Capicuas
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AULA DE EL MUNDO 53 El año que acaba de comenzar, 2002, será el último capicúa que vivamos los que leemos este suplemento. El anterior fue 1991. Por eso, hoy vamos a contarte unas cuantas curiosidades so- bre estos números. Y como, además, existe la propiedad capi- cúa para los textos y las imágenes, te hablaremos también de las expresiones palindrómicas o los palíndromos. CAPICUAS Y PALINDROMOS por Lolita Brain L os números capicúas, ya sabes, los que son iguales de izquier- da a derecha que de derecha a izquierda, no presentan nada especial bajo el prisma de las Matemáticas. No mantienen re- gularidad alguna ni contienen ningún secreto y son mucho más po- bres que los números perfectos o los primos. Sin embargo su es- tudio está lleno de conjeturas. Es decir, se sabe cómo se compor- tan en algunas situaciones pero no se tiene ni idea de qué sucede en todos los casos. U na de las más famosas con- jeturas sobre los números ca- picúas aparece en textos hacia 1930, pero es de origen desco- nocido. Afirma que, partien- do de un número entero cual- quiera, se le da la vuelta a sus cifras y se suma con él. Si el re- sultado inicial no es capicúa, se repite el proceso con el nue- vo número. La conjetura asegura que, de este modo, en un núme- ro de pasos finitos se encuentra un número capicúa. Aunque su veracidad es más o menos acep- tada, en 1967, el matemático ca- liforniano Charles Trigg, en- contró que en los primeros 10.000 números hay 249 que tras repetir el proceso nada me- nos que 100 veces no aparece un capicúa. En 1975, Harry Saal tomó el 196, el menor de los nú- meros encontrados por Trigg y tras repetir 237.310 iteraciones no encontró un capicúa. Salvo las 249 excepciones, los enteros me- nores de 10.000 producen capi- cúa antes de 24 pasos. Es más, sólo 89 y 98 necesitan las 24 ite- raciones. Hoy en día, Trigg pien- sa que es falsa. U n PALÍNDROMO (del griego PALIN de nuevo y DROMOS carrera, andar) es una palabra (Ana) o una frase (Amo la pacífica paloma) que se lee igual de izquierda a derecha, que de derecha a izquierda. Existen en todos los idiomas y han interesado a personajes fa- mosos, como a Lewis Carrol, el autor de Alicia en el país de las maravillas. Te dejamos una pequeña muestra de algunos en castellano. E ste número tiene tres particularidades: es resultado de hacer el cuadrado de 836, 836 2 =698.896, que es el mayor número de tres cifras, cuyo cuadrado da de resultado un capicúa. Además cualquier otro número que sea un cuadrado y además capicúa, es siempre mayor que él. Fíjate además que si le das la vuelta tam- bién es capicúa: 968.869 Dábale arroz a la zorra el abad A cavar a Caravaca A sor Adela, Pepa le da rosa. A ti la sal y la salita A tu rival, la viruta. Abusón, acá no suba ¿Acaso repelen leperos acá? Adán no cede con Eva, Yavé no cede con nada. Al amanecer asaré cena mala. Anás usó tu auto, Susana Arena mala me da de mala manera. Así Mario oirá misa. Isaac no ronca así. Lavan esa base naval. Ni nicotina ni tocinín Nota épica: nací peatón. O sacáis ropa por si acaso. Oír a Darío. Oiré la voz noble del bonzo Valerio ¡Oro! ... ¡Ya hay oro! Otro poseso José soportó ¿Pirata me mata?... R.I.P.! Raja barómetro por temor a bajar. Roba la lona, no la labor. Roza las alas al azor. Yo de lo mínimo le doy T ambién existen imágenes palindrómicas. Son aque- llas que tienen dos sentidos, cuando se las ve en una po- sición y cuando se les da la vuelta o un giro. Te mostra- mos dos ejemplos: el caba- llo-rana y la joven-vieja. + 1 2 =1 11 2 =121 111 2 =12.321 1.111 2 =1.234.321 11.111 2 =123.454.321 111.111 2 =12.345.654.321 ... 1.111.111 2 =12.345.678.987.654.321 L A CONJETURA CAPICUA L os REPETUNOS son números formados sólo con la cifra uno. Cuan- do se elevan al cuadrado aparecen números capicúas con la brillantez de ir encontrando sucesivamente todos los números desde el uno hasta el nueve. Sin embargo, a partir del repetuno 111.111.111 no aparecen más capicúas. [email protected] P A L I N D R O M O S V I S U A L E S Este número podría ser el primer capicúa que esté documenta- do. En la obra Ganitasarasamgraha (hacia 850 d.C.) del matemá- tico indio Mahaviracharya, aparece este número como resultado de unos cálculos, y lo define como ekadishadantani kramena hi- nani, es decir, la cantidad “QUE COMIENZA POR UNO Y AUMENTA HAS- TA SEIS, PARA A CONTINUACIÓN DISMINUIR ORDENADAMENTE...”. Históri- camente, lo más importante es que este documento nos dice que, antes de mediados del siglo IX, los indios ya conocían la nota- ción posicional. Los sistemas anteriores de numeración no podían producir capicúas. ¿E L PRIMER CAPICUA ? 12345654321 6 9 8 . 8 9 6 + 95 59 144 441 585
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AULADE EL MUNDO
53
El año que acaba de comenzar, 2002, será el último capicúa quevivamos los que leemos este suplemento. El anterior fue 1991.Por eso, hoy vamos a contarte unas cuantas curiosidades so-bre estos números. Y como, además, existe la propiedad capi-cúa para los textos y las imágenes, te hablaremos también de lasexpresiones palindrómicas o los palíndromos.
C A P I C U A S Y P A L I N D R O M O S
por Lolita Brain
Los números capicúas, ya sabes, los que son iguales de izquier-
da a derecha que de derecha a izquierda, no presentan nada
especial bajo el prisma de las Matemáticas. No mantienen re-
gularidad alguna ni contienen ningún secreto y son mucho más po-
bres que los números perfectos o los primos. Sin embargo su es-
tudio está lleno de conjeturas. Es decir, se sabe cómo se compor-
tan en algunas situaciones pero no se tiene ni idea de qué sucede en
todos los casos.
Una de las más famosas con-jeturas sobre los números ca-picúas aparece en textos hacia
1930, pero es de origen desco-nocido. Afirma que, partien-do de un número entero cual-quiera, se le da la vuelta a suscifras y se suma con él. Si el re-sultado inicial no es capicúa, serepite el proceso con el nue-vo número. La conjetura aseguraque, de este modo, en un núme-ro de pasos finitos se encuentraun número capicúa. Aunque suveracidad es más o menos acep-tada, en 1967, el matemático ca-liforniano Charles Trigg, en-contró que en los primeros10.000 números hay 249 quetras repetir el proceso nada me-nos que 100 veces no apareceun capicúa. En 1975, Harry Saaltomó el 196, el menor de los nú-meros encontrados por Trigg ytras repetir 237.310 iteracionesno encontró un capicúa. Salvo las249 excepciones, los enteros me-nores de 10.000 producen capi-cúa antes de 24 pasos. Es más,sólo 89 y 98 necesitan las 24 ite-raciones. Hoy en día, Trigg pien-sa que es falsa.
Un PALÍNDROMO (del griego PALIN de nuevo y DROMOS carrera, andar) es una palabra (Ana)
o una frase (Amo la pacífica paloma) que se lee igual de izquierda a derecha, que de
derecha a izquierda. Existen en todos los idiomas y han interesado a personajes fa-
mosos, como a Lewis Carrol, el autor de Alicia en el país de las maravillas. Te dejamos
una pequeña muestra de algunos en castellano.
Este número tiene tres particularidades: es resultado de hacerel cuadrado de 836, 8362=698.896, que es el mayor número
de tres cifras, cuyo cuadrado da de resultado un capicúa. Ademáscualquier otro número que sea un cuadrado y además capicúa,es siempre mayor que él. Fíjate además que si le das la vuelta tam-bién es capicúa: 968.869
Dábale arroz a la zorra el abad
A cavar a Caravaca
A sor Adela, Pepa le da rosa.
A ti la sal y la salita
A tu rival, la viruta.
Abusón, acá no suba
¿Acaso repelen leperos acá?
Adán no cede con Eva, Yavé no cede con
nada.
Al amanecer asaré cena mala.
Anás usó tu auto, Susana
Arena mala me da de mala manera.
Así Mario oirá misa.
Isaac no ronca así.
Lavan esa base naval.
Ni nicotina ni tocinín
Nota épica: nací peatón.
O sacáis ropa por si acaso.
Oír a Darío.
Oiré la voz noble del bonzo Valerio
¡Oro! ... ¡Ya hay oro!
Otro poseso José soportó
¿Pirata me mata?... R.I.P.!
Raja barómetro por temor a bajar.
Roba la lona, no la labor.
Roza las alas al azor.
Yo de lo mínimo le doy
También existen imágenes
palindrómicas. Son aque-
llas que tienen dos sentidos,
cuando se las ve en una po-
sición y cuando se les da la
vuelta o un giro. Te mostra-
mos dos ejemplos: el caba-
llo-rana y la joven-vieja.
+
11 22 ==11
1111 22 == 11 22 11
11 11 11 22 == 11 22 .. 33 22 11
11 .. 11 11 11 22 == 11 .. 22 33 44 .. 33 22 11
11 11 .. 11 11 11 22 == 11 22 33 .. 44 55 44 .. 33 22 11
11 11 11 .. 11 11 11 22 == 11 22 .. 33 44 55 .. 66 55 44 .. 33 22 11
.. .. ..
11 .. 11 11 11 .. 11 11 11 22 == 11 22 .. 33 44 55 .. 66 77 88 .. 99 88 77 .. 66 55 44 .. 33 22 11
LL AA CC OO NN JJ EE TT UU RR AA CC AA PP II CC UU AA
Los REPETUNOS son números formados sólo con la cifra uno. Cuan-do se elevan al cuadrado aparecen números capicúas con labrillantez de ir encontrando sucesivamente todos los números
desde el uno hasta el nueve. Sin embargo, a partir del repetuno111.111.111 no aparecen más capicúas.
PP AA LL II NN DD RR OO MM OO SS VV II SS UU AA LL EE SS
Este número podría ser el primer capicúa que esté documenta-
do. En la obra Ganitasarasamgraha (hacia 850 d.C.) del matemá-
tico indio Mahaviracharya, aparece este número como resultado
de unos cálculos, y lo define como ekadishadantani kramena hi-
nani, es decir, la cantidad “QUE COMIENZA POR UNO Y AUMENTA HAS-
TA SEIS, PARA A CONTINUACIÓN DISMINUIR ORDENADAMENTE...”. Históri-
camente, lo más importante es que este documento nos dice que,
antes de mediados del siglo IX, los indios ya conocían la nota-
ción posicional. Los sistemas anteriores de numeración no podían
producir capicúas.
¿ E L P R I M E R C A P I C U A ?
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
6 9 8 . 8 9 6
+
9559144441585
