Capítulo 1 - Mecánica Continua

Mecánica Continua es un ramo de mecánica que trata con los análisis de la cinemática y el comportamiento mecánico de materiales modelado como una masa continua en vez de partículas discretos. El matemático francés Augustin Louis Cauchy fue el primero a formular tales modelos el en siglo 19, pero investigación en el área sigue hasta hoy.

Modelar un objeto como un continuo supone que la substancia del objeto llena completamente el espacio que ocupa. Modelar objetos en esta manera ignora el hecho que la materia es hecho de átomos, y entonces no es continuo; sin embargo, en escalas de larguras mucho más grande que eso de distancias inter-atómicos, tales modelos son altamente exactos. Leyes físicos fundamentales como la conservación de masa, la conservación de momento, y la conservación de energía pueden ser aplicados a tales modelos para derivar ecuaciones diferenciales describiendo el comportamiento de tales objetos, y alguna información acerca del material específico estudiado es añadido a través de una relación constitutivo.

Mecánica continua trata con propiedades físicas de sólidos y fluidos cuales son independientes de algún sistema de coordenadas específico en que están observados. Estas propiedades físicas después son representadas por tensores, cuales son objetos matemáticos que tienen la propiedad necesaria de ser independiente de un sistema de coordenadas. Estos tensores pueden ser expresados en un sistema de coordenadas para conveniencia computacional.

El concepto de un continuo

Materiales, como sólidos, líquidos y gases, son compuestos de moléculas separados por espacio vacío. En escala macroscópica, materiales tienen fisuras y discontinuidades. Sin embargo, ciertos fenómenos físicos pueden ser modelados suponiendo que los materiales existen como un continuo, significando que la materia en el cuerpo está continuamente distribuida y llena la región de espacio entera que ocupa. Un continuo es un cuerpo que puede ser continuamente subdividido en elementos infinitesimal con propiedades siendo esos del bulk material.

La validez de la suposición continua puede ser verificada por un análisis teórico, en cual o alguna periodicidad clara está identificado u homogeneidad y ergodicidad estadística de la microestructura existe. Más específicamente, el hipótesis/la suposición de continuo depende de los conceptos de un elemento de volumen representativo (representative volume element o RVE - a veces llamado "representative elementary volume") y separación de escalas basado en la condición de Hill-Mandel. Esta condición da una conexión entre un punto de vista de un experimentalista y de un teórico en ecuaciones constitutivas (lineales y no lineales elástica/no elástica o ambos campos) también una manera de espacial y promediando estadístico de la microestructura.

Cuando la separación de escalas doesn´t hold, o cuando uno quiere establecer un continuo de una resolución más fino que esa del tamaño RVE, uno emplea un elemento de volumen estadístico (statistical volume element o SVE), cual, a su vez, resulta en campos de continuo aleatorios. Éstos después dan una base micro mecánico para elementos finitos estocásticos (stochastic finite elements o SFE). Los niveles de SVE and RVE conectan mecánica continua a mecánica estadística. El RVE sólo puede ser evaluado de forma limitada a través de pruebas experimentales: cuando la respuesta constitutiva se vuelve espacialmente homogéneo.

Específicamente para fluidos, el número Knudsen es usado para evaluar hasta cual punto la aproximación de continuidad puede ser hecho.

Áreas importantes de mecánica continua

Mecánica Continua:El estudio de la física de materiales continuos.

Mecánica Sólido:El estudio de la física de materiales continuos con una forma en reposo definida.

Elasticidad: Describe materiales que vuelvan a sus formas en reposo después de una tensión aplicado.Plasticidad: Describe materiales que deforman permanentemente después de una tensión aplicado suficientemente.

Reología: El estudio de materiales con ambos características sólidas y fluidos.Mecánica Fluida:

El estudio de la física de materiales continuos que toman la forma de su contenedor.

Fluidos No Newtoniano

Fluidos Newtoniano

Diagrama: Formulación de Modelos

Figura 1. Configuración de un cuerpo continuo

Modelos de mecánica continua empiezan por asignar una región en espacio tres-dimensional Euclidian al cuerpo material siendo modelado. Los puntos dentro de esta región se llaman partículas o puntos materiales. Configuraciones diferentes o estados del cuerpo corresponden a regiones diferentes en espacio Euclidian. La región que corresponde a la configuración del cuerpo a tiempo t está labelled Kt(B).

Una partícula específica dentro del cuerpo en una configuración específica es caracterizada por un vector de posición.

x=∑i=1

3

x i ei

donde ei son los vectores de coordenadas en algún marco de referencia escogido para el problema. Este vector puede ser expresado como una función de la posición de partícula X en alguna configuración de referencia, por ejemplo la configuración al tiempo inicial, para que:

x=k t(X )

Esta función necesita tener varias propiedades para que el modelo tenga sentido físico.

Kt (.) necesita ser:

Continuo en tiempo, para que el cuerpo cambia en una forma realista, Globalmente invertible a todo tiempo, para que el cuerpo no puede intersecarse, Preservante de orientación, porque transformaciones que producen reflexiones de

espejos no son posibles en la naturaleza.

Para la formulación matemática del modelo, Kt (.) también se supone ser dos veces continuamente diferenciable, para que ecuaciones diferenciales describiendo el movimiento pueden ser formulados.

Fuerzas en un continuo

Mecánica continua trata de cuerpos deformables, lo opuesto a cuerpos rígidos. Un sólido es un cuerpo deformable que posee fuerza de corte, sc. un sólido puede apoyar fuerzas de corte (fuerzas paralelas al superficie material en cuales actúan). Fluidos, por otro lado, no apoyan fuerzas de corte. Para el estudio del comportamiento mecánico de sólidos y fluidos estes se supone ser cuerpos continuos, que significa que la materia llena la región entera del espacio que ocupa, a pesar del hecho que la materia es hecho de átomos, tiene vacíos, y es discreto. Por lo tanto, cuando mecánica continua refiere a un punto o una partícula en un cuerpo continuo, no describe un punto en el espacio interatómico o una partícula atómica, sino una parte idealizada del cuerpo que ocupa ese punto.

Según la dinámica clásica de Newton y Euler, el movimiento de un cuerpo material es producido por la acción de fuerzas externamente aplicadas cuales se supone ser de dos tipos: fuerzas

superficiales FC y fuerzas de cuerpo FB. Así, la fuerza total F aplicado a un cuerpo o una porción del cuerpo puede ser expresado así:

F=FB+FC

Fuerzas superficiales o fuerzas de contacto, expresado como fuerza por área unidad, pueden actuar o en el superficie de frontera del cuerpo, como un resultado de contacto mecánico con otros cuerpos, o en superficies internos imaginarios que bound porciones del cuerpo, como resultado de la interacción mecánica entre las partes del cuerpo a un lado u otro del superficie (el principio de tensión de Euler-Cauchy). Cuando un cuerpo is acted upon por fuerzas de contacto externo, fuerzas de contacto interno son transmitido de punto a punto dentro del cuerpo para equilibrar sus acciones, según la segunda ley de movimiento de Newton de conservación de momento lineal y momento angular (para cuerpos continuos estas leyes se llaman las ecuaciones de movimiento de Euler). Las fuerzas de contacto interno son relacionadas a la deformación del cuerpo a través de ecuaciones constitutivas. Las fuerzas de contacto interno pueden ser descritas matemáticamente por como relacionan al movimiento del cuerpo, independiente de la constitución del material del cuerpo.

La distribución de fuerzas de contacto interno a través de todo el volumen del cuerpo se supone ser continuo. Por lo tanto, existe una densidad de fuerza de contacto o campo de tracción de Cauchy T(n, x, t) que representa esta distribución en una configuración específica del cuerpo a un tiempo dado t. No es un campo de vector porque depende no sólo en la posición de un punto de material específico, sino también en la orientación local del elemento superficial como definido por su vector normal n.

