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CIRCUITOS CON CAPACIDADES CONMUTADAS

Introduccin

Desde que en 1923 Otto Zobel presentara su primer mtodo, el diseo de filtros ha pasado

desde entonces por las ms diversas tecnologas. En un principio, se empezaron diseando

circuitos RLC selectivos en frecuencia para su empleo como filtros analgicos, estos tienen

polos complejos conjugados y permitan realizar filtros con variaciones rpidas y pocos

componentes. Pero a medida que se fue avanzando en la integracin de estos filtros en

circuitos, estos presentaban el inconveniente de que ha bajas frecuencias requeran

inductores de excesivo tamao, sensibles al ruido y de elevadas perdidas, con lo cual los

circuitos RLC dejaban de ser vlidos para aplicaciones a baja frecuencia.

Para solucionar este problema a bajas frecuencias (rango de audiofrecuencias), llegaron los

filtros pasivos RC, como en la gama de las audiofrecuencias conviene utilizar filtros

activos, los condensadores y las resistencias se combinaron con amplificadores

operacionales monolticos.

El siguiente paso estaba orientado hacia el filtro totalmente integrado, pero se tropez con

la dificultad de una integracin monoltica total debido a que no fue posible realizar

mediante procedimientos estandarizados componentes RC con la estabilidad y precisin

requeridas.

Con el posterior desarrollo de la tecnologa MOS, y su alta capacidad de integracin, se

pudieron realizar los circuitos de condensadores conmutados, circuitos que emulan el

comportamiento de una resistencia mediante condensadores e interruptores.

Ventajas de la Utilizacin de Capacidades Conmutadas por Resistencias en Filtros

Dos causas principales provocaron el cambio de las resistencias por las capacidades

conmutadas en filtros activos realizados para el rango de las audiofrecuencias:

a) El avance de la integracin de los circuitos fue debido a la utilizacin de la

tecnologa MOS, en esta tecnologa se podan integrar fcilmente condensadores de

excelente calidad, pero no resistencias. Para el rango de las audiofrecuencias la

constante de tiempo es del orden de 0.1 mseg, esto significa que para un

condensador de unos 5pF, el valor de la resistencia tendra que ser del orden de unos

20 M. Tal resistencia, construida mediante una regin de difusin, ocupara un rea cercana al 20 % del tamao del circuito integrado analgico MOS y ni siquiera

sera totalmente lineal.

Este problema es resuelto con la utilizacin de las capacidades conmutadas, pues

como ya dijimos anteriormente, la integracin de los condensadores no tiene

problemas, y los interruptores, en tecnologa MOS son muy fciles de realizar. Se

utilizan transistores MOS para la realizacin de los interruptores analgicos. No

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obstante la utilizacin de transistores por interruptores presenta unos pequeos

problemas:

La existencia de pequeas corrientes de fuga resulta en pequeos pulsos de tensin que provocan la reduccin del rango dinmico vlido.

La existencia de capacidades parsitas entre puerta y fuente, como tambin entre la puerta y drenador, son del orden de 0.001 a 0.1 pF. Sin embargo, esto no presenta

muchos problemas, pues mediante tcnicas adecuadas, se consigue eliminar los

efectos de estas capacidades parsitas.

b) Para un filtro RC, la constante de tiempo es = RC. Tanto los condensadores como las resistencias presentan tolerancias del orden del 5 al 10 % y como los errores de

ambos componentes no tienen relacin entre s, es decir, no estn correlacionados,

el error total de la constante de tiempo es la suma de los errores de ambos

componentes, pudiendo llegar a un porcentaje del 20 %, dependiendo adems, de la

temperatura y del nivel de la seal.

Sin embargo, si utilizamos los condensadores conmutados en vez de la resistencia,

tendramos, como veremos ms adelante, que = T(C1/C2).

Ahora, la tolerancia de los condensadores sigue estando entre un 5 o 10 %, pero

como los condensadores se realizan en un mismo circuito integrado, y como la

constante de tiempo depende de la relacin de ambos condensadores, se tiene que el

error es menor que la suma de ambos, pues los errores de los condensadores estn

correlacionados, adems no hay una dependencia con la temperatura, pues los dos

condensadores estn fabricados en un circuito con las mismas caractersticas.

Estos dos factores, la integracin y la precisin relativa de la constante de tiempo,

impulsaron la realizacin a bajas frecuencias, de los filtros analgicos en tiempo

real mediante las tcnicas de condensador conmutado.

Conceptos Bsicos

La figura 01, muestra una resistencia y un elemento ideal con capacidad conmutada

equivalente. En los circuitos prcticos, los interruptores pueden ser puertas MOS de

transmisin. Un reloj de dos fases, que consiste en trenes de pulsos no solapados 1 y 2, abre y cierra de forma alternativa los interruptores a una frecuencia fs lo suficiente grande

para que 1v y 2v no cambien de forma apreciable en cada periodo de conmutacin. Cuando

se cierra el interruptor 1, RC se carga con 1v voltios, almacenado la carga 11 vCq R=

1 se abre entonces y 2 se cierra. El condensador se carga ahora a 2v voltios, reajustando su carga almacenada a

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22 vCq R=

Cuando el primer interruptor vuelve a cerrarse para comenzar con el siguiente ciclo, ha

habido un movimiento neto de

)( 2121 vvCqqq R ==

culombios de carga, desde el nodo con 1v voltios hasta el nodo con 2v voltios. Como esta

transferencia de carga se hace en sf1 segundos, la corriente media es

s

Rf

vvC

t

qi

1

)( 21 ==

Ignorando la naturaleza de los pulsos de la corriente, se tiene que

sR fCi

vvR

121 == (ec.1.62)

Al usar kHzfs 100= y pFCR 20= , por ejemplo, se obtiene una resistencia de 500 k.

(c)(b)(a)

2121ii

v2v1

i i

v2v1

CRi

v2v1

R

CR

FIGURA 01 Resistencia de condensadores conmutados

La figura 01c, es tambin una resistencia de capacidades conmutada. Cuando 1 se cierra, segn se carga RC , se mueven )( 21 vvCR culombios de carga. Cuando se cierra 2 el condensador se descarga.

La ecuacin (1.62) muestra una consideracin crtica de los circuitos de capacidad

conmutada, la resistencia es inversamente proporcional a sf . Se puede hacer escalado de

frecuencia de circuitos RC cambiando slo resistencias; por lo tanto, si sf es comn a todas

las resistencias en los filtros de capacidades conmutadas, se puede utilizar el reloj para

hacer el escalado de frecuencia. Esta caracterstica facilita la precisin de la sintonizacin al

ajustar sf y adems, nos permite cambiar la frecuencia de corte o de referencia para

adaptar el mismo filtro a distintos filtrados.

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Bloques constructivos con capacidades conmutadas.

Integradores. Los circuitos de capacidades conmutadas a continuacin, proporcionan

funciones autnomas tiles y adems forman bloques constructivos de circuitos ms

complejos. La figura 02, es un integrador con una resistencia de entrada de capacidades

conmutadas. Cuando se cierra el interruptor 2 , la masa virtual hace que RC se descargue a cero voltios, transfiriendo a C toda su carga almacenada. Al reemplazar la resistencia del

integrador por la ecuacin (1.62) se obtiene = )(tvCCfv iRso (ec. 1.63)

(d)(c)

(b)(a)

++ 1+ 1

2 112

221 121

ivi CR

vo

C

vi CR

vo

C

vi CR

i

vo

C

vo

C

v1

CR

FIGURA 02 . Integradores de condensadores conmutados: (a) integrador inversor; (b)

integrador inversor insensible a la capacidad parsita; (c) integrador no inversor; (d)

mecanismo de transferencia de carga de un integrador no inversor.

Que indica que la relacin entre los condensadores y sf define el coeficiente del integrador.

Cuando RC es pequeo, las capacidades parsitas que hay entre cada nodo y masa

contribuyen a que RC no tenga valores muy fiables. El integrador de la figura 02b utiliza

interruptores adicionales para evitar este problema. Durante el ciclo de 1 , RC se carga a iv voltios, cuando la corriente circula por C ; durante el ciclo de 2 , RC se descarga. El

flujo de corriente neto va desde iv a C como en el integrador sin interruptores. La ecuacin

(1.63) describe su funcionamiento completo.

Reasignando las fases del reloj de los dos interruptores de la figura 02b, obtenemos el

integrador no inversor de la figura 02c. Durante 1 , RC se carga a iv voltios con la polaridad indicada. Durante el ciclo de 2 , la masa virtual fuerza a C con la polaridad opuesta a la del integrador inversor.

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Amplificadores. La figura 03a muestra un amplificador inversor de capacidad conmutada.

Durante 1 , se almacena iRi vCq 1= culombios. Durante 2 , esta carga se mueve a 2RC como la corriente i , haciendo negativo ov para iv positivos. Con el interruptor abierto,

i

R

R

R

io v

C

C

C

qv

2

1

2

==

la tensin de salida aparece como muestras de la salida de un amplificador con ganancia de

salida

2

1

R

R

i

o

C

C

v

v = (ec. 1.64)

alternando con valores de salida cero (cuando los interruptores 1 estn cerrados). 1 2

1+

(a)

121

2(b)

1+- qi

qi

ivi CR1

vo

CR2

i

vo

CR2

vi

CR1

Figura 03. Amplificadores de capacidades conmutadas : (a) inversor; (b) no inversor.

La figura 03b es un amplificador no inversor que combina el mecanismo de la ganancia del

amplificador inversor con la conmutacin del integrador no inversor para obtener una

ganancia que es la ecuacin (1.64) en negativo.

Filtros de Primer y Segundo Orden. Los bloques constructivos de capacidad conmutada se

pueden utilizar para construir filtros paso bajo, dando la posibilidad de realizar circuitos de

capacidad conmutada de filtros multietapa de Butterworth y Chebyshev, de cualquier

orden.

La figura 04 es el equivalente en capacidades conmutadas del filtro paso bajo de primer

orden.

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2 1

1 2CR2

vo

C

vi

CR1

Figura 04. Filtros paso bajo inversor de primer orden.

Al reemplazar las resistencias con los valores conmutados de la ecuacin (1.62) se obtiene

)(1

2

1

H

R

R

i

o

wwj

CC

V

V += , C fCw sRH 2=

La ganancia de tensin se establece con una relacin de condensadores y la frecuencia de

corte con sf y otra relacin entre condensadores. En una etapa general de un filtro de

segundo orden, podemos reemplazar las resistencias y el amplificador no inversor con

equivalentes de capacidades conmutadas.

El circuito bicuadrtico de capacidades conmutadas aprovecha la disponibilidad de

integradores no inversores. Comenzando con la funcin paso bajo inversa

1)1(

12 ++ = sQsVV iLP (ec.1.65)

Multiplicamos los medios obteniendo

iLPLPLP VVsVQ

Vs = 12

Ahora aplicaremos esta ecuacin a integradores no inversores como en la figura 05a.

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1/s 1/s

1/Q

-

-

-

s VLP s VLP2

(a)

VLPVi Suma

1/Q Ohms

1F

1F 121

21F1F

21 2

1

(b)

1 Ohms

1 Ohms

VLPVBPVHP

VI

CR

C

CR

C1 Ohms

Figura 05. Circuito Bicuadrtico: (a) diagrama de bloques; (b) esquema del filtro para una

frecuencia de referencia de 1 rad/s con la resistencia y el condensador para Hzfs 1= .

El signo menos de la ecuacin (1.65) nos permite utilizar un

simple amplificador sumador en la entrada como en la figura 05b. Con un reloj con

Hzfs 1= , este circuito nos da simultneamente la funcin de transferencia de paso bajo de la ecuacin (1.65), la funcin paso banda con ganancia Q

1)1(

)(2 ++= sQs QsQVV iBP (ec. 1.66)

y la funcin paso alto

1)1(2

2 ++ = sQs sVV iHP (ec. 1.67)

Las cuatro resistencias del diagrama se pueden realizar con circuitos de capacidades

conmutadas o, para aumentar su versatilidad, dejar al usuario del circuito integrado poner

sus componentes externos. En los filtros integrados comerciales de capacidades

conmutadas, se proporciona un pin de salida para un reloj externo sf , con seales de

conmutacin que no se superponen, creadas por el propio chip.

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Circuitos de capacidades Conmutadas escalados. Los filtros de capacidades conmutadas

se pueden escalar en frecuencia o en impedancia de la forma habitual. No obstante, al hacer

escalado se debe diferenciar los dos tipos de condensadores de estos circuitos. En las figura

2 a 5, los condensadores RC contribuyen a la resistencia, mientras que los C funcionan

como condensadores reales. Por lo tanto, hacer escalado de frecuencia slo lleva asociado

escalar los condensadores (o en su lugar las resistencias escaladas, incluyendo las

resistencias RsCf1 ). Para escalar en impedancia, se multiplican las impedancias de los dos

tipos de condensadores por el factor de escala de impedancia .

Consideraciones Prcticas

Como los circuitos de capacidades conmutadas son sistemas de muestreo, hay algunas

restricciones especiales en la frecuencia del reloj y en las formas de onda que controlan los

interruptores.

El teorema de muestreo de Nyquist necesita que sf sea al menos dos veces la frecuencia de

entrada ms alta que debe procesar el ciruito. Intuitivamente esto asegura que 1v y 2v en la

figura 01 no cambian de forma apreciable durante un ciclo de conmutacin. Si un filtro

paso bajo separa una seal de ancho de banda de 600 hz de un ruido de 1800 Hz, por

ejemplo, entonces es necesario que Hzfs 3600 . Este criterio no se satiface cuando hay distorsin de aliasingen la cual cada frecuencia de entrada sk ff 5.0 ha transferido su energa a ks ff en el espectro de salida, significando esto una prdida irreversible de informacin.

Los diagramas del circuito indican claramente que un correcto funcionamiento precisa que

1 se abra antes de que 2 se cierre y que 2 se abra antes de que 1 se cierre. Aunque cada interruptor funciona a frecuencias sf con un perodo ss fT 1= , esto significa que la duracin del cierre del interruptor, Tc , debe ser una fraccin limitada k de ST ; es decir,

sc kTT = , 5.00 K (ec.1.68)

como en la figura 06a.

Figura 06. Efecto de la apertura: (a) comparacin del tiempo de cierre cT y el periodo sT ;

(b) distorsin de amplitud introducida por el tiempo de cierre nulo.

En un funcionamiento ideal, cT se debera acercar a cero, dando un muestreo instantneo.

Sin embargo, esto no es prctico en los circuitos reales porque la energa de los pulsos

individuales debera ser cero. En consecuencia, los sistemas prcticos de muestreo de datos

introducen una distorsin de frecuencia especial denominada distorsin de apertura, que es

ms fuerte para valores mayores de k . Este efecto de apertura es equivalente a poner en

cascada la funcin de transferencia del filtro, )( jwT , con la funcin de apertura

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( )[ ]( )[ ]s swwk wwksenkwH =)( (ec.1.69)

en donde sw es la frecuencia de conmutacin en rad/seg. Observemos los dos factores de

)(wH : atenuacin uniforme de todas las frecuencias con k y filtrado con una funcin

xxsen . La ltima introduce distorsin de amplitud como la figura 06b, pero no distorsin

de fase. Para un ciclo de trabajo dado, k , la distorsin de amplitud se hace insignificante a

frecuencias de muestreo suficientemente altas.

Ejemplo.- Disear un filtro Butterworth de capacidades conmutadas, paso bajo de cuarto

orden, con ancho de banda a 3 dB de 8000 rad/seg que filtre frecuencias de entradas de

hasta 32.000 rad/seg.. Utilizar etapas biquad en cascada.

Solucin.- sea la funcin de respuesta de un filtro Butterworth de cuarto orden

)18478.1(

1

)17654.0(

1)()()(

2221 ++++== sssssTsTsT

Cada seccin de este filtro prototipo tiene la forma general de la figura 05b con ancho de

banda de 1 rad/seg. Las columnas 2 y 3 de la Tabla 01 muestran los valores de los

componentes despus de escalar en frecuencia los condensadores C con 000.8= . La fila etiquetada como "R" describe todas las resistencias de la figura 05 con valor de 1 y la fila " Q1 " describe el resto de las resistencias. La ltima fila nos da la frecuencia de

conmutacin.

TABLA 01

Parmetro Parmetros tras escalado de

frecuencia

Parmetros tras escalado de

impedancia

T1(s) T2(s) T1(s) T2(s)

C 125 uF 125 uF 1.250 pF 1.250 pF

CR 1 F 1 F 10 uF 10 uF

R 1 1 100 K 100 K I/Q 0.7654 1.8478 76.5 K 184.8 K ws 1 rad/s 1 rad/s 1 rad/s 1 rad/s

Para que las resistencias discretas tengan valores razonables, se hace un escalado con

impedancia 510= . Esto nos da los valores de las dos ltimas columnas de la Tabla 02.

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TABLA 02

Parmetro Diseo que cumple el Teorema de

muestreo

T1(s) T2(s)

C 1.250 uF 1.250 uF

CR 785 pF 785 pF

R 100 K 100 K I/Q 76.5 K 1.84. 8 K ws 80 krad/s 80 krad/s

Como ws= 1 rad/s no satisface el teorema de muestreo, ahora se debe seleccionar la

frecuencia de reloj final. La ecuacin (1.62) muestra que se debe incrementar

simultaneamente sf y reducir RC de tal modo no cambien las resistencias de capacidades

conmutadas. Para que las frecuencias de entrada del filtro tengan hasta 32.000 rad/s, se

necesita sradws 000.64 . Para dejar sitio para los errores, se selecciona sradws 000.80 . As, los condensadores RC deben cumplir [ ])2(1080 110 35 xCR R==

Esto da un RC de 785 pF y el diseo final de la Tabla 02.