Cap3 esp vectoriales
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Capítulo 3 Espacios Vectoriales 1
Capítulo 3
Espacios vectoriales
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 2
3.1 Espacios vectoriales
El espacio vectorial Rn es un conjunto de elementos
llamados vectores en los que se definen dos operaciones, la adición y la multiplicación por un escalar. También tiene otras propiedades alge-braicas, la conmutatividad y la asociatividad
u + v = v + u
u + (v + w) = (u + v) + w
Se analizan éstas y otras propiedades para formular un conjunto de axiomas que definen un espacio vectorial.
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 3
Definición: Espacio vectorial
Un espacio vectorial es un conjunto de elementos llamados vectores en los que se definen dos operaciones, la adición y la multiplicación por un escalar y satisfacen las siguientes condiciones:
Sean u, v y w ∈∈∈∈ V y α y β escalares.
Axiomas de cerradura
� u + v ∈∈∈∈ V
� α u ∈∈∈∈ V
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 4
Axiomas de adición
� u + v = v + u
� u + (v + w) = (u + v) + w
� u + 0 = u
� u + (-u) = 0
� α (u + v) = α u + α v
� (α + β )u = α u + β u
� (α β )u = α (β u)
� 1u = u
Axiomas de multiplicación
por un escalar
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 5
Espacio vectorial de matrices
Considérese el conjunto de matrices de 2×2. Denotado por M22. Usando notación vectorial, sean
;a b e f
c d g h
= =
u v
Si se satisfacen todos los axiomas, se tiene un espacio vectorial.
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 6
3.2 Subespacios de Rn
Un subconjunto H no vacío de Rn se llama subespacio vectorial de Rn si se satisfacen las
siguientes propiedades.
1. Si u y v están en H, u + v está en H.
2. Si αααα es cualquier escalar y u está en H,entonces αααα u está en H
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 7
Ejemplos
1. {0} y Rn son subespacios de Rn.
También se les llama subespacios triviales de Rn.
2. H = {(x, y, 0), x, y ∈∈∈∈ R} es un subespacio de R3.
3. H = {(x, y, x + y), x, y ∈∈∈∈ R} es un subespacio de R3.
4. El conjunto H = {(x, x + 1), x ∈∈∈∈ R} no es subespacio de R2.
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 8
3.3 Combinación lineal de vectores
Definición:
Sean v1, v2, ...,vn vectores-n de un espacio vectorial V. Se dice que v, un vector en V, es una combinación lineal de los vectores v1, v2, ...,vn si existen escalares αααα1, αααα2, …, ααααn, tales que
αααα1 v1+ αααα2 v2+…+ ααααn vn= v
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 9
Ejemplo
El vector (5, 4, 2) es una combinación lineal de los vectores (1, 2, 0), (3, 1, 4) y (1, 0, 3) puesto que
(5, 4, 2) = (1, 2, 0) + 2(3, 1, 4) - 2(1, 0, 3)
El problema de determinar si un vector es combinación lineal de otros vectores se convierte en resolver sistemas lineales.
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 10
Ejemplos
1. Determinar si el vector (-1, 1, 5) es una combinación lineal de los vectores (1, 2, 3), (0, 1, 4) y (2, 3, 6)
2. Expresar el vector (4, 5, 5) como una combinación lineal de los vectores (1, 2, 3), (-1, 1, 4) y (3, 3, 2)
3. Demostrar que el vector (3, -4, -6) no es una combinación lineal de los vectores (1, 2, 3), (1, 4, 5) y (-1, -1, -2)
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 11
Dependencia e independencia lineal
Definición:
a) El conjunto de vectores {v1, v2, …, vn} en un espacio vectorial V se dice que es linealmente dependiente si existen escalares αααα1, αααα2, …, ααααn, no todos cero, tales que
αααα1111v1111+ αααα2v2+ …+ ααααnvn = 0
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 12
Definición
b) El conjunto de vectores {v1, v2, …, vn} es linealmente independiente si
αααα1111v1111+ αααα2v2+ …+ ααααnvn = 0
solo si αααα1, αααα2, …, ααααn= 0
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 13
Ejemplo:Vectores linealmente dependientes
1
2
3
1 2 8 0
2 1 6 0
3 1 10 0
α
α
α
−
=
El conjunto de vectores {(1, 2, 3), (-2, 1, 1), (8, 6, 10)}, es linealmente dependientes en R3.
αααα1(1, 2, 3) + αααα2(-2, 1, 1) + αααα3(8, 6, 10) = 0
1 101 03 3
0 1 2 0
0 0 0
1 2 8 0
2 1 6
1 0 4 0
0 1 2 0
0 0 0 00
0
3 1 10 0
−
−
−
∼ ∼
−−−−4444r (1, 2, 3) + 2r (-2, 1, 1) + r (8, 6, 10) = 0
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 14
Ejemplo:Vectores linealmente independientes
1
2
3
3 3 1 0
2 1 0 0
2 4 5 0
α
α
α
− − =
El conjunto de vectores {(3, -2, 2), (3, -1, 4), (1, 0, 5)}, es linealmente independiente en R3.