Cualquiera área diferencial dS con vector normal n de una área superficial interna dado S, una porción de frontera del cuerpo, se siente una fuerza de contacto dF que viene del contacto entre ambos porciones del cuerpo en cada lado de S, y es dado por:

d FC=T(n)dS

donde T(n) es la tracción superficial, también llamado vector de tensión, tracción, o vector de tracción. El vector de tensión es un vector marco indiferente.

La fuerza de contacto total en la superficie interno específico S se expresa como la suma (superficie integral) de las fuerzas de contacto sobre todos las superficies diferenciales dS:

FC=∫S

.

T (n)dS

En mecánica continua un cuerpo se considera stress-free si las únicas fuerzas presentes son aquellas fuerzas inter-atómicas (ionice, metálicas, y fuerzas de van der Waals) necesarias para hold el cuerpo together y mantener su forma en la ausencia de todas las influencias externas, incluyendo atracción de gravedad. Tensiones generadas durante la fabricación del cuerpo a una configuración específica también están excluidas mientras considerando tensiones en un cuerpo.

Por lo tanto, las tensiones considerado en mecánica continua sólo son aquellas producidos por deformación del cuerpo, sc. sólo se considera cambios en tensión relativas, no los valores absolutos en tensión.

Fuerzas de cuerpo son fuerzas que provienen de fuentes afuera del cuerpo que actúan en el volumen (o masa) del cuerpo. Decir que fuerzas de cuerpo son debidos a fuentes de afuera implica que la interacción entre partes diferentes del cuerpo (fuerzas internas) se manifiesta sólo a través de las fuerzas de contacto. Estas fuerzas surgen de la presencia del cuerpo en campos de fuerza, por ejemplo campo de gravedad (fuerzas de gravedad) o campo electromagnético (fuerzas electromagnética), o de fuerzas inertes cuando cuerpos están en movimiento. Desde la masa de un cuerpo continuo se supone estar distribuido continuamente, cualquiera fuerza que proviene de la masa también está distribuido continuamente. Así, fuerzas de cuerpo están especificadas por campos de vectores que se supone ser continuos sobre el volumen entero del cuerpo, es decir, actuando sobre todos los puntos. Fuerzas de cuerpo se representa por una densidad de fuerza de cuerpo b(x, t) (por unidad of masa), que es un campo de vector marco indiferente.

En el caso de fuerzas de gravedad, la intensidad de la fuerza depende de, o es proporcional a, la densidad de la masa p(x, t) del material, y es especificado en términos de fuerza por unidad de masa (bi ) o por unidad de volumen (pi ). Estos dos especificaciones se relacionan a través de la densidad material por la ecuación p bi = pi. De igual manera, la intensidad de fuerzas electromagnéticas depende de la fuerza (carga eléctrica) del campo electromagnético.

La fuerza de cuerpo total aplicado a un cuerpo continuo se expresa así:

FB=∫V

.

bdm=∫V

.

ρbdV

Fuerzas de cuerpo y fuerzas de contacto actuando en el cuerpo llevar a momentos correspondientes de fuerzas (torques) relativo a un punto dado. Así, el total de torque aplicado M sobre el origen se expresa por:

M=M B+MC

En ciertas situaciones, no comúnmente considerado en el análisis del comportamiento mecánico o materiales, se vuelve necesario incluir dos otros tipos de fuerzas: estes son momentos en el cuerpo y tensiones tipo cupla (cuplas superficiales, torques de contacto). Momentos en el cuerpo, o cuplas o pares aplicadas a un cuerpo, son momentos por unidad de volumen o por unidad de masa aplicados al volumen del cuerpo. Tensiones tipo cupla son momentos por unidad de área aplicado en un superficie. Ambos son importantes en los análisis de tensión para un sólido dieléctrico polarizado bajo la acción de un campo eléctrico, materiales donde la estructura molecular se toma en cuenta (por ejemplo huesos), sólidos bajo la acción de un campo magnético externo, y la teoría de dislocación de metales.

Materiales que muestran cuplas aplicadas a un cuerpo y tensiones tipo cupla además momentos producidos exclusivamente por fuerzas se llaman materiales polares. Materiales no polares son entonces aquellos materiales con sólo momentos de fuerzas. En los ramos clásicos de mecánica continua el desarrollo de la teoría de tensiones se basa en materiales no polares.

Así, la suma de todas las fuerzas aplicadas y torques (con respecto al origen del sistema de coordinadas) en el cuerpo se expresa así:

F=∫V

.

adm=∫S

.

T dS+∫V

.

ρ bdV

M=∫S

.

r xT dS+∫V

.

r x ρbdV

Diagrama: Cinemática: deformación y movimiento

Figure 2. Movimiento de un cuerpo continuo.

Un cambio en la configuración de un cuerpo continuo resulta en un desplazamiento. El desplazamiento de un cuerpo tiene dos componentes: un desplazamiento de cuerpo-rígido y una deformación. Un desplazamiento de cuerpo-rígido consiste de una translación simultánea y

rotación del cuerpo sin cambiar su forma o tamaño. Deformación implica el cambio de forma y/o tamaño del cuerpo de una configuración inicial o no deformado K0(B) a una configuración corriente o deformado Kt(B) (Figura 2).

El movimiento de un cuerpo continuo es una secuencia de tiempo continua de desplazamientos. Así, el cuerpo material ocupará configuraciones diferentes en tiempos diferentes para que una partícula ocupa un serie de puntos en espacio cuales describen un trayectoria.

Hay continuidad durante deformación o movimiento de un cuerpo continuo en el sentido que:

Los puntos de material formando una curva cerrada en cualquier instante siempre formará una curva cerrada a cualquier tiempo posterior.

Los puntos de material formando un superficie cerrado en cualquier instante siempre formará una superficie cerrado a cualquier tiempo posterior y la materia dentro del superficie cerrado siempre se quedará dentro.

Es conveniente identificar una configuración de referencia o una condición inicial de que todas las configuraciones posteriores se refieren. La configuración de referencia no necesita ser una que el cuerpo ocupará. Muchas veces, la configuración a t = 0 es considerado la configuración de referencia, K0(B). Los componentes Xi del vector de position X de una partícula, tomado con respecto a la configuración de referencia, se llaman las coordinadas de material o referencia.

Mientras analizar la deformación o movimiento de sólidos, o el flujo de fluidos, es necesario describir la secuencia o evolución de configuraciones a través del tiempo. Una descripción para movimiento es hecho en términos del material o coordinadas referenciales, llamado descripción material o descripción Lagrangiana.

Descripción Lagrangiana

En la descripción Lagrangian las propiedades posicionales y físicas de las partículas se describe en términos del material o coordinadas referenciales y tiempo. En este caso la configuración de referencia es la configuración a t = 0. Un observador está parado en el marco de referencia referencial observa los cambios en las propiedades posicionales y físicas mientras el cuerpo material se mueve en espacio mientras el tiempo pasa. Los resultados obtenidos son independientes del tiempo inicial escogido y configuración de referencia, K0(B). Esta descripción normalmente es usada en mecánica sólida.

En la descripción Lagrangiana, el movimiento de un cuerpo continuo se expresa por la función de mapping X(.) (Figura 2),

x=x (X , t)

que es un mapping de la configuración inicial K0(B) sobre la configuración corriente Kt(B), dando una correspondencia geométrica entre ellos, es decir, dando el vector de posición x = xiei que una partícula X, con un vector de posición X en la configuración no deformado o de referencia

K0(B), ocupará en la configuración corriente o deformado Kt(B) en tiempo t. Los componentes xi se llaman las coordinadas espacial.

Propiedades físicas y cinemática Pij ... es decir propiedades termodinámicas y velocidad, que caracterizan o describen características del cuerpo material, se expresan como funciones continuos de posición y tiempo, es decir: Pij …=P ij… .(X ,t ) .

La derivada material de cualquiera propiedad Pij ... de un continuo, que puede ser un escalar, vector, o tensor, es el tasa de cambio de tiempo de esa propiedad para un grupo específico de partículas del cuerpo continuo en movimiento. La derivada material también es conocida como la derivada substantial, o derivada comoving, o derivada convectiva. Se puede pensar en eso como la tasa en cual la propiedad cambia cuando medido por un observador viajando con ese grupo de partículas.

