CAPITULO 2

Capítulo 2. Infiltración en Presas - 22

CAPITULO 2: INFILTRACIÓN EN PRESAS

2.1 Introducción

La infiltración en las presas de material suelto se da principalmente: a) en el propio cuerpo de la presa, y b) en la cimentación.

En cuanto al agua infiltrada a través del cuerpo de la presa o de su cimiento produce los siguientes efectos: Uno directo, de pérdida de agua, que suele ser el menos importante y más fácil de controlar o subsanar, y un estado de presiones internas con componentes opuestas al efecto estabilizador del peso. Además, al estar mojados los materiales, disminuye su cohesión y su resistencia al rozamiento, añadiéndose estos efectos al de las componentes desestabilizadoras de las presiones internas. Además el paso del agua a través de las zonas con materiales finos tiende a arrastrar esas partículas, con el consiguiente peligro de erosión interna progresiva. Este fenómeno se llama sifonamiento (piping).

De los tres efectos, el último es el más peligroso, porque afecta directamente a la integridad misma de la presa. El sifonamiento es, después del vertido sobre la presa, la causa más importante de accidentes o roturas de este tipo de presas. Además, es el más difícil de controlar de los tres enunciados.

Los efectos desestabilizadores de la presión intersticial siguen en importancia al sifonamiento, porque son más controlables con los dispositivos adecuados y hasta cierto punto previsibles en los cálculos de estabilidad.

En el proyecto de la fundación de una presa se hacen ciertas previsiones para asegurar que cumpla con las condiciones necesarias para su correcto funcionamiento. Las condiciones esenciales que debe cumplir una fundación para una presa son las de proporcionar un cimiento estable para el cuerpo de la presa en todas las condiciones de saturación y carga, y suficiente resistencia a la filtración para evitar las pérdidas de agua excesivas.

Como los diferentes tipos de fundaciones requieren tratamientos diferentes, se agrupan en tres clases principales, de acuerdo con sus características dominantes: fundaciones en roca, en material grueso (arena y grava), y en material de grano fino (limo y arcilla).

Los cimientos en roca, en general, no presentan ningún problema de resistencia para presas pequeñas. Los peligros principales que hay que tener en cuenta son los debidos a la erosión por filtración y la excesiva pérdida de agua a través de las juntas, fisuras, grietas, estratos permeables y planos de fractura. En los cimientos de arena y grava o rocas muy meteorizadas existen dos problemas básicos en la cimentaciones permeables: uno es el caudal de filtración y el otro las fuerzas ejercidas por dicha filtración. Por último, los cimientos en suelos con gran cantidad de finos son lo suficientemente impermeables para excluir la necesidad de colocar dispositivos para evitar la filtración y el sifonamiento. El principal problema de este tipo de cimentación es la estabilidad.

En cuanto a la pérdida de agua, sólo tiene valor económico. De ser excesiva, deberá disminuirse con impermeabilizaciones complementarias, pero en principio más por el peligro de sifonamiento que representa que por la propia pérdida, pues, en última instancia, siempre cabe recuperar el agua filtrada bombeándola al embalse.

De los efectos antes citados, el presente capítulo se ocupa de las filtraciones. Como base previa para ello y el estudio de sus efectos han de ampliarse algunos conceptos sobre la red de corriente y que son indispensables para la correcta definición de aquéllas. Hay varios métodos para determinarla: el más usado en el pasado era el gráfico, que solía ser suficiente para la


mayor parte de las presas, que son las de altura moderada o media (hasta algunas decenas de metros de altura); hoy los métodos numéricos han reemplazado casi totalmente a todos los demás.

2.2 Teoría de la Infiltración

Existen dos tipos de análisis para infiltración, esto es para flujo permanente o estacionario y flujo impermanente o transitorio.

El modelo de flujo permanente describe un estado donde no se producen cambios. En un análisis de infiltración el “estado” significa presión del agua y caudal. Si ambas alcanzan un valor estable, esto significa que estarán en ese estado para siempre. En muchos casos donde el problema geotécnico está expuesto a condiciones cíclicas, es posible que jamás se llegue a la situación estable. Si la hipótesis contempla condiciones de borde constantes en el tiempo, entonces la respuesta es aquella que se corresponde con un tiempo lo suficientemente extenso como para obtener el estado estacionario. En este tipo de análisis no se considera cuánto tiempo se necesita para alcanzar la condición estable. Solamente se predice cómo se presentará la superficie para un conjunto de condiciones de borde que no se modificarán en el espacio ni en el tiempo. Como el análisis de flujo permanente no considera la componente tiempo, las ecuaciones que lo gobiernan se simplifican. En el análisis permanente las ecuaciones sacan la variable tiempo y omiten la función de contenido volumétrico de agua. Esto no resulta necesario para la solución. El contenido volumétrico de agua es usado para computar las pérdidas o ganancias en el suelo si hay un cambio en las presiones. En un estado permanente no hay cambios en las presiones.

Un análisis impermanente por definición significa que hay cambios. Ejemplos de este tipo de análisis es predecir el tiempo que tarda una presa en humedecerse cuando el reservorio se llena en forma rápida. En un análisis impermanente se deben conocer las condiciones iniciales y las funciones que describen el cambio de las mismas. Por ejemplo en una presa, se deberá conocer la función de llenado y vaciado de la misma en el tiempo. Por otro lado también deberán conocerse las funciones hidráulicas del suelo para determinar en distintos tiempos el estado de infiltración en el mismo. Se parte siempre de una condición inicial para poder conocer los estados intermedios en el tiempo y el estado final de la modelación. En muchos casos, el estado inicial se establece como la condición permanente.

2.3 Ecuaciones del flujo en medios porosos

La ecuación de flujo en medios porosos no saturados o ecuación de Richards (1931) plantea la relación entre la humedad, la conductividad hidráulica y la succión en un medio poroso no saturado para distintos tiempos. El movimiento del agua que se produce a través de los poros del material o de las fracturas que se encuentran en el mismo se puede expresar a través de la ley de Darcy (1856). Ésta se puede extender a medios no saturados, en una dimensión, considerando que la conductividad K(θ) es la conductividad hidráulica en función de la humedad del suelo θ.

Richards planteó la relación entre la humedad, la conductividad hidráulica y la succión en un medio poroso no saturado en función del tiempo. Esta ecuación tiene la característica de ser altamente no lineal debido a la dependencia que tiene la humedad y la conductividad hidráulica con la succión (Paniconi, 1991). Además, necesita para su solución de la definición de las funciones hidráulicas del suelo. Para definir las funciones hidráulicas de los suelos


(curvas de humedad en función de la succión y conductividad hidráulica en función de la succión) es necesario determinar las propiedades hidráulicas del suelo a través de mediciones de laboratorio o de campo.

Las curvas de humedad en función de la profundidad y del tiempo de un suelo son importantes para entender el problema de flujo transitorio en la zona no saturada. La pendiente de la curva representa el almacenamiento característico del suelo. La pendiente indica la cantidad de agua tomada o entregada por el suelo como un resultado del cambio de la presión de agua de poros.

El caudal de agua que se infiltra, también denominada tasa de infiltración, es igual a la variación de la humedad para dos tiempos distintos dividido por la variación del tiempo, es decir:

t

(h)-(h) =

t = f tt+tt

∆∆

∆ ∆∆ θθθ (2.1)

donde θ ( t + ∆t) es la humedad en el tiempo t + ∆t y θ es función de h. La ecuación de Richards permite calcular los perfiles de humedad del suelo y por ende la tasa de infiltración.

La tasa de infiltración promedio estará dada por:

tn

(h)-(h)

= tn

= f

n

tt+t

n

t

∆∆

∆ ∑∑ ∆∆

11

)( θθθ (2.2)

El flujo en medios porosos no saturados conduce a diferentes expresiones de la ecuación de Richards (1931), que se expresan en derivadas parciales.

La ecuación que describe el flujo del agua de un medio anisotrópico saturado o no saturado que considera que el flujo cumple con la ley de Darcy, normalmente se refiere como la ecuación de Richards (Mein y Larson, 1973) se expresa como:

]z

h(H)kk[

z+]

y

h(H)kk[

y+]

x

h(H)kk[

x =

tw

rwz

w

rwy

w

rwxw

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

µµµ

θ (2.3))

donde θw es la cantidad volumétrica de la fase líquida, kx, ky, kz son las permeabilidades intrínsecas correspondientes a las direcciones x, y, z respectivamente, krw es la permeabilidad relativa de la fase líquida, µw es la viscosidad dinámica de la fase líquida, H es la succión (z-h) y h es la altura piezométrica.

Esta ecuación, altamente no lineal, para su solución necesita la definición de las funciones hidráulicas del suelo. La ecuación de Richards, o cualquiera de sus formas modificadas, ha sido la piedra angular para el desarrollo de la mayoría de los modelos numéricos del cálculo de infiltración en medios porosos no saturados (Espinoza,1993).

Si se considera que el movimiento del aire no produce un efecto apreciable en el movimiento del agua, se puede utilizar sólo la ecuación (2.3) para describir el flujo en un medio no saturado (Philip, 1984; Neuman, 1973; Rubin, 1966; Wallace, 1975). La ecuación de Richards para flujo en medios porosos no saturados es una ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden parabólica no lineal (Paniconi,1991). La no linealidad


de la ecuación de Richards se debe a que la conductividad hidráulica es función de h entonces

se tiene el producto de i

hhK ii

∂

∂).( , donde Kii es la conductividad hidráulica, e i indica las

direcciones x,y,z. La conductividad hidráulica está dada por la siguiente relación:

w

rwii

ii

kkK

µ= (2.4)

La conductividad hidráulica no sólo no es una función lineal de la succión sino que además depende de la historia de humedecimiento y secado del suelo (histéresis).

]z

hh[K

z+]

y

hh[K

y+]

x

hh[K

x =

t

hzzyyxx

w

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

θ∂)()()(

)( (2.5)

Para resolver numéricamente esta ecuación es necesario resolver un problema de valores de condiciones iniciales y de borde, es decir de condiciones mixtas (Paniconi y otros, 1991). Cuando la conductividad hidráulica no es función de la succión (es una constante) en la ecuación anterior se puede sacar de la derivada parcial y la ecuación de Richards toma la forma matemática de la ecuación de Laplace. Esto ocurre en la realidad cuando en el suelo se estudian los fenómenos permanentes o estacionarios.

0 =] z

h[K +]

y

h[K +]

x

h[K 2

2

s2

2

s2

2

s zyx ∂

∂

∂

∂

∂

∂ (2.6)

donde Ksx, Ksy, Ksz son las conductividades hidráulicas saturadas en las direcciones x,y,z respectivamente.

Si el medio es isotrópico las conductividades hidráulicas saturadas en las tres direcciones son iguales (Ksx = Ksy = Ksz) la ecuación 2.6 se transforma en:

0 =] z

h[ +]

y

h[ +]

x

h[

2

2

2

2

2

2

∂

∂

∂

∂

∂

∂ (2.7)

Y para flujo bidimensional

0 =] y

h[ +]

x

h[

2

2

2

2

∂

∂

∂

∂ (2.8)

El flujo bidimensional en un medio poroso saturado puede representarse por dos familias de curvas del plano que se intersecan en ángulo recto. Dos funciones conjugadas armónicas φ y ψ satisfacen la ecuación de Laplace y las curvas φ(x,y) = cte y ψ(x,y) = cte, son ortogonales (Harr, 1962). Una de estas familias de curvas representa las trayectorias de flujo de las partículas de agua filtrante, o líneas de corriente, ψ (x,y). La otra familia está constituida por las curvas representativas de los puntos de igual presión piezométrica o presión total y se las denomina líneas equipotenciales, φ (x,y).

2.4 Métodos de solución para régimen permanente o estacionario - Solución de la


Ecuación de Laplace

La solución para problemas de infiltración en régimen laminar y permanente se obtiene resolviendo la ecuación de Laplace. Varios métodos se han desarrollado para resolver la ecuación de Laplace en forma exacta o aproximada, Radhakrishna agrupa los métodos según se muestra en la Tabla 2.1

ANÁLISIS DE INFILTRACIÓN

MÉTODOS DE SOLUCIÓN

REDES DE FLUJO

MODELOS MÉTODOS ANALÍTICOS

MÉTODOS NUMÉRICOS Y COMPUTACIONALES

1) Analogía Eléctrica

• Solución acuosa o gel. (2D ó 3D)

• Seco. (2D ó 3D)

1) Mapeo o Transformación

1) Diferencias Finitas

(M. Relajación). (1D, 2D, y 3D)

2) Arena (2D ó 3D) 2) Semi Empírico

Método de los Fragmentos

2) Elementos Finitos.(1D, 2D, y 3D)

3) Flujo Viscoso (2D) 3) Forma Cerrada

Tabla 2.1. Métodos de Solución para Infiltración, (Radhakrishna, 1978).

2.4.1. Redes de Flujo

Uno de los métodos más ampliamente usados es el del dibujo de las redes de flujo que puede adaptarse para solucionar distintos problemas de infiltración en presas y otros proyectos que involucran estructuras hidráulicas, este método gráfico es aún uno de los más aceptados para dar solución a los problemas de infiltración resolviendo la ecuación de Laplace (Casagrande 1937). Si se conocen las condiciones de borde y la geometría en una región de flujo que puede analizarse en forma bidimensional, la red de flujo proporciona una información visual de lo que está pasando (valores de caudal y de presión) en la región de análisis.

La ecuación 0yx 2

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂ φφ, es una ecuación en derivadas parciales elíptica cuya solución

puede representarse por dos familias de curvas del plano que se intersecan en ángulo recto. Dos funciones conjugadas armónicas φ y ψ satisfacen la ecuación de Laplace y las curvas φ(x,z) = cte y ψ(x,z) = cte son ortogonales (Harr, 1962). Una de estas familias de curvas representa las trayectorias de flujo de las partículas de agua filtrante, o líneas de corriente, ψ

(x,z). La otra familia está constituida por las curvas representativas de los puntos de igual presión piezométrica o presión total y se las denomina líneas equipotenciales, φ (x,z). Las redes de flujo son una solución única para una condición específica de infiltración, es decir,


que existe una sola familia de curvas que será solución para una geometría y condiciones de contorno dadas.

2.4.1.1.Condiciones de Frontera

Se presenta a continuación la descripción realizada por Marsal y Resendiz Nuñez en 1975, respecto a las condiciones de frontera o condiciones de contorno.

El primer paso para resolver un problema de flujo es la especificación de las condiciones de frontera, para lo cual es necesario determinar las características geométricas e hidráulicas de las superficies extremas que delimitan el dominio de flujo. En los casos de flujo bidimensional (o tridimensional con simetría axial), una sección del medio en la dirección del flujo es representativa de las condiciones en cualquier otra, y aquellas superficies se reducen a líneas. Se presenta a continuación un resumen de las condiciones d efrontera.

En medios homogéneos hay cuatro posibles clases de líneas de frontera:

a) frontera suelo infiltrado-suelo impermeable (frontera impermeable).

b) frontera agua-suelo infiltrado.

c) frontera suelo infiltrado-suelo permeable no infiltrado (línea superior de flujo).

d) frontera suelo infiltrado-aire (línea de descarga libre).

a) Frontera suelo infiltrado - suelo impermeable (frontera impermeable). A través de una frontera de este tipo el agua no puede fluir. Por lo tanto, los componentes normales de la velocidad son nulos a lo largo de ella y dicha frontera define una línea de flujo (recíprocamente, toda línea de flujo puede tratarse como si fuese una frontera impermeable).

Figura 2.1. Flujo confinado bajo la cimentación de una presa de hormigón, (Marsal y Resendiz

Nuñez,·1975)

Figura 2.2. Flujo no confinado a través de una presa, (Marsal y Resendiz Nuñez,·1975)


Las líneas BCDEF y HI en la Figura 2.1, y la línea BC en la Figura 2.2, son ejemplos de fronteras impermeables, pues se supone que la permeabilidad del material que constituye la estructura de la presa de la Figura 2.1 es despreciable en comparación con la del suelo de cimentación, y, en la Figura 2.2, otro tanto acerca de la permeabilidad del suelo o roca debajo de AD, en comparación con la del suelo que constituye la presa.

b) Frontera agua-suelo infiltrado. Estas fronteras son ejemplificadas por AB y FG en la Figura 2.1, y por BE y CG en la Figura 2.2. En vista de que en el flujo de agua en suelos la altura de velocidad es despreciable, la distribución de presión en las fronteras agua-suelo infiltrado puede considerarse hidrostática. Entonces en un punto cualquiera de ellas, por ejemplo el punto P sobre la frontera BE Figura 2.2, la altura de presión es )( 3 yh − y la altura

de posición es y , por lo que en cualquier punto de la frontera BE la carga hidráulica total será

33 )( hyyh =+− .

