cap03-03

Versión 2014

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

CCAAPPIITTUULLOO 33

TTEENNSSIIOONNEESS YY DDEEFFOORRMMAACCIIOONNEESS.. RREEVVIISSIIÓÓNN DDEE

PPRRIINNCCIIPPIIOOSS FFÍÍSSIICCOOSS

División 3

Diversos Modelos de análisis y cálculo

Casos de Estudio

Versión 2014


1. Introducción

En esta parte se resumen algunos modelos sencillos ya vistos en los cursos anteriores de

Estabilidad I y II y Mecánica de Sólidos para el cálculo de piezas y/o dispositivos. En estos

casos no se suministrarán deducciones específicas, ya que pertenecen al alcance de las

asignaturas mencionadas. Por otro lado se suministrarán descripciones de modelos de cálculo

más refinados para enfrentar la solución de problemas devenidos por la limitación de algunos

de los modelos clásicos donde su aplicación deja de tener seguridad por no cumplirse las

hipótesis en que se basan los mismos.

2. Modelos de Barras

En la Figura 3.35 se muestra una viga sometida a cargas generales además de evidenciar las

variables cinemáticas que se utilizan normalmente para caracterizar el comportamiento de una

viga. En ella se ven claramente los desplazamientos y rotaciones flexionales en las dos

direcciones, junto con el desplazamiento axial y la rotación torsional. De acuerdo al tipo de

geometría seccional, las ecuaciones de equilibrio de un modelo u otro pueden ser

desacopladas o no. En términos generales un modelo de viga contemplará tres grupos de

ecuaciones diferenciales:

- Las que caracterizan el movimiento axial

- Las que caracterizan el movimiento torsional

- Las que caracterizan el movimiento flexional

Figura 3.35. Descripción de una viga y sus variables más importantes

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NOTA: El conjunto de ecuaciones que completan un modelo dependerá de la precisión y

detalle que amerite la solución, el cual podrá ser de 3, 4 o 6 ecuaciones.

El modelo de barra solicitada axialmente

En la Figura 3.36 se muestra una barra sometida a solicitaciones axiales. Para esta viga se

supone que la sección se mantiene totalmente plana antes y después de la deformación. La

ecuación diferencial para este movimiento es:

0xqx

Qx

X

)( (3.96)

donde QX y qx(x) son el esfuerzo normal y la carga distribuida a lo largo de la barra,

respectivamente. El esfuerzo normal se calcula con

x

uEAQ xo

X

(3.97)

Las posibles condiciones de borde para resolver la ecuación son:

Nombre de la condición Identificación Forma Matemática en los

desplazamientos

Borde Fijo Desplazamiento nulo 0uxo

Borde Libre esfuerzo normal nulo 0x

u xo

Borde con carga PX esfuerzo normal no nulo X

xo Px

uEA

Tabla 3.10. Condiciones de borde típicas para la teoría de vigas de Bernouilli-Euler.

El modelo de flexión: Teoría de Bernouilli-Euler

El modelo de se basa en las siguientes hipótesis:

- Se supone planitud de la sección transversal antes y después de la deformación

- Se supone la presencia solamente de un estado uni-axial de tensiones en la dirección

del eje lo que implica existencia de flexión pura.

- El material es isótropo, homogéneo y verifica la ley de Hooke

- La viga es recta con sección constante y de doble simetría en todo el dominio.

En estas circunstancias las ecuaciones de equilibrio de la viga vienen dadas por el siguiente

modelo matemático:

0xqx

My2

y

2

)( , 0xq

x

Mz2

z

2

)( (3.98)

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siendo qy(x) y qz(x) funciones de distribución de carga, en tanto que My y Mz son los

momentos flectores en las direcciones y y z. Los momentos flectores pueden escribirse en

función de los desplazamientos como:

2

yo

2

zzx

uEIM

,

2

zo

2

yyx

uEIM

(3.99)

Siendo uyo y uzo los desplazamientos del centroide (ubicado en la línea neutra) de la sección en

las direcciones y y z. Por otro lado, se tendrá presente la relación existente entre los momentos

flectores y los esfuerzos cortantes, definida por:

)(xQx

Mz

y

, )(xQ

x

My

z

(3.100)

Las rotaciones flexionales se definen de la siguiente manera:

x

u yo

z

,

x

u zo

y

(3.101)

Queda claro que los momentos flectores son proporcionales a las derivadas primeras de las

rotaciones flexionales. Por otro lado, los signos de los momentos flectores y rotaciones se

pueden fijar por convención previamente declarada o bien de acuerdo con las direcciones del

sistema de referenciación.

Se puede apreciar que para la solución de (3.96)-(3.97) es necesario contar con una serie de

condiciones de borde en términos de los desplazamientos, las cuales se discriminan en la

siguiente Tabla 3.11.


desplazamientos

Borde Fijo (o empotrado)

Desplazamiento Nulo 0u zo , 0u yo

Rotación Nula 0x

u zo

, 0

x

u yo

Borde Libre

Momento flector Nulo 0x

u2

zo

2

, 0

x

u

2

yo

2

Esfuerzo cortante Nulo 0x

u3

zo

3

, 0

x

u

3

yo

3

Extremo Articulado


Momento Nulo 0x

u2

zo

2

, 0

x

u

2

yo

2

Tabla 3.11. Condiciones de borde típicas para la teoría de vigas de Bernouilli-Euler.

Por otro lado la ecuación de resistencia que relaciona los esfuerzos con las tensiones, en un

punto (y, z) de la sección de la viga (Ver Figura 3.36a), viene dada por la siguiente expresión:

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yI

xMz

I

xMzyx

z

z

y

y

xx ,, (3.102)

(a) (b)

Figura 3.36. (a) Sección resistente a flexión (b) esquema para el cálculo de tensiones cortantes

Ahora bien, para el cálculo de la tensión de corte en la sección transversal se tendrán las

siguientes expresiones (Jourawski-Colignon):

)(, ySbI

xQyx z

yz

y

xy ,

)(, zSbI

xQzx y

zy

zxz (3.103)

donde by y bz son los anchos de la faja donde se calcula el estado tensional en las direcciones y

y z respectivamente, según se ve en la Figura 3.36b, y además:

cy

yz dAyyS .)( ,

cz

zy dAzzS .)( (3.104)

Las tensiones cortantes máximas se obtendrán en los ejes neutros y es claro que la valoración

de las mismas dependerá del tipo de sección. En la siguiente Figura se muestra unos casos

típicos de tensiones máximas en la dirección y.

