Dos conductores cualesquiera separados por un aislador (o un vacío) forman un capacitor o condensador

DEFINICION DE CAPACITANCIA

La relación de carga respecto a la diferencia de potencial no cambia. Esta relación se conoce como CAPACITANCIA C.

V

QC

∆= La unidad de C en el S.I. es el farad (F)

VCF =

CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS

00 ε

encerradaqAdE =•∫

d

VEdEV

∆=⇒=∆ 00

E0 dA

00 ε

QAE =

0εQ

Ad

V =∆

d

A

V

Q 0ε=∆ d

AC 0ε=

PROBLEMA

Calcule el área que debe tener la placa de un capacitor de placas paralelas para que su capacitancia sea de 1.0 F. Suponga que la separación entre sus placas es de 1.0 cm.

0

0

εε Cd

Ad

AC =⇒=

( )2212 /1085.8

01.00.1

NmC

mFA −×

=

21129943503mA =Si la placa fuera cuadrada, cada lado mediría:

ml 336147=

CAPACITOR CILINDRICO

sdEVVb

a

ab

⋅−=− ∫

00 2 επλ

ε rl

lE

QEA =⇒=

r

kE

λ2=

∫∫ −=−=∆b

a

b

a r

drkEdrV λ2 a

b

l

Qk

a

bkV ln2ln2 ==∆ λ

C

ab

k

l

V

Q =

=∆

ln2

CAPACITOR ESFERICO

∫−=−b

aab EdrVV

Donde: 2r

QkE =

drrkQVb

a∫−=∆ 2

−=

−−=∆

abkQ

rkQV

111

−=∆ab

abkQV ( ) C

abk

ab

V

Q =−

=∆

Demuestre que si el radio exterior de la esfera se acerca al infinito, entonces:

aC 04πε=

Demuestre que si el radio exterior de la esfera se acerca al infinito, entonces:

aC 04πε=

COMBINACION DE CAPACITORES

VCq 11 =

VCq 22 =

( )VCCqq 2121 +=+

21 CCV

Q +=

21 CCCequiv +=∴

En una conexión en paralelo el potencial es el mismo.

En paralelo

En serie

11 C

qV =

22 C

qV =

+=+

2121

11

CCqVV

21

111

CCVq

+=21

111

CCCequiv+=

Para una combinación en serie, la carga en los capacitores es la misma.

ENERGIA ALMACENADA EN UN CAPACITOR

Usted tiene tres capacitores y una batería. ¿Cómo combinaría los capacitores y la batería en un circuito de modo que los capacitores almacenaran la máxima energía posible?

DENSIDAD DE ENERGÍA

Volumen

Energíau =

( )Ad

Ed

d

A

Ad

CVu

20

2

2

1

2

1

== ε

202

1Eu ε=

Calcule la capacitancia equivalente entre los puntos a y b y complete la tabla mostrada. Vab = 24V

(C) µF

Q (µC) V(V) U(J)

C1 12

C2 12

C3 10

C4 15

C5 4

C6 2FCC

µ615

1

10

11 =′⇒+=′

FCC eqeq

µ824

1

12

11 =⇒+=

CQFVCQ abeq µµ 192248 11 =⇒×==

VF

C

C

QVad 16

12

192

1

1 ===µµ

VVdb 8=

CVFVCQ db µµ 9681222 =×==

CFVCVQ db µµ 48683434 =×==

C1

C2

C3C4

C5

C6

a b•d •

e

VVVC

F

C

QV ebde 2.38.4

10

48

3

3 =⇒===µµ

CVFVCQ db µµ 328455 =×==

CVFVCQ db µµ 168266 =×==

192

96

48

48

8

8

8

4.8

3.2

32

16

16

CAPACITORES CON DIELECTRICOS

Cuando se inserta el dieléctrico, los experimentos muestran que la diferencia de potencial disminuye a un valor más pequeño V.

Cuando se retira el dieléctrico, la diferencia de potencial recupera su valor original V0 , lo que demuestra que las cargas originales de las placas no han cambiado.

