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CAPÍTULO 1TEORÍA CUÁNTICA Y ESTRUCTURA ATÓMICA

1.1 Introducción al átomo

El concepto de átomo surgió en Grecia entre un conjunto de filósofos llamados atomistas, entre los que destacan: Demócrito y Leucipo. Aristóteles fue contrario a ellos, defendiendo que la materia era continua. Platón, aunque proponía la existencia de formas elementales, no creía que éstas fueran indivisibles en otras más pequeñas

A partir de esta Unidad vamos a introducirnos en el mundo de la química. El origen de la palabra química se remonta a tiempos muy antiguos, proviene de un alquimista del siglo III llamado Zósimo, que utilizaba el término Khemeia para referirse al arte del país llamado Khem (Egipto). Esta expresión dio lugar a la palabra árabe alquimia y a la española química.

La Química es la ciencia que estudia la constitución, propiedades y transformaciones que sufre la materia.

Por esto, en atención a una mayor claridad, seguiremos este orden lógico para exponer los temas químicos de este curso y prescindir del cronológico habitual.Por lo general, desde la Antigüedad se consideró que la materia era continua e indivisible, hasta que en el siglo XVIII diversos experimentos confirmaron que era posible separarla en partículas más pequeñas que llamamos átomos.En este tema estudiaremos que incluso los átomos se pueden dividir en partículas máspequeñas, y comentaremos modelos sencillos que intentan explicar la estructura interna de dichos átomos.Asimismo, justificaremos que el descenso energético que proporciona estabilidad a lossistemas atómicos, se debe a la formación de enlaces entre los mismos a fin de formarsustancias compuestas.

1.2 Estructura de la materia

Llamamos sustancia pura a una fase de composición uniforme e invariable,que no se puede descomponer en otras materias de distinta clase por métodos físicos

Ejemplos de sustancia pura son: la sal, el hierro, el alcohol, el agua, etc. Las propiedades físicas caracterizan a cada sustancia (punto de ebullición, punto de fusión, densidad, etc) y permanecen invariables en toda ella.

Se denominan elementos, a las sustancias puras que no pueden descomponerseen otras más sencillas mediante procedimientos químicos normales.

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Ejemplos de elementos son: hidrógeno, nitrógeno, oxígeno, oro, plata, hierro, etc. Son por tanto los constituyentes más sencillos de la materia que tienen propiedades químicas.

Denominaremos compuestos a las sustancias puras formadas por dos o más elementos y que pueden descomponerse en éstos; por métodos químicos: sacarosa, sal común, agua.

En la actualidad, el átomo se define como: «La menor partícula constitutiva del elemento que conserva las propiedades de éste y no puede dividirse por métodos químicos»; o también como: «La partícula más pequeña de un elemento que puede participar en una combinación química».

1.3.-Base experimental de la teoría cuántica.

En los años 1900 (siglo XX) un joven físico alemán de nombre Max Karl Ernst Plank (1858-1947) mientras analizaba los datos de la radiación emitida por sólidos calentados a varias temperatura descubrió que los átomos y moléculas emiten energía únicamente en números enteros de ciertas cantidades bien definidas.

En esa época los físicos siempre habían considerado que la energía se transmitía en forma continua, o sea que en cualquier proceso de radiación, se podía liberar cualquier cantidad de energía.

Sin embargo Plank demostró que la energía sólo se puede liberar en ciertas cantidades bien definidas a las que llamó “cuantos” (del latín “quantum” que significa paquetes).

Esta consideración es conocida como la Teoría Cuántica y causó una gran controversia en ese tiempo.

En el desarrollo de la ciencia, un descubrimiento experimental importante propiciaba que se produzca una gran actividad. Así durante los 30 años que siguieron a la introducción de la Teoría Cuántica, la física se transformó tanto, que se empezó a considerar el concepto de física clásica (todo lo anterior a Plank).

Para que podamos entender la Teoría de Plank, tenemos que conocer parte de la física clásica, cómo es la naturaleza de la radiación que se define como la “emisión y transmisión de energía a través del espacio en forma de ondas”. Por lo tanto empezaremos estudiando la Teoría Ondulatoria.

1.3.1.-Teoría ondulatoria, radiación del cuerpo negro y teoría de Plank.

Una onda se puede considerar como “una perturbación vibracional por medio de la cual se transmite energía”

La distancia entre puntos idénticos en ondas sucesivas se llama longitud de onda ( ). Al número de ondas que pasa a través de un punto determinado en un segundo se le llama frecuencia () de la onda. La amplitud es la distancia vertical de la línea de la onda a la cresta.

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Fig.1.1.-Los siguientes diagramas ilustran que a diferentes longitudes de onda la frecuencia varia.

