Capacitancia
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Ing. Electromecánica Los Mochis, Sinaloa Marzo del 2015 Instituto Tecnológico de Los Mochis Sistemas Eléctricos de Potencia Alcantar Bazua Luis Pedro Capacitancia Estrella Barragán Christian U.
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Ing. Electromecánica Los Mochis, Sinaloa Marzo del 2015
Instituto Tecnológico de
Los Mochis
Sistemas Eléctricos de Potencia
Alcantar Bazua Luis Pedro
Capacitancia
Estrella Barragán Christian U.
ÍNDICE
Resumen ....................................................................................................................................... 1
Introducción .............................................................................................................................. 1
Capacitancia ............................................................................................................................... 2
Campo eléctrico en un conductor recto ................................................................... 2
Diferencia de potencial entre dos puntos .............................................................. 3
Capacitancia entre dos conductores ......................................................................... 5
Capacitancia trifásica con espaciamiento equilátero ..................................... 7
Capacitancia trifásica con espaciamiento asimétrico .................. 9
Capacitancia trifásica respecto a tierra .................................................... 10
Capacitancia en conductores agrupados ................................................. 11
Conclusión ............................................................................................................................. 12
Resumen
La capacitancia de una línea de transmisión es el resultado de la
diferencia de potencial entre los conductores y origina que ellos
se carguen de la misma forma que las placas de un capacitor
cuando hay una diferencia de potencial. La base para el análisis
de la capacitancia es la ley de Gauss para los campos eléctricos.
Esta ley establece que la carga eléctrica total dentro de una
superficie cerrada es igual al flujo eléctrico total que sale de la
superficie. En otras palabras, la carga total dentro de una
superficie cerrada es igual a la integral sobre la superficie de la
componente normal de la densidad de flujo eléctrico.
Introducción
Los distintos fenómenos que se presentan en las líneas de transmisión, ha
hecho que se realicen diferentes tipos de investigaciones para lograr que
se transmita de manera eficiente la energía eléctrica.
En este caso se está estudiando la capacitancia en líneas de transmisión,
esto ya que un voltaje alterno en una línea de transmisión tiene como
consecuencia que la carga en los conductores en un punto dado aumente
o disminuya con el aumento o disminución del valor instantáneo de
voltaje entre los conductores en ese punto.
Capacitancia
La capacitancia se determina a partir de la formación de campos
eléctricos, los cuales son originados por la carga que se produce
entre conductores y que a su vez está relacionada con la tensión
del mismo conductor.
A menudo la capacitancia suele despreciarse en líneas de
trasmisión que no exceden los 80 Km de longitud, sin embargo
conforme se incremente la longitud de la línea de transmisión,
se vuelve muy importante el efecto capacitivo que se produce en
ella, ya que tal efecto también se incrementa, contribuyendo
desfavorablemente a la caída de tensión, eficiencia, factor de
potencia y estabilidad del sistema.
Campo eléctrico en un conductor recto
Se puede calcular la densidad de flujo eléctrico a x metros del
conductor, imaginando una superficie cilíndrica concéntrica a x
metros de radio. Como todas las partes de la superficie son
equidistantes al conductor la superficie cilíndrica es
equipotencial al flujo y la densidad de flujo eléctrico en la
superficie es igual al flujo que deja el conductor por metro de
longitud, dividido por el área de la superficie en una longitud
axial de 1 m.
𝐷𝑓 =𝑄
2𝜋𝑥 𝐶
𝑚2⁄
El estudio de la capacitancia se
desarrolla a partir de la ley de
Gauss para campos eléctricos,
“la carga eléctrica total dentro
de una superficie cerrada es
igual al flujo eléctrico total que
sale de la superficie”.
La formación de campos eléctricos comúnmente se considera en
un único conductor infinitamente largo dentro de un medio
dieléctrico, como lo es el aire, donde la carga por unidad de
longitud esta uniformemente distribuida sobre la periferia del
conductor.
𝐸 =𝑄
2𝜋𝑥𝑘 𝑣 𝑚⁄
Diferencia de potencial entre dos puntos
debida a una carga
La diferencia de potencial entre dos puntos en volts es
numéricamente igual al trabajo en Joules por coulomb de carga
entre los dos puntos.
La intensidad del campo eléctrico es una medida de fuerza sobre
una carga que está en el campo. La intensidad del campo
eléctrico en volts por metro es igual a la fuerza en newton por
coulomb sobre un coulomb de carga positiva en el punto
considerado.