( )odieléctricsin 0

0 V

QC = ( )odieléctriccon

V

QC =

Cuando el espacio entre las placas está ocupado totalmente por el dieléctrico, la proporción de C a C0 recibe el nombre de constante dieléctrica del material k.

( )odieléctricsin 0

0 V

QC = ( )odieléctriccon

V

QC =

=

adieléctric

constante de definicion

0C

Ck ( )constante es Q Cuando 0

V

Vk =

CARGA INDUCIDA Y POLARIZACION

Moléculas polares sin campo eléctrico aplicado

Moléculas polares, con campo eléctrico aplicado

Moléculas no polares sin campo eléctrico aplicado

Moléculas no polares con campo eléctrico aplicado

La polarización de un dieléctrico en un campo eléctrico E da origen a capas finas de cargas ligadas en las superficies, y esto crea densidades de cargas superficiales σi y -σi

PROBLEMA

Un capacitor se construye a partir de dos placas cuadradas de lados l y

separación d . Un material de constante dieléctrica k se inserta una distancia x dentro del capacitor como se muestra en la figura.a) Encuentre la capacitancia equivalente del dispositivo.b) Calcule la energía almacenada en el capacitor si la diferencia de potencial es ∆V.c) Encuentre la magnitud y la dirección de la fuerza ejercida sobre el dieléctrico, suponiendo una diferencia de potencial constante ∆V. Ignore la fricción

x

ℓ

dk

( )d

lxldxlk

CCCa eq

−+=+= 0021 )

εε

( )xllkxld

Ceq −+= 20ε

( )[ ]120 −+= kxlld

Ceqε

x

ℓ

dk( )[ ]120 −+= kxll

dCeq

ε

( )[ ]( ) 220 122

1 )

2

Vkxlld

CVUb ∆−+== ε

( )[ ]( ) iVkld

idxdU

Fc ˆ12

ˆ ) 20 ∆−−=−= ε

Dirigida hacia la izquierda( ) ( )ikld

VF ˆ1

2

20 −∆−= ε

Carga libre

Carga inducida

--------

++++++++

Aq

Eq

AEq

AdE0

00

00

0.εεε

=⇒⇒=⇒=∫

dieléctricokE

Aqq

kEqq

AEk0

0

0 εε′−=⇒

′−=

( )inducida cargaq′0E

libre) carga(q

superficieGaussiana

Aqq

kEqq

AEk0

0

0 εε′−=⇒

′−=Aq

Eq

AEq

AdE0

00

00

0.εεε

=⇒⇒=⇒=∫

Aq

Aqkkq

00 εε=

′− qkqqk −=′

−=′

kqq

11

∫′−=

0

.εqq

AdEk

∫

−−

=0

11

.ε

kqq

AdEk

Un capacitor de placas paralelas es cargado con una batería hasta una carga Q0, como se muestra en la figura. Luego, la batería es removida, y una loza de material que tiene una constante dieléctrica K se inserta entre las placas. Calcule la energía guardada en el capacitor antes y después que el dieléctrico se ha insertado.

La energía guardada sin dieléctrico es:

Cuando se desconecta de la batería y se inserta el dieléctrico, la carga en el capacitor no cambia. Por lo tanto, la energía guardada en presencia del dieléctrico es:

Pero la capacitancia en presencia del dieléctrico es: C=kC0 , así que U es:

El campo eléctrico no uniforme cerca de los filos del capacitor de placas paralelas causa que el dieléctrico sea halado hacia el capacitor. Note que el campo actúa sobre las cargas inducidas de la superficie, las cuales están distribuidas no uniformemente.

Se observa las cargas inducidas en el dieléctrico entre las placas del capacitor cargado. Note que la densidad de carga inducida en el dieléctrico es menor que la densidad de carga en las placas.

Un capacitor de placas paralelas tiene un área A y separación entre las placas d. Una loza metálica descargada de espesor a se inserta en la mitad entre las placas.a) Calcule la capacitancia del dispositivo.