Como todas las radiaciones electromagnéticas se desplazan con la misma velocidad la frecuencia y la longitud de onda están relacionadas:

.Si la longitud de onda es larga, por un punto determinado pasan pocas ondas y la frecuencia es baja.

.Si la longitud de onda es corta, por un punto determinado pasan un mayor número de ondas y la frecuencia es alta.

.Hay por lo tanto una relación inversa entre la frecuencia y la longitud de onda.

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Una propiedad importante de una onda que viaja a través del espacio es su velocidad.La velocidad de una onda depende del número de ciclos (una onda completa) que pasa a través de un punto dado en un segundo (o sea su frecuencia ) y de la longitud de onda ().Si llamamos µ a la velocidad de una onda entonces

µ = La velocidad de la onda es igual al producto de su longitud de onda y su

frecuencia. La longitud de onda se expresa comúnmente en metros, centímetros y

nanómetros cuando las distancias son muy pequeñas.La frecuencia se mide en ondas o ciclos por segundo, pero se puede eliminar la

palabra ciclos y utilizar HERTZ (Hz) donde 1 HZ=1 ciclo/seg. Ejemplo: calcular la velocidad de una onda cuya longitud de onda sea =21.3 cm y cuya frecuencia =93.4Hz

µ= = 21.3 cm. x 93.4 Hzµ =1989.42 cm/s

µ =1.98942 x 103 cm/s

Para trabajar su Teoría, Plank utilizó lo que se llama un cuerpo negro, éste es un material que absorbe y emite todas las longitudes de ondas del espectro electromagnético:

Fig.1.2.-Espectro electromagnético.

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Bandas del espectro electromagnético Para su estudio, el espectro electromagnético se divide en segmentos o bandas, aunque esta división es inexacta. Existen ondas que tienen una frecuencia, pero varios usos, por lo que algunas frecuencias pueden quedar en ocasiones incluidas en dos rangos.

BandaLongitud de onda

(m)Frecuencia

(Hz)Energía (J)

Rayos gamma < 10 pm > 30,0 EHz > 20·10-15 J

Rayos X < 10 nm > 30,0 PHz > 20·10-18 J

Ultravioleta extremo < 200 nm > 1,5 PHz > 993·10-21 J

Ultravioleta cercano < 380 nm > 789 THz > 523·10-21 J

Luz Visible < 780 nm > 384 THz > 255·10-21 J

Infrarrojo cercano < 2,5 µm > 120 THz > 79·10-21 J

Infrarrojo medio < 50 µm > 6,00 THz > 4·10-21 J

Infrarrojo lejano/submilimétrico

< 1 mm > 300 GHz > 200·10-24 J

Microondas < 30 cm > 1 GHz > 2·10-24 J

Ultra Alta Frecuencia - Radio < 1 m > 300 MHz > 19.8·10-26 J

Muy Alta Frecuencia - Radio < 10 m > 30 MHz > 19.8·10-28 J

Onda Corta - Radio < 180 m > 1,7 MHz> 11.22·10-28 J

Onda Media - Radio < 650 m > 650 kHz > 42.9·10-29 J

Onda Larga- Radio < 10 km > 30 kHz > 19.8·10-30 J

Muy Baja Frecuencia - Radio > 10 km < 30 kHz < 19.8·10-30 J

RADIACION DEL CUERPO NEGRO.Un cuerpo negro experimental podría ser un trozo de hierro de forma esférica con cavidad en su interior (hueco), al cual se le hace un

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pequeño agujero, si el hierro se calienta a determinada temperatura y se mantiene en ella, se puede medir la intensidad de la radiación que se emite desde ésta, con los instrumentos apropiados.

En la figura no. 3 se representa gráficamente la intensidad de la radiación emitida para tres temperaturas diferentes en función de su frecuencia.

Fig. 1.3

La forma de la curva no coincide con la que resultaría de la Teoría Electromagnética Clásica.De acuerdo a ésta teoría se supuso que las partículas cargadas eléctricamente de las paredes de hierro de la cavidad, absorberían la radiación de forma continua y volverían a irradiar energía de la misma forma, ya que de acuerdo a la Teoría Clásica la intensidad de la radiación (energía) es proporcional a y por tanto la intensidad debe aumentar sin límite alguno conforme se incrementa la frecuencia. Pero esto no concuerda con los resultados experimentales que muestran un máximo en la curva. Para explicar

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la forma de la curva era necesaria una nueva teoría, de ahí nació la teoría de Max Plank de la que hablamos al principio de este capítulo.