El conductor es una superficie equipotencial y para calcular el
flujo externo al conductor, se puede considerar que la carga
distribuida uniformemente sobre el es equivalente a la carga
concentrada en su centro.
La caída de voltaje entre dos puntos puede ser positiva o
negativa dependiendo de que la carga que causa la diferencia de
potencial sea positiva o negativa y de que la caída de voltaje se
calcule desde el punto más cercano
al conductor hasta el más alejado, o
viceversa.
En la figura se muestra la
trayectoria de integración entre
dos puntos externos a un
conductor cilíndrico que tiene una
carga positiva distribuida
uniformemente.
𝑣 = ∫ 𝐸𝐷2
𝐷1
𝑑𝑥 = ∫𝑞
2𝜋𝑘𝑥
𝐷2
𝐷1
𝑑𝑥 =𝑞
2𝜋𝑘𝑥ln
𝐷2
𝐷1 𝑉
Capacitancia entre dos conductores
La capacitancia es el cociente entre la carga existente en el
conductor y la diferencia de tensión, de tal forma la capacitancia
se expresa como:
𝐶 =𝑄
𝑣 𝐹 𝑚⁄
La capacitancia entre dos
conductores se debe a la caída de
tensión de cada conductor, por lo
tanto la caída de tensión entre
conductores es debida a cada una
de sus cargas, donde 𝑉𝑎𝑏 es la caída
de tensión entre los conductores a y b; y D la distancia de
separación entre ellos, 𝑟𝑎 y 𝑟𝑏 son el radio de los conductores a y
b respectivamente.
𝑉𝑎𝑏 =𝑄𝑎
2𝜋𝑘ln
𝐷
𝑟𝑎+
𝑄𝑏
2𝜋𝑘ln
𝑟𝑏
𝐷
Asumiendo que ambas cargas son de igual magnitud y 𝑄𝑏 es la
carga de retorno.
𝑉𝑎𝑏 =𝑄𝑎
2𝜋𝑘[ln
𝐷2
𝑟𝑎 ∙ 𝑟𝑏]
y considerando que los radios de los conductores son idénticos
𝑉𝑎𝑏 =𝑄𝑎
2𝜋𝑘[2 ln
𝐷
𝑟]
Finalmente para la capacitancia entre los conductores a y b se
tiene
𝐶𝑎𝑏 =𝑄𝑎
𝑄𝑎
2𝜋𝑘[2 ln
𝐷𝑟
]=
𝜋𝑘
ln𝐷𝑟
A sí mismo, la capacitancia existente entre el conductor y el
neutro se obtiene al dividir la ecuación anterior entre dos
𝐶𝑎𝑏 =2𝜋𝑘
ln𝐷𝑟
Superficies equipotenciales
de porción de campo eléctrico
originado por un conductor a
cargado (que no se muestra).
El conductor b provoca que la
superficies equipotenciales se
distorsionan. Las flechas
indican las trayectorias
operacionales de integración
entre un punto de la
superficie equipotencial.
Después de que se determina la
capacitancia al neutro, se puede
determinar la reactancia capacitiva,
que se presentan en un conductor y neutro para una
permitividad relativa k=1.
𝑥𝑐 =1
2𝜋𝑓𝐶=
2.862
𝑓× 109 ln
𝐷
𝑟
Capacitancia trifásica con espaciamiento
equilátero
En un circuito trifásico la diferencia de tensión
entre dos conductores se debe a cada una de sus
cargas, de tal forma que al considerar al
conductor a y b, el voltaje entre los conductores
en una línea trifásica es
𝑉𝑎𝑏 =1
2𝜋𝑘(𝑞𝑎 ln
𝐷
𝑟+ 𝑞𝑏 ln
𝑟
𝐷+ 𝑞𝑐 ln
𝐷
𝐷)
𝑉𝑎𝑐 =1
2𝜋𝑘(𝑞𝑎 ln
𝐷
𝑟+ 𝑞𝑏 ln
𝐷
𝐷+ 𝑞𝑐 ln
𝑟
𝐷)
Sumando las dos ecuaciones anteriores
𝑉𝑎𝑏 + 𝑉𝑎𝑐 =1
2𝜋𝑘[2𝑞𝑎 ln
𝐷
𝑟+ (𝑞𝑏 + 𝑞𝑐) ln
𝑟
𝐷]
Como la capacitancia al neutro es la relación
de la carga sobre un conductor al voltaje
entre el conductor y el neutro.