En la descripción Lagrangiana, la derivada material de Pij ... es simplemente la derivada parcial con respecto al tiempo, y el vector de posición X está mantenido constante porque no cambia con el tiempo. Así, tenemos:

ddt [Pij… .(X ,t )]= ∂

∂t [Pij…. (X , t)]

La posición instantánea es una propiedad de una partícula, y su derivada material es la velocidad instantánea de la partícula. Por lo tanto, el campo de velocidad del continuo es dado por:

v= x=dxdt

=∂ x (X , t)∂ t

Semejantemente, el campo de aceleración es dado por:

a=v= x=d2 xd t2

=∂2 x (X , t)∂ t 2

Continuidad en la descripción Lagrangiana se expresa por la continuidad espacial y temporal del mapping de la configuración de referencia a la configuración corriente de los puntos de material. Todas las cantidades físicas caracterizando el continuo se describen así. En este sentido, la función x(-) y Pij….(-) son de valores singulares y continuos, con derivadas continuas con respecto al espacio y tiempo al orden que sea es necesario, normalmente al segundo o tercero.

Descripción Euleriana

Continuidad permite el inverso of x(-) to trace backwards donde la partícula corrientemente localizado at x era localizado en la configuración inicial o referenciado, K0(B). En este caso la descripción de movimiento es hecho en términos de las coordinadas espacial, en cual caso es llamado la descripción espacial o descripción Eulerian, es decir, la configuración corriente se toma como la configuración de referencia.

La descripción Eulerian, presentado por d'Alembert, enfoca en la configuración corriente Kt(B), dando atención a que está ocurriendo a un punto de espacio fijo mientras tiempo pasa, en vez de dar atención a partículas individuales mientras se muevan a través del espacio y tiempo. Este enfoque es aplicado convenientemente en el estudio de flujo de fluido donde la propierdad cinemática de interés mas grande es la tasa de que cambio se ocurre en vez de la forma de cuerpo de fluido a un tiempo de referencia.

Matematicamente, el movimiento de un continuo usando la descripción Eulerian se expresa por la función de mapping:

X=x−1(x , t)

que da un tracing de la partícula que ahora ocupa la posición x en la configuración corriente Kt(B) a su posición original X en la configuración inicial K0(B).

Una condición necesaria y suficiente para esta función inversa existir, es que el determinant del Matrix Jacobian, muchas veces referido simplemente como el Jacobian, debe ser diferente de cero. Así:

J=| ∂x i∂ X J|=| ∂ x i∂ X J|≠0

En la descripción Eulerian, las propiedades físicas Pij... se expresa como:

Pij ….=Pij …. ( X , t )=Pij…. [ x−1 ( x , t ) ,t ]=pij … . (x , t )

donde la forma funcional de Pij... en la descripción Lagrangian no es la misma que la forma de Pij... en la descripción Eulerian.

La derivada de material de Pij...(x, t) , usando la regla de cadena, es entonces:

ddt⌊ pij… . (x , t ) ⌋= ∂

∂ t [p ij… . ( x ,t ) ]+ ∂∂xk

⌈ pij…. ( x , t ) ⌉∂ xk∂ t

El primer término en el lado derecho de esta ecuación da el coeficiente local de cambio de la propiedad pij …. ( x , t ) ocurriendo en x de la posición. El segundo término del lado derecho es el convección del coeficiente de cambio y expresa la contribución de la partícula cambiando de posición en espacio (movimiento).

La continuidad en la descripción Euleriana es expresada por la continuidad espacial y temporal y la diferenciabilidad continua del campo de velocidad. Todas las cantidades físicas están definidas así a cada instante de tiempo, en la configuración actual, como una función vectorial de la posición x.

El campo de desplazamiento

El vector uniendo las posiciones de una partícula P en la configuración no deforme y la configuración deforme es llamado el vector de desplazamiento u (X , t )=ui ei, en la descripción

Lagrangiana, o U ( x , t )=U JEJ, en la descripción Euleriana.

Un campo de desplazamiento es un campo vectorial de todos los vectores de desplazamiento para todas las partículas en vivo, que relaciona la configuración deforme con la configuración no deforme. Conviene hacer el análisis de deformación o el movimiento de un cuerpo de continuo en términos del campo de desplazamiento, En General, el campo de desplazamiento es mandado por vía urgente en términos de las coordenadas materiales

u (X , t )=b+x (X ,t )−X∨ui=α iJbJ+x i−α iJ X J

O en términos de las coordenadas espaciales

U ( x , t )=b+ x−X ( x , t )∨U J=bJ+α Ji xi−XJ

Donde α Ji es el coseno de dirección entre los materiales y espaciales sistemas de coordenadas con Ej de vectores de la unidad y ei, respectivamente. Así

E J∗e i=αJi=α iJ

Y la relación entre ui y Uj es entonces dada por

ui=αiJU J∨U J=α Jiui

Sabiendo eso

e i=α iJ EJ

Entonces

u (X , t )=ui ei=ui (αiJ E j )=U J EJ=U ( x , t)

Es común superponer los sistemas de coordenadas para las configuraciones no deformes y deformes, que resulta en b = 0, y los cosenos de dirección se convierten en deltas Kronecker, i.e.

E J∗e i=δJi=δ iJ

Así, tenemos

u (X , t )=x (X , t )−X∨ui=x i−δiJ XJ

O en términos de las coordenadas espaciales

U ( x , t )=x−X ( x , t )∨U J=δ Jix i−X J

Gobernando Ecuaciones

Los tratos de mecánicos de continuo con el comportamiento de materiales que pueden ser aproximados como continuos con toda seguridad longitud y las escalas de tiempo. Las

ecuaciones que gobiernan a los mecánicos de tales materiales incluyen las leyes de balance para masa, momento, y energía. Las relaciones cinemáticas y las ecuaciones constitutivas pretenden completar el sistema de gobernar ecuaciones. Las restricciones físicas en la forma de las relaciones constitutivas pueden ser aplicadas pidiendo que la segunda ley de termodinámica sea satisfecha bajo todas las condiciones. En los mecánicos de continuo de sólidos, la segunda ley de termodinámica es satisfecha si la forma Clausius-Duhem de la desigualidad de entropía es cancelada.

Las leyes de balance expresan la idea que la tasa de cambio de una cantidad (la masa, el momento, la energía) en un volumen debe provenir de tres causas:

1. La cantidad física misma fluye a través de la superficie que delimita el volumen,2. Hay una fuente de la cantidad física en la superficie del volumen, o / y,3. Hay una fuente de la cantidad física dentro del volumen.

Sea Ω el cuerpo (un subconjunto manifiesto de espacio euclidiano) y la ∂Ω dejada a sea su superficie (el límite de Ω).

Sea el movimiento de puntos materiales en vivo esté descrito por el mapa

x=x (X )=x (X)

Donde X es la posición de un punto en la configuración inicial y es el lugar del mismo punto en la configuración deforme.

La gradiente de deformación es dada por

F= ∂x∂ X

=x∗∇

Leyes de Balanceo

Sea f (x , t ) una cantidad física que está fluyendo a través del cuerpo. Sea g(x , t) fuentes en la superficie del cuerpo y la h(x , t) dejada a sea fuentes dentro del cuerpo. Sea n(x , t) la normalidad exterior de la unidad para la ∂Ω de la superficie. Sea v (x , t) la velocidad de las partículas físicas que acarrean la cantidad física que está fluyendo. También, deje a la velocidad a lo cual la ∂Ω de la superficie que salta se mueve sea un (en la dirección).

Entonces, las leyes de balance pueden ser expresadas en la forma general

dd t [∫Ω

.

f ( x , t )dV ]=∫∂Ω

.

f (x , t) [un ( x , t )−v ( x , t )∗n( x , t)] dA+∫∂Ω

.

g ( x , t )dA+∫Ω

.

h ( x , t )dV

Note que las funciones f (x , t), g(x , t) y h(x , t) pueden ser un valor escalar, un valor vector, o un valor tensor dependiendo de la cantidad física que los tratos de ecuación de balance. Si hay

límites internos en vivo, discontinuidades de salto también necesidad para estar especificados en las leyes de balance.