Expresando matemáticamente, la propuesta por Plank, tenemos E y para quitar el signo de proporcionalidad, introdujo una constante, quedando:

E = h

donde h es conocida como constante de Plank y cuyo valor es 6.63 x 10 -34 joules·seg

Una de las características de las ondas electromagnéticas es la velocidad con que viajan y que es la velocidad de la luz.

C = 3.00 x 108 m/seg

Conociendo esto podemos aplicarlo para calcular la energía de los “cuantos” de Plank.

Veamos los siguientes ejemplos:¿Cuál es la frecuencia de la luz que tiene 456 nm de longitud de onda?Según la Teoría electromagnética

c=

ν= 3×108 m/s

456 nm1×10−9 m

1 nm

=6.58 X 1014 Hz.

¿Cuál es la longitud de onda () en nm de la radiación que tiene una frecuencia de 2.20x109Hz?

c =

λ= c

ν=

3×108 m/s×1nm

1×10−9m2 .20×109 s−1

ƛ = 1.364 x 108 nm.

1.3.2.- Efecto Fotoeléctrico.

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En el tiempo en que Plank enunció su teoría había otro fenómeno que mantenía intrigados a los físicos, éste era conocido como el Efecto Fotoeléctrico.Los experimentos habían demostrado que ciertos metales cuando se exponen a una luz de determinada frecuencia, emiten electrones desde su superficie, sin embargo si la frecuencia se hacía más pequeña, llegaba el momento que el metal en el cual incidía la luz, dejaba de emitir electrones (a esa frecuencia se le llamó frecuencia umbral), de tal

manera que se concluía que el número de e- era proporcional a la intensidad de la luz, pero su energía no lo era. Por debajo de la frecuencia umbral no se emitían electrones, independientemente de cuan intensa era la luz.

Fig. 1.4

Diagrama del efecto fotoeléctrico. Los fotones incidentes son absorbidos por los electrones del medio dotándoles de energía suficiente para escapar de éste.Einstein explicó este fenómeno de una manera que los físicos clásicos nunca imaginaron.Sugirió que no debía pensarse en un rayo de luz en términos de ondas, sino que eran partículas a las que llamó: Fotones.

Según Einstein el efecto fotoeléctrico, es un fenómeno cuantizado, o sea un fotón es igual a un “cuanto” de Plank.Si es así entonces cada fotón debe tener una energía igual a la energía de Plank

E= hSi se utiliza luz de mayor frecuencia entonces

E= h= E.C.+ E.EE.C.= Energía cinética de los electrones emitidos

E.E.= Energía de enlace de e- del metal entoncesE.C.=h-E.E.

Cuando disminuye la frecuencia de la luz, el producto h de la ecuacióndisminuye y puede hacerlo hasta que h sea ligeramente menor que E.E. (frecuencia umbral). En ese momento dejará de haber movimiento de electrones Problema para resolver.- Un fotón tiene una longitud de onda de 624 nm. Calcular la energía del fotón.

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1.3.3.- Espectros de emisión y series espectrales.

Cuando se hace que la luz solar o la luz procedente de un foco eléctrico forme un rayo angosto y que dicho rayo pase a través de un prisma reflejándose en una pantalla se produce un arco iris de colores como el de la figura 4.

Fig. 1.5

Este arco iris se llama espectro continuo porque están presentes todas las longitudes de onda de la luz visible.

Sin embargo si la luz que pasa a través del prisma proviene de un gas como el hidrógeno o el vapor de sodio, no se ve el arco iris sino solamente unas cuantas líneas de colores, debido a la apariencia del espectro, se llama espectro lineal.

Como la luz es emitida por átomos que han sido energizados también se llama Espectro de Emisión Atómica o simplemente Espectro de Emisión.

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Fig.1.6

HIDROGENO ESPECTROS DE ABSORCIÓN Y DE EMISIÓN

SODIO ESPECTROS DE ABSORCIÓN Y DE EMISIÓN

Después de una serie de esfuerzos orientados a encontrar una relación matemática entre las líneas espectrales de un elemento, Johann J. Balmer en 1885 presentó la ecuación:

λ=

n12

n12−4 G

que describe las posiciones relativas de las líneas espectrales de los átomos de hidrógeno

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En la ecuación = longitud de ondan1= un número entero mayor de 2G= es una constante

Fig. 1.7

Posteriormente otros investigadores descubrieron en el hidrógeno, otras series espectrales semejantes en diferentes lugares del espectro electromagnético: Lyman encontró una serie en los rayos ultravioleta, Paschen encontró otra en los infrarrojos, Brackett y Pfund encontraron cada uno una serie en los rayos infrarrojos y Johannes Rydberg, en 1890 correlacionó todos estos trabajos mediante la ecuación:

1λ =

RH

n12−

RH

n22

ò

1λ=RH ( 1

n12− 1

n22 )

donde : n1= 1, 2, 3, 4. . . etc.

n2 = (n1+1), (n1+2), (n1+3),. . . etc.