Entonces, la condición que debe cumplirse en toda la frontera agua-suelo infiltrado es cteh = . Así pues, cada una de estas fronteras es una línea equipotencial.

c) Frontera suelo infiltrado-suelo permeable no infiltrado (línea superior de flujo). En la figura 2.2, la línea EF separa, dentro de la misma masa de suelo BHIC, la zona de flujo BEFGC de la porción de suelo que teóricamente no es infiltrado por el agua que fluye de un lado a otro de la presa. Obviamente, las componentes de la velocidad, v, normales a dicha línea son nulas, y por tanto esta es una línea de flujo; pero el hecho de ser precisamente la línea superior de flujo le impone condiciones adicionales que no son comunes a cualesquiera otras líneas de corriente: la presión es constante en toda ella (igual a la atmosférica) y, siendo despreciable la altura de velocidad, la carga hidráulica total en dicha línea es yh = , lo que indica que la carga hidráulica de las líneas equipotenciales que corten la línea superior de flujo será idéntica a la elevación del punto de intersección. Esto requiere que, si se trazan equipotenciales con caída de carga h∆ constante, la diferencia de elevación de las intersecciones de dos equipotenciales contiguas cualesquiera con la línea superior de flujo sea también constante e igual a h∆ (Figura 2.3).

Figura 2.3. Condición de intersección de las equipotenciales con la línea superior de flujo,

(Marsal y Resendiz Nuñez,·1975)

Por otra parte, se puede demostrar que las condiciones de entrada y de salida de la línea superior de flujo son las mostradas en la Figura 2.4.


Figura 2.4. Condiciones de entrada y de salida de la línea superior de flujo, (Casagrande, 1925-

1940)

d) Frontera suelo infiltrado-aire (línea de descarga libre). La línea FG en la Figura 2.2

es una frontera de este tipo. En ella, como en la línea superior de flujo, la carga hidráulica es igual a la de posición, esto es, se cumple yh = . Sin embargo, FG no es línea de flujo, aunque tampoco es equipotencial, es simplemente una cara de descarga libre.

Por la ecuación yh = es evidente que FG no es una equipotencial. Se puede demostrar que tampoco es línea de corriente, como sigue: por las propiedades idénticas de las líneas de flujo y de las fronteras impermeables, pueden sustituirse las líneas de corriente EF y JG por fronteras impermeables sin que se alteren las condiciones de flujo entre ellas; si FG fuera línea de flujo, las componentes de velocidad normales a ella serían nulas y el caudal a través del tubo de flujo definido por EF y JG también se anularía; lo que es imposible siendo permeable el suelo comprendido en dicho tubo. El mismo razonamiento sirve para demostrar que dos líneas de corriente jamás se cortan.

En forma análoga a lo que ocurre con la línea superior de flujo, la ecuación yh = obliga a que todo par de equipotenciales corten la línea de descarga libre en puntos con diferencia de elevación igual a la diferencia de carga hidráulica de dichas equipotenciales. En el caso de la línea de descarga libre, es obvio que tales intersecciones no ocurrirán perpendicularmente, pues se ha demostrado que la línea de descarga libre no es línea de flujo.

Atendiendo a las condiciones de frontera, los problemas de flujo de agua en suelos pueden clasificarse en dos categorías : 1) los de flujo confinado, en que todas las fronteras del dominio de flujo son conocidas de antemano, en cuyo caso las fronteras son de los tipos a y b descritos; 2) los de flujo no confinado, en que para tener completamente especificadas las condiciones de frontera es necesario definir previamente una de las dos fronteras desconocidas (las de los tipos c y d, esto es, la línea superior de flujo y la de descarga libre). Existen distintos métodos para la determinación de estas líneas en el caso de una presa homogénea sobre una base impermeable. La Figura 2.1 muestra un caso de flujo confinado, y la Figura 2.2 uno de flujo no confinado.


2.4.1.2. Líneas Equipotenciales y Líneas de Corriente

El método gráfico de redes de flujo es aplicable para flujo bidimensional y en ciertos casos de flujo tridimensional con simetría axial. Este método tiene sobre los demás la ventaja de desarrollar en quien lo utiliza sistemáticamente una clara concepción física de las características generales del flujo de agua en suelos y de sus detalles más significativos.

La solución en un dominio de flujo homogéneo e isótropo está representada geométricamente por lo que se llama red de flujo, formada por infinidad de curvas pertenecientes a dos familias de líneas mutuamente ortogonales: las de flujo o corriente y las equipotenciales.

De la infinidad de equipotenciales y líneas de corriente, deben tomarse número de curvas de cada familia, de modo que entre cada par de líneas de flujo adyacentes el caudal sea el mismo, q∆ , y entre dos equipotenciales vecinas cualesquiera la caída de carga hidráulica sea idéntica, h∆ .

De ese modo se obtiene una red formada por qqn f ∆= / canales de flujo y qhne ∆= /

caídas de potencial, en que q es el caudal total a través de la zona de flujo y h es la diferencia de carga hidráulica entre las equipotenciales extremas. Considérese un rectángulo cualquiera de la red de flujo resultante (Figura 2.5).

Figura 2.5. Condiciones de entrada y de salida de la línea superior de flujo, (Casagrande, 1925-

1940)

Por la ley de Darcy, el caudal que pasa a través de él es

en

h

b

aKxa

b

hKq =

∆=∆ 1 (2. 9)

Se considera que el espesor del tubo de flujo en la dirección perpendicular al plano de la figura es unitario. Donde:

b

a

n

nKhnq

e

f

qf =∆= (2.10)

En vista de que q, K, h y ef nn / son constantes para un problema dado, la relación de

lados a/b debe ser la misma para todos los rectángulos de la red. Este es uno de los principios básicos para el trazado de redes de flujo. En caso de que se elija a/b = 1, todos los elementos de la red serán "cuadrados" como en las figuras anteriores, y la ecuación para el caudal por unidad de espesor de la zona de flujo será


e

f

n

nKhq = (2.11)

Subdividiendo un número de veces suficiente cada elemento de la red de flujo, mediante líneas que definan tubos de flujo de igual caudal y equipotenciales de igual variación de carga, se debe obtener al fin elementos rigurosamente cuadrados, excepto en ciertos puntos singulares aislados. En torno a dichos puntos aparecen en la red de flujo cuadrados singulares con más o menos de cuatro lados, como en el punto C de la Figura 2.1, con lados que no se intersecan perpendicularmente, como en el punto B de la Figura 2.2, o bien con lados cuya intersección está a distancias infinitas, como en los cuadrados singulares de la extrema derecha y de la extrema izquierda en la red de flujo de la Figura 2.1. El único procedimiento válido para investigar si un cuadrado singular está o no correctamente trazado consiste en subdividirlo, si cada subdivisión da lugar a tres cuadrados regulares y un cuadrado singular geométricamente semejante al original, este es correcto.

El coeficiente nf,/ne se llama factor de forma de la red de flujo y fija la relación de lados a/b; su valor es independiente del número de canales de flujo o de caídas de carga usados. Por otra parte, se puede demostrar que la ecuación de Laplace para flujo bidimensional tiene solución única, es decir, que si en un problema dado se logran trazar dos familias de curvas mutuamente ortogonales cuyas intersecciones definan cuadrados y satisfagan las condiciones de frontera, dichas familias son la respuesta a la ecuación de Laplace para el problema dado. Esto constituye la justificación del método gráfico para la solución de problemas de flujo de agua en suelos.

2.4.1.3. Determinación de la Línea Superior de Flujo y Línea de Descarga

Como se mencionó anteriormente en el caso de flujo no confinado, deben definirse en primer lugar la líneas de de saturación y la de descarga libre.

Existen distintos métodos para la determinación de ambas líneas. Se muestran a continuación los distintos métodos propuestos por el U.S. Army Corps of Engineers (1986) (EM-1110-2-1901).

Figura 2.6. Determinación de la línea de filtración y flujo de salida para terraplén sobre fundación

impermeable (U.S. Army Corps of Engineers, 1986).

PARÁBOLA BÁSICA


a Método Ecuaciones

< 30º Schaffernak

Van Iterson

ααα 2

2

2

2

coscos sen

hdda −−=

αα tansenakq =

º90≤ L Casagrande α2

2200

sen

hSSa −−=

Para º60≤α usar 22

0 hdS +=

Para º90º60 ⟨⟨α usar CDACS +=0

α2senakq =

180º Kozeny

−+== dhd

ya

2200 2

1

2

002 kykaq ==

30º a 180º A. Casagrande Determine )( aa ∆+ como la intersección de

la parábola básica y el talud de la presa. Luego determine a∆ desde el valor C de la Figura 2.10

α2senakq =

ó

−+== dhdkkyq

220

Tabla 2.2. Diferentes Métodos de Cálculo para la determinación de la Línea Superior de Flujo y la Línea de Descarga. (adaptado de la New England Waterworks Association)

En 1863 Dupuit propuso para la solución de problemas de flujo no confinado las siguientes dos hipótesis de trabajo: a) que el gradiente es constante en toda sección vertical; b) que en cada sección vertical, el gradiente es igual a la pendiente de la línea superior de flujo. Aplicando estas hipótesis a la presa cuya sección se muestra en la Figura 2.7, se obtiene, por la ley de Darcy

dx

dyKyq −= (2.12)

e integrando

C2

yKqx

2

+−= (2.13)

Introduciendo en la ecuación 2.13 las condiciones de frontera (para x = 0, y = h1; para x = d0, y = h2), se obtiene para el caudal la fórmula de Dupuit


o

2

2

2

1

d2

hhKq

−= (2.14)

y para la línea superior de flujo la ecuación

xd

hhhy

o

2

1

2

22

1

2 −=− (2.15)

que define la llamada parábola de Dupuit (Figura 2.7). Es obvio que la ecuación anterior no representa correctamente la línea superior de flujo, pues no cumple las condiciones de entrada ni de salida; más aún, para h2 = 0 la parábola de Dupuit intersecaría la línea de flujo representada por la frontera impermeable AB. A pesar de estas desviaciones y, en general, de las hipótesis simplistas de Dupuit, se sabe que: a) para presas con taludes verticales, la fórmula de Dupuit es una expresión rigurosa del caudal (Hantush, 1.962); b) para presas con taludes cualesquiera, la misma fórmula da valores del caudal suficientemente aproximados para fines prácticos. Empíricamente se sabe que en este último caso se obtiene una mejor aproximación si do se sustituye por d en la ecuación 2.14 de Dupuit (Figura 2.7), quedando

d

hhKq

2

22

21 −

= (2.16)

Figura 2.7. Parábola de Dupuit y Cálculo del caudal según la fórmula de Dupuit, (Marsal y Resendiz Nuñez,·1975)

Fórmula de Schaffernak-Van Iterson. En la Figura 2.7 puede verse que la mayor desviación entre la línea superior de flujo y la parábola de Dupuit se debe a que no se satisfacen las condiciones de entrada y de salida. En vista de esto, Schaffernak y van Iterson propusieron en 1916, independientemente, determinar la posición de la línea superior de flujo y mantener las dos hipótesis de Dupuit, pero imponiendo la condición de salida correcta, como se indica en la Figura 2.8 para el caso de tirante nulo aguas abajo de la presa. Así, se obtiene que la línea superior de flujo es la parábola C'D' (Figura 2.8), y que la longitud de la cara de descarga libre es

ααα 2

2

2

2

oo

sen

h

cos

d

cos

da −−= (2.17)

0 ,3 m

y

xB0A

h 1

m d 0d

P a rá b o la d e D u p u it

L ín e a s u p e rio r d e flu jo

h 2

xd

hhhy

o

2

1

2

22

1

2 −=−

d2

hhKq

2

2

2

1 −=


Figura 2.8. Solución de Schaffernak-Van Iterson modificada por Casagrande, (Marsal y Resendiz Nuñez,·1975)

A. Casagrande (1925-1940) sugiere que, a fin de satisfacer la condición de entrada, el punto de arranque de la parábola se tome en C y no en C', corrigiendo después localmente la parábola a la entrada, como se muestra en la Figura 2.8. Como en el caso de la fórmula de Dupuit, en la que resulta de las hipótesis de Schaffernak-Van Iterson debe entonces sustituirse d o por d, de modo que, finalmente.

ααα 2

2

2

2

sen

h

cos

d

cos

da −−= (2.18)

y


αα tansenaKdx

dyKyq == (2.19)

La ecuación 2.18 se puede resolver en forma gráfica como se indica en la Figura 2.8 b y, junto con la ecuación 2.9, es aproximadamente válida para 0 < α < 30°.

Fórmula de L. Casagrande. Cuando el talud de aguas abajo, de la presa es relativamente inclinado (α > 30°), la segunda hipótesis de Dupuit ( dx/dyi = ) origina una notable sobrestimación del gradiente medio en una sección vertical, y por tanto la solución de Schaffernak-Van Iterson es poco aproximada. Mejores resultados se obtienen usando la hipótesis ds/dyi = , sugerida por L. Casagrande (1932 y 1933), en que “s” se mide a lo largo de la línea superior de flujo. En este caso, y tomando el punto C (Figura 2.8 a) como partida de la parábola, se obtiene

α222

oo sen/hssa −−= (2.20)

y

α2senaKq = (2.21)

donde so es la longitud de la parábola CD, más la de la cara de descarga libre DB.

Para todo α < 60°, so puede aproximarse en la ecuación 2.10 por 22

o dhs +≈

en cuyo caso la ecuación puede resolverse por el procedimiento gráfico indicado en la Figura 2.8 c).

La solución de L. Casagrande para el cálculo de “a” es suficientemente aproximada para fines prácticos en el intervalo 0 < α < 60°.

Fórmula de Kozeny para α =180º. Para el caso de una cara horizontal de descarga (Figura 2.9 a) existe una solución rigurosa de la ecuación de Laplace, dada por Kozeny en 1931. En este caso, las líneas de flujo y las equipotenciales son parábolas con foco común en el punto O (Figura 2.9 a). Excepto la corrección a la entrada, la ecuación de la línea superior de flujo es

o

2

o

2

y2

yyx

−= (2.22)

donde

dhda2y 22

oo −+== (2.23)

Los puntos D y E determinados por la ecuación 2.23 pueden hallarse por el procedimiento gráfico que se indica en Figura 2.9 b.

En este caso, el caudal por unidad de longitud resulta, rigurosamente

oo

0x

o Ka2Kydx

dyKyq ===

=

(2.24)


a) Posición de la linea superior de flujo

b) Determinación gráfica de los puntos D y E

Figura 2.9. Solución de Kozeny para α = 180º, (Marsal y Resendiz Nuñez,·1975)

Solución de A. Casagrande para º180º60 ≤α≤ . En vista de las ventajas de las secciones de materiales graduados, y de los efectos benéficos de los filtros al pie del talud aguas abajo en presas homogéneas, las caras de descarga con º60>α son muy comunes en presas de tierra. Para la determinación del punto de descarga de la línea superior de flujo, A. Casagrande (1925-1940) usó un ingenioso procedimiento, comparando los resultados de soluciones gráficas obtenidas por tanteos y verificadas en modelos físicos, con la posición de la parábola definida por las ecuaciones 2.12 y 2.13 (parábola de Kozeny).

Dicha comparación muestra que la intersección de la parábola de Kozeny con la cara de descarga está sistemáticamente a cierta distancia a∆ arriba del punto de descarga correcto de

la línea superior de flujo. Naturalmente, la relación aa

ac

∆

∆

+= (Figura 2.10), decrece

gradualmente al aumentar α, hasta anularse cuando α=180º, caso en el que la parábola de Kozeny representa rigurosamente a la línea superior de flujo.

En Figura 2.10 se da la relación entre α y c hallada por el procedimiento indicado. La distancia aa ∆+ está definida por el punto de intersección de la parábola básica y el talud de descarga. Esta intersección, a su vez, puede hallarse en forma gráfica mediante la construcción de la Figura 2.11 a, sugerida por Zaldastani (Casagrande, 1963). Se puede demostrar que este procedimiento es válido para cualquier valor de α y que la bisectriz QT no solo define la intersección de la parábola de Kozeny con el talud, sino además es tangente a dicha parábola en D´. Por tanto, este punto y el C de coordenadas (-d, h) pueden usarse para


trazar, por el procedimiento indicado en la Figura 2.11 b, la parábola de Kozeny que sirve de base en todos los casos para determinar la línea superior de flujo.

