CapII_085-102

Universidad de Los AndesFacultad de IngenieríaDepartamento de Vías

CAPTITULO II

Capacidad de carga de la de la FundaciFundaci óónn

Prof. Silvio Rojas

Enero, 2007


Fundaciones

.::.:: Capitulo IICapitulo IICAPACIDAD DE CARGA.CAPACIDAD DE CARGA.

¿Por qué falla la fundación?La fig.116, muestra algunos factores que dan respuesta a la pregunta.


Fundaciones

Ahora considere que la fundación no está afectada por los factores mencionadosy que la capacidad de cargasolamente dependerádel suelo de soporte, y del ancho de la fundación. La fundación va tomando carga por incrementos Δq, tal como se Muestra en la fig. 117.

Si en una gráfica se plotean los valores de la carga “q” que va tomando la fundación vs los desplazamientos de la misma, se obtienen curvas como las mostradas en la fig. 118.


Fundaciones

Respecto a la figura 118, se comenta:

Punto 1Puntos movilizados dentro de la cuña(abe). Hay puntos que se plastificandentro de esa cuña, pero que no fluyenporque están confinadospor el material que rodea la cuña. Después del punto “1” se comienza a perder linealidad ( E= σ/ε).

Punto 2Punto a partir del cual la perdida de linealidad es muy acentuada. Existe movilizaciónde puntos de resistencia en la zona de transición y se desarrollan zonas plásticasdentro de esa área.

Punto 3Punto que se puede considerar corresponde a la resistencia última máxima del sueloy a partir del cual los asentamientos comienzan a ser catastróficos.

Punto 4Punto donde se considera corresponde a la resistencia pico y a partir del cual los asentamientos ocurren, prácticamente sin ningún incremento de carga.


Fundaciones

Algunas definiciones

qult: capacidad de carga ultima

La capacidad de carga ultima, es la presión para la cual los asentamientos comienzan a ser muy grandes o imprevisiblesdebido a la falla por cortey tambiénpor la plastificación del suelo de soporte, en una zona o área donde se moviliza toda la resistencia al cortante fuera de los límites del área cargada y donde se produce cierto levantamiento.

qpico: capacidad de carga pico.

Es la presión que produce un asentamiento catastrófico repentino de la cimentación.

qlocal: capacidad de carga por falla local.

Esta es la presión para la cual se aprecia la primera falta de linealidad importante en la curva carga-asentamiento. Aquí se moviliza la resistenciaen el suelo, inmediatamente por debajo de la zapata y en una parte fuerade la misma.

qadm: capacidad de carga admisible y admisible neta

Se obtiene tomando en cuenta la seguridad de la estructura, lo cual se hace a través del factor de seguridad (FS), por fallas portante del suelo de fundación.

qadm= qult / FS (72)

qadm-neta= qult-q / FS (73)q: sobrecarga efectiva que produce el suelo por encima de la cota de fundación.

La fig.119, presenta una gráfica que permite estimar las zonas donde se produce los tres tipos de falla mencionados anteriormente.

Fig. 119.- Deducción del tipo de falla según el índice de compacidad y la profundidad de cimentación (según Vesic, 1973). Cimentaciones en arenas

BL

LBB

+⋅⋅= 2*

Cuadradas B = Ancho

Circulares B = Diámetro

Rectangular: A través de:

d/B: d empotramiento B: Ancho


Fundaciones

La fig.120, presenta un ejemplo hipotéticodel comportamiento de un suelo, mostrando las zonas elásticas y plásticas, en la zona afectada por las cargas de la fundación.

Fig. 120.- a) Curvacarga-asentamiento en el eje de un problema hipotético. b) Desplazamiento y primera fluencia bajo una carga de 4.40 kg/cm2. c) Extensión de la zona plastificada y campo de desplazamientos para una carga de 6.8 kg/cm2. d) Extensión de la zona plastificada y campo de desplazamientos para una carga de 8.30 kg/cm2.


Fundaciones

II.- ESTIMACION DE LA CAPACIDAD DE CARGA A TRAVES DE LOS ESTADOS ACTIVO Y PASIVO DE RANKING.

Se puede considerar que existe una cuña activa y pasivapara determinar la capacidad ultima del suelo. La fig.121, muestra al suelo de fundación conformado por una cuña activa ubicada inmediatamente por debajo de la zapata, en la mitad del ancho de la zapata y una cuña pasiva ubicada adyacente a la zapata.

Fig. 121.- Cuñas activas y pasivas de Rankine consideradas en la deducción de la capacidad ultima de carga (qult) en una fundación continua ubicada en superficie.

fundación es continua

Deformación plana

Consideraciones para el análisis:

• En este caso se desprecia el cortante que existe en cualquier plano vertical, por tanto el análisis se haráen términos de esfuerzos principales.

• Se aprecia que el plano de falla de la cuña activa forma un ángulo de 45 + φ/2 con la horizontal, y el plano de falla de la cuña pasiva forma un ángulo de 45 -φ/2 con la horizontal.

• Los esfuerzos principales σ1,I y σ3,I actuando a la mitad de la cuña activay los esfuerzos principales σ1,II y σ3,II actuando a la mitad de la cuña pasiva.

• También en el análisis se considera que la fundación es continuay esta ubicada en la superficie, con cargas “q” a ambos lados de la zapata.

• En la zapata la carga que actúa es la máxima capacidad de carga ultima “qult”para las dimensiones de la zapata y las características del suelo de fundación.

• La superficie de falla varia considerablemente respecto a la indicadaen la fig.118, por tanto la deducción no tiene aplicación para estimar la capacidad de carga.


Fundaciones

Antes de continuar con la el análisis de capacidad de carga, veamos las envolventes de resistencia en los diagramas “τ” vs “σ “ y “q” vs “P”. La fig. 122, presenta la envolvente de resistencia en ambos diagramas.

Fig. 122.- Envolventes de resistencia en el diagrama (τ,σ) y (q,P)


Fundaciones

++⋅=

−

2

'''cot'

'2

''

31

31

σσφφ

σσ

ancsen

'2

'''cos'

2''

3131 φσσφσσsenc ⋅

++⋅=

−

−=2

''31

σσf

q

+=2

''' 31

σσf

P

'sin''cos' φφ ⋅+⋅=ff

Pcq

βtan'' ⋅+=f

Paq

Del diagrama se escribe:

79.1

79.2

79.3

79.4

80

81

a = c’.cosφ’ (81.a)

tanβ = senφ’ (81.b)

La ecuación 81, es equivalente al bien conocido criterio de resistencia de Morh-Coulomb, el cual se expresa a través de:

'tan.' φστn

cf += (82)

Veamos la obtención de los estados activos y pasivos de Ranking a partir de los esfuerzos geostáticos. Esto se presenta en la fig. 123 y 124 .

Fig. 123.- Estado activo de Rankineproducido por el movimiento de la pantalla hacia la izquierda


Fundaciones

denominado presión de tierras activa (σ’ha),

Si la pantalla se mueve a la izquierda σ’ vo permanece constante y σ’hodisminuye hasta que el suelo falla para determinado esfuerzo σh, denominado presión de tierras activa (σ’ha), . Si la pantalla se mueva a la derecha, se produce un mayor esfuerzo horizontal sobre el suelo, permaneciendo el esfuerzo vertical constante; el esfuerzo horizontal variará desde σ’ho hasta σ’hp,

Se dice σ’ha es la mínima presión horizontal que puede soportar el suelo, y σ’hp es la máxima presión horizontal que puede soportar la masa de suelo, en el momento de la falla. En el primer caso, el suelo falla por desconfinamiento(descarga) de la masa de suelo, mientras en el segundo caso el suelo falla por el incremento del esfuerzo de confinamiento (carga).


Fundaciones


Fundaciones

Fig. 124.- Estado pasivo de Rankine producido por el movimiento de la pantalla hacia la derecha.

σ’hp es la máxima presión horizontal que puede soportar la masa de suelo

(83)

(84)

(85)

(86)

fancA

3''cot'. σφ +=

−−

−

=2

''

'

2

''

31

31

ff

ff

senA

σσφ

σσ

fancB

1''cot'. σφ +=

−+

−

=2

''

'

2

''

31

31

ff

ff

senB

σσφ

σσ

Tanto para el caso activo (fig. 123), como para el caso pasivo (fig. 124), se escribe:


Fundaciones

−−

−

−+

−

=++

2

''

'2

''2

''

'2

''

'cot'.'

'cot'.'

31

31

31

31

3

1

ff

ff

ff

ff

f

f

sen

sen

anc

anc

σσφ

σσ

σσφ

σσ

φσφσ

(87)

Relacionando las ecuaciones 83,84, 85 y 86, resulta:


Fundaciones

'1

'1

'cot'.'

'cot'.'

3

1

φφ

φσφσ

sen

sen

anc

anc

f

f

−+=

++

(88)

φφφφ

φφσσ anc

sen

senanc

sen

senff

cot'.'1'1

.cot'.'1'1

.''31

−

−++

−+= (89)

Se demuestra que:

'1'1

)2/'45(tan2

φφφ

sen

sen

−+=+ (90)

( ) ( )

( ) ( )

( )( )φφ

φφφφ

φφφφ

φφ

φφ

φφ

φφ

φ

φ

φ

sin1

sin1

2sin2sin2cos22cos

2sin2sin2cos22cos

2cos2cos

2sin2cos

2cos45sin2cos45cos

45cos2sin2cos45sin

245cos

245sin

?245tan

22

22

222

2

−+

=

+

⋅

⋅−

+

⋅

⋅+

=

−

+

=

⋅−

⋅

⋅

+

⋅

=

+

+

=

+

( ) ( )

( ) ( )

( )( )φφ

φφφφ

φφφφ

φφ

φφ

φφ

φφ

φ

φ

φ

sin1

sin1

2sin2sin2cos22cos

2sin2sin2cos22cos

2cos2cos

2sin2cos

2cos45sin2cos45cos

45cos2sin2cos45sin

245cos

245sin

?245tan

22

22

222

2

+−

=

+

⋅

⋅+

+

⋅

⋅−

=

+

−

=

⋅+

⋅

⋅

−

⋅

=

−

−

=

−

'1'1

)2/'45(tan2

φφφ

sen

sen

−+=+

−−+++= 1

'1

'1.'

'cos'.)2/'45(tan.'' 2

31 φφ

φφφσσ

sen

sen

senc

ff

−+−+++=

'1

'1'1.

'

'cos'.)2/'45(tan.'' 2

31 φφφ

φφφσσ

sen

sensen

sencff

−++=

'1'cos

'..2)2/'45(tan.'' 2

31 φφφσσ

senc

ff

'1

1'..2)2/'45(tan.'' 1

2

2

31 φφφσσ

sen

senc

ff −−

++=

( )22

2

2

31 '1

'1'..2)2/'45(tan.''

φφφσσ

sen

senc

ff −−++=


Fundaciones

(90)

Sustituyendo la ec. 90 en la ec. 89, resulta:

(91)

(92)

(93)

(94)

(95)

( ) ( )( )2

2

31 '1

'1*'1'..2)2/'45(tan.''

φφφφσσ

sen

sensenc

ff −+−++= (96)

'1'1

'..2)2/'45(tan.'' 2

31 φφφσσ

sen

senc

ff −+++=

)2/'45tan('..2)2/'45(tan.'' 2

31φφσσ +++= c

ff

)2/'45tan('..2)2/'45(tan.'' 2

1φφσσ −−−= c

fha

)2/'45tan('..2.''1

φσσ −−= cKafha


Fundaciones

(97)

(98)

La ec. 98, es la ecuación básica para la determinación de los empujes activos y pasivos:

Para el caso activo, presentado en la fig. 121, interesa es el esfuerzo σ’ha, el cual se corresponde con σ’3f, por tanto de la ec. 98, se despeja σ’3f = σ’ha, resultando:

(99)

Si tan2 (45 - φ’/2), se sustituye por el coeficiente Ka, se tiene:

(100)donde:

Ka: Coeficiente de empuje activo.

zf

.'1

γσ =

)2/'45tan('..2..' φγσ −−= cKazha

)2/'45tan('..2...2

1 2 φγ −−= HcKaHEa


Fundaciones

Si el esfuerzo vertical σ’1f se sustituye, por el esfuerzo vertical que produce el suelo a determinada profundidad, es decir:

(101)

donde:

γ: Peso unitario del suelo.

z: Profundidad donde se desea estimar la presión de tierras activa.

Sustituyendo la ec. 101 en la ec. 100, e integrando, entonces se obtiene el empuje activo que produce el suelo sobre la pantalla de la fig. 121. Esto es:

(102)

Integrando entre z=0 y z = H, resulta:

(103)


Fundaciones

donde:

Ea: Empuje activo de tierras que produce el suelo sobre la pantalla de la fig. 121.

H: Altura de la pantalla.

Para el caso pasivo, mostrado en la fig. 122, el esfuerzo σ’hp se corresponde con σ’1f, por tanto de la ec. 98, se escribe como:

)2/'45(tan'..2)2/'45(tan.'' 22

3φφσσ +++= c

fhp (104)

Si tan2 (45 + φ’/2), se sustituye por el coeficiente Kp, se tiene:

)2/'45(tan'..2.'' 2

3φσσ ++= cKp

fhp (105)

donde:

Kp: Coeficiente de empuje pasivo.

Ahora el esfuerzo vertical es σ’3f el cual se sustituye, por el esfuerzo vertical que produce el suelo a determinada profundidad, es decir:

zf

.'31

γσ =

)2/'45tan(.'..2...2

1 2 φγ ++= HcKpHEp


Fundaciones

(106)

Sustituyendo la ec. 106 en la ec. 105, e integrando, entre z=0 y Z=H, resulta:

(107)

donde:

Ep: Empuje pasivo de tierras que produce la pantalla sobre el suelo en la fig. 122.

Si ahora se expresa:

Nφ = tan2 (45 + φ’/2) (108)

Sustituyendo la ec. 108 en la ec. 98, queda:

2/1

31'..2.'' φφσσ NcN

ff+= (109)

Ahora se aplica la ec. 109 a los estados activos y pasivos, producidos por las cuñas mostradas en la fig. 121, tal como se desarrolla a continuación:

2/1

,3,1'..2.'' φφσσ NcN

II+=

2/1

,3,1'..2.'' φφσσ NcN

IIII+=


Fundaciones

σ1,II, σ3,II, σ1, I, σ3,I son esfuerzos en la falla, por tanto la ec. 109 se aplicará para la cuña activa y pasiva. Esto es:

Para la cuña activa:

(110)

donde:

σ1,I: Esfuerzo vertical en la cuña activa

σ3,I: Esfuerzo horizontal en la cuña activa

Para la cuña pasiva:

(111)

donde:

σ1,II: Esfuerzo horizontal en la cuña pasiva.

σ3,II: Esfuerzo vertical en la cuña pasiva.

γσ .2,3

+= Hq

II

)2'45tan(.2

φ+

= BH


Fundaciones

El esfuerzo vertical en la cuña pasiva a la mitad de la altura del contacto de las cuñas, se expresa como:

(112)

donde:

q: Carga del suelo alrededor de la zapata.

H: Altura del plano vertical en el contacto entre las cuñas pasiva y activa (fig. 121)

γ: Peso del unitario del suelo de soporte.

De la fig. 121 se deduce:

(113)

Tomando en cuenta al ec. 108, en la ec. 113, resulta:

2/1

,1.

2..

2

1 φγσ NB

qultI

+=

γσ .2,1

+= Hq

ultI

2/1

,3.

2..

21 φγσ N

Bq

II+=

2/1*2

φNB

H

=


Fundaciones

(114)

Sustituyendo la ec. 114, en la ec. 112, queda:

(115)

El esfuerzo vertical en la cuña activa, se escribe como:

(116)

Sustituyendo la ec. 114 en la ec. 116, se tiene:

(117)

Sustituyendo la ec. 115, en la ec. 111, se escribe:

2/12/1

,1'..2..

2..

2

1' φφφγσ NcNN

Bq

II+

+= (118)


Fundaciones

De la fig. 121, se cumple la condición:

II1,I3, σσ = (119)Por tanto:

2/12/1

,3'2

221 φφφγσ NcNN

Bq

I⋅+

⋅⋅+= (120)

Sustituyendo La ec. 120 en la ec. 110, queda:2/12/12/1

,1'2'2

221 φφφφφφγσ NcNNcNNN

Bq

I⋅+⋅⋅+⋅

⋅⋅+= (121)

Igualando la ec. 121 con la ec. 117, se obtiene:

( )2/12/32/522/1 22'22

1

22

1 φφφγφφγ NNcNB

NqNB

qult

+⋅+⋅

⋅⋅+⋅=

⋅⋅⋅⋅+ (122)

despejando:

( ) 22/12/3

2/12/5

22'222

1 φφφφφγ NqNNcNN

Bqult

⋅+++

−⋅⋅= (123)

Si ahora se escribe los siguientes términos:

( )2/12/5*21 φφγ NNN −=

( )2/12/3*2 φφ NNNc += N Nq 2φ=


Fundaciones

(123.a)

(123.b)(123.c)

Sustituyendo las ecuaciones 123.a, 123.b y 123.c en la ec. 123, se obtiene la ecuación clásica de capacidad de carga.

NccNqqNBqult

⋅+⋅+⋅⋅⋅= γγ2

1(124)

donde:

qult: Capacidad de carga última de la fundación.

Nγ, Nq, Nc: Factores de capacidad de carga.

Observaciones respecto a la ec. 124:

· La capacidad de carga incrementa con el ancho de la fundación

· El aporte de la capacidad de carga está determinado por tres componentes: El primer componente lo proporciona el peso del suelo, el segundo está por la sobrecarga por encima de la cota de fundación, y el tercero lo aporta la cohesión.

· Los factores de capacidad de carga son dependientes únicamente de la fricción del suelo.

· Mayor fricción del material significa también mayores factores de capacidad de carga.

· Si el suelo es cohesivo en condición no drenada los factores de capacidad quedan: Nγ=0, Nq=1 y Nc=4, es decir la ec. 124, se transforma: qult = 4.c + q


Fundaciones

NccNqqNBqult

⋅+⋅+⋅⋅⋅= γγ2

1


Fundaciones

III.- EXPOSICIÓN DE TERZAGHI PARA LA CAPACIDAD DE CA RGA

La fig. 125, presenta los modelos de falla del suelo de soporte, propuestos por Prandtl (1920) y por Terzaghi.

Consideraciones hechas por Terzaghi en la deducción de la capacidad de carga:

•Separa las contribuciones de cohesión (c), sobrecarga (q) y del peso (γ), es decir aplica el método de superposición.


Fundaciones

•La zapata es superficial en faja, con base rugosa.

•El suelo bajo fundación se encontrará en estado plástico en el momento de la falla general por corte.

•Usa el mecanismo de Prandtl.

•Divide la zona de falla en tres: Zona I (elástica ?), Zona II (radial de corte) y Zona III (pasiva de Ranking).

• La zona radial de corte es bordeada por una espiral logarítmica r = ro. exp(θ.tanφ)

•Asume que el centro de la superficie de falla (espiral) se sitúa en la línea sobre AD.

La cuña III, estado plástico pasivo de Rankine.

La cuña I, se mueve como cuerpo rígido con el cimiento, verticalmente hacia abajo, por la rugosidad de la zapata.

La Zona II, zona radial de corte.

Familia de espirales logarítmicas encontró la superficie de falla crítica, que produce la mínimo Pγ_mínimo, para diferentes valores de φ.

(a) (b)

Fig. 125.- (a) Modelo de Prandtl de falla del suelo por capacidad portante. (b) Modelo de Terzaghi de falla del suelo por capacidad portante.

La fig. 126, presenta dos esquemas donde se muestra la fuerza resultante del aporte del suelo, provenientes de la zona radial y de la cuña pasiva, mostrados en la fig. 124. Se observa en ambas cuñas, que sobre la zapata actúa la capacidad última de carga de la fundación, que es lo que se desea encontrar.

Fig. 126.- Fuerzas que actúan en la cuña inmediatamente por debajo de zapata.

De la fig. 126, se deduce:

ψcos

1

2⋅= B

L (125)

donde:

L: Longitud del plano de falla de la cuña

B: Ancho de la zapata

ψ: Angulo que forma el plano de falla de la cuña con la zapata.

ψ = φ ( base cimiento rugosa)

ψ = 45 (base de cimiento idealmente lisa)

1⋅=

B

Qq ult

ult

(126)

Zapata continua

donde:

qult: Capacidad última de la fundación

Qult: Carga total última que puede soportar la fundación.

La fuerza Pp que aporta la capacidad de carga de la fundación (fig. 126), de puede ser descompuesta en tres partes, Ppc, Ppq y Ppγ. La siguiente ec. presenta la suma de las tres componentes:

(127)

Tomando en cuenta lo indicado por Juárez y Badillo y Rico Rodríguez (pág 364), se escribe:

Kpγ: Coeficiente de empuje pasivo por los efectos normales y de fricción a lo largo de la superficie de deslizamiento CDE, causados por el peso de la masa de suelo en la zona II y III.

Kpq: Coeficiente de empuje pasivo debido a la sobrecarga (q) que actúa en la superficie

Kpc: Componente de empuje pasivo debido a la cohesión actuante a lo largo de la superficie CDE.

⋅+⋅+⋅⋅⋅=pqpcp

p KqKcKB

L

Pψγ

φγ tan

4

cos


Fundaciones

Sustituyendo la ec. 125 en la ec. 127, resulta:

⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅=pqpcpp

KqKcKBB

P ψγγψ

φ tan4cos

12

cos (128)

⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅

=pqpcpp

KqKcKBB

P ψγψφ γ tan

4coscos2(129)

De la fig. 126, se obtiene que la altura de la cuña en la parte central, es:

tan.2

ψ

= BH (130)

Por tanto el peso de la cuña, será:

γ...2

1W HB= (131)

Sustituyendo, la ec. 130 en lka ec. 131, resulta:

.tan.2

..21 γψ

= BBW

(132)

.tan..4

1 W 2 γψB= (133)

Haciendo suma de fuerzas horizontales y verticales en la fig 126, se tiene:

ΣΣΣΣ = H = 0 (se equilibrarán las fuerzas)

( ) ψψ

φψγψ sincos

2..2cos..2.tan..4

11.. 2

+−=+

B

cPBBqultp (134)

Peso de cuña adherida a la zapata

Fuerza que aporta la zona radial y la cuña pasiva

Resistencia que aporta la cohesión de los planos de la cuña

Capacidad última de la zapata

( ) ( )

⋅⋅−⋅⋅+−⋅= ψγψφψ tan4

tancos21 2B

BcPB

qpult (135)

Al sustituir Pp, en la ecuación qult, resulta:( ) ( ) ( )

⋅−⋅

+

+⋅

−⋅⋅+

−⋅

−⋅=

ψφφψ

ψψφ

φψψφφψ

ψγ γ

coscos

costan

coscos

cos

2

1

coscos2

costan

2

1 pqpcp

ult

Kq

Kc

KBq 136

ΣΣΣΣ V será:


Fundaciones

Se observa que:

qult = f(B, γ, φ, ψ, q, C) (137)

Terzaghi luego de trabajar algebraicamente, logró escribir la ec. anterior de la forma:

qcultNqNcN

Bq ⋅+⋅+⋅⋅= γγ

2(138)

La ec.138 es la ecuación clásica de Terzaghi para capacidad de carga, donde, los factores de capacidad de carga se expresan por:

( )

−⋅⋅

−⋅⋅=

2

1

coscos2

costan

ψφφψγ

ψγp

KN (139)

( )

+⋅

−⋅= ψ

ψφφψ

tancoscos

cospc

c

KN (140)

( )ψφ

φψcoscos

cos

⋅−⋅

= pq

q

KN (141)

Cuánto vale ψ para Nγ, Nc, Nq sean críticos = ?.

Nγ, Nq, Nc (factores de capacidad de carga) los valores correctos serán los mínimos para cada φ.


Fundaciones

- Para Nq, Nc

- Para Nγ24´

φπψ +=ticocr

φψ ⋅= 20.1crítico

Si en la determinación de Nγ, Nq, Nc mínimos involucra simultáneamente q, c, ψ, γ, resultaría un sistema de ecuaciones indeterminado.Terzaghiresolvió el problema, considerando la contribución de cada uno de los parámetros por separado (γ, q, C).

Tomó γ y consideró q = 0, C = 0

Tomó C y consideró γ = 0, q = 0

Tomó q y consideró γ = 0, C = 0

Terzaghi encontró la siguiente solución, para los factores de capacidad de carga para fundaciones continuas FALLA GENERAL:

( )

−

+=

−

12/45cos2

cot2

tan24

32

φφ

φφπ

eN

c (142)

( )2/45cos2 2

tan24

32

φ

φφπ

+=

−

eN

q(143)

φφ

γγ tan1

cos2

12

−= pK

N (144)

Los valores de Kpγ se presentan a continuación, para la estimación de Nγ.

φ 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Kpγ 10,8 12,2 14,7 18,6 25 35 52 82 141 298 800

La fig. 127 y 128 , presenta la gráfica que relaciona los factores de capacidad de carga con el ángulo de fricción interno del material, para una zapata continua.

Evaluar para fricción de 30º y 45º =?

Son iguales al gráfico=?


Fundaciones

Fig. 127.- a) Forma de la superficie de falla en la solución de Terzaghi. B) Factores de capacidad de carga dados por Terzaghi (zapata de base rugosa).


Fundaciones

Fig. 128.- Factores de capacidad de carga para falla general (Terzaghi).


Fundaciones

Terzaghi también propuso factores de forma para extender empíricamente las soluciones obtenidas para la condición bidimensional a cimientos cuadrados, circulares y rectangulares, en FALLA GENERAL.

· Fundaciones cuadradas

qult = 0,4 . γ . B. Nγ + γ . Df . Nq + 1,3 . c . Nc (145)

· Fundaciones circulares

qult = 0,3 . γ . B . Nγ + γ . Df . Nq + 1,3 . c. Nc (146)

· Fundaciones rectangulares(147)

qcultNDfNc

L

BNB

L

Bq ⋅⋅+⋅⋅

⋅++⋅⋅⋅

⋅−= γγ γ 3,012,0121

Relaciones de empotramiento que define cuando la fundación es superficial o semiprofunda:

Terzaghi (1943)Df/B ≤ 1

Otras referencias Df/B ≤ 3 a 4


Fundaciones

·Otras referencias 1 ≤ Df/B ≤ 4 usar el término semiprofunda

Otras referencias Df/B ≤ 6 a 7 usar el término semiprofunda, para fundación continua o en faja.

Para FALLA LOCAL Terzaghi presenta las siguientes ecuaciones:

Fundación en Tira∗∗∗ ⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅= γγ NBNqqNccq

ult 21

32

(148)

Fundación cuadrada∗∗∗ ⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅= γγ NBNqqNccq

ult4.0867.0 (149)

Fundación circular∗∗∗ ⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅= γγ NBNqqNccq

ult3.0867.0 (150)

Observación: 867.03.132 =⋅

Fundación rectangular∗∗∗ ⋅⋅

⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅

⋅−⋅= NccL

BNqqNB

L

Bq

ult3.01

32

2.0121 γγ (151)


Fundaciones

En las ecuaciones anteriores Nγ*, Nq* y Nc*, son los factores de capacidad de carga para falla local, Los cuales son sido obtenidos con las ecuaciones 142, 143 y 144, pero tomando una fricción igual a:

⋅= − φφ tan32

tan 1

(152)

Nota: s.r: La ec. 152 se aplicará si el suelo tiene un comportamiento como el ilustrado por la curva A en la fig. 118.

Cuando la fricción es elevada Nq de Terzaghi, se vuelve conservador. Para este caso Vesic (1963) propone la siguiente expresión para Nq*:

( )

+⋅⋅=∗

245tantan8.3exp 2 φφNq (153)

La fig. 129, presenta los valores de los factores de capacidad de carga, cuando la falla es local.


Fundaciones

Fig. 129.- Factores de capacidad de carga para falla local (Terzaghi).

Evalúe con fricción de 30º y determine fricción con la ec. 152, calcule Nq y Nc a partir de la ec. 142 y 143, compare con la fig. 129 =?


Fundaciones

La tabla 26, da algunos valores de los factores de capacidad de carga, tanto para falla general como para falla local.

φ Nc Nq Nγ Nc* Nq* Nγ*

0 5.7 1.0 0.0 5.7 1.0 0.0

5 7.3 1.6 0.5 6.7 1.4 0.2

10 9.6 2.7 1.2 8.0 1.9 0.5

15 12.9 4.4 2.5 9.7 2.7 0.9

20 17.7 7.4 5.0 11.8 3.9 1.7

Tabla Nº 26.- Factores de capacidad de carga de Terzaghi.


Fundaciones

25 25.1 12.7 9.7 14.8 5.6 3.2

30 37.2 22.5 19.7 19.0 8.3 5.7

35 57.8 41.4 42.4 25.2 12.6 10.1

40 95.7 81.3 100.4 34.9 20.5 18.8

45 172.3 173.3 297.5 51.2 35.1 37.7

Comentario de Terzaghi y Peck:

“El suelo cede en la forma indica en la fig. 130, solo cuando es suficientemente denso o resistente como para que la curva de asentamiento resulte similar a la C1 de la fig.. En Caso contrario, la zapata se hunde en el terreno antes de que el estado de equilibrio plástico se extienda más allá de e y e1. La curva de asentamiento no tiene en tal situación un punto definido de rotura y se asemeja a la curva C2 de la fig.

Se puede en estos casos obtener un valor aproximado de la capacidad de carga de una base continua suponiendo que la cohesión y fricción interna del suelo son iguales a dos tercios de los valores que corresponden en la ecuación de Coulomb es decir, que C*=2/3. C y tanφ* = 2/3.tanφ.”


Fundaciones

Fig. 130.- Comportamiento de un suelo denso y medianamente denso.

La fig. 131, presenta la gráfica de los factores de capacidad de carga de Peck, Hansen y Thornburn, para falla local.


Fundaciones

Fig. 131.- Factores de capacidad de carga teniendo en cuenta la falla local (según Peck, Hansen y Thornburn, 1953).

Prandtl y Reissner han encontrado que los factores de capacidad de carga Nc y Nq, pueden ser estimados a través de:

Nq = eπtanφ. tan(45 + φ/2) (154)

Nc = cotanφ (Nq – 1) (155)

Son calificadas como exactas. Desde el punto de vista de estados límites en la teoría de plasticidad de la hipótesis de partida, Chen ha llegado a expresiones idénticas y conceptúa que son generalmente aceptadas como las soluciones correctas o exactas.


Fundaciones

No se conocen soluciones analíticas para el factor Nγ. Solamente es evaluable en forma numérica. Vesic (1970), propone también para Nγ , la siguiente ecuación:

Nγ ≈ 2(Nq + 1)tanφ (156)

· Aproximado con un error del lado de la seguridad del 10% para

15º < φ < 45º.

· No excede de un error de 5% del lado de la seguridad para 20º < φ < 40º.

La ecuación clásica de Terzaghi, de capacidad de carga, no es estrictamente correcta, sin embargo, conduce a errores que no exceden del 17 a 20% (Vesic, 1975), para 30º < φ < 40º y están del lado de la seguridad.

Las variaciones de Nc, Nq permanecen relativamente insignificantes, mientras que las diferencias de Nγ entre Terzaghi y Vesic, son muy grandes debido a la variación de ψ. Variación de ½ a 2, los valores obtenidos por ec. Vesic.


Fundaciones

Otras expresiones de Nγ

· Brinch Hansen (1970).

Nγ = 1,5(Nq – 1)tanφ (157)

· Chen (1991)

Nγ = 2(Nq +1).tanφ.tan(π/4 + φ/5) (158)

· Ingra y Borecher (1983)

Nγ = e(0,173φ – 1,646) (159)

Numerosos autores han señalado que el φ correcto para usarlos en las ecuaciones de capacidad de carga es diferente del φ triaxial, y se propone:

φdeformación ≈ 1,1 φtriaxial (170)

Meyerhof (1963)

φ = (1,1 -0,1 B/L).φtriaxial (171)


Fundaciones

Nq_Chen

Nc_Chen

Nq_Terzaghi

Nc_Terzaghi


Fundaciones

CapII_085-102

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