= longitud de onda

RH = 109 737.31 ± 0.03 cm-1 la cual se llama constante de Rydberg para el hidrógeno.

fotón

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1.4.- Teoría atómica de Bohr.

La existencia de los espectros atómicos fue descubierta a fines del siglo XIX. A pesar de que en ese tiempo era posible realizar mediciones de las longitudes de onda de los espectros, nadie fue capaz de explicar porque razón se producían, sin embargo, había algo evidente, los elementos pesados producían espectros más pesados que los elementos más ligeros.

Niels Bohr un físico danés, fue el primero en formular una teoría atómica usando la noción de los niveles de energía de los electrones, para explicar los espectros atómicos.

Bohr utilizó el átomo de hidrógeno para explicar su teoría por ser el más sencillo. En ese tiempo los físicos creían que la atracción entre el núcleo (+) y el electrón (-) empujaba a éste hacia el centro, esto era contrarrestado por la velocidad de giro del electrón.

Contraviniendo esta suposición Bohr señaló que lo que realmente sucedía es que el electrón del hidrógeno solo podía permanecer en ciertas órbitas(a las que llamó niveles de energía) y que las líneas del espectro del hidrógeno se producían al pasar el electrón de una órbita de mayor a una de menor energía (E).

Esto llevó a pensar a Bohr en el átomo como un sistema planetario y que el electrón podía pasar de una órbita a otra dependiendo si absorbía o emitía energía, de modo que si el electrón se alejaba, su energía debía ser mayor, esto lo expresó Bohr con la siguiente ecuación:

En = −

RH

n2

en la cual:

RH = constante de Rydberg = 2.18 x 10-18 Joules

(como Bohr trabajaba con energía utilizó ese valor para RH)

n = número cuántico principal cuyo valor puede ser cualquier número entero positivo (1, 2, 3,4, . . . )

el signo negativo es convencional que sirve para indicar que la órbita de más baja energía es aquella en la que n =1 y la de más alta energía en la que n = ∞

También cuando n = 1 es el estado más estable del átomo y se le llama estado basal o fundamental.

Así que según estas afirmaciones Bohr describió al átomo según el siguiente diagrama.

Para que un e- pase de un nivel (n) mayor

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a otro de menor energía, necesita emitir

una cierta cantidad de ésta, que como ya

se viò anteriormente es igual a:

En = −

RH

n2

Esta es la energía de un fotón o sea un “cuanto”, luego E = h (la energía de Plank)La diferencia de energía emitida sería

∆E = Efinal – Einicial

luego Reacomodando por el signo y factorizando

∆E = RH 1 _ 1

ni2 nf2

(Observen la similitud con la ecuación de Rydberg)

Dado que en una transición (de mayor a menor nivel de energía), se produce una

emisión de Energía, por lo tanto se puede concluir que cuando se emite energía el:

n inicial > n final

y cuando se absorbe energía el

n inicial < n final

Ejemplos:

1.- ¿Cuál es la energía emitida o absorbida por un e- del átomo de hidrógeno si éste

sufre una transición desde ni= 5 a nf = 2?

Solución:

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∆E=RH

1

ni2− 1

n f2

ΔE = 2.18 x 10-18 joules 1 _ 1

52 22

∆E= - 4.58 x 10-19 joules

(el signo negativo nos indica un proceso de emisión)

2.- Calcular la longitud de onda () en manómetros del fotón emitido.

Solución:

Tenemos dos ecuaciones

c = √

E = h√

Para calcular la longitud de onda, se emite el signo negativo de la energía.

Tenemos entonces:

∆E= h√ óν= ΔE

h

de la primera ecuación ν= c

λ y sustituyendo en la anterior

cλ= ΔE

h ∴ λ=hc

ΔE

Sustituyendo valores:

= (3 x 108m/s) (6.63 x 10-34 JS)

4.58 x 10-19 J.

= 4.34 x 10-7m x 1 n m__

1x10-9

= 434 nm.

Si usáramos la ecuación de Rydberg para la longitud de onda tendríamos

1λ=RH ( 1

ni2− 1

n f2 )

1λ=109 , 737( 1

52−

1

22 )

20

1λ=−23 , 044 . 8cm−1

(desechamos el signo negativo)

= 4.34 x 10-5 cm. x 1 m

100 cm

= 4.34 x 10-7m. x 1 nm

1 x 10-9 m= 434 nm

1.5.- Ampliación de la teoría de Bohr, teoría de Sommerfeld.