Figura 3.37. Casos típicos de tensiones cortantes máximas

El modelo de flexión: Teoría de Timoshenko

Este modelo permite mejorar la respuesta de la teoría de Bernouilli-Euler cuando la razón

entre la longitud de la viga y la principal dimensión de la sección comienza a ser cada vez

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más pequeña. Esto significa vigas de aspecto más robusto como se pueden ver en la Figura

3.36. La teoría de Timoshenko se basa en las mismas hipótesis que la teoría de Bernouilli-

Euler, aunque con el agregado de algunas adicionales a saber:

- Se supone la presencia de un estado de tensiones cortantes en la sección de la viga.

- La rotación flexional se considera como una variable independiente no asociada con

los desplazamientos flexionales.

Para simplificar el proceso deductivo, que se dará en forma completa a partir de suponer el

campo de desplazamientos, se procederá a reducir el problema flexional a un solo plano, para

ir fijando ideas en el plano XY, y posteriormente se extenderá el problema flexional a dos

planos.

Para deducir las ecuaciones de equilibrio de flexión según la teoría de Timoshenko se

empleará el principio de trabajos virtuales considerando los desplazamientos virtuales como

entidades arbitrarias.

Ahora bien, de acuerdo con las hipótesis de la teoría, el campo de desplazamiento para una

viga en flexión se puede reducir a las siguientes expresiones:

)(),(

)(),(

xuyxu

yxyxu

yoy

zx

(3.105)

Para interpretar el sentido de (3.105) se puede observar la Figura 3.38.

Ahora reemplazado (3.105) en las relaciones (3.43) y (3.44) para hallar las deformaciones se

tiene:

zyo

xy

xy

y

yy

zzx

xx

uy

u

x

u

y

u

yyxx

u

0 (3.106)

En la Expresión (3.106) se utiliza el apóstrofo para indicar la derivación con respecto a la

variable x. Con la descripción cinemática puesta en evidencia en las expresiones (3.105) y

(3.106) es claro que plano de la sección transversal (que se mantiene siempre plana) de la

viga, no es perpendicular al eje neutro una vez deformada la misma. Para ello se puede ver la

comparación entre las teorías Bernoulli-Euler y Timoshenko en la Figura 3.39. Por otro lado

recuérdese que según la teoría de flexión clásica (i.e Teoría de Bernoulli-Euler), la

deformación axial es proporcional a la derivada de la rotación flexional (3.101) definida en

función de la primer derivada del desplazamiento flexional del eje neutro, y en consecuencia

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de la tangente de la curva de deformación del eje neutro. Adicionalmente de la (3.106) se

tiene que la deformación por corte transversal no es nula y en consecuencia la tensión cortante

no es nula. Luego suponiendo nulas todas las componentes del tensor de tensiones, excepto

xx y xy, la energía de deformación y el trabajo de las fuerzas externas vendrá dado por la

siguiente expresión:

LyoP

V

xyxyxxxx

dxuxqW

dAdx2

1U

)(

(3.107)

(a) (b)

Figura 3.38. Sección transversal. (a) sentido de giro y movimiento (b) corte transversal

Figura 3.39. Comparación de los desplazamientos entre las teorías B-E y Timoshenko

La expresión (3.107) puede ser replanteada en términos de los desplazamientos y

deformaciones virtuales, de tal manera que el principio de trabajos virtuales queda descripto

por la siguiente expresión:

0dxuxqdAdxWU

VL

yoxyxyxxxxP )( (3.108)

Donde el operador “” tiene el significado de entidad virtual aplicable solo a deformaciones y

desplazamientos (Ver referencias [4,6] para mayores explicaciones y/o detalles). Luego,

reemplazando (3.105) y (3.106) en (3.108), se puede obtener la siguiente expresión:

0dxuxqdAdxuyWUL

yo

V

zyoxyzxxP )( (3.109)

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En (3.109) teniendo en cuenta las ecuaciones constitutivas de las tensiones en términos de las

deformaciones se pueden definir los esfuerzos, momento flector y esfuerzo de corte de la

siguiente manera:

A

zyo

A

zyoxyy

zz

A

2

z

A

xxz

uGAdAuGdAxQ

EIdAyEydAxM

)(

)(

(3.110)

Antes de proseguir, es importante el análisis de un par de cosas. En primer lugar la

deformación por corte obtenida en (3.106) no es función de la variable y, en consecuencia, por

(3.47) la tensión cortante tampoco será función de y. Esto contradice la evidencia de que las

tensiones cortantes de una viga varían con la variable y, según (3.103). Para tener una mejor

representación de la energía (o trabajo virtual) de las tensiones de corte se empleará la

fórmula de Colignon-Jourawski. Para ello si se consideran dos situaciones:

a) si se analiza el desplazamiento de una sección sin considerar el alabeo (ver Figura

3.38b) se tendrá que la energía de deformación de corte por unidad de longitud viene

dada por

A

2

xyA

2

xy

1C dA2

GdA

G2

1E

(3.111)

b) Ahora si se considera la fórmula de Colignon-Jourawski correspondiente (3.103), la

energía de deformación de corte por unidad de longitud viene dada por:

A

2

yz

zy

2C dAbI

ySxQ

G

1

2

1E

)( (3.112)

Es verifica que 2C1C EE y entre ellas se puede establecer una relación como la siguiente:

1C

2C

E

E (3.113)

El coeficiente se lo denomina coeficiente de corte de Timoshenko y es diferente para cada

sección (en la Tabla 3.12 se muestran valores para algunas secciones) y en virtud de (3.113),

el esfuerzo de corte (3.110) se puede reemplazar por (3.114).

zyoy

zzz

uGAxQ

EIxM

)(

)( (3.114)

Ahora bien, con las definiciones (3.114) se puede rescribir (3.109) de la siguiente forma:

0dxuxquQMWU

L

yozyoyzzP )( (3.115)

Nótese que las variables virtuales se hallan con órdenes de derivación cero y uno, luego se

tiene que integrar por partes para obtener la expresión anterior en términos de los

desplazamientos virtuales:

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0uQMdxuxqQQMWUL0xyoyL0xzz

L

yoyzyzP ,,

)( (3.116)

Las ecuaciones diferenciales de equilibrio se pueden hallar de (3.116) teniendo en cuenta que

you y z son cantidades arbitrarias. Luego se deben cumplir las siguientes ecuaciones

diferenciales de equilibrio:

0xqQ

0QM

y

yz

)( (3.117)

junto con las condiciones de borde:

0Q

0M

L0xy

L0xz

,

,

o 0u0u

00

L0xyoL0xyo

L0xzL0xz

,,

,,

(3.118)

Entonces la solución se obtiene resolviendo (3.117) sujetas a las condiciones (3.118). En la

Tabla 3.13 se pueden obtener algunos casos de condiciones de borde típicas.

