queno hay fuerza neta que actúe sobre ella.Sin embargo, las fuerzas en los lados a de la espira (F y 2F ) producenun par de torsión t 5 (IBa)(b senf)en la espira.

f es el ánguloentre un vectornormal a la espiray el campomagnético.

El par de torsión es máximocuando f 5 908 (de modo que Bestá en el plano de la espira).

El par de torsión es cerocuando f 5 08 (como seobserva aquí) o f 5 1808.En ambos casos, B esperpendicular al plano dela espira.

La espira está en equilibrioestable cuando f 5 08;y está en equilibrio inestablecuando f 5 1808.

z

y

I

I

I

I

a

x

b

f

f

f

2FS

2F!S

BS

FS

BS

BS

F!S

908 2 f

b sen f

b)a)

c)

I

I

y

y

x (dirección normal a la espira)

z

2FS

FSB

S

BS

BS

II

z (dirección normal a la espira)

x

2FS

2F!S

FSB

S

BS

BSF!

S

S

S

S S

mS

mS

mS

27.31 Cálculo del par de torsión sobre una espira que conduce corriente en un campo magnético uniforme.

26

Las dos fuerzas ′F y −

′F están en la misma línea, por lo que el pare de torsión esta

cero Las dos fuerzas

F y −

F quedan a lo largo de distintas líneas de acción y cada una

origina un par de torsión con respeto al eje y • Usando la regla de la mano derecha para pare de torsión, ambos son en la

dirección +y de modo que el par de torsión vectorial neto τ es en esta

dirección • El brazo de momento para cada una de estas fuerza es igual a la distancia

perpendicular desde el eje de rotación hasta la línea de acción de la fuerza = b2

senφ

• El pare de torsión debido a cada fuerza tiene magnitud F b2

senφ

La magnitud del pare de torsión neto es:

(8.26) τ = 2F b2

senφ = IBa( ) b senφ( ) • Máximo cuando φ = 90°;

B en el plano de la espira y la normal a este plano

es perpendicular a B (figura b).

• Igual a cero cuando φ = 0° o 180°; la normal a la espira es paralela o antiparalela al campo (figura c)

o φ = 0° = posición de equilibrio estable, cuando la espira gira un poco de dicha posición, el par de torsión resultante tiende a girarlo de regreso hacia φ = 0°

o φ = 180° = posición de equilibrio inestable, si se aparta la espira un poco de ella, el par de torsión resultante tiende alejarse aún más allá de φ = 180°





(27.22)




BS

BS


2FS

FS

2FS

FS

2FSrF

Sr






z

y

I

I

I

I

a

x

b

f

f

f

2FS

2F!S

BS

FS

BS

BS

F!S

908 2 f

b sen f

b)a)

c)

I

I

y

y


z

2FS

FSB

S

BS

BS

II


x

2FS

2F!S

FSB

S

BS

BSF!

S

S

S

S S

mS

mS

mS


27

La ecuación (8.26) para el par de torsión es válida para cualquier selección de ejes Como la área de la espira es A = ab (8.27) τ = IBA senφ Donde el momento dipolar magnético o momento magnético de la espira (el análogo el momento dipolar eléctrico) es: (8.28) µ = IA La magnitud del par de torsión sobre una espira de corriente es: (8.29) τ = µB senφ Donde φ es el ángulo entre la normal a la espira (dirección de la área

A ) y

B

• El par de torsión tiende a hacer girar la espira en la dirección en que

disminuye φ ⇒ hacia su posición de equilibrio estable donde la espira queda en el plano xy perpendicular a la dirección del campo

B (figura c)

• Una espira de corriente, o cualquier otro cuerpo que experimente un par de

torsión magnético dado por la ecuación (8.29) = dipolo magnético





(27.22)




BS

BS


2FS

FS

2FS

FS

2FSrF

Sr






z

y

I

I

I

I

a

x

b

f

f

f

2FS

2F!S

BS

FS

BS

BS

F!S

908 2 f

b sen f

b)a)

c)

I

I

y

y


z

2FS

FSB

S

BS

BS

II


x

2FS

2F!S

FSB

S

BS

BSF!

S

S

S

S S

mS

mS

mS


28

Par de torsión magnético en forma vectorial

El momento magnético vectorial

µ = I

A tiene dirección determinada por la regla

de la mano derecha • Enrosque los dedos de su mano derecha alrededor del perímetro de la

espira en la dirección de la corriente • Después extienda su pulgar de modo que quede perpendicular al plano de

la espira; su dirección está en la dirección de µ = I

A

• El par de torsión es máximo cuando µ y B son perpendiculares, y es igual a

cero cuando son paralelos o antiparalelos • En la posición de equilibrio estable,

µ y B son paralelos

En términos del vector del par de torsión: (8.30)

τ B =

µ ×B

Esto es el análogo directa del para de torsión ejercido por un campo eléctrico sobre un dipolo eléctrico

p = qd : (8.31)

τ E =

p ×E

27.7 Fuerza y par de torsión en una espira de corriente 937

El producto IA se denomina momento dipolar magnético o momento magnético dela espira, el cual se denota con el símbolo m (letra griega mu):

(27.24)

Es análogo al momento dipolar eléctrico que se estudió en la sección 21.7. En térmi-nos de m, la magnitud del par de torsión sobre una espira de corriente es

(27.25)

donde f es el ángulo entre la normal a la espira (dirección del área vectorial yEl par de torsión tiende a hacer girar la espira en la dirección en que disminuye f, esdecir, hacia su posición de equilibrio estable donde la espira queda en el plano xy per-pendicular a la dirección del campo (figura 27.31c). Una espira de corriente, o cual-quier otro cuerpo que experimente un par de torsión magnético dado por la ecuación(27.25), también recibe el nombre de dipolo magnético.

Par de torsión magnético: Forma vectorialTambién podemos definir un momento magnético vectorial con magnitud IA; éstese ilustra en la figura 27.31. La dirección de se define como la perpendicular al pla-no de la espira, con sentido determinado por la regla de la mano derecha, como se ob-serva en la figura 27.32. Enrosque los dedos de su mano derecha alrededor delperímetro de la espira en la dirección de la corriente. Después extienda su pulgar demodo que quede perpendicular al plano de la espira; su dirección está en la direcciónde (y la del área vectorial de la espira). El par de torsión es máximo cuando y

son perpendiculares, y es igual a cero cuando son paralelos o antiparalelos. En laposición de equilibrio estable, y son paralelos.

Por último, esta interacción puede expresarse en términos del vector del par de tor-sión que usamos para las interacciones de dipolos eléctricos en la sección 21.7. De laecuación (27.25), la magnitud de es igual a la magnitud de y en relación conesto, la figura 27.31 muestra que las direcciones también son las mismas. Por lo tanto,

(par de torsión vectorial sobre una espira de corriente) (27.26)

Este resultado es una analogía directa del que se obtuvo en la sección 21.7 para el parde torsión ejercido por un campo eléctrico sobre un dipolo eléctrico con momentodipolar

Energía potencial para un dipolo magnéticoCuando un dipolo magnético cambia de orientación en un campo magnético, éste rea-liza trabajo sobre aquél. En un desplazamiento angular infinitesimal df el trabajo dWestá dado por tdf, y hay un cambio correspondiente en la energía potencial. Como losugiere el análisis anterior, la energía potencial es mínima cuando y son para-lelos, y es máxima si son antiparalelos. Con la finalidad de encontrar una expresiónpara la energía potencial U en función de la orientación, utilizaremos la hermosa si-metría que hay entre las interacciones dipolares eléctricas y magnéticas. El par de tor-sión sobre un dipolo eléctrico en un campo eléctrico es en la sección 21.7vimos que la energía potencial correspondiente es El par de torsión so-bre un dipolo magnético en un campo magnético es por lo que conclui-mos de inmediato que la energía potencial correspondiente es

(energía potencial para un dipolo magnético) (27.27)

Con esta definición, U es igual a cero cuando el momento dipolar magnético es per-pendicular al campo magnético.