En 1913 el físico danés Niels Bohr propuso unos postulados con los cuales ejemplificaba, un modelo planetario del átomo de hidrógeno

Estos son:1. Los ℮- en los átomos ocupan niveles discretos (discreto quiere decir que

presenta separaciones.2. Esos ℮- no irradian energía en forma continua como enunciaba la Teoría

Electromagnética de la materia.(Esta teoría niega la existencia de niveles de energía)

3. Los ℮- pueden alcanzar niveles de energía más altos por la absorción de cantidades fijas de energía.

4. Los ℮- que caen a niveles más bajos de energía emiten cantidades fijas de energía.

5. El momento angular de un ℮- en órbita es un múltiplo entero de h (h= constante de Plank) 2π

La Teoría de Bohr es válida para los átomos de un solo ℮- como H, H℮+. En cambio no explica el comportamiento de los átomos que tienen 2 o más ℮-.

Teoría de Sommerfeld.

En 1916 Sommerfeld indicó también la existencia de órbitas elípticas en los átomos.Estudios de los espectros que se llevaron a cabo con espectroscopios más precisos dieron cuenta de que las líneas espectrales como las que aparecen en las series de Balmer, no eran tan sencillas como se suponía. Estas líneas están compuestas a su vez de otras líneas de estructura más fina que sólo se pueden explicar por la presencia adicional de niveles de energía. Con objeto de aclarar este descubrimiento Sommerfeld indicó la existencia de órbitas elípticas y circulares a partir del segundo y en los demás altos niveles de energía.

Para poder describir cada uno de los niveles mayores de energía definió 2 números cuánticos:

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n: que designa los niveles principales de energía y es idéntico al número usado por Bohr .Es también usado en la ecuación de Rydberg o sea que tiene los valores de n

= 1, 2, 3, …. empezando por el nivel más cercano al núcleo.Su otro número cuántico al que llamó k indica el grado en que la órbita elíptica

se desvía de una circunferencia.Cuando k = n, la órbita es circular.

k

n

n = k

y cuando k= 0 la elipse a degenerado en una línea recta.Aceptando sólo valores enteros para k, puede verse que k tiene como límites k=1 y k=nPodemos fácilmente relacionar las ideas de Sommerfeld con éstos números

cuánticos si consideramos la elipse como una circunferencia deformada y suponemos que su eje mayor corresponde a su diámetro más grande y su eje menor a su diámetro más pequeño.

k kkkkn n

Si el número cuántico n es proporcional a la longitud del eje mayor y el número cuántico k es proporcional al eje menor tendremos una circunferencia cuando n = k, una recta cuando k = 0 y una elipse cuando n › k y k › 0.

El nivel n = 1 sólo puede tener una órbita, puesto que n = k = 1.Para el 2º nivel principal n = 2 y k sólo puede tener valores de 1 y 2Cuando n = 2 = k la órbita es circular, pero cuando n=2 y k=1, la órbita es

elíptica.

Siguiendo este razonamiento podemos ver que los principales niveles de energía están compuestos por subniveles y el número de éstos que forman un nivel principal es igual al número cuántico principal n. Este esquema proporciona el número exacto de estados de energía necesarios para explicar los espectros de líneas finas observadas.

La Teoría Atómica moderna exige la sustitución de k por el número cuántico l, donde l= n-k en secuencia, hasta llegar al valor límite (n-1). Así (n-1) es el valor máximo de l en cualquier nivel principal n. (ver la siguiente tabla:)

k

n

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Tabla No. 1.1

Relación entre los números cuánticos y la k de Sommerfeld.

n k l1 1 02 2 0

1 13 3 0

2 11 2

4 4 03 12 21 3

1.6.- Estructura Atómica.A partir de la Teoría de Bohr, se fueron explicando otras propiedades de los

átomos sobre las cuáles los físicos clásicos no obtenían resultados congruentes.

1.6.1. Principio de dualidad. En 1924 Louis de Broglie, expresó cuantitativamente la noción de que la materia

tiene un carácter dual, esto es, que puede actuar como onda y como partícula. Actualmente este principio sólo tiene significado para partículas muy pequeñas.

La relación entre la circunferencia de una órbita permitida 2r y la longitud de onda del electrón esta dada por:

2 r = n

de ésta relación y utilizando la ecuación de Einstein E = mc2 , la de la velocidad de la luz c = ν y la ecuación de Plank E = hν , dedujo las propiedades corpusculares y ondulatorias del electrón. Como la E = mc2 = hν , y de la ecuación de la velocidad de la luz , despejando la

frecuencia, queda ν= c

λ . Con todo esto podemos establecer la siguiente relación:

mc2=hν=hc

λ mc =

hλ de donde

λ= hmc

donde = longitud de onda de la partículah = constante de Plankm = masa de la partículac = velocidad de la partícula

Según esta proposición no solo el electrón tiene longitud de onda (), sino que también el fotón de luz tendrá una masa m.