Tipo de sección Valor del coeficiente de corte

Rectangular o cuadrada Maciza 5/6

Rectangular o cuadrada hueca 5/12

Circular 6/7

Perfil I en la dirección del alma 0.296

Tabla 3.12. Coeficientes de corte para algunas secciones típicas


desplazamientos

Borde Fijo (o empotrado) Desplazamiento Nulo 0u zo , 0u yo

Rotación Nula 0z , 0y

Borde Libre

Momento flector Nulo 0x

z

, 0

x

y

Esfuerzo cortante Nulo 0x

uy

zo

, 0

x

uz

yo

Extremo Articulado


Momento Nulo 0x

z

, 0

x

y

Tabla 3.13. Condiciones de borde típicas para la teoría de vigas de Timoshenko.

En cuanto a la valoración del estado tensional, en la Teoría Timoshenko se emplea el mismo

criterio que en la Teoría Bernouilli-Euler, basado en las ecuaciones (3.102) o (3.103).

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A continuación se verán dos ejemplos para distinguir las dos teorías flexionales. En el primer

caso se comparan las soluciones para una viga empotrada en ambos extremos sometida a una

carga distribuida uniforme. En (3.119) y (3.120) se muestran las soluciones obtenidas

(mediante Mathematica) para la teoría B-E y la Timoshenko, respectivamente, para una viga

de sección circular y longitud unitaria (L=1). Obsérvese que la solución del desplazamiento

uyo, según la Teoría Timoshenko, es igual a la suma de la solución de la Teoría B-E más los

términos devenidos del corte por flexión. En la Figura 3.40.a se muestra la diferencia entre

ambas para una relación D/L=0.1 y en la Figura 3.40.b para una relación D/L=0.3.

3

42

z

yo x2

xx

EI12

qxu )( (3.119)

32

z

z

2342

z

yo

x2x3xEI12

qx

xxGA2

qx

2

xx

EI12

qxu

)(

)(

(3.120)

En la Figura 3.41 se puede apreciar la comparación experimental entre las dos teorías para un

tubo estructural de aluminio de sección rectangular, empotrado en un extremo y con carga en

el otro. Nótese la diferencia que hay entre una teoría y otra con respecto a los resultados

experimentales.

(a) (b)

Figura 3.40. Comparación de desplazamientos entre teorías de flexión

Figura 3.41. Comparación experimental de desplazamientos entre teorías de flexión

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En la hoja de cálculo de Mathematica “Vigas.nb” (ver página web de la asignatura) se

muestra la solución y comparación de varios casos adicionales de las teorías B-E y

Timoshenko.

El modelo de torsión: Teoría de Coulomb

Esta teoría se basa en la hipótesis de que la sección de la barra se mantiene plana y sin la

existencia de alabeo. En consecuencia es una teoría sólo aplicable a vigas cilíndricas de

sección hueca o maciza y en forma aproximada a vigas troncocónicas de baja conicidad,

según se muestra en la Figura 3.42. En estas circunstancias, la ecuación de equilibrio derivada

de conceptos de estabilidad I y II se presenta como:

0xmx

Mx

x

(3.121)

siendo Mx el momento torsor definido por (3.122) y mx(x) el momento torsor distribuido por

unidad de longitud.

x

GJM x

x

(3.122)

En (3.122), G, J y x son el módulo de elasticidad transversal, el momento de inercia polar y

el ángulo de giro torsional específico, respectivamente.

Para resolver (3.121) se pueden emplear las siguientes condiciones de borde:


desplazamientos

Borde Fijo (o empotrado) Rotación Torsional Nula 0x

Borde Libre Momento torsor Nulo 0x

x

Tabla 3.14. Condiciones de borde típicas para la teoría de vigas de torsión de Coulomb.

Figura 3.42. Estructura esbelta troncocónica.

Nota: Cuando se tenga entre manos un problema en el cual aparezcan diferentes

solicitaciones, flexionales, torsionales y axiales, una primera medida de análisis es, dentro de

lo posible, desacoplar las ecuaciones de movimiento en casos particulares representados en

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cada uno de los apartados anteriores. De lo contrario será necesario evaluar otro método de

análisis como por ejemplo las soluciones de elementos finitos sólidos.

Modelos Extendidos para Barras.

En la mecánica estructural de estructuras esbeltas se pueden presentar situaciones que por la

geometría de las vigas, no sea posible utilizar los modelos simplificados presentados en los

apartados anteriores. Vigas con secciones de paredes delgadas (perfiles estructurales U, L, I,

etc.) sometidas a esfuerzos generalizados presentan un comportamiento mecánico fuertemente

acoplado en lo estructural, es decir que difícilmente el modelo de cálculo pueda reducirse a la

separación de los grupos de ecuaciones de cada movimiento en particular. Estos modelos

suelen ser complejos para un planteo de solución analítica y exigen como forma de solución,

un enfoque numérico. Aquellos que estén interesados en tales metodologías, que exceden el

tratamiento del presente curso de elementos de máquina, se pueden dirigir a las referencias

[5,6,10,11,12,13,14,15] para abundar en detalles específicos de modelación, análisis y cálculo

de elementos estructurales unidimensionales, tanto de materiales isótropos como anisótropos.

3. Tensiones en Cilindros.

En los cilindros hidráulicos, recipientes sometidos a presión, tuberías que conducen fluidos a

muy alta presión, tubos de armas de fuego, etc. suelen presentarse estados tensionales radiales

y tangenciales muy altos que dependen mayormente del radio del cilindro. Se considera qeu

una sección rectangular plana (en la dirección del eje) del cilindro se mantendrá plana luego

de la deformación. En estas circunstancias se puede demostrar (Ver referencia [16]) que las

tensiones radiales y tangenciales cuando actúan presiones internas y externas en los cilindros

vienen dadas por:

2

i

2

0

2

i0

2

0

2

i

2

00

2

ii

rrr

rpprrrprp

/ (3.123)

2

i

2

0

2

i0

2

0

2

i

2

00

2

ii

trr

rpprrrprp

/ (3.124)

donde , pi, po son las presiones internas y externas, respectivamente. ro y ri son los radios

externo e interno, respectivamente y r es un radio genérico entre ri y ro. En el caso de que no

exista presión externa o se la pueda considerar nula se tendrá la siguiente reducción de las

ecuaciones anteriores:

2

2

o

2

i

2

0

2

ii

rr

r1

rr

rp (3.125)

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2

2

o

2

i

2

0

2

ii

tr

r1

rr

rp (3.126)

La variación de estas cantidades se puede ver gráficamente en la siguiente Figura 3.43.

Figura 3.43. Variación de las tensiones en un cilindro de pared gruesa.

Nota: la tensión tangencial se la suele denominar también tensión circunferencial.

En el caso de que el espesor del tubo sea pequeño y no haya presión externa, se puede

prescindir de la tensión radial (ver Figura 3.44), y se podrá considerar solo la tensión

tangencial promedio cuyo valor viene dado por:

e2

dp ii

promt , (3.127)

Donde di y e son el diámetro interior y el espesor del cilindro.