Par de torsión magnético: Espiras y bobinasAunque las ecuaciones (27.21) a (27.27) se obtuvieron para una espira de corriente rec-tangular, todas estas relaciones son válidas para una espira plana de cualquier forma.Cualquier espira plana se puede aproximar tanto como queramos mediante un númeromuy grande de espiras rectangulares, como se ilustra en la figura 27.33. Si todas estas

U 5 2mS # B

S5 2mB cos f

mS

3 BS,t

S 5U 5 2pS # E

S.

tS

5 pS 3 ES

;

BS

mS

pS # tS

5 pS 3 ES

.ES

tS

5 mS

3 BS

mS

3 BS

,tS

tS,

BS

mS

BS

mSA

SmS

mS

mS

BS

BS

.AS

)

t 5 mB sen f

m 5 IA

I

I

I

I

AS

mS

27.32 La regla de la mano derecha determina la dirección del momento magnético de una espira que transporta corriente. Ésta es también la dirección del vector de área de la espira;es una ecuación vectorial.

mS

5 IAS

AS

;

29

Energía potencial para un dipolo magnético Cuando un dipolo magnético cambia de orientación en un campo magnético, se realiza trabajo sobre aquél

• Para un desplazamiento angular infinitesimal dφ el trabajo dW está dado por τ dφ, y hay un cambio correspondiente en la energía potencial

• La energía potencial es mínima cuando µ y B son paralelos, y es máxima si

son antiparalelos Para encontrar una expresión para la energía potencial U en función de la orientación, utilizamos la simetría que hay entre las interacciones dipolares eléctricas y magnéticas

• El par de torsión sobre un dipolo eléctrico en un campo eléctrico es

τ E =

p ×E y la energía potencial correspondiente es U = − p ⋅

E

• El par de torsión sobre un dipolo magnético en un campo magnético es

τ B =

µ ×B , por lo que concluimos de inmediato que la energía potencial

correspondiente es: (8.32) U = −

µ ⋅B = −µBcosφ

• Siguiendo esta definición U = 0 (mínimo) cuando el momento dipolar magnético es perpendicular al campo magnético

Par de torsión magnético: Espiras y bobinas Todas las relaciones encontradas para una espira de corriente rectangular son válidas para una espira plana de cualquier forma:

• Cualquier espira plana se puede aproximar tanto como queramos mediante un número muy grande de espiras rectangulares

• Si todas estas espiras llevan corrientes iguales en el mismo sentido horario,

entonces las fuerzas y los pares de torsión sobre los lados de dos espiras adyacentes entre sí se cancelan, y las únicas fuerzas y pares de torsión que no se cancelan se deben a corrientes en torno a la frontera


espiras llevan corrientes iguales en el mismo sentido horario, entonces las fuerzas y los pares de torsión sobre los lados de dos espiras adyacentes entre sí se cancelan, y lasúnicas fuerzas y pares de torsión que no se cancelan se deben a corrientes en torno a lafrontera. Así, todas las relaciones anteriores son válidas para un espira de corriente pla-na que tenga cualquier forma, con el momento magnético dado por

Toda esta formulación también se generaliza a una bobina que consista en N espi-ras planas cercanas entre sí; el efecto es simplemente multiplicar cada fuerza, el mo-mento magnético, el par de torsión y la energía potencial por un factor de N.

Un arreglo que tiene particular interés es el solenoide, que es un devanado helicoidalde alambre similar a una bobina enrollada sobre un cilindro circular (figura 27.34). Silos devanados están muy próximos unos con otros, el solenoide se aproxima por ciertonúmero de espiras circulares, que se encuentran en planos a ángulos rectos con respectoa su eje longitudinal. El par de torsión total sobre un solenoide en un campo magnéticoes simplemente la suma de los pares de torsión de las vueltas individuales. Para un sole-noide con N vueltas en un campo uniforme B, el momento magnético es m 5 NIA, y

(27.28)

donde f es el ángulo entre el eje del solenoide y la dirección del campo. El vector demomento magnético ocurre a lo largo del eje del solenoide. El par de torsión es má-ximo cuando dicho eje es perpendicular al campo magnético, y es igual a cero cuandoson paralelos. El efecto de este par de torsión es que tiende a hacer girar el solenoidehacia una posición donde su eje es paralelo al campo. Los solenoides también son úti-les como fuentes de campo magnético, como se veremos en el capítulo 28.

El galvanómetro de d’Arsonval, descrito en la sección 26.3, utiliza un par de torsiónmagnético sobre una bobina que conduce una corriente. Como se aprecia en la figura26.14, el campo magnético no es uniforme sino radial, por lo que los empujes lateralessobre la bobina siempre son perpendiculares a su plano. Así, el ángulo f en la ecuación(27.28) siempre es de 90°, y el par de torsión magnético siempre es directamente pro-porcional a la corriente, sin importar cuál sea la orientación de la bobina. Dos resortesgeneran un par de torsión de recuperación proporcional al desplazamiento angular de labobina, que también sirven como conductores de corriente hacia ésta. Cuando se sumi-nistra corriente a la bobina, ésta gira junto con su aguja indicadora acoplada, hasta queel par de torsión de recuperación de las espirales compensa el par de torsión magnético.De este modo, la desviación de la aguja indicadora es proporcional a la corriente.

Una aplicación médica importante del par de torsión sobre un dipolo magné-tico son las imágenes de resonancia magnética (IRM). Se coloca a un pacienteen un campo magnético de aproximadamente 1.5 T, lo cual es 104 veces más intensoque el campo de la Tierra. El núcleo de cada átomo de hidrógeno en el tejido que sedesea observar tiene un momento dipolar magnético, que experimenta un par de tor-sión que lo alinea con el campo aplicado. Después se ilumina el tejido con ondas deradio de la frecuencia correcta para apenas sacar a estos momentos magnéticos de sualineación. El grado en que estas ondas de radio son absorbidas por el tejido es pro-porcional a la cantidad de hidrógeno presente. De ahí que un tejido suave rico en hi-drógeno se vea muy distinto de un hueso con poco hidrógeno, lo cual hace que laIRM sea ideal para analizar detalles de tejidos suaves que no se verían en las imáge-nes de rayos x (consulte la imagen que abre este capítulo).

mS

t 5 NIAB sen f

mS

5 IAS

.mS

El par de torsión tiende a hacer que el sole-noide gire en sentido horario en el plano dela página, para alinear el momento magnéticom con el campo B.S S

I

I

BS

mS

tS

f

27.34 El par de torsión sobreeste solenoide en un campo magnético uniforme está dirigido directamente haciala página. Un solenoide real tiene muchomás vueltas, estrechamente enrolladas.

tS

5 mS

3 BS

Ejemplo 27.9 Par de torsión magnético sobre una bobina circular

Una bobina circular de 0.0500 m de radio y 30 vueltas de alambre está enun plano horizontal. Conduce una corriente de 5.00 A en sentido antiho-rario vista desde arriba. La bobina está en un campo magnético uniformedirigido a la derecha, con magnitud de 1.20 T. Encuentre las magnitudesdel momento magnético y del par de torsión sobre la bobina.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: Este problema usa la definición de momento magnéti-co y la expresión para el par de torsión sobre un dipolo magnético enun campo magnético.

PLANTEAR: La figura 27.35 ilustra la situación. La magnitud m delmomento magnético de una sola vuelta de alambre está dada en térmi-

27.35 Nuestro esquema para este problema.

?

I

I

II

Una espira plana de cualquier forma puede aproximarse mediante un conjunto de espiras rectangulares.

27.33 En el límite, el conjunto de rectángulos coincide exactamente con la espira plana irregular, conforme el número de rectángulos tiende a infinito yel ancho de cada rectángulo tiende a cero.