1.6.2.-Principio de Incertidumbre de Heinsenberg.

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En la mecánica ondulatoria, el punto de vista donde puede encontrarse un electrón alrededor del núcleo, es muy diferente de la idea de las órbitas circulares imaginadas por Bohr.

Esto da lugar al llamado principio de incertidumbre de Heinsenberg, el cual manifiesta que si se intenta determinar al mismo tiempo la posición y la cantidad de movimiento de una partícula, las mediciones estarán sujetas a errores que se relacionan uno con otro, por la ecuación:

( Δx ) Δ (mv )≥ h

4 π

Esta ecuación expresa que el producto de la incertidumbre (Δx ) multiplicada

por la incertidumbre de su cantidad de movimiento Δ (mv ) debe ser mayor que ó igual a la constante de Plank dividida entre 4 π .

Lo que en realidad expresa esta observación, es que se está limitando la capacidad de conocer simultáneamente dónde está el electrón y a dónde se dirige. En su lugar, conduce a la probabilidad de encontrar al electrón en algún pequeño elemento de volumen en diversos lugares alrededor del núcleo.

1.6.3.-Ecuación de onda de Schröendinguer.

Sin duda, Bohr hizo una contribución significativa para la comprensión de los átomos y su sugerencia de que la energía de un electrón de un átomo está cuantizada permanece inalterada. Pero su teoría no proporciona una descripción completa del comportamiento electrónico de los átomos debido a lo cual los científicos de esa época se dieron a la tarea de encontrar una ecuación que pudiera describir el comportamiento y la energía de partículas submicroscópicas en general.

En 1926 Erwin Schöendinguer, formuló la tan buscada ecuación, utilizando una técnica matemática complicada:

δψ 2

δx2+ δψ 2

δy2+ δψ 2

δz2+ 8 πm

h2( E−V ) ψ=0

Desde luego la resolución de la ecuación anterior queda fuera de los propósitos de este texto, además de que no se cuenta con los prerrequisitos matemáticos para hacerlo.

1.6.4.- Significado físico de la función de Onda.

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Sin embargo se puede tratar de dar una explicación simplificada de la ecuación anterior.

Hay que destacar que para ésta ecuación Schöendinguer introdujo un concepto nuevo: el de Función de Onda que es una expresión matemática que describe la forma y/o el comportamiento de una onda. Cuando una función de onda es además el único valor obtenido al resolver la ecuación y representa una forma de onda continua, puede describir la onda de un electrón atómico. Una función de onda que describe un orbital atómico o Reempe (REGIÓN DE ESPACIO ENERGÉTICO DE MANIFESTACIÓN PROBABILÍSTICA ELECTRÓNICA) es necesariamente, una función de onda de un electrón.

Para el átomo de hidrógeno, una ecuación de onda puede expresarse como el producto de tres funciones θ, , R, las cuales pueden evaluarse independientemente.

Así para cualquier función de onda ψ tendremos:

ψ=Θ (θ )⋅Φ (φ )⋅R (r )

donde θ = expresión matemática de la ecuación de la densidad electrónica de la variación de la densidad electrónica conforme varía el ángulo θ.

= expresión matemática de la variación de la densidad electrónica conforme varía el ángulo .

R = expresión matemática de la densidad electrónica con relación a las diferentes distancias con que r se proyecta del núcleo atómico.Estas variables se refieren a un sistema de coordenadas polares que puedenrelacionarse con un sistema de coordenadas ortogonales, las cuales se muestran en la figura siguiente:

Fig. 1.8

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Solución de la ecuación de Onda y su significado físico: orbitales s, p, d, f.

Una ecuación más significativa de la función de onda, es el cuadrado de dicha función,

o sea ψ2

, con ésta basándose en las relaciones entre las variables x, y, z (coordenadas ortogonales y las variables) de las coordenadas polares que son:

x = r sen θ cos y = r sen θ sen

z = r cos θ

Encontramos que cuando se hace la gráfica del cuadrado de una onda electrónica como función de r, θ y se forma una onda estacionaria tridimensional y se considera el electrón confinado dentro de esta onda, por lo tanto que la probabilidad de encontrar ahí un electrón se considera como cierta.

Nota: A las regiones que se forman con las gráficas de se le llamó REEMPES como ya mencionamos anteriormente, pero se les denomina orbitales, como un reconocimiento al trabajo de Bohr que llamó órbitas a los lugares donde se mueven los electrones.

Para ver como la visión del átomo cambió con la mecánica cuántica analizaremos el átomo más sencillo, el de hidrógeno.

