MEDICION

NN

*&-*ñ*', física es ante lodo una cien'cia experimental, a pesar

de la elegancia matemática de algunas de sus teorías más complejas y abstractas. Por ello, es indíspensable que

quienes realizan mediciones precisas puedan coincidir en las normas de cómo expresar los resultados de sus

mediciones, pues de lo contrario no podrtan comunicarse de un laboratorio a otro ni verificarlas.

En este capítulo iniciamos nuestro estudio de la física explicando algunas de las unidades bósicas de las

magnitudes físicas y algunas normas que han sido aceptadas para medirlas. Expondremos la forma conecta de

presentar los resultados de los cálculos y de las mediciones, entre otras cosas las dimensiones apropiadas y el

número de cifras significativas. Explicamos y ejemplificamos la importancia de prestar atención a las dimensio-

nes de las magnitudes que aparecen en las ecuaciones. Mds adelante definiremos otras unídades básicas y mu-

chas de las derivadas conforme se vaya necesitando'

| - | MAGNTTUDES tr'Íslc¡.s,PATRONES Y UNIDADES

Las leyes de la física se expresan en muchas magnitudes dife-rentes: masa, longitud, tiempo, fuerza, rapidez, densidad, re-

sistencia, temperatura, intensidad luminosa, intensidad del

campo magnético y muchas otras. Cada uno de esos términosposee un significado exacto y forman parte del lenguaje que

los físicos y otros científicos emplean para comunicarse: cuan-

do un físico usa la designación "energía cinética", sus colegas

de inmediato saben lo que quiere decir. Esos términos repre-

sentan además una magnitud que puede medirse en el labora-torio; del mismo modo que deben coincidir en el significadode ellos, también deben hacerlo en las unidades de expresión de

sus valores. De no ser así, tampoco podrían comunicarse los

resultados ni comparar los obtenidos en experimentos que se

efectúan en varios laboratorios.La comparación exige crear y aceptar un conjunto de patro-

nes o estóndar¿s de las unidades de medición. Por ejemplo, si

una medición de longitud se expresa como 4.3 metros, significaque la longitud medida es 4.3 veces el valor aceptado de la lon-gitud estríndar definida como "metro". Si dos laboratorios basan

sus mediciones en la misma norma aceptada del metro, se supo-

rr que será fácil comparar los resultados. Para ello las normas

aceptadas han de ser accesibles a quienes necesitan calibrar sus

noÍnas secundarias, y además han de ser invariables ante el

cambio con el paso del tiempo o con las alteraciones del am-

biente (temperatura, humedad y otras condiciones).

E1 mantenimiento y el desarrollo de las normas de medi-

ción es una rama dinrímica de la ciencia. En Estados Unidos,

el National Institute of Standards and Technology* (NIST) es elprincipal encargado de ello. Pero se requiere asimismo que

las normas gocen de aceptación internacional, y esto se ha lo-grado mediante una serie de reuniones internacionales de'laConferencia General de Pesas y Medidas (conocida por su

acrónimo francés CGPM), que se fundó en 1889; su vigesi-maprimera junta se celebró en 1999.**

Por fortuna, no es necesario establecer noÍnas de medi-ción para todas las magnitudes físicas, pues algunas pueden

considerarse fundamentales, y las norrnas de otras pueden ob-

tenerse de las fundamentales. Por ejemplo, la longitud y eltiempo antes se consideraba que pertenecían a esa categoría,

con sus normas individuales establecidas (el metro y el segundo,

* Véase en http://physics.nist.gov/cuu información acerca de la función que

desempeña NIST en la conservación de los patrones.** Véanse en http://www.bipm.fr algunas recomendaciones hechas por esta

conferencia.

rtx. 2 C¡plrulo. | / MEDrcróN

respectivamente); la noÍna de medición de la rapidez (: lon-gitud/tiempo) podía derivarse a partk de ellas. Con todo, en

años más recientes la rapidez de la luz se ha medido con unaprecisión que supera a la del metro estándar anterior, de ahíque en la actualidad todavía utilicemos un patrón para el segun-

do, pero que definamos la norma de longitud (el metro) en fun-ción de larapidezde la luz y del segundo (Sección 1-4). El caso

anterior muestra cómo las mediciones de precisión crecientepueden modificar los patrones establecidos y la rapidez conque evolucionan. Desde que se publicó la primera edición delpresente libro, la precisión de la unidad est¡índar de tiempo (elsegundo) ha mejorado en más de un factor de 1,000.

Así pues, el problema principal radica en escoger un sis-

tema que incluya como fundamentales el menor número de

magnitudes físicas y en aceptar patrones accesibles e invaria-bles para medirlas. En las siguientes secciones del capítulodescribiremos el sistema aceptado internacionalmente y algu-nas de sus magnitudes fundamentales.

I -2 EL STSTEMA INTERNACIONALDE UNIDADES*

En sus reuniones, la Conferencia General de Pesas y Medidasseleccionó como unidades base las siete magnitudes que apare-

cen en la tabla 1-1. Constituyen la base del Sistema Intemacio-nal de Unidades, cuya abreviatura SI estií tomada del francés 1zSystéme International d'Unités. El SI es la forma modema de loque se conoce comúnmente con el nombre de sistema métrico.

En este libro se dan numerosos ejemplos de unidades de-rivadas de dicho sistema, como rapidez,fuerza y resistenciaelécfica, que figuran en la tabla 1-1. Por ejemplo, la unidadde fuerua en el SI, denominada Newton (su abreviatura es N),se define a partir de las unidades base, así:

1N:1kg'mfsz,como aclararemos en el Capítulo 3.

Si expresamos las propiedades físicas en unidades del SIcomo la producción de una planta de energía eléctrica o el in-tervalo, temporal entre dos fenómenos nucleares, a menudotendremos que usar números muy grandes o muy pequeños.Pa¡a facilitar los cálculos, la Conferencia General de Pesas yMedidas recomienda los prefijos que se incluyen en la tablal-2. Por tanto, podemos anotar la producción de una centraleléctrica, 1.3 X 10e watts, como 1.3 gigawatts o 1.3 GW. Asi-mismo, podemos anotar el intervalo temporal del tamaño que

a menudo se encuentra en física nuclear, 2.35 x 10-9 segun-dos como 2.35 nanosegundos o 2.35 ns. Como se advierte en

la tabla 1-1, el kilogramo es la única unidad base del SI queya contiene uno de los prefijos de la tabla 1-2. Por tanto, 103 kg

* Consúltese "SI: The Intemational S1'stem of Units", de Robert A. Nelson(American Association of Ph¡-sics Teachers. 1981). La guía "oficial" del SIen Estados Unidos se encuentr¿ en Special Publication 811 del National Ins-titute of Standards and Tecbnoloev (edición de 1995).

Tl@{*A | - | Unidades base del SI

Unidad del SI

Magnitud Nombre Símbolo

Tiempo

Longitud

Masa

Cantidad de sustancia

Temperatura termodin¡ímica

Corriente eléctrica

Intensidad luminosa

segundo

metro

kilogramo

mol

kelvin

ampere

candela

S

mt--Nts

mol

KAcd

r?o se expresa como 1 kilokilpgramo, sino como 103 kg :106g= 1Mg(megagramo).

Para fortalecer la tabla 1-1 necesitamos siete conjuntos de

procedimientos operacionales para obtener en el laboratorio las

siete unidades base del SI. En las tres siguientes secciones va-mos a explorarlas en el tiempo, en la longitud y en la masa.

Otros dos grandes sistemas compiten con el SL Uno es elsistema gaussiano, en cuyos términos se escriben muchas de

las obras de física. En este libro no lo empleamos. El apéndi-ce G contiene los factores de conversión a las unidades delSistema Intemacional.