30

Generalización = bobina de N espiras planas cercanas entre sí • Multiplica cada fuerza, momento magnético, par de torsión y energía

potencial por N

Solenoide = devanado helicoidal de alambre enrollada sobre un cilindro circular • Devanados muy próximos unos con otros, el solenoide se aproxima por

cierto número de espiras circulares, que se encuentran en planos a ángulos rectos con respecto a su eje longitudinal

• Par de torsión total sobre un solenoide en un campo magnético es simplemente la suma de los pares de torsión de las vueltas individuales

• Para N vueltas en un campo uniforme B, el momento magnético es: (8.33) τ = NIAB senφ

• Donde φ = ángulo entre el eje del solenoide y la dirección del campo • Vector de momento magnético

µ a lo largo del eje del solenoide

• Par de torsión máximo cuando dicho eje es perpendicular al campo magnético, y igual a cero cuando son paralelos

o Tiende a hacer girar el solenoide hacia una posición donde su eje es paralelo al campo

Los solenoides también son útiles como fuentes de campo magnético


espiras llevan corrientes iguales en el mismo sentido horario, entonces las fuerzas y los pares de torsión sobre los lados de dos espiras adyacentes entre sí se cancelan, y lasúnicas fuerzas y pares de torsión que no se cancelan se deben a corrientes en torno a lafrontera. Así, todas las relaciones anteriores son válidas para un espira de corriente pla-na que tenga cualquier forma, con el momento magnético dado por

Toda esta formulación también se generaliza a una bobina que consista en N espi-ras planas cercanas entre sí; el efecto es simplemente multiplicar cada fuerza, el mo-mento magnético, el par de torsión y la energía potencial por un factor de N.

Un arreglo que tiene particular interés es el solenoide, que es un devanado helicoidalde alambre similar a una bobina enrollada sobre un cilindro circular (figura 27.34). Silos devanados están muy próximos unos con otros, el solenoide se aproxima por ciertonúmero de espiras circulares, que se encuentran en planos a ángulos rectos con respectoa su eje longitudinal. El par de torsión total sobre un solenoide en un campo magnéticoes simplemente la suma de los pares de torsión de las vueltas individuales. Para un sole-noide con N vueltas en un campo uniforme B, el momento magnético es m 5 NIA, y

(27.28)

donde f es el ángulo entre el eje del solenoide y la dirección del campo. El vector demomento magnético ocurre a lo largo del eje del solenoide. El par de torsión es má-ximo cuando dicho eje es perpendicular al campo magnético, y es igual a cero cuandoson paralelos. El efecto de este par de torsión es que tiende a hacer girar el solenoidehacia una posición donde su eje es paralelo al campo. Los solenoides también son úti-les como fuentes de campo magnético, como se veremos en el capítulo 28.

El galvanómetro de d’Arsonval, descrito en la sección 26.3, utiliza un par de torsiónmagnético sobre una bobina que conduce una corriente. Como se aprecia en la figura26.14, el campo magnético no es uniforme sino radial, por lo que los empujes lateralessobre la bobina siempre son perpendiculares a su plano. Así, el ángulo f en la ecuación(27.28) siempre es de 90°, y el par de torsión magnético siempre es directamente pro-porcional a la corriente, sin importar cuál sea la orientación de la bobina. Dos resortesgeneran un par de torsión de recuperación proporcional al desplazamiento angular de labobina, que también sirven como conductores de corriente hacia ésta. Cuando se sumi-nistra corriente a la bobina, ésta gira junto con su aguja indicadora acoplada, hasta queel par de torsión de recuperación de las espirales compensa el par de torsión magnético.De este modo, la desviación de la aguja indicadora es proporcional a la corriente.

Una aplicación médica importante del par de torsión sobre un dipolo magné-tico son las imágenes de resonancia magnética (IRM). Se coloca a un pacienteen un campo magnético de aproximadamente 1.5 T, lo cual es 104 veces más intensoque el campo de la Tierra. El núcleo de cada átomo de hidrógeno en el tejido que sedesea observar tiene un momento dipolar magnético, que experimenta un par de tor-sión que lo alinea con el campo aplicado. Después se ilumina el tejido con ondas deradio de la frecuencia correcta para apenas sacar a estos momentos magnéticos de sualineación. El grado en que estas ondas de radio son absorbidas por el tejido es pro-porcional a la cantidad de hidrógeno presente. De ahí que un tejido suave rico en hi-drógeno se vea muy distinto de un hueso con poco hidrógeno, lo cual hace que laIRM sea ideal para analizar detalles de tejidos suaves que no se verían en las imáge-nes de rayos x (consulte la imagen que abre este capítulo).

mS

t 5 NIAB sen f

mS

5 IAS

.mS

El par de torsión tiende a hacer que el sole-noide gire en sentido horario en el plano dela página, para alinear el momento magnéticom con el campo B.S S

I

I

BS

mS

tS

f

27.34 El par de torsión sobreeste solenoide en un campo magnético uniforme está dirigido directamente haciala página. Un solenoide real tiene muchomás vueltas, estrechamente enrolladas.

tS

5 mS

3 BS

Ejemplo 27.9 Par de torsión magnético sobre una bobina circular

Una bobina circular de 0.0500 m de radio y 30 vueltas de alambre está enun plano horizontal. Conduce una corriente de 5.00 A en sentido antiho-rario vista desde arriba. La bobina está en un campo magnético uniformedirigido a la derecha, con magnitud de 1.20 T. Encuentre las magnitudesdel momento magnético y del par de torsión sobre la bobina.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: Este problema usa la definición de momento magnéti-co y la expresión para el par de torsión sobre un dipolo magnético enun campo magnético.

PLANTEAR: La figura 27.35 ilustra la situación. La magnitud m delmomento magnético de una sola vuelta de alambre está dada en térmi-

27.35 Nuestro esquema para este problema.

?

I

I

II

Una espira plana de cualquier forma puede aproximarse mediante un conjunto de espiras rectangulares.

27.33 En el límite, el conjunto de rectángulos coincide exactamente con la espira plana irregular, conforme el número de rectángulos tiende a infinito yel ancho de cada rectángulo tiende a cero.

31

Aplicaciones de pares de torsión magnético 1) El galvanómetro de d’Arsonval El campo magnético es radial, por lo que los empujes laterales sobre la bobina siempre son perpendiculares a su plano (φ = 90°) y el par de torsión magnético siempre es directamente proporcional a la corriente, sin importar la orientación de la bobina Dos resortes (conductores) generan un par de torsión de recuperación proporcional al desplazamiento angular de la bobina

• Cuando se suministra corriente a la bobina, ésta gira junto con su aguja

indicadora acoplada, hasta que el par de torsión de recuperación de las espirales compensa el par de torsión magnético ⇒ la desviación de la aguja indicadora es proporcional a la corriente

2) Imágenes de resonancia magnética (IRM) Se coloca un paciente en un campo magnético de ~ 1.5 T El núcleo de cada átomo de hidrógeno en el tejido tiene un momento dipolar magnético, que experimenta un par de torsión que lo alinea con el campo aplicado

Después se ilumina el tejido con ondas de radio con la frecuencia correcta para apenas sacar a estos momentos magnéticos de su alineación; El grado en que estas ondas de radio son absorbidas por el tejido es proporcional a la cantidad de hidrógeno presente Un tejido suave rico en hidrógeno se vea muy distinto de un hueso con poco hidrógeno, lo cual hace que la IRM sea ideal para analizar detalles de tejidos suaves que no se verían en las imágenes de rayos X

892 C APÍTU LO 26 Circuitos de corriente directa

Resorte

Campomagnético

Núcleo dehierro suave

Imánpermanente

Bobinaarticulada

El par de torsióndel resorte empuja

la agujahacia el cero.

El par del campomagnéticoempuja laaguja lejosdel cero.

510

0

26.14 Galvanómetro de d’Arsonval conuna bobina de pivote o articulada a la queestá adherida una aguja; un imán permanen-te suministra un campo magnético de magnitud uniforme, y el resorte proporcionaun par de torsión restaurador que se oponeal par de torsión del campo magnético.

de full scale o escala completa) que se requiere para la desviación de escala completa(lo común es del orden de 10 mA a 10 mA) y la resistencia Rc (por la inicial de coil,bobina) de la bobina (lo normal es del orden de 10 a 1000 V).