Nota: los contenidos vistos en este apartado son los rudimentos fundamentales para encarar el

análisis tensional en recipientes sometidos a presión según el Código ASME sección VIII lo

cual es materia de la asignatura “Diseño de Máquina”. Sin embargo, en elementos de máquina

se utilizarán para el cálculo de tensiones en cilindros hidráulicos y en problemas semejantes.

Ajustes a presión por contracción.

Cuando se ensamblan dos partes cilíndricas por contracción a presión, la una sobre la otra se

crea una presión de contacto. La forma para calcular las tensiones de ajuste se puede obtener a

partir de las hipótesis de análisis del apartado anterior.

En la Figura 3.44a se muestran dos elementos cilíndricos que por contracción se han

ensamblado como lo muestra al Figura 3.44b. Sobre las superficies del radio de transición R

se forma una presión supuesta igual en cada punto de valor p. Entonces de las ecuaciones

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(3.123)-(3.126) se puede obtener las presiones tangencial y radial de transición en el cilindro

interno según (3.128) y en el cilindro externo según (3.129).

pR

rR

rRpR

ir

2

i

2

2

i

2

it

)( (3.128)

pR

Rr

RrpR

or

22

0

22

0

ot

)( (3.129)

Las dos ecuaciones anteriores no pueden resolverse pues no se conoce la presión de transición

p. Para hallarla, es necesario fijar una ecuación que relacione tensiones con desplazamientos,

lo cual se logra recurriendo al concepto de interferencia radial.

Figura 3.44. Cilindros sujetos a contracción y a efectos de interferencia.

La interferencia radial se puede apreciar en la Figura 3.44a, donde se ve claramente como el

cilindro interno se contrae y el cilindro externo se expande, uno por la acción del otro. La

interferencia radial se obtiene como la suma de los desplazamientos absolutos que exhiben los

cilindros, es decir

oi (3.130)

La deformación tangencial en el radio R del cilindro exterior se mide como la diferencia

circunferencial, es decir:

RRR2

R2R2oto

oo

ot

)( (3.131)

Téngase presente que la deformación tangencial se puede representar en términos de la

tensión tangencial actuante como:

o

or

o

ot

otEE

(3.132)

Donde las tensiones se obtienen con (3.128) y Eo es el módulo de elasticidad del cilindro

externo. Con lo cual reemplazando la (3.128) se tiene:

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o22

0

22

0

o

oRr

Rr

E

pR (3.133)

Se procede de la misma manera con el cilindro interno de manera que

i2

i

2

2

i

2

i

irR

rR

E

pR (3.134)

Reemplazando (3.133) y (3.134) en (3.130) se obtiene la interferencia total

i2

i

2

2

i

2

i

o22

0

22

0

o rR

rR

E

pR

Rr

Rr

E

pR (3.135)

Si se tiene el valor de la interferencia pretendida es decir , luego de la (3.135) se puede

despejar la presión, y en el caso que los dos materiales sean idénticos ( EEE oi ), se tendrá

el siguiente valor de la presión:

2

i

2

0

2

i

222

0

3 rr

rRRr

R2

Ep

(3.136)

Nota: La presión de contacto según (3.136) y los valores de las tensiones tangenciales se han

obtenido bajo la suposición de que los dos cilindros tienen la misma longitud. En el caso de

que se tenga que ajustar por presión una masa o un rotor (por ejemplo un volante) este tipo de

suposición no vale y se presentan tensiones en los bordes de los anclajes, como se muestra en

la Figura 3.45 que normalmente se analizan con factores de concentración de tensiones, cuyos

valores rara vez son superiores a 2.

Figura 3.45. Zona de concentraciones de tensiones por interferencia.

Esfuerzos y tensiones de origen térmico.

Un cuerpo sin restricciones, se dilata por efecto del incremento de temperatura, de manera

uniforme en todas sus direcciones, en consecuencia las componentes normales del tensor de

deformación son todas iguales y vienen dadas por la siguiente relación:

Tzzyyxx (3.137)

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donde y T son el coeficiente de dilatación térmica y el incremento de temperatura

respectivamente. Si una barra recta se restringe rígidamente en ambos extremos el estado

tensional compresivo en la barra, luego de un incremento

TEE xxxx (3.138)

Por otro lado si se restringe una plancha plana (estado plano de tensión) en dos extremos, la

tensión normal en la dirección restringida será:

1

TExx

(3.139)

En casos donde existe una geometría compleja y la temperatura sea una variable en cada

punto del dominio de estudio, la forma de obtener el estado tensional asociado a variaciones

térmicas, es bastante más complejo que el presentado en las expresiones anteriores, y requiere

de la solución de un conjunto de ecuaciones diferenciales acoplado. Este tipo de análisis

excede los objetivos de un primer curso de elementos de máquina.

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Ejemplo y Caso de Estudio:

En la siguiente Figura se ve un puente basculante cuyo pivote se construye incrustando por

interferencia un eje dentro de un núcleo que se halla soldado o atornillado a la estructura.

Puente basculante y su pivote (tomado de A.Kaw [19]).

Para poder encajar el eje en el núcleo es necesario primero enfriar el eje para contraerlo, luego

deslizarlo dentro del núcleo y finalmente al dilatarse a temperatura ambiente se encaja por

interferencia. El proceso de enfriamiento en casos de piezas de dimensiones considerables

suele ser costoso y delicado y un error tanto en el procedimiento de anclaje como en el

procedimiento de cálculo y determinación de la temperatura de enfriamiento, puede conducir

a pérdidas de tiempo y dinero desastrosas, tal como se verá a continuación.

En 1995 en uno de los puentes basculantes del Estado de Florida (Estados Unidos N.A.) el

procedimiento de ensamble no funcionó. Ocurrió que el eje se encastró antes de ser

completamente introducido en el núcleo. Una vez que esto sucede es imposible retroceder y se

debió construir un nuevo núcleo y un nuevo eje a un costo de U$ 50.000. El costo del núcleo,

del eje, sumados a la demora de tiempo, implicó una perdida total de U$ 110.000.

Versión 2014


Una pregunta surge. ¿Por qué el eje se atoró antes de tiempo?. La respuesta es inmediata,

porque no fue suficientemente enfriado y no se contrajo lo suficiente antes de ser introducido

en el núcleo.

Se ha contratado al mismo estudio de ingeniería para calcular y construir otro puente

basculante con dimensiones diferentes. En estas circunstancias es necesario establecer

metodologías más depuradas para evitar problemas. Para este nuevo puente basculante el

diámetro externo del eje es de 12.363 pulg y el diámetro interno del núcleo es de 12.358 pulg.

con lo cual se presenta una interferencia de 0.005 pulg (0.127 mm).