El término corriente de carga se aplica a la
corriente asociada a la capacitancia de la
línea. Para un circuito monofásico, la
corriente de la carga es el producto de voltaje línea a línea y la
susceptancia línea a línea, o como fasor.
𝐼𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 = 𝑗𝜔 ∙ 𝐶𝑎𝑏 ∙ 𝑉𝑎𝑏
Para una línea trifásica la corriente de carga se encuentra
multiplicando el voltaje al neutro por la susceptancia capacitiva
al neutro. Esto da la corriente de carga por fase y concuerda con
el cálculo de circuito trifásico balanceado sobre la base de una
sola fase con neutro de retorno.
𝐼𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 = 𝑗𝜔 ∙ 𝐶𝑎𝑛 ∙ 𝑉𝑎𝑛
Capacitancia trifásica con espaciamiento
asimétrico
La asimetría de la capacitancia se resuelve de forma similar a la
transposición de fases de la inductancia, en la figura se
muestran los conductores de fases con espaciamiento
asimétrico, trasponiendo el conductor en cada una de las
posiciones (a, b y c), de las cuales se encuentran las ecuaciones
para el voltaje en cada una de ellas. Observe la analogía
geométrica de la obtenida para la inductancia.
Con la fase a en la posición 1, b en la 2 y c
en la 3.
𝑉𝑎𝑏 =1
2𝜋𝑘(𝑞𝑎 ln
𝐷12
𝑟+ 𝑞𝑏 ln
𝑟
𝐷12+ 𝑞𝑐 ln
𝐷23
𝐷31)
Con la fase a en la posición 2, b en la 3 y c en la 1.
𝑉𝑎𝑏 =1
2𝜋𝑘(𝑞𝑎 ln
𝐷23
𝑟+ 𝑞𝑏 ln
𝑟
𝐷23+ 𝑞𝑐 ln
𝐷31
𝐷12)
Y con a en la posición 3, b en la 1 y c en la 2
𝑉𝑎𝑏 =1
2𝜋𝑘(𝑞𝑎 ln
𝐷31
𝑟+ 𝑞𝑏 ln
𝑟
𝐷31+ 𝑞𝑐 ln
𝐷12
𝐷23)
Capacitancia trifásica respecto a tierra
Hasta ahora se ha considerado que los conductores están colocados en un medio dieléctrico de extensión infinita, lo que es correcto suponer cuando la distancia que existe entre conductores de fases es menor que la distancia entre conductores y tierra (suelo), esto ocurre en líneas con niveles de tensión menores a los 220 kV, por otro lado con niveles superiores a los 220 kV la distancia entre conductores de fases y conductores a tierra son del mismo orden, a partir de este momento el efecto capacitivo a tierra es de gran importancia. La presencia de cuerpos
conductores como lo son el suelo
o los hilos de guarda afectan la
capacitancia de las líneas de
transmisión, debido a que su
presencia altera las líneas de
campo eléctrico, haciéndolas
perpendicular hacia los cuerpos
conductores.
Actualmente para el estudio de la capacitancia con respecto a
tierra se utiliza un método llamado imagen, el cual consiste en
suponer un conductor ficticio por debajo del suelo a una misma
distancia y dirección que el conductor real, suponiendo que se
elimine el plano de tierra y considerando que el conductor
ficticio es el de retorno con una carga igual y opuesta a la del
conductor real se produce una diferencia de potencial entre
ambos conductores, siendo el punto medio de la distancia entre
los conductores una superficie equipotencial equivalente a
considerar la diferencia de potencial del conductor real con
respecto a tierra.
Capacitancia en conductores agrupados
Al considerar conductores agrupados de fases, las cargas deben
de repartirse por igual entre los hilos conductores que forman el
agrupamiento de la fase
correspondiente.
Para un agrupamiento de
dos conductores las
cargas son divididas entre dos en cada una de sus fases
correspondientes, por lo tanto el diferencial de potencial para
conductores de dos agrupamientos es:
𝑉𝑎𝑏 =1
2𝜋𝑘(𝑄𝑎 ln
𝐷12
√𝑟𝑑+ 𝑄𝑏 ln
√𝑟𝑑
𝐷12+ 𝑄𝑐 ln
𝐷23
𝐷31)
Para calcular el RMG para conductores agrupados tenemos lo
siguiente.
Dos conductores 𝑟′ = √𝑟 ∙ 𝑑
Tres conductores 𝑟′ = √𝑟 ∙ 𝑑23
Cuatro conductores 𝑟′ = 1.09√𝑟 ∙ 𝑑34
Conclusión