El otro es el sistema inglés, todavía vigente hoy en Esta-dos Unidos. Las unidades básicas en mecánica son longitud(el pie),lafuerza (la libra) y el tiemp.o (el segundo). Unavezmás, en el apendice G se incluyen los factores de conversióna las unidades del SI. En este libro utilizamos estas últimas.pero en ocasiones se dan los equivalentes del sistema ingléspara ayudar a familiarizarse más con el SI a quienes no lo es-

tán. Estados Unidos sigue siendo el único país desarrolladoque todavía no adopta el SI como su sistema oficial. No obs-tante, es la norma en todos los laboratorios del gobierno y enmuchas industrias, sobre todas las que realizan comercio conel exterior. La pérdida de la nave espacial Mars Climate Or-biter en septiembre de 1999; se debió a que el fabricante ex-presó algunas de sus características en unidades inglesas, que

el equipo de navegación de la NASA interpretó erróneamen-te como unidades del SI. ¡Es importantísimo tener cuidadocon las unidades que se usan!

Factor Prefijo Símbolo Factor Prertjo Símbolo

ro24

lo21

1018

1015

lo1210e

106

103

lo2101

iota- Yzeta- Zexa- Epeta- P

teta- Tgiga- Gmega- Mkilo- khecto- hdeca- da

10-1 deci-lO 2 centi-10-3 miti-10-6 micro-10-9 nano-ru '" prco-.^_1<Ir., '" Iemto-10-18 atto-lu ." zepto-

!0-24 yocto-

d

c

mpnpfa

z

v

i

Wüii* t -Z Prefijos del slo

a Los prefijos que se emplean en este libro se imprimen en negritas.

I-3 PATRóN DEL TIEMPO

T

3 ,rW

PRoBLEMA REsuELTo l -f . Toda magnitud física puede multi-

plicarse por 1 sin que cambie su valor. Por ejemplo, 1 min : 60 s,

de modo que 1 : 60 s/1 min; asimismo, I ft: 12 in, de modo que

1 : 1 ft/12 in. Usando los factores correspondientes de conversión,

calcule a) la rapidez en metros,por segundo equivalente a 55 millas

por hora, y b) el volumen en centímetros cúbicos de un tanque con

una capacidad de 16 galones de gasolina.

Solución a) Para nuestros factores de conversión necesitamos

(apéndiceG) 1mi :1,609 m(asíque 1 : 1,609m/l mi)y I h:3,600 s (de modo que I : I h/3.600 s). Por tanto.

ffii 1.609m Ihrapidez : tt; x ñ- " ,óO*

: 25 mis.

b) Un galón de fluidos tnde23l pulgadas cúbicas Y 1 in : 2.54 cm.

Por tanto,

231 tn.3 / z.s+ cm \3vorumen = 16toÉ"fr t (?/ :6'l x loacm3'

Nótese en los dos cálculos anteriores, cómo los factores de conversión

de unidades se insertan, de manera q-ue las unidades indeseadas aparez-

can en un numerador y en un denoininador; por tanto, se cancelan.

I -B PATRÓN DEL TIEMPO

La medición del tiempo tiene dos aspectos. En la vida diaria

y en algunas aplicaciones científicas queremos saber la hora

del día para ordenar los eventos en secuencia. En casi todas

las aplicaciones científicas deseamos saber cuánto dura un

evento (el intervalo tdmporal), de ahí que una medida del

tiempo deba contestar las preguntas: "¿En qué momento ocu-

rre?", y "¿cuánto durará?" La tabla 1-3 comprende los inter-

valos temporales que pueden medirse. Los valores extremos

de la misma pueden variar por un factor aproximado de 1063.

Como medida del tiempo podemos usar cualquier fenóme-

no que se repita. La medición consiste en contar las repeticio-

nes, incluidas sus fracciones. Por ejemplo, podríamos emplear

un péndulo oscilante, urt sistema de masa-resorte o un cristal

de cuarzo. Entre los muchos fenómenos repetitivos de la na-

turaleza, la rotación de la Tierra sobre su eje, que determina

la duración del día, se ha usado durante siglos como nofina

temporal. Un segundo (solar medio) se define como 1/86,400

de un día (solar medio). -Los relojes de cuarzo, cuyo funcionamiento se basa en

vibraciones periódicas eléctricamente sostenidas de un cristal

de cuarzo, sirven de patrones temporales secundarios. Un re-

loj de cuarzo puede calibrarse con la Tierra en rotación por

medio de observaciones astronómicas y utilizarse en el labo-

ratorio para medir la duración del tiempo. Las mejores de

ellas han medido el tiempo con una precisión aproximada

de 1 segundo en 200,000 años, pero ni siquiera esa precisión

es suficiente para atender las demandas de la ciencia, la tec-

nología y el comercio modernos.

En 1961 ,la vigesimatercera Conferencia General de Pe-

sas y Medidas adoptó una definición de "segundo" basada en

la frecuencia característica de la radiación que emite un áto-

mo de cesio. En concreto, estableció lo siguiente:

ffi$- Sn t -g Medición de algunos intervalos temporalesa

Intervalo de tiempo Segundos

Vida de un protón >1040

Vida media de una desintegración beta doble de 82Se 3 x lO27

Edad del universo 5 x 1017

8 x 10-12 x l0-31 X 10-10lx10 12

6x10 1s

< 10-23

Edad de la pirrímide de Keops 1 x 1011

Esperanza de vida huma¡a (EUA) 2 x lOe

Tiempo de la órbita terrestre alrededor del So1 (1 año) 3 x 107

Tiempo de rotación de laTierra alrededor de su eje (1 dra.l 9 x 104

Periodo de un satélite terrestre típico de órbita baja 5 x 103

Tiempo entre dos latidos cardiacos normales

Periodo de diapasón para concierto

Periodo de oscilación de microondas de 3 cm

Periodo típico de rotación de una molécula

Pulso luminoso más breve producido (1990)

Vida de las partículas menos estables

a Valores aproximados.

EI segundo es Ia duración de 9,192,631,770 vibraciones

de una radiación (espebificada) emitida por un isótopo(especificado) del átomo de cesio.

La figura 1-1 muestra la frecuencia nacional estándar actual,

un reloj de fuente de cesio desarrollado en el National Institute

of Standard and Technology (NIST). Su precisión aproxima-

da es de 1 segundo en 20 millones de años.

FrcuRA | - | . El National Frecuency Standar NIST-FI, reloj de

fuente de cesio, desarrollado en el National Institute of Standards

and Technology. La ilustración muestra a sus creadores, Steve

Jefferts y Dawn Meekhof. En este aparato, los átomos de cesio de

movimiento extremadamente lento son proyectados hacia arriba,

recorriendo una distancia aproximada de un metro antes de volver

a caer, por acción de la gravedad, a su posición de lanzamiento en

I segundo aproximadamente, de ahíla designación "fuente". La

baja velocidad de estos átomos proyectados permite realizar una

observación precisa de la frecuencia de la radiación atómica emitida

por ellos. Se da más información en la dirección http://www.nist.gov/publ ic-affairs/releases/n99 -22.htm.

7

¡- 4 CAPITULo I / Meolclór.l

Ff GURA l-2. Yanación de la duración del día en un periodo de4 años. Nótese que la escala vertical es apenas 3 ms : 0.003 s.

Véase "The Earth's Rotation Rate", de John Wahr, AmericanScientists, enero-febrero de 1985, p.41.

Los relojes de cesio con que están equipados los satélitesconstituyen la base del Sistema de Posicionamiento Global.Los portátiles del tamaño de una maleta se expenden en elcomercio. También es posible comprar relojes de escritorio ode pulsera que, automática y de manera periódica actualizadospor señales de radio provenientes de NIST, indican "el tiempoatómico". La figura 1-2 muestra, en comparación con un re-loj de cesio, las variaciones en la rapidez de rotación de laTierra en un periodo de 4 años. Estos datos indican lo que sig-nifica para un trabajo preciso el relativamente deficiente patróntemporal de la rotación de la Tierra. La figura 1-3 contiene elimpresionante registro de mejoramientos que, en el cálculodel tiempo, se han logrado más o menos en los últimos 300años, desde la invención del reloj de péndulo por ChristianHuygens en 1665.