Si tomamos el punto de vista Lagrangiano, puede ser mostrado que las leyes de balance de masa, momento, y la energía pues un sólido puede ser escrito por:

ρ+ρ∇∗v=0 Equilibrio deMas a

ρ v−∇∗σ−ρb=0 Equilibriode momentolinea l

σ=σ TEquil ibriode momentoangula r

ρ e−σ : (∇v )+∇∗q−ρ s=0 Equilibrio deenergi a

En las anteriormente citadas ecuaciones la ρ(x , t) es la densidad masiva (la corriente), ρ es el derivado de tiempo material de ρ, v (x , t) es la velocidad de la partícula, v es el derivado de tiempo material de v, σ (x , t) es el tensor de tensiones Cauchy, b (x , t) es la densidad de fuerza del cuerpo, e (x ,t ) es la energía interna por masa de la unidad, e es el derivado de tiempo material de e, q (x , t) es el vector de fundente de calor, y s(x , t) es una fuente de energía por masa de la unidad.

Con relación a la configuración de referencia, las leyes de balance pueden estar escritas como

ρ det (F )− ρ0=0 Equilibrio de Mas a

ρ0 x−∇e∗PT−ρ0b=0 Equilibriode momentolinea l

F∗PT=P∗FT Equilibrio demomento angular

ρ0 e−PT : F+∇0∗q−ρ0 s=0Equilibrio de energia

En lo antedicho, P es el primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff, y ρ0 es la densidad masiva en la configuración de referencia. El primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff está relacionado con el tensor de tensiones de Cauchy por

P=J σ∗F−T Donde J=det (F )

Alternativamente podemos definir el tensor nominal de tensiones que es la transposición del primer tensor de estrés de Piola-Kirchhoff tal que

N=PT=J F−1∗σ

Entonces las leyes de balance llegan a ser

ρ det (F )− ρ0=0 Equilibrio deMas a

ρ0 x−∇0∗N−ρ0b=0 Equilibriode momentolinea l

F∗N=N T∗FT Equilibrio demomento angular

ρ0 e−N : F+∇0∗q−ρ0 s=0 Equilibrio deenergi a

Los operadores en las anteriormente citadas ecuaciones están definidos como tal

∇ v=∑i , j=1

3 ∂v i∂x j

ei⨂ e j=vi , j e i⨂ e j;∇∗v=∑i=1

3 ∂v i∂ x i

=v i ,i ;∇∗S=∑i , j=1

3 ∂S ij∂ x j

ei=σ ij ,i ei

Donde v es un campo vectorial, S es un segunda campo del tensor de orden, y e i son los componentes de una base ortonormal en la configuración actual. También,

∇o v= ∑i, j=1

3 ∂v i∂ X j

Ei⨂ E j=v i , jE i⨂E j ;∇o∗v=∑i=1

3 ∂v i∂ X i

=vi , i;∇o∗S=∑i , j=1

3 ∂S ij∂ X j

E i=Sij ,i Ei

Donde la v es un campo vectorial, S es un segunda campo del tensor de orden, y E i son los componentes de una base ortonormal en la configuración de referencia.

El producto interior es definido como

A :B=∑i , j=1

3

A ijBij=trace (A BT)

La desigualdad Clausius-Duhem

La desigualdad de Clausius Duhem puede usarse para mandar por vía urgente la segunda cláusula legislativa de termodinámica para materiales plásticos en elástico. Esta desigualidad es una declaración sobre la irreversibilidad de procesos naturales, especialmente cuando la disipación de energía es compleja.

Algo así como en las leyes de balance en la sección previa, asumimos que hay un cambio continuo de una cantidad, una fuente de la cantidad, y una densidad interna de la cantidad por masa de la unidad.

La cantidad de interés en este caso es la entropía. Así, asumimos que hay un cambio continuo de entropía, una fuente de entropía, y una densidad interna de entropía por masa de la unidad (η) alrededor del interés.

Sea Ω tal región y sea ∂Ω su límite. En ese entonces la segunda ley de estados de termodinámica que los que la tasa de aumento de η adentro esta región es mayor o el igual para la suma de tan abastecido para Ω (como un cambio continuo o de fuentes internas) y el cambio de la densidad interna de entropía debido a material entrando a raudales y fuera de la región.

Permite ∂Ω mover con una velocidad un y permite partículas adentro de Ω tener velocidades v. Permite n ser la unidad del normal outward a la superficie ∂Ω. Permite ρ ser la densidad de

materia en la región, q ser el flujo de entropia a la superficie, y r ser el fuente de entropia por unidad de masa. Después, la desigualdad de entropia puede ser escrito como:

dd t [∫Ω

.

ρηdV ]≥∫∂Ω.

ρη [un−v∗n ] dA+∫∂Ω

.

qdA+∫Ω

.

ρ r dV

La flujo de entropía escalar se puede relacionar con el flux vector a la superficie por la relacion. Bajo la suposición de condiciones incrementalmente isotérmica, tenemos:

ψ ( x )=q(x )T

;r= sT

Donde q es el vector de flujo de calor, s es un fuente de energía por unidad de masa, y T es la temperatura absoluta de un punto de material X a tiempo t.

Después tenemos la desigualdad de Clausius–Duhem en forma integral:

dd t [∫Ω

.

ρηdV ]≥∫∂Ω

.

ρη [un−v∗n ] dA−∫∂Ω

. q∗nTdA+∫

Ω

. ρ sTdV

Podemos demonstrar que la desigualdad de entropía puede ser escrito en forma diferencial como:

ρ η ≥−∇∗( qT )+ ρ sTEn términos de la tensión Cauchy y la energía internal, la desigualdad de Clausius–Duhem puede ser escrito como:

ρ ( e−T η )−σ :∇v ≤−q∗∇TT

Capítulo 2 - Mecánica Fluida

Mecánica Fluida es el estudio de fluidos y las fuerzas en ellos. (Fluidos incluyen líquidos, gases, y plasmas.) Mecánica fluida puede ser dividido en fluidos cinemáticas, el estudio de movimiento fluido, and dinámica fluida, el estudio del efecto de fuerzas en movimiento fluido, que puede ser dividido más en estática de fluidos, el estudio de fluidos en reposo, y cinética fluida, el estudio de fluidos en movimiento. Es un ramo de mecánica continua, una tema que modela materia sin usar la información que está hecha de átomos, es decir que modela materia de un punto de vista macroscópico en vez de un punto de vista microscópico. Mecánica fluida, especialmente dinámica fluida, es un campo de investigación activo con muchos problemas sin resolución o sólo parcialmente resuelto. Mecánica fluida puede ser matemáticamente compleja. A veces puede ser mejor resuelto por métodos numéricos, típicamente usando computadores. Una disciplina moderna, llamado dinámica fluida computacional (“computational fluid dynamics” - CFD), es dedicado a este enfoque para resolver problemas de mecánica fluida. También aprovechando la naturaleza altamente visual de flujo fluido es particle image velocimetry, un método experimental para visualizar y analizar flujo fluido.

Historia Breve

El estudio de mecánica fluida goes back por lo menos a los días de Grecia antigua, cuando Archimedes investigó estática de fluidos y buoyancy y formuló su ley famosa ahora conocido como el Principio de Archimedes. Adelantos rápidos en mecánica fluida empezaran con Leonardo da Vinci (observación y experimento), Evangelista Torricelli (barómetro), Isaac Newton (viscosidad) y Blaise Pascal (hidrostática), y fue continuado por Daniel Bernoulli con la presentación de dinámica fluida matemática en Hydrodynamica (1738). Flujo no viscoso fue analizado más por varios matemáticos (Leonhard Euler, d'Alembert, Lagrange, Laplace, Poisson) y flujo viscoso fue explorado por una multitud de ingenieros incluyendo Poiseuille y Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen. Más justificación matemática fue dada por Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes en las ecuaciones Navier–Stokes, y capas de frontera fueron investigado (Ludwig Prandtl), mientras varios científicos (Osborne Reynolds, Andrey Kolmogorov, Geoffrey Ingram Taylor) adelantaran el entendimiento de viscosidad fluida y turbulencia.

