Capítulo 10 Test de Hipótesis
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Capítulo 10 Capítulo 10 Test de Test de
HipótesisHipótesis
Capítulo 10 Capítulo 10 Test de Test de
HipótesisHipótesis
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Contraste de HipótesisContraste de HipótesisContraste de HipótesisContraste de HipótesisContrastar una Hipótesis Estadísticamente es juzgar si Contrastar una Hipótesis Estadísticamente es juzgar si cierta propiedad supuesta para una población es cierta propiedad supuesta para una población es compatible con lo observado en una muestra de ella.compatible con lo observado en una muestra de ella.
Tipos de Hipótesis:Tipos de Hipótesis: Hipótesis AlternativasHipótesis Alternativas Hipótesis AnidadasHipótesis Anidadas
Alternativas: Hipótesis A Alternativas: Hipótesis A v/s Hipótesis B, donde A y v/s Hipótesis B, donde A y B no pueden cumplirse B no pueden cumplirse simultáneamente. simultáneamente.
Anidadas: Hipótesis A y B, Anidadas: Hipótesis A y B, donde A es un caso especial donde A es un caso especial de B.de B.
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Contraste de HipótesisContraste de Hipótesis•Hipótesis Simple: El parámetro tiene un único valor.•Hipótesis Compuesta: El parámetro tiene varios valores.
Hipótesis Nula: (H0) es la hipótesis que se contrasta. Esta hipótesis se mantendrá a no ser que los datos indiquen lo contrario. Esta hipótesis nunca se considera probada aunque puede ser rechazada por los datos.
Hipótesis Alternativa: (H1) es la hipótesis contrapuesta a H0.
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Elementos de una Prueba de HipótesisElementos de una Prueba de Hipótesis
1.- Hipótesis Nula (H0), Hipótesis Alternativa.2.- Estadística de Prueba (Discrepancia).3.- Región de Rechazo (Región Crítica).4.- Regla de Decisión.
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DefinicionesDefinicionesPrueba (Contraste) de Hipótesis Estadística: es una regla (Procedimiento) para decidir si rechazamos una hipótesis H0.
Estadística de Prueba: Es una función de la muestra. Interesa que contenga el máximo de información sobre H0. Es en base a la información contenida en esta función que decidiremos respecto de la aceptación o rechazo de H0.
Región Crítica: Define los valores del estadístico de Prueba para los cuales se contradice H0.
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DefinicionesDefiniciones
Regla de Decisión: Procedimiento que acepta o rechaza H0, dependiendo del valor del estadístico de Prueba.
Nivel de Significación: Este valor determina un valor crítico c : P ( d > c / H0 ) = . El procedimiento de selección de “c” a partir de tiene varias críticas:
i. El resultado del Test depende mucho de .
ii. Dar sólo el resultado del Test no permite diferenciar el grado de evidencia que la muestra indica a favor o en contra de H0.
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DefinicionesDefiniciones
Nivel crítico p: Se define el nivel crítico p del contrate como la probabilidad de obtener una discrepancia mayor o igual que la observada en la muestra bajo H0.
donde:
: valor observado p : depende de la muestra
0Hddp /ˆPr
d̂
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Consideremos H0: 0 v/s H1: 1 Sea : Estado de Naturaleza = 0 1
: Espacio de Información = C CC Regla de Decisión: x C H0 es F
x CC H0 es V
Error tipo I: Rechazar H0 (cuando es verdadero)Error tipo II: Aceptar H0 (cuando es falso)P(Error tipo I) = P ( C ) = , 0
P(Error tipo II) = P (CC) = , 1
Fijada la región crítica C podemos definir:C: 0,1 C() = P (C) Función Potencia
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En la práctica interesa que , sean pequeños.
Un método para construir un Test apropiado es:
1.- Fijar C : P ( C ) dado Sea = {C : P ( C ) }
2.- Elegir C : P ( CC ) = sea mínimo para C .
Toda región C región crítica : P ( C ) si y P ( C ) máxima 1, se dice Región Crítica Óptima.
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Test de Comparación de MediasTest de Comparación de Medias
Supuesto: Independencia
1XE 211 ,NX
222 ,NY "YE
21XVar
22YVar
~~
Caso Normal: Estadística de Prueba
2
22
1
21
21
nn
YXZ
21
21
11nn
S
YXt
P
i conocidosi desconocidos
pero iguales
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donde
• Para el caso de i desconocidos y distintos no hay solución exacta.
Región crítica C se modifica
2
11
21
222
211
nnSnSn
SP
2
22
1
21
021
nS
nS
YXt
nn
21
2211
wwtwtw
t'
1
21
1 nS
w 2
22
2 nS
w
)( 11211 ntt )( 12212 ntt
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EjemploEjemplo
Una v.a. X tiene una ley de Probabilidades dada por:
X 1 2 3 4 5 6Bajo H0 p 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6Bajo H1 p 2/15 1/6 1/5 1/5 1/6 2/15
Regla: Se decide rechazar H0 si X = 3 ó 4
Determinar: = Error tipo I ; = Error tipo II y la Potencia del Test
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SoluciónSolución
= PHo ( C )= PHo ( 3 , 4 ) = 2/6 = 1/3
= PH1 ( CC )= PH1 ( 1 , 2 , 5 , 6 ) = 1 - 2/5 = 3/5
C () = P (C) = 1 - = 2/5
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ResumenResumen
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Hipótesis Estadística de Prueba
10 sv /
00 sv /0
nX
z
0
nS
Xt
0
( conocido)
( desconocido)
idem
21
220
2 sv /2
12
21
2 2
12
1
22
22 1
n
Sn
idem
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Hipótesis Estadística de Prueba
2121 sv /2
22
1 con
2
21
21
2121
21
nn
P
t
nnnn
S
XX
22
21
22
21 sv /
10 ppsvpp /
1122
21
21 nnFS
S,
asdesconocid
2121 sv /2
22
1 con
2
2
22
1
21
2121
21
nn
P
t
nS
nS
S
XX
asdesconocid
101 00
0 ,Npnp
npX
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ProblemaProblemaUn nuevo dispositivo de filtrado se instala en una planta química. Antes y después de su instalación una m.a. respectiva arrojó la siguiente información del porcentaje de impurezas:
Antes Después
¿ El dispositivo de filtrado ha reducido el porcentaje de impurezas significativamente ?
8
17101
512
1
21
1
n
S
y
,
,
9
7394
210
2
22
2
n
S
y
,
,
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DesarrolloDesarrollo
211210 :/: HsvH
22
21 Si
2
21
21
212121
nn
P
t
nnnn
S
yyt
0HBajo 480
4909932
7217
210512
21
21
210 ,
,,,,,
PP Snnnn
S
yyt
7397
15031466
1573948171017
211
21
222
211 ,
,,,
nn
SnSnSP
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Nivel de significancia =0,05 t0,975(15)gl = 2,131
Región crítica C = ] - ; -2,131 ] [ 2,131 ; [
t0 CC Se acepta H0
Es decir, el dispositivo nuevo no reduce significativamente el porcentaje de impurezas.
Región crítica C = ] 0 ; 0,204 ] [ 4,53 ; [
F0 CC Se acepta H0 : 12 = 2
2
211210 :/: HsvH
:0HBajo 1122
21
0 210681
739417101
nnFS
SF ,,
,,
050, 2040870250 ,),(, F 534879750 ,),(, F