Momentum Lineal y Choques

Capítulo 09

Contenido

• Momentum lineal y su conservación• Conservación del momentum para dos partículas• Impulso y momentum• Colisiones• Clasificación de las colisiones• Colisiones perfectamente inelásticas• Choques elásticos• Colisiones en dos dimensiones• Centro de masa• Centro de masa de un objeto extendido• Movimiento de un sistema de partículas

Momentum Lineal y su Conservación

Por lo tanto, el momentum lineal de una partícula es: una MF Vectorial; que se mide en kgm/s o Ns y quedepende en forma directamente proporcional a la masa y a la velocidad de la partícula.

El Momentum Lineal o Momentum, , de una partícula se define como el producto de la masa m porla velocidad de la partícula:

p

v

p m v≡

Momentum Lineal y su Conservación

La segunda ley de Newton establece que la fuerza netasobre un objeto es igual a la rapidez de cambio del momentum del objeto.

En términos del momentum, la segunda ley de Newton se escribe como:

dpFdt

=

Para dos partículas aisladasque interactúan entre sí, se cumple por segunda ley de Newton que:

De la tercera ley de Newton, tenemos que:

Conservación del Momentum Lineal para dos partículas

11 2

d pF

d t= 2

2 1d p

Fd t

=

12 21 12 21 0F F F F= − ⇒ + =

m1

1 1 1p m v=

12F

m2 2 2 2p m v=

2 1F

De ambas ecuaciones se obtiene que:

Esto significa que:

La ley de la conservación del momentum lineal establece que siempre que dos o más partículas aisladasinteractúan entre sí, su momentum total permanece constante.

( )1 21 2 0

dp dp d p pdt dt dt

+ = + =

1 2 .totp p p cte= + =

Conservación del Momentum Lineal para dos partículas

Impulso y Momentum

El impulso de una fuerza se define como la integral de dichafuerza en el tiempo, durante el intervalo de tiempo que actúa:

f

i

t

tI F d t≡ ∫

Por lo tanto, el impulso de una fuerza es: una MF Vectorial; que se mide en Ns o kgm/s y que dependeen forma directamente proporcional a la fuerza y al intervalo de tiempoque actúa.

Impulso y Momentum

El impulso de la fuerza neta es igual al cambio de momentum de la partícula.

f f

i i

t t

neta f it t

dpF dt dt I p p pdt

= ⇒ = − = Δ∫ ∫

Si es la fuerza neta, entonces:F

El impulso es un vector que tiene una magnitud igual al “área bajo la curva”fuerza-tiempo.

F

t

t ft i

A una fuerza que actúa en un tiempo muy corto se le llama fuerza impulsiva.

F

El impulso se puede escribir como: , donde es la fuerza promedio durante el intervalo de tiempo.

I F t= Δ F

t i t f

t

F

F

" " Área I=

Colisiones

Se llama colisión a la interacción de dos (o más) cuerpos mediante una fuerza impulsiva.

Sea: m1 y m2 las masas de los cuerpos y, , y son las velocidades iniciales y

finales de las masas m1 y m2, respectivamente.iv 1 iv2 fv1 fv2

Entonces, la conservación del momentum lineal establece que:

m1 m2

F12F21

i i f fm v m v m v m v+ = +1 1 2 2 1 1 2 2

Tipos de Colisiones

Una colisión inelástica es aquella en la que se conserva el momentum del sistema, pero no se conserva la energía cinética del sistema.

Una colisión perfectamente inelástica entre dos objetos es una colisión inelástica en la cual los dos objetos permanecen juntosdespués de la colisión, por lo que sus velocidades finales son las mismas.

Una colisión elástica es aquella en la que se conserva tanto el momentum, como la energía cinética del sistema.

Según si se conserva o no la energía cinética del sistema de partículas que colisionan, las colisiones se clasifican en: inelásticas y elásticas.

Tipos de Colisiones

Una colisión unidimensional es aquella en la que las direccionesde las velocidades de las partículas que colisionan, antes y después del choque, están todas contenidas en una misma línea.

Una colisión bidimensional es aquella en la que las direcciones de las velocidades de las partículas que colisionan, antes y despuésdel choque, están todas contenidas en una misma superficie.

Una colisión tridimensional es aquella en la que las direcciones de las velocidades de las partículas que colisionan, antes y despuésdel choque, están todas contenidas en el espacio.

Según las direcciones de las velocidades de laspartículas que colisionan, las colisiones se clasifican en: unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales.

Colisiones en Una Dimensión

Colisiones Perfectamente Inelásticas

m1

iv1

m2

iv2

m1+m2

fv

Por ley de conservación del momentum lineal, se tiene:

1 1i 2 2i 1 2 fm v m v (m m )v+ = +

1 1i 2 2if 1f 2f

1 2

(m v m v )v v v

(m m )+

= = =+

Para colisiones perfectamente inelásticas se cumple que:

Si m2 está inicialmente en reposo, entonces:

Colisiones perfectamente inelásticas

m1+m2

fv

Si: m1» m2, entonces: f iv v≈ 1

Si: m1« m2, entonces:fv 0 m / s≈

1 1i 2 2 if

1 2

(m v m v )v

(m m )+

=+

1f 1i

1 2

mv v

(m m )=

+

Para colisiones perfectamente inelásticas se cumple que:

Colisiones perfectamente inelásticas

Si en este caso m1= m2, entonces: vf = 0 m/s

Si: , entonces:i iv v= −2 1m1

iv 1

m2

iv2

1 1i 2 2 if

1 2

(m v m v )v

(m m )+

=+

1 2f 1i

1 2

(m m )v v

(m m )−

=+

Colisiones Elásticas

Si conocemos las velocidades de ambas partículas antes de la colisión, las ecuaciones de arriba corresponden a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que tienen una solución única para ambas velocidades finales.