Figura 2.10. Método de A. Casagrande para la determinación del punto de descarga de la línea

superior de flujo para º180º60 <≤ α , (Marsal y Resendiz Nuñez,·1975)

Se ha visto que es conveniente hacer el trazado de la línea superior de flujo para cualquier valor de α a partir de una parábola básica, definida en todo caso por dos puntos conocidos sobre ella y por la dirección de la tangente en uno de ellos (los puntos son el C, de coordenadas [-d, h] y el de salida en el talud de aguas abajo, y la tangente es la correspondiente a este último). Para dichas condiciones, el procedimiento gráfico de la Figura 2.11 b es de la mayor utilidad en la localización de puntos sobre la parábola. Trazada esta, la línea superior de flujo se define: a) para º60≤α o para º180=α , corrigiendo la porción superior de la parábola básica a fin de cumplir la condición de entrada pertinente; b) para

º180º60 <α< , corrigiendo, además de la condición de entrada como en el caso anterior, el punto de salida, localizado a una distancia a∆ debajo de la intersección del talud con la parábola de Kozeny, y la condición de descarga correspondiente.


Figura 2.11. Trazado de la parábola básica, (Marsal y Resendiz Nuñez,·1975)

Casos con tirante aguas abajo. Para la determinación del punto de salida de la línea superior de flujo en los casos en que al pie del talud de aguas abajo hay un tirante de agua, el procedimiento más conveniente consiste en dividir la zona de flujo en dos porciones, I y II, como se muestra en la Figura 2.12, y determinar la distancia, a, como si la porción I fuese una presa con frontera impermeable en AB. La justificación de este procedimiento radica en la equivalencia entre fronteras impermeables y líneas de flujo, y en el hecho de que en la porción II el flujo es prácticamente horizontal.

Figura 2.12. Determinación del punto de salida de la línea superior de flujo en una sección

homogénea con tirante aguas abajo, (Marsal y Resendiz Nuñez,·1975)


El caudal en este caso puede calcularse por la fórmula de Dupuit para la presa completa

d

hhKq

2

22

21 −

= (2.25)

o bien como la suma de qI y qII , el primero calculado mediante la fórmula de Dupuit para tirante nulo aguas abajo y el segundo suponiendo que en II ocurre flujo horizontal confinado en una porción de suelo de longitud efectiva, d, como sigue

d

hhKq

d

hhK

d

hKq

II

I

21

221

2

2

)(

2−

=

−==

(2.26)

Se puede demostrar inmediatamente que los valores dados por la ecuación 12.25 o por la suma de las ecuaciones 2.26 son idénticos.

2.4.2. Modelos Físicos

Gradualmente los modelos físicos sean de escala o analógicos, están siendo reemplazados por modelos numéricos y computacionales. Los modelos que simulan flujo de agua en medios porosos se siguen usando porque pueden dar una percepción buena de lo que está ocurriendo durante la filtración y permiten una apreciación física de la reacción del sistema de flujo a los cambios en la carga, en la geometría, y otras suposiciones. Su uso ha quedado casi restringido a la visualización del flujo en laboratorio de uso didáctico.

2.4.2.1. Modelos de Analogía Eléctrica:

Los procesos que involucran movimiento de energía debido a diferencias en el potencial de energía operan por los mismos principios del movimiento del agua en flujo confinado. Estos procesos incluyen electricidad y flujo de calor que se han usado como analogías de infiltración. Las analogías eléctricas han demostrado ser particularmente útiles en el estudio de problemas tridimensionales y en problemas dónde las complejidades geométricas no permiten adecuar las hipótesis simplificativas de los métodos analíticos. Las analogías eléctricas "húmedas" normalmente usan una solución acuosa o gel para modelar el volumen de suelo saturado confinado. Estos modelos se adecuan bien a proyectos donde una estructura irregular penetra un acuífero confinado. Monitoreando el gel o solución cuando se aplica un potencial fijo, puede determinarse el potencial eléctrico en varios puntos de interés en el acuífero (McAnear y Trahan 1972, Banks 1963, 1965). Cuando las condiciones del campo pueden ser caracterizadas en forma bidimensional, se pueden usar modelos en papel conductor para determinar el efecto de varias configuraciones de flujo y presiones en el acuífero, Figura 2.13 (Todd 1980).


Figura 2.13. Uso de papel conductor para determinar líneas de corriente y líneas

equipotenciales (Todd, 1980)

La correspondencia entre flujo permanente en medios porosos y corriente eléctrica en un conductor se presenta en la siguiente Tabla.

Flujo en régimen Permanente Corriente Eléctrica

Carga total = h Voltaje= V

Conductividad Hidráulica = k Conductividad σ

Velocidad de descarga = v Corriente: I

Ley de Darcy: hgradKv −= Ley de Ohm: VgradI σ−=

0h2 =∆ 0V2 =∆

Líneas Equipotenciales: h= constante Líneas Equipotenciales: V= constante

Borde Impermeable: 0n/h =∂∂ Borde aislado: 0n/V =∂∂

Tabla 2.3. Correspondencia entre Infiltración y Corriente eléctrica, (Harr, 1991).

De la Tabla 2.2 resulta evidente la analogía formal entre flujo confinado y corriente eléctrica. Por lo tanto, para obtener el modelo de líneas equipotenciales para un problema de filtración, el dominio del flujo puede ser transferido a un conductor de geometría similar como se observa en la Figura 2.14. El método de analogía eléctrica fue propuesto por Pavlovsky en 1918 (Harr, 1962). Después de Pavlovsky se realizaron modificaciones del mismo. Aunque los últimos modelos eléctricos son más elaborados que los primeros, en esencia difieren muy poco del aparato original de Pavlovsky, el que se observa en la Figura 2.14. En la Figura, A representa la forma del dominio de flujo con un material de alta


resistencia, B es la carga de ingreso con potencial V1, y C es la carga de salida de potencial V2. La metodología consiste en obtener mediante el sensor la ubicación de las líneas de igual diferencia de voltaje, las que se corresponden con la ubicación de las líneas equipotenciales para flujo confinado de configuración y condiciones de borde similares

Figura 2.14. Modelo eléctrico de Pavlovsky, 1918

Se debe destacar que mientras la analogía eléctrica proporciona en forma simple el análogo a una red de flujo (las líneas de corriente se pueden obtener fácilmente conociendo las líneas equipotenciales), está sujeto a las limitaciones propias del análisis de red de flujo. Otra limitación en el modelo eléctrico es que el potencial eléctrico no está sujeto a la gravedad, esto requiere que el sistema sea confinado.

2.4.2.2. Modelos de Arena:

Los modelos que usan los materiales del prototipo pueden proporcionar información sobre los caminos de flujo y las cargas en puntos del acuífero. La arena o el material poroso puede colocarse bajo el agua para proporcionar una condición homogénea, o pueden usarse capas de tamaños de arena diferentes para estudiar los efectos en los bordes o capas. Si el flujo es no confinado y el mismo material se usa para el modelo y el prototipo, el ascenso capilar no se modelará y debe ser compensado en el modelo. El flujo puede ser trazado por la inyección de tinta y las cargas determinadas por piezómetros. Las desventajas incluyen efectos de las capas cuando se coloca el material poroso lo que dificulta la permeabilidad modelada del prototipo y los efectos de borde. Prickett (1975) proporciona ejemplos de depósitos de arena y discute aplicaciones, ventajas, y desventajas.

2.4.2.3. Modelos de Flujo Viscoso:

Los modelos de flujo viscoso han sido usados para estudiar el flujo no permanente y los efectos de los drenes. Este método depende del flujo de un fluido viscoso como aceite o glicerina entre dos platos paralelos y normalmente se usa para estudiar el flujo bidimensional. Como con los modelos de arena, la tinta puede usarse para rastrear las líneas de flujo. La Construcción es normalmente complicada y el funcionamiento requiere de cuidado ya que la


temperatura y fuerzas capilares afectan el flujo. El flujo debe ser laminar, lo cual es difícil de lograr en los bordes o en los cambios bruscos de la geometría de los bordes.

2.4.3. Métodos Analíticos

2.4.3.1.Transformaciones, mapeos

Harr (1962) explica el uso de transformaciones y mapeos para transferir la geometría de un problema de filtración en un plano complejo en otro plano. De esta manera, la geometría de un problema puede tomarse de un plano donde la solución es desconocida a un plano donde la solución es conocida. Mientras este método se ha usado para obtener las soluciones de problemas generales, no es frecuentemente usado para las soluciones de problemas de infiltración específicos, ya que requiere del uso de teorías sobre variables complejas y la elección de funciones apropiadas para la transformación.

Estas transformaciones o mapeos son del tipo )(zfw = , donde w y z son complejos. No existe una representación gráfica adecuada de la función f , porque cada uno de los números w y z se localizan en un plano en vez de localizarse sobre una línea. Sin embargo, se puede dar alguna información acerca de la función indicando pares de puntos correspondientes a ),( yxz = y ),( vuw = . Para realizar esto, por lo general, es más sencillo trazar los planos w y z por se parado.

Los términos traslación, rotación y reflexión, se utilizan para expresar las características geométricas predominantes de ciertos tipos de mapeos. En tales casos, es conveniente considerar, algunas veces, los planos w y z como un solo plano. Por ejemplo, se puede pensar que el mapeo 1+= zw , es una traslación de cada punto z a una posición localizada una unidad a la derecha. El mapeo ziw = hace girar cada z diferente de cero en

sentido antihorario, un ángulo 2

π, y el mapeo zw = transforma cada punto z en su reflexión

sobre el eje real.

Generalmente, se obtiene más información delineando curvas y regiones, que indicando simplemente las imágenes de cada punto. Para demostrar esto, la función

yiyxzf −+= 22)(

mapea los puntos en el círculo 222 cyx =+ , donde 0≥c , en la línea cu = , ya que 22

yxu += . Puesto que yv −= y y toma todos los valores desde c− a c , la imagen del

círculo es, en realidad, el segmento cu = , cvc ≤≤− . Como los puntos ),( yxz = y ),( yxz −=− tienen la misma imagen w , cada punto en aquel segmento, excepto los

extremos, es la imagen de dos puntos en el círculo.

El dominio de definición de la función es el plano z , y cada punto se encuentra en tal círculo, ya que c es una constante no negativa. La imagen de cada círculo es el segmento de recta que se ha descrito antes, y cualquiera de estos segmentos es la imagen de uno de los círculos. Por lo tanto, el rango de la función es el cuadrante

uvuu ≤≤−≥ ,0


Figura 2.15. Mapeo de un Círculo en el espacio z, en el espacio w, (R. V Churchill, 1978).

Sea la función f definida en la vecindad de un punto z0 por medio de la ecuación ),(),()( yxivyxuzf +=

Si existe )´( 0zf en un punto 000 yixz += , entonces las derivadas primeras parciales de u y v

con respecto a x e y existen en ),( 00 yx y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en

dicho punto.

Es decir se satisfacen:

),(),( 0000 yxy

vyx

x

u

∂

∂=

∂

∂ y ),(),( 0000 yx

x

vyx

y

u

∂

∂−=

∂

∂ (2.27)

Que resultan de igualar las derivadas en cada una de las direcciones

),(),()´( 00000 yxx

viyx

x

uzf

∂

∂−

∂

∂= , además

),(),()´( 00000 yxy

uiyx

y

vzf

∂

∂−

∂

∂=

Figura 2.16. Incrementos del Punto z0 en x e y, (R. V Churchill, 1978).

Ya que las ecuaciones de Cauchy-Riemann (Ecuación 2.27), son necesarias para la existencia de )´( 0zf , se suelen utilizar frecuentemente para localizar puntos donde una

función no tenga derivada. Es decir que se verifica el no cumplimiento de las ecuaciones de Cauchy-Riemann.


Se debe notar que el cumplimiento de las ecuaciones de Cauchy-Riemann para un punto ),( 000 yxz = no es suficiente para que exista la derivada de f en ese punto.

Si la función ),(),()( yxivyxuzf += está definida en cada punto de cierta ε vecindad

del punto 000 yixz += y existen las derivadas parciales de las funciones u y v respecto a x e

y en esa vecindad y son continuas en ),( 00 yx y además satisfacen las ecuaciones de Cauchy-

Riemann en ),( 00 yx , entonces, la derivada )´( 0zf existe.

Es así como se introduce el concepto de función analítica. Una función f de la variable compleja z es analítica en el punto z0 si su derivada existe no solamente en z0 , sino en todo punto de alguna vecindad de z0 . Es analítica en una región R, si es analítica en cada punto de R.

Ahora bien, una función de valor real h de dos valores reales x e y es armónica en un dominio dado del plano xy, si en todo punto de ese dominio tiene derivadas parciales (primera y segunda) continuas y satisface la ecuación diferencial parcial de Laplace

0 =] y

h[ +]

x

h[

2

2

2

2

∂

∂

∂

∂

Si una función ),(),()( yxivyxuzf += es analítica en un dominio D, se demuestra que las funciones componentes u y v son armónicas en D. Expresamente si una función de una variable compleja es analítica en un punto, se cumple que sus partes real e imaginaria tienen derivadas parciales de todos los órdenes, continuas en dicho punto.

Ya que f es analítica en D, las primeras derivadas parciales de sus componentes satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todo punto D, es decir

y

v

x

u

∂

∂=

∂

∂

x

v

y

u

∂

∂−=

∂

∂

Al diferenciar los dos miembros de estas ecuaciones respecto a x, se tiene

xy

v

x

u

∂∂

∂=

∂

∂ 2

2

2

yx

v

xy

u

∂∂

∂−=

∂∂

∂ 22

(2.28)

De igual manera al diferenciar respecto a y, se obtiene

2

22

y

v

yx

u

∂

∂=

∂∂

∂

yx

v

y

u

∂∂

∂−=

∂

∂ 2

2

2

(2.29)

Y al aplicar el teorema del cálculo de variables reales, la continuidad de las derivadas

parciales asegura que yx

v

xy

v

∂∂

∂=

∂∂

∂ 22

y xy

u

yx

u

∂∂

∂=

∂∂

∂ 22

. Por lo tanto de las ecuaciones 2.28 y

2.29, resulta

0),(),(2

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂yx

y

uyx

x

u y 0),(),(

2

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂yx

y

vyx

x

v

Es decir que, si ),(),()( yxivyxuzf += es analítica en un dominio D, sus funciones componentes u y v son armónicas en D.


Un ejemplo de solución analítica a la ecuación de Lapace por mapeo es el encontrado por Kozeny para infiltración en una presa de tierra sobre una superficie impermeable con un dren ubicado al pié de la misma, aguas abajo. El objeto del dren es controlar la infiltración en el cuerpo de la presa. En el dren se ubican conductos colectores del agua que luego descargan o en el vertedero de la presa o directamente en el río. El coeficiente de conductividad hidráulica del dren es mayor que el del cuerpo de la presa.

Figura 2.17. Mapeo con la función z =w

2 , parábola de Kozeny, (Harr, 1991).

Para el análisis del escurrimiento la línea entre el cuerpo de la presa y el dren es una línea equipotencial. Así la región de flujo queda delimitada por una superficie equipotencial en parábola de la presa aguas arriba y a lo largo del dren AD, y de líneas de corriente en la superficie libre FCD y del borde impermeable AE de la Figura 2.17.De esta forma, la región de flujo en el plano w resulta: 0=φ a lo largo de AD, hk−=φ a lo largo de EF (donde h es la pérdida de carga total en el cuerpo de la presa), 0=ψ a lo largo de AE, q=ψ en la

superficie libre FD. Tomando como función de mapeo, 2Cwz = , donde C es una constante; y a lo largo de la superficie libre, yk−=φ y q=ψ

Recordando

ψφ iw +=

yixCwz +== 2

Reemplazando

yixiC +=+ 2)( ψφ

yixiC +=−+ )2( 22 ψψφφ

( ) ψφψφ CyeCx 222 −=−=⇒

Que reemplazado por yk−=φ y q=ψ


( ) qykCyeqykCx 2222 −=−=⇒ (2.30)

y despejando C de la segunda ecuación 2.30

qkC

2

1−=

Y la ecuación de la superficie libre, llamada Parábola de Kozeny es:

k

q

q

ykx

22

2

+−= (2.31)

Para 0=x en la ecuación 2.31 y llamando 0y a la intersección de la superficie libre de

escurrimiento con el eje y , el caudal por unidad de longitud de la presa es, despejando:

0ykq = (2.32)

Y combinando las ecuaciones (2.31) y (2.32)

02 020

2 =+− xyyy (2.33)

Y despejando 0y , se obtiene:

220 yxxy +±= (2.34)

Y tomando los valores de coordenadas en el punto de ingreso aguas arriba, dx −= , hy = de la Figura 2.17 a se obtiene

dhdy −+= 220 (2.35)

En la Figura 2.17 c, se muestra la solución gráfica de la ecuación 2.35. Si 0=y en la ecuación (2.34), la distancia focal también llamada longitud mínima de dren, resulta:

20

0

ya =

Diferenciando la ecuación 2.33, xyyy 020

2 2−=− , respecto a y

dxydyy 022 −=

y

y

dy

dx

y

y

dy

dx 00

2

2−=⇒−=

Se obtiene que yy /0− es la pendiente de la tangente en cualquier punto de la superficie libre

de escurrimiento. Por lo tanto la superficie libre entra al dren verticalmente ( 0=y ), y su

pendiente en 0yy = es -45º

De esta manera se observa que se requiere de toda la información disponible para dar una solución analítica del problema.