Relacionamiento con mecánica continua

Mecánica fluida es una subdisciplina de mecánica continua, como ilustrado en la tabla siguiente:

Mecánica Continua:El estudio de la física de materiales continuos.

Mecánica Sólido:El estudio de la física de materiales continuos con una forma en reposo definida.

Elasticidad: Describe materiales que vuelvan a sus formas en reposo después de una tensión aplicado.Plasticidad: Describe materiales que deforman permanentemente después de una tensión aplicado suficientemente.

Reología: El estudio de materiales con ambos características sólidas y fluidos.Mecánica Fluida:

El estudio de la física de materiales continuos que toman la forma de su contenedor.

Fluidos No Newtoniano

Fluidos Newtoniano

De la vista mecánica, un fluido es una sustancia que no apoya tensión de corte; por eso un fluido en reposo tiene la forma de su contenedor. Un fluido en reposo no tiene tensión de corte.

Suposiciones

Como cualquier modelo matemático del mundo real, mecánica fluida hace algunas suposiciones básicas a cerca de los materiales siendo estudiado. Estos suposiciones se convierte en ecuaciones que tienen que ser satisfecho si los suposiciones are to be held true. Por ejemplo, considere un fluido incompresible en tres dimensiones. La suposición que masa es conservado significa que para cualquier superficie cerrado fijo (como un esférico) la proporción de masa pasando de afuera del superficie a adentro tiene que ser la misma proporción de masa pasando en la otra dirección. (Alternativamente, la masa adentro sigue constante, igual como la masa afuera). Este se puede convertir en una ecuación integral sobre la superficie.

Mecánica fluida supone que cada fluido obedece el siguiente:

Conservación de masa

Conservación de energía Conservación de momento La hipótesis continua, descrita abajo.

Además, muchas veces es útil (a las condiciones subsónicas) suponer que un fluido es incompresible – es decir que la densidad del fluido no cambia. Líquidos muchas veces se pueden modelar como fluidos incompresibles, mientras gases no se pueden.

Semejantemente, a veces se puede suponer que la viscosidad del fluido es cero (el fluido es no viscoso). Se puede suponer que los gases son no viscoso. Si un fluido es viscoso, y su flujo está contenido de alguna manera (por ejemplo en un tubo), entonces el flujo a la frontera tiene que tener una velocidad de cero. Para un fluido viscoso, si la frontera no es porosa, las fuerzas de corte entre el fluido y la frontera resultan también en una velocidad de cero para el fluido a la frontera. Este se llama la condición de no desliz. Para un medio poroso de lo contrario, en la frontera del contenedor, la condición desliz no es de velocidad cero, y el fluido tiene un campo de velocidad discontinuo entre el fluido libre y el fluido en el medio poroso (es relacionado a la condición de Beavers y Joseph).

La hipótesis continua

Fluidos son compuestos de moléculas que se chocan uno con el otro y objetos sólidos. La suposición continua, sin embargo, considera fluidos ser continuos. Es decir, propiedades como densidad, presión, temperatura, y velocidad are taken to be bien definido a puntos “infinitamente” pequeños, que define un REV (“Reference Element of Volume”), a la orden geométrica de la distancia entre dos moléculas de fluido contiguos. Propiedades se supone variar continuamente de un punto al otro, and son valores promediados en el REV. El hecho que el fluido es formado de moléculas discretos está ignorado.

El hipótesis continuo es básicamente una aproximación, en la misma forma que planetas son aproximado como particulares puntuales cuando se trata con mecánica celestial, y entonces resulta en soluciones aproximados. Por consiguiente, suposición de la hipótesis continua puede llevar a resultados que no son de la exactitud deseados. Dicho esto, bajo de las circunstancias correctas, la hipótesis continua produce resultados extremamente exactos.

Aquellos problemas para que el hipótesis continuo no permite soluciones de la exactitud deseado son resueltos usando mecánica estadística. Para determinar si o no se puede usar dinámica de fluido convencional o mecánica estadística, el número de Knudsen es evaluado para el problema. El número de Knudsen es definido como la proporción del mean free path longitud molecular a una cierta escala de longitud física representativa. Esta escala de longitud podría ser, por ejemplo, el radio de un cuerpo en un fluido. (Más simple, el número de Knudsen es cuantas veces su proprio diámetro una partícula viajará en promedio antes de chocar con una otra partícula). Problemas con números de Knudsen at or above unity son mejor evaluado usando mecánica estadística para soluciones confiados.

Ecuaciones de Navier–Stokes

Las ecuaciones de Navier–Stokes (named after Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes) son la serie de ecuaciones que describen el movimiento de sustancias fluidos como líquidos y gases. Estas ecuaciones declaran que cambios en momento (fuerza) de partículas fluidos sólo depende de la presión externa y fuerzas viscosas internas (parecido la fricción) actuando en el fluido.

Así, las ecuaciones de Navier–Stokes describen el equilibrio de fuerzas actuando en cualquiera región dada del fluido. Las ecuaciones de Navier–Stokes son ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de un fluido. Tales ecuaciones establecen relaciones entre las tasas de cambio de los variables de interés. Por ejemplo, las ecuaciones de Navier–Stokes para un fluido ideal con cero estados de viscosidad que aceleran (la tasa de cambio de velocidad) es proporcional al derivada de presión interna.

Esto significa que soluciones de las ecuaciones de Navier–Stokes para un problema física dado tienen que ser buscado con la ayuda de cálculo. En términos prácticos sólo los casos más simples pueden ser resueltos exactamente de esta forma. Estos casos generalmente involve flujo no turbulento, estable (el flujo no cambia con tiempo) en cual el número de Reynolds es pequeño.

Para situaciones más complejos, como sistemas de tiempo globales, como El Niño o lift en un ala, soluciones de las ecuaciones de Navier–Stokes en el presente sólo se encuentran con la ayuda de computadores. Este es un campo de ciencias independiente, llamado dinámica fluida computacional.

Forma general de la ecuación

La forma general de las ecuaciones de Navier–Stokes para la conservación de momento es:

ρ DvDt

=∇∗P+ρf

Donde

ρes la densidad de fluido,

DDt

es la derivada substantive (también se llama la derivada material),

v es el vector de velocidad, f es el vector de fuerza de cuerpo, y P es un tensor que representa las fuerzas superficiales aplicado a un partícula fluida (el

tensor de tensión).

Unless el fluido es formado de spinning degrees of freedom como vórtices, P es un tensor simétrico. En general, (en tres dimensiones) P tiene la forma:

P=(σ xx τ xy τ xzτ yx σ yy τ yzτ zx τ zy σ zz)

Donde

σ son tensiones normales, τ son tensiones tangencial (tensiones de corte).

The above, en realidad, es un serie de tres ecuaciones, uno por dimensión. By themselves, estas no son suficientes para producir una solución. Sin embargo, adding conservación de masa y condiciones de frontera apropiadas al sistema de ecuaciones produce una serie de ecuaciones solvable.

Fluidos Newtoniano versus fluidos No Newtoniano

Un fluido Newtoniano (named after Isaac Newton) es definido como un fluido whose tensión de corte está proporcional linealmente a la de gradiente de velocidad en la dirección perpendicular al plano de corte. Esta definición significa que sin tomar en cuenta las fuerzas actuando en un fluido, continua fluir. Por ejemplo, el agua es un fluido Newtoniano, porque sigue mostrar propiedades de fluido no matter cuanto está agitado o mezclado. Una definición un poco menos rigurosa, es que el drag de un objeto pequeño arrastrado lentamente a través el fluido es proporcional a la fuerza aplicada al objeto. (Compare fricción). Fluidos importantes, como el agua, también la mayoría de los gases, se portan — a una buena aproximación — como un fluido Newtoniano bajo condiciones normales en la Tierra.