Cuando se resuelve la ecuación de Schöendinguer para éste átomo, proporciona dos tipos de información: especifica los posibles estados energéticos que el electrón puede ocupar e identifica las correspondientes funciones de onda ψ del electrón asociadas con cada estado energético. Estos estados energéticos se caracterizan por un conjunto de números cuánticos:

(n) número cuántico principal. (l) número cuántico de momento angular. (mt) número cuántico magnético.

(ms) número quántico por spin (giro)

La probabilidad de encontrar un electrón en una región, está dada por ψ2

(cuadrado de la función de onda). Por lo tanto una vez que se conocen los valores de ψ y las

energías, se puede calcular ψ2

y construir una visión completa del átomo de hidrógeno.

El mundo de la química implica sistemas considerablemente más complejos que el átomo de hidrógeno. Sin embargo la ecuación de Schöendinguer no se puede resolver exactamente para átomos polielectrónicos (con muchos electrones) ya que resulta matemáticamente muy compleja.Parecería entonces que estamos en la misma situación de Bohr, sin embargo los químicos y físicos utilizando métodos de aproximación, usando el comportamiento de

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los electrones del hidrógeno han logrado explicar el comportamiento de los electrones en los átomos más complejos, obteniendo resultados de una gran congruencia.

Dado que el átomo de hidrógeno sirve como punto de partida o modelo para todos los otros átomos, necesitamos tener una idea clara de la descripción de la mecánica cuántica de este sistema. La solución de la ecuación de Schöendinguer muestra que las energías que un electrón puede poseer en el átomo de hidrógeno están dadas por la misma expresión obtenida por Niels Bohr.

Ambas teorías, la de Bohr y la de la mecánica cuántica, muestran que la energía de un electrón en el átomo de hidrógeno, está cuantizada. Difieren sin embargo, en la descripción del comportamiento de los electrones con respecto al núcleo.

Como el electrón no tiene una posición bien definida en el átomo, es conveniente utilizar términos como Densidad Electrónica, Nube de Carga Electrónica ó simplemente nube de carga para representar el concepto de probabilidad.Básicamente, la densidad electrónica proporciona la probabilidad de que un electrón se encuentre en una región particular de un átomo. Las regiones con alta densidad electrónica representan una probabilidad alta de localizar al electrón, mientras que lo contrario es válido para regiones de baja densidad electrónica.

1.6.5.- Números Cuánticos.

La mecánica cuántica establece que se necesitan tres números cuánticos para describir la distribución de los electrones en los átomos. Estos números se obtienen de la solución matemática de la ecuación de Schöendinguer para el átomo de hidrógeno.

El número cuántico principal (n)

Equivale a los niveles de energía del átomo de Bohr y puede tener los valores enteros 1, 2, 3,. . . (n)

El número cuántico principal también se relaciona con la distancia promedio del electrón al núcleo en un orbital particular.

A mayor valor de n, mayor es la distancia promedio del electrón en el orbital con respecto al núcleo y en consecuencia mayor (y menos estable) es el orbital.

El número cuántico de momento angular ( l )

Indica la forma de los orbitales. Los valores de l dependen del número cuántico principal n. Para un valor dado n, l tiene todos los valores enteros posibles de desde cero hasta (n-1).

Si n=1, hay un solo valor de l este es l=0, si n=2, hay dos valores de l dados por 0 y (n-1), estos son: 0, 1, si n=3 los valores de l serán: 0, 1, 2. El valor de l en general se designa por las letras s, p, d,. . . como sigue:

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Valor de l 0 1 2 3 4 5

Nombre del orbital s p d f g h

Así si l =0 se tiene un orbital s, si l = 1, se tiene un orbital s y un orbital p y así sucesivamente.

La secuencia de las letras (s, p, d, f,) se debe a que los físicos que estudiaron los espectros de emisión atómica, trataron de relacionar las líneas del espectro observadas con los estados de energía específicos implicados en las transiciones.

Notaron que algunas de las líneas eran agudas (sharp en inglés), algunas eran dispersas o difusas (d) y algunas eran muy fuertes y se referían a ellas como principales (p).Después de la letra d la designación del orbital sigue un orden alfabético empezando con la letra f.

Un conjunto de orbitales con el mismo valor de n a menudo recibe el nombre de capa o nivel.

Uno o más orbitales con los mismos valores de n se llaman subcapa o subnivel.

Por ejemplo, si la capa o nivel n = 2, está compuesta por dos subcapas, l = 0 y 1, estas subcapas se llaman 2s y 2p.

El número cuántico magnético (mt).