30,000,000 años

300,000 años

30,000 años

3,000 años

300 años

30 años

3 años

1 año90 días

10 días

I día

i horas -

El U.S. Naval Observarory (LS\O). siruado enWashing-ton, D.C., se encarga de mantener los estándares del cálculodel tiempo. Su reloj maestro represenra la producción combi-nada de un maser de hidrógeno contenido en 20 bóvedas se-paradas y con ambiente controlado.*

I -4 EL PATRÓx oB LoNGITUD**

El primer patrón internacional de longitud era una barra dealeación de platino e iridio denominada metro patrón, que se

conservaba en la Oficina Internacional de Pesas y Medidascerca de París. El metro era la distancia entre dos líneas del-gadas grabadas cerca de los extremos de la barra, cuando se

la conservaba a una temperatura de 0'C y se sostenía mecáni-camente en una forma establecida. Tradicionalmente se supo-nía que era la diezmillonésima parte de la distancia entre elpolo norte y el ecuador sobre el meridiano que pasa por País.Pero mediciones más exactas, demostraron que la barra delmetro patrón difería un poco de ese valor (aproximadamente0.O23Vo).

Como no se tenía acceso al metro patrón, se hicieron co-pias exactas y se enviaton a los laboratorios estandarizados detodo el mundo. Estos patrones secundarios sirvieron para ca-libra¡ otras barras medidoras más accesibles. Asi hasta hacepoco las barras o instrumentos de medición debían su autoridadal metro patrón a través de una complicada óadena de compa-raciones en que se usaban microscopios y máquinas de divi-sión. Desde 1959 ha sucedido lo mismo con la yarda, cuya

- f-u info.r*"i¿n relativa a los servicios de tiempo que ofrece este organis-mo está disponible en Intemet en la dirección h@://tycho.usno.navy.mil/ y enel teléfono (2O2\ 7 62-1401 .

x* Véase "The New Definition of Meter", de P. Giacomo, Amerícan Joumalof Physícs, jttlio de 1984, p. 6O7 .

+4

6

o

;i

c'^(s

=(E

c)

'^o.E

E

- Patrones mejorados de c,esio

Patrón atomico de cesio

t

- gfi*tul¿""*;

' péndulo libre corto

Escape mejoradoCompensación barométrica

de temperaturaEscape de pulso muertoMovimiento mejorado

0 1600 1700 1800 Ao#00

2000

FTGURA | -e. Mejoramiento de la medición del tiempo a través de los siglos. Los primeros relojes de péndulo ganaban o perdíanun segundo cada cieno número de hor¿s: en los modernos relojes de cesio esto sucede sólo después de algunos millones de años.

dü

=

t -5 El PATRóN DE MAsA

legal en Estados Unidos adoptada ese año establece U t -¿ Algunas longitudes medidaso

Longitud

5 rr::i¡i.árs

definiciónque

1 yarda : 0.9144 metros

que equivale a

1 pulgada : 2.54 centímetros

(exactamente),

(exactamente).

La exactitud con que la necesaria intercomparación de lalongitud puede efectuarse con la técnica de equiparar los ra-

yones finos por medio de un microscopio ya no satisface a la

ciencia ni a la tecnología modemas. Un patrón de longitudmás preciso y reproducible se obtuvo en 1893, cuando el físi-co estadounidense Albert A. Michelson comparó la longituddel metro estándar con la longitud de onda de luz roja emiti-da por los átomos de cadmio. Midió cuidadosamente la longi-tud de la barra y descubrió que el metro estándar era igual a1,553,163.5 de esas longitudes de onda. En cualquier labora-

torio podían obtenerse lámparas idénticas de cadmio, así que

Michelson encontró la manera de que los científicos de todo

el mundo tuvieran un patrón preciso de longitud sin necesidad

de recurrir a la barra del metro patrón.

Pese a este adelanto tecnológico, la barra metiflica siguió

siendo el patrón oficial hasta 1960, cuando la decimoprimeraConferencia General de Pesas y Medidas adoptó un patrón

atómico del metro. Éste se basaba en la longitud de onda de

cierta hz de color rojo anaranjado emitida por los átomos

de un isótopo de kriptón, con número de masa 86, identificadocon el símbolo 8611r.x En concreto, se definió que un metro es

I,659,763;T3longitudes de onda de dicha luz. Gracias a este

patrón fue posible comparar las longitudes con una precisión

menor a 1 parte en 109.

En 1983, las exigencias de mayor precisión habían llegado

a tal punto que ni siquiera el 86Kr patrón podía atenderlas, y en

ese año se tomó una medida audaz. Se redefinió al metro como

la distancia que recorre una onda luminosa durante un intervalo

temporal especificado. En palabras de la decimoséptima Confe-

rencia General de Pesas y Medidas:

El metro es Ia longitud de la trayectoria recorrida porla luz en el vacío durante un intervalo temporal de

1 /299,792,45 8. de s e gundo.

Esto es equivalente a decir que la rapidez delaltz c, ahora se

define como

c :299,792,458 m/s (exactamente).

Esta nueva definición del metro se necesitaba porque las me-

diciones de la rapidez delaluz habían alcanzado tal precisiónque la reproducibilidad del 86Kr metro se había convertidoen el factor limitante. En vista de ello, convenía adoptar la

x El número de masa es el total de protones más neuÍones del núcleo. Elkriptón que se encuenffa en la naluraleza, tiene varios isótopos correspondien-

tes a los átomos con distinto número de masa. Es importante especificar un

isótopo particular para el patrón, porque la longitud de onda de la radiación

escogida variará de un isótopo a oüo aproximadamente en I parte en lOs. locual es demasiado grande en comparación con la precisión del patrón.

Metros

Distancia con el cuasar más lejano observado

Distancia con la galaxia Andrómeda

Radio de nuestra galaxia

Distancia a la estrella más cercana (Proxima Centauri)

Radio medio de órbita del planeta más distante (Plutón)

Radio del Sol

Radio de la TierraAltura del monte EverestAltura de una persona común

Espesor de una página de este libroTamaño de un virus ordinarioRadio de un atómo de hidrógenoRadio efectivo de un protón

2 x 1026

2 x 1022

6 x 101e

4 x 1016

6 x 1012

7x1086x1069x1032x1001x1041 x 10-b5 x 10-11

1 x 10-15

d Valores aproximados

npidez de la luz como una magnitud definida y utilizarla junto

con el patrón del tiempo (el segundo) determinado con mucha

precisión para redefinir al metrb.La tabla 1-4 muestra el intervalo de longitudes medidas

que podemos comparar con el patrón.

N¡tEni;:$i:i!r.r':.iPRoBLEMA REsuerto l-2. El año luz es una medida de longi-tud (no del tiempo) equivalente a la distancia que la luz recorre en Iaño. Obtenga el factor de conversión entre los años luz y los metros,

y calcule la distancia con la estrella Proxima Centauri (4.0 x 1016 m)

en años luz.

Solución El factor de conversión de años a segundos es

365.25 d 24h 60 min 60 slY=ltt rv " lo t trr t t'',in

: -1.16 X 107 s.

Usando tres cifras significativas, larapidez delaluz es 3.00 X 108

m/s. Por tanto, en un año la luz recorre una distancia de

(3.00 x 108 m/s) (3.16 x 107 s) : 9.48 x 101s m,

así que

I año luz : 9.48 x l0l5 m.

La distancia con Proxima Centauri es

(4.0 x 1016*) x =***1- :4.2afrosrtz.

9.48 X l0'' m

Así pues, la luz procedente de esa estrella tarda cerca de 4.2 años en

llegar a la Tierra.

I .5 EL PATRON DE MASA

El patrón de la masa en el SI es un cilindro de platino e iridioque se conserva en la Oficina Internacional de Pesas y Medi-das, al que por convención internacional se le asignó una ma-

sa de 1 kilogramo. Los patrones secundarios se envían a los

laboratorios de estandarización en otros países y las masas de

rb"6 Creftulo I / MEorcló¡q

otros cuerpos se calculan por un método de equilibrio de bra-zos iguales, con una precisión de una parte en 108.

