CapIII_115-146

Universidad de Los AndesFacultad de IngenieríaDepartamento de Vías

Fundaciones

Material de apoyo de FundacionesParte II

Teoría de Elasticidad para la Estimación de Asentamientos y

Esfuerzos

Prof. Silvio Rojas

Septiembre, 2006

PROBLEMAS


Fundaciones

Ejercicio:A partir de los datos indicados, determine:1.- Grafica de esfuerzos verticales y horizontales versus la profundidad2.- Gráfica de las deformaciones verticales y horizontales versus la profundidad


Fundaciones

3.-Determine la trayectoria de esfuerzos en z = 7.5, 15, 22.5, 30, 45, 60, 75, 90 (fig. 40, 41, 43 ó ecuación)4.- Determine el asentameintos aplicando el bulbo de esfuerzos5.- Determine el asentamiento aplicando la expresión de Harr.6.- Determine el asentamiento considerando las deformaciones verticales cada 10 m.7.- Esfuerzos en z= 20 m, en el eje a apartir de la fig. 40 y 41.8.- Esfuerzos en el borde y en superficie aplicando la fig. 40 y 43.9.- Esfuerzos en el borde y superficie aplicando las tablas de Ahlvin y Ulery. ec. 14410.- Estime el asentameinto según Schifman (fig. 51). Considere interfaz lisa y (ν=0.5)11.- Determine asentamiento y distorsión aplicando Terzaghi (fig. 90).12.- Determine el asentamiento aplicando las expresiones de Harr (fig. 65).


Fundaciones


Fundaciones

Deformaciones:


Fundaciones

Respuesta Nº 1 y Nº 2:

Con lo datos y las ecuaciones indicadas resulta.

zσ

rh σσ =

zε

hε

3.-Determine la trayectoria de esfuerzos en z = 7.5, 15, 22.5, 30, 45, 60, 75, 90 (fig. 40, 41, 43 ó ecuación)

A

B

C

vvov σσσ ∆+= hhoh σσσ ∆+=

2hvq

σσ −=

2hvp

σσ +=


Fundaciones

∆σv y ∆σh, se obtienen de la fig. 40, 41 ó 43 cuando la relación Z/R es muy pequeña. También pueden ser calculadas a partir de las ecuaciones escritas anteriormente.

Respuesta Nº 3

Ec. anterior


Fundaciones

Z/R = 0.25 —> fig. 43 —> ∆σv = q.Iσ (Iσ = 0.98) —> ∆σv = 1.96 ton/m2

—> fig. 41 —> ∆σh = ∆σ3 —> ∆σ3/q = 0.65

∆σ3= 0.65. 2 =1.30 tonm2

Z/R = 0.50 —> fig. 40 —> ∆σv/ q = 0.90 —> ∆σv = 1.80 ton/m2

—> fig. 41 —> ∆σ3/q = 0.38 —> ∆σ3 = ∆σh = 0.76 ton/m2

Z/R = 1.50 —> fig. 40 —> ∆σv/ q = 0.43 —> ∆σv = 0.86 ton/m2

—>fig. 41 —> ∆σ3/q = 0.0375 —> ∆σ3 = ∆σh = 0.075 ton/m2

Copiar

Aproximadamente igual a los valores de la tabla encontrados por las ecuaciones

Fig. 40

Z/R=0.25

Z/R=0.25


Fundaciones

Respuesta N° 4

Cálculo del asentamiento aplicando el método del bulbo de esfuerzos:

- Determine la deformación vertical a una profundidad z = 3/2 . R - Determine el asentamiento considerando z = 3 . R

εv:= 0.00009662 = 9.662 x 10-5

Z:= 3 . RadioZ= 90 mδ:=εv.zδ= 0.009 mδ:=δ.100δ=0.87 cm Asentamiento en Superficie

Espesor de suelo que se considera para determinar el asentamiento.

Z = 3/2RZ = 3.R


Fundaciones

Respuesta Nº 5

Comparemos con la expresión de Harr (1966)

b =30 v =0.49 q =2 ton/m2 E =8000 ton/m2

δ=2.b.q.(1-v²) Asentamiento en el centro y en superficie.E

δ=0.011

δ:=δ.100

δ=1.l4 cm

Difiere del obtenido por el método del bulbo de esfuerzos


Fundaciones

Respuesta Nº 6

Deformaciones cada 10m:

z :=0.001,10 .. 100

δ =0.805 cm Similar al obtenido por el bulbo de esfuerzos.


Fundaciones

Respuesta Nº 7 : 7.- Esfuerzos en z= 20 m, en el eje a apartir de la fig. 40 y 41.

Respuesta Nº 8: Esfuerzos en el borde y en superficie aplicando la fig. 40 y 43.1Esfuerzos en el borde del tanque en superficie A partir de la fig. 40, no se puede leer. A partir de la fig. 43

Fig. 40

Z/R=0.25


Fundaciones

Respuesta Nº 9 Aplicando Ahlvin y Ulery. Esfuerzo en el borde y superficie.

Respuesta Nº 10 Estimación del asentamiento según Schiffman (interfaz lisa v=O.50)

Función A

Función B

Fig. 51


Fundaciones


Fundaciones

Respuesta Nº 11Asentamiento en el centro y borde según Terzaghi.