La desviación del medidor es proporcional a la corriente en la bobina. Si ésta obede-ce la ley de Ohm, la corriente es proporcional a la diferencia de potencial entre las termi-nales de la bobina, y la desviación también es proporcional a esta diferencia depotencial. Por ejemplo, considere un medidor cuya bobina tenga una resistencia Rc 520.0 V y que se desvía la escala completa cuando la corriente en la bobina es Ifs 5 1.00mA. La diferencia de potencial correspondiente para la desviación de escala completa es

AmperímetrosUn instrumento medidor de corriente por lo general se conoce como amperímetro (omiliamperímetro, microamperímetro, etcétera, según su escala). Un amperímetrosiempre mide la corriente que pasa a través de él. Un amperímetro ideal, como el quese estudió en la sección 25.4, tendría una resistencia igual a cero, por lo que si se in-cluyera en un ramal de un circuito no se afectaría a la corriente que circula por el ra-mal. Los amperímetros reales siempre tienen una resistencia finita, pero es deseableque sea tan pequeña como sea posible.

Un medidor puede adaptarse para medir corrientes mayores que su lectura de es-cala completa si se conecta a él un resistor en paralelo (figura 26.15a) que desvíe par-te de la corriente de la bobina del medidor. El resistor en paralelo se llama resistor dederivación o simplemente derivación, y se denota como Rsh (por las iniciales deshunt, que en inglés significa derivación).

Suponga que se desea convertir un medidor con corriente de escala completa Ifs yresistencia de bobina Rc en un amperímetro con lectura de escala completa Ia. Paradeterminar la resistencia de derivación Rsh que se necesita, observe que, con la des-viación de escala completa, la corriente total a través de la combinación en paralelo esIa, la corriente a través de la bobina del medidor es Ifs, y la corriente que pasa a travésde la derivación es la diferencia Ia 2 Ifs. La diferencia de potencial Vab es la mismapara ambas trayectorias; por lo tanto,

(26.7)Ifs Rc 5 1 Ia 2 Ifs 2Rsh (para un amperímetro)

V 5 Ifs Rc 5 1 1.00 3 1023 A 2 120.0 V 2 5 0.0200 V

| || |

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

I Ia bRsh

Rc

a) Amperímetro de bobina móvil

+ –

| || |

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

–+

Rs

Rc

a b

Va VbElementode circuito

I I

b) Voltímetro de bobina móvil26.15 Uso del mismo medidor para medir a) corriente y b) voltaje.

Ejemplo 26.8 Diseño de un amperímetro

¿Qué resistencia de derivación se requiere para hacer que el medidorde 1.00 mA y 20.0 V descrito antes sea un amperímetro con una esca-la de 0 a 50.0 mA?

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: Como el medidor se emplea como amperímetro, susconexiones internas se ilustran en la figura 26.15a. La variable buscadaes la resistencia de derivación Rsh.

PLANTEAR: Se desea que el amperímetro sea capaz de manejar una co-rriente máxima Is 5 50.0 mA 5 50.0 3 1023 A. La resistencia de la bobi-

na es Rc 5 20.0 V, y el medidor presenta una desviación de escala com-pleta cuando la corriente a través de la bobina es Ifs 5 1.00 3 1023 A. Laresistencia de derivación se calcula con la ecuación (26.7).

EJECUTAR: Se despeja Rsh en la ecuación (26.7) para obtener

5 0.408 V

Rsh 5Ifs Rc

Ia 2 Ifs5

11.00 3 1023 A 2 120.0 V 250.0 3 1023 A 2 1.00 3 1023 A

12.4 Uso de amperímetros y voltímetros

O N L I N ECAMPO MAGNÉTICO YFUERZAS MAGNÉTICAS

?Las imágenes de resonancia magnética(IRM) hacen posiblever detalles de los tejidos suaves (como los del pie en la fotografía) que noson visibles en las imágenes de rayos x.No obstante, el tejidosuave no es un materialmagnético (no lo atraeun imán). ¿Cómo funcionan las IRM?

Todos utilizamos fuerzas magnéticas. Están en el corazón de los motores eléc-tricos, cinescopios de televisión, hornos de microondas, altavoces (bocinas),impresoras y unidades lectoras de discos. Los aspectos más familiares del

magnetismo son aquellos asociados con los imanes permanentes, que atraen objetosde fierro que no son magnéticos, y que atraen o repelen otros imanes. Ejemplo de estainteracción es la aguja de una brújula que se alinea con el magnetismo terrestre. Noobstante, la naturaleza fundamental del magnetismo es la interacción de las cargaseléctricas en movimiento. A diferencia de las fuerzas eléctricas, que actúan sobre las cargas eléctricas estén en movimiento o no, las fuerzas magnéticas sólo actúan sobre cargas que se mueven.

Aunque las fuerzas eléctricas y magnéticas son muy diferentes unas de otras, paradescribir ambos tipos usaremos la idea de campo. En el capítulo 21 vimos que lasfuerzas eléctricas ocurren en dos etapas: 1) una carga produce un campo eléctrico enel espacio que la rodea, y 2) una segunda carga responde a este campo. Las fuerzasmagnéticas también ocurren en dos etapas. En primer lugar, una carga o conjunto decargas en movimiento (es decir, una corriente eléctrica) producen un campo magnético.A continuación, una segunda corriente o carga en movimiento responde a ese campomagnético, con lo que experimenta una fuerza magnética.

En este capítulo estudiaremos la segunda etapa de la interacción magnética —esdecir, el modo en que las cargas y corrientes responden a los campos magnéticos. Enparticular, veremos la forma de calcular fuerzas y pares de torsión magnéticos, y des-cubriremos por qué los imanes son capaces de levantar objetos de hierro, como clipspara sujetar papeles. En el capítulo 28 terminaremos el panorama de la interacciónmagnética con el estudio de cómo las cargas y corrientes en movimiento producencampos magnéticos.

27.1 MagnetismoLos fenómenos magnéticos fueron observados por primera vez al menos hace 2500años, con fragmentos de mineral de hierro magnetizado cerca de la antigua ciudad deMagnesia (hoy Manisa, en Turquía occidental). Esos trozos eran ejemplos de lo que

916

27METAS DE APRENDIZAJEAl estudiar este capítulo, usted aprenderá:

• Las propiedades de los imanes y cómo interactúan entre sí.

• La naturaleza de la fuerza que unapartícula cargada en movimientoexperimenta en un campo magnético.

• En qué se diferencian las líneas decampo magnético de aquellas del campo eléctrico.

• A analizar el movimiento de unapartícula cargada en un campomagnético.

• Algunas aplicaciones prácticas delos campos magnéticos en química y física.

• A estudiar las fuerzas magnéticasen conductores que llevan corriente.

• Cómo se comportan las espiras de corriente cuando están en un campo magnético.

32

Dipolo magnético en un campo magnético no uniforme

Dos espiras de corriente en un campo

B no uniforme (imán de barra); en ambos

casos, la fuerza neta sobre la espira no es igual a cero

• En (a) el momento magnético µ en dirección opuesta a

B

o fuerza dF = Id

l ×B sobre segmento de la espira tiene tanto una

componente radial como una componente a la derecha o Suma de las fuerzas = fuerza neta

F sobre la espira,

§ las componentes radiales se cancelan, § la fuerza neta es hacia la derecha, alejándose del imán ( la

fuerza va hacia la región donde las líneas de campo están muy separadas y la magnitud del campo

B es menor)

• En (b), se invierte la polaridad del imán de barra, por lo que

µ y

B son

paralelos o La fuerza neta sobre la espira actúa hacia la izquierda, en dirección

de la región de la mayor magnitud del campo, cerca del imán


Dipolo magnético en un campo magnético no uniformeHemos visto que una espira de corriente (es decir, un dipolo magnético) experimentauna fuerza neta de cero en un campo magnético uniforme. La figura 27.36 muestra dosespiras de corriente en el campo no uniforme de un imán de barra; en ambos casos, lafuerza neta sobre la espira no es igual a cero. En la figura 27.36a el momento magnético

está en dirección opuesta al campo, y la fuerza sobre un segmento dela espira tiene tanto una componente radial como una componente a la derecha. Cuandoestas fuerzas se suman para obtener la fuerza neta sobre la espira, las componentes ra-diales se cancelan, de modo que la fuerza neta es hacia la derecha, alejándose del imán.Observe que en este caso la fuerza va hacia la región donde las líneas de campo estánmuy separadas y la magnitud del campo B es menor. En la figura 27.36b, se invierte lapolaridad del imán de barra, por lo que y son paralelos; ahora la fuerza neta sobrela espira actúa hacia la izquierda, en dirección de la región de la mayor magnitud delcampo, cerca del imán. Más adelante en esta sección usaremos estas observaciones paraexplicar por qué los imanes de barra atraen objetos de hierro no magnetizados.