En contraste, agitando un fluido no Newtoniano puede dejar atrás un "hueco". Gradualmente este llenará durante tiempo – este comportamiento se puede ver en materiales como postre, oobleck, o arena (aunque la arena no realmente es un fluido). Alternativamente, agitar un fluido no Newtoniano puede causar la viscosidad disminuir, para que el fluido aparece "más fino" (se puede ver en non-drip paints). Hay muchos tipos de fluidos no Newtoniano, tanto que son definido ser algo que no obedece una propiedad específica — por ejemplo, la mayoría de los fluidos con cadenas moleculares largas pueden reaccionar de una manera no Newtoniano.

Ecuaciones para un fluido Newtoniano

El constante de proporcionalidad entre la tensión de corte y la gradiente de velocidad es conocido como la viscosidad. Una ecuación simple para describir el comportamiento de fluido Newtoniano es:

τ=−μ dvdy

Donde

τ es la tensión de corte ejercido por el fluido ("drag") μ es la viscosidad de fluido – un constante de proporcionalidad

dvdy

es la gradiente de velocidad perpendicular a la dirección del corte.

Para un fluido Newtoniano, la viscosidad, por definición, sólo depende de la temperatura y presión, no depende de las fuerzas actuando en él. Si el fluido es incompresible y la viscosidad está constante sobre el fluido, la ecuación gobernando la tensión de corte (en coordinadas Cartesianas) es:

τ ij=μ ( ∂v i∂x j+∂v j∂ xi )

donde

τ ij es la tensión de corte en la cara ith de un elemento de fluido en la dirección jth

vi es la velocidad en la dirección ith xj es la dirección coordinada jth.

Si el fluido no obedece esta relación, se llama un fluido no Newtoniano, de que hay varios tipos.

Entre fluidos, se puede hacer dos anchas divisiones aproximados: fluidos ideales y no ideales. Un fluido ideal no realmente existe, pero en algunas calculaciones, la suposición es justificable. Un fluido ideal es no viscoso - no ofrece ningún tipo de resistencia a una fuerza de corte.

Uno puede agrupar fluidos reales en términos de Newtoniano and no Newtoniano. Fluidos Newtoniano se acuerdan con la ley de viscosidad de Newton. Fluidos no Newtoniano pueden ser o plástico, plástico bingham, pseudoplastic, dilatant, thixotropic, rheopectic, viscoelatic.

Capítulo 12 - La Ley de Hooke

La ley de Hooke modela las propiedades de resortes para cambios pequeños de longitud

En la mecánica, y la física, la ley de Hooke de elasticidad es una aproximación que declara que la extensión de un resorte es en proporción directa con la carga aplicada a él. Muchos materiales obedecen esta ley mientras la carga no excede el límite de elástico del material. Materiales para que la ley de Hooke sea una aproximación útil son conocidos como linear-elastic o materiales "Hookean". La ley de Hooke, en términos simples dice que strain está directamente proporcional a la tensión.

Matemáticamente, la ley de Hooke declara que

F=−kx

donde

x es el desplazamiento del fin de resorte de su posición de equilibrio (una distancia, en unidades de SI: metros);

F es la fuerza de restablecer ejercido por el resorte en ese fin (en unidades de SI: N o kg·m·s-2); y

k es un constante llamado la tasa o spring constante (en unidades de SI: N·m-1 o kg·s-2).

Cuando este ejerce, el comportamiento es dicho ser lineal. Mostrado en una gráfica, la línea debe mostrar una variación directa. Hay un signo negativo en el lado derecho de la ecuación porque la fuerza de restablecer siempre actúa en la dirección contraria del desplazamiento (por ejemplo, cuando un resorte es estirado a la izquierda, la traccion a la derecha).

La ley de Hooke lleva el nombre del físico británico del siglo 17 Robert Hooke. El primero declaró esta ley en 1660 como un anagrama latina, cuya solución que publicó en 1678 como Ut tensión, sic vis, que significa, "Como la extensión, así la fuerza".

Aplicación general a materiales elásticos

La ley de Hooke describe lo lejos que el resorte estirará bajo una fuerza específica

Objetos que recobran su forma original rápidamente después de estar deformado por una fuerza, con las moléculas o átomos de su material volviendo al estado inicial de equilibrio estable, muchas veces obedecen la ley de Hooke.

Podemos mirar una vara de cualquier material elástico, como un resorte lineal. La vara tiene una longitud L y área de sección transversal A. Su extensión (tensión) es proporcional linealmente a su tensión de tracción σ, por un factor constante, el inverso de su módulo de elasticidad, E, así:

σ=Eε

O

∆ L= FEA

L= σEL

La ley de Hooke sólo aplica para algunos materiales bajo ciertas condiciones de carga. Acero muestra comportamiento elástica-lineal en la mayoría de aplicaciones de ingeniería; la ley de Hooke es válida para acero a través de todo su rango elástico (es decir, para tensiones bajo la limite elástico). Para algunos otros materiales, como aluminio, la ley de Hooke sólo es válida para una porción del rango elástico. Para estos materiales una tensión de límite proporcional es definida, debajo de que los errores asociados con la aproximación lineal son insignificantes.

La goma es generalmente considerada como un material "no Hookean" porque su elasticidad es tensión dependiente y sensible a temperatura y tasa de carga.

Aplicaciones de la ley incluye maquinas de peso operador de elasticidad, análisis de tensión y el modelando de materiales.

La ecuación de resorte

La curva de tensión–deformación para acero de bajo-carbono. La ley de Hooke sólo es válida para la porción de la curva entre el origen y el punto de yield (2).

1. Resistencia a la rotura2. Límite elástico - corresponde a ceder punto 3. Ruptura4. Región de endurecimiento por deformación5. Región de Necking A. (F/A0)B. Tensión verdadera (F/A)

La forma de la ley de Hooke más comúnmente encontrado probablemente es la ecuación de resorte, que relaciona las fuerzas ejercido por un resorte a la distancia que está estirado por un constante de resorte, k, medidas en fuerza por longitud.

F=−kx

El signo negativo indica que la fuerza ejercida por el resorte está en opuesto directo a la dirección de desplazamiento. Se llama una "fuerza restauradora", porque tiende a restablecer el sistema a equilibrio. La energía potencial acumulada en un resorte es dado por:

PE=12k x2

Que viene de sumar la energía que toma para comprimir el resorte incrementalmente. Es decir, el integral de fuerza sobre distancia. (Note que energía potencial de un resorte siempre está no negativa.)

Esta potencial se puede visualizar como una parábola en el plano U-x. Mientras el resorte está estirado en la dirección x positivo, la energía potencial aumenta (la misma cosa ocurre mientras se comprime el resorte). El punto correspondiente en la curva de energía potencial está más alto que aquél correspondiente a la posición de equilibrio (x = 0). La tendencia para el resorte es así disminuir su energía potencial por retornar a su posición de equilibro (sin estirar), justamente como una pelota roda cuesta abajo para disminuir su energía potencial de gravedad.

Si una masa m está conectado al extremo de un tal resorte, el sistema se vuelve un oscilador armónico. Oscilará con una frecuencia natural dado o como una frecuencia angular

ω=√ kmo como una frecuencia natural

f= 12π √ km

Esta descripción idealizado de mecánica de resorte funciona mientras la masa del resorte está muy pequeño comparado con la masa m, no hay fricción significante en el sistema, y el resorte no está sobre extendido más allá de su rango natural (que puede deformarlo permanentemente).

Resortes Múltiples

Cuando dos resortes están conectados a una masa y comprimido, la tabla siguiente compara valores de los resortes.