La copia del patrón internacional de masa que se conser-va en Estados Unidos, llamado kilogramo prototipo No. 20,está en una bóveda del National Institute of Standards andTechnology (Fig. 1-a). Una vez al año se extrae para revisarlos valores de los patrones terciarios. Desde 1889, ha sido lle-vado dos ve-ces a Francia para compararlo con el kilogramomaestro. Cuando se saca de la bóveda siempre están presen-tes dos personas; una traslada el kilogramo en un par de pin-zas y la otra lo atrapa en caso de que el kilogramo se le caigaa la primera.

En la tabla 1-5 se incluyen algunas masas medidas. Nó-tese que varían por un factor aproximado de 1083. Casi todasse midieron con un kilógramo estándar aplicando métodos in-directos. Por ejemplo, podemos medir la masa de la Tierra(Sección 1-43) midiendo en el laboratorio lafuerza gravita-cional de atracción entre dos esferas de plomo y comparándo-la con la atracción de la Tierra para una masa conocida. Lasmasas de las esferas deben conocerse mediante una compara-ción directa con el kilogramo est¡índar.

En la escala atómica tenemos un segundo patrón de masa,que no es una unidad del SI. Es la masa del átomo 12C, al cualpor convención internacional se le asignó una masa atómicade 12 unidades unificadas de masa atómica (cuya abreviaturaes u), exactamente y por definición. Podemos obtener la ma-sa de otros átomos con mucha exactitud por medio de un es-pectrómeüo de masas (Sección 32-2).la tabla l-6 comprendealgunas masas atómicas y también la incertidumbre estimadade la medición. Necesitamos un segundo patrón de masa, por-que las técnicas actuales de laboratorio permiten comparar las

FTGURA | -4. El National Standard Prototype Kilogram No. 20,en su jarra de doble campana que se conserva en el U. S. NationalInstitute of Standards and Technolos\'.

i]]$ffimñ, l -5 atgunas masas medidasr

Objeto Kilogramo

Universo conocido (estimación)Nuestra galaxiaSolTierraLunaTrasatlánticoElefantePersona

UvaPartícula de polvoVirusMolécula de penicilinaÁtomo de uranioProtónElectrón

1053

2 x lo432 x 1030

6 x lo24

7 x 1022

7x1074x1036x1013 x 10-37 x 10-10

1 x 10-15

5 x 10-17

4 x 10-262 x lo-27g x 10-31

" Valores aproximados.

masas atómicas entre sí con mayor precisión que con la queen el presente podemos compararlas con el kilogramo están-dar. Ya se labora en la creación de un patrón de masa quereemplace al kilogramo estándar. La relación entre el actualpatrón atómico y el primario es aproximadamente

1u: 1.661 x 10-27kg.

Una unidad conexa del SI es elmol, que mide la cantidadde una sustancia. Un mol de átomos 12C tiene una masa deexactamente 12 gramos, y contiene varios átomos numérica-mente iguales a la constante de Avogadro No:

Nl.: 6.02214199 x 1023 por mol.

Es un número calculado de manera experimental, con una in-certidumbre aproximada de una parte en un millón. Un mol decualquier sustancia contiene el mismo número de entidades

elementales (átomos, moléculas, etc.). Así 1 mol de gas heliocontiene No átomos de He, 1 mol de oxígeno contiene No mo-léculas de 02, y 1 mol de agua contiene No moléculas de HrO.

Para relacionar una unidad atómica de gas con una uni-dad volumétricahay que utilizar la constante de Avogadro. Sise quiere reemplazar el kilogramo estiíndar por un patrón ató-mico, habrá que mejorar por lo menos dos órdenes de magni-tud en la precisión del valor medido de No para obtener lasmasas con una precisión de 1 parte en 108.

l -6 Algunas masas atómicas medidaso

Isótopo Masa (u) Incertidumbre (ul

lHr2c

sco1OeAg

137Cs

208p6

2381¡

1.0078250321412.00000000

63.9297679

108.9047551

136.9070836

207.9766358

238.0495534

0.00000000035(exacto)

0.0000015

0.0000032

0.0000032

0.0000031

0.0000022

| -7 AttÁltsls oE

t .6 PRECISIÓU Y CIFRASSIGNIFICATIVAS

A medida que mejoramos la calidad de los instrumentos de

medición y nuestras técnicas, podemos efectuar experimentos

con valores crecientes de precisión, es decir, extender los re-

sultados a cifras cadavezmás signfficativas, y al mismo tiem-

po reducir su incertidumbre experimental. Tanfo ésta como el

número de cifras significativas, indican algo acerca de nues-

tra estimación de la precisión del resultado. En otras palabras,

el resultado x : 3 m, significa que conocemos menos de x que

del valor x : 3.14159 m. Cuando declaramos x : 3, quere-

mos decir que tenemos urra aertezarazonable de que x se ha-

lla entre 2 y 4 m; en cambio, expresar r como 3.14159 m,

significa que probablemente se encuentre en 3.14158 y

3.14160 m. Si expresamos -r como 3 m cuando de hecho cree-

mos que sea 3.14159 m, estaremos reteniendo información

que pudiera ser importante. Por el contrario, si expresamos

x : 3.14159 m cuando no tenemos una base para saber otra

cosa que no sea x : 3 m, estaremos siendo deshonestos al

afirmar que poseemos más información de la que en realidad

tenemos. La atención a las cifras significativas es importante

cuando se presentan los resultados de la medición y de los

cálculos, siendo igualmente erróneo incluir demasiadas o muy

pocas.

Hay unas reglas simples que deben seguirse al decidir

cuántas cifras significativas usar.

Regla L Contar a partir de la izquierda e ignorar los ce-

ros iniciales, conservando los dígitos hasta llegar al primero

dudoso. Es decir, x:3 m tiene sólo una cifra significativa;

expresar este valor como r : 0.003 km no cambia el número

de ellas. En cambio, si escribiéramos r : 3.0 m (o, en forma

equivalente, x : 0.0030 m), indicaíamos que conocemos el

valor de x hasta dos cifras significativas. Una sugerencia: no

anote los 9 ni los 10 dígitos de su calculadora si la precisión

de los datos de entrada no los justifica. En este libro casi todos

los ciílculos se efectrían con dos o tres cifras significativas. -

Tenga cuidado con las notaciones ambiguas: x : 300 mno indica si tenemos una, dos o tres cifras significativas; no

sabemos si los cergs transmiten información o si sólo sirven

para ocupar lugar. Debeú-amos más bien escribir x : 3 x 102

o 3.0 X 102 o 3.00 x 102, para especificar la precisión con

mayor claridad.Regla 2. Cuando se multiplica o se divide, el número de

cifras significativas del producto o cociente no deberá ser ma-

yor que el de las que se encuentran en el menos preciso de los

factores. Por tanto,

2.3x3.14159:1.2.

Se requiere un poco de sentido común cuando se aplica la regla

9.8x1.03:10.i

porque aunque técnicamente 9.8 tenga sólo dos cifras signifi-cativas, le falta poco para ser un número con tres, de ahí que

el producto deba expresarse con ffes cifras significativas.

LAS DIMENSIONES

Regla 3. Al sumar o restar, el dígito menos significativode la suma o diferencia ocupa la misma posición relativa que

el de las cantidades que van a sumarse o restarse. En este ca-

so el número de cifras significativas carece de importancia; loque importa es la posición Por ejemplo, supóngase que que-

remos encontrar la masa total de tres objetos así:

103.9 kg2.10 kg0.319 kg

106.319 o 106.3 kg

El dígito menos significativo o el primer dudoso está impre-

so en negritas. Conforme a la regla 1, deberíamos incluirsólo un dígito dudoso; en consecuencia, el resultado se expre-

sará como 106.3 kg, porque si el "3" es dudoso, el siguiente

"I9" rto aporta información y es inútil.