2.4.3.2.Método de los Fragmentos

Pavlovsky (1936, 1956) desarrolló un método aproximado que permite separar en tramos el problema de flujo para desarrollar la filtración en su totalidad. Este método, llamado el


Método de los Fragmentos, permite resolver problemas de infiltración bastante complicados fraccionándolos en partes, analizando los modelos de flujo para cada una, y volviendo a montar las partes para proporcionar una solución global. Harr (1962) presenta la explicación del trabajo de Pavlovsky.

El método de los fragmentos es un método de aproximación analítica para el cálculo de los caudales y presiones para aguas subterráneas. La hipótesis de este procedimiento se basa en el supuesto de que las líneas equipotenciales en diversos lugares críticos en la región de flujo son rectas verticales. Estas líneas equipotenciales dividen la región del flujo en partes o fragmentos. Otros supuestos inherentes al método de fragmentos son:(a) la ley de Darcy es válida, (b) se ha alcanzado el estado permanente, y (c) el suelo se aproxima a un estrato homogéneo e isotrópico o una serie de capas isotrópicas y homogéneas.

Conceptos básicos. El caudal a través de un único fragmento se calcula como:

i

iKhq

Φ= (2.36)

Dónde. K: coeficiente de conductividad

hi = pérdida de carga a través del fragmento

iΦ = Factor de forma adimensional,

Debido a que los bordes de los fragmentos consisten en líneas equipotenciales, el flujo a través de cada fragmento debe ser igual al total del flujo a través del sistema. Así

n

KhKhKhQ n

Φ=

Φ=

Φ= .....

2

2

1

1 (2.37)

Dado que la suma de las pérdidas de carga en cada fragmento es igual a la pérdida total, el caudal total puede ser expresado como

∑=

Φ

=n

i

i

KhQ

1

(2.38)

donde h es la pérdida total de carga a través de la sección. En la misma línea, la pérdida de carga en cada fragmento puede calcularse a partir de

∑=

Φ

Φ=

n

i

i

i

i

hh

1

(2.39)

La pérdida de carga a lo largo de toda la frontera impermeable de un fragmento se asume que cambia en forma lineal. El concepto básico del método de los fragmentos es fraccionar la región de flujo en partes para las que el factor de forma toma las expresiones que se muestran en la Figura 2.18, (Harr, 1991).

Hay nueve diferentes tipos de fragmentos desarrollados. De estos, los seis primeros son para flujo confinado, mientras que los tres últimos son para flujo no confinado.


FRAGMENTO TIPO

ILUSTRACIÓN

FACTOR DE FORMA φ

(h es la pérdida de carga a través del fragmento)

I

a

L=Φ

II

)Q

Kh(

2

1=Φ

III

´K

K=Φ

T

s

T

b

T

sm

2tan

2tanh

2cos 22 πππ

+=

IV

b≤ S

)a

b1(ln +=Φ

b≥S

T

Sb

a

S −++=Φ )1ln(

V

L<2S

)2

1ln(2a

L+=Φ

L>2S

T

SL

a

S 2)1ln(2

−++=Φ

VI

L>(S´+S´´)

( )T

SSL

a

S

a

S ´´´

´´

´´1

´

´1ln

+−+

+

+=Φ

L ≤ (S´+S´´)

+

+=Φ

´´

´´1

´

´1ln

a

b

a

b donde

2

´´)´(´

SSLb

−+=

2

´´)´(´´

SSLb

−−=


VII

21

2

hh

L

+=Φ

L

hhkQ

2

22

21 −

=

VIII

hh

hhhkQ

d

d

−

−= ln

cot1

α

IX

)ln1(cot

2

222

a

haakQ

++=

β

Figura 2.18. Resumen de tipos de fragmentos y factores de forma, (Adaptado del U.S. Army Corps of Engineers, 1993)

(1) Tipo I. Este tipo representa el fragmento de una región de flujo horizontal entre fronteras impermeables. Para este tipo de fragmento, que se muestra en la Figura 2.19 a, el flujo por unidad de ancho es igual a

L

aKhQ i= (2.40)

De donde el factor de forma es

a

L=Φ (2.41)

Una sección elemental Tipo I se muestra en la Figura 2 19 b donde:

y

dxd =Φ

Este tipo de sección es el que se usará de base para el cálculo de los factores de forma para los fragmentos del Tipo IV, V, y VI.


Figura 2.19. Fragmento Tipo I, (Harr, 1991).

(2) Tipo II. Este tipo representa un fragmento con un borde impermeable de profundidad S, en un estrato permeable de espesor T, Figura 2.20. Este fragmento puede representar tanto la condición de entrada (Figura 2.20 a) como la de salida (Figura 2.20 b). El factor de forma toma la expresión

)(2

1

Q

Kh=Φ (2.42)

Figura 2.20. Fragmento Tipo II, (U.S. Army Corps of Engineers, 1993).

También puede expresarse como la relación entre la integral elíptica de primer tipo con módulo m y la integral elíptica del módulo complementario m´. El gráfico de la Figura 2.21 fue obtenido resolviendo las integrales elípticas para varias combinaciones de S/T. Para este tipo de fragmento la relación b/T es igual a cero

(3) Tipo III: Este tipo de fragmento (Figura 2.22) representa un borde impermeable de longitud b, con una profundidad de longitud S, en un manto permeable de espesor T. El factor de forma se obtiene directamente de la Figura 2.21 con la relación b/T. Para este caso, el módulo m de la integral elíptica es una función de b/T y de S/T.

´K

K=Φ (2.43)

T

s

T

b

T

sm

2tan

2tanh

2cos 22 πππ

+=


Figura 2.21. Descarga para pantalla en el centro de simetría, (Harr, 1991).

Figura 2.22. Fragmento Tipo III (U.S. Army Corps of Engineers, 1993)

(4) Tipo IV: Este tipo es un fragmento interno con borde de longitud b, con una profundidad S, en un estrato permeable de espesor T. La Figura 2.23 muestra las dos posibles configuraciones. Pavlovsky divide el flujo en dos partes, una activa y otra pasiva basado en la analogía eléctrica como se muestra en la Figura 2.23 b línea AB. Se asume un ángulo de 45º para la línea que divide en dos partes el fragmento. Este resultado en ambos casos depende de la relación entre b y S. Para el caso donde b≤ S, la zona activa está compuesta de elementos de tipo I de ancho dx como se observa en la Figura 2.23 d. El factor de forma es la integral de dx a y, de 0 a b la que resulta en un factor de forma

)a

b1(ln +=Φ (2.44)


Si b≤S, entonces el fragmento se puede dividir en dos fragmentos como se muestra en la Figura 2.23 e. El primero es un fragmento de Tipo IV con b≥S y el segundo es uno del Tipo I con L=b-S. Por lo tanto el factor de forma es la suma de los factores de forma, el que resulta

T

Sb

a

S −++=Φ )1ln( (2.45)

Figura 2.23. Fragmento Tipo IV, (U.S. Army Corps of Engineers, 1993)

(5) Fragmento Tipo V: Este tipo de fragmento tiene dos tipos de bordes de igual profundidad S en un estrato permeable de espesor T.

Figura 2.24. Fragmento Tipo V, (U.S. Army Corps of Engineers, 1993)

Los dos casos son para L<2S y para L>2S. Para el primer caso el factor de forma es:

)2

1ln(2a

L+=Φ (2.46)


Para el segundo caso el que consiste en el doble del fragmento Tipo IV, el factor de forma es:

T

SL

a

S 2)1ln(2

−++=Φ (2.47)

(6) Fragmento Tipo VI: Este tipo de fragmento, es igual al del Tipo V excepto que la longitud de los bordes es distinta.

Figura 2.25. Fragmento Tipo VI, (U.S. Army Corps of Engineers, 1993)

Usando las mismas aproximaciones del Fragmento Tipo IV, existen dos casos para el factor de forma. Para el primer caso donde L>(S´+S´´), el factor de forma es:

( )T

SSL

a

S

a

S ´´´

´´

´´1

´

´1ln

+−+

+

+=Φ (2.48)

Para el segundo caso donde L ≤ (S´+S´´), el factor de forma es:

+

+=Φ

´´

´´1

´

´1ln

a

b

a

b (2.49)

Donde

2

´´)´(´

SSLb

−+=

2

´´)´(´´

SSLb

−−=

(7) Fragmento Tipo VII: Este tipo de fragmento representa la condición de flujo no confinado. Este flujo está caracterizado por tener una línea superior de flujo (línea A-B en la Figura 2.26), esta línea separa el flujo saturado del flujo no saturado. Según la ley de Darcy y la hipótesis de Dupuit, el gradiente hidráulico es (h1-h2) /L , y la sección transversal (h1+h2) /2, por lo tanto el caudal es:

L

hhkQ

2

22

21 −

= (2.50)


Figura 2.26. Fragmento Tipo VII , (U.S. Army Corps of Engineers, 1993)

Y el factor de forma es:

21

2

hh

L

+=Φ (2.51)

(8) Fragmento Tipo VIII: Este tipo de fragmento representa una presa de material suelto con una condición de entrada con una pendiente dada y de una altura hd como se muestra en la Figura 2.27. Se asume que las líneas de flujo (cd) pueden aproximarse a canales de flujo horizontales de longitud ed (Pavlovsky, 1956 y Harr, 1977). Con esta hipótesis el gradiente hidráulico es en cada canal es:

)(cot

)( 11

yh

a

dy

hhdi

d −=

−=

α

Figura 2.27. Fragmento Tipo VIII, (U.S. Army Corps of Engineers, 1993)

Integrando la relación dy/(hd – y) de 0 a h, se genera la expresión para el caudal:

hh

hhhkQ

d

d

−

−= ln

cot1

α (2.52)

(9) Fragmento Tipo IX: Este tipo de fragmento representa una condición de salida donde existe una superficie de descarga libre. Esta superficie DE no es una línea equipotencial ni


una línea de flujo. La hipótesis de Pavlovsky es que el flujo es horizontal. Para el tramo DE el caudal es el producto del coeficiente de permeabilidad por la integral de dy sobre cot α. El caudal para el tramo EF es igual al producto del coeficiente de permeabilidad por a2 dy sobre (a2 + h2 – y). Integrando, queda la expresión

)1(cot 2

222

a

hal

akQ

++=

β (2.53)

Figura 2.28. Fragmento Tipo IX, (U.S. Army Corps of Engineers, 1993)

(10) Gradiente de Salida: El método de los fragmentos permite la determinación del gradiente de salida cuando el último fragmento (aguas abajo) es del tipo II o III. El gradiente de salida se define (Harr, 1991)

m

m

ETK

hI

2

π

= (2.54)

Donde:

=mh pérdida de carga en el último fragmento

=K integral elíptica completa de primer tipo con módulo m

T= profundidad de la región de flujo

El módulo m es una función de b/T y de S/T y se define como:

T

S

T

b

T

Sm

2tan

2tanh

2cos 22 πππ

+=

Para el fragmento tipo II, se puede usar la Figura siguiente e ingresando con el valor de S/T obtener IE S/ hm, y sustituyendo los valores, obtener el Gradiente de salida IE.


Figura 2.29. Relación para la determinación del Gradiente de salida como función de la pérdida

de carga en el Fragmento Tipo II, (U.S. Army Corps of Engineers, 1993)

2.4.3.3.Soluciones Cerradas:

Las soluciones cerradas resuelven el problema de infiltración para casos especiales en términos de funciones y condiciones de contornos particulares. Las soluciones cerradas existen para condiciones de infiltración más simples y se hallan usando las técnicas de mapeo o por el método de los fragmentos, que en síntesis son métodos analíticos para encontrar soluciones al problema de infiltración. Ejemplos de ellas son la expresión de Pavlovsky para una presa impermeable con pantalla para flujo confinado. Los problemas de infiltración asociados a presas típicas requieren soluciones aproximadas debido a las complicadas condiciones del flujo

2.4.4. Métodos Numéricos y Computacionales Los métodos computacionales se usan para condiciones del flujo complejas y usan

aproximaciones para la solución de la ecuación de Laplace; han reemplazado casi totalmente a los físicos y analíticos.

Los dos métodos de solución numérica son el método de diferencias finitas y el de elementos finitos. Los dos pueden modelar en forma bidimensional o tridimensional. Existen numerosos programas para estos métodos como los del Cuerpo de Ingenieros.

2.4.4.1. Método de Diferencias Finitas:

El método de diferencias finitas resuelve la ecuación de Laplace aproximándola con un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. La región de flujo es dividida en una malla rectangular discreta con puntos nodales a los que se les asignan valores de carga (valores de carga conocidos en los bordes o puntos fijos, y valores de carga estimados para los puntos nodales de los que se desconoce su valor inicialmente). Usando la ley de Darcy y la hipótesis de que la carga en un nodo dado es el promedio de los nodos circundantes, se forma un sistema de N ecuaciones algebraicas lineales con N incógnitas (N igual al número de nodos). Pueden resolverse mallas simples con pocos nodos. Normalmente, N es grande y deben aplicarse métodos de relajación que involucran iteraciones y el uso de una computadora.


Método de Relajación:

Se presenta el desarrollo por el Método de relajación de la discretización en diferencias finitas, (Reyna, y Lábaque, 2010).

Para infiltración en dos dimensiones, y para flujo permanente, la distribución de la altura de carga toma la forma de la ecuación de Laplace:

02

2

2

2

=+z

hkz

x

hkx

∂

∂

∂

∂ (2.55)

Tomando las alturas de carga en una región como se muestra en la figura 2.30, y para flujo en la dirección x, las alturas de carga son h1, h0, y h3

Figura 2.30. Alturas de carga para flujo en la dirección x, y z.

Usando la expansión en series de Taylor, estas alturas de carga resultan:

.............!3/))((!2/))(()( 33

32

2

2

01 +∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+= dx

x

hdx

x

hdx

x

hhh (2.56)

.............!3/))((!2/))(()( 33

32

2

2

03 +∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+= dx

x

hdx

x

hdx

x

hhh (2.57)

Sumando las ecuaciones 2.27 y 2.28, se obtiene:

....!.........2/))((22 2

2

2

031 dxx

hhhh

∂

∂+=+ ……………………. (2.58)

Despreciando los términos mayor orden, asumiendo que un paso ∆x lo suficientemente pequeño, la ecuación 2.58 se puede reescribir como:

20312

2

)/()2()( dxhhhx

h−+=

∂

∂ (2.59)

Para flujo en la dirección z, se obtiene una relación similar:


20422

2

)/()2()( dzhhhz

h−+=

∂

∂ (2.60)

Sustituyendo las ecuaciones 2.59 y 2.60 en la ecuación 2.55, se obtiene:

0)(

2

)(

22

0422

031 =−+

+−+

dz

hhhk

dx

hhhk zx (2.61)

Para un suelo isotrópico, kx = kz = k y dx = dz, y la ecuación 2.61 se simplifica quedando:

4/)( 43210 hhhhh +++= (2.62)

Teniendo en cuenta la Ley de Darcy,

Aikq =

se obtienen los caudales

)/)(( 0101 dxdzhhkq −=− (2.63)

)/)(( 0202 dzdxhhkq −=− (2.64)

)/)(( 3030 dxdzhhkq −=− (2.65)

)/)(( 4040 dzdxhhkq −=− (2.66)

Para el punto 0, qin = qout

40300201 −−−− +=+ qqqq

Se puede obtener el mismo resultado que para la ecuación 2.62:

Para puntos simétricos

8/)2222( 43210 hhhhh +++=

Para diferentes condiciones de borde, se pueden escribir diferentes ecuaciones para evaluar la carga. Se presentan a continuación seis casos.