Fig. 90

Respuesta Nº 12 Aplicando las ecuaciones de Harr


Fundaciones

Fig. 65


Fundaciones

Ejercicio 2: El perfil mostrado corresponde a una arcilla normalmente consolidada, sobre la cual está fundado un tanque de diámetro 15 m, que transmite al suelo 6 ton/m2. Los datos de la arcilla son:•Peso unitario saturado = 1.86 ton/m2•Módulo de elasticidad = 250 ton/m2•Indice de compresibilidad = 0.20•Coeficiente de poisson = 0.50•Parámetro de presión intersticial = 0.70

Fig. E1


Fundaciones

Datos de la curva de compresibilidad:

Se pide:1.- Incremento de esfuerzos en el centro y borde (del tanque) en cada

subcapa considerada. A través de:1.1.- Milovic, 1970. fig. 87. Considere ν = 0.301.2. Boussinesq (fig. 40)1.3.- Las expresiones aproximadas1.4.- La metodología de área equivalente (A_rectangular = A_circular) y luego considere Sovin (fig. 96)

σ (ton/m2) 2.5 5.00 10.00 20.00 40.00

e 1.06 1.03 0.97 0.91 0.85

2. Determine asentamientos inmediatos en el centro y borde del área cargada. Considere:2.1.-Ueshita y Meyerhot (fig. 88)2.2.- Terzaghi (fig. 90)2.3.- Janbu, Bjerrum y Kjaerrnsli (fig. 62 y 63).3. Asentamientos por consolidación en el centro y borde. 3.1.- Considere los resultados de los esfuerzos obtenidos por Sovin.3.2.- Considere los resultados de los esfuerzos obtenidos por Bousinessq.


Fundaciones


Fundaciones

Como el espesor tiene 20 m. quedarían 3 capas de 6.66 m.Sin embargo, aquí se tomó, dos subcapas de 7 mde espesor y una subcapa de 6 m de espesor, tal como se ilustra en la fig.

Parte 1

Como el ancho o diámetro de carga es relativamente pequeño en comparación con espesor del estrato, se divide el espesor del estrato en subcapas, que en este caso tendrán un espesor de de φ/2.

Nota:

Si Ancho de carga ≥ 2 H ó 3 H, el estrato no se divide en subcapas, en ningún caso (H: espesor del estrato).

En esta caso:

msubcapaespesor 5.72

15

2_ === φ


Fundaciones

Fig. E2

Nota:

Los esfuerzos deben ser determinados, en el centro de cada subcapa, en el eje central del tanque y en los bordes del mismo.

Respuesta 1.1

Milovic, 1970. fig. 87. Considere ν = 0.30

a=7.5 m h=20 m 67.25.7

20 ==a

h

CentroBorde

67.25.7

20 ==a

h


Fundaciones

Respuesta 1.2Boussinesq (fig. 40) R=7.5 m

CENTRO BORDE

Pto z(m) z/a ∆σv/q ∆σ∆σ∆σ∆σv(ton/m2

)

Pto z(m) z/a ∆σv/q ∆σ∆σ∆σ∆σv(ton/m2

)

1 3.5 0.467 0.92 5.52 4 3.5 0.467 0.42 2.52

2 10.5 1.40 0.50 3.00 5 10.5 1.40 0.30 1.80

3 17 2.27 0.37 2.22 6 17 2.27 0.22 1.32

CENTRO BORDE

Pto z(m) z/a ∆σv/q ∆σv(ton/m2)


1 3.5 0.467 0.90 5.40 4 3.5 0.467 0.41 2.46

2 10.5 1.40 0.46 2.76 5 10.5 1.40 0.27 1.62

3 17 2.27 0.25 1.50 6 17 2.27 0.175 1.05

CENTRO BORDE



1 3.5 0.467 0.90 5.40 4 3.5 0.467 0.41 2.46

2 10.5 1.40 0.46 2.76 5 10.5 1.40 0.27 1.62

3 17 2.27 0.25 1.50 6 17 2.27 0.175 1.05


Fundaciones

Fig. E3

Respuesta 1.3

Incremento de esfuerzos usando expresiones aproximadas:

Para área cuadrada o rectangular:

qzLzB

LBv ⋅

+⋅+⋅=∆

)()(σ

Para área circular:

qz

qz

v ⋅+

=⋅+⋅

⋅=∆

2

2

2

2

)()(4

4φ

φ

φπ

φπ

σ


Fundaciones

Para z= 3.5 m

Respuesta 1.4Metodología de área equivalente (A_rectangular = A_circular) y luego considere Sovin (fig. 96)Considerando que el área del círculo es equivalente al área de un cuadrado. Resulta:

ton/m23.94 ton/m26)5.315(

152

2

=⋅+

=∆ vσ

Para z=17 m

ton/m21.31 ton/m26)1715(

152

2

=⋅+

=∆ vσ

29.131544

222 =⇒⋅=⇒⋅= BBBπφπ


Fundaciones

Fig. 96

h/b =3

h/b=1.50


Fundaciones

b/a=1 b=6.65 m h/b=3 b/a=1 b=13.29 m h/b=1.50

CENTRO (cuadro pequeño) BORDE (cuadro grande)

Pto

z(m) z/b ∆σv/q ∆σv(ton/m2)

Pto

z(m) z/b ∆σv/q ∆σv (ton/m2)

∆σv_borde

ton/m21 3.5 0.527 0.92 5.52 4 3.5 0.263 0.99 5.94 1.485

2 10.5 1.58 0.58 3.48 5 10.5 0.790 0.90 5.40 1.35

3 17 2.56 0.40 2.40 6 17 1.280 0.80 4.80 1.20

Estos valores se dividen por 4

Parte 2

Respuesta 2.1

Asentamiento inmediato por Ueshita y Meyerhot (fig. 88)

La fig. permite estimar los asentamientos sólo en el centro.

Datos:

ν=0.50

h=20 m

a=7.5 m

interfaz lisa7

Con h/a= 2.67 . mmmton

mtonm

ap

ES40.212)0,0(

2/250

2/65.718.1)0,0(18.1

.

. =⇒⋅⋅=⇒= δδ

h/a= 2.67

centro


Fundaciones

Respuesta 2.2.