.Y#3'l':il^ REsuELro t -8. Queremos pesar a nuestro gato, pe-

ro tan sólo contamos con una báscula casera ordinaria' Es una esca-

la digital que muestra el peso en un número entero de libras. Por eso

utilizamos el siguiente procedimiento: primero nos pesamos y des-

cubrimos que el resultado es 119 lb; luego sostenemos al gato y

observamos que el peso combinado es de 128 lb. ¿Cuál es Ia incer-

tidumbre fraccional o porcentual de nuestro peso y la de1 gato?

Solución El dígito menos significativo es el de unidades, de modo

que nuestro peso presenta una incertidumbre de I libra aproximada-

mente. Es decir, la báscula indica 119 lb para cualquier peso entre

118.5 y 119.5 lb. Por tanto, la incertidumbre fraccional será

7 ss*

O.8Vo.

El peso del gato es 128 lb - 119 lb : 9 lb. Pero la incertidumbre del

gato sigue siendo 1 lb, aproximadamente, y por lo mismo la incerti-

dumbre fraccional será

I lb - o.lt : tlva.

9lb

Aunque la incertidumbre absoluta de nuestro peso y del gato es igual(1 lb), la incertidumbre relativa del nuestro tiene una orden de mag-

nitud más pequeña que la del gato. Si trat¿íramos de medir con este

método el peso de gatos de I lb, la incertidumbre relativa sería del

1007o. Esto ejemplifica un peligro muy común cuando se restan dos

números casi iguales: la incenidumbre relativa o porcentual de la di-

*K:,K:::1ffj3.1,1i,.*-¡**¡***i$,s,**$'ni*irdliit

I.7 ANÁLISIS DE LASDIMENSIONES

Toda cantidad medida o calculada tiene una dimensión. Potejemplo, la absorción del sonido por un lugar cerrado y laprobabilidad de que se produzcan reacciones nucleares pre-

sentan la dimensión de un área. Las unidades en que expre-

sen las magnitudes no afectan a su dimensión: una superficie

1 lb : o.oo8 o119 rb

a CAPÍTULo I / Meorclór.r

seguirá siendo tal sin importar si se expresa en m2 o ff2,acres, sabines (absorción del sonido) o barnes (reacciones nu-cleares).

Del mismo modo que definimos los patrones de medi-ción como magnitudes fundamentales al inicio de este capítulo,también podemos escoger una serie de dimensiones funda-mentales basadas en patrones independientes de medición. Enlas magnitudes mecánicas, masa, longitud y tiempo son ele-mentales e independientes, por lo cual pueden serv'ir de dimen-siones primarias. Las representamos, respectivamente. con M,LvT.

Toda ecuación ha de ser consistente desde el punto devisla dimensional, es decir, las dimensiones en ambos ladoshan de ser las mismas. Si las observamos con detenimiento.no cometeremos effores al escribir las ecuaciones. Por ejem-plo, la distancia -r que en el tiempo / recorre un objeto queparte del reposo y se desplaza con una aceleración constantea es, como veremos en el siguiente capítulo, * : ] ai. La ace-leración se mide en unidades como m/s2. Con l-os corchetes

[ ] denotamos "la dimensión de", así que [x] : L o [t] : 1.De ello se deduce que [a] : L/T2 o LI-2. Así pues. tenien-do presentes las unidades y por elde la aceleración. nunca es-

taremos tentados aescribir x:!at o:r:laf -t.

El análisis de las dimensionés es de grán utüdad cuandose trabaja con ecuaciones. Este procedimiento 1o ejemplificanlos siguientes problemas resueltos.

PRoBLEMA ResuElro I -4. Se requiere la ''fuerza centrípeta"para mantener un objeto móvil dentro de un círculo a rapidez cons-tante. (El movimiento ci¡cular se trata en el Capírulo 4.) Realice unanálisis dimensional de esa fuerza.

Solución Podemos empezar preguntando: "¿De qué variables mecá-nicas podría depender la fuerza centrípeta F?" El objeto móvil sólo tie-ne tres propiedades probablemente importantes: su masa m, su rapidezv y el radio r de su trayectoria circular. Por tanto, debe estar dada,

aparte de las constantes adimensionales, por una ecuación de la forma

F o movbt',

donde el símbolo o, siánifica "es proporcion ú a" , y donde a, b y cson exponentes numéricos que se determinan al analízar las dimen-siones. Como señalamos en la sección l-2 (y como veremos en elcapítulo 3), la fuerza tiene unidades de kg . m/s2, de ahí que sus di-mensiones sean [Fj : MLjI-2. En consecuencia, podemos escribirasí la ecuación de la fuerza centrípeta en términos de dimensiones:

lFl: lm'l lrol [r.lMLT-2 = M, (L/T)bL.

: Ma Lb+c T-b.

La consistencia dimensional significa que las dimensiones funda-mentales han de ser las mismas en ambos lados de la ecuación. Portanto, si igualems5 los erponentes.

exponente de M: a : l:exponente de T: b : 2'-

exponentedeL: b+c:1. asíque c:-1.

La expresión resultante será

po !t- .r

La expresión real de la fuerza centrípe¡a, deducida de las leyes deNewton y de la geometría del movimiento circular, es F : mv2 I r. Elanálisis de las dimensiones da la dependencia exacta de las variablesmecánicas. Es una coincidenciafeltz, porque del anifisis nada puedeconcluirse acerca de las constantes que carecen de dimensiones. Eneste caso la constante es casualmente 1.

Pnoer-Emn Resueuro f -5.Un verdadero hito en la evolución del universo poco después del BigBang es el tiempo de Planck /D, cuyo valor depende de tres constan-tes fundamentales: 1) laralidéz delahlz (la constante fundamentalde la relatividad), c : 3.00 x 108 m/s; 2) la constante gravitacional de

Newton (la constante fundamental de la gravedad), G : 6.67 x10- 1l m3/s2 . kg, y 3) la constante de Planck (la constante fundamen-tal de la mecánica cuiíntica), h : 6.63 X 10-34 kg. mzls. Basándo-se en un an¿ílisis dimensional, calcule el valor del tiempo de Planck.

Solución Usando las unidades de las tres constantes, podemos obte-ner sus dimensiones:

LcJ:[m/sl :LT-rftr] : [m3ls2. kg] : ¡31-2¡4-ttftl : tkg .m2/s1: ML2T-1

Supon_eamos que el tiempo de Planck dependa de estas constantes así:

tp- ri Gt ht',

donde i, j 1' fr son exponentes que debe determinarse"Ias dimensio-nes de esta expresión son

[rr] = [ci] ÍGjl[hklT : (LT-r)¡ (L3T-z¡4-t;., (MLz1-r¡r

: Li+3i+2k T-¡-21-,t M-i+r.

Al igualar las potencias en ambos lados obtenemos

exponentedeL: 0: i + 3j + 2k

exponente de T: | : -i - 2j - k

exponente de M: O : -j + k

y al resolver en las tres ecuaciones anteriores las tres incógnitas nosqueda i:-1, j=+, k=+.

Por tanto,

tpx C-5t2Gtt2htt2

"re; ^:Y..:Y (300xt0¡n/sp

: 1.35 x 10-45 s.

Como se define comúnmente, el tiempo de Planck difiere del valoranterior por un factor de (2n) 1/2. Estos factores dimensionales nopueden obtenerse mediante esta técnica.

En forma semejante, podemos determinar la longitud y la masa de

Planck, que también puede tener interpretaciones muy básicas (Ejer-

cicios 32 y 33).

PRecu¡¡r¡s 9 ,,rii*sw

€ ppcróN uúr-rlpls' ;:; ;;;;;;;;.",, ;;., y unidades

. | -2 El Sistema Internacional de Unidades

| -3 El patrón del tiempo

| -4 El patrón de longitud

I -5 El patrón de masa

I -6 Precisión y cifras significativas

1. Un estudiante va a calcular el iírea superficial de un hoja de pa-

pel. Mide la longitud y obtiene / : 27.9 cm1' mide el ancho y ob-

tiene d : 21.6 cm. Registra la superficie del papel así

y descubre que el espesor es igual al = 1.27 cm. Para calcular el

de una hoja efectría una üvisión. ¿Curíl de las siguientes respues-

tas tiene el número correcto de dígitos significativos?