ELEMENTO BÁSICO

ECUACIÓN

Caso (a)

Región

Uniforme

4/)( 43210 hhhhh +++=

2

0

4

3 1

2

0

4

3 1

2

3

4

1


Caso (b)

Borde

Impermeable

2

0

3 1

4/)2( 3210 hhhh ++=

Caso (c):

Esquina

2

0 1

2/)( 210 hhh +=

Caso (d):

Esquina

región

exterior

2

0

4

3 1

6/)22( 12430 hhhhh +++=

Caso (e):

Tablestaca

2”

0

4

3 1

2’

8/)22´´´2( 432210 hhhhhh ++++=

Case (f):

Capas de

suelo

Suelo 1, k1

2

0

4

3 1

Suelo 2, k2

{ 4/})]/(2[)]/(2[ 42123221110 hkkkhhkkkhh +++++=

Figura 2.31. Discretización para distintas condiciones de borde.

2.4.4.2.Método de Elementos Finitos:

El método de elementos finitos es una segunda forma de solución numérica. Este método también se basa en el modelo de malla (no necesariamente rectangular) que divide la región de flujo en elementos discretos y proporciona N ecuaciones con N incógnitas. Para


cada elemento se especifican sus propiedades, como la permeabilidad, y se establecen las condiciones de borde (cargas y caudales). Se resuelve el sistema de ecuaciones para determinar las cargas en los nodos y caudales en los elementos.

A continuación se presenta la formulación utilizada para la discretización con elementos finitos en el Programa Plaxis 2D Versión 8, en su Manual (R. B. J. Brinkgreve y otros, 2002), Parte 4, Teorías y Modelos Numéricos (Scientific Manual). La descripción del Manual se presenta en el punto 2.6.1.

Discretización con elementos finitos:

El potencial en cualquier posición dentro de un elemento puede ser expresada en los valores en los nodos de cada elemento como:

eN),( φηξφ = (2.67)

donde N es el vector con las funciones de interpolación y ξ y η las coordenadas locales dentro del elemento. De acuerdo a la ecuación de Darcy, el caudal específico es función del gradiente hidráulico. Este gradiente se puede determinar conociendo la matriz B que contiene las derivadas espaciales de las funciones de interpolación. Para describir el suelo saturado (por debajo de la línea freática) como para el suelo no saturado (por encima de la freática), se introduce una función r

K en la Ley de Darcy (Desai, 1976; Li y Desai, 1983; Bakker, 1989):

x

x

r

x KKq∂

∂−=

φ

y

y

r

y KKq∂

∂−=

φ (2.68)

La función de reducción toma el valor 1 por debajo de la freática y valores menores que 1 por encima. En la zona de transición por encima de la freática, los valores de la función decrecen hasta un mínimo de 10-4. En la zona de transición la función se describe usando una relación logarítmica:

kh/h4

r 10K−= 1K10

r4 ≥≤− (2.69)

o

k

r

h

hK

4)log( −=

Donde h es la carga hidráulica y hk es la carga hidráulica donde la función de reducción alcanza el valor mínimo 10-4.

En la formulación numérica, el caudal específico, q queda escrito como: er

BRKq φ= (2.70)

Donde

=

y

x

q

qq y

=

y

x

K0

0KR

El caudal en el nodo resulta de integrar los caudales en los puntos de integración

dVqBQTe ∫−= (2.71)

En la que TB es la matriz transpuesta de la matiz B. A nivel de elemento se aplican las

siguientes ecuaciones:


eee KQ φ= con ∫= dVBRBKKTre

A nivel global, se suma la contribución de todos los elementos y se imponen las condiciones de borde (tanto en carga como en caudal). El resultado es un sistema de n ecuaciones con n incógnitas:

φKQ = (2.72)

En la que K es la matriz de flujo global y Q contiene los caudales dados por las condiciones

de borde.

En el caso que se desconoce la línea freática (problema de flujo no confinado) se utiliza el esquema de Picard para resolver el sistema de ecuaciones en forma iterativa. El sistema lineal se resuelve en forma incremental y el proceso de iteración puede ser formulado como:

1j1jj1jKQK

−−− −= φφδ j1jjδφφφ += − (2.73)

Donde j es el número de iteración. En cada iteración se calcula el incremento de la carga del desequilibrio en los caudales nodales y sumados a la carga activa.

De la nueva distribución de las cargas se calculan los nuevos caudales de acuerdo a la ecuación correspondiente los que pueden ser nuevamente integrados en los nodos. Este proceso continúa hasta que el valor del error (módulo del vector de desequilibrio) es menor que la tolerancia.

El método de elementos finitos tiene varias ventajas sobre el método de diferencias finitas para los problemas de infiltración más complejos. Éstas incluyen (Radhakrishnan 1978):

a) Se pueden estudiar fácilmente geometrías complejas con capas de suelos inclinadas.

b) Se pueden modelar con precisión, variando el tamaño de elementos, zonas donde los gradientes de infiltración o las velocidades son altos.

c) Se puede modelar una porción de suelo dentro de una capa.

2.5 Métodos de solución para régimen impermanente o transitorio para suelos no saturados

Los métodos descriptos son basados en la hipótesis de que el agua sólo fluye en la zona saturada y alcanza el estado permanente de infiltración.

En esta aproximación "solamente saturado", la línea freática es el límite superior de la zona de flujo para problemas de flujo no confinado. Para obtener la línea freática, se usa un procedimiento de prueba y error hasta alcanzar una superficie donde la presión y el flujo a lo largo de ella es cero. Para cada prueba, se reajusta la ubicación de la freática y se construye una nueva malla. Este método es tedioso, y además está basado en una hipótesis falsa que es justamente que la freática es el borde superior de la zona de flujo.

Un modelo nosaturado-saturado es un modelo superior a uno solamente saturado. Considerando flujo en ambas zonas, en la zona saturada y en la zona no saturada, la superficie del suelo resulta el límite superior de la zona de flujo en lugar de usar como límite superior la


línea freática. La línea freática se obtiene uniendo puntos de presión de agua igual a cero en la región de flujo. Este modelo permite el cálculo del caudal y de la carga hidráulica en la zona no saturada. Otra ventaja es que no es necesario ajustar la malla durante la solución del problema.

2.5.1. Ecuaciones generales

Se presentan a continuación las ecuaciones generales que gobiernan el flujo tanto en la zona saturada como en la zona no saturada, (Lam y Fredlund 1987).

La teoría de consolidación unidimensional de Terzaghi (1943) introduce una aproximación para los problemas de infiltración.

Fredlund y Morgenstern (1977) proponen el uso de dos variables de estado de tensiones independientes, )( au−σ y )( wa uu − , para describir ese estado de tensiones para un suelo no saturado. También proponen ecuaciones constitutivas que relacionan los cambios de volumen en la estructura del suelo y las fases del fluido con los cambios en las tensiones (Fredlund y Morgenstern, 1976).

El flujo neto a través de elemento bidimensional de suelo no saturado, puede expresarse como

∂

∂

∂

∂−

∂

∂

∂

∂−=

∂

∂=∆

y

hK

yx

hK

xtq yx

wθ (2.74)

La ecuación constitutiva para la fase agua de un suelo no saturado es

)()( 21 wa

w

a

w

w uudmudmd −+−= σθ (2.75)

donde:

=wm1 pendiente de la curva )( au−σ versus wθ , cuando )( wa uud − es cero

=wm2 pendiente de la curva )( wa uu − versus wθ , cuando )( aud −σ es cero

=σ tensión total en la dirección x y (o) en la dirección y

=au presión del aire en los poros

=wu presión del agua en los poros

Como wm1 y w2m se pueden suponer constantes para un paso de tiempo durante el proceso

impermanente, la derivada en el tiempo de la ecuación constitutiva se puede expresar como

t

)uu(m

t

)u(m

twaw

2aw

1w

∂

−∂+

∂

−σ∂=

∂

θ∂ (2.76)

Combinando 2.74 y 2.76 se obtiene

( ) ( )t

uum

t

um

y

hK

yx

hK

x

wawaw

yx∂

−∂+

∂

−∂=

∂

∂

∂

∂−

∂

∂

∂

∂− 21

σ (2.77)

Se supone que no hay variación en las cargas externas durante el proceso no permanente, y que la fase aire es continua en la zona no saturada ( 0/0/ =∂∂=∂∂ tuyt aσ ). De esta manera

la ecuación 2.77 se simplifica, quedando


( )t

um

y

hK

yx

hK

x

ww

yx∂

∂=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂2 (2.78)

Expresando el término de presión del agua en los poros en 2.78 en términos de la carga total, la ecuación diferencial para flujo transitorio queda

( )t

hgm

y

hK

yx

hK

x

w

wyx∂

∂=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂2ρ (2.79)

Luego de incorporar la anisotropía del suelo, donde la dirección de la mayor conductividad está inclinada un ángulo arbitrario con respecto al eje x. la ecuación 2.79 se transforma en

( )t

hmg

y

hK

x

hK

yy

hK

x

hK

x

w

wyyyxxyxx∂

∂=

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂2ρ (2.80) donde:

αα 22

21 cos senKKK xx +=

αα 22

21 cosKsenKK yy +=

αα cos)( 21 senKKKK yxxy −==

=1K conductividad mayor

=2K conductividad menor

=α ángulo de inclinación entre K1 y el eje de las x

La ecuación 2.80 se deriva de las ecuaciones básicas para flujo no saturado (Fredlund 1981) y pueden usarse para describir el flujo permanente para sistemas de suelo saturado-nosaturado. El término w

2m representa la tasa a la que el suelo absorbe o libera agua cuando hay un cambio en la matriz de succión. La Figura 2.32 ilustra la variación en el valor de

w2m cuando el suelo pasa de saturado a no saturado. El valor de w

2m es igual a la pendiente de la curva de retención de humedad. Bajo la hipótesis de una presión total constante y la presión de poros de aire igual a la presión de poros del agua, w

m2 toma el mismo valor que wm1 en la

zona saturada. El valor de wm1 es equivalente al coeficiente de cambio de volumen, vm =

(σ

ε

∆

∆), común en mecánica de los suelos saturados.


Figura 2.32. Curva de retención de humedad y w2m para suelo saturado-nosaturado, L. Lam y

D.G. Fredlung, 1987

2.5.2. Formulación con elementos finitos

Se presenta a continuación la formulación para las ecuaciones que gobiernan el problema (L. Lam y D.G. Fredlung, 1987).

La solución de Galerkin para la ecuación 2.80 está dada por las integrales sobre el área y el perímetro de un elemento triangular (Lam 1983).

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0=−∂

∂+ ∫∫∫ S

T

A

nT

A

nTqdsL

t

hdALLhdABKB λ (2.81)

donde

[ ]

−−−

−−−=

123123

211332

2

1

xxxxxx

yyyyyy

AB

con x1, y1 coordenadas cartesianas de los nodos del elemento

[ ]

=

yyyx

xyxx

kk

kkK

con kxx, kxy, kyx, kyy, componentes del tensor de permeabilidad del elemento

[ ]

=

3

2

1

h

h

h

hn

con hi, la carga en los nodos de los elementos


[ ] [ ]321 LLLLT

=

con Li, coordenadas areales del elemento: w

wgmρλ 2=

q = flujo a través del perímetro del elemento

A = área del elemento

S = perímetro del elemento

t = tiempo

Integrando numéricamente la ecuación 2.81 y simplificando, la expresión queda:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]FhEhD nn =+ (2.82)

Donde:

[ ] [ ] [ ][ ]ABKBDT

= , es la matriz de rigidez;

[ ]

=

211

121

112

12

AE

λ, es la matriz de capacitancia;

[ ] [ ] [ ]

=

=

=

1

1

0

21

0

1

20

1

1

2

qlFó

qlFó

qlF es el vector de caudal de las condiciones de

borde;

[ ]nh es la derivada en el tiempo de la altura de carga total

Para flujo transitorio la derivada en el tiempo de la ecuación 2.82 se puede aproximar por diferencias finitas. Consecuentemente la relación entre las cargas nodales de un elemento en dos pasos sucesivos de tiempo se pueden expresar por las siguientes ecuaciones

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]FhDt

Eh

t

ED t

n

tt

n 222

−

−

∆=

∆+ ∆+ (2.83)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]Fht

Eh

t

ED t

n

tt

n −∆

=

∆+ ∆+ (2.84)

La ecuación 2.83 se obtiene usando aproximación por diferencias central y la ecuación 2.84 por aproximación hacia atrás. Generalmente las soluciones basadas en aproximación por diferencias centrales son más exactas que aquellas aproximaciones por diferencias hacia atrás. Sin embargo las aproximaciones por diferencias hacia atrás se ha visto que son más efectivas para sortear las oscilaciones numéricas encontradas frecuentemente en los sistemas de flujo altamente no lineales (Neuman y Witherspoon 1971; Neuman 1973)

Después que se forman las matrices para cada elemento, se pueden construir las ecuaciones algebraicas para todo el sistema y resolverse para la carga total en los nodos. Sin embargo, debido a la no linealidad de la ecuación general de infiltración, se requiere de un proceso iterativo para obtener la correcta carga total nodal. Este proceso iterativo envuelve una serie de aproximaciones sucesivas. Se requiere de una estimación inicial del coeficiente


de permeabilidad en un elemento para poder calcular una primera aproximación de la carga total nodal. El cálculo de la carga nodal total nodal permite el cálculo de la presión promedio en el elemento. Haciendo uso de de las presiones y la función de permeabilidad se puede obtener un valor más aproximado para cada elemento. El valor mejorado de permeabilidad es usado para computar un nuevo conjunto de cargas totales nodales. El proceso se repite hasta que ambos, la carga total y las diferencias en la permeabilidad para cada elemento para dos iteraciones sucesivas son menores que una tolerancia dada.

La tasa de convergencia es altamente dependiente del grado de no linealidad de la función de permeabilidad y de la discretización espacial del problema. Un paso en la función de permeabilidad, requiere más iteraciones y una mayor tolerancia en la convergencia. Una discretización más fina tanto en el tamaño del elemento como en el paso de tiempo ayuda para la obtención más rápida de la convergencia con menor tolerancia. Generalmente, la solución llega con una tolerancia menor del 1% en 10 iteraciones.

La ecuación de infiltración se considera resuelta para un paso de tiempo cuando se obtiene la convergencia de las cargas totales nodales en el sistema. Secundariamente se pueden calcular basados en las cargas totales nodales, a un tiempo dado, la presión de poros, las velocidades, y los caudales. Ecuaciones a aplicar:

Ecuación para nodos, presión de agua de poros

[ ] [ ] [ ] gzhu w

n

t

n

tw ρ)( −=

Donde [ ]nz = elevación en los nodos de los elementos

La ecuación del vector gradiente es

[ ][ ] t

n

y

xhB

i

i=

La ecuación del vector velocidad es

[ ] [ ][ ] t

n

t

y

xhBK

v

v=

La ecuación para el caudal

[ ] [ ] [ ] t

n

i

n

jttij hhDq −=

Donde [ ] tijq = es el caudal del nodo i contribuido por el nodo j.

2.5.3. Formulación con diferencias finitas

Se presenta a continuación la formulación para las ecuaciones que gobiernan el problema, discretizando con diferencias finitas, (McDonald y Harbaugh, 1988).

Teniendo en cuenta la ecuación que describe el flujo en medios porosos

t

hSW

z

hK

zyK

yx

hK

xszzyyxx

∂

∂=−

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂∂)()()( (2.85)

donde, Ss ; Kxx ; Kyy ; Kzz ; en general son funciones de (x, y, z), y W es función de (x, y, z, t)


La ecuación 2.56 describe el flujo de agua subterránea en condiciones de noequilibrio, en un medio heterogéneo y anisotrópico, siempre que los ejes coordenados estén alineados con los ejes principales de conductividad hidráulica. Una solución de la ecuación 2.85 es h(x,

y, z, t) tal que reemplazado en la ella, satisface la ecuación y sus condiciones de borde.

El método de diferencias finitas, básicamente toma el sistema continuo descrito por la ecuación 2.85 y lo reemplaza por un set finito de puntos discretos en el espacio y el tiempo, y las derivadas parciales son reemplazadas a su vez por, términos calculados de la diferencia en valores de carga en esos puntos. El proceso lleva a sistemas simultáneos de ecuaciones de diferencias algebraicas lineales; su solución entrega valores de carga en puntos y tiempos específicos. Estos valores constituyen una aproximación a la distribución continua de cargas hidráulicas variando en el tiempo que entregaría una solución analítica de la ecuación diferencial parcial de flujo.

Discretización espacial y temporal

Un sistema acuífero real es representado por medio de un arreglo de bloques llamados celdas, cuyas ubicaciones se describen en términos de filas, columnas y capas, Figura 2.33.

Figura 2.33. Discretización espacial de un sistema acuífero.