La idea operativa original era sumergir el eje en una mezcla de hielo seco y alcohol a una

temperatura mínima posible de –108°F para contraer el eje hasta que se produzca un huelgo

diametral especificado por experiencias previas en 0.010 pulg. (El doble de la interferencia).

La temperatura ambiente se supone a 80°F

La pregunta es; ¿será correcto emplear la mezcla de hielo seco y alcohol para enfriar el eje,

sin que se contraiga antes?

Solución:

En primera instancia observando la memoria de cálculo original se ve que se han utilizado los

siguientes datos:

- Coeficiente de dilatación de fundición de acero (a Ta = 80°F): = 6.817 10-6

1/°F

- Diferencia de temperatura: T = Tf – Ta = -108 – 80 = -188°F.

- Diámetro inicial del eje: De = 12.363 pulg.

En consecuencia la contracción del eje será

lg. pu015040TDDDD eefe (C.1)

Donde Dfe es el diámetro final del eje. Ahora cabría preguntarse si semejante contracción es

suficiente para la operación de ensamblado. Aparentemente si, puesto que la contracción del

eje que se calcula de la siguiente manera (Ver Figura)

lg.... pu0150000103581236312dDDd haec (C.2)

Entonces comparando, se ve que lo que predice (C.1) con la contracción que realmente se

necesita, permitiría asegurar que la temperatura de enfriamiento sea de –108°F.

Ajustes y tolerancias.

Versión 2014


Variación del coeficiente de expansión Térmica con la Temperatura.

Ahora bien si se observa la anterior, que muestra la variación del coeficiente de dilatación

térmica de la fundición de acero con respecto a la temperatura, se ve que no es una función

constante. En estas circunstancias la contracción vendrá dada por la siguiente expresión

fT

aT

e TTDD (C.3)

Donde el coeficiente a(T) se obtiene por aproximación polinómica de segundo grado como:

69211 10x01506T10x19466T10x22781T ... (C.4)

En consecuencia como se desea una contracción dada por (C.2), para hallar la temperatura de

enfriamiento Tf se reemplaza (C.2) y (C.4) en (C.3), se integra y se resuelve numéricamente la

ecuación cúbica resultante. En el Cuadro C1 se muestra una notebook de Mathematica para la

resolución del problema.

Cuadro Notebook de Mathematica para la solución de la ecuación cúbica.

Versión 2014


Se puede apreciar entonces que de las tres raíces de la ecuación cúbica, la temperatura de

enfriamiento más cercana es –128.753°F, es decir que se debe enfriar más de los –108°F que

se supuso al principio.

Por otro lado, de enfriar a –108°F, se hubiera obtenido una contracción de –0.0136891 pulg,

es decir menor a lo especificado. Aunque el diámetro del eje contraído sea menor que el

diámetro del núcleo, existe mayor riesgo a encajarse antes de culminar la operación.

Entonces como conclusión el hecho de usar una hipótesis de cálculo con el coeficiente de

dilatación térmica constante, condujo a una sobrestimación de la contracción efectiva, lo cual

puede poner en riesgos el proceso de encastre. Sin embargo para asegurar el uso de la mezcla

de hielo seco y alcohol es necesario establecer cuál es el riesgo real de pre-encastre y esto se

hace evaluando un problema transitorio de dilatación, lo que trae aparejada la solución de

ecuaciones diferenciales de campo acoplado para la fundición de acero.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4. Deformaciones y Tensiones Elementos Curvos

En este apartado se presentan las ecuaciones diferenciales que rigen el equilibrio estático de

un elemento curvo con radio constante. La distribución de las tensiones en un elemento curvo

sometido a la acción de cargas flexionales se determina efectuando las siguientes

suposiciones:

- La sección transversal tiene un eje de simetría en un plano perpendicular a la sección

de la viga, según se muestra en la Figura 3.46. Es decir simetría respecto al plano XY.

- Las secciones transversales se mantienen planas antes y después de la deformación.

- No se considera ningún tipo de efecto de alabeo en la sección transversal debido a la

torsión.

- El módulo de elasticidad se mantiene siempre igual en tracción como en compresión.

Figura 3.46. Descripción de un elemento curvo.

Versión 2014


En la Figura 3.46 se muestra una sección rectangular, pero este enfoque también es válido

para cualquier sección que tenga simetría respecto del plano XY. En primer lugar se analizará

el comportamiento en el plano XY y posteriormente se analizará el comportamiento fuera del

plano. La base deductiva de esta teoría se puede encontrar en la referencia [18].

El sistema de referencia Oxyz es de tipo circunferencial. Nótese que en la Figura 3.46 también

se identifican los desplazamientos genéricos de la sección transversal, es decir, u es el

desplazamiento axial del centro de referencia genérico G, que está ubicado en el centroide de

la sección transversal formada por el plano que pasa por el punto G y la recta e. Es claro que

el punto G está a una distancia R del eje e. Por otro lado v es el desplazamiento lateral del

punto G y z es la rotación de la sección medida a partir de G. En la Figura 3.46 también se

aprecian las fuerzas internas como la fuerza normal a la sección, N, la fuerza cortante, QY, y el

momento flector, MZ. Tales solicitaciones se pueden calcular empleando la siguiente

expresión:

Qy

Mz

N

Y

Z

J

JJ

JJ

Q

M

N

33

2212

1211

00

0

0

, con

zQy

zMz

N

x

v

x

u

Rx

R

v

x

u

,1

,

(3.140)

con:

A

jiij dydzggEJ F , yg ,1 , i = 1, 2 siendo

yR

RF

A

y dydzGkJ F33

(3.141)

Donde E es el módulo de elasticidad longitudinal, G el módulo de elasticidad transversal, A es

el área de la sección y ky es un coeficiente que depende del tipo de sección. El cálculo de ky es

una tarea relativamente tediosa, sin embargo si el radio es suficientemente grande se pueden

emplear los coeficientes correspondientes a las vigas rectas con suficiente grado de

aproximación. Para los coeficientes ky se puede recurrir a la Tabla 3.12. N, Mz y Qy son las

denominadas deformaciones específicas normal, flexional y cortante en el plano,

respectivamente.

Si se conoce la variación de las variables u, v y z a lo largo de la viga curva, se pueden

obtener las deformaciones específicas N, Mz y Qy apelando a la expresión (3.141) se

obtienen los esfuerzos.

Las ecuaciones de equilibrio estático de una viga curva en el plano son las presentadas la

expresión (3.142) (ver deducción en [14], [18] y [19]). Estas ecuaciones están sujetas a

condiciones de borde que vienen dadas en las ecuaciones (3.143) y cuyos casos se identifican

Versión 2014


en la Figura 3.47. Nótese que en la Figura 3.47 las fuerzas correspondientes al caso (d) de la

expresión (3.143) se han puesto con sus respectivos signos. Téngase presente que en la

ecuación (3.142) las funciones P1(x), P2(x) y P3(x) son fuerzas distribuidas a lo largo de la

línea de centroides, fuerzas cortantes distribuidas y momentos distribuidos respectivamente.