Este describe la orientación del orbital en el espacio. Dentro de una subcapa, el valor de mt depende del valor del número (l). Para cierto valor de (l) hay (2 l +1) valores enteros de mt como se muestra:

-l, 0, l

Si l =0 entonces mt = 0, si l = 1, entonces hay 2 (1) + 1, o sea 3 valores de mt

-1, 0, +1.

Si l = 2, hay (2x2) + 1 cinco valores mt -2, -1, 0, + 1, + 2. El número de valores de mt indica el número de orbitales de una subcapa con un valor específico de l.

El número cuántico por spin-electrónico (mS)

Los experimentos con los espectros de emisión del átomo de hidrógeno indican la necesidad de un cuarto número para describir el electrón de un átomo, los experimentos muestran que las líneas del espectro de emisión se pueden desdoblar mediante la aplicación de un campo magnético eterno. La única explicación que los físicos pudieron dar a estos resultados es que los electrones actúan como pequeños

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imanes. Si se piensa que lo electrones giran sobre su propio eje como lo hace la tierra, se pueden explicar sus propiedades magnéticas.

De acuerdo con la Teoría Electromagnética, una carga que gira genera un campo electromagnético y es este movimiento lo que hace que el electrón se comporte como un pequeño imán.

La manera de representar este número cuántico es : + ½, - ½ ó ↑ ↓.

El hecho de que tengan signos (o sentidos opuestos) lo veremos mas adelante.

Orbitales Atomicos.

Los números quánticos nos permiten analizar los orbitales atómicos del hidrógeno y de los átomos polielectrònicos, esto lo podemos expresar en la siguiente tabla:

Tabla No. 1.2

RELACION ENTRE LOS NUMEROS CUANTICOS Y LOS ORBITALES ATOMICOS

n l mt Num. de orbitales Designación de los Orbitales

atómicos

1 0 0 1 1s

2 0

1

1

-1, 0, 1

1

3

2s

2px, 2py, 2pz

3 0

1

2

0

-1, 0, 1

-2, -1, 0, 1, 2

1

3

5

3s

3px, 3py, 3pz

3dxy, 3dyz, 3dxz,

3 dx2− y 2 , 3 dz

2

Orbitales s.-La mayoría de los estudiantes se preguntan ¿Cuáles son las formas de los orbitales? La verdad es que un orbital no tiene una forma bien definida, porque la

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función de onda que caracteriza a un orbital se extiende desde el núcleo hasta el infinito, sin embargo, para propósitos didácticos es conveniente pensar en los orbitales con formas definidas en particular cuando se estudia la formación de enlaces químicos entre átomos.

Aunque en principio un electrón se puede encontrar en cualquier lugar, la mayor parte del tiempo está cercano al núcleo, moviéndose de tal forma que crea una nube o densidad electrónica. En las siguientes figuras 1.8 y 1.9 se muestran una gráfica de la densidad electrónica y diagramas de los contornos (formas) de los orbitales (s).

Fig.1. 9

Fig. 1. 10

En las figuras se puede observar que es posible dibujar un diagrama de contorno límite que englobe un alto porcentaje de la densidad electrónica del orbital .Todos los

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orbitales s tienen forma esférica `pero difieren en tamaño al aumentar su número quántico principal n.

Orbitales p.-debemos tener presente que los orbitales p comienzan con el número quántico principal n = 2 y los valores de l son 0 y 1, como consecuencia cuando l tiene el valor de 1, el número quántico magnético m t tiene los valores de -1, 0, 1, por lo tanto, hay 3 orbitales 2 p que son: 2px, 2 py, 2 pz, la letra de los subíndices indican las orientaciones de los orbitales p. Estos tres orbitales son idénticos en tamaño, forma y energía, solo difieren en su orientación siendo perpendiculares entre sí. Ver fig. 10.

Fig. 1.11

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Orbitales d y otros de mayor energía.-Cuando el número quántico l = 2, hay cinco valores de mt que corresponden a cinco orbítales d .El valor mínimo del número quántico n para los orbitales d es 3, los orbitales d se muestran en la sig, fig. Observe su orientación y la forma de designarlos.

Fig. 1.12

Todos los orbitales d son idénticos en energía.

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Los orbitales f son importantes para explicar el comportamiento de elementos con número atómico mayor de 57, aunque su forma es difícil de representar.

Fig.1.13

Orbitales f

Los orbitales f tienen formas aún más exóticas, que se pueden derivar de añadir un plano nodal a las formas de los orbitales d. Presentan n-4 nodos radiales.

DIAGRAMA GENERAL DE ORBITALES.

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Fig.1.14

Fig. 1.15

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ESTRUCTURA DE UN ATOMO CONSIDERANDO HASTA SU ORBITAL 3s