Dentro de cada celda hay un punto llamado nodo en el cual se calcula la carga (h). Existen dos convenciones para definir la configuración de celdas respecto a la ubicación de los nodos; estas son las formulaciones de bloque centrado y de punto centrado, Figura 2.34.

En ambos casos el espaciamiento entre nodos debe ser seleccionado de manera que las propiedades hidráulicas sean uniformes en la celda.

En la ecuación 2.85 la altura h es función del espacio y del tiempo; por lo tanto hay que discretizar también en el dominio del tiempo.


Figura 2.34. Grillas asociadas a formulaciones de bloque centrado y punto centrado.

La ecuación de flujo de agua subterránea en la forma de diferencias finitas se obtiene al aplicar la ecuación de continuidad en una celda, la suma de los flujos entrantes y salientes debe ser igual a la tasa de cambio del almacenamiento en la celda. Considerando que la densidad del agua se mantiene constante se obtiene la ecuación 2.86 la cual es análoga a la 2.85:

∑ ∆∆

∆= c

t

i Vt

hSSQ

iQ : caudal entrante o saliente de la celda

SS : almacenamiento específico en la formulación de diferencias finitas, equivalente a Ss definido en la ecuación 2.85

V∆ : volumen de la celda

h∆ : variación de carga en un intervalo de tiempo t∆

En el caso del flujo entrando en la celda i,j,k en la dirección de la fila, desde la celda i,j-1,k ,

kjiq ,2/1, − , de la Figura 2.36, éste se expresa considerando Darcy, según muestran las

ecuaciones 2.86 y 2.87


Figura 2.35. Celda i,j,k e índices utilizados para sus seis celdas vecinas.

2/1

.,,1,,2/1,,2/1, )(

−

−

−−∆

−∆∆=

j

kjikji

kikjikjir

hhVCKRq (2.86)

Donde:

kjih ,, : carga hidráulica en el nodo i, j, k

kjiKR ,2/1,)( − conductividad hidráulica en la dirección de la fila (R) entre nodos (i, j, k) e (i, j-

1, k).

ki VC ∆∆ : área de la cara de la celda normal a la dirección del flujo

2/1−∆ jr : distancia entre los nodos (i, j, k) e (i, j-1, k).

Para simplificar las expresiones, se define conductancia en la fila i y estrato k entre los nodos (i, j, k) e (i, j-1, k).como:

2/1j

kjk,2/1j,ik,2/1j,i r

VC)KR(CR

−−−

∆

∆∆=

Y reemplazando en la ecuación 2.286 queda

)( .,,1,,2/1,,2/1, kjikjikjikji hhCRq −= −−− (2.87)

Finalmente, para todas las caras, la ecuación de flujo queda:

)(

)(

)(

)(

)(

)(

.,1,,2/1,,2/1,,

.,1,,2/1,,2/1,,

.,,,1,,2/1,,2/1

.,,,1,,2/1,,2/1

.,,1,,2/1,,2/1,

.,,1,,2/1,,2/1,

kjikjikjikji

kjikjikjikji

kjikjikjikji

kjikjikjikji

kjikjikjikji

kjikjikjikji

hhCVq

hhCVq

hhCCq

hhCCq

hhCRq

hhCRq

−=

−=

−=

−=

−=

−=

+++

−−−

+++

−−−

+++

−−−

(2.88)


Figura 2.36. Flujo entrando a la celda i,j,k desde la celda i,j-1,k.

Los términos de las ecuaciones 2.88 tienen definiciones análogas a los términos definidos para la ecuación 2.86. Los términos CV y CC corresponden a las conductancias en la dirección vertical y de las columnas, respectivamente, entre las celdas que indican sus subíndices.

Los flujos entrando o saliendo de la celda debidos a procesos externos, tales como la acción de ríos, drenes, áreas de recarga, evapotranspiración o pozos de bombeo o inyección, requieren de términos adicionales. Estos flujos pueden ser dependientes o independientes de la carga en la celda que recibe el flujo. El flujo desde el exterior del acuífero puede ser representado por la ecuación 2.89.

nkjikjinkjinkji qhpa ,,,,,,,,,,, ))(( += (2.89)

donde :

nkjia ,,, : flujo de la fuente “n” en la celda i,j,k

)( ,,, nkjip : Constante dependiente de la h del río.

nkjiq ,,, : independiente (pozo)

Si la fuente fuese un pozo de bombeo o inyección, el flujo externo se asume independiente de la carga (h) en la celda. Luego:

1,,,1,,, kjikji qa = (2.90)

Si la fuente fuese un río, la interconexión río-acuífero puede tratarse como una conductancia simple, tal que la infiltración es proporcional a la diferencia de carga, ecuaciones 2.91 y 2.92.

)( .,,,2,,,,,, kjikjikjinkji hRCRIVa −= (2.91)

kjikjikjikjinkji RCRIVhCRIVa .,2,,,.,2,,,,,, +−= (2.92)

Donde :

2,k,j,iCRIV =conductancia que controla el flujo del río a la celda i,j,k


k,j,iR =carga hidráulica en el río

Considerando todas las fuentes externas, se tiene:

∑∑∑===

+==N

n

kjikji

N

n

nkji

N

n

nkjikji qhpaQS1

,,,,1

,,,1

,,,,,

Aplicando la ecuación de continuidad para la celda i,j,k (6 flujos en las seis caras y los extremos) Tomando en cuenta todos los flujos entre la celda i,j,k y sus seis vecinas (6 flujos en las seis caras y los extremos) así como los flujos desde fuentes (o sumideros) externos, la ecuación

∑ ∆∆

∆= c

t

i Vt

hSSQ

puede escribirse según muestra la ecuación 2.64:

kij

kji

kjikjikjikjikjikjikjikji vcr

t

hSSQSqqqqqq ∆∆∆

∆

∆=++++++ +−+−+−

,,

,,,,2/1,,2/1,,,,2/1,,2/1,2/1,,2/1,

(2.93) La aproximación en diferencias finitas para la derivada de la carga se define según muestra la ecuación 2.94

1

1,,,,,,

−

−

−

−=

∆

∆

mm

m

kji

m

kjikji

tt

hh

t

h (2. 94)

Donde: m

kjih ,, : carga hidráulica evaluada en el tiempo en el que se realizando el cálculo tm

1,,

−m

kjih : carga hidráulica ya calculada o conocida (condición inicial) en el tiempo tm-1 anterior a

tm

Reemplazando esta aproximación en la ecuación 2.64, y teniendo en cunta las expresiones anteriores para los flujos, se obtiene la siguiente ecuación, que resulta con siete incógnitas a determinar.

1

1

121121121

121121121

−

−

++−−++

−−++−−

−

−∆∆∆∆∆∆=+

+−+−+−

+−+−+−

mm

mk,j,i

mk,j,ikij

kijk,j,ik,j,im

k,j,ik,j,i

mk,j,i

mk,j,i/k,j,i

mk,j,i

mk,j,i/k,j,i

mk,j,i

mk,j,ik,j,/i

mk,j,i

mk,j,ik,j,/i

mk,j,i

mk,j,ik,/j,i

mk.j,i

mk,j,ik,/j,i

tt

)hh()vcr()vcr(SSQhP

)hh(CV)hh(CV)hh(CC

)hh(CC)hh(CR)hh(CR

(2.95)

Hay que armar el sistema de “n” ecuaciones con “n” incógnitas, ya que las hm (alturas de carga) son de cada celda. El sistema se puede resolver simultáneamente. Las hm son desconocidas y las hm-1 son los valores conocidos o prescriptos en el inicio. La ecuación constituye un sistema de ecuaciones simultáneas que puede ser escrito en forma matricial [ ][ ] }{qhM = (2.96)

Conocidas las condiciones de borde, la distribución de cargas iniciales, los parámetros hidráulicos y las cargas externas sobre el acuífero, es posible predecir las distribuciones de carga en tiempos sucesivos (simulación en régimen impermanente). Una ecuación de la forma de 2.95 puede ser definida para cada celda definida activa, en cada paso de tiempo de la simulación. Para el primer paso de tiempo, las condiciones iniciales de carga corresponden al


término 1,,

−m

kjih , pudiendo calcularse las cargas hm para la celda i,j,k y sus vecinas. Las cargas

calculadas corresponderán a las cargas iniciales en el siguiente paso de tiempo.

2.6 Revisión del Software Existente para Infiltración

A continuación se presentan algunos de los programas existente para la resolución de problemas de infiltración

2.6.1. PLAXIS 2D V8.

Plaxis es una empresa y marca que suministra una gama de instrumentos de software, cursos, seminarios y servicios para la ingeniería civil. Los programas desarrollados por esta empresa no son de uso libre y se encuentran bajo licencia.

El desarrollo de Plaxis comienza en 1987 en la Universidad Tecnológica de Delft, Holanda, con la investigación sobre el empleo del método de elemento finito y modelos constitutivos para el diseño geotécnico. El objetivo fue desarrollar un código de elementos finitos para dos dimensiones de fácil uso, para el análisis de las costas de los ríos en suelos blandos. Posteriormente Plaxis fue cubriendo otras áreas de la geotecnia. Es así, que en el año 1998 presenta al mercado la primera versión para Windows, con cálculos elásto-plásticos para problemas de tensión planos con elementos de mayor orden. Más tarde, el código fue enriquecido y trataría también con problemas axil-simétricos.

El programa Plaxis 2D Versión 8, se adquiere con un Manual (R. B. J. Brinkgreve y otros, 2002) que consta de cinco partes. La primera parte es de Información General (General Information), y las otras cinco partes son: Parte1, Manual Guía (Tutorial Manual); Parte 2, Manual de los Programas (Reference Manual); Parte 3; Modelos de Suelo (Material Models Manual); Parte 4, Teorías y Modelos Numéricos (Scientific Manual); y la Parte 5, Ejemplos de Validación del Programa Paxis con Modelos Analíticos (Validation Manual).

El Programa PLAXIS V8 es un programa de elementos finitos bidimensionales que calcula la infiltración cuando se ha alcanzado un estado de flujo permanente. Además del flujo estacionario. PLAXIS permite un cálculo dependiente del tiempo de las presiones intersticiales de agua en condiciones saturadas y no saturadas debidas a condiciones de contorno cambiantes con el tiempo en la altura piezométrica. Los resultados de este cálculo del flujo transitorio, es decir, la distribución dependiente del tiempo de las presiones intersticiales, pueden ser utilizados como datos de entrada para un análisis de deformación. Esta opción requiere la presencia del módulo de flujo de PLAXIS, que se encuentra disponible como una extensión para la Versión 8.

El programa utiliza una interfaz gráfica que permite a los usuarios generar rápidamente un modelo geométrico y una malla de elementos finitos basada en una sección transversal vertical representativa del problema que se trate. La interfaz de usuario está constituida por cuatro subprogramas Input (Entrada), Calculations (Cálculos), Output (Resultados) y Curves (Curvas). Los contenidos del Manual de Referencia están organizados de acuerdo con esos subprogramas y con sus respectivas opciones tal como aparecen en los correspondientes menús.


Figura 2.37. Ventana principal del programa de introducción de datos (Input) (Módulo de

creación de la geometría

La ventana principal del programa de introducción de datos (Input) contiene los elementos siguientes: Menú de introducción de datos, Barra de herramientas (General), Barra de herramientas (Geometría), Reglas (Rulers), Zona de dibujo (Draw area), Ejes, Introducción manual, e Indicador de la posición del cursor.

El programa PLAXIS completo está constituido por diversos subprogramas, módulos y otros ficheros que son copiados en varios directorios durante el procedimiento de instalación. Los ficheros más importantes se encuentran ubicados en el directorio del programa PLAXIS. A continuación se relacionan algunos de dichos ficheros y sus funciones: GEO.EXE Programa de introducción (pre-procesador), BATCH.EXE Programa de cálculo, PLAXOUT.EXE Programa de Resultados (post-procesador), CURVES.EXE Programa de curvas, PLXMSHW.EXE Generador de mallas, GEOFLOW.EXE Programa de análisis del flujo, PLASW.EXE Programa de análisis de las deformaciones (cálculo plástico, consolidación, actualización de malla), PLXSSCR.DLL Módulo de presentación del logotipo de PLAXIS, PLXCALC.DLL Módulo que presenta los resultados en pantalla durante un análisis de deformación, PLXREQ.DLL Gestor de ficheros de PLAXIS. Los conjuntos de datos de los materiales de la base de datos global están almacenados por defecto en el subdirectorio DB del directorio del programa PLAXIS. El subdirectorio EMPTYDB contiene una estructura de base de datos de los materiales que está vacía y que puede ser utilizada para ‘reparar’ un proyecto cuya estructura de base de datos de los materiales haya quedado deteriorada por cualquier motivo. Esto puede hacerse copiando los ficheros apropiados en el directorio del proyecto. Los datos de los materiales deben redefinirse en el programa de Introducción (Input).

Una vez que se ha creado el modelo geométrico y se ha generado la malla de elementos finitos, se deben especificar el estado tensional de la geometría, con respecto a los elementos y la configuración inicial referente al flujo de agua.

Se debe establecer el nivel de agua en el espaldón aguas arriba. El programa generará así, de acuerdo a las características de permeabilidad de cada material, la línea de contorno


superior, estableciendo una clara distinción entre las presiones intersticiales activas (pactive), y las tensiones efectivas, σ'.

Para las presiones intersticiales activas se establece una nueva distinción entre presiones intersticiales estacionarias (psteady), y excesos de presión intersticial (pexcess): pactive = psteady + pexcess.

Los excesos de presión intersticial son los incrementos que se producen en las presiones Intersticiales debido a la carga de dominios de suelo para los cuales el tipo de comportamiento del material en el conjunto de datos correspondiente está especificado como No drenado (Undrained). En este tipo de cálculos, el desarrollo de excesos de presión viene determinado por los parámetros de Permeabilidad (Permeability) más que por el tipo de comportamiento del material.

Las presiones intersticiales estacionarias son las presiones intersticiales que representan una situación hidráulica estable. Se obtiene una situación de esta clase cuando las condiciones externas del agua se mantienen constantes a lo largo de un período prolongado.

Las presiones intersticiales estacionarias y las presiones externas de agua (denominadas simplemente ‘presiones de agua’), se generan dentro del módulo de las condiciones iniciales referentes al flujo. Las presiones de agua pueden generarse fácilmente a partir de la fijación de niveles freáticos. Alternativamente, las presiones del agua pueden generarse por medio de un cálculo de flujo. Este último método requiere la introducción de condiciones de contorno sobre la altura piezométrica del agua subterránea, que se obtienen, por defecto, del nivel freático general.

En cuanto a los resultados, se tienen las tensiones totales (Total stresses), que son las tensiones efectivas + las presiones intersticiales activas, ó la altura piezométrica del agua subterránea que es una variable alternativa a la presión intersticial activa. La altura piezométrica (Groundwater head) se define como: h = y + p/ γw , donde y es la cota geométrica, p es la presión intersticial activa y γw es el peso específico del agua.

Figura 2.38. Ventana de salida (output). Velocidades del flujo


Figura 2.39. Ventana de salida (output). Líneas equipotenciales

Existen otras versiones de PLAXIS, para dos dimensiones (PLAXIS V9) y para tres dimensiones para análisis de geotecnia (3D TUNNEL, 3D FUNDATION) y de flujo de agua subterránea (PLAXFLOW). El programa PLAXFLOW (para dos dimensiones), permite analizar el flujo subterráneo en casos de suelos saturados y no saturados. El flujo subterráneo requiere de modelos de simulación de suelo para suelos no saturados, los que dependen del tiempo y de su comportamiento anisotrópico. El programa FLAXFLOW contempla distintos modelos que describen las propiedades hidráulicas de los suelos no saturados

2.6.2. HYDRUS

El programa HYDRUS, es un programa para simular flujo unidimensional, transporte de un sólo soluto y movimiento de calor, en un medio variablemente saturado. Hydrus-2D permite realizar el análisis del flujo de agua y transporte de solutos en medios porosos no saturados en dos dimensiones. Ambas versiones modelan el flujo del agua usando la ecuación de Richards, y los solutos y el movimiento de calor usando ecuaciones de transporte convección y dispersión. El programa también considera histéresis en las propiedades hidraúlicas del suelo no saturado. En la versión unidimensional el flujo puede ser considerado en dirección vertical, horizontal o inclinado. Aunque se simula también el movimiento de calor, el programa asume que el proceso del flujo de agua no se afecta por los cambios de la temperatura en el sistema.