0

0

01

3

2

1

xQx

M

xR

N

x

Q

xx

M

Rx

N

YZ

Y

Z

P

P

P

, (3.142)

(a) Empotrado en xo = x o xo = L (b) Libre en xo = x o xo = L

(3.143)

0000 xxvxu z 0000 xQxMxN YZ

(c) Rótula en xo = x o xo = L (d) Libre con fuerzas en xo = x o xo = L

0000 xMxvxu Z

00

00

00 ,

YY

ZZ

QxQ

MxM

NxN

Es claro que si se reemplazan las expresiones de las fuerzas (3.140) en las ecuaciones

diferenciales (3.142) junto con las condiciones de borde (3.143) entonces se pueden calcular

las variables u, v y z resolviendo las ecuaciones diferenciales pertinentes.

Figura 3.47. Algunas condiciones de borde para las ecuaciones diferenciales de la viga curva en el plano.

Ahora bien en la Figura 3.48 se puede observar una viga curva sometida a solicitaciones que

generan desplazamientos fuera del plano de simetría, es decir: Momento torsor T, momento

flector MY y fuerza de corte QZ. Los desplazamientos que generan son: el ángulo de giro por

torsión, , la rotación flexional fuera del plano y y el desplazamiento flexional en la

dirección z, w. Estas solicitaciones vienen dadas por la expresión (3.144), donde T, My y Qz

son las denominadas deformaciones específicas de torsión, de flexión y de corte fuera del

plano, respectivamente. Es claro que si se conoce la variación de las variables w, y y a lo

Versión 2014


largo de la viga curva, se pueden obtener las deformaciones específicas T, My y Qz y

apelando a la expresión (3.144) se obtienen los esfuerzos correspondientes.

Qz

My

T

Z

Y

J

J

J

Q

M

T

66

55

44

00

00

00

, con

yQz

y

My

y

T

x

w

Rx

Rx

,

,

(3.144)

siendo

A

z dydzGkJ F66 , A

dydzEzJ F255 , A

dydzyzGJ F22

44 (3.145)

Las ecuaciones de equilibrio estático de una viga curva fuera del plano son las presentadas en

la expresión (3.146) (ver deducción en [14], [18] y [19]). Estas ecuaciones están sujetas a

condiciones de borde que vienen dadas en las ecuaciones (3.147) y cuyos casos se identifican

en la Figura 3.49. Nótese que en la Figura 3.49 las fuerzas correspondientes al caso (d) de la

expresión (3.147) se han puesto con sus respectivos signos. Téngase presente que en la

ecuación (3.146) las funciones P4(x), P5(x) y P6(x) son momentos torsores distribuidos a lo

largo de la línea de centroides, fuerzas cortantes distribuidas y momentos distribuidos

(actuando en sus correspondientes direcciones) respectivamente.

0

0

0

6

5

4

xR

TQ

x

M

xx

Q

xR

M

x

T

ZY

Z

Y

P

P

P

, (3.146)

(a) Empotrado en xo = x o xo = L (b) Libre en xo = x o xo = L

(3.147)

0000 xxxw y 0000 xQxMxT ZY

(c) Rótula doble en xo = x o xo = L (d) Libre con fuerzas en xo = x o xo = L

0000 xMxTxw Z

00

00

00 ,

ZZ

YY

QxQ

MxM

TxT

Ahora bien una vez resueltas las ecuaciones diferenciales (3.142) y (3.147) y obtenidos los

desplazamientos y rotaciones de los centros de referencia G en cada uno de los planos que se

Versión 2014


proyectan desde el eje e, es decir u, v, w, y, z y , se pueden obtener las deformaciones

especificas en todos los puntos y luego se pueden obtener los estados de tensiones en todos

los puntos aplicando la ley de Hooke, es decir:

F

F

F

TQzxz

TQyxy

MyMzNxx

yG

zG

zyE

(3.148.a)

Por otro lado, conociendo los desplazamientos y rotaciones del centro de referencia de cada

sección se pueden obtener los desplazamientos de cada punto de cada sección como:

ywzyxu

zvzyxu

zR

uyuzyxu

z

y

yzx

,,

,,

,,

(3.148.b)

Entonces, la solución del problema se obtiene conociendo los desplazamientos y tensiones

dados en las expresiones (3.148.a) y (3.148.b).

Figura 3.48. Elemento curvo bajo acción combinada de flexión y torsión fuera del plano de simetría

Figura 3.49. Algunas condiciones de borde para las ecuaciones diferenciales de la viga curva fuera del plano.

Versión 2014


5. Aspectos Elementales de pandeo

La ecuación diferencial de equilibrio para obtener la carga de pandeo (es idéntica en las dos

direcciones, modificando claro está la rigidez flexional), se recordará viene formulada con la

siguiente expresión:

0uEI

P

dx

udyo

z

2

yo

2

(3.149)

Estas son las denominadas ecuaciones de Euler. Resolviendo estas ecuaciones se puede

obtener la carga crítica de acuerdo con las condiciones de borde que se impongan. Ejemplos

típicos de estas condiciones se pueden apreciar en al Figura 3.50. La solución general de la

ecuación (3.149) se puede hallar en la siguiente expresión:

Figura 3.50. Condiciones de borde típicas para problemas de pandeo

2

z

2

f

CRL

EIKP

o bien

2

2

fCREK

A

P

(3.150)

donde L es la longitud, Kf es un factor que depende de la condición de borde (ver Tabla 3.15)

y es la esbeltez definida por

gr

L y

A

Ir z

g (3.151)

rg es el radio de giro de la sección.

Condición de Borde Valor Teórico Valor Recomendado

Empotrado-Libre ¼ ¼

Apoyado-Apoyado 1 1

Empotrado-Apoyado 2 1.2

Empotrado-Empotrado 4 1.2

Tabla 3.15. Valores de la constante Kf para la ecuación de Euler (3.150)

Versión 2014


Se tendrá presente que la (3.150) es valida para vigas sumamente esbeltas o largas y no

correlaciona suficientemente bien con resultados experimentales. Para relaciones de esbeltez

más bajas se suele utilizar la ecuación de Johnson (3.152). La zona que delimita el uso de

ambas ecuaciones se suele discriminar en el punto de tangencia de ambas curvas según se

aprecia en la Figura 3.51

1

CB

2

yc

yc

CR

EC

1

2

SS

A

P

(3.152)

Figura 3.51. Ecuaciones de Johnson y de Euler para pandeo de vigas

En el caso de tener una carga excéntrica como la que se muestra en la Figura 3.52, mediante

equilibrio se llega a la ecuación diferencial siguiente:

z

c

yo

z

2

yo

2

EI

Peu

EI

P

dx

ud (3.153)

donde ec es la excentricidad. La solución de esta ecuación se obtiene mediante la siguiente

expresión:

EAP2Secrce1

S

A

P2

gc

yc

/// (3.154)

En (3.154) ec es la excentricidad, c es la distancia desde el eje neutro a la fibra más solicitada

y rg es el radio de giro de la sección. La relación 2

gc rce / se denomina relación de

excentricidad y con ella se describen gráficos para la obtención aproximada de la carga

crítica, dado que la obtención de la misma mediante (3.154) no se hace en forma explícita, y

hay que hallar las raíces empleando métodos numéricos.