(A) 0.15875 mm.

(C) 0.16 mm.

| -7 Análisis de las dimensiones

3. El periodo de oscilación de un oscilador no lineal depende de Ia

masa m, con dimensiones de M; una constante de fuerza restau-

radora k con dimensiones de ML-2 T-2 y la amplitud A, con

dimensiones de L. El análisis de dimensiones muestra que el

periodo de oscilación debería ser proporcional a(A) 602.64 cmz.

(C) 602 cmz.

(B) 602.6 cmz.

(D) 603 cm2.

( ) A\Ltlk.g) A-r\/;lrc.

(B) 0.159 mm.

(D) 0.2 mm.

(B) Azmlk.

(D) Azté/m.2. lJ¡a estudiante va a calcular el espesor de una hoja de papel'

Mide el espesor de una pila de 80 hojas con un calibrador de nonio

S*"o,rNrAS

7

3.

4.

6.

¿Cómo criticaría usted la siguiente afirmación: "Una vez escogido

un pahón, ¿es invariable por el significado mismo de 'patrón"'?

Mencione otras características además de accesibilidad e inva-riabilidad que juzgue convenientes para un patrón físico.

¿Puede imagina?un sistema de unidades fundamentales (Tabla

1-l) en que no se incluya el tiempo?De las siete unidades contenidas en la Tabla 1-1, sólo una -el ki-logramo- tiene un prefijo (Tabla l-2). ¿Convendría redefinir co-

mo I g y no como 1 kg la masa de ese cilindro de platino e iridioque se guarda en la Oficina Intemacional de Pesas y Medidas?

¿Qué significa el prefijo "micro-" en la expresión "horno de mi-croondas?" Se ha propuesto que el alimento i¡radiado con rayos

gamma, para alargar su vida de estante, se etiquete "picoondas".

¿Qué cree que signifique eso?

Muchos investigadores muy profesionales aceptan la realidad

de la percepción extrasensorial bas¿índose en evidencias. Supo-

niendo que este fenómeno sea efectivamente un hecho natural,

¿qué magnitud o magnitudes físicas procuraría definir para des-

cribirlo en términos cuantitativos?Mencione varios fenómenos repetitivos que ocurren en la natu-

ruleza y que podrían servir de patrones adecuados del tiempo.

Podríamos definir "l segundo" como un latido del pulso del actual

presidente de la American Association of Physics Teachers. Gali-

leo usó su pulso como cronómeffo en algunos de sus trabajos.

¿Por qué conviene m¿ís basar una definición en el reld atómico?

¿Qué cualidades debeía reunir un buen reloj?

Van a probarse cinco relojes en un laboratorio. Al mediodía en

punto, como lo determina la señal temporal WWV en los días

sucesivos de la semana el reloj indica las siguientes lecturas:

Reloj Dom. Lun. Mar. Miér

Reloj Jue. Vie. Sáb.

12:37:44 12:37;59 12:38:14

12:00:02 11:59:56 12:00:03

15,'54.,37 15:55:35 15:56:33

1l:59:31 11:58:24 1l:57:17l2:Ol:32 12:01l.22 12'.01'.12

¿En qué forma dispondría como buenos cronómetros estos relo-jes atendiendo a su orden de valor relativo?

11. Basándose en lo que sabe de los péndulos, cite las desventajas

de usar el periodo de un péndulo como patrón del tiempo.

12. ¿Cómo supo Galileo que el péndulo oscila con la misma fre-cuencia sin importar la amplitud? Nota: como los péndulos eran

esenciales en la construcción de los primeros relojes, Galileo no

podía haber utilizado un reloj para encontrar la respuesta.

13. ¿Cuál es la incertidumbre en un buen reloj de arena? ¿Y de un

reloj de agua? ¿Y de las velas con que se mide el tiempo durante

la noche?

14. El 30 dejunio de 1981, el minuto que se extendía de las 10:59 a

las 11:00 de la mañana,fue alargado arbitrariamente para que con-

tuviera 61 s. El último día de 1989 también se alargó I s. Este s¿-

gundo bisiesto se introduce de modo esporádico para compensar

el hecho de que la rapidez de rotación de la Tierra va disminuyen-

do lentamente, medida por nuestro patrón del tiempo atómico.

¿Por qué conviene reajustar nuestros relojes en esta forma?

15. Una estación radiofónica anuncia que son las "89.5 en nuestro

cuadrante de FM". ¿Qué significa ese número?

ABCDE

1

8.

9.10.

t6.17.

¿Por qué en el SI no existen unidades de superficie ni de volumen?

Originalmente se planeó que el metro fuera la diezmillonésimaparte del meridiano del polo norte al ecuador que pasa por Pa-

ís. Esta definición discrepa 0.O23Vo con la barra del metro(adoptada como patrón en esa fecha remota). ¿Significa que labarra del metro estándar es inexacta en ese porcentaje?A

BC

DE

12:36:40 12;36;56l1:59:59 12'30:0215:50:45 15:51'.43

12:0359 12:02:5212:03:59 12:02:49

12:37:12 12;37:27

1l:59:{ 12:00:07

15:52:41 15:53:3912:01:45 12:00:38

l2:Ol.,54 12:01:52

18. La definición original del metro no incluía directamente la me-

dición de la distancia entera entre el polo norte y el ecuador.

¿Cómo se realizó la medida? Explique cualquier posible incer-tidumbre experimental.

I

'r<

26.

J,f

28.

29.

30.

31.

toN*¿

19.

20.

21.

1''

23.

24.

Cnpírulo I / MEDrcróN

ff u*.r.ro,

¿Puede medirse la longitud a 1o largo de una línea curveada? Sila respuesta es afirmativa, indique cómo.Cuando se tomó la barra del metro como el patrón de longitud,se especificó su temperatura. ¿Puede considerarse la lon_gitud unapropiedad fundamental si otra magnitud física, en este caso latemperatura, debe especificarse al escoger el patrón?Al redefinir el metro en función de la rapidez delaltz. ¿por qué

los delegados a la Conferencia General de Pesas y Medidas ce-Iebrada en 1983, no simplificaron las cosas dehniendo la rapidezde la luz con exactitud como 3 x 108 m/sz? ¿Y por qué no de-finieron que fuera 1 m/s exactamente? ¿Podían hacer ambas co-sas? De ser así, ¿por qué las rechazaron?Originalmente el kilogramo fue definido de modo que la densi-dad del agua fuera 1,000 en unidades métricas. ¿Puede una ver-sión "métrica" de r: 3.1415926535. . . redefinirse de modoque sea exactamente igual a 22/7? ¿Por qué no defini¡la comor : 3 para ahorrarse así muchos problemas de cálculol'Indique una manera de medir a) el radio de la Tiena. ó r la dis-tancia entre ella y el Sol y c) el radio del Sol.Indique una manera de medir a) el espesor de una ho,ja de pa-pel, &) el espesor de una película de burbuja de jabón t o el diá-metro de un átomo.

Si alguien le dijera que de 1a noche a la mañana todas las dimen-siones de los objetos se han reducido a la mitad de su valor an-terior, ¿cómo refutaría esa añrmación?

¿Es el actual kilogramo patrón de la masa accesible, invariable,reproducible e indestructible? ¿Tiene suficiente simplicidad pa-ra efectuar comparaciones? ¿Seía mejor un patrón atómicoen algún aspecto? ¿Por qué no lo adoptamos como lo hacemos en

el caso de la longitud y del tiempo?

¿Por qué nos parece útil contar con dos patrones de masa: el ki-logramo y el átomo 12C?

¿Cómo determinamos la relación entre la masa del kilogramoestándar y la masa del átomo 12C?