Asentamiento inmediato por Terzaghi (fig. 90)

La relación espesor del estrato/radio en el problema es: D/R = 2.67. Portanto se hace una interpolación para determinar el factor de influencia entre D/R=5 y D/R = 2/3 en el gráfico de terzaghi, tanto para el centro del tanque como para el borde.

Centro Borde

Para D/R=5 Is=1.12 Is=0.68

Para D/R=2.67 Is=? Is=?

Para D/R=2/3 Is=0.35 Is=0.14

Por tanto para D/R=2.67 Is=0.71 Is=0.39

A través de la ec:

Centro: mmmton

mmtonIs

E

Rq80.127)0,0(71.0

2/2505.72/6

)0,0()0,0( =⇒⋅⋅=⇒⋅⋅= δδδ


Fundaciones

Borde:

mmmton

mmtonIs

E

Rqb 2.70)0,0(39.0

2/2505.72/6

)0,0()0,( =⇒⋅⋅=⇒⋅⋅= δδδ

Respuesta 2.3

Asentamiento inmediato por Janbu, Bjerrum y Kjaerrnsli (fig. 62 y 63).

Es

BqAApromedio

⋅⋅⋅=21

_δ

Entrando a los gráficos con la relaciones:

33.115

20

B

Hy 0

15

0 ====B

Df

Se obtiene: A1 = 1 y A2 = 0.40. Por tanto el asentamiento promedio será:

mmpromediomtin

mmtonpromedio 144_

2/250152/6

40.01_ =⇒⋅⋅⋅= δδ

Según Terzaghi, el asentamiento promedio (ec. 143), será:mmpromediommpromedio 63.108_80.12785.0)0,0(85.0_ =⇒⋅⇒⋅= δδδ


Fundaciones

Parte 3Respuesta 3.1Asentamientos por consolidación considerando los resultados de los esfuerzos obtenidos por Sovin.En el asentamiento por consolidación para arcilla normalmente consolidada se aplicará:

donde:µ: Coeficiente de relación de asentamientos que toma en cuenta la deformación lateral (fig. 127)Cc: Indice de compresibilidadeo: Relación de vacíos inicialH: Espesor del estratoσvf’: Esfuerzo efectivo finalσvo’: Esfuerzo efectivo inicial

⋅⋅

+⋅=

'

'log

1vo

vfHeo

Ccc

σσ

µδ


Fundaciones

Ahora se determina σvo’ en cada subcapa:

z= 3.5 m

ton/m201.4'

ton/m25.2

ton/m251.62/ 86.1 5.3

==

=⇒⋅=

vo

vovo

u

mtonm

σ

σσ

z= 10.5 m

ton/m203.10'

ton/m25.9

ton/m253.192/ 86.1 5.10

==

=⇒⋅=

vo

vovo

u

mtonm

σ

σσ

z=17 m

ton/m262.15'

ton/m216

ton/m262.312/ 86.1 17

==

=⇒⋅=

vo

vovo

u

mtonm

σ

σσ

La curva de compresibilidad, es la siguiente:


Fundaciones

Fig. E5


Fundaciones

De la curva de compresibilidad:

z= 3.5 m para σvo’ = 4.01 ton/m2 eo=1.04

z= 10.5 m para σvo’ = 10.03 ton/m2 eo =0.97

z= 17.0 m para σvo’ = 15.62 ton/m2 eo =0.931

Los resultados aplicando Sovin, son:

CENTROPto σvo’

(ton/m2)eo ∆σv

(ton/m2)σvf’

(ton/m2)µ Cc ∆H(m) δc (mm)

1 4.01 1.04 5.52 9.53 0.80 0.20 7 206.403

2 10.03 0.97 3.48 13.51 0.80 0.20 7 73.54

3 15.62 0.93 2.40 18.02 0.80 0.20 6 30.88

δc=310.82 mm

⋅⋅

+⋅=

'

'log

1vo

vfHeo

Ccc

σσ

µδ


Fundaciones

BORDEPto σvo’

(ton/m2)eo ∆σv

(ton/m2)σvf’

(ton/m2)µ Cc ∆H(m) δc (mm)

4 4.01 1.04 1.485 5.50 0.80 0.20 7 75.34

5 10.03 0.97 1.35 11.38 0.80 0.20 7 31.18

6 15.62 0.93 1.20 16.82 0.80 0.20 6 15.99

δc= 122.51mm

⋅⋅

+⋅=

'

'log

1vo

vfHeo

Ccc

σσ

µδ


Fundaciones

Los asentamientos totales son los siguientes:

CENTRO

mm 62.438

mm 310.82 mm 80.127

)0,0(

)0,0()0,0()0,0()0,0(

=+=⇒+=

total

totalcitotal

δδδδδ

BORDE

mm 71.192

mm 122.51 mm 20.70

)0,(

)0,()0,()0,()0,(

=+=⇒+=

atotal

atotalacaiatotal

δδδδδ

El asentamiento diferencial, es el siguiente:mm

difdifatotaltotaldif91.24571.19262.438

)0,()0,0(=⇒−=⇒−= δδδδδ

La distorsión angular, será:

5.301

750091.245 =⇒== η

δη

mm

mm

adif (elevada, ver valores admisibles)


Fundaciones

Ejercicio 3

Determine el incremento de esfuerzos, en el punto P1 y P2 en z= 0 y z= 12 m, de acuerdo a lo indicado el perfil y planta, que se presenta a continuación. Aplique la fig. 54 ó 55.