Figura 3.52. Viga pandeada por carga excéntrica

Versión 2014


Figura 3.53. Comparación de las ecuaciones de la secante y de Euler.

6. Bibliografía

[1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw Hill 2002.

[2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, “Elementos de Máquinas”, McGraw Hill 2000

[3] R.L. Norton, “Diseño de maquinaria”, McGraw Hill 2000.

[4] X. Oliver Olivella y C. Agelet de Saracibar Bosch. “Mecánica de medios continuo para

ingenieros”. Ediciones UPC, Ed. Alfaomega. (2002).

[5] E.J. Barbero, "Introduction to Composite Materials Design". Taylor and Francis, 1998.

[6] R.E. Rossi, “Introducción al Método de Elementos finitos, Curso Básico con aplicaciones

en elasticidad lineal”. Departamento de Ingeniería. Universidad Nacional del Sur. 1993.

[7] T. Chandrupatla, A. Belegundu, “Introducción al método de los elementos finitos”. Ed.

Prentice Hall, (1998)

[8] G. Backstrom, “Deformation and Vibration by Finite Element Analysis”. Ed.

Studentlitteratur, (1998)

[9] G. Backstrom, “Fields of Physics by Finite Element Analysis”. Ed. Studentlitteratur,

(1998)

[10] V.H. Cortínez y M.T. Piovan. “Vibration and Buckling of composite thin walled beams

with shear deformability”. Journal of Sound and Vibration 258(4) 701-723. (2002).

[11] Vlasov V.Z. "Thin Walled Elastic Beams". Israel Program for Scientific Translation,

Jerusalem (1961)

[12] Timoshenko S.P. y Gere J.M. "Theory of Elastic stability". McGraw-Hill Company. New

York (1961)

[13] M. T. Piovan y V.H. Cortínez “Mecánica de vigas curvas anisótropas con sección de

paredes delgadas”. Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en

Ingeniería, Vol 19(3), 341-362 (2003)

Versión 2014


[14] M.T. Piovan “Estudio teórico y computacional sobre la mecánica de vigas curvas de

materiales compuestos con sección de paredes delgadas, considerando efectos no

convecionales”. Tesis Doctoral. Departamento de Ingeniería, Universidad Nacional del Sur

(2002).

[15] Ong C.H. y Tsai S.W. “Design, Manufacture and Testing of a bend-twist D-Spar”

National Technical Information Service, U.S. Department of Commerce. (1999)

[16] S.P. Timoshenko, “Theory of Elasticity”, Springer New York 1965.

[17] A.P Boresi, O. Sidebottom, F.E. Seely and J.O Smith. “Advanced Mechanics of

Materials” John Wiley and Sons, New York (1978).

[18] M.T. Piovan, V.H. Cortínez. Mechanics of thin-walled curved beams made of composite

materials, allowing for shear deformability. Thin-Walled Structures. 45(9), 759-789 (2007).

[19] A. Kaw. Non-linear equations applied to mechanical engineering.

http://numericalmethods.eng.usf.edu (2003)

7. Problemas resueltos en clase y para completar

Problema tipo 3.4

En el sistema de la figura, las barras tienen sus extremos soldados a paredes rígidas y a una

pieza muy rígida que tiene solicitaciones verticales distribuidas simétricamente.

Peso: W1 = 4500 N

Mód de Elasticidad: E1 = E2

Diámetro: D1 = D2

Longitud: L1 = 45 cm


Se necesita determinar el valor de la fuerza en cada barra y si es posible el valor del

desplazamiento de la pieza horizontal y en caso que no sea posible dejarlo expresado en forma

simbólica.

Solución del Problema tipo 3.4

Para resolver este problema se tiene que pensar en primer lugar que el desplazamiento de la

pieza horizontal es único y en consecuencia eso repercute en las dos barras. Por otro lado, la

tentación inmediata a decir que las fuerzas se reparten por igual en cada barra puede conducir

a un error grave.

Claramente la barra superior se estira y la inferior se comprime, ambas con un valor de

desplazamiento, que se puede llamar y que = 1 = 2, luego de la ley de Hooke para cada

barra surge que:

Versión 2014


22

22

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2222

11

11

1

11

1

1

1

1

1

1

1

1111

AE

LF

E

L

LE

dx

duE

x

uEE

AE

LF

E

L

LE

dx

duE

x

uEE

Siendo A1 y A2 las áreas de cada barra y F1 y F2 las fuerzas actuantes. Luego se puede obtener

la siguiente ecuación ya que

2211

22

22

11

11

21LFLF

AE

LF

AE

LF

Ahora bien la ecuación de equilibrio estático de todo el conjunto será

121

2WFF

En consecuencia para hallar las fuerzas en cada barra se tendrá que resolver el siguiente

sistema lineal con incógnitas en F1 y F2:

0

2

2211

121

LFLF

WFF

Lo cual lleva a la siguiente respuesta:

12

1

2

1

2

12

1

1/1

2,

/1

2

LL

WF

L

L

LL

WF

Nótese que la única condición para que ambas fuerzas tengan el mismo valor es que las

longitudes de las barras sean iguales.

Se deja al alumno concluir los restantes detalles de este problema.

Problema tipo 3.5

En la siguiente Figura se muestra el marco curvo que hace las veces de soporte de elementos

funcionales de una prensa troqueladora. Tal como fue diseñado (hace más 30 años) el marco

posee rigidez variable y una sección rectangular. Se desea conocer el máximo desplazamiento

entre los extremos dado que se desea incrementar la capacidad de carga sobre el marco.

Esquema del marco de una troqueladora (Shigley [1]).

Versión 2014


En este caso de estudio se efectuará un planteo basado en las ecuaciones de la viga curva

para la verificación de desplazamientos en la repotenciación de la máquina.