Dipolos magnéticos y cómo funcionan los imanesEl comportamiento de un solenoide en un campo magnético (véase la figura 27.34) separece al de un imán de barra o una aguja de brújula; si tienen libertad para girar, tan-to el solenoide como el imán se orientan con sus ejes paralelos al campo . En amboscasos, esto se debe a la interacción de las cargas eléctricas en movimiento con uncampo magnético; la diferencia es que en un imán de barra el movimiento de la cargaocurre a la escala microscópica del átomo.

Piense en un electrón como en una esfera de carga giratoria. En esta analogía, lacirculación de carga en torno al eje de rotación es como una espira de corriente y, por ello, el electrón tiene un momento magnético neto. (Esta analogía, aunque útil, es

BS

BS

mS

FS

dFS

5 I d lS

3 BS

mS

BS

Ejemplo 27.10 Energía potencial para una bobina en un campo magnético

Si la bobina del ejemplo 27.9 gira desde su posición inicial hasta otradonde su momento magnético sea paralelo a ¿cuál será el cambio dela energía potencial?

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: La posición inicial se presenta en la figura 27.35. Enla posición final, la bobina gira 90° en sentido horario, por lo que y

son paralelos (f 5 0).

PLANTEAR: La energía potencial se calcula para cada orientación conla ecuación (27.27). Después se obtiene la diferencia entre el valor fi-nal y el valor inicial, para encontrar el cambio en la energía potencial.

BS

mS

BS

,EJECUTAR: De la ecuación (27.27), la energía potencial inicial U1 es

y la energía potencial final U2 es

El cambio en la energía potencial es

EVALUAR: La energía potencial disminuye porque la rotación ocurreen la dirección del par de torsión magnético.

DU 5 U2 2 U1 5 21.41 J.

5 21.41 J

U2 5 2mtotal B cos f2 5 2 11.18 A # m2 2 11.20 T 2 1 cos 0° 2U1 5 2mtotal B cos f1 5 2 11.18 A # m2 2 1 1.20 T 2 1 cos 90° 2 5 0

nos de la corriente y el área de la bobina por la ecuación (27.24). ParaN vueltas, el momento magnético es N veces mayor. La magnitud t delpar de torsión se obtiene con la ecuación (27.25).

EJECUTAR: El área de la bobina es

El momento magnético de cada vuelta de la bobina es

y el momento magnético total de las 30 vueltas es

El ángulo f entre la dirección de y la dirección de (que está alo largo de la normal al plano de la bobina) es de 90°. De la ecuación(27.25),

5 1.41 N # m

t 5 mtotal B sen f 5 1 1.18 A # m2 2 11.20 T 2 1 sen 90° 2mSB

S

mtotal 5 130 2 13.93 3 1022 A # m2 2 5 1.18 A # m2

m 5 IA 5 1 5.00 A 2 17.85 3 1023 m2 2 5 3.93 3 1022 A # m2

A 5 pr2 5 p 10.0500 m 2 2 5 7.85 3 1023 m2

Alternativamente, según la ecuación (27.23) el par de torsión de cadavuelta de la bobina es

y el par de torsión total sobre la bobina es

EVALUAR: El par de torsión tiende a hacer girar el lado derecho de labobina hacia abajo, y el lado izquierdo hacia arriba, a una posicióndonde la normal a su plano sea paralela a B

S.

t 5 1 30 2 10.0471 N # m 2 5 1.41 N # m

5 0.0471 N # m

t 5 IBA sen f 5 15.00 A 2 11.20 T 2 1 7.85 3 1023 m2 2 1 sen 90° 2

dFS

mS

F netaS

dFS

dFS

dFS

I

b) La fuerza neta sobre la misma bobina va haciael polo sur del imán

N S

BS

a) La fuerza neta sobre esta bobina se alejadel polo norte del imán

mS

F netaS

dFS B

S

dFS

dFSINS

dFS

27.36 Fuerzas sobre espiras de corrienteen un campo no uniforme. En cada caso,el eje del imán de barra es perpendicular alplano de la espira y pasa por el centro deésta.

BS






BS

BS

mS

FS

dFS

5 I d lS

3 BS

mS

BS



SOLUCIÓN




BS

mS

BS





DU 5 U2 2 U1 5 21.41 J.

5 21.41 J







5 1.41 N # m


S

mtotal 5 130 2 13.93 3 1022 A # m2 2 5 1.18 A # m2

m 5 IA 5 1 5.00 A 2 17.85 3 1023 m2 2 5 3.93 3 1022 A # m2

A 5 pr2 5 p 10.0500 m 2 2 5 7.85 3 1023 m2




S.

t 5 1 30 2 10.0471 N # m 2 5 1.41 N # m

5 0.0471 N # m

t 5 IBA sen f 5 15.00 A 2 11.20 T 2 17.85 3 1023 m2 2 1 sen 90° 2

dFS

mS

F netaS

dFS

dFS

dFS

I


N S

BS


mS

F netaS

dFS B

S

dFS

dFSINS

dFS


BS

33

Dipolos magnéticos y cómo funcionan los imanes El comportamiento de un solenoide en un campo magnético se parece al de un imán de barra o una aguja de brújula

• Con libertad para girar, tanto el solenoide como el imán se orientan con sus ejes paralelos al campo

B

o Donde la energía potencial esta menor (estado estable de más baja energía potencial)

• En ambos casos, esto se debe a la interacción de las cargas eléctricas en movimiento con un campo magnético

En un imán de barra el movimiento de la carga ocurre a la escala microscópica del átomo Electrón = esfera de carga giratoria

• La circulación de carga en torno al eje de rotación es como una espira de corriente ⇒ el electrón tiene un momento magnético neto

µ ≠ 0

Átomo de hierro: una fracción importante de los momentos magnéticos de los electrones se alinean entre sí, y el átomo tiene un momento magnético distinto de cero

M =

µ∑ ≠ 0

En contraste, los átomos de la mayoría de los elementos tienen poco o ningún momento magnético

34

(a) En un trozo de hierro no magnetizado no hay una alineación general de los momentos magnéticos de los átomos;

M =

µ∑ = 0

(b) En un imán de barra, los momentos magnéticos de muchos de sus átomos son paralelos, y existe un momento magnético neto;

M =

µ∑ ≠ 0

(c) Si el imán se coloca en un campo magnético

B , el campo ejerce un par de

torsión que tiende a alinear µ con

B

Un imán de barra tiende a alinearse con un campo

B , de modo que una línea

que vaya del polo sur al polo norte del imán estará en dirección de B

La significación verdadera de los polos norte y sur de un imán = representan la cabeza y la cola, respectivamente, del momento magnético dipolar

µ


inexacta, puesto que un electrón en realidad no es una esfera giratoria. La explicacióncompleta del origen del momento magnético del electrón incluye mecánica cuántica,que está más allá de nuestro alcance en este momento.) En un átomo de hierro, unafracción importante de los momentos magnéticos de los electrones se alinean entre sí,y el átomo tiene un momento magnético distinto de cero. (En contraste, los átomos dela mayoría de los elementos tienen poco o ningún momento magnético.) En un trozode hierro no magnetizado no hay una alineación general de los momentos magnéti-cos de los átomos; su suma vectorial es cero, y el momento magnético neto también escero (figura 27.37a). Pero en un imán de barra, los momentos magnéticos de muchosde sus átomos son paralelos, y existe un momento magnético neto apreciable (figu-ra 27.37b). Si el imán se coloca en un campo magnético el campo ejerce un par de torsión dado por la ecuación (27.26), que tiende a alinear con (figura 27.37c). Un imán de barra tiende a alinearse con un campo , de modo que una línea que vaya delpolo sur al polo norte del imán estará en dirección de de ahí que la significaciónverdadera de los polos norte y sur de un imán sea que representan la cabeza y la cola,respectivamente, del momento magnético dipolar

El par de torsión experimentado por una espira de corriente en un campo magnéti-co también explica por qué se magnetiza un objeto de hierro no magnetizado, comoen la figura 27.37a. Si un clip sujetapapeles de hierro no magnetizado se coloca cercade un imán poderoso, los momentos magnéticos de los átomos del clip tienden a ali-nearse con el campo del imán. Cuando se retira el sujetapapeles, sus dipolos atómi-cos tienden a seguir alineados y el clip tiene un momento magnético neto. Elsujetapapeles se desmagnetiza si se deja caer al piso o se calienta; la energía internaque se agrega con esto sacude los dipolos atómicos y los vuelve a hacer aleatorios.