21

111

CCC+=

( ) ( )2

1

2

11

00

adA

adAC

−

+

−

= εε

Observe que C se aproxima al infinito cuando a se acerca a d. ¿Por qué?

b) Muestre que la capacitancia del dispositivo no es afectada cuando el espesor de la loza se hace infinitésimamente pequeño.

La cual es la capacitancia original

c) Demuestre que la respuesta de la parte (a) no depende del lugar donde la loza se inserta.

Imaginemos que la loza es movida hacia arriba de modo que la distancia entre el filo superior de la loza y la placa superior sea b. Luego, la distancia entre el filo inferior de la loza y la placa de abajo sería: d - b – a. Como en la parte (a), hallamos la capacitancia total de la combinación en serie.

Este es el mismo resultado que en (a). Es independiente del valor de b.

En el ejemplo anterior encontramos que se puede insertar una loza metálica entre las placas de un capacitor y considerar la combinación como dos capacitores en serie. La capacitancia resultante fue independiente de la ubicación de la loza. Además, si el espesor de la loza se aproxima a cero, la capacitancia del sistema se aproxima a la capacitancia cuando la loza está ausente.

Un capacitor de placas paralelas se construye usando tres materiales

dieléctricos. Se puede suponer que l >> d. Encuentre una expresión para la capacitancia del dispositivo en términos del área de placa A y d, k1 , k2. y k3

Considere el circuito mostrado en la figura, donde C1 = 6.00µF, C2 = 3.00µF, y ∆V = 20.0V. El capacitor 1 es cargado primeramente al cerrar el switch S1. Luego el switch S1 se abre y el capacitor cargado se conecta al capacitor descargado al cerrar el switch S2. Calcule la carga inicial de C1 y la carga final de cada uno.

Para el sistema de capacitores mostrado en la figura, calcule:a)La capacitancia equivalente del sistema.b)La carga en cada capacitor.c)La diferencia de potencial a través de cada capacitor.

Calcule la capacitancia equivalente entre los puntos a y b en la combinación de capacitores mostrados en la figura

Considere dos alambres largos, paralelos y con cargas opuestas de radio d con sus centros separados por una distancia D. Suponiendo que la carga está distribuida uniformemente sobre la superficie de cada alambre, demuestre que la capacitancia por unidad de longitud de este par de alambres es:

El campo eléctrico debido a la carga sobre el alambre positivo es perpendicular al alambre, radial y de magnitud:

La diferencia de potencial entre los alambres debido a la presencia de esta carga es:

La capacitancia por unidad de longitud es:

Un capacitor de placas paralelas tiene una carga Q y placas de área A. ¿Cuál es la fuerza que actúa sobre una placa para atraer sobre ella a la otra placa?

(b) Calcule la constante de fuerza del resorte

La fuerza que estira un resorte es:

Cada resorte se estira por una distancia igual a:

Un capacitor tiene placas cuadradas, cada una de lado a, formando un ángulo Ө entre si. Demuestre que, para Ө pequeño, la capacitancia está dada por:

−=

d

a

d

aC

21

20 θε

θεxsend

adxdC

+= 0

( ) dxxsendaC1

0

−

∫ += θε

dxsend

x

d

aC

1

0 1−

∫

+= θε De acuerdo

al binomio de Newton

dxsend

x

d

aC ∫

−= θε10

dxd

x

d

aC

a

∫

−=

0

0 1 θε

−=d

aa

d

aC

2

20 θε

−=

d

a

d

aC

21

20 θε

x

dx

θ

a

d

dA = adx

PROBLEMA

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - -

+ + + + + + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - -

+ + + + + + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

(c) Calcular la intensidad del campo eléctrico en la parte sin dieléctrico.

(d) Calcular la intensidad del campo eléctrico en el dieléctrico.

(e) Calcular la diferencia de potencial entre las placas.

Se tomará una superficie recta perpendicular a las placas desde abajo hacia arriba.

(f) Calcule la Capacitancia al estar colocado el dieléctrico.