CAPITULO 1

FLUJO DE FLUIDOS EN EL MEDIO POROSO

1.1 Introducción

En este capítulo inicial sobre el flujo de fluidos en los medios porosos, se

comienza con una discusión sobre las ecuaciones diferenciales que son más

frecuentemente usadas para modelar el flujo en estado inestable. Simples

bosquejos de estas ecuaciones son suministradas en este texto, los más

tediosos detalles matemáticos son dados en el apéndice A, para el instructor o

el estudiante que desee profundizar más sus conocimientos. Las ecuaciones

son seguidas por una discusión de algunas de las más útiles soluciones de

estas ecuaciones; con énfasis en la solución integral-exponencial que describe

el flujo radial en estado inestable. Una discusión sobre las variables

adimensionales (apéndice B) puede ser útil para algunos lectores.

El capítulo concluye con una discusión sobre el concepto de radio de

investigación y el principio de superposición. La superposición ilustrada en

yacimientos infinitos con múltiples pozos, es usada para simular los límites

particulares del yacimiento y las historias de producción a tasas variables. Una

alternativa aproximada a la superposición, "tiempo de seudoproducción " de

Horner, completa esta discusión.

1.2 El modelo del yacimiento ideal

Para desarrollar técnicas de análisis y diseño para pruebas de pozos, primero

se hacen varias suposiciones simples a cerca del yacimiento y el pozo que se

está modelando. Naturalmente no se harán más suposiciones simples, que las

que sean absolutamente necesarias para obtener soluciones sencillas y útiles

para las ecuaciones que describen nuestra situación - pero obviamente no se

pueden hacer unas pocas suposiciones. Estas suposiciones son presentadas

como necesarias, para combinar (1) la ley de la conservación de la masa, (2)

la ley de Darcy, y (3) la ecuación de estado para alcanzar los objetivos. Este

trabajo es solo mencionado en este capítulo; los detalles son suministrados en

el apéndice A y las referencias.

Se considera flujo radial hacia un pozo en un yacimiento circular. Si se

combina la ley de conservación de la masa y la ley de Darcy para el flujo

isotérmico de fluidos de baja y constante compresibilidad (un modelo

altamente satisfactorio para flujo monofásico de yacimiento de aceite), se

obtiene una ecuación diferencial parcial simplificada como

Se supone que la compresibilidad, c, es baja e independiente de la presión; la

permeabilidad, k, es constante e isotrópica; la viscosidad, μ es independiente

de la presión; la porosidad, φ es constante; y que ciertos términos en la

ecuación diferencial básicos (que involucran los gradientes de presión al

cuadrado) son despreciables. Esta ecuación es llamada la ecuación de

difusividad; el término 0,000264k/φμc es conocido con el nombre de

difusividad hidráulica y frecuentemente su símbolo esta dado por η.

La ecuación 1.1 esta escrita en unidades de campo. La presión, p, en libras

por pulgada cuadrada (psi); la distancia, r, en pies; la porosidad, φ, es una

t

p

0.000264k

c =

r

p

r

1 +

r

p2

2

(1.1)

fracción; la viscosidad, μ , en centipoises; la compresibilidad, c, en volumen por

volumen por psi [ c=(1/ρ) (dρ/dp) ]; la permeabilidad, k , en milidarcis; el

tiempo, t , en horas; y la difusividad hidráulica, η , tiene unidades de pies

cuadrados por hora.

Una ecuación similar es desarrollada para el flujo radial de un gas no ideal;

Donde z es el factor de desviación del gas.

Para flujo simultáneo de aceite, gas, y agua, la ecuación se puede reescribir

como:

donde ct es la compresibilidad total del sistema,

y la mobilidad total λt es la suma de las mobilidades de las fases individuales:

En la ecuación 1.4, So y co se refieren a la saturación y compresibilidad del

aceite, Sw y cw a la del agua, Sg y cg a la del gas; y cf es la compresibilidad de

la formación. En la ecuación 1.5, ko es la permeabilidad efectiva al aceite en

presencia de las otras fases, y μo es la viscosidad del aceite; kg y μg se refieren

a la fase gas; y μw y kw se refieren a la fase agua.

Debido a que la formación es considerada compresible (el volumen poroso

disminuye a medida que disminuye la presión), la porosidad no es una

constante en la ecuación 1.3 como se supuso en las ecuaciones 1.1 y 1.2.

z

p

t0.000264k =

r

p r

z

p

rr

1

(1.2)

t

p

0.000264

c =

r

pr

rr

1

t

t

(1.3)

c + cS + cS + cS = c fggwwoot (1.4)

w

w

g

g

o

ot

k +

k +

k = (1.5)

1.3 Solución a la Ecuación de Difusividad

En esta sección se estudian las soluciones más importantes de la ecuación de

difusividad (sección 1.2) que describen el flujo de un líquido ligeramente

compresible en un medio poroso.

También se harán algunos comentarios sobre las soluciones a las ecuaciones

1.2 y 1.3.

Existen cuatro soluciones a la ecuación 1.1 que son particularmente útiles en

pruebas de pozos: la solución para un yacimiento cilíndrico limitado; la solución

para un yacimiento que actúa como infinito con un pozo considerado como

línea fuente y con radio en la cara del pozo igual a cero; la solución de estado

seudoestable; y la solución que incluye almacenamiento en la cara del pozo

para un pozo en un yacimiento infinito. Antes de entrar a discutir estas

soluciones es importante señalar las suposiciones que fueron necesarias para

desarrollar la ecuación 1.1 : medio poroso homogéneo e isotrópico de espesor

uniforme; las propiedades de la roca y el fluido son independientes de la

presión; bajos gradientes de presión; flujo radial; aplicabilidad de la ley de

Darcy (algunas veces llamada flujo laminar); y fuerza de gravedad

despreciables.

Además, otras suposiciones serán presentadas para obtener la solución a la

ecuación 1.1.

Yacimiento Cilíndrico limitado

La solución de la ecuación 1.1 requiere que se especifiquen dos condiciones

límites y una condición inicial. Una solución real y práctica es obtenida si se

supone que (1) el pozo produce a tasa constante, qB, en la cara del pozo ( q

se refiere a la tasa de flujo en STB/D a condiciones de superficie, y B es el

factor volumétrico de formación en RB/STB ); (2) el pozo con radio, rw, esta

situado en el centro en un yacimiento cilíndrico de radio re, ( no hay flujo a

través de este límite externo) y (3) antes de comenzar la producción, el

yacimiento esta a presión uniforme, pi. La forma más usada de la solución

deseada relaciona la presión fluyendo, pwf, el tiempo y las propiedades del

fluido y la roca. La solución es

Donde, por eficiencia y conveniencia, se ha introducido las variables

adimensionales

reD= re/rw

Y tD= 0.000264kt/μφctr2w

Donde el αn son las raíces de

J1 (αnreD) Y1(αn) - J1(αn)Y1(αnreD)=0;

y donde J1 y Y1 son las funciones de Bessel (La compresibilidad total ct, es

usada en todas las ecuaciones en este capítulo debido a que aunque las

formaciones producen una sola fase de aceite contienen una fase de agua

inmóvil y compresibilidad de la formación).

El lector no familiarizado con las funciones de Bessel no debe alarmarse con

esta ecuación. No será necesario utilizar la ecuación 1.6 en su completa forma

})](J - )r(J[

)r(Je2 +

4

3 - r +

r

t2{

kh

qB141.2 - p = p

n1

2eDn1

2

n

2

eDn1

2t-

=1n

eD

eD

2

D

iwf

Dn2

ln

(1.6)

para calcular los valores de pwf; en lugar, se usarán formas limitadas de la

solución en la mayoría de cómputos. El hecho más importante acerca de la

ecuación 1.6 es que bajo las suposiciones hechas en su desarrollo, es una

solución exacta para la ecuación 1.1. Algunas veces es llamada solución de

tasa terminal constante de Van Everdingen - Hurst.

Yacimiento cilíndrico infinito con un pozo línea fuente

Suponiendo que (1) un pozo produce a rata constante, qB; (2) el pozo tiene

radio rw igual a cero; (3) el yacimiento está a presión uniforme, pi, antes que la

producción comience; y (4) el pozo tiene un área de drenaje infinita ( es decir

que ppi cuando r00). Bajo estas condiciones, la solución a la ecuación 1.l

es

Donde los nuevos símbolos son p, la presión (psi) a la distancia r (pies) del

pozo al tiempo t (horas), y

la función integral exponencial.

Antes de examinar las propiedades e implicaciones de la ecuación 1.7, se

debe responder una pregunta lógica: Puesto que la ecuación 1.6 es una

solución exacta y la ecuación 1.7 claramente esta basada en condiciones

idealizadas de frontera, ¿cuándo (casi siempre) las presiones son calculadas

al radio rw a partir de la ecuación 1.7, son satisfactoriamente aproximadas a las

presiones calculadas a partir de la ecuación 1.6? El análisis de estas

soluciones muestran que la solución a la función Ei es una exacta

.

kt

rc948- E

kh

qB70.6 + p = p

2t

ii

(1.7)

duu

e- = Ei(-x)

-u

x

aproximación a la solución más exacta para tiempos que estén entre 3.79x105

φμctrw2 /k < t < 948 φμcre

2 /k Para tiempos menores que 3.79x10

5 φμctrw

2 / k la

suposición de que el tamaño del pozo es cero (es decir, se supone que el pozo

es una línea fuente) limita la aproximación de la ecuación; a tiempos más

grandes que 948 φμctre2 /k los límites del yacimiento comienzan a afectar la

distribución de presión en el yacimiento, así que el yacimiento no actúa por

mucho tiempo como infinito.

Una simplificación adicional de la solución a la ecuación de flujo es posible:

para x < 0.02, Ei(-x) puede ser aproximada con un error menor que el 0.6% por

Para evaluar la función Ei se usará la Tabla 1.1 para 0.02 < x ≤10.9. Para x

≤ x > 10.9, Ei(-x) puede ser

considerado cero para aplicaciones en pruebas de pozo.

En la práctica se encontrará que la mayoría de los pozos ha reducido la

permeabilidad (dañada) cerca a la cara del pozo como resultado de las

operaciones de perforación o completamiento.

Muchos otros pozos son estimulados por acidificación o fracturamiento

hidráulico; la ecuación 1,7 falla al tratar de modelar dichos pozos ya que su

derivación parte de la suposición explícita de permeabilidad uniforme a través

de toda su área de drenaje, incluyendo la cara del pozo. Hawkins plantea que

si la zona dañada o estimulada es considerada equivalente a la zona alterada

de permeabilidad uniforme ( ks ) para un radio equivalente ( rs ), la caída

adicional de presión a través de esta zona ( Δps ) puede ser modelada por la

ecuación de flujo radial en estado estable (ver fig.1.1). Asi,

(1.781x) = Ei(-x) ln

La ecuación 1.9 simplificada establece que la caída de presión en la zona

alterada es inversamente proporcional a ks y k y una corrección a la caída de

presión en esta región (la cual supone la misma permeabilidad, k, en el resto

del yacimiento) se debe realizar. Combinando las ecuaciones 1.7 y 1.9, se

halla que la caída total en la cara del pozo es

Para r = rw el valor numérico de la función Ei es suficientemente pequeño

después de un espacio corto de tiempo; por esta razón se puede usar la

aproximación logarítmica; así, el descenso es

Es conveniente definir un factor daño, s, en términos de las propiedades de la

zona alterada:

)r/r(kh

qB141.2 - )r/r(

hk

qB141.2 = p wsws

ss

lnln

)r/r( - k

k

kh

qB 141.2 = ws

s

ln1

(1.9)

r

r1 -

k

k2 -

kh

rc948-Ei

kh

qB70.6 - =

p + kt

rc948-Ei

kh

qB 70.6- = p- p

w

s

s

2wt

s

2wt

wfi

ln

r

r

k

k2-

kt

rc1688

kh

qB 70.6- = p - p

w

s

s

2wt

wfilnln

r

r1-

k

k = s

w

s

s

ln (1.10)

Así, el descenso de presión puede calcularse:

La ecuación 1.10 suministra alguna idea en el significado físico del signo del

factor daño. Si un pozo esta dañado (ks < k), será positivo y mayor el contraste

entre ks y k y a mayor profundidad en la formación el daño aumenta y s toma

un mayor valor numérico. No hay límite superior para s. Algunos pozos

nuevamente perforados no fluirán antes de la estimulación; para estos pozos,

k≈0 y s00. Si un pozo está estimulado (ks > k) será negativo, y más profunda

la estimulación, más grande el valor numérico de s. Raramente un pozo

estimulado tiene un factor daño menor que -7 o -8, y tales factores aumentan

solamente para pozos con fracturas hidráulicas profundas y altamente

conductivas. Se observa finalmente que, si un pozo no esta dañado o

estimulado (k = ks), s=0. Se previene al lector que la ecuación 1.10 es mejor

aplicada cualitativamente; los pozos reales raramente podrán ser

caracterizados exactamente por un modelo simplificado.

Antes de realizar la discusión del factor daño, se debe puntualizar que una

zona alterada cercana a un pozo particular afecta solamente la presión

cercana al pozo; - es decir, la presión en la formación no alterada lejos del

pozo no es afectada por la existencia de la zona alterada. Dicho de otra forma,

se usa la ecuación 1.11 para calcular presiones en la cara de la arena de un

pozo con una zona alterada, pero se utiliza la ecuación 1.7 más allá de la zona

alterada de la formación que rodea el pozo. Se ha presentado ecuaciones no

sencillas que pueden ser usadas para calcular presiones para radios, r, tal que

rw < r < rs, pero esto no presenta dificultades en el análisis de pruebas de pozo.

Ejemplo 1.1 - Cálculos de presiones más allá de la cara del pozo usando

la solución de la función Ei

2s-

kt

rcl688

kh

qB 70.6- =p-p

2wt

wfi

ln (1.11)

Problema. Un pozo y un yacimiento tienen las siguientes características: El

pozo esta produciendo solamente aceite; a una tasa constante de 20 STB/D.

Los datos que describen el pozo y la formación son

cp, 0.72 =

md, 0.1 = k

i sp 101.5x = c-1-5

t

i, sp 3000 = pi

pies, 3000 = re

pies, 0.5 = rw

RB/STB, 1.475 = Bo

pies, 150 = h

y0.23, =

0. = s

Calcule la presión del yacimiento al radio de 1 pie después de 3 horas de

producción; calcule, luego, la presión al radio de 10 y 100 pies después de 3

horas de producción.

Solución. La función Ei no es una solución aproximada a la ecuación de flujo

hasta que t > 3.79x105 φμctrw

2 /k. Por consiguiente,

72))(0.23)(0.10[3.79x = k

rc 103.79x 5w

2

t5

3horas = t < 2.35 = ]/(0.1)))(0.510(1.5x2-5 .

Así, se puede usar la ecuación 1.7 con aproximación satisfactoria si el

yacimiento está actuando todavía como infinito en este tiempo. El yacimiento

actuará como un yacimiento infinito hasta t > 948 φμcre2 /k . Por lo

tanto,

211900 = horas.

Así, para tiempos menores que 211900 horas, se puede usar la ecuación 1.7.

En el radio de 1 pie,

kt

rc948-Ei

kh

qB70.6 + p = p

2t

i

(0.1)(3)

72)(1.475)(0.(70.6)(20) + 3000 =

(0.1)(3)

))(1105x)(0.72)(1.(948)(0.23-Ei

2-5

.007849)(100)Ei(-0 + 3000 = 18

.007849)][(1.781)(0100 + 3000 = ln

2573 = psi

Para el radio de 10 pies,

849)100Ei(-0.7 + 3000 =

18)(100)(-0.3 + 3000 =

2968 = psi.

En este cálculo, se halla el valor de la función Ei de la Tabla 1.1. Note, como

se indica en la tabla, que es una cantidad negativa.

/0.1(3000)5)-5E)(0.72)(1.(948)(0.23 = k

rc948 2et

2

(0.1)(3)

))(10105x)(0.72)(1.(948)(0.23-100Ei + 3000 = p

2-5

Para un radio de 100 pies,

(0.1)(3)

))(100105x)(0.72)(1.(948)(0.23-100Ei + 3000 = p

2-5

49)100Ei(-78. + 3000 =

3000 = psi.

Por consiguiente se observa que para un valor numérico de 78.49, la función

Ei es esencialmente cero.

Solución estado seudoestable. Ahora se discute la próxima solución a la

ecuación radial de difusividad que se usa frecuentemente en esta introducción

al análisis de pruebas de pozos. Actualmente, esta solución (solución estado

seudoestable) no es nueva. Simplemente es una forma limitante de la

ecuación 1.6 la cual describe el comportamiento de la presión con el tiempo

para un pozo centrado en un yacimiento cilíndrico de radio re. La forma

limitante de interés es aquella la cual es válida para tiempos extensos, de tal

forma que la sumatoria que involucra funciones exponenciales y de Bessel

son despreciables; después de este tiempo (t > 948 φμcre2 /k)

o

Observe que durante este período de tiempo se encuentra, por diferenciación

de la ecuación 1.12,

4

3 - rln +

r

t2

kh

qbμ141.4 - p = p eD

2eD

D

iwf

4

3 -

r

rln +

rcφμ

kt0.000527

kh

qBμ141.2 - p = p

w

e

2et

iwf (1.12)

rhc

0.0744qB- =

t

p

2et

wf

Ya que el volumen poroso del yacimiento, lleno de líquido Vp (pies cúbicos), es

,hr = V e

2

p Entonces

Así, durante este período de tiempo, la tasa de declinación de presión es

inversamente proporcional al volumen poroso llenado por el líquido, Vp. Este

resultado lleva a una forma de pruebas de pozo algunas veces llamadas

pruebas límites de yacimiento las cuales buscan determinar el tamaño del

yacimiento a partir del descenso de presión en la cara del pozo con el tiempo.

Otra forma de la ecuación 1.12 es útil para algunas aplicaciones. Esto

involucra reemplazar la presión original del yacimiento, pi, con la presión

promedio, p dentro del volumen de drenaje del pozo.

La presión promedia volumétrica dentro del volumen de drenaje del pozo

puede hallarse de un balance de material. La caída de presión )p - p(i

resultante de remover qB (RB/D) de fluido para t horas [un volumen total

removido 5.615 qB(t/24) pies cúbicos] es

Sustituyendo en la ecuación 1.12,

Vc

0.234qB- =

t

p

pt

wf

(1.13)

rhc

0.0744qBt =

)hr(c

24)5.615qB(t/=

Vc

V= p-p

2et

2ett

i

(1.14)

Las ecuaciones 1.12 y 1.15 serán más útiles en la práctica si incluyen un

factor de daño para tener en cuenta el hecho de que la mayoría de los pozos o

están dañados o estimulados. Por ejemplo, en la ecuación 1.15,

y

Además, se define una permeabilidad promedio, KJ, como

4

3 -

r

r

kh

qB141.2 -

rhc

0.0744qBt -

rhc

0.0744qBt + p = p

w

e

2et

2et

wf

ln

4

3 -

r

r

kh

qB141.2 = p - p

w

e

wfln

(1.15)

,)p(+4

3-

r

r

kh

qB141.2 = p-p

sw

e

wf

ln

s+

4

3-

r

r

kh

qB141.2 = p-p

w

e

wfln

(1.16)

s+

4

3-

r

r+

rc

0.000527kt

kh

qB141.2 = p-p

w

e

2et

wfiln

(1.17)

4

3-

r

r

hk

qB141.2 = p - p

w

e

Jwf

ln

de la cual

Esta permeabilidad promedio, kJ, prueba tener considerable valor en el

análisis de pruebas de pozos, tal como se verá más tarde. Observe que para

un pozo dañado, la permeabilidad promedio kJ es menor que la verdadera,

permeabilidad de la formación k; en efecto, estas cantidades son iguales

solamente cuando el factor daño, s, es cero. Algunas veces se estima la

permeabilidad de un pozo de medidas del índice de productividad (IP), y desde

luego el índice de productividad, J (STB/D/psi), de un pozo de aceite se define

como

Este método no necesariamente suministra un buen estimativo de la

permeabilidad de la formación, k, Así, hay necesidad para un significado más

completo de la caracterización de un pozo productor que excluya el uso de la

información IP.

Ejemplo 1.2 -Análisis de pruebas pozos a partir del índice de

productividad (IP).

Problema. Un pozo produce 100 STB/D de aceite a una presión de fondo

fluyendo (BHP) de 1500 psi. Un estudio de presiones reciente muestra que la

presión promedio del yacimiento es 2000 psi. Los registros de pozo indican

, s+ 4

3 -

r

r

kh

qB141.2 =

w

e

ln

s+

4

3 -

r

r/

4

3 -

r

rk = k

w

e

w

ej lnln (1.18)

4

3 -

r

r141.2B

hk =

p - p

q = J

w

e

j

wf ln

(1.19)

una arena con un espesor neto de 10 pies. El pozo drena un área con un radio

de drenaje, re, de 1000 pies; el radio en la cara del pozo es 0.25 pies. Las

muestras de fluidos indican que, a la actual presión del yacimiento, la

viscosidad del aceite es 0.5 cp y el factor volumétrico de formación es 1.5

RB/STB.

1. Estimar el índice de productividad para el pozo probado.

2. Estimar la permeabilidad de la formación a partir de los datos.

3. Datos de corazón del pozo indican una permeabilidad efectiva al aceite de

50 md. Esto implica que el pozo esta dañado o estimulado? Cuál es el factor

daño aparente?

Solución.

1. Para estimar el índice de productividad, se usa la ecuación 1.19:

1500)-(2000

100 =

p - p

q = J

wf

D-i sp STB/0.2 =

2. No hay suficiente información para estimar la permeabilidad; se puede

calcular la permeabilidad promedio, KJ, solamente, la cual no es

necesariamente una buena aproximación de la permeabilidad de la formación,

K. De la ecuación 1.19,

h

4

3 -

r

r141.2JB

= kw

e

J

ln

h

0.75 - 0.25

10005)2)(1.5)(0.(141.2)(0.

=

ln

md. 16 =

3. Los datos de corazón generalmente suministran un mejor estimativo de la

permeabilidad de la formación que las permeabilidades derivadas a partir del

índice de productividad, particularmente para pozos altamente dañados.

Debido a que los corazones indican una permeabilidad de 50 md, se concluye

que el pozo está dañado. La ecuación 1.18 presenta un método para estimar

el factor daño, s:

4

3 -

r

r

k

k = s

w

e

J

ln

0.75 -

0.25

1000

16

50 = ln 16. = 33

Ecuaciones de flujo para geometrías generalizadas del yacimiento

La ecuación 1.16 está limitada a un pozo localizado en el centro de un área de

drenaje circular. Una ecuación similar modela el flujo en estado seudoestable

en formas de yacimiento más generales:

Donde

A = Área de drenaje, pies cuadrados, y

CA = Factor de forma para una forma de área de drenaje y localización del

pozo específicas, adimensional.

Los valores de CA son dados en la Tabla 1.2; además la explicación de la

fuente de estos valores de CA son dados en el capítulo 2.

El índice de productividad, J, puede ser expresado para una geometría de área

de drenaje general como

Otras constantes numéricas son tabuladas en la Tabla 1.2 para permitir el

cálculo de (1) el máximo tiempo transcurrido durante el cual el yacimiento

actúa como infinito (así que la solución función Ei puede ser usada); (2) el

tiempo requerido para que la solución del estado seudoestable prediga la

s+

4

3 -

rC

10.06A

2

1

kh

qB141.2 = p - p

2A w

wfln

(1.20)

s+

4

3 -

rC

10.06A

2

1B

0.00708kh =

p - p

q = J

w

2

A

wfln

(1.21)

caída de presión dentro de una exactitud del 1%; y (3) el tiempo requerido para

que la solución del estado seudoestable sea exacta.

Para un yacimiento de geometría dada, el tiempo máximo en el que el

yacimiento actúa como infinito puede ser determinado usando la entrada en la

columna "Use la solución del sistema infinito con un error menor del 1% para

tDA <. " Puesto que tDA = 0.000264kt/φμctA esto significa que el tiempo en

horas es calculado de

El tiempo requerido para la ecuación de estado seudo estable con una

aproximación del 1% es hallado entrando en el encabezamiento de la columna

"Error menor que el 1% para tDA > " y la relación

Finalmente, el tiempo requerido para que la ecuación en estado seudoestable

sea exacto se halla entrando en la columna " Para exacta tDA > ".

Es útil una descripción gráfica de los regímenes de flujo que ocurre en rangos

de tiempo diferentes. Las figuras 1.2 y 1.3 muestran la BHP, pwf, en un pozo

fluyendo a tasa constante graficado como una función de tiempo en escalas

logarítmicas y lineales.

En la región transitoria, el yacimiento está actuando como infinito, y es

modelado por la ecuación 1.11, la cual implica que pwf es una función lineal de

log t. En la región de estado seudoestable, el yacimiento es modelado por la

0.000264k

tAc<t DAt

0.000264k

tAc>t DAt

ecuación 1.20 en el caso general o las ecuaciones 1.15 y 1.12 en el caso

especial de un pozo localizado en el centro en un yacimiento cilíndrico. La

ecuación 1.12 muestra la relación lineal entre pwf y t durante el estado

seudoestable. Esta relación lineal también existe en yacimientos de

geometrías generalizadas.

Entre los tiempos del final de la región transitoria y el comienzo de la región de

estado seudoestable está la región de transición, algunas veces llamada

región transitoria tardía, como en las figuras 1.2 y 1.3. Una ecuación simple no

es disponible para predecir la relación entre BHP y el tiempo en esta región.

Esta región es pequeña (o, para propósitos prácticos es inexistente) para

pozos centrados en áreas de drenaje circulares, cuadradas o hexagonales,

como lo indica la tabla 1.2. Sin embargo para pozos descentrados de sus

áreas de drenaje, la región transitoria tardía puede expandirse en una región

de tiempo significativo, como también lo indica la Tabla 1.2.

Observe que la determinación de cuándo la región transitoria termina o

cuándo la región de estado seudoestable comienza es un tanto subjetiva. Por

ejemplo, los límites de la aplicabilidad de las ecuaciones 1.7 y 1.12 no es

exactamente la misma como se da en la Tabla 1.2 pero la diferencia es

despreciable. Otros autores consideran la desviación de la ecuación 1.7

suficiente para t > 379 φμctre2/k que una región transitoria tardía exista aún

para pozos centrados en un yacimiento cilíndrico entre este límite y un límite

superior de 1136φμctre2/k. Estas opiniones aparentemente contradictorias no

son más que diferentes juicios a cerca de cuando las soluciones se aproximan

ligeramente, las ecuaciones 1.7 y 1.12 pueden estar siendo consideradas

idénticas a la solución exacta, ecuación 1.6.

Estos conceptos pueden ser ilustrados en el ejemplo 1.3

Ejemplo 1.3 - Análisis de flujo en yacimientos de geometría generalizada

Problema. 1. Para cada uno de las siguientes geometrías generalizadas,

calcule el tiempo en horas para lo cual (a) el yacimiento está actuando como

infinito; (b) el estado seudoestable es exacto; y (c) la ecuación de estado

seudoestable es aproximada dentro del 1%. (1) Pozo centrado en un área de

drenaje circular, (2) pozo centrado en área de drenaje cuadrada, y (3) pozo

centrado en un cuadrante de área de drenaje cuadrada.

En cada caso,

40acres),cuadrados( pies 1017.42x = A 6

0.2, =

cp, 1 =

,i sp 101x = c-1-5

t y

md. 100 = k

2. Para cada uno de los pozos en la parte 1, estime IP y la tasa de producción

estabilizada con ,i sp 500 = p - pwf

si

pies, 10 = h

3.0, = s

pies, 0.3 = rw y

RB/STB. 1.2 = B

3. Para el pozo centrado en uno de los cuadrantes de un cuadrado, escriba las

ecuaciones relacionando la tasa de flujo constante y las caídas de presión en

la cara del pozo en lapsos de tiempos de 30, 200, y 400 horas.

Solución. 1. Primero se calcula el grupo φμctA/0.000264 k

(100)(0.000264)

)10)(17.42xx(0.2)(1)(1 =

0.000264k

Atc6-5

DAt DA1320t = .

Entonces se prepara la siguiente tabla (valores de la Tabla (1.2)

SOLUCION

INFINITA

ESTADO SEUDOESTABLE

(APROXIMADO)

ESTADO SEUDOESTABLE (EXACTO)

GEOMETRIA tDA t (horas) tDA t (horas) tDA t (horas)

CIRCULAR 0.1 132 0.06 79.2 0.1 132

CUADRADO-

CENTRADO

0.09

119

0.05

66.0

0.1

132

CUADRADO-

CUADRANTE

0.02

5

33

0.3

396

0.6

792

Para el pozo descentrado, la reducción en el tiempo para el cual la solución del

sistema infinito es aproximada y el incremento en el tiempo requerido para

alcanzar flujo en estado seudoestable es notable.

2. Para calcular IP y la tasa de producción estabilizada, se usa las ecuaciones

s+

4

3 -

rC

A10.06

2

1B

0.00708kh = J

w

2

A

ln

3.0 +

4

3 -

)(0.3C

)10.42x(10.06)(17

2

1(1.2)(1)

100)(10)(0.00708)( =

2

A

6

ln

)C2

1 - /(12.94 5.9 = J Aln ,

500J. = )p - pJ( = qwf

Así, se prepara la siguiente tabla.

GEOMETRIA CA J (STB/D-psi) q (STB/D)

CIRCULAR 31.62 0.526 263

CUADRADO-CENTRADO 30.88 0.526 263

CUADRADO-CUADRANTE 4.513 0.484 242

3. (a) Para t= 30 horas, el yacimiento está actuando como infinito, y

(b) Para t= 200 horas, el yacimiento ya no actúa como infinito y la ecuación de

estado seudoestable ya no es aproximada. Por lo tanto, una ecuación

particular no puede ser escrita.

(c) Para t= 400 horas, la ecuación de estado seudoestable es aproximada, y

Flujo radial en un yacimiento infinito con almacenamiento en la cara del

pozo

La próxima solución de la ecuación de difusividad radial incluye un fenómeno

causado por las tasas de flujo variables después que la producción ha

comenzado. Este fenómeno es llamado almacenamiento en la cara del pozo,

como se muestra en la figura 1.4, y supone que hay almacenamiento en la

cara del pozo antes que se puede tratar con la solución de la ecuación de flujo

que incluya este efecto.

Considere un pozo de aceite cerrado en un yacimiento con presión uniforme y

estable. La presión del yacimiento soportará una columna de líquido con

alguna altura de equilibrio en la cara del pozo. Si se abre una válvula en la

superficie y el flujo inicia, el primer aceite producido será el almacenado en la

cara del pozo, y la tasa de producción de la formación en el pozo es cero. Con

incrementos de tiempos de flujo, a tasa de producción en superficie constante,

la tasa de flujo en el hueco (abajo) se aproximará a la tasa de flujo en

superficie, y la cantidad de líquido almacenado en la cara del pozo se

2s-

kt

rcl688

kh

qB 70.6- =p-p

2wt

wfi

ln

s+

4

3 -

rC

10.06A

2

1

kh

qB141.2 = p - p

2wA

wfln

aproxima a un valor constante.

Seguidamente se desarrolla una relación matemática entre las tasas de flujo

en la cara de la arena (formación) y en la superficie. Considere un pozo con

una interfase líquido/gas en la cara del pozo, como se muestra en la figura 1.4,

y suponga que hay algún mecanismo (bombeo o gas lift) para levantar el

líquido a superficie. Deje la tasa de superficie q variable en el caso general.

De un balance de masa en la cara del pozo, la tasa de líquido dentro es qsf en

RB/D; la tasa de líquido fuera es qB en RB/D; y la tasa de acumulación de

líquido en el pozo es

Entonces, suponiendo constante el área de la cara del pozo, Awb y constante el

factor volumétrico de formación del aceite, B, lo mismo en la cara de la arena y

en superficie, el balance es

Para un pozo con presión en superficie pt,

Donde ρ es la densidad del líquido en la cara del pozo (lbm/pies cúbicos) y

g/gc lbf/lbm. Entonces,

Así,

dt

dz

5.615

A24 =

5.615

V24

d

d wbwb

t

q)B - q( = d

dA

5.615

24sf

t

zwb (1.22)

g

g

144

z + p = p

c

tw

(1.23)

dt

dz

g

g

144 =

dt

)p - pd(

c

tw (1.24)

q)B - q( = d

)p - pd(A

g

g

5.615

(24)(144)sf

t

twwb

c

(1.25)

Define una constante de almacenamiento en la cara del pozo, Cs:

Entonces,

Para una presión en superficie constante o igual a cero, pt,

Para entender la solución a problemas de flujo que incluyen almacenamiento

en la cara del pozo, es necesario introducir variables adimensionales, similares

aquellas discutidas en el apéndice B. Llamando qi a la tasa en superficie para

t=0 e introduciendo las definiciones de tiempo adimensional y presión

adimensional:

Sustituyendo,

Así,

g

g

5.615

144A = C

cwbs

(1.26)

d

)p - pd(

B

C24 + q = q

t

tws

sf (1.27)

d

dp

B

C24 + q = q

t

ws

sf (1.28)

Bq

)p - p(0.00708kh = p

i

wiD

(1.29)

rc

0.000264kt = t

2wt

D

(1.30)

td

pd

rhc

Bq0.0373- =

td

pd

rc

0.000264kx

0.00708kh

Bq- =

d

pd

D

D

2wt

i

D

D

2wt

i

t

w

(1.31)

Si definimos una constante de almacenamiento adimensional en la cara del

pozo, CsD, como,

Entonces

Para una tasa de producción constante [q(t)=qi], la ecuación 1.34 llega a ser

La ecuación 1.35 es la condición de frontera importante para problemas con

almacenamiento en la cara del pozo de flujo a tasa constante de un líquido

ligeramente compresible. Observe que, para una pequeña CsD o para un

pequeño dpD/dtD, qsf/q≈1 (es decir, serán despreciables el efecto de

almacenamiento en la cara del pozo o la tasa en la formación).

Como un segundo ejemplo, considere una cara de pozo (fig. 1.5) que contiene

un fluido en una fase (líquido o gas) y que es producido a algunas tasas de

superficie q. Si llamamos Vwb el volumen de la cara del pozo abierto a la

formación (barriles) y cwb la compresibilidad del fluido en la cara del pozo

(evaluada a condiciones de la cara del pozo), los componentes del balance de

masa son (1) tasa de fluido dentro =qsfB, (2) tasa de fluido fuera qB, y (3) tasa

de fluido acumulado en la cara del pozo = 24 Vwbcwb (dpw/dt). El balance viene

a ser

o

dt

dp

rhc

Cq0.894 - q = q

D

D

2wt

sisf

(1.32)

rhc/C0.894 = C 2wtssD (1.33)

dt

dpC -

q

qq = q

D

DsD

i

isf (1.34)

dt

dpC - 1 =

q

q

D

DsD

sf (1.35)

dt

dpcV24 = q)B - q( w

wbwbsf (1.36)

En este caso, haga Cs=cwbVwb. Entonces,

La ecuación 1.38 es idéntica a la ecuación 1.28; la constante de

almacenamiento en la cara del pozo Cs simplemente tiene una definición

diferente. Note sin embargo, que se forza a hacer una sencilla suposición

significativa: Cuando aplicamos la ecuación 1.38 para un pozo de gas, cwb es

la compresibilidad del gas en la cara del pozo, y es una función fuerte de

presión (como aproximación, cwb=1/pwb). Así la constante de almacenamiento

en la cara del pozo para un pozo de gas esta lejos de ser constante.

Puesto que las ecuaciones 1.38 y 1.28 son idénticas, las ecuaciones 1.34 y

1.35 son también válidas para una cara de pozo que contiene un fluido en una

fase.

La ecuación radial de difusividad con la ecuación de almacenamiento en la

cara del pozo (ecuación 1.35) como una condición de frontera importante,

radio de drenaje infinito, presión de formación inicial uniforme, y daño o

estimulación en la formación (caracterizado por el factor daño, s), han sido

solucionadas tanto analítica como numéricamente en las referencias 6 y 7. La

solución analítica es presentada en la figura 1.6. Para esta figura, el valor de

pD (y así pw) puede ser determinada para un pozo en una formación con

valores dados de tD, CsD y s. Dos propiedades de esta gráfica log-log

requieren ser mencionadas en este punto.

Presencia de la línea de pendiente unitaria.

A tiempos tempranos para un valor dado de CsD, y para la mayoría de los

dt

dp

B

cV24 + q = q wwwb

sf (1.37)

dt

dp

B

24C + q = q ws

sf (1.38)

valores de s, una "línea de pendiente unitaria" (es decir, una línea con

pendiente de 45 grados) está presente en la gráfica. Esta línea aparece y

permanece en tanto que la producción venga de la cara del pozo y no de la

formación. La ecuación 1.35 conduce a esperar esta línea. Para qsf/q=0, la

ecuación es:

o

Integrando desde tD=0 (donde pD=0) a tD y pD, el resultado es

Tomando logaritmo a ambos lados de la ecuación,

Así, ya que qsf=0, la teoría conduce a esperar que una gráfica de log pD vs log

tD tendrá una pendiente unitaria; también lleva a esperar que cualquier punto

(pD,tD) sobre la línea de pendiente unitaria debe satisfacer la relación

Esta observación es de valor en el análisis de pruebas de pozos.

Fin de la distorsión del almacenamiento en la cara del pozo

Cuando el almacenamiento en la cara del pozo ha terminado (es decir, qsf ≈ q);

0 = dt

dpC - 1

D

DsD

pdC = tdDsDD (1.39)

t = pC DDsD (1.40)

t = p + C DDsD logloglog (1.41)

1 = t

pC

D

DsD (1.42)

por consiguiente se debe esperar que la solución a la ecuación de flujo sea la

misma como si nunca hubiera habido algún almacenamiento en la cara del

pozo - es decir, la misma en cuanto CsD=0. En la figura 1.6, observe, que las

soluciones para CsD finito y para CsD=0 vienen a ser idénticas después de

suficiente tiempo transcurrido. Una observación útil empírica es que este

tiempo (llamado "fin de la distorsión del almacenamiento en la cara del

pozo",twbs) ocurre aproximadamente a un y medio ciclos logarítmicos después

que desaparece la línea de pendiente unitaria. Otra observación útil es que el

tiempo adimensional a la cual la distorsión del almacenamiento en la cara del

pozo termina es dada por

Estas observaciones son útiles en el análisis de pruebas de pozos.

Flujo lineal

El flujo lineal ocurre en algunos yacimientos de petróleos con fracturas

verticales largas y altamente conductivas.

Por esta razón, es de interés mirar una de las ecuaciones fundamentales que

describe el flujo lineal en un yacimiento. Considere una situación flujo lineal (en

la dirección x, por conveniencia) de un fluido ligeramente compresible en un

yacimiento infinito, homogéneo, inicialmente a presión uniforme, pi. El fluido es

producido a tasa constante qB sobre un área Af (pies cuadrados). [Si el área Af

representa una fractura vertical con dos alas de igual longitud, Lf (pies) y altura

h (pies), Af=4hLf,con flujo entrando de ambos lados de cada ala de la fractura].

Esta situación es modelada por la ecuación de difusividad en la forma

c3.5s) + (60 = t sDD (1.43)

t

p

0.000264k

c =

x

p t

2

2

(1.44)

Para las condiciones establecidas, la solución a esta ecuación a x=0 es

Para flujo lineal en fracturas verticales, Af=4hLf, y

1.4 Radio de investigación

El concepto de radio de investigación es un concepto de valor tanto cualitativo

como cuantitativo en el análisis y diseño de pruebas de pozo. Por radio de

investigación, ri, se entiende como la distancia que una presión transitoria ha

recorrido en la formación como producto de un cambio en la tasa del pozo.

Esta distancia relaciona las propiedades de los fluidos, de la roca de formación

y el tiempo transcurrido después del cambio de la tasa.

Antes se desarrolló un significado cuantitativo del cálculo de ri sin embargo, se

examinará una distribución de presión a cada incremento de tiempos para

desarrollar un sondeo para el movimiento transitorio en la formación. La fig. 1.7

muestra la presión como una función del radio para 0.1, 1.0, y 100 horas

después que un pozo comienza a producir de una formación originalmente a

2000 psi. Estas distribuciones de presión fueron calculadas usando la solución

de la función Ei de la ecuación de difusividad. Para un pozo y una formación

con características.

STB/D177 = q ,

cp, 1 =

RB/STB, 1.2 = B

ck

t

A

qB l6.26 = p - p

t

1/2

fwfi

(1.45)

ck

t

Lh

qB4.064 = p - p

t

1/2

fwfi

(1.46)

md, 10 = k

pies, 150 = h

0.15, =

, i sp 1070.3x = c-1-6

t

pies, 3000 = re

pies, 0.1 = rw , y

0. = s

Dos observaciones particularmente importantes son:

1. La presión en la cara del pozo (a r=rw) disminuye de manera estable con

incrementos de tiempo de flujo; del mismo modo, las presiones a otros valores

establecidos de r también disminuyen con el incremento de tiempo de flujo.

2. La distorsión de presión causada por la producción del pozo se transmite en

el yacimiento a medida que el tiempo de flujo incrementa. Para el rango de

tiempos de flujo mostrados, hay siempre un punto más allá a la cual la caída

de presión respecto al valor original es despreciable.

Ahora considere un pozo en el cual instantáneamente se inyecta un volumen

de líquido. Esta inyección introduce una distorsión de presión dentro la

formación; la perturbación al radio ri alcanza su máximo al tiempo tm después

de la introducción del volumen de fluido. Se ha de buscar la relación entre ri y

tm. De la solución a la ecuación de difusividad para una línea fuente

instantánea en un medio infinito,

et

c = p - p t4/r-1

i

2

Donde ci es una constante, relacionada con la resistencia de fuente

instantánea. Se halla el tiempo, tm, al cual la distorsión de presión es un

máximo al radio ri por diferenciación e igualando a cero:

Así,

Dicho en otra forma, en el tiempo t, una distorsión de la presión alcanza

una distancia ri, la cual se llama radio de investigación, y está dado por la

ecuación

El radio de investigación dado por la ecuación 1.47 también suministra la

distancia a la cual una distorsión de presión es propagada por la producción o

inyección a una tasa constante. Por ejemplo, para la formación con

distribuciones mostradas en la figura 1.7, la aplicación de la ecuación 1.47

arroja los siguientes resultados.

t

(horas)

r i

(pies)

0.1 32

1.0 100

10.0 316

100.0 1000

0. = et4

rc + e

t

c- =

dt

dp t/4r-

3

21t/4r-

2

1 22

/krc948 = /4r = t i

2

ti

2

m

c948

kt=r

t

1/2

i

(1.47)

La comparación de estos resultados con la distribución de presión graficados

muestran que ri calculado de la ecuación 1.47 es cercana al punto en el cual la

caída de presión en el yacimiento causada por la producción del pozo llega ha

ser despreciable.

También se usa la ecuación 1.47 para calcular el radio de investigación

alcanzado en algún tiempo después de algún cambio en la tasa en un pozo.

Este resultado es significativo debido a que la distancia transitoria que se ha

movido dentro de una formación es aproximadamente la distancia al pozo en

el cual las propiedades de la formación están siendo investigadas en un

tiempo particular en una prueba de pozo.

El radio de investigación tiene varios usos en el análisis y diseño de pruebas

de presión transitoria. Un uso cualitativo ayuda a explicar la forma de una

curva de ascenso y descenso de presión. Por ejemplo, una curva de ascenso

puede tener una forma difícil de interpretar o una pendiente en tiempos

tempranos cuando el radio de investigación está en la zona de permeabilidad

alterada, ks, cerca a la cara del pozo. Generalmente, una curva de ascenso de

presión puede cambiar de forma en tiempos largos cuando el radio de

investigación alcanza la vecindad de los límites de un yacimiento (tal como una

falla sellante) o algunos yacimientos con heterogeneidades masivas. (En la

práctica, se encuentra que una heterogeneidad o frontera influye en la

respuesta de presión en un pozo cuando el radio de investigación calculado es

del orden de dos veces la distancia a la heterogeneidad.)

El concepto de radio de investigación suministra una guía para el diseño de

pruebas de pozo. Por ejemplo, se puede desear muestrear las propiedades del

yacimiento al menos en 500 pies de un pozo probado. Qué tan larga debe ser

corrida la prueba? Seis horas? veinticuatro horas?. No se está forzado a

adivinar -o a correr una prueba para una longitud arbitraria de tiempo que

puede ser o bien corto o bien largo. Además, se puede usar el concepto de

radio de investigación para estimar el tiempo requerido para una prueba a una

profundidad deseada en la formación.

La ecuación de radio de investigación también provee un medio para estimar

el tiempo requerido para alcanzar el flujo "estabilizado" (es decir, el tiempo

requerido para que una presión transitoria alcance los límites de un yacimiento

probado). Por ejemplo, si un pozo esta localizado en el centro de un área de

drenaje cilíndrica de radio, re entonces, haciendo ri = re, el tiempo requerido

para la estabilización, ts, es establecido por

No es coincidencia que este sea el tiempo al cual el flujo seudoestable

comienza ( es decir, el tiempo en el cual la ecuación 1.12 llega a ser una

aproximación de la solución exacta de la ecuación de difusividad). Una palabra

de precaución: Para otras formas de área de drenaje el tiempo estabilizado

puede ser totalmente diferente, como se ilustra en el ejemplo 1.3.

Se previene al lector que el concepto de radio de investigación no es una

panacea. Primero, observe que es exactamente correcto solamente para un

yacimiento homogéneo, isotrópico y cilíndrico -las heterogeneidades del

yacimiento disminuirán la exactitud de la ecuación 1.47. Además, la ecuación

1.47 es exacta solamente para describir el tiempo máximo al cual la distorsión

de presión alcanza el radio ri seguida a una explosión instantánea de inyección

o producción dentro de un pozo. La exacta localización del radio de

investigación llega a ser mal definida para inyección o producción continua a

tasa constante seguida de un cambio en la tasa. El concepto de radio de

investigación puede ser útil, aunque sus limitaciones deben mantenerse en

/krc948 = t 2ets (1.48)

mente.

Ejemplo 1.4 - Cálculo del radio de investigación.

Problema. Se desea correr una prueba de flujo en un pozo exploratorio por

suficiente tiempo para asegurar que el pozo pueda drenar un cilindro de más

de 1000 pies. Inicialmente los análisis de datos de fluido y de pozo sugieren

que k=100 md, φ=0.2, ct= 2x10-5

psi-1

y μ=0.5 cp Qué tiempo es admisible

para la prueba de flujo? Qué tasa de flujo sugiere?

Solución. En el tiempo mínimo en la prueba de flujo la presión transitoria

puede propagarse aproximadamente 2000 pies del pozo (dos veces el radio

mínimo de investigación por seguridad). El tiempo requerido es

k / rc948 = t i

2

t

100

))(200010(0.5)(2x(948)(0.2) =

2-5

75.8 = horas.

En principio, cualquier tasa de flujo satisface - el tiempo requerido para

alcanzar un radio particular de investigación es independiente de la tasa de

flujo. En la práctica, se requiere una tasa de flujo suficientemente grande tal

que el cambio de presión con el tiempo pueda ser registrado con suficiente

precisión para ser utilizado para el análisis. Lo que constituye suficiente

presición depende en particular del manómetro usado en la prueba.

1.5 Principio de Superposición

En este punto, la solución más útil a la ecuación de flujo, la solución de la

función Ei, puede ser aplicable solamente para describir la distribución de

presión en un yacimiento infinito, causada por la producción de un solo pozo

en el yacimiento, y la más restrictiva de todas, producción del pozo a tasa

constante comenzando en el tiempo cero. En esta sección, se demuestra

como la aplicación del principio de superposición puede remover alguna de

estas restricciones, y se concluye con el examen de una aproximación que

simplifica grandemente el modelamiento de un pozo a tasa variable.

Para estos propósitos, se establece el principio de superposición en la

siguiente forma: La caída de presión total en algún punto de un yacimiento es

la suma de las caídas de presión en este punto causado por el flujo de cada

uno de los pozos en el yacimiento. La ilustración más simple de este principio

es el caso de más de un pozo en un yacimiento infinito. Como ejemplo

considere tres pozos, los pozos A, B y C, que comienzan a producir al mismo

tiempo en un yacimiento infinito (figura 1.8). La aplicación del principio de

superposición muestra que

)p - p(=)p - p(A pozo al debido i A pozo el en total wfi

)p - p( +)p - p( +C pozo al debido i B pozo al debido i

En término de las funciones Ei y aproximaciones logarítmicas,

kt

rc948 - Ei

kh

Bq70.6 -

k t

rc948 -Ei

kh

Bq70.6 -

s2 - kt

rc1,688ln

kh

Bq70.6 - = )p - p(

AC

2

tc

AB

2

tB

A

wA

2

tA

A pozo del totalwfi

(1.49)

Donde qA se refiere a la tasa a la cual el pozo A produce; qB, al pozo B y qC, al

pozo C. Observe que esta ecuación incluye un factor de daño para el pozo A,

pero no incluye factores de daño para los pozos B y C. Debido a que la

mayoría de estos pozos tienen factor de daño diferente a cero y que se esta

modelando la presión alrededor de la zona de permeabilidad alterada cerca al

pozo A. se debe incluir su factor de daño. Sin embargo, la presencia de

factores de daño diferentes a cero para los pozos B y C afecta la presión

solamente a los alrededores de sus zonas de permeabilidad alterada y no

tiene influencia sobre la presión en el pozo A si el pozo A no esta dentro de la

zona alterada del pozo B o C.

Usando este método, se puede tratar cualquier número de pozos

fluyendo a tasa constante en un yacimiento que actúa como infinito. Por

consiguiente, se puede modelar las pruebas llamadas de interferencia, las

cuales básicamente están diseñadas para determinar las propiedades del

yacimiento a partir de la respuesta observada en un pozo ( tal como el pozo A

) debido a la producción de otros pozos ( tales como B y C ) en el yacimiento.

Un método relativamente moderno de pruebas de interferencia, llamadas

pruebas de pulso, están basadas en estas ideas.

La próxima aplicación del principio de superposición es simular el

comportamiento de la presión en yacimientos limitados. Considere el pozo

en la figura 1.9 a una distancia, L, de una frontera de no flujo (tal como una

falla sellante ). Matemáticamente, este problema es idéntico a el problema de

un pozo a una distancia 2L de un pozo "imagen" ( es decir, un pozo que tiene

la misma historia de producción que el pozo real). La razón de este sistema de

dos pozos es simular el comportamiento de un pozo cerca a una frontera que

esta equidistante a una línea entre los dos pozos que puede mostrar ser una

frontera de no flujo -es decir, a lo largo de esta línea el gradiente de presión es

cero, lo cual significa que esta línea puede ser de no flujo. Así, esto es solo un

problema simple de dos pozos en un yacimiento actuando como infinito:

De nuevo, observe que si el pozo imagen tiene un factor de daño diferente de

cero es inmaterial. Su influencia exterior de su zona de permeabilidad alterada

es independiente de si existe o no esta zona.

Las extensiones de la técnica de "imágenes" también se puede usar, por

ejemplo, para modelar (1) distribución de presión para un pozo entre dos

fronter

pozo entre dos fronteras paralelas; y (3) el comportamiento de la presión para

pozos en varios sitios completamente rodeados por fronteras de no flujo en

yacimientos de forma rectangular. Este último caso ha sido estudiado

completamente; el estudio por Matthews y otros es uno de los métodos

frecuentemente más usado para estimar la presión promedio en el área de

drenaje a partir de pruebas de ascenso de presión.

La aplicación final y más importante del principio de superposición es

para modelar pozos produciendo a tasa variable. Para ilustrar esta

aplicación, se considera el caso (figura 1.10) de un pozo que produce a tasa q1

del tiempo cero al tiempo t1; en t1, la tasa cambia a q2; y al tiempo t2, la tasa

cambia a q3. El problema que se desea resolver es: en algún tiempo t>t2 cuál

kt

(2L)c948 - Ei

kh

qB70.6 -

2s - kt

rc1,688

kh

qB70.6- = p - p

2

t

2wt

wfi

ln

(1.50)

es la presión en la cara de la arena del pozo?. Para resolver este problema, se

usa superposición como antes, pero, en este caso, cada pozo que contribuye

a la caída de presión total esta en la misma posición en el yacimiento - los

pozos simplemente actúan a diferentes tiempos.

La primera contribución a una caída en la presión del yacimiento es por la

producción de un pozo a una tasa q1 comenzando en t=0. Este pozo, en

general, está dentro de una zona de permeabilidad alterada; así, su

contribución a la caída de presión en el yacimiento es

Comenzando en el tiempo t1, la tasa total nueva es q2. Introduciendo un pozo

2, la producción a la tasa (q2-q1) comienza en el tiempo t1, así que la tasa total

después de t1 es la requerida q2. Observe que el lapso de tiempo total desde

que este pozo comenzó la producción es (t-t1); además observe que este pozo

está aún dentro de una zona de permeabilidad alterada. Así, la contribución

del pozo 2 a la caída de presión del yacimiento es

Similarmente, la contribución de un tercer pozo es

Así, la caída total para el pozo con dos cambios en tasa es

2s -

kt

rc1688

kh

Bq70.6 - = )p - p( = p)( w

2

t1wfi 11

ln

2s -

)t - k(t

rc1688

kh

)Bq - q(70.6 - = )p - p( = p)(

1

w

2

t12wfi 22

ln (75)

2s -

)t - k(t

rc1688

kh

)Bq - q(70.6 - = )p - p( = p)(

2

w

2

t23wfi 33

ln

Procediendo en una forma similar, se modela un pozo real con docenas de

cambios de tasa en su historia; también se representa la historia de la tasa

para un pozo con una tasa cambiando continuamente (con un periodo de

secuencia) - pero, en muchos de tales casos, este uso de superposición

conduce a una ecuación larga, tediosa para usar en calculadoras manuales.

Observe, sin embargo, que tal ecuación es válida solamente si la ecuación

1.11 es válida para el lapso de tiempo total desde que el pozo comienza a fluir

a su tasa inicial- es decir, para un tiempo t , ri debe <= e.

Ejemplo 1.5 - Uso de superposición

Problema. Un pozo fluyendo está completado en un yacimiento que tiene las

siguientes propiedades.

2500 = pi psia,

2s - )t - k(t

rc1688

kh

)Bq - q( 70.6 -

2s - )t - k(t

rc1688

kh

)Bq - q( 70.6 -

2s - kt

rc1688

kh

Bq 70.6 - =

p)( + p)( + p)( = p - p

2

w

2

t23

1

w

2

t12

w

2

t1

321wfi

ln

ln

ln

(1.51)

RB/STB 1.32 = B

cp 0.44 =

md 25 = k

pies 43 = h

i sp 1018x = c-1-6

t

0.16 =

Cuál será la caída de presión en un pozo cerrado localizado a 500 pies del

pozo fluyendo cuando el pozo fluyendo ha sido cerrado por 1 día siguiendo un

período de flujo de 5 días a una tasa de 300 STB/D?

Solución. Se superpone la contribución de dos pozos debido al cambio de

tasa:

)t - k(t

rc948- )Eiq - q( +

kt

rc948- Eiq

kh

B70.6 - = p - p

1

2t

12

2t

1i

Ahora,

12.01 = 25 /] ))(50010.8x6)(0.44)(1[(948)(0.1 = k

rc948 25-2

t

Entonces,

Ei(-0.5)] + )Ei(-0.0834 11.44[- =

0.560) - 911.44(1.98 =

i. sp 16.35 =

1.6 Aproximación de Horner

En 1951, Horner reportó una aproximación que se usa en muchos casos para

evitar el uso de superposición en el modelamiento de la historia de producción

(1)(24)

12.01- 300)Ei - (0 +

(6)(24)

12.01-Ei (300)

(25)(43)

4)(1.32)(70.6)(0.4- = p - p

i

de un pozo con tasa variable. Con esta aproximación, se puede reemplazar la

secuencia de funciones Ei, reflejando los cambios de tasa, con una función Ei

que contiene un solo tiempo de producción y una sola tasa de producción. La

tasa única es la más reciente, diferente de cero a la cual el pozo produjo, se

puede llamar a esta tasa q última por ahora. El único tiempo de producción es

hallado dividiendo la producción cumulativa del pozo por la tasa más reciente;

este tiempo de producción se puede llamar tp, o tiempo de seudoproducción:

Entonces, para modelar el comportamiento de la presión en cualquier punto

del yacimiento, se usa la ecuación sencilla

Dos preguntas surgen en este momento: (1) Cuál es la base para esta

aproximación? (2) Bajo qué condiciones es aplicable?

La base para la aproximación no es rigurosa, pero intuitiva, y es fundamentada

en dos criterios: (1) Si se usa una única tasa en la aproximación, la clara

selección es la más reciente; tal tasa, mantenida por algún período

significativo, determina la distribución de presión cerca a la cara del pozo y

aproximadamente fuera del radio de investigación alcanzado con esta tasa. (2)

Dado que se utiliza una sola tasa, la intuición sugiere que seleccionemos un

tiempo de producción efectivo tal que el producto de la tasa por el tiempo de

producción produzca una correcta producción cumulativa. De esta forma, el

balance de materia será mantenido exactamente.

Pero cuándo es esta aproximación adecuada? Si se mantiene una tasa por un

(STB/D)qreciente, sm tasa

(STB)Npozo, del cumulativa n Producci24= (hrs)t

œltima

p

p (1.52)

tk

rc948-Ei

kh

Bq70.6- = p - p

p

2tlast

i

(1.53)

breve intervalo de tiempo, la tasa previa juega un papel importante en la

determinación de la distribución de presión en el yacimiento probado. Se

pueden ofrecer guías útiles. Primero, si la tasa más reciente es mantenida por

suficiente tiempo para que el radio de investigación logrado con esta tasa

alcance el radio de drenaje del pozo probado, entonces la aproximación de

Horner es suficientemente exacta. Esta regla es totalmente conservativa, sin

embargo. Segundo, se halla que, para un pozo nuevo que sufre una serie de

cambios rápidos de tasa, es usualmente suficiente establecer que la última

tasa constante debe ser mantenida al menos por un tiempo igual al doble del

tiempo que fue mantenida la tasa anterior. Cuando hay alguna duda sobre si

las guías se cumplen, el enfoque seguro es usar superposición para modelar

la historia de producción del pozo.

Ejemplo 1.6 - Aplicación de la aproximación de Horner

Problema. Después del completamiento, un pozo es producido por un corto

tiempo y entonces es cerrado para una prueba de ascenso de presión. La

historia de producción fue la siguiente.

Tiempo de producción (horas)

Producción Total (STB)

25 52

12 0

26 46

72 68

1. Calcule el tiempo de seudoproducción, tp.

2. Es la aproximación de Horner adecuada para este caso? Si no, cómo

debería ser simulada la historia de producción para este pozo?.

Solución.

1. q

Entonces,

STB/Dltimaq

STB) ,cumulativa n (producci 24 = t

œ

p

horas 176 = (22.7)

(24)(166) =

2. En este caso,

2. > 2.77 = 26

72 =

t

ltimat

œltima a xima pr

œ

Por consiguiente, la aproximación de Horner es probablemente adecuada para

este caso. No será necesario utilizar superposición, lo cual es requerido

cuando la aproximación de Horner no es adecuada.