El diagrama del dipolo magnético de un imán de barra imantada explica las fuer-zas de atracción y de repulsión entre los imanes de barra de la figura 27.1. El momen-to magnético de un imán de barra apunta de su polo sur a su polo norte, por lo quelas espiras de corriente en las figuras 27.36a y 27.36b son equivalentes a un imán consu polo norte a la izquierda. De ahí que la situación ilustrada en la figura 27.36a seaequivalente a dos imanes de barra con sus polos norte uno junto al otro; la fuerza re-sultante es de repulsión, igual que en la figura 27.1b. En la figura 27.36b, otra vez te-nemos el equivalente de dos imanes de barra con sus extremos juntos, pero con elpolo sur del imán de la izquierda junto al polo norte del imán de la derecha. La fuerzaresultante es de atracción, como en la figura 27.1a.

Por último, es posible explicar cómo un imán atrae un objeto de hierro no magne-tizado (véase la figura 27.2). Se trata de un proceso en dos etapas. En la primera, losmomentos magnéticos atómicos del hierro tienden a alinearse con el campo del imán,por lo que el hierro adquiere un momento dipolar magnético neto paralelo al campo.En la segunda, el campo no uniforme del imán atrae al dipolo magnético. La figura27.38a muestra un ejemplo. El polo norte del imán está más cerca del clavo (que con-tiene hierro), y el dipolo magnético producido en el clavo es equivalente a una espiracon una corriente que circula en dirección opuesta a la que se aprecia en la figura27.36a; entonces, la fuerza magnética neta sobre el clavo es opuesta a la fuerza sobrela espira en la figura 27.36a, de manera que el clavo es atraído hacia el imán. Al cam-biar la polaridad del imán, como en la figura 27.38b, se invierten las direcciones tantode como de Ahora, la situación es equivalente a la que se ilustra en la figura27.36b; al igual que la espira en esa figura, el clavo es atraído hacia el imán. Es la cau-sa de que un objeto no magnetizado previamente que contenga hierro se vea atraídohacia cualquier polo de un imán. En contraste, objetos de latón, aluminio o madera di-fícilmente responden a un imán; los dipolos magnéticos atómicos de estos materiales,si los hay, muestran menos tendencia a alinearse con un campo externo.

Nuestro análisis de la forma en que interactúan los imanes y los trozos de hierroapenas ha tocado la superficie de un tema diverso conocido como propiedades mag-néticas de los materiales. En la sección 28.8 estudiaremos tales propiedades con ma-yor profundidad.

mS .B

S

mS

BS

mS

BS

mS .

BS

;BS

BS

mS

BS

,mS

a)

mr

Br

b)

N Smr

Br

NS

27.38 En dos etapas un imán de barraatrae un clavo de hierro no magnetizado.En la primera, el campo del imán de barra produce un momento magnético neto en el clavo. En la segunda, debido a que el campo del imán de barra no esuniforme, este dipolo magnético se veatraído hacia el imán. La atracción es lamisma si el clavo está cerca de a) el polonorte del imán, o b) el polo sur del imán.

BS

a) Hierro no magnetizado: los momentosmagnéticos se orientan al azar.

mátomoS

b) En un imán de barra, los momentosmagnéticos están alineados.

mS

c) Un campo magnético crea un par detorsión sobre el imán de barra que tiendea alinear su momento dipolar con elcampo B.

mS

tS

BS

S

NN

S

N

S

27.37 a) Un trozo de hierro no magneti-zado. (Sólo se ilustran algunos momentosatómicos representativos.) b) Un trozo de hierro magnetizado (imán de barra). El momento magnético neto del imán de barra apunta de su polo sur a su polonorte. c) Imán de barra en un campo magnético.

Evalúe su comprensión de la sección 27.7 La figura 27.13c ilustra las líneas de campo magnético debidas a una espira circular que transporta corriente. a) ¿Cuál es la dirección del momento magnético de esta espira? b) ¿Qué lado de la espira es equivalente al polo norte de un imán, y cuál al polo sur?

!







mS .B

S

mS

BS

mS

BS

mS .

BS

;BS

BS

mS

BS

,mS

a)

mr

Br

b)

N Smr

Br

NS


BS


mátomoS


mS


mS

tS

BS

S

NN

S

N

S



!







mS .B

S

mS

BS

mS

BS

mS .

BS

;BS

BS

mS

BS

,mS

a)

mr

Br

b)

N Smr

Br

NS


BS


mátomoS


mS


mS

tS

BS

S

NN

S

N

S



!

35

El diagrama del dipolo magnético de un imán de barra imantada explica las fuer-‐ zas de atracción y de repulsión entre imanes:

En a) el momento magnético

µ del imán de barra apunta del S al N

• Las espiras de corriente son equivalentes a imán con polo N a la izquierda

• Equivalente a dos imanes de barra con polos N uno junto al otro ⇒ fuerza resultante de repulsión

En la figura (b), es consistente con dos imanes de barra con extremos juntos, pero con el polo S del imán de la izquierda junto al polo N del imán de la derecha ⇒ fuerza resultante de atracción






BS

BS

mS

FS

dFS

5 I d lS

3 BS

mS

BS



SOLUCIÓN




BS

mS

BS





DU 5 U2 2 U1 5 21.41 J.

5 21.41 J







5 1.41 N # m


S

mtotal 5 130 2 13.93 3 1022 A # m2 2 5 1.18 A # m2

m 5 IA 5 1 5.00 A 2 17.85 3 1023 m2 2 5 3.93 3 1022 A # m2

A 5 pr2 5 p 10.0500 m 2 2 5 7.85 3 1023 m2




S.

t 5 1 30 2 10.0471 N # m 2 5 1.41 N # m

5 0.0471 N # m

t 5 IBA sen f 5 15.00 A 2 11.20 T 2 1 7.85 3 1023 m2 2 1 sen 90° 2

dFS

mS

F netaS

dFS

dFS

dFS

I


N S

BS


mS

F netaS

dFS B

S

dFS

dFSINS

dFS


BS






BS

BS

mS

FS

dFS

5 I d lS

3 BS

mS

BS



SOLUCIÓN




BS

mS

BS





DU 5 U2 2 U1 5 21.41 J.