Comparación En Paralelo En Serie

Constante del resorte equivalente

k eq=k1+k21keq

= 1k 1

+ 1k2

Distancia comprimida

x1=x2x1x2

=k2k1

Energía almacenadaE1E2

=k1k2

E1E2

=k2k1

Derivación

Constante de elasticidad equivalente (serie)

Fb=−k2 x2+k2 x1

Fb=−k2 x2+k2( k2k1+k2

x2)Fb=−k2 x2( k1+k2k1+k2 )+( k 2

2

k1+k2x2)

Fb=x2−k1 k2−k2

2+k22

k1+k2

Constante de elasticidad equivalente (paralelo)

Fb=F1+F2

Fb=−k1 x−k2x

Distancia comprimida

|F1|=|F2|

Energía almacenada

k1 x1=k2(x2−x1)

La expresión del tensor de las leyes de Hooke

Al trabajar con un estado de tensión tridimensional, un tensor de orden cuarto c (c ijkl) conteniendo 81 coeficientes elásticos debe estar definida para conectar el tensor de tensiones σ (σ ij ) y el tensor de tensión ϵ (ϵ kl).

σ=c :ϵ

Expresado en términos de componentes con respecto a una base ortonormal, la forma generalizada de la ley de Hooke se escribe como (usando la convención de suma)

σ ij=c ijklϵ kl

El tensor se llama el tensor de rigidez o el tensor de elasticidad. Debido a la simetría del tensor de tensión, tensor de deformación, y tensor de rigidez, sólo 21 coeficientes elásticos son independientes. Como la tensión se mide en unidades de presión y la tensión es adimensional, las entradas de c ijkl son también en unidades de presión.

La expresión de la ley de Hooke generalizada se puede invertir para conseguir una relación de la deformación en términos de tensión:

ϵ=s : σ∨ϵ ij=sijkl σkl

El tensor S se llama el tensor de cumplimiento.

La generalización para el caso de grandes deformaciones es proporcionado por modelos de sólidos Hookean neo y sólidos Mooney-Rivlin.

Materiales Isotrópicos

Materiales isótropos se caracterizan por propiedades que son independientes de la dirección en el espacio. Por lo tanto, las ecuaciones físicas que involucran materiales isótropos deben ser independientes del sistema de coordenadas elegido para representarlos. El tensor de deformación es un tensor simétrico.

Dado que el rastro de cualquier tensor es independiente de cualquier sistema de coordenadas, el más completo de descomposición coordinar libre de un tensor simétrico es representar como la suma de un tensor constante y un tensor simétrico traceless:. Cap. 10 Por lo tanto:

ε ij=( 13 εk k δij)+(ε ij−13 εkk δ ij)Donde δ ij es la delta de Kronecker. En notación tensorial directa

ε=vol ( ε )+dev (ε ) ;vol (ε )≔ 13tr ( ε ) I ;dev (ε )≔ε−vol (ε )

Donde I es el tensor identidad de segundo orden. El primer término de la derecha es el tensor constante, también conocido como el tensor de deformación volumétrica, y el segundo término es el tensor simétrico traceless, también conocido como el tensor de deformaciones desviador o tensor de corte.

La forma más general de la ley de Hooke para materiales isótropos puede ahora ser escrita como una combinación lineal de estos dos tensores:

σ ij=3K (13 εkk δij)+2G(εij−13 εkk δ ij);σ=3K vol ( ε )+2Gdev (ε )

Donde K es el módulo de compresibilidad y G es el módulo de cortante.

El uso de las relaciones entre los módulos elásticos, estas ecuaciones pueden expresarse también en varias otras maneras. Una forma común de la ley de Hooke para materiales isótropos, expresado en notación tensorial directa, es

σ=λ tr ( ε ) I+2μ ε=c :ε ;c=λ I⨂ I+2μ I

Donde λ≔K−2/3Gy μ≔G son las constantes de Lamé, es la identidad de segundo orden y es la parte simétrica del tensor identidad de cuarto orden. En cuanto a los componentes con respecto a una base cartesiana,

σ ij= λ εkk δ ij+2μεij=cijkl εkl ;c ijkl=λδ ijδ kl+μ(δik δ jl+δil δ jk)

La relación inversa es

ε= 12μσ− λ2μ (3 λ+2 μ)

tr (σ ) I= 12G

σ+( 19K− 16G ) tr (σ ) I

Por lo tanto el tensor de cumplimiento en la relación ε=s :σes

s= −λ2 μ(3 λ+2 μ)

I⨂ I+ 12μI=( 19K− 1

6G )I⨂ I+ 12G

I

En términos de módulo de Young y el coeficiente de Poisson, la ley de Hooke para materiales isótropos entonces se puede expresar como

ε= 1Eσ− υ

E [ tr (σ ) I−σ ]

Esta es la forma en la que la deformación se expresa en términos del tensor de tensiones en la ingeniería. La expresión en forma expandida es

ε 11=1E

¿

ε 22=1E

¿

ε 33=1E

¿

ε 12=12G

σ12 ;ε13=12G

σ13 ;ε23=12G

σ23

Donde E es el módulo de elasticidad y ν es el coeficiente de Poisson.

En forma matricial, la ley de Hooke para materiales isótropos se puede escribir como

[ε11ε22ε332 ε232 ε312 ε12

]=[ε11ε22ε33γ23γ31γ12

]= 1E [1 −υ −υ 0 0 0

−υ 1 −υ 0 0 0−υ −υ 1 0 0 00 0 0 2(1+υ) 0 00 0 0 0 2(1+υ) 00 0 0 0 0 2(1+υ )

][σ11σ22σ33σ23σ31σ12

]Donde γij≔2 εij es la deformación por esfuerzo cortante de ingeniería. La relación inversa puede escribirse como

[σ11σ22σ33σ23σ31σ12

]= E(1+υ ) (1−2υ ) [

1−υ υ υ 0 0 0υ 1−υ υ 0 0 0υ υ 1−υ 0 0 0

0 0 0 1−2υ2

0 0

0 0 0 0 1−2υ2

0

0 0 0 0 0 1−2υ2

] [ ε11ε22ε332 ε 232 ε 312 ε 12

]Cuya expresión puede ser gracias a las constantes de Lamé simplifica

[σ11σ22σ33σ23σ31σ12

]=[2μ+ λ λ λ 0 0 0λ 2 μ+λ λ 0 0 0λ λ 2μ+λ 0 0 00 0 0 μ 0 00 0 0 0 μ 00 0 0 0 0 μ

][ε11ε22ε332 ε232 ε312 ε12

]

Tensión plana ley de Hooke

Bajo condiciones de tension plana σ33 = σ31 = σ23 = 0. En ese caso, la ley de Hooke toma la forma

[ ε11ε222 ε12]= 1E [ 1 −υ 0−υ 1 00 0 2(1+υ)] [σ11σ22σ12]

La relación inversa se escribe generalmente en la forma reducida

[σ11σ22σ12]= E1−υ2 [1 υ 0

υ 1 0

0 0 1−v2 ][ ε11ε222 ε12 ]

Materiales Anisótropos

La simetría del tensor de tensiones de Cauchy (σ ij=σ ji) y las leyes de la Hooke generalizada (σ ij=c ijklϵ kl) implica que c ijkl=c jikl . Del mismo modo, la simetría de la tensor de deformación infinitesimal que implica c ijkl=c ijlk. Estas simetrías se llaman las simetrías menores del tensor de rigidez (C).

Si además, ya que el gradiente de desplazamiento y la tensión de Cauchy es conjugado de trabajo, la relación tensión-deformación se puede derivar de una densidad de energía de tren funcional (U), a continuación,

σ ij=∂U∂ϵ ij

=¿cijkl=∂2U

∂ϵ ij ∂ϵ kl

La arbitrariedad de la orden de la diferenciación implica que c ijkl=cklij. Éstos se llaman las principales simetrías del tensor de rigidez. Las simetrías mayores y menores indicar que el tensor de rigidez sólo tiene 21 componentes independientes.