La sección posee en los dos extremos dimensiones b = h = 2 pulgadas, el radio centroidal es

de R = 32 pulgadas, los radios externo e interno varían en forma sinusoidal con una amplitud

de 2 pulgadas. Esto significa que la sección transversal A=b.h pasa de 2x2 en los extremos a

2x6 en el centro o a 90° de los extremos. El marco es de acero (E = 30 106 psi, G =14.5 10

6

psi) y será solicitado a una carga máxima de 1000 libras. La sección siendo rectangular posee

un coeficiente de corte k =5/6. Se desea saber cuánto se distanciaran los dos extremos.

Teniendo en cuenta que la cota máxima de desplazamiento no puede ser mayor a una

milésima de pulgada por razones de precisión del troquelado, será 1000 lb una carga

excesiva?. Determine el valor de la máxima carga que podría soportar en ambos extremos sin

que el proceso de troquelado se resienta.

Solución del Problema tipo 3.5

Como se verá la solución impone el empleo de las ecuaciones de equilibrio estático para

elementos curvos, sin embargo la rigidez es variable, en consecuencia no se pueden obtener

por integración elemental las ecuaciones de los desplazamientos ya que en el proceso se

obtienen funciones trascendentes que difícilmente sean integrables en forma explícita.

Las expresiones de la geometría del marco vienen dadas por una variación que puede

definirse según que sea sinusoidal. Para mayor sencillez en el tratamiento algebraico se

empleará la simetría de la estructura, en consecuencia el ángulo de abertura del arco que se

analizará tiene 90º.

Entonces la variación de la altura h de la sección de la viga viene dada por:

RxSenhhhh mem /

Donde hm es la altura en la parte más gruesa y he es la altura de la sección en los extremos.

Para integrar las ecuaciones de equilibrio de la viga curva en el plano (3.142) se requerirá el

empleo del programa Mathematica®. Se sugiere a los alumnos buscar en la página web de la

asignatura el archivo “problema_tipo3_5.nb”.

8. Problemas Propuestos

Problema 1:

Hallar cuanto se desplaza el peso W2 que está en el extremo inferior, sabiendo lo siguiente:

Versión 2014


Peso: W1 = 430 kg

Peso: W2 = 350 N

Mód de Elasticidad: E1 = 0.7 107 N/cm2

Mód de Elasticidad: E2 = 2 107 N/cm2

Diámetro: D1 = 19 mm




Problema 2:

Hallar el ángulo de rotación de la barra de peso W1.

Peso: W1 = 450 kg

Mód de Elasticidad: E = 2 107 N/cm2







Problema 3:

Una viga de fundición simplemente aployada mide 90 cm de longitud y soporta una carga de

1500 N en el centro de la misma. La viga sirve como guía para una máquina y puede tener

cualquiera de las secciones que aparecen a continuación

Nótese que las tres secciones tiene la misma área. Se pide calcular la tensión y el

desplazamiento en el punto más crítico para cada configuración.

Versión 2014


Problema 4.

El eje de la figura soporta un par de 200000 N.cm en el lugar indicado en la figura. Si los

extremos del eje se fijan para no rotar, calcule los momentos torsores en los extremos.

Problema 5.

El eje macizo de acero tiene una longitud de L = 1.2 m y un radio de r = 20 mm, hallándose

solamente a un par de torsión =1000 N.m. El módulo de elasticidad transversal es de 80

GPa. Determine:

a) El esfuerzo cortante máximo y donde se produce.

b) El ángulo de giro en la sección extrema y un gráfico de la variación del mismo en función

de la posición.

Problema 6.

El eje de la Figura está sometido a tensiones triaxiales provocadas por una carga axial de

valor P, una carga flexional de valor Q y un momento torsor de valor T aplicados en un

extremo según se ve en la idealización de la figura adjunta. El diámetro menor del eje es la

mitad del diámetro mayor; en tanto que el radio de acuerdo entre ambos es 20 veces menor

que el diámetro mayor. Determinar el valor de las tensiones en los puntos más críticos. Se

sabe que la longitud desde el empotramiento hasta el radio de acuerdo es de 8 veces el

diámetro mayor mientras que la longitud restante es de 6 veces el diámetro menor.

Versión 2014


Problema 7.

Dada la fuerza distribuida en forma sinusoidal, hallar en función del desplazamiento flexional

el momento flector y el esfuerzo de corte en un eje de diámetro d constante. NOTA: recuerde

la ecuación diferencial del desplazamiento por flexión.

Problema 8.

Determine si el estado de tensiones normales y cortantes de una viga a flexión como la que se

muestra en la Figura verifica el equilibrio.

La carga actuante es P, la viga es rectangular de altura h y base b. Se puede decir lo mismo si

la viga es de diámetro D.

Problema 9.

En una viga de acero que acciona la superestructura de un domo deslizante se desea saber la

carga axial y el momento flector que están actuando en una cierta sección. Para ello se

dispusieron “strain gauges” alrededor de la superficie de la viga siguiendo el contorno

circular. Se determinó que la tensión normal a la sección viene dada por la expresión

)1(500 yx Pa, siendo el diámetro externo de la viga de 0.25 m y el interno de 0.18 m.

Recordar que el sistema de referencia de la viga está en el centro de la sección.

Problema 10

Dado el esquema de solicitación, determine el valor de la carga w tal que la deflexión en el

centro de la viga sea de o. La viga tiene una longitud L y posee una altura h = b/3, siendo b la

profundidad.

Versión 2014


Problema 11.

La cuchilla de una podadora de césped gira a 3000 RPM. La misma se trata de una planchuela

de 24” de longitud con una sección transversal uniforme de 1/8” de espesor por 1 ¼” de ancho.

Tiene un orificio de ½“ en el centro para montarla al motor. Se desea determinar la tensión

nominal en la sección central debido a la rotación.

Problema 12.

En la Figura siguiente hay dos engranajes que se deben montar sobre un eje. Las cargas en los

engranajes son F1 = 2000 N y F2 = 1000 N. Se desea saber la localización del momento flector

máximo y el máximo desplazamiento flexional. Como influirá en el cálculo suponer que las

cargas son puntuales o distribuidas en el ancho de los engranajes. Considere que los extremos

están empotrados. Las unidades están en mm.

Problema 13.

En la Figura siguiente hay un engranaje montado en el extremo de un eje troncocónico. La

fuerza distribuida que actúa en el engranaje es q1 = 20000 N/m a una distancia r1 = 65 mm del

eje de rotación y siendo el engranaje de un ancho de 2 cm. Se sabe que el radio del eje donde

se aloja el engranaje es de 30 mm y en el otro extremo, el diámetro es de 90 mm. La distancia

entre tales secciones es de 350 mm.

a) Se quiere saber el valor del ángulo de rotación, en el extremo donde actúa la fuerza.

b) Compare los resultados empleando las metodologías de resistencia de materiales y del

Teorema de Castigliano.

cap03-03

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