Por ley de conservación del momentum lineal, se tiene:

Por ley de conservación de la energía cinética, se tiene:

m1iv1

m2iv2m1

fv 1m2

fv2

i i f fm v m v m v m v+ = +1 1 2 2 1 1 2 2

2 2 2 21 1i 2 2i 1 1f 2 2f

1 1 1 1m v m v m v m v2 2 2 2

+ = +

La solución al sistema de ecuaciones queda:

Casos especiales:

a) Entonces, se tiene: y

¡ Hay intercambio de velocidades !

1 2 21f 1i 2i

1 2 1 2

m m 2mv v v

m m m m⎛ ⎞ ⎛ ⎞−

= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 12f 1i 2i

1 2 1 2

2m m mv v v

m m m m⎛ ⎞ ⎛ ⎞−

= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2Si: m m= 1f 2iv v= 2 f 1 iv v=

Y las ecuaciones para las velocidades finales quedan:

De aquí se obtienen los siguientes casos límites:

b) Si m2 está inicialmente en reposo, entonces: v2i = 0 m/s

1f 1i 2f 1iSi: m m v v y v 2v>> ⇒ ≈ ≈1 2

1 2 1f 1i 2fSi: m << m v v y v 0⇒ ≈ − ≈

1 21f 1i

1 2

m mv v

m m⎛ ⎞−

= ⎜ ⎟+⎝ ⎠1

2f 1i1 2

2mv v

m m⎛ ⎞

= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

Colisiones en Dos Dimensiones

Para el caso de dos dimensiones la conservación del momentum se expresa para cada componente como:

Antes de la colisión Después de la colisión

m1 1iv

m2

2iv m1

1fv

m2 2fv

1 1 ix 2 2 ix 1 1fx 2 2 fxm v m v m v m v+ = +

1 1 iy 2 2 iy 1 1 fy 2 2 fym v m v m v m v+ = +

Consideraremos el caso en que m2 está inicialmente en reposo.

1m

i1v

2m

Antes de la colisión

f1v

) θ

)sin(v f1 θ)(cosv f1 θ

) φ

f2v)(sinv f2 φ−

)(cosv f2 φ

Después de la colisión

Después del choque m1 se mueve a un ángulo θ sobre la horizontal y m2 se mueve a un ángulo φ bajo la horizontal.

m1 v1i = m1 v1f cos(θ) + m2 v2f cos(φ)

0 = m1 v1f sen(θ) - m2 v2f sen(φ)

Las ecuaciones anteriores quedan como:

La ley de la conservación de la energía cinética da otra ecuación:

Con esta ecuación formamos un sistema de tres ecuaciones independientes, con cuatro incógnitas.

Por lo tanto, dadas las masas y la velocidad inicial, deberádarse alguna de las cantidades restantes v1f , v2f , θ o φ.

2 2 2 21 1i 2 2i 1 1f 2 2f

1 1 1 1m v m v m v m v2 2 2 2

+ = +

Centro de Masa

El centro de masa de un sistema de partículas es un punto en el cual pareciera estarconcentrada toda la masa del sistema.

x

y

z

RCM

m1

m2

m3

mi

r 1r 2

r 3

r i

En un sistema formado por una distribución discreta de partículas, la posición del centro de masa se define mediante la ecuación siguiente :

i i i iCM

i

m r m rr

m M= =∑ ∑

∑

Centro de Masa de un objeto extendido

La posición del centro de masa de un objeto extendido o distribución continua de masa se define mediante la integral:

El centro de masa de cualquier objeto simétrico se ubica sobre el eje de simetría y sobre cualquier plano de simetría.

R CM

r i

m

x

y

z

CM1r r dmM

= ∫

Movimiento de un Sistema de Partículas

Si se deriva respecto al tiempo la posición del centro de masa de un sistema de partículas, se obtiene la velocidad del centro de masa:

El momentum total del sistema es:

CM iCM CM i

dr dr1v = v = mdt M dt

→ ∑

i iCM

m vv

M= ∑

tot CMp M v=

CM i i i totMv m v p p= = =∑ ∑

La aceleración del centro de masa se obtiene, por definición, derivando con respecto al tiempo la velocidad del centro de masa, o sea:

De esta definición y con la Segunda Ley de Newton, se tiene:

CM iCM CM i

dv dv1a a mdt M dt

= → = ∑

i iC M

m aa

M= ∑

C M i i iM a m a F= =∑ ∑

Y tomando en cuenta la 3ra. Ley de Newton, se tiene la ley:

El centro de masa se mueve como una partícula imaginaria de masa M bajo la influencia de la fuerza externa resultante sobre el sistema.

totext C M

dpF M a

d t= =∑

La fuerza neta actúa sobre un cuerpo como si éste fuese un objeto puntual y toda la masa del objeto estuviera concentrada en un sólo punto que es el Centro de Masa.

¡ El centro de masa del bate sigue una trayectoria parabólica, como la seguida por un objeto puntual bajo la acción de una fuerza gravitacional !

Por otro lado, es inmediato que si las fuerzas externas se anulan, el centro de masa se mueve con velocidad uniforme.

Por lo que:

i1v 0=v i2

fvColisión perfectamente inelástica

totCM

dp M a 0

dt= =

tot CMp M v c te.= =