Indique formas prácticas en que podríamos calcular la masa de

los objetos incluidos en la tabla 1-5.

Mencione objetos cuya masa podría caer en el amplio intervalode la tabla 1-5 entre la de un transatlántico y la Luna, y calculesu masa.

Los críticos del sistema métrico a menudo desvirtúan el proble-ma diciendo cosas como: "Envez de comprar I lb de mantequi-lla, tendremos que pedir 0.454 kg de mantequilla". Con elloquieren decir que 1a vida sería más compleja. ¿Cómo refutaríaeste areumento?

7. En dos competencias de pista, los ganadores de la milla termi-naron la carrera en 3 minutos 58.05 s y en 3 min 58.20 s. Parapoder concluir que el que hizo el menor tiempo fue verdadera-mente más rápido, ¿cuál es el drror máximo tolerable en pies almedi¡ las distancias?

8. Un reloj de péndulo (con una carátula de 12 h) gana I minf día.

Después de ponerlo en la hora correcta, ¿cuánto habrá que espe-

rar antes que vuelva a indicar la hora correcta?9. La edad del universo es aproximadamente 5 x 1017 s; el pulso

luminoso más corto producido en un laboratorio (1990) duróapenas 6 X 101s s (Tabla 1-3). Identifique un intervalo tempo-ral físicamente significativo que se encuentre más o menos a lamitad entre los dos en una escala logarítmica.

1.0. Suponiendo que la duración del día aumenta de modo uniforme0.001 s en un siglo, calcule su efecto acumulativo en la medidadel tiempo durante 20 siglos. Esa reducción de la rotación de laTierra la indican las observaciones de 1os eclipses solares que

ocurrieron durante este periodo.11. El tiempo (27.3 días) que tarda la Luna en retornar a una posi-

ción determinada vista contra el fondo de las estrellas fijas reci-be el nombre de mes sideral. Se da el nombre de mes lunar alintervalo entre fases lunares idénticas. El mes lunar es más lar-go que el mes sideral. ¿Por qué y por cuánto?

r-4 El patrón de longitud

12. Un amigo francés por colrespondencia le escribe para decirleque mide 1.9 m. ¿Cuál es su estatura en unidades inglesas?

13. a)En las competencias de pista se usan las 100 yardas y los 100

metros en las carreras de velocidad. ¿Cuál de las dos es más lar-ga? ¿Por cuantos metros? ¿Por cuántos pies? b) Se llevan regis-tros de las cafferas de pista y de campo en la milla y en la millamétrica (1,500 m). Compare esas distancias.

14, La estabilidad del reloj de cesio que se emplea como patrón deltiempo atómico es tal, que dos relojes ganarían o perderían 1 s

t - t Magnitudes fiísicas, patrones y unidades

| -2 El Sistema Internacional de Unidades

1. Use los prefijos de la tabla 1-2 para expresar a) 106 telétbnos. á)10-6 teléfonos, c) 101 tarjetas, d) 10e sillas. e) 1011 toros. /-) t0-lcompañeros, g) 10-2 patos, h) l}-e señoras. i) l0- l: abucheos. j)10-18 niños, k) 2 x 102 papas, | 2 X 103 ruiseñores. Ahora que

ya entendió el procedimiento, invente otras expresiones similares.(Véase la página 6l de A Random Walk ín Science, recopilado porR. L. Weber; Crane, Russak & Co., Nueva York,1974.)

2. Algunos de los prefijos de las unidades del SI han sido incorpo-radas al lenguaje diaio. a) ¿Cuál es el equivalente semanal deun sueldo anual de 36K (: 36 k$)? b) Una lotería ofrece 10 me-gadólares como premio principal, pagaderos en un lapso de 20años. ¿De qué monto es cada cheque mensual? c)El disco durode una computadora tiene una capacidad de 30 GB (: 30 gi-gabytes). Usando 8 bytes/palabra, ¿cuántas palabras puedeguardar?

| -s El patrón del tiempo

3, En cierta ocasión Enrico Fermi señaló que un periodo estándarde lectura (50 min) se aproxima a I microsiglo. ¿Cuántos minu-tos tiene un microsiglo y cuál es la diferencia porcentual con laaprorimación de Fermi?

4. Entre \ueva York y Los Ángeles hay una distancia aproximadade 3.000 mi: la diferencia temporal entre las dos ciudades es de

3 h. Calcule la ci¡cunferencia de la Tierra.5. Una sustitución útil de los se-eundos de un año es ?7'por 107. ¿En

qué mar_een de error porcentual es correcto esto?6. a) En ocasiones una unidad de tiempo que se emplea en micro-

física es el slnke- Ln shake equir ale a l0-8 s. ¿Tiene más sha-kes un segundo que segundos un año? á) El hombre llevaviviendo cerca de 106 años. en tanto que ei universo tiene unaedad aproximada de l0:' . Si suprruemos que la edad del univer-so es I día, ¿cuántos segundos hace que eriste e} hombre?

E..lencrc¡os tl r:l$liffi

entre sí aproximadamente en 300,000 años. Si esa misma preci-

sión se aplicara a la distancia entre Nueva York y San Francis-

co (2,572m1), ¿cuiínto tendeían a diferir las mediciones sucesivas

de esa distancia?15. La Antrírtida tiene una forma casi semicircular, con un radio de

2,000 km. El espesor medio de la capa de hielo es de 3'000 m'

¿Cuántos centímetros cúbicos de hielo contiene la Ant¡írtida?

(No tenga en cuenta la curvatura de la Tierra.)

16. Una unidad de superficie, utilizada con frecuencia cuando se

expresan iíreas de iiérru, "t

la hectárea, definida como 104 m2.

Cada año una mina de carbón a cielo abierto consume '77 hec'

t¿íreas de tierra, hasta una profundidad de 26 m. ¿Qué volumen

de tierra, en kilómetros cúbicos, se extrae en ese lapso?

17 . LaTiena es aproximadamente una esfera de radio 6.37 x 10o m'

a) ¿Cuáles su circunferencia en kilómetros? b) ¿Cuiil es su iírea

superficial en kilómetros cuadrados? c) ¿Ctt6l es su volumen en

kilómetros cúbicos?

18. Transcribimos en seguida la velocidad m¿ixima de varios ani-

males, pero en distintas unidades. Convierta estos datos en m/sy luego clasifique los animales por orden de rapidez m¿íxima

creciente: ardilla, 19 km/h; conejo, 30 nudos; caracol, 0.030

mifh araña,1.8 ft/s; leopardo, 1.9 km/min; ser humano, 1,000

cm/sl zorro. 1.100 m/min; león. 1.900 km/día.

19. Cierta nave espacial tiene una velocidad de 19,200 mi/h. ¿Cuál

es su velocidad en años luz por siglo?

20. Un automóvil nuevo está equipado con un tablero de "tiempo

real" del consumo de combustible. Un intemrptor le permite al

conductor hacer la conversión automática entre unidades ingle-

sas y las del SL Sin embargo, la presentación de las primeras

muestra milga|y la versión del SI es la inversa, l/km' ¿Cuál

lectura del Sl corresponde a 3b.0 mi/gal?21. Las distancias astronómicas son tan grandes comparadas con

las terrestres, que se emplean unidades mucho mayores para

facilitar la comprensión de la distancia relativa de los objetos

astronómicos. La unidad astronómica (AU) es igual a la dis-

tancia promedio entre la Tierra y el Sol, 1'50 x 108 km' Un

parsec (pc), es la distancia en que 1 AU subtenderá un ángulo

de 1 segundo de arco. El año luz (ly), es la distancia que la luz,

viajando a través de un medio con una velocidad de 3'00 x105 km/s, recorrería en 1 año. a) Exprese la distancia entre la

Tierra y el Sol en parsecs en un año luz' b) Exprese en kilóme-

tros un año luz y un parsec. Aunque el año luz se usa mucho

más en las obras divulgativas, el parsec es la unidad preferida

por los astrónomos.