5 21.41 J







5 1.41 N # m


S

mtotal 5 130 2 13.93 3 1022 A # m2 2 5 1.18 A # m2

m 5 IA 5 1 5.00 A 2 17.85 3 1023 m2 2 5 3.93 3 1022 A # m2

A 5 pr2 5 p 10.0500 m 2 2 5 7.85 3 1023 m2




S.

t 5 1 30 2 10.0471 N # m 2 5 1.41 N # m

5 0.0471 N # m

t 5 IBA sen f 5 15.00 A 2 11.20 T 2 17.85 3 1023 m2 2 1 sen 90° 2

dFS

mS

F netaS

dFS

dFS

dFS

I


N S

BS


mS

F netaS

dFS B

S

dFS

dFSINS

dFS


BS

36

El hecho que un imán atrae un objeto de hierro no magnetizado = proceso en dos etapas:

1) Los momentos magnéticos atómicos del hierro tienden a alinearse con el campo

B del imán, por lo que el hierro adquiere un momento dipolar

magnético neto µparalelo al campo

2) El campo no uniforme del imán atrae al dipolo magnético

a) el polo N del imán, más cerca del clavo, produce un dipolo magnético en el clavo equivalente a una espira con corriente en dirección horario (polo S) ⇒ la fuerza magnética es por la izquierda ⇒ el clavo es atraído hacia el imán b), al cambiar la polaridad se invierten las direcciones tanto de

B como de

µ

con consecuencia ⇒ la fuerza magnética es por la izquierda ⇒ y el clavo de nuevo es atraído hacia el imán La atracción por imán depende de los dipolos magnéticos atómicos de los materiales (susceptibilidad magnética)







mS .B

S

mS

BS

mS

BS

mS .

BS

;BS

BS

mS

BS

,mS

a)

mr

Br

b)

N Smr

Br

NS


BS


mátomoS


mS


mS

tS

BS

S

NN

S

N

S



!

37

Motor de corriente directa En un motor, un par de torsión magnético actúa sobre un conductor que transporta corriente, y la energía eléctrica se convierte en energía mecánica La parte móvil del motor = rotor es el tramo de alambre cuya forma es una espira de extremos abiertos que tiene libertad para girar alrededor de un eje Los extremos de los alambres del rotor están adheridos a segmentos circulares conductores que forman un conmutador

a)cada uno de los dos segmentos del conmutador hacen contacto con una de las terminales (escobillas) de un circuito externo que incluye una fuente de fem

• Esto ocasiona que una corriente fluya hacia el rotor por un lado, en color rojo, y salga del rotor por el otro lado, en azul

• Por consiguiente, el rotor es una espira de corriente con momento magnético

µ

• El rotor queda entre los polos opuestos de un imán permanente, por lo que hay un campo magnético

B que ejerce un par de torsión

τ =µ ×B sobre el

rotor • Para la orientación del rotor el par de torsión hace que el rotor gire en

sentido anti-‐horario, en una dirección que alineará µ con

B

*27.8 El motor de corriente directa 941

*27.8 El motor de corriente directaLos motores eléctricos juegan un papel importante en la sociedad contemporánea. Enun motor, un par de torsión magnético actúa sobre un conductor que transporta co-rriente, y la energía eléctrica se convierte en energía mecánica. Como ejemplo, veamosel tipo sencillo de motor de corriente directa (cd, en ocasiones también se designa conestas siglas invertidas, dc, por direct-current) que se ilustra en la figura 27.39.

La parte móvil del motor es el rotor, es decir, el tramo de alambre cuya forma esuna espira de extremos abiertos y tiene libertad para girar alrededor de un eje. Los ex-tremos de los alambres del rotor están adheridos a segmentos circulares conductoresque forman un conmutador. En la figura 27.39a, cada uno de los dos segmentos delconmutador hacen contacto con una de las terminales, o escobillas, de un circuito ex-terno que incluye una fuente de fem. Esto ocasiona que una corriente fluya hacia elrotor por un lado, en color rojo, y salga del rotor por el otro lado, en azul. Por consi-guiente, el rotor es una espira de corriente con momento magnético El rotor quedaentre los polos opuestos de un imán permanente, por lo que hay un campo magnético

que ejerce un par de torsión sobre el rotor. Para la orientación del rotorque se aprecia en la figura 27.39a, el par de torsión hace que el rotor gire en sentidoantihorario, en una dirección que alineará con

En la figura 27.39b, el rotor ha girado 90° a partir de su orientación en la figura27.39a. Si la corriente a través del rotor fuera constante, éste se hallaría ahora en suorientación de equilibrio; simplemente oscilaría en torno de esta orientación. Peroaquí es donde entra en juego el conmutador; cada escobilla ahora está en contacto conlos dos segmentos del conmutador. No hay diferencia de potencial entre los conmuta-dores, por lo que en este instante no fluye corriente por el rotor y el momento magné-tico es igual a cero. Por su inercia, el rotor continúa girando en sentido antihorario, yotra vez fluye corriente a través de él, como se aprecia en la figura 27.39c. Pero ahorahay corriente que entra en el lado azul del rotor y sale por el lado rojo, exactamente lasituación opuesta a la situación de la figura 27.39a. Aun cuando la dirección de la co-rriente se haya invertido con respecto al rotor, éste ha girado 180° y el momento mag-nético está en la misma dirección con respecto al campo magnético. Entonces, elpar de torsión magnético tiene la misma dirección en la figura 27.39c que en la figu-ra 27.39a. Gracias al conmutador, la corriente se invierte cada 180° de giro, así que elpar de torsión siempre tiene la dirección que hace que el rotor gire en sentido antiho-rario. Cuando el motor “aumenta su rapidez”, el par de torsión magnético promedioestá apenas compensado por un par de torsión opuesto debido a la resistencia del aire,la fricción en los cojinetes del rotor, y la fricción entre el conmutador y las escobillas.

El motor simple que se ilustra en la figura 27.39 tan sólo tiene una vuelta de alambreen su rotor. No obstante, en los motores prácticos el rotor tiene muchas vueltas; esto

tS

mS

BS

.mS

tS

5 mS

3 BS

BS

mS .

27.39 Diagrama esquemático de un motor sencillo de cd. El rotor es una espira de alambre con libertad para girar alrededor de un eje;los extremos del rotor están adheridos a los dos conductores curvos que forman el conmutador. (Por claridad, las mitades del rotor semuestran en colores rojo y azul.) Los segmentos del conmutador están aislados unos de otros.

38

b) El rotor ha girado 90° a partir de su orientación en a) • Si la corriente a través del rotor fuera constante, éste se hallaría ahora en su

orientación de equilibrio -‐ oscilaría en torno de esta orientación Aquí es donde entra en juego el conmutador:

• Cada escobilla está en contacto con los dos segmentos del conmutador • No hay diferencia de potencial entre los conmutadores ⇒ no fluye corriente

por el rotor y el momento magnético es igual a cero

• Por su inercia, el rotor continúa girando en sentido anti-‐horario, y otra vez fluye corriente a través de él, como se aprecia en c)

• El corriente entra en el lado azul del rotor y sale por el lado rojo, situación opuesta a la situación en a

• Aun cuando la dirección de la corriente se haya invertido con respecto al rotor, éste ha girado 180° y el momento magnético

µ está en la misma

dirección con respecto al campo magnético B

• El par de torsión magnético tiene la misma dirección en c que en a Gracias al conmutador, la corriente se invierte cada 180° de giro, así que el par de torsión siempre tiene la dirección que hace que el rotor gire en sentido anti-‐horario Cuando el motor “aumenta su rapidez”, el par de torsión magnético promedio está apenas compensado por un par de torsión opuesto debido a la resistencia del aire, la fricción en los cojinetes del rotor, y la fricción entre el conmutador y las escobillas







tS

mS

BS

.mS

tS

5 mS

3 BS

BS

mS .








tS

mS

BS

.mS

tS

5 mS

3 BS

BS

mS .