El programa permite histéresis tanto en la retención suelo-agua como en las funciones de conductividad hidraúlica. Permite también escalar la funciones hidraúlicas de suelo no saturado para tener en cuenta los cambios continuos en las propiedades hidráulicas. Además el programa considera condiciones alternativas de drenaje de bordes, y permite la lectura de las propiedades hidraúlicas a través de tablas. Los antecedentes de este programa son el código de WORM (van Genuchten, 1987), versiones anteriores de HYDRUS (Kooly van Genuchten,1991), SWM_II (Vogel,1987) y SWMS_2D (Simunek y otros, 1994).

El código de HYDRUS asume flujo unidimensional en un suelo variablemente saturado bajo condiciones isotérmicas. Permite además, el uso de tres modelos analíticos diferentes para


propiedades hidraúlicas de suelos (Brooks y Corey, 1966; van Genuchten, 1980; y Vogel y Cislerová, 1988), también permite que las propiedades hidraúlicas se puedan leer directamente de tablas. Implementa las funciones de van Genuchten (1980) que usan la distribución estadística tamaño de poro del modelo de Mualem (1976) para obtener una ecuación de predicción para la función de conductividad hidraúlica en términos de los parámetros de retención de agua del suelo. Utiliza un proceso para escalar las funciones para simplificar la descripción de la variabilidad en las propiedades hidraúlicas no saturadas de los perfiles de suelo heterogéneos. El programa asume que la variabilidad hidraúlica en cierto punto del perfil del suelo puede ser aproximada por un conjunto de transformaciones lineales que relacionan las características hidraúlicas individuales con las características de referencia. La técnica se basa en el concepto introducido por Miller y Miller (1956) para medios porosos que difiere solamente en la escala de la geometría. HYDRUS implementa dos tipos de condiciones para describir las interacciones sistema independientes en los bordes de la región de flujo. Estas condiciones son condiciones de borde de carga de presión especificada y las condiciones de borde de flujo específico dadas.

HYDRUS-2D resuelve la ecuación de Richards en dos dimensiones para el flujo de agua no saturado y la ecuación de Fick para el transporte de solutos. La ecuación de flujo incorpora un término de sumidero al igual que HYDRUS 5.0. Permite analizar el movimiento de agua y solutos en medios no saturados, parcialmente saturados o completamente saturados (Simunek y otros, 1996).

HYDRUS es distribuido en cinco versiones diferentes (Niveles) de modo que los usuarios tengan la flexibilidad de adquirir sólo el segmento del software que más necesiten por su uso. Los usuarios pueden seleccionar el software limitado con usos generales bidimensionales (el Nivel de 2D estándar, que corresponde con la antigua HYDRUS-2D con la MeshGen-2D) o tridimensional limitado, el Estándar de 3D.

Los usuarios también pueden optar por geometría relativamente simple y más compleja (la geometría bidimensional rectangular - De 2D light que corresponde con la antigua HYDRUS-2D sin la MeshGen-2D o la geometría tridimensional hexahedral - el Estándar de 3D).

2.6.3. UNSATCHEM-2D

El programa fue escrito por J. Simunek y D. Suárez en 1993. La versión 1 .1 . del programa es un modelo de elementos finitos, para la simulación de movimiento de agua, calor, CO2, y el transporte de solutos multicomponentes en un medio variablemente saturado bidimensional. El programa resuelve la ecuación de Richards para el flujo de agua en un medio saturado y no saturado y las ecuaciones de advección/dispersión para el calor, CO2 y transporte de solutos multicomponentes. La ecuación del flujo incorpora un término sumidero para tener en cuenta la extracción de agua por parte de las raíces. La ecuación de transporte de calor considera el transporte de calor por conducción y por convección del agua que fluye. La difusión en las fases líquida y gaseosa y la convección en la fase líquida son consideradas en los mecanismos de transporte de CO2. Las ecuaciones de transporte de solutos multicomponentes incluyen provisiones para el intercambio catiónico y para las reacciones de precipitación y disolución. UNSATCHEM-2D puede manejar dominios de flujo delineados por fronteras irregulares. La región de flujo puede estar compuesta por suelos no uniformes que tengan un grado arbitrario de anisotropía local. El flujo y el transporte pueden darse en un plano vertical, horizontal o en una región tridimensional que muestre simetría radial con los ejes verticales. La parte del programa que modela el flujo de agua considera condiciones de borde de carga y de flujo, como así también todas las fronteras están controladas por las condiciones atmosféricas (Vogel y otros, 1996). Las ecuaciones que gobiernan el flujo y el


transporte se resuelven numéricamente utilizando el esquema de elementos finitos lineales del tipo de Galerkin.

2.6.4. CHAIN-2D

CHAIN 2-D escrito en 1994 por J. Simunek y M. Th. Van Genuchten permite simular el flujo de agua bidimensional en un medio variablemente saturado, el movimiento de calor, y el transporte de solutos que involucran reacciones de decaimiento secuenciales de primer orden. El programa resuelve numéricamente la ecuación de Richards para el flujo de agua en un medio saturado / no saturado y la ecuación de convección / dispersión para el transporte de calor y solutos. La ecuación del flujo del agua incorpora un término sumidero para considerar el agua tomada por las raíces de las plantas. La ecuación de transporte de calor considera el movimiento por conducción como por convección del agua que fluye. Las ecuaciones de convección / dispersión que gobiernan el transporte de solutos están escritas en una forma muy general incluyendo provisiones para las reacciones de no equilibrio no lineales entre las fases sólida y líquida, y la reacción de equilibrio entre las fases líquida y gaseosa. Por lo tanto, tanto las sustancias adsorbidas como los solutos volátiles tales como los pesticidas pueden ser considerados. Las ecuaciones de transporte de solutos incorporan los efectos de la producción de orden cero, de la degradación de primer orden independiente de otros solutos, y la producción y decaimiento de primer orden que proveen del acoplamiento requerido entre los solutos involucrados y las reacciones secuenciales de primer orden. Los modelos de transporte también tienen en cuenta la convección y dispersión en la fase líquida, como también la difusión en la fase gaseosa, permitiendo así simular el transporte de solutos simultáneamente en las fases líquida y gaseosa. CHAIN-2D considera hasta 6 solutos los cuales pueden ser acoplados en una cadena uni-direccional o pueden moverse de manera independiente (Simunek y otros, 1994).

CHAIN-2D puede utilizarse para analizar el movimiento del agua y de solutos en el medio poroso no saturado, parcialmente saturado o totalmente saturado. El programa puede manejar dominios de flujo delimitados por fronteras irregulares. La región de flujo puede estar compuesta por suelos no uniformes teniendo cierto grado de anisotropía local. El flujo y el transporte pueden ocurrir en un plano vertical, horizontal o en una región tridimensional que exhiba simetría radial respecto del eje vertical. (Simunek y otros, 1994).

Las ecuaciones que gobiernan el flujo y el transporte son resueltas numéricamente utilizando el esquema de elementos finitos de Galerkin. El programa está escrito en Fortran 77.

En el programa Chain-2D, las ecuaciones de transporte de solutos incorporan los efectos de la producción de orden cero, de la degradación de primer orden independiente de otros solutos, y la producción y decaimiento de primer orden que proveen del acoplamiento requerido entre los solutos involucrados y las reacciones secuenciales de primer orden. Los modelos de transporte también tienen en cuenta la convección y dispersión en la fase líquida, como también la difusión en la fase gaseosa, permitiendo así simular el transporte de solutos simultáneamente en las fases líquida y gaseosa. CHAIN-2D considera hasta 6 solutos los cuales pueden ser acoplados en una cadena unidireccional o pueden moverse de manera independiente. (Simunek y otros, 1994).

2.6.5. VISUAL MODFLOW


Este programa es la nueva versión del programa MODFLOW (Modular Three-Dimensional Finite Difference Groundwater Flow Model) del U.S. Geological Survey. MODFLOW simula el flujo de agua subterránea en tres dimensiones en un medio heterogéneo y anisotrópico. Fue realizada por Arlen W. Harbaugh y Michael G. McDonald en 1996. Está escrito en Fortran 77 (Harbaugh y otros, 1996). El programa usa una estructura modular que puede ser modificada con facilidad. Simula los efectos de pozos, recargas, ríos, drenes y evapotranspiración. Los algoritmos de solución incluyen dos técnicas de iteración. Para el flujo subterráneo utiliza la ecuación de Richards tridimensional. Está basado en el esquema de diferencias finitas que permite modelar un sistema acuífero en tres dimensiones. Es uno de los modelos de aguas subterráneas más ampliamente usado en todo el mundo.

Utiliza una discretización en mallas espaciales para resolver la ecuación de Richards y puntos discretos en el tiempo; de esta forma resuelve un sistema de ecuaciones algebraicas. Aplica el concepto de conductancia definida en cada elemento (C = KA/L, donde K es la conductividad hidráulica, A la sección transversal perpendicular a la dirección del flujo y L es la longitud del flujo). Las condiciones de borde pueden ser carga constante o inactiva (no hay flujo).

Las ecuaciones del modelo se basan en la hipótesis de que las propiedades hidráulicas son uniformes dentro de cada celda. Esto presenta complicaciones cuando las celdas incorporan suelos de distintas capas hidrogeológicas. Si se utilizan mallas que no son rectangulares se tiene el inconveniente que las direcciones principales de la conductividad hidráulica pueden no estar alineadas con los ejes del modelo.

Su interfase se divide en tres módulos separados: Input Module, Run Module y Output Module, asociados a las opciones de ingreso de parámetros, de correr el programa y de desplegar los resultados de simulación.

El Input Module permite el ingreso de información para la construcción del modelo. Se representa el área de interés en un arreglo de celdas rectangulares horizontales (filas y columnas) y estratos verticales (capas), pudiendo ajustar las dimensiones de filas y columnas. A cada celda, en las distintas capas, se le puede definir como activa o inactiva (permeable o impermeable), asignar valores de propiedades de flujo y/o transporte, valores y tipos de condiciones de borde (río, dren, carga constante, carga general, recarga, evapotranspiración y barreras horizontales de flujo) y condiciones iniciales (superficie piezométrica inicial, concentraciones iniciales). Es posible importar superficies, tanto aquellas que definen la geometría del acuífero como las condiciones iniciales, desde distintos formatos (ASCII, GRID). Considera también el ingreso de pozos de extracción, inyección y observación, y el cálculo de balances en zonas definidas por el usuario. La discretización temporal se realiza en períodos de stress los que a su vez se dividen en pasos de tiempo definidos según una progresión geométrica. El Run Module permite escoger entre distintas estimaciones de carga inicial, definir el número de pasos de tiempo, elegir entre distintos métodos numéricos de resolución y ajustar los criterios de cálculo y convergencia, definir tipos de estrato (confinado, no confinado) y distintas condiciones de anisotropía.

El Output Module permite la visualización de los resultados de simulación como series de tiempo de la carga calculada y curvas de nivel equipotenciales y de la superficie freática (altitud y/o profundidad) para distintos períodos de stress. Entrega la serie de balances hídricos en los sectores predefinidos (Zone Budget) y dispone de distintas herramientas para controlar la calibración manual del modelo (gráficos de series de tiempo y dispersión de cargas calculadas vs observadas, parámetros estadísticos de calibración, entre otros).

Visual Modflow permite su aplicación en temas como: Determinación de perímetros de protección de pozos, estimación de zonas de recarga, distribución de contaminantes debido


a transporte advectivo, establecimiento de medidas de remediación de acuíferos, tiempos de propagación y líneas de trayectoria, entre otros.

El programa posee una estructura modular, que consiste en un programa principal y una serie de subrutinas, independientes entre sí, llamadas módulos. Estos módulos están agrupados en paquetes (Packages) asociados a una componente específica de la hidrología del sistema o al algoritmo de solución con que se resolverá el sistema de ecuaciones que describe el sistema modelado.

Visual MODFLOW es un paquete integrado por MODFLOW, MODPATH y MT3D. Los datos pueden ser viaualizados en planta o en corte para un tiempo dado.

Figura 2.40. MODFLOW, ventana de ingreso de datos.

2.6.6. VS2DI

Permite simular el flujo y transporte en medios porosos variablemente saturados en una y dos dimensiones usando coordenadas cartesianas o radiales. Este software consiste de tres componentes: VS2DTI, que permite simular flujo y transporte de solutos, VS2DHI para simular flujos y conducción de calor y, VS2POST, que es un posprocesador para visualizar los resultados de las simulaciones. Los programas originales VS2DT (Haley, 1990; Lappala y otros, 1987) y VS2DH (Haley y Ronan, 1996) pertenecen al U.S. Geological Survey.

VS2DHI y VS2DTI permite de manera fácil cambiar las condiciones de borde, propiedades hidráulicas y de transporte, espaciamiento de la grilla, etc. El modelo VS2DT es un modelo de diferencias finitas que resuelve la ecuación de Richards para el flujo y la ecuación de advección-dispersión para el transporte de solutos. Las propiedades hidráulicas


de los suelos pueden ser representadas a través de los modelos de van Genuchten (1980), Brooks y Corey (1964), Haverkamp y otros (1977).

La versión 1.4 del 2004 es una versión basada en las versiones anteriores 1.1 de 2000 y 1.0 de 1999.

Figura 2.41. VS2DI, Ventanas de salida.

2.6.7. CHEMFLOW

El programa describe el flujo de agua y de sustancias químicas en suelos no saturados en una dimensión. Fue realizado por D.L. Nofziger, K. Rajender, Sivarma K. Nayudu y Pei-Yao Su, pertenecientes al Departamento de Agronomía de la Universidad Estatal de Oklahoma en los Estados Unidos. La primera versión 1.3 de 1989 fue actualizada en el año 2000, CHEMFLOW2000, la que agrega nuevas funciones tales como gráficos interactivos, nuevas tablas, simulación de distintas capas de suelo y mejoras en los métodos numéricos.

El movimiento del agua se modela usando la ecuación de Richards y el transporte de sustancias químicas se simula mediante la ecuación de transporte de convección-dispersión, ambos análisis se realizan en un medio no saturado y en una dimensión. El usuario define las propiedades del suelo, la orientación, las condiciones iniciales y las condiciones de borde utilizando pantallas interactivas. El programa utiliza la técnica de diferencias finitas para la resolución de las ecuación diferenciales parciales del flujo del agua y del transporte de solutos. Los resultados pueden verse en forma de gráfico o de tabla (Nofziger y otros, 1989).

Chemflow fue originariamente diseñado con el propósito de enseñar los principios del movimiento del agua y de las sustancias químicas en suelos no saturados. El modelo también


puede usarse para examinar la sensibilidad de varios tipos de salidas de diferentes propiedades del suelo, diferentes propiedades químicas, diferentes condiciones iniciales y de borde. Además con el se puede mostrar el efecto de la gravedad sobre diferentes sistemas de flujo por medio de la simulación del movimiento vertical, tanto de abajo hacia arriba como de arriba hacia abajo (Nofziger y otros, 1989).

Pueden modelarse sistemas de suelo finito y semi-infinitos. Estos sistemas pueden orientarse horizontal o verticalmente o a un determinado ángulo elegido por el usuario. Las condiciones de borde para el movimiento del agua pueden especificarse en términos de potencial matricial, densidad de flujo, o de una combinación de las dos anteriores. Las condiciones establecidas para las sustancias químicas pueden especificarse por medio de la concentración de una solución que fluye por medio de la concentración del suelo. Todas las condiciones de borde pueden modificarse durante la simulación. Por ejemplo, la infiltración debida a la lluvia puede modelarse para un determinado período de tiempo, seguido por evaporación y redistribución y por último infiltración.

2.6.8. HST3D HST3D (Heat Solute Transport 3 Dimension) simula el flujo de agua y el transporte de

calor y solutos en tres dimensiones. Durante los últimos años se han hecho varias modificaciones, y correcciones al simulador original. HST3D simula el calor y el transporte de solutos en los sistemas de flujo de tierra-agua saturados tridimensionales. Las ecuaciones que se resuelven numéricamente son (1) la ecuación de flujo de agua en condición saturada (combinación de la conservación de masa y la Ley de Darcy para el flujo en medios porosos); (2) la ecuación de transporte de calor, de la conservación de entalpía para el medio fluido y poroso; y (3) la ecuación de transporte de solutos de la conservación de masa para un solo soluto (Kipp, 1997).

Estas tres ecuaciones se acoplan a través de la dependencia de transporte de la advección en el campo de la velocidad intersticial, la dependencia de la viscosidad fluida en la temperatura y concentración del soluto, y la dependencia de densidad fluida en la presión, temperatura, y concentración del soluto.

Se obtienen las soluciones numéricas para cada uno de las variables dependientes: la presión, temperatura, y fracción de masa (la concentración del soluto) a su vez. Se usan las técnicas de diferencias finitas para la discretización espacial y temporal de las ecuaciones. En su última versión 2.0, se agrega la condición de evapotranspiración.

