En una clase pasada quedamos en que la relacin entre tensin de un conductor con respecto al suelo y la carga inducida en su superficie es:

j

j jk

kj

kn qr

rV

=

=

3

1

*

0

ln2

1

pi

Las distancias son las siguientes:

En el caso que j=k, rj*k=2hj y rjk=rc. Analicemos la fase 1 de una lnea cualquiera

+

+

=

3

31

1*3

2

21

1*2

1

1

0

1lnln

2ln

2

1q

r

rq

r

rq

r

hV

c

n

pi

Acomodando trminos de manera conveniente se llega a lo siguiente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]331221131*321*211

0

1lnlnlnlnln2ln

2

1qrqrqrqrqrqhV cn

++++=pi

Analizaremos dos casos de inters:

1.- Lnea trifsica con disposicin de fases en tringulo equiltero: La expresin para la fase 1 ser:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]32131*321*211

0

1 lnlnlnlnln2ln2

1qDqDqrqrqrqhV cn

++++=pi

En un sistema trifsico balanceado se debe cumplir que 0321=++ qqq .

Luego:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]131*321*211

0

1 lnlnlnln2ln2

1qDrqrqrqhV cn

++=pi

( ) ( ) ( )

+++=

131*321*211

0

1lnlnln2ln

2

1q

r

DqrqrqhV

c

n

pi

Si adems suponemos que la lnea est suficientemente alejada del suelo

se tendr que 11*31*2

2hrr Ejemplo numrico: Por reglamento elctrico, lo mnimo que se debe tener un conductor de una lnea de 220 kV sobre el suelo son 7,32 [m]. Si consideramos una separacin entre fases de 5 [m], se tendr que:

( ) [ ]mr 85,145,264,14 221*2

=+=

( ) [ ]mr 47,15564,14 221*3

=+=

[ ]mh 64,1421=

Propuesto dejo rehacer el clculo cuando la distancia al suelo es mayor (con 10 m ya las cantidades se parecen ms entre ellas). Lo importante es que las distancias entre conductores sean menores que la altura de estos sobre el suelos.

Luego:

( ) ( )

+++= 11

0

321

0

1 ln2ln2

1q

r

DhqqqV

c

n

pi

1

0

1 ln2

1q

r

DV

c

n

=

pi

Finalmente, la capacitancia es

=

c

n

r

DC

ln

2 01

pi

Lo mismo se tendr para las dems fases. Con esta expresin se puede tener el modelo de lnea de transmisin con un equivalente monofsico. La expresin anterior no significa que no existan capacitancias entre fases (de hecho, las hay, y basta con escribir en forma matricial la primera ecuacin de este texto)

2.- Lnea trifsica con espaciamientos asimtricos

Volviendo a la expresin general de la fase 1:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1 2*1 2 3*1 3 1 21 2 3*1 30

1ln 2 ln ln ln ln ln

2n cV h q r q r q r q r q r qpi

= + + + +

En este caso no podemos factorizar nada de lo que est con signo menos en parntesis redondo. Si bien el resto de los trminos que aproximamos como iguales en la expresin anterior podramos eliminarnos, los dejaremos ah por un momento. Una transposicin es una tcnica constructiva que hace que cada fase ocupe todas las posiciones en una lnea, durante un tercio del recorrido.

Para llegar a una expresin til para nuestro propsito, se hace el supuesto que la carga es constante en cada conductor de fase (o al menos presenta pequeas variaciones), independiente de la posicin que ocupa en la lnea durante un ciclo completo de transposicin. Considerando lo anterior, la tensin en cada fase ser un promedio:

1 2 3

1 1 1

13

Tramo Tramo TramoTranspuesto

n

V V VV

+ +=

Es decir, la tensin de la fase 1 es el promedio de la tensin promedio del conductor de la fase azul. Luego:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

1 2 3 2*1 3*2 3*1

1 1 2

0

3*1 2*1 3*2 21 32 31

3 1 2

3*1 2*1 3*2

ln 2 ln 2 ln 2 ln ln ln1

2 3 3

ln ln ln ln ln lnln

3 3

ln ln ln

3

Transpuesto

n

c

h h h r r rV q q

r r r r r rq r q q

r r r

pi

+ + + += +

+ + + ++

+ ++

Factorizando y ordenando:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )3 3 31 1 2 3 1 2*1 3*2 3*1 2 3 1 21 32 31 2 30

1ln 2 ln ln ln

2

Transpuesto

n cV h h h q r r r q q r q r r r q qpi = + + +

Y considerando que 1 2 3q q q = + :

3 321 32 31 2*1 3*2 3*1

1 13

0 1 2 3

1ln ln

2 2

Transpuesto

n

c

r r r r r rV q

r h h hpi

=

Definiendo la distancia media geomtrica como 321 32 31

DMG r r r=

32*1 3*2 3*1

1 13

0 1 2 3

1ln ln

2 2

Transpuesto

n

c

r r rDMGV q

r h h hpi

=

La expresin anterior muestra cmo la presencia de un plano de tierra disminuye la capacitancia de una lnea. Si se considera nuevamente una lnea con sus conductores alejados de la

tierra, se tendr que 2*1 3*1 3*2 1 2 3

2 2 2r r r h h h . Luego

0

1 1 1

0

21ln

2ln

Transpuesto

n n

c

c

DMGV q C

r DMG

r

pipi

= =