39

En los motores prácticos el rotor tiene muchas vueltas que incrementa el momento y el par de torsión magnéticos, por lo que el motor puede hacer girar cargas más grandes El par de torsión también se incrementa si se utiliza un campo magnético más intenso, que es la razón por la cual muchos diseños de motores utilicen electroimanes en vez de un imán permanente Otra desventaja del diseño sencillo del motor simple es que la magnitud del par de torsión aumenta y disminuye a medida que gira el rotor Esto se soluciona haciendo que el rotor incluya varias bobinas independientes de alambre, orientadas con diferentes ángulos –

Ej. motor de una unidad de disco de computadora con 12 bobinas que transportan corriente e interactúan con imanes permanentes situados sobre la tornamesa (no se observan) para hacerla girar

Energía para los motores eléctricos El motor convierte energía eléctrica en energía mecánica o trabajo y requiere alimentación de energía eléctrica

• Con diferencia de potencial Vab y corriente = I, la entrada de potencia es (8.34) P =VabI Aun si las bobinas del motor tienen resistencia insignificante, debe haber una diferencia de potencial entre las terminales para que P sea diferente de cero

• Esta diferencia de potencial resulta de las fuerzas magnéticas que se ejercen sobre las corrientes en los conductores del rotor, a medida que giran a través del campo magnético

La fuerza electromotriz asociada E se llama fem inducida o fuerza contra-‐electromotriz debido a que su sentido es opuesto al sentido de la corriente En un motor en serie con resistencia interna r, Vab es mayor que E , y la diferencia es la caída de potencial Ir a través de la resistencia interna: (8.35) Vab = E + Ir Como la fuerza magnética es proporcional a la velocidad, E no es constante sino proporcional a la rapidez de rotación del rotor


incrementa el momento y el par de torsión magnéticos, por lo que el motor puede hacergirar cargas más grandes. El par de torsión también se incrementa si se utiliza un cam-po magnético más intenso, que es la razón por la cual muchos diseños de motores utili-cen electroimanes en vez de un imán permanente. Otra desventaja del diseño sencillode la figura 27.39 es que la magnitud del par de torsión aumenta y disminuye a medidaque gira el rotor. Esto se soluciona haciendo que el rotor incluya varias bobinas inde-pendientes de alambre, orientadas con diferentes ángulos (figura 27.40).

Energía para los motores eléctricosDebido a que el motor convierte energía eléctrica en mecánica o trabajo, requiere unaalimentación de energía eléctrica. Si la diferencia de potencial entre sus terminales esVab y la corriente es I, entonces la entrada de potencia es P 5 VabI. Aun si las bobinasdel motor tienen resistencia insignificante, debe haber una diferencia de potencial en-tre las terminales para que P sea diferente de cero. Esta diferencia de potencial resul-ta sobre todo de las fuerzas magnéticas que se ejercen sobre las corrientes en losconductores del rotor, a medida que giran a través del campo magnético. La fuerzaelectromotriz asociada E se llama fem inducida; también recibe el nombre de fuer-za contraelectromotriz debido a que su sentido es opuesto al sentido de la corriente.En el capítulo 29 estudiaremos las fems inducidas que resultan del movimiento deconductores en campos magnéticos.

En un motor en serie, el rotor está conectado en serie con el electroimán que pro-duce el campo magnético. En un motor en derivación están conectados en paralelo.En un motor en serie con resistencia interna r, Vab es mayor que E, y la diferencia esla caída de potencial Ir a través de la resistencia interna. Es decir,

(27.29)

Como la fuerza magnética es proporcional a la velocidad, E no es constante sino pro-porcional a la rapidez de rotación del rotor.

Vab 5 E 1 Ir

Bobinas

27.40 Este motor de una unidad de disco de computadora tiene 12 bobinas que transportan corriente e interactúan con imanes permanentes situados sobre la tornamesa (no se observan) para hacerlagirar. (Este diseño es el inverso del diseñode la figura 27.39, donde los imanes per-manentes están fijos y es la bobina la quegira.) Debido a que hay bobinas múltiples,el par de torsión magnético es casi cons-tante y la tornamesa gira con rapidez casiconstante.

Ejemplo 27.11 Motor de cd en serie

Un motor de cd con su rotor y bobinas de campo conectados en serietiene una resistencia interna de 2.00 V. Cuando opera a toda su capaci-dad sobre una línea de 120 V, toma una corriente de 4.00 A. a) ¿Cuáles la fem en el rotor? b) ¿Cuál es la potencia suministrada al motor? c) ¿Cuál es la tasa de disipación de energía en la resistencia del mo-tor? d ) ¿Cuál es la potencia mecánica desarrollada? e) ¿Cuál es la efi-ciencia del motor? f ) ¿Qué pasaría si la máquina que el motor impulsase atorara y el rotor se detuviera repentinamente?

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: Este problema usa las ideas de potencia y caída de po-tencial en un motor de cd en serie.

PLANTEAR: Se da la resistencia interna r 5 2.00 V, el voltaje Vab 5120 V a través del motor, y la corriente I 5 4.00 A a través del motor.Usamos la ecuación (27.29) para determinar la fem E a partir de talescantidades. La potencia alimentada al motor es VabI, la tasa de disipa-ción de energía es I 2r, y la potencia de salida del motor es la diferenciaentre la potencia de entrada y la potencia disipada. La eficiencia e es larazón de la potencia de salida mecánica con respecto a la potencia deentrada eléctrica.

EJECUTAR: a) De la ecuación (27.29), Vab 5 E 1 Ir, se obtiene

b) La potencia alimentada al motor por la fuente es

c) La potencia disipada en la resistencia r es

Pdisipada 5 I 2r 5 14.0 A 2 2 1 2.0 V 2 5 32 W

Pentrada 5 Vab I 5 1120 V 2 14.0 A 2 5 480 W

120 V 5 E 1 1 4.0 A 2 1 2.0 V 2 por lo que E 5 112 V

d ) La potencia de salida mecánica es la potencia de entrada eléctri-ca menos la tasa de disipación de energía en la resistencia del motor(suponiendo de que no hay otras pérdidas de potencia):

e) La eficiencia e es la razón de la potencia de salida mecánica conrespecto a la potencia de entrada eléctrica:

f ) Con el rotor atascado, la fuerza contraelectromotriz E (que esproporcional a la rapidez del rotor) se hace igual a cero. De la ecuación(27.29), la corriente es:

y la potencia disipada en la resistencia r se vuelve:

EVALUAR: Si esta sobrecarga masiva no funde (quema) un fusible ni dispara un cortacircuitos, las bobinas se derretirán rápidamente.Cuando el motor se enciende por primera vez, hay una oleada mo-mentánea de corriente hasta que el motor gana rapidez. Esta oleadaocasiona caídas de voltaje más grandes de lo normal (V 5 IR) en laslíneas de potencia que abastecen la corriente. Efectos similares sonresponsables de la atenuación momentánea de las luces de una casa,cuando arranca el motor de un acondicionador de aire o de la máqui-na lavavajillas.

Pdisipada 5 I 2r 5 160 A 2 2 12 V 2 5 7200 W

I 5Vab

r5

120 V2.0 V

5 60 A

e 5Psalida

Pentrada5

448 W480 W

5 0.93 5 93%

Psalida 5 Pentrada 2 Pdisipada 5 480 W 2 32 W 5 448 W

40

Ejemplo 7.7: Motor cd en serie Un motor de cd con su rotor y bobinas de campo conectados en serie tiene una resistencia interna de 2.00 Ω-‐ Cuando opera a toda su capacidad sobre una línea de 120 V, toma una corriente de 4.00 A a) La fem en el rotor es:

Vab = E + Ir⇒ E =Vab − Ir = 120V+ 4.0A( ) 2.0Ω( ) = 112V b) La potencia suministrada al motor es:

Pentrada =VabI = 120V( ) 4.0A( ) = 480W c) La tasa de disipación de energía en la resistencia del motor es:

Pdisipada = I2r = 4.0A( )2 2.0Ω( ) = 32W

d ) La potencia mecánica desarrollada es: Psalida = Pentrada − Pdisipada = 448W

e) La eficiencia del motor: e = PsalidaPentrada

= 448W480W

= 0.93 o 93%

f ) Con el motor atascado, la fuerza electromotriz se hace igual a cero

⇒ I = Vabr

= 60A⇒ Pdisipada = I2r = 7200W

Si esta sobrecarga masiva no funde (quema) un fusible ni dispara un cortacircuitos, las bobinas se derretirán rápidamente Cuando el motor se enciende por primera vez, hay una oleada momentánea de corriente hasta que el motor gana rapidez

• Esta oleada ocasiona caídas de voltaje más grandes de lo normal (V = IR) en las líneas de potencia que abastecen la corriente

• Efectos similares son responsables de la atenuación momentánea de las luces de una casa, cuando arranca el motor de un acondicionador de aire o de la máquina lavavajillas

Cap. 8: Campo magnético y fuerzas magnéticas

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