22. Elradio efectivo de un protón mide cerca de I X 10-D m; el

del universo observable (dado por la distancia con el cuasar ob-

servable más lejano) es 2 x lO26 m (Tabla I -4). Identifique una

distancia físicamente significativa que se encuentre más o me-

nos en la mitad de los dos extremos de una escala logarítmica'

| -5 El patrón de masa

23. Usando las conversiones y los datos presentados en el capítulo,

calcule el número de átomos de hidrógeno necesarios para ob-

tener 1.00 kg de hidrógeno.24. rJna molécula de agua (HrO) contiene dos átomos de hidróge-

no y uno de oxígeno. El átomo de hidrógeno tiene una masa de

1.0 u, y un átomo de oxígeno una masa de 16 u. a) ¿Cuál es la

masa de una molécula de agua en kilogramos? b) ¿Cuántas mo-

léculas de agua hay en los mares del mundo? Los mares tienen

una masa total de 1.4 x 1021 kg.

En la Europa Continental, una "libra" equivale a la mitad de un

kilogramo. ¿Qué es mejor comprar: una libra de café en Paús

por 9.00 dólares o una libra en Nueva York por $7.20?

Un cuarto tiene las dimensiones de2l ft x 13 ft x l?ft. ¿Cuán-

ta masa de aire contiene? La densidad del aire a temperatura

ambiente y a una presión atmosférica normal es de | '21 kglm3 .

Un cubo común de azicar tiene una longitud de borde de 1 cm.

Si tuviera una caja cúbica con 1 mol de cubos, ¿cuál sería su

longitud de borde?

Una persona a dieta pierde 0.23 kg (equivalentes aproximada-

mente a 0.5 lb) por semana. Exprese la tasa de pérdida de masa

en miligramos por segundo.

l -e Precisión y cifras significativas

En el periodo de 1960-1983, el metro se definió como

1,650,763.'73 longitudes de onda de cierta luz roja anaranjada

emitida por átomos de kriptón. Calcule en nanómetros la distan-

cia correspondiente a una longitud de onda. Exprese el resulta-

do usando el número apropiado de cifras significativas.

a) Evaltie 37.76 + 0.132 con el número correcto de cifras sig-

nificativas. b) Evalúe 16.264 - 16.26325 con el número correc-

to de cifras significativas.

| -7 Análisis de las dimensiones

31. Se da el nombre de acuífero, a la roca porosa por donde pasa el

agua subterriínea. El volumen V de aglua que, en eI tiempo t, se

desplaza por una sección transversal del atea A de un acuífero

está dado por

v/t -- KAH/L

donde Il, es la caída vertical del acuífero sobre la distancia ho-

rizontal t (Fig. 1-5). A esta relación se le llama ley de Darcy. La

cantidad Kes la conductividad hidráulica del acuífero. ¿Cuálesson las unidades SI de K?

Ftcu RA | -5. Eiercicio 3l '

En el problema resuelto 1-5, combinamos las constantes h, G y cpara obtener una cantidad con las dimensiones de tiempo. Repi-

ta el cálculo para obtener una cantidad con las dimensiones de

longitud; evalúe después el resultado en forma numérica' Ignore

las constantes adimensionales. Ésta es la longitud de Planck, es

decir, el tamaño del universo observable en el tiempo de Planck.

Repita el procedimiento del ejercicio 32parc obtener una canti-

dad con las dimensiones de masa. Se calcula así la masa de

Planck, es decir, el universo observable en el tiempo de Planck.

25.

26.

,,n

28.

29.

30.

32.

33.

F t2

$\ortEMAS1. Poco después de la Revolución Francesa, al introducir el siste-

ma métrico, la Convención Nacional Revolucionaria intentó in-troducir también el tiempo decimal. En este plan, que no tuvoéxito, el día -que comenzarta a medianoche- fue dividido en10 horas decimales constituidas cada una por 100 minutos deci-males. Las manecillas de un reloj de bolsillo de esa época estándetenidas en 8 horas decimales, 22.8 minutos decimales. ¿euéhoras son? Consulte Ia fieura l-6.

FIGURA t-6. problema l.

La distancia promedio entre el Sol y la Tierra es 390 veces laque separa a ésta y a la Luna. Suponga que se produce un eclip-se solar total (la Luna entre el So1 y la Tierra; véase la Figura1-7) y calcule a)larazón del diámetro solar a1 lunar y b) la ra-zón del volumen solar al volumen lunar. c) El ángulo intercep-tado en el ojo por la Luna es de 0.52. y la distancia entre ella yla Tierra es de 3.82 X lOs km. Calcule el di¿ímetro de la Luna.

Polonone

Círculode

latitud

,

6.

7.

o.52" -,ffit- - _exd

Sol 8.

9.3.

4.

wTierra LUNA

(Diagrama no trazado a escala)

FTGURA l-7. Problema2.

El navegante de un buque petrolero utiliza los satélites del Sis-tema de Posicionamiento Global (GPS/NAVSTAR) para obte-ner la longitud y la latitud; consúltese la figura 1-8. Éstas son43"36'25.3' N y 77"31'48.2'W. Si la exactitud de estas deter-minaciones es +0.5", ¿cuál será la incertidumbre de la posicióndel buque medida sobre a) una línea de Norte-Sur (meridiano delongitud) I á¡ una tínea de Este-Oeste (paralelo de latitud)? c)

¿Dónde se encuentra el buque?En octubre de 1707. cuatro barcos de guerra ingleses naufraga-ron por un error de posición. dando origen a esfuerzos porcrear un reloj submarino que localizara una posición en un radioCe 30 millas después de zarpar de lnglatena a las Antillas Holan-

CAPITULo I / MEorcrórr¡

SatéliteNAVSTAR

Polosur

Meridianooe

longitud

FTGURA t-a. Problema3.

desas y en su viaje de regreso. a) ¿Qué exactitud diaria deberátener ese reloj? D) ¿Qué exactitud diaria se requiere para que fi-je la posición en un radio de 0.5 millas_después de un I año enel mar? (Consúltese Longitude, de Davá Sobel, penguin, Balti-more. 1995.)Durante la noche, una inhalación contiene cerca de 0.3 I de oxí-

-eeno (O,. 1.43 g/L atemperatura y presión ambiente). Cada ex-

halación contiene 0.3 I de dióxido de carbono (COr, 1.96 g/L atemperatura y presión ambiente). ¿Cuánto peso en libras sepierde con la respiración en t hora de sueño?Suponga que se tarda 12 h en vaciar un contenedor de 5,700 m3de agua. ¿Cuál es el gasto de masa (en kg/s) del agua prove-niente del contenedor? La densidad del agua es 1,000 kgl^3.Los granos de arena fina de las playas de California tienen unradio promedio de 50¡,cm. ¿Qué masa de granos de arena tendráun área superficial total igual a la de un cubo exactamente 1 men un borde? La arena se compone de dióxido de silicio, 1 m3,el cual tiene una masa de 2,600 kg.El kilogramo pahón @g. 1-4) tiene la forma de un cilindro circu-lar, cuya altura es igual a su diámetro. Demuestre que, en un ci-lindro circular de volumen fijo, esa igualdad nos da la superficiemás pequeña y de ese modo reduce al mínimo los efectos decontaminación y desgaste de la superficie.La distancia entre dos átomos o moléculas contiguas en una sus-tancia sólida, puede estimarse calculando dos veces el radio deuna esfera con volumen igual al volumen por átomo del material.Calcule la distancia entre los átomos contiguos en a) hieno y b)sodio. La densidad de ambos son 7,870 kg/^3 y 1,013 kg/m3,respectivamente; la masa de un átomo de hierro es9.27 X 10-26kg, y la masa de un átomo de sodio es 3.82 X 10-26 kg.a) Una placa metálica rectangular tiene una longitud de 8.43 cmy un ancho de 5.12 cm.. Calcule su ¿írea con el número correctode cifras significativas. ü) Una placa metálica circular tiene unradio de 3.7 cm. Calcule su superficie con el número correctode cifras sienificativas.

10.