αααα1(3, -2, 2) + αααα2(3, -1, 4) + αααα3(1, 0, 5) = 0
1 0 0 0
0 1
3 3 1 0
2 1 0
11 1
0 0
03
130 1 0
6
0 0 1 00 0 1
0
2 4 5 0 0
− −
∼ ∼
αααα1 = αααα2 = αααα3 = 0
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 15
Ejemplo:
1 0 0 0
0 3 4 0
1 1 1 0
− −
Considerar las funciones f (x) = x2 + 1; g(x) = 3x - 1, h(x) = -4x + 1, del espacio vectorial P2 de polinomios de grado ≤ 2. Demostrar que el conjunto de funciones {f, g, h} es linealmente independiente.
αααα1 f + αααα2g + αααα3h = 0
αααα1 (x2 + 1) + αααα2 (3x – 1) + αααα3(-4x + 1) = 0
1 0 0 0
40 1 0
3
0 0 1
1 0 0 0
0 3 4 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 00
1 1 1 0
−
−
−
∼∼
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 16
3.4 Espacio generado por un conjunto de vectores
Definición:
Se dice que los vectores-n v1, v2, …, vn generan un espacio vectorial si todo vector en el espacio se puede expresar como una combinación lineal de estos vectores. Se denota por Gen {v1, v2, …, vn}.
Un conjunto generador de vectores define, de alguna forma, el espacio vectorial puesto que cada vector del espacio se obtiene de este conjunto.
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 17
Ejemplo:
1
2
3
1 0 1
2 1 1
0 1 2
x
y
z
α
α
α
= −
Los vectores (1, 2, 0), (0, 1, -1) y (1, 1, 2) generan R3.
Solución: Sea v = (x, y, z) un elemento cualquiera de R3.
αααα1(1, 2, 0) + αααα2(0, 1, -1) + αααα3(1, 1, 2) = v
( )
1 0 0 3
0 1 0 4 2
0
1 0 1
2
1 112
0 1
2 2
0 1 2
0 0 1 (2 2)
1 1
0 1 2
y
x y z
x y z
x y z
z
x y
x
z
y
z
−
− −
− + + −
− −
− − −
− −
∼∼
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 18
Ejemplo:
¿Está el vector (2, 3) en Gen{(1, 2), (3, 5)}?
Solución: Esto es cierto si:
αααα1(1, 2) + αααα2(3, 5) = (2, 3)
1 0 11 3 2
2 5
1
0 13 1
3 2
0 1 1
−
∼ ∼
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 19
Ejemplo:
Demostrar que Gen {E11, E12, E21, E22} = M22
Solución: Sea A una matriz de 2××××2:
αααα1 E11 + αααα2 E12 + αααα3 E21 + αααα4 E22 = A
11 12
1 2 3 4
21 22
1 211 12
3 421 22
1 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1
a aA
a a
a a
a a
α α α α
α α
α α
= = + + +
=
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 20
Ejemplo
1 1 2 2α α+ =v v v
Sean: v1 = (1, 2), v2 = (3, 5), v3 = (2, 4). Determinar
1. Gen {v1, v2}
Solución: Sea v = (x, y) un elemento cualquiera del espacio generado. Entonces,
1 31 3 1 0 5 3
0 10 2 22 15
x
y
y
x
x
y
x
x y
− +
−
− ∼∼
Gen {v1, v2} = R2
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 21
(continuación)
2. Gen {v1, v3}
Solución: Sea v = (x, y) un elemento cualquiera del espacio generado. Entonces,
1 1 2 3α α+ =v v v
1 2 1 2
2 4 0 0 2
x x
y x y
− + ∼
{ } { }1 3 1Gen , ,r r= ∈v v v R
( , 2 ) (1,2) (1,2)x x x r= = =v
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 22
Las siguientes afirmaciones son ciertas:
1. {e1, e2, e3, … en} genera a Rn
2. {1, x, x2, … xn} genera Pn3. {E11, E12, E13, … Emn } genera Mmn
4. {E11, E22, E33, … Enn } genera Dnn
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 23
3.5 Bases y dimensión
Definición:
Un conjunto no vacío B de un espacio vectorial V
distinto de cero es una base de V si:
1. B es linealmente independiente
2. B genera a V
Conocer la base de un espacio vectorial es útil para comprender el espacio y sus propiedades.
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 24
Las siguientes afirmaciones son ciertas:
1. {e1, e2, e3, … en} base estándar de Rn
2. {1, x, x2, … xn} base estándar de Pn3. {E11, E12, E13, … Emn } base estándar de Mmn
Teorema 7.Todo espacio vectorial tiene al menos una base
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 25
Ejemplo
Demostrar que el conjunto {(1, 0, -1), (1, 1, 1), (1, 2, 4)}es una base para R3.
Solución:
1. Este conjunto de vectores es LI si
αααα1(1, 0, -1) + αααα2(1, 1, 1) + αααα3(1, 2, 4) = 0
αααα1= αααα2 = αααα3 = 0
1 1 1 0
0 1 5 2 0
0 0 1
11 1 1 0
0 1 2 0
0 0 0
0 1 0 0
0 0 11 1 4 0 00
−
∼∼
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 26
Sea v = (x, y, z) un elemento cualquiera de R3.
2. Este conjunto de vectores genera a R3 si
αααα1(1, 0, -1) + αααα2(1, 1, 1) + αααα3(1, 2, 4) = v
αααα1= 2x - 3y + z; αααα2= -2x + 5y - 2z; αααα3= x - 2y + z
( )
1 1 1
0 1
1 0 0 2 3
0 1
1 1 1
0 0 2 5 2
0 0 1 2
5 2 2
0 0 1 2
1 2
1 1 4
x
x
x y z
x y z
x
y
x y z xz y z
y
+
− +
− + − −−
− + +
∼∼
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 27
Dimensión
Definición:
Si un espacio vectorial V tiene una base que consta de nvectores, entonces la dimensión de V es n, que se denota por dim(V).
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 28
Ejemplo
Considere el conjunto de vectores {(1, 2, 3), (-2, 4, 1)} en R3. Estos vectores generan el subespacio V que consta
de todos los vectores de la forma
αααα1(1, 2, 3) + αααα2(-2, 4, 1) = v
Además, el segundo vector no es múltiplo del primer vector, por lo tanto, son LI. Por consiguiente, los vectores forman una base para V. Así, dim (V) = 2.
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 29
3.6 Rango de una matriz
Definición:
Sea A una matriz de m×n. Los renglones de A se
pueden considerar como vectores renglón r1, r2, …, rm,
y las columnas como vectores columnas c1, c2, …, cn. Los vectores renglón generan un subespacio de Rn
llamado espacio renglón de A, y los vectores columna generan un subespacio de Rm llamado espacio columna
de A.
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 30
Ejemplo
Considerar la matriz:
1 2 1 2
3 4 1 6
5 4 1 0
−
=
A
Los vectores renglón de A son
r1 = (1, 2, -1, 2), r2 = (3, 4, 1, 6), r3 = (5, 4, 1, 0)
Estos vectores generan un subespacio de R4 llamado
espacio renglón de A.
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 31
Los vectores columna de A son:
Estos vectores generan un subespacio de R3 llamado
espacio columna de A.
1 2 3 4
1 2 1 2
3 , 4 , 1 , 6
5 4 1 0
−
= = = =
c c c c
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 32
Rango de una matriz
Definición:
La dimensión del espacio renglón y del espacio columna de una matriz A, recibe el nombre de rango de A. El rango de A se denota como rango(A).
Teorema 8
El espacio renglón y el espacio columna de una matriz tienen la misma dimensión.
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 33
Ejemplo
Determinar el rango de la matriz
1 2 3
0 1 2
2 5 8
=
A
Se tiene
(2, 5, 8) = 2(1, 2, 3) + (0, 1, 2)
Así, (1, 2, 3) y (0, 1, 2) forman una base para el espacio renglón de A, el rango(A) = 2
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 34
Teorema 9
Los vectores renglón diferentes de cero de una matriz A de forma escalón reducida constituyen una base para el espacio renglón de A. El rango de A es el número de vectores renglón diferentes de cero.
Ejemplo:
Determinar el rango de la matriz
rango(A) = 3
1 2 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
=
A
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 35
Ejemplo
Encontrar una base para el espacio renglón de la siguiente matriz A y determine su rango.
1 2 3
2 5 4
1 1 5
=
A
1 0 7
0
1 2 3
2 5 4
1
1 5 2 2
0 1 2
0 0 0 01 5
1 2
0 0
−
−
∼ ∼
B = {(1, 0, 7 ), (0, 1, -2)}
rango(A) = 2
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 36
Base para el espacio columna
1 1 0 1 2 1
2 3 2 ; 1 3 4
1 4 6 0 2 6
T
−
= − = − − − −
A A
1 0 5
0 1 3
0 0
1 2
1 3 4
6 0
1
0 2
−
−
−
−
∼
Encontrar una base para el espacio columna de la siguiente matriz A.
1 0
0 , 1
5 3
= −
B
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 37
Generalización:
El procedimiento anterior puede generalizarse para encontrar la base de un subespacio V generado por un conjunto de vectores. Los vectores se expresan como vectores renglón de una matriz y se reduce la matriz a la forma reducida escalón. Los vectores renglón diferentes de cero de la matriz reducida escalón proporcionan una base para V.
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 38
Ejemplo:
1 2 3 4
1 1 4 2
3 4 11 8
= − − − −
A
Determinar una base para el subespacio V de R4
generado por los vectores
(1, 2, 3, 4), (-1,-1,-4,-2), (3, 4, 11, 8)
Solución, A es la matriz cuyos renglones son los vectores anteriores.
1 2 3 4
1 1 4 2
3
1 0 5 0
0 1 1
4 1 01 8
2
0 0 0
− − − −
−
∼
B = {(1, 0, 5, 0 ), (0, 1, -1, 2)}