2.6.9. SOILCO2

Es un código para la simulación Uni-dimensional de la Producción y Transporte de Dióxido de Carbono en medios porosos variablemente saturados, versión 1.2, desarrollado por J. Simunek y Donald L. Suárez, en el U.S. Salinity Laboratory, durante 1994. El modelo incluye el flujo unidimensional de flujo de agua y el transporte multifase de CO2 utiliza la ecuación de Richards y las ecuaciones de dispersión-convección. La ecuación de flujo incorpora un término de sumidero para tener en cuenta el agua absorvida por las raíces de las plantas. El programa está escrito en FORTRAN 77.

2.6.10. D-HYSAM


Karajeh y otros (1991) desarrollaron y verificaron el flujo a través del suelo en un modelo bidimensional que tiene en cuenta las distintas distribuciones del agua y de la salinidad como consecuencia de las diferentes estaciones en sistemas agroforestales con subdrenes. Para la realización de este trabajo modificaron el programa D-HYSAM (desarrollado por Nour el-Din en 1986).

El programa fue modificado para simular el flujo de agua y sales en suelo variablemente saturados. El modelo consiste de un programa principal y de 21 subrutinas.

2.6.11. Nour el-Din

Nour el-Din y otros (1987) desarrollaron un modelo de elementos finitos para simular la acumulación de sales y su transporte en el suelo como también subdrenaje en cultivos regados. El modelo simula el flujo de agua y de sales en un sistema saturado - no saturado, en el que se incluye la absorción de agua por parte de las plantas. El método de elementos finitos se utiliza para resolver las ecuaciones que describen este problema. Se analiza la eficiencia de la aplicación del agua de riego, la calidad del líquido aplicado la programación del riego en el tiempo para evaluar el impacto en los niveles de salinidad del perfil de suelo. Este modelo puede evaluar las consecuencias de las cargas de sales que son lixiviadas al sistema de drenaje. Este modelo es el predecesor del modelo D-HYSAN. (Nour el-Din y otros, 1987).

2.6.12. TETRANS

El programa fue desarrollado por Dennis Corwin, Ph.D., perteneciente al Laboratorio de Salinidad que depende del Servicio de Investigación Agrícola del Departamento de Agricultura de los EEUU. Fue realizado en octubre de 1990 y corresponde a la versión 1.5. Se trata de un modelo unidimensional que simula el transporte de contaminantes no volátiles (elementos trazas, sales, boro y sustancias químicas orgánicas no volátiles) en la zona vadosa o no saturada. El programa fue pensado para las aplicaciones de transporte de contaminantes en el mundo actual, es decir cuando se conocen datos de entrada del transporte de solutos. Debido a la simplicidad operacional del modelo, TETRANS puede utilizarse como una herramienta didáctica para entender las interacciones básicas entre el suelo, el agua y la planta que están involucradas en el transporte de solutos. (Corwin, 1990).

El modelo define los cambios en las cantidades de los solutos y del contenido de humedad en lugar de ocuparse del cambio de las velocidades. Se maneja con las cantidades de lluvia, riego o evapotranspiración y solo considera al tiempo de manara indirecta ya que utiliza el tiempo entre un evento de lluvia o de riego. El programa predice la concentración promedio de un soluto dentro de cada capa del perfil del suelo a medida que se incrementa la profundidad. El transporte a través del perfil del suelo se modela como una serie de eventos o procesos para una colección finita de intervalos discretos de profundidad. Estos eventos o procesos secuenciales incluyen: (1) la infiltración o drenaje hasta alcanzar la capacidad de campo, (2) equilibrio químico instantáneo para los solutos reactivos, (3) la extracción de agua por parte de los cultivos resultantes de la transpiración y de las pérdidas por evaporación de la superficie fiel suelo y (4) re-equilibrio químico instantáneo. TETrans tiene en cuenta los procesos hidráulicos y físico - químicos del flujo del agua incluyendo el flujo preferencial, la evapotranspiración con una función de crecimiento de la raíz y de distribución de la extracción de agua por parte de las raíces, adsorción - desorción y drenaje. El modelo determina las distribuciones en el perfil vertical de las concentraciones totales, solubles y


adsorbidas de un soluto dentro y fuera de la zona radicular; la distribución del contenido de humedad; el drenaje total; la carga total de solutos dentro de la zona radicular; la función de distribución de extracción de agua por parte de las raíces y la eficiencia de lixiviación. (Corwin, 1990).

El modelo resulta de gran utilidad para la aplicación de contaminantes no puntuales. Dentro de las limitaciones del programa se pueden mencionar: no considera las reacciones cinemáticas, supone equilibrio químico. No se consideran las reacciones químicas de las sales como: precipitación, disolución y reacciones de intercambio. Es necesario conocer la evapotranspiración entre los eventos de riego o precipitación, etc. (Corwin, 1990).

2.6.13. MOC3D

MOC3D (A Three Dimensional Method of Caracteristics Solute Transport Model). Este programa fue escrito en 1996 por L. F. Konikow, D. J. Goode y G. Z. Hornberger, pertenecientes al Servicio Geológico de los Estados Unidos. MOC3D simula el transporte de solutos en tres dimensiones en el agua subterránea en movimiento, es decir que se trata de un modelo que analiza el flujo en un medio saturado. El programa calcula los cambios de concentración de un cierto constituyente químico a lo largo del tiempo, que son causados como consecuencia del transporte advectivo, de la dispersión hidrodinámica (dispersión mecánica y difusión) y de la mezcla de las fuentes del flujo; también incluye el cálculo matemático de algunas reacciones químicas simples (adsorción no lineal y decaimiento). Este modelo está integrado al programa MODFLOW que resuelve el flujo del agua subterránea en tres dimensiones en condiciones de régimen no permanente y utilizando el método de diferencias finitas implícitas. MOC3D utiliza el método de las características para resolver la ecuación de transporte basándose en los gradientes hidráulicos calculados por MODFLOW para un determinado lapso de tiempo. (Konikow y otro, 1996).

Este programa esta escrito en Fortran y está desarrollado en forma modular de manera similar que MODFLOW. MOC3D es de dominio público.

2.6.14. SALTMOD

El modelo fue elaborado en Fortran por R.J. Oosterbaan e Isabel Pedroso de Lima. Luego fue mejorado para facilitar el manejo de los datos de entrada y de salida por H. Ramnandanlal y R. Kselik.

Es un programa que predice la salinidad de la humedad del suelo, del agua subterránea y del agua de drenaje, la profundidad del nivel freático y la descarga de los drenes en tierras agrícolas bajo riego, utilizando diferentes condiciones geo-hidrológicas, variando las opciones de manejo del agua e incluyendo el uso de agua subterránea para riego y varios calendarios de rotación de cultivos. (Oosterbann, 1998).

Las diferentes opciones de manejo del agua incluyen: riego, drenaje y la utilización del agua de drenaje subsuperficial para riego. En lo referente al tema salinidad, el programa sólo predice la conductividad eléctrica del perfil del suelo, pero no da la concentración de las distintas sales en profundidad.

2.6.15. VLEACH


VLEACH version 2.2 se trata de un programa de lixiviación en diferencias finitas unidimensional en la zona vadosa. El modelo fue desarrollado por la Agencia de Protección Ambiental de los EEUU Oficina de Investigación y Desarrollo - Laboratorio de Investigación Ambiental Robert S. Kerr - Centro de Modelación Subsuperficial por Varadhan Ravi y Jeffrey A. Johnson de la Corporación Dynamac.

VLEACH sirve para la estimación del impacto debido a la movilización y a la migración de un contaminante orgánico adsorbido localizado en la zona no saturada. El programa calcula la distribución de equilibrio de la masa de contaminante entre las fases líquida, sólida y gaseosa. (Ravi y otros, 1994)

2.7 Modelos que describen las propiedades hidráulicas de los suelos no saturados

Todos los programas descriptos necesitan la definición de las propiedades hidráulicas de los suelos y en muchos casos necesitan los parámetros de las funciones hidráulicas para los distintos modelos, esto para los suelos no saturados. A continuación se presentan programas que describen las propiedades de los sulos no saturados.

2.7.1. UNSODA

UNSODA versión 1.0 del programa, elaborada por Leij, Willianj, Alves y van Genuchten, pertenecientes al Laboratorio de Salinidad de los EEUU y por Joseph R. Williams de la División de Restauración y de Protección Subsuperficial. Fue terminado en 1996. UNSODA consiste en una base de datos de las propiedades hidráulicas de los suelos no saturados (contenido de humedad, conductividad hidráulica y difusividad del agua en el suelo), propiedades básicas del suelo (distribución del tamaño de partículas, densidad, contenido de materia orgánica, etc.) e información adicional sobre el suelo y los procedimientos experimentales. El programa puede utilizarse para: (1) guardar y editar datos, (2) buscar datos, (3) escribir los contenidos de conjuntos de datos seleccionados y (4) para describir los datos hidráulicos de los suelos no saturados con expresiones analíticas de forma cerrada, (Leij y otros, 1996).

UNSODA Model es la versión 2.0 de 1999 sobre Windows basada en la versión 1.0 de DOS.

2.7.2. RETC RETC (RETention Curve), fue desarrollado por van Genuchten, Leij y Yates dentro del

Laboratorio de Salinidad de U.S.A., Departamento de Agricultura. El programa usa los modelos paramétricos de Brooks-Corey (1964) y van Genuchten (1978) para representar las curvas de retención de agua del suelo, y los modelos de distribución teórica del tamaño de poros de Mualem (1976a) y Burdine (1953) para determinar la función de conductividad hidráulica en función de los datos observados de retención de agua del suelo. El programa también permite un ajuste analítico simultáneo de los datos observados de retención de agua y conductividad. El código de RETC es descendiente del código SOHYP (van Genuchten, 1978).

RETC incluye una valuación directa de las funciones hidráulicas cuando los parámetros del modelo son conocidos, también incluye una forma más flexible para introducir los parámetros para los procesos de optimización y la posibilidad de evaluar los parámetros del modelo de los datos observados de conductividad y retención de agua. El código de RETC puede


ser modificado fácilmente para tener en cuenta los procesos más complicados como flujo histerético bifásico (Lenhard y otros, 1991) o el flujo preferencial (Germann, 1990).

El programa RETC permite realizar un análisis de estimación de parámetros de los datos de conductividad y humedad en forma consecutiva o simultánea e incluye en su salida una matriz que especifica el grado de correlación entre los coeficientes ajustados y los diferentes modelos hidráulicos. La matriz refleja la no-ortogonalidad entre dos parámetros. Un valor ± 1 sugiere una perfecta correlación lineal y 0 indica que no existe correlación.

RETC Model es la versión 2.0 de 1999 sobre Windows basada en la versión 1.0 de DOS.

Figura 2.42. RETC, ventana de salida de propiedades del suelo

2.8 Modelos que describen las propiedades hidráulicas de los suelos no saturados y resuelven la ecuación de Richards

2.8.1. NETRAIN 3.0

La mayoría de los modelos de cálculo de infiltración se basan en buscar solución a la ecuación de flujo en medios porosos no saturados, o ecuación de Richards, que plantea la relación entre la humedad, la conductividad hidráulica y la succión en un medio poroso no


saturado para distintos tiempos. La solución de esta ecuación necesita la definición de las funciones hidráulicas del suelo.

El programa NETRAIN 3.0 (Reyna T, y otros, 2010), permite calcular la infiltración considerando las propiedades hidráulicas de los suelos recopilados en la base de datos UNSODA (Leij et al., 1976), independizándose del uso de funciones hidráulicas y de la determinación de sus parámetros. El empleo de valores de conductividad y succión de la base UNSODA para resolver la ecuación de flujo en medios porosos no saturados, simplifica la solución de las ecuaciones de onda cinemática para el escurrimiento superficial y de la ecuación de Richards para el flujo subterráneo. Este programa está desarrollado en el lenguaje FORTRAN y se puede aplicar aún en el caso de tener pocos datos medidos. Esto ocurre de manera especial en los casos de curvas de conductividad hidráulica donde la obtención de datos es muy lenta y dificultosa. NETRAIN 3.0 tiene la capacidad de incorporarse al programa HEC-1 (US Army, 1985) y permitir el cálculo de la escorrentía considerando la precipitación efectiva obtenida restando las pérdidas iniciales y la infiltración utilizando la ecuación de Richards. NET-RAIN 3.0 permite la modelación continua de períodos de humedecimiento y secado y períodos sin precipitación, lo cual permite el cálculo de la lluvia efectiva evitando métodos aproximados.

Utiliza una discretización en mallas espaciales para resolver la ecuación de Richards y puntos discretos en el tiempo; de esta forma resuelve un sistema de ecuaciones algebraicas. Aplica el concepto de conductancia definida en cada elemento (C = KA/L, donde K es la conductividad hidráulica, A la sección transversal perpendicular a la dirección del flujo y L es la longitud del flujo). Las condiciones de borde pueden ser carga constante o inactiva (no hay flujo).

Las ecuaciones del modelo se basan en la hipótesis de que las propiedades hidráulicas son uniformes dentro de cada celda. Esto presenta complicaciones cuando las celdas incorporan suelos de distintas capas hidrogeológicas. Si se utilizan mallas que no son rectangulares se tiene el inconveniente que las direcciones principales de la conductividad hidráulica pueden no estar alineadas con los ejes del modelo.

El objetivo del programa NETRAIN 3.0 es generar un mecanismo que permita el cálculo de la infiltración por medio de la ecuación de Richards para su ingreso a HEC-1, desarrollándose esta aplicación de forma que sea posible su eventual incorporación al código fuente original de HEC-1. Para ello es necesario realizar la resolución de la ecuación de Richards bajo las condiciones muestreadas en la zona, definir el perfil de humedad inicial y la tasa de infiltración para cada período de tiempo, con lo que se puede computar la precipitación neta (Reyna, T. 2010).

NETRAIN 3.0 permite resolver la ecuación de Richards en diferencias finitas, considerando las propiedades hidráulicas de los suelos de la base de datos de UNSODA. Al ser los datos de UNSODA una base de datos discreta, obtenida de las mediciones realizadas en distintas partes del mundo, NETRAIN interpola entre los datos originales para obtener una curva continua de conductividad - succión y humedad-succión.

La salida de NETRAIN permite obtener el perfil de humedad para cada tiempo y la precipitación efectiva al descontar el agua que se infiltra en el suelo durante el proceso de precipitación y luego de él. Además, NETRAIN 3.0 puede modelar períodos continuos de humedecimiento y secado y períodos sin precipitación.


2.9 Conclusiones del Capítulo

Se han presentado las ecuaciones que gobiernan la Teoría de la Infiltración, distinguiendo entre el régimen permanente y el transitorio, suelos saturados y suelos no saturados.

Presentada la Teoría de Infiltración, se continuó con los Métodos de Solución para los casos enunciados precedentemente. Se realizó una sistematización en la presentación de los mismos.

También se presentaron programas para el cálculo de infiltración en medios porosos saturados o no saturados. Estos programas permiten resolver el problema para casos particulares, en general medios semi-infinitos, para sistemas no lineales y para los que no existen soluciones cerradas.

Todos estos programas necesitan la definición de las propiedades hidráulicas de los suelos y en muchos casos necesitan los parámetros de las funciones hidráulicas para los distintos modelos, lo que complica su aplicación.

Los modelos Analíticos tuvieron su apogeo en la década de los sesenta en el siglo pasado y fueron reemplazados por los modelos numéricos con el avance de la tecnología en la Informática. Las soluciones cerradas se conocen para casos donde se realizan simplificaciones, como medio semi infinito, continuo o discontinuo, fronteras lineales etc.

Para realizar una comparación de los métodos analíticos, y los métodos numéricos y computacionales, objetivo de esta tesis, es necesario compatibilizar los alcances de cada uno de ellos. Es así que en esta tesis se analiza el tema de la infiltración para régimen permanente, es decir se toma el agua infiltrada cuando el sistema está en régimen. También se considera que el flujo se da en la zona saturada, por lo que el límite superior de la zona de flujo es la freática para flujo no confinado. Es decir, no se considera flujo en la zona no saturada. Las consideraciones anteriores son las que permiten plantear los métodos analíticos para su análisis, en las que se encuentran soluciones cerradas para estos casos.

En cuanto a los modelos físicos, se encuentran fuera del alcance de este trabajo, sin embargo no se deja de valorar la importancia de los mismos, para estructuras hidráulicas no convencionales. Al final del siglo XIX, Fargue, Reynolds y Froude dieron los pasos fundamentales