Representación Matrix (tensor de rigidez)

A menudo es útil para expresar la forma anisótropa de la ley de Hooke en notación matricial, también llamado notación Voigt. Para ello aprovechamos la simetría de los tensores de tensiones y deformaciones y expresamos como seis vectores dimensiones en un sistema de coordenadas ortonormal (e1, e2, e3) como

[σ ]=[σ 11σ22σ33σ23σ31σ12

]≡[σ1σ2σ3σ4σ5σ6

]; [ϵ ]=[ϵ 11ϵ 22ϵ 332 ϵ232 ϵ312 ϵ12

]≡[ϵ 1ϵ 2ϵ 3ϵ 4ϵ 5ϵ 6

]A continuación, el tensor de rigidez (C) se puede expresar como

[C ]=[c1111 c1122 c1133 c1123 c1131 c1112c2211 c2222 c2233 c2223 c2231 c2212c3311 c3322 c3333 c3323 c3331 c3312c2311 c2322 c2333 c2323 c2331 c2312c3211 c3122 c3133 c3123 c3131 c3112c1211 c1222 c1233 c1223 c1231 c1212

]≡[C11 C21 C 31 C41 C 51 C61C 12 C22 C 32 C42 C 52 C62C 13 C23 C 33 C43 C 53 C63C 14 C24 C 34 C44 C 54 C64C 15 C25 C 35 C45 C 55 C65C 16 C26 C 36 C46 C 56 C66

]Y la ley de Hooke se escribe como

[σ ]= [C ] [ϵ ]oσ i=Cij ϵ j

Del mismo modo el tensor de cumplimiento (S) se puede escribir como

[S ]=[s1111 s1122 s1133 2 s1123 2 s1131 2 s1112s2211 s2222 s2233 2 s2223 2 s2231 2 s2212s3311 s3322 s3333 2 s3323 2 s3331 2 s33122 s2311 2 s2322 2 s2333 4 s2323 4 s2331 4 s23122 s3211 2 s3122 2 s3133 4 s3123 4 s3131 4 s31122 s1211 2 s1222 2 s1233 4 s1223 4 s1231 4 s1212

]≡[S11 S21 S31 S41 S51 S61S12 S22 S32 S42 S52 S62S13 S23 S33 S43 S53 S63S14 S24 S34 S44 S54 S64S15 S25 S35 S45 S55 S65S16 S26 S36 S46 S56 S66

]Cambio de sistema de coordenadas

Si un material elástico lineal se hace girar desde una configuración de referencia a otra, entonces el material es simétrico con respecto a la rotación si las componentes del tensor de rigidez en la configuración girada están relacionadas con los componentes en la configuración de referencia por la relación

c pqrs=l pi lqj lrk l slc ijkl

Donde lab son los componentes de una matriz de rotación ortogonal [L]. La misma relación también es válida para las inversiones.

En notación matricial, si la base transformado (girado o invertido) está relacionada con la base de referencia

[e ' i ]=[ L ] [ ei ]

Después

C ijϵ i ϵ j=C'ijϵ

'iϵ'j

Además, si el material es simétrica con respecto a la transformación [L] a continuación,

C ij=C 'ij=¿C ij (ϵi ϵ j−ϵ ' iϵ ' j )=0

Materiales orto trópicos

Materiales orto trópicos tienen tres planos ortogonales de simetría. Si los vectores de la base (e1, e2, e3) son normales a los planos de simetría entonces las relaciones implican que la transformación de coordenadas

[σ 1σ 2σ3σ4σ5σ6

]=[C11 C21 C31 0 0 0C12 C22 C32 0 0 0C13 C23 C33 0 0 00 0 0 C 44 0 00 0 0 0 C55 00 0 0 0 0 C 66

] [ϵ 1ϵ 2ϵ 3ϵ 4ϵ 5ϵ 6

]La inversa de esta relación se escribe comúnmente como

[ϵ xxϵ yyϵ zz2 ϵ yz2 ϵ zx2 ϵ xy

]=[1Ex

−υxyE x

−υ xzE x

0 0 0

−υyxEy

1E y

−υ yzE y

0 0 0

−υzxE z

−υ zyE z

1E z

0 0 0

0 0 0 1G yz

0 0

0 0 0 0 1G zx

0

0 0 0 0 0 1G xy

][σ xxσ yyσ zzσ yzσ zxσ xy ]

Donde

Ei es el módulo de Young lo largo del eje i

Gijes el módulo de corte en la dirección j en el plano cuya normal es en la dirección i

υij es la relación de Poisson que corresponde a una contracción en la dirección j cuando

una extensión se aplica en la dirección i.

Materiales transversalmente isótropos

Un material isotrópico transversalmente es simétrico con respecto a una rotación alrededor de un eje de simetría. Para un material tal, si es el eje de simetría, la ley de Hooke se puede expresar como

[σ 1σ 2σ3σ4σ5σ6

]=[C11 C21 C31 0 0 0C12 C22 C32 0 0 0C13 C23 C33 0 0 00 0 0 C 44 0 00 0 0 0 C44 0

0 0 0 0 0 12(C11−C12)

][ ϵ1ϵ2ϵ3ϵ 4ϵ5ϵ 6

]Con mayor frecuencia, el eje x≡e1 se toma para ser el eje de simetría y la inversa ley de Hooke se escribe como

[ϵ xxϵ yyϵ zz2 ϵ yz2 ϵ zx2 ϵ xy

]=[1Ex

−υxyE x

−υ xzE x

0 0 0

−υyxEy

1E y

−υ yzE y

0 0 0

−υzxE z

−υ zyE z

1E z

0 0 0

0 0 02(1+υ yz)Ey

0 0

0 0 0 0 1G xy

0

0 0 0 0 0 1G xy

][σ xxσ yyσ zzσ yzσ zxσ xy ]Base termodinámica de la ley de Hooke

Deformaciones lineales de materiales elásticos se puede aproximar como adiabático. En estas condiciones y para los procesos cuasi estáticos la primera ley de la termodinámica para un cuerpo deformado se puede expresar como

δW=δU

Donde δU es el aumento de la energía interna y δW es el trabajo realizado por las fuerzas externas. El trabajo se puede dividir en dos períodos

δW=δW s+δW b

Donde δW s es el trabajo realizado por las fuerzas de superficie, mientras δW b es el trabajo realizado por las fuerzas del cuerpo. Si δ u i es una variación del campo de desplazamientos en el cuerpo ui, a continuación, los dos términos de trabajo externas se pueden expresar como

δW s=∫δΩ

.

t∗δudS ; δW b=∫Ω

.

b∗δudV

Donde t es el vector de tracción de la superficie, b es el vector de fuerza corporal, Ω representa el cuerpo y ∂Ω representa su superficie. Utilizando la relación entre la tensión de Cauchy y la tracción de la superficie, t=n∗σ (donde n es la unidad externa normal∂Ω), tenemos

δW=δU=∫δΩ

.

(n∗σ )∗δudS+∫Ω

.

b∗δu dV

La conversión de la integral de superficie en un volumen integral a través del teorema de divergencia da

δU=∫Ω

.

[∇∗(σ∗δu )+b∗δu ]dV

El uso de la simetría de la tensión de Cauchy y la identidad

∇∗(A∗b )=(∇∗A )∗b+ 12 [AT :∇b+A :(∇b)T ]

Tenemos

δU=∫Ω

.

[σ : 12 {∇ δu+(∇ δu)T }+ {∇∗σ+b }∗δu] dVA partir de la definición de la tensión y de las ecuaciones de equilibrio que tenemos

δϵ=12 [∇ δu+(∇ δu)T ] ;∇∗σ+b=0

Por lo tanto podemos escribir

δU=∫Ω

.

σ : δϵ dV

y por lo tanto la variación en la densidad interior de la energía está dada por

δU 0=σ : δϵ

Un material elástico se define como uno en el que la energía interna total es igual a la energía potencial de las fuerzas internas (también llamado la energía de deformación elástica). Por lo tanto la densidad de energía interna es una función de las deformaciones, U0=U 0(ϵ ) y la variación de la energía interna se puede expresar como

δU 0=∂U0

∂ϵ:δϵ

Dado que la variación de la deformación es arbitraria, la relación tensión-deformación de un material elástico está dada por

σ=∂U 0

∂ϵ

Para un material elástico lineal, la cantidad ∂U 0

∂ϵ es una función lineal de ϵ , y por lo tanto se

puede expresar como

σ=c :ϵ

Donde C es un tensor de cuarto orden de constantes del material, también llamado el tensor de rigidez.