Para z= 0 m

Pto

z (m)

Area L (m)

B (m)

m =L/z n =B/z

f(m,n) ∆q =f(m,n).q

P1

0

dos veces

37 15 ∝ ∝ 0.25 0.25x30x2=15

dos veces

15 7 ∝ ∝ 0.25 -0.25x30x2=-15

∆q= 0 ton/m2

Para z= 0 m

Pto

z (m)

Area L (m)

B (m)

m =L/z n =B/z


P2

0 37 30 ∝ ∝ 0.25 0.25x30=7.5

30 7 ∝ ∝ 0.25 -0.25x30=-7.5

∆q= 0 ton/m2


Fundaciones

Para z= 12 m

Pto

z (m)

Area L (m)

B (m)

m =L/z n =B/z


P1

12

dos veces

37 15 3.08 1.25 0.22 0.22x30x2=13.2

dos veces

15 7 1.25 0.58 0.143 -0.143x30x2

=-8.58

∆q= 4.62 ton/m2


Fundaciones

Para z= 12 m

Pto

z (m)

Area L (m)

B (m)

m =L/z n =B/z


P2

12 37 30 3.08 2.5 0.242 0.25x30=7.26

30 7 2.5 0.58 0.154 -0.154x30=-4.62

∆q= 2.64 ton/m2


Fundaciones

Ejercicio 4

De acuerdo al perfil mostrado determine, el asentamiento. No considere la diferencia de peso entre el concreto y el peso unitario del suelo. No considere el peso de suelo por encima de la zapata. Para el asentamiento inmediato aplique Steinbrenner (fig. 100).Para el incremento de esfuerzo aplique Sovin (fig. 96).

Fig. E6

subcapas


Fundaciones

El esfuerzo aplicado al suelo, será:

ton/m213m2 2x2

ton52 ==q

El asentamiento inmediato aplicando Steinbrenner, será:

( )Is

E

Bqi

⋅−⋅⋅=21 νδ

21

211 FFIs ⋅

−⋅−+=

νν

El ancho y longitud, considerada, para entrar al gráfico, será:

B=1 y L=1, por tanto:

5.121

5.12 ==B

DL/B =1 por tantoF1=0.48 y F2=0.015

48.0015.05.015.021

48.0 =⇒⋅

−⋅−+= IsIs


Fundaciones


Fundaciones

( )48.0

ton/m210505.01m 1 ton/m213 2

⋅−⋅⋅=i

δ

δi= 0.446 cm δi= 4x 0.446 cm δi= 1.78cm

Para fundación rígida: δi= 0.80x 1.78 cm δi= 1.42 cm

Para determinar, el asentamiento por consolidación, el ancho de la zapata es pequeño, respecto al espesor del estrato, por tanto se ha dividido en subcapas de espesores iguales a la mitad del ancho de la zapata, cubriendo una profundidad de 3 veces el ancho, tal como se muestra en la fig.

El asentamiento se estimará, en este caso aplicando:

vcHmv σµδ ∆∆⋅⋅= .

µ: Coeficiente de relación de asentamientos, por deformación lateral.

mv: Coeficiente de compresibilidad volumétrico.

∆σv: Incremento de esfuerzo que se produce en cada subcapa.

∆H: Espesor de la subcapa.

Fig. 96.- Carga rectangular sobre capa elástica homogénea con base rígida. Interfaz lisa. Distribución de tensiones bajo el centro del rectángulo según Sovin(1961).

h/b=1

b/a=1

b/a=2

b/a=5

h/b=2

b/a=1

b/a=2

b/a=5Boussinesq

h/b=5

b/a=1

b/a=2

b/a=5

Se aprecia que para cualquier relación b/a el esfuerzo es mayor cuando la relación h/b disminuye

Curva con la que se debe trabajar

Los incrementos de esfuerzos, por Sovin fueron:

h/b= 12.5 se trabaja con h/b =5

Pto b (m) a (m) z (m) z/b b/a ∆σv/q ∆σv(ton/m2)

1 1 1 0.5 0.5 1 0.92 11.96

2 1 1 1.5 1.5 1 0.50 6.50

3 1 1 2.5 2.5 1 0.25 3.25

4 1 1 3.5 3.5 1 0.17 2.21

5 1 1 4.5 4.5 1 0.135 1.76

6 1 1 5.5 5.5 1 0.12 1.56


Fundaciones

El asentamiento por consolidación, será:

Subcapa mv(m2/ton)

∆H (m) ∆σv(ton/m2

µ δ (cm)

1 0.0012 1 11.96 0.56 0.804

2 0.0012 1 6.50 0.56 0.437

3 0.0012 1 3.25 0.56 0.218

4 0.0012 1 2.21 0.56 0.149

5 0.0012 1 1.76 0.56 0.118

6 0.0012 1 1.56 0.56 0.105

δc=1.83 cm

Universidad de Los AndesFacultad de Ingeniería

Fig. 127.- Valores del coeficiente de asentamiento µ (según Scout, 1963).

D/B = 12.5/2=6.25


Fundaciones

Asentamiento total δtotal, será:

δtotal=δi+δc

δtotal= 1.83 cm + 1.42 cm

δtotal = 3.25 cm. (aceptable =?)

Ejercicio 5

A partir de las ecuaciones 33, 34, 35, 36, 107, 108, 109, 110 y 111, determine los incrementos de esfuerzos verticales, horizontales y de corte, que produce la carga triangular y lineal, en el eje de simetría de la carga, y en el eje de la zapata.

( ) ( )

−⋅++⋅=∆ 2121 ααααπ

σb

xPv

( ) ( )

⋅⋅⋅−−⋅++⋅=∆2

21ln

22121

Ro

RR

b

z

b

xPh αααα

πσ

( )[ ]21 ααπ

τ −⋅⋅⋅=∆b

zPxz

( ) ( ) R2 R1 222222 zbxzbxzxRo +−=++=+=

( ) ( )RoR

bRoR

RoR

bRoR

⋅⋅−+=

⋅⋅−+=

22

22cos

12

11cos

222222

αα

Carga triangular:

Carga lineal:

2

2

ρπνσ zQ

y ⋅⋅⋅

=

ρπτ zQ

máx ⋅=_ 2

21

ρπσ

⋅⋅⋅

=zQ

σ3= σy


Fundaciones

•Esfuerzos en el eje de simetría producidos por la carga triangular

b= 14 m P=γ.h P=30.8 ton/m2


Fundaciones

Para x=0 y z=0

R0=0 m R1=14 m R2=14 m

Sustituyendo en las respectivas ecuaciones, se obtiene:2

21παα ==

ton/m28.302214

0

22

8.30 =⇒

−⋅+

+⋅=xx

σπππππ

σ

ton/m28.302214

022

8.30 =⇒

−⋅+

+⋅=zz

σπππππ

σ

ton/m202214

08.30 =⇒

−⋅⋅=xzxz

τπππ

τ

Para x=0 y z=14

m 141400

22

0=⇒+= RR

m 80.1914)140(1

22

1=⇒++= RR

m 80.1914)140(2

22

2=⇒+−= RR

( ) ( )4

21785347.0211480.192

141480.192cos1cos

222 παααααα ==⇒==⇒⋅⋅−+==

ton/m280.114

80.19ln

14

142

2214

0

44

8.302

2

=⇒

⋅⋅−

−⋅+

+⋅=xx

σπππππ

σ


Fundaciones

ton/m240.154414

0

44

8.30 =⇒

−⋅+

+⋅=zz

σπππππ

σ

ton/m204414

148.30 =⇒

−⋅⋅=xzxz

τπππ

τ

•Esfuerzos producidos en el eje de simetría por la carga lineal

Q=4.5 ton/m2


Fundaciones

Para x=16.5 m y z=0

Sustituyendo en las respectivas ecuaciones, se obtiene:

( ) ton/m2005.16

05.165.42222

2

=⇒+

⋅⋅⋅=xx

σπ

σ

( ) ton/m2005.16

05.42222

3

=⇒+

⋅⋅=zz

σπ

σ

( ) ton/m2005.16

05.165.42222

2

=⇒+⋅⋅⋅=

xzxzτ

πτ

Para x=16.5 y z=14

( ) ton/m205.0145.16

145.165.42222

2

=⇒+

⋅⋅⋅=xx

σπ

σ

( ) ton/m2036.0145.16

145.42222

3

=⇒+

⋅⋅=zz

σπ

σ

( ) ton/m2042.0145.16

145.165.42222

2

=⇒+⋅⋅⋅=

xzxzτ

πτ


Fundaciones

Resultados de ambas cargas lineales:

Los esfuerzos totales producidos por la carga triangular y la carga lineal en el eje de simetría, serán:

z (m)

Carga triangular Carga lineal Totales

x(m) σx σz τxz x(m) σx) σz τxz σx σz τxz

0 0 30.80 30.80 0 16.5 0 0 0 30.80 30.80 0

0.1 0 29.27 30.66 0 16.5 0.0022 0 0 29.27 30.66 0

14 0 1.80 15.40 0 16.5 0.10 0.072 0 1.90 15.47 0


Fundaciones

•Esfuerzos en el eje de la zapata producidos por la carga triangular

b= 14 m P=γ.h P=30.8 ton/m2

fig. E10

Para x=16.5 y z=0

5.1605.160

22

0=⇒+= RR

( ) 5.300145.161

22

1=⇒++= RR


Fundaciones

( ) 5.20145.162

22

2=⇒+−= RR

º021 == αα

º015.165.302145.165.30

)1cos(222

=⇒⋅⋅

−+= αα

º025.165.22145.165.2

)2cos(222

=⇒⋅⋅

−+= αα

Sustituyendo en las respectivas ecuaciones, se obtiene:0=

xσ

0=z

σ

0=xz

τ

Para x=16.5 y z=14

m 64.21145.160

22

0=⇒+= RR

m 56.3314)145.16(1

22

1=⇒++= RR

m 22.1414)145.16(2

22

2=⇒+−= RR


Fundaciones

rad273314.01º66.15164.2156.332

1464.2156.33)1cos(

222

=⇒=⇒⋅⋅

−+= ααα

rad690405.02º56.39264.2122.142

1464.2122.14)2cos(

222

=⇒=⇒⋅⋅

−+= ααα

( ) ( )

ton/m226.4

64.21

22.1456.33ln

14

1426904.02733.0

14

5.166904.02733.0

8.302

=

⋅⋅⋅−−⋅++⋅=

x

x

σπ

σ

( ) ( ) ton/m263.46904.02733.014

5.166904.02733.0

8.30 =⇒

−⋅++⋅=zz

σπ

σ

( ) ton/m209.46904.02733.014148.30 −=⇒−⋅⋅=

xzxzτ

πτ


Fundaciones

• Esfuerzos producidos en el eje de la zapata por la carga lineal

Q=4.5 ton/m2

Para x=0 m y z=0

Sustituyendo en las respectivas ecuaciones, se obtiene:

?00 =⇒=

xxσσ

?00 =⇒=

zzσσ

?00 =⇒=

xzxzττ

Para x=0 y z=14

( ) 01401405.42

22

2

=⇒+⋅⋅⋅=

xxσ

πσ

( ) ton/m2205.0140

145.42222

3

=⇒+

⋅⋅=zz

σπ

σ

( ) ton/m20140

1405.42222

2

=⇒+⋅⋅⋅=

xzxzτ

πτ

Los esfuerzos totales producidos por la carga triangular y la carga lineal en el eje de la zapata:

z (m)

Carga triangular Carga lineal Totales

x(m) σx σz τxz x(m) σx) σz τxz σx σz τxz

0 16.5 0 0 0 0 0 Ind 0 - - -

0.1 16.5 0.118 0 0 0 0 28.65 0 0.18 28.65 0

14 16.5 4.26 4.63 -4.09 0 0 0.205 0 4.26 4.84 -4.09


Fundaciones

Ejercicio 6:El punto “A” es un punto en el centro del estrato que se indica en el perfil. Los valores de esfuerzos que produce solamente masa de suelo son los siguientes:

•Esfuerzos totales: qo = 0.50 kg/cm2 po = 2 kg/cm2

•(Pto Io en el diagrama q vs q)

•Esfuerzos efectivos: qo’ = 0.50 kg/cm2 po’= 1 kg/cm2

(Pto Io’ en el diagrama q vs q)

Fig. E12


Fundaciones

Los incrementos de esfuerzos que se generan en el punto “A”, debido a la carga “q” aplicada en la superficie del estrato, y que son estimados con la ayuda de la teoría de elasticidad, son:

•En dirección vertical: ∆σv = 0.90 kg/cm2

•En dirección horizontal: ∆σh = 0.41 kg/cm2

Los esfuerzos (qo’, po’) y (qo, po) se impusieron con la ayuda del equipo triaxial, en una muestra de suelo extraída de la masa de suelo ( Pto A en el estrato), siguiendo la trayectoria “ko” indicada en la fig. E12. Esto se realizó, primero dejando drenar la muestra hasta alcanzar el pto “ Io’ ”,luego cerraron la llave de drenaje incrementan el esfuerzo confinante de manera de que se produzca una presión de poros inicial (presión hidrostática en que existe en el estrato) y un estado de esfuerzos totales representados por el punto Io.


Fundaciones

Los resultados de laboratorio, fueron los siguientes:

ENSAYO DE LABORATORIO

Incremento de esfuerzos y deformaciones

Al final de la carga sin drenaje

Al final de la etapa de consolidación

∆σv 0.90 0.90

∆σh 0.41 0.15

∆u 0.65 0.00

∆εv % 0.16 0.38

∆εh % -0.16 -0.11

Donde:

∆σv, ∆σh: Incremento de esfuerzos que se le imponen a la muestra en la etapa de carga y que se generan luego de consolidarse la muestra.

∆u: Presión de poros se mide en el manómetro, debido a los esfuerzos (∆σv, ∆σh).

∆εv, ∆εh: Deformaciones verticales que se miden en los extensómetros, a medida que se aplica (∆σv, ∆σh) y se disipa ∆u.

A continuación se estiman los incrementos de esfuerzos y presión de poros, correspondientes a ambas etapas indicadas en la tabla.

• Al final de la carga sin drenaje

Esfuerzos totales:

∆σv=0.90 kg/cm2 ∆σh=0.41 kg/cm2 ∆u=0.65 kg/cm2

kg/cm2 245.02

41.090.02

=∆⇒−=∆−∆=∆ q

hvq

σσ

kg/cm2 655.02

41.090.02

=∆⇒+=∆+∆=∆ p

hvp

σσ

Pto B en la trayectoria de esfuerzos:

kg/cm2 745.0245.050.0 =⇒+=∆+= qqqqo

kg/cm2 655.2655.000.2 =⇒+=∆+= ppppo


Fundaciones

Esfuerzos efectivos:


kg/cm2 25.0'65.090.0'' =∆⇒−=∆⇒∆−∆=∆ vvuvv σσσσkg/cm2 24.0'65.041.0'' −=∆⇒−=∆⇒∆−∆=∆ hhuhh σσσσ

kg/cm2 245.0'2

)24.0(25.02

''' =∆⇒

−−=∆−∆=∆ qhv

qσσ

kg/cm2 005.0'2

)24.0(25.02

''' =∆⇒

−+=∆+∆=∆ phv

pσσ

Pto B’ en la trayectoria de esfuerzos:

kg/cm2 745.0'245.050.0''' =⇒+=∆+= qqqqo

kg/cm2 005.1'005.000.1''' =⇒+=∆+= ppppo

• Al final de la etapa de consolidación

Esfuerzos totales:


kg/cm2 375.02

15.090.02

=∆⇒−=∆−∆=∆ q

hvq

σσ

kg/cm2 525.02

15.090.02

=∆⇒+=∆+∆=∆ p

hvp

σσ

Pto F en la trayectoria de esfuerzos:kg/cm2 875.0375.050.0 =⇒+=∆+= qqqq

o

kg/cm2 525.2525.000.2 =⇒+=∆+= ppppo

Esfuerzos efectivos:


kg/cm2 90.0'00.090.0'' =∆⇒−=∆⇒∆−∆=∆ vvuvv σσσσ

kg/cm2 15.0'00.015.0'' =∆⇒−=∆⇒∆−∆=∆ hhuhh σσσσ


Fundaciones

kg/cm2 375.0'2

15.090.02

''' =∆⇒

−=∆−∆=∆ qhv

qσσ

kg/cm2 525.0'2

15.090.02

''' =∆⇒

+=∆+∆=∆ phv

pσσ

Pto F’ en la trayectoria de esfuerzos:kg/cm2 875.0'375.050.0''' =⇒+=∆+= qqqq

o

kg/cm2 525.1'525.000.1''' =⇒+=∆+= ppppo

Fig. E13


Fundaciones

Las deformaciones verticales y horizontales que se producen en la muestra en la fig E14, para las dos fases del ensayo.

Fig. E14

El asentamiento inmediato y por consolidación a partir de las deformaciones, serán:

cm 8.430100

16.0 =⇒⋅=ii

m δδ ( )cm 6.630

100

16.038.0 =⇒⋅−=cc

m δδ


Fundaciones

Si de la fig. E14 se obtiene un módulo no drenado entre el punto Io y B, sin tomar en cuenta el incremento del esfuerzo horizontal, resultará:

kg/cm2 5.562100/16.0

90.0 =⇒= EuEu

Aplicando la fig. 90, el asentamiento inmediato puede ser estimado, con ν=0.5 (caso no drenado) y en el eje D/R=1.5, se considreo Is=0.53 :

cmIsEu

Rq

iii 88.153.0

ton/m25625m 10

ton/m220 =⇒⋅⋅=⇒⋅⋅= δδδ

Si de la fig. E14 se obtiene un módulo promedio entre el punto Io y F, con ν=0.3 (caso drenado) y en el eje D= 1.5R, Is=0.91, sin tomar en cuenta el incremento del esfuerzo horizontal, resultará:

kg/cm2 84.236100/38.0

90.0 =⇒= EE

Aplicando la fig. 90, el asentamiento total puede ser estimado. Como se :

cmIsE

Rq

totaltotaltotal 69.791.0

ton/m22368m 10

ton/m220 =⇒⋅⋅=⇒⋅⋅= δδδ


Fundaciones

Por tanto el asentamiento por consolidación, será:cm 81.588.169.7 =⇒−=⇒−=

ccitotalcδδδδδ (valor similar al obtenido por el

método de la trayectoria de esfuerzos).

Se debe indicar en este punto, que el método de mayor uso en la estimación de asentamientos sigue una trayectoria no real, tal como se muestra en la fig. E15.

Fig. E15


Fundaciones

Donde en la trayectoria inmediata Io’ – B, se aplican las ecuaciones y gráficas correspondientes a la teoría de elasticidad, y para la trayectoria Io’ –F’ se aplica la teoría de consolidación.

Ejercicio 7

Considere una losa de fundación de 30 x 40 m, como se muestra en la fig. E16. La carga total muerta más la carga viva, sobre la losa es 20000ton. Estime el asentamiento total en el centro de la fundación.

Se pide:

1. A partir de la metodología de Steinbrenner (fig. 100), determine el asentamiento inmediato en el centro.

2. Usando la metodología de Alhvin y Ulery, estime el asentamiento inmediato en el centro de la placa (ec. 144).

3. Estime el asentamiento por consolidación en la arcilla, con el promedio de los esfuerzos que produce la losa en el borde, en el centro y en la base de la capa de arcilla. Para los incrementos de esfuerzos, use la fig. 54.

Fig. E16

Solución:

La carga aplicada por la fundación a la masa de suelo será:

DfArea

Qq ⋅−= γ

ton/m253.133/ 57.1 2 40 30

ton20000 =⇒⋅−⋅

= qmtonmmm

q

Losa de 30 x 40 m


Fundaciones

Respuesta Nº 1

•Asentamiento inmediato en la arena. Steinbrenner (fig. 100).

Fig. E17

0.09 F2y 0.14F1 :Resulta 33.11520

BL

y 11515 ==⇒====

B

D

Por tanto Is, será:

17.009.04.014.021

14.0 =⇒⋅

−⋅−+= IsIs


Fundaciones


Fundaciones

( ) ( )mmIs

E

Bqarenaiarenaiarenai

79.517.05000

4.011513531_

2

_

2

_=⇒⋅−⋅⋅=⇒⋅−⋅⋅= δδνδ

Tomando en cuenta los cuatro sectores del área de la zapata:

mmmmarenaiarenai

19.23 79.54__

=⇒⋅= δδ

• Asentamiento inmediato en la arcilla. Steinbrenner (fig. 100).

Fig. E18

0.09 F2y 0.14F1 :Resulta 33.11520

BL

y 11515 ==⇒====

B

D


Fundaciones


14.009.05.015.021

14.0 =⇒⋅

−⋅−+= IsIs

( ) ( )mmIs

E

Bqarcillaiarcillaiarcillai

10.714.03000

5.0115135311__

2

1__

2

1__=⇒⋅−⋅⋅=⇒⋅−⋅⋅= δδνδ

Tomando en cuenta los cuatro sectores del área de la zapata:mmmm

arcillaiarcillai 41.28 10.74

1__1__=⇒⋅= δδ

Ahora considerando todo el material como arcilla, se tiene:

Fig. E19


Fundaciones

0.10 F2y 0.22F1 :Resulta 33.11520

BL

y 4.11521 ==⇒====

B

D


22.010.05.015.021

22.0 =⇒⋅

−⋅−+= IsIs

( ) ( )mmIs

E

Bqarcillaiarcillaiarcillai

16.1122.03000

5.0115135312__

2

2__

2

2__=⇒⋅−⋅⋅=⇒⋅−⋅⋅= δδνδ

Tomando en cuenta los cuatro sectores del área de la zapata:mmmm

arcillaiarcillai 65.44 16.114

2__2__=⇒⋅= δδ

Por tanto en asentamiento inmediato de la arcilla será:mmmmmm

arcillaiarcillai 24.16 41.28 65.44 __ =⇒−= δδ

El asentamiento total inmediato de la fundación será:mm 43.39mm 24.16 19.23 ____ =⇒+=+=

totaliarcillaiarenaitotalimm δδδδ

Para cimientos rígidos (ec. 192)mm

totalitotali 54.31mm 43.3980.0

__=⇒⋅= δδ (fundación rígida)


Fundaciones

Respuesta Nº 2

Aplicando Alhvin y Ulery, determinación asentamiento inmediato.

Radio equivalente:

mbb 54.193040 =⇒

⋅=π

Aplicando la ec. 144, y con la determinación de las funciones A y B, se estima el asentamiento en cada una de las capas.

( ) ( )[ ]BAE

qi

i

i

zi+⋅⋅−⋅+⋅= ννε 21

1

Fig. E20


Fundaciones

z (m)

r (m)

z/b r/b A B νi Ei(ton/m2)

εzi % ∆H (m)

δi (mm

)

7.5 0 0.3837

0 0.64230852

0.56911663

0.40 5000 0.2646

15 39.64

18 0 0.9211

0 0.32299 0.36623 0.50 3000 0.2477

6 14.86

mm 39.43 50.54 86.14 64.39__

>=⇒+= mmmmmmtotalitotali

δδ

Respuesta Nº 3

Asentamiento por consolidación:

Fig. E21


Fundaciones

Determinación de los incrementos de esfuerzos:

B=15 m L=20 mz (m) m=B/z n=L/z f(m,n) ∆σv=4.f(m,n).q

(ton/m2)

15 1 1.33 0.185 10.01

7.5 0.833 1.11 0.166 8.98

21 0.714 0.952 0.147 7.96

ton/m298.86

96.798.8401.106

4=∆⇒

+⋅+=∆⇒∆+∆⋅+∆

=∆promediopromedio

basecentrotopoe

promediovv

vvvv σσ

σσσσ

El esfuerzo efectivo inicial en el centro del estrato de arcilla, es: ton/m269.20' ton/m216 - ton/m31.86m 3 ton/m31.91 m 13 ton/m31.57m 4' =⇒⋅+⋅+⋅=

vovoσσ

2/ 67.29'2/ 98.82/ 69.20''' mtonmtonmtonvvfvfpromediovovf

=⇒+=⇒∆+= σσσσσ

2015


Fundaciones

Como el estrato compresible de arcilla es pequeño en comparación con el ancho de la fundación, entonces no se corregirá por la relación de asentamientos µ, tomando en cuenta el parámetro de presión de poros. Por tanto el asentamiento por consolidación, se expresa, como:

mm 43.13869.20

67.29log6

90.01

28.0

'

'log

1=⇒

⋅⋅+

=⇒

⋅⋅

+=

cc

vo

vf

cmH

eo

Cc δδσσ

δ


Fundaciones

Ejercicio 8

Para los casos indicados en la fig. E22, determine el asentamiento considerando el bulbo de esfuerzos y la variación del módulo según la ecuación que se indica en el gráfico.

Fig. E22

Para la determinación del asentamiento se aplicará la ec. 150.( )

E

qa 212 νδ −⋅⋅⋅=


Fundaciones

• Caso secoσv’=?

mzmz 25.2 5.123 =⇒⋅=

2/ 94.3'm 2.25 ton/m375.1' mtonvv =⇒⋅= σσ

2/ 12552/ 5.2

2/ 94.32/ 1000 mtonE

mton

mtonmtonE =⇒⋅=

( )cm

mton

mtonmii

77.42/ 1255

45.012/ 25 5.12 2

=⇒−⋅⋅⋅= δδ (fundación flexible)

Para fundación rígida:

cmcmii

82.3 77.480.0 =⇒⋅= δδ

• Caso saturadoσv’=?

mzmz 25.2 5.123 =⇒⋅=

( ) 2/ 48.2'm 2.25 ton/m3110.2' mtonvv =⇒⋅−= σσ

2/ 9962/ 5.2

2/ 48.22/ 1000 mtonE

mton

mtonmtonE =⇒⋅=


Fundaciones

( )cm

mton

mtonmii

62/ 996

45.012/ 25 5.12 2

=⇒−⋅⋅⋅= δδ (fundación flexible)

Para fundación rígida:cmcm

ii 80.4 680.0 =⇒⋅= δδ

Ejercicio 9

Se hizo una prueba de carga cuyos datos, son los siguientes:

•Diámetro de la placa = 0.30 m

•Esfuerzo que transmite la placa al suelo de fundación q=2.5 ton/m2

•Asentamiento que produce la carga q, es de 1.5 mm

Determine Eo y σvo’ a partir del ensayo de placa para usarlo en la fundación real.

La fig. E23 ilustra el problema.

Calcular el asentamiento de la zapata real. Aplique el método del bulbo de esfuerzos.


Fundaciones

( )E

qa 212 νδ −⋅⋅⋅=


Fundaciones

Fig. E23


Fundaciones

A partir de la placa:

Se aplicará la ec. ( ) ( )

Eo

qa

E

qaplaca

22 1280.0

12 νδνδ −⋅⋅⋅⋅=⇒−⋅⋅⋅=

De la ec. se despeje E = Eo. Como la placa es rígida, debe multiplicarse por 0.80, tal como se indica:

( ) ( )2/ 319

0015.045.012/ 5.2 15.0280.01280.0 22

mtonEom

mtonmEo

qaEo

placa

=⇒−⋅⋅⋅⋅=⇒

−⋅⋅⋅⋅=δ

ν

mzmz 225.0 15.023 =⇒⋅=

2/ 484.0 225.03/ 15.2 mtonmmtonzvosatvo

=⇒⋅⇒⋅= σγσ

( ) 2/ 375.02/ 1 225.060.0 mtonuhmtonmuh −=⇒⋅−−=

( ) 2/ 86.0'375.0484.0' mtonvovo

=⇒−−= σσ

Para la fundación real:


Fundaciones

mzmz 25.2 5.123 =⇒⋅=

2/84.43/ 15.2 25.2 mtonmtonmvv

=⇒⋅= σσ

( ) 2/ 65.13/ 1 60.025.2 mtonuhmtonmuh =⇒⋅−=

( ) 2/ 19.3'2/ 65.184.4' mtonmtonvv

=⇒−= σσ

2/ 61486.0

19.3319 mtonEE =⇒⋅=

El asentamiento de la fundación real, será:( ) ( )

E

qa

E

qaigidafundaciónr

22 1280.0

12 νδνδ −⋅⋅⋅⋅=⇒−⋅⋅⋅=

( ) ( )cm

mton

mtonmx

E

qaigidafundaciónrigidafundaciónr

80.72/ 614

45.012/ 25 5.1280.0

1280.0

22

=⇒−⋅⋅⋅=−⋅⋅⋅⋅= δνδ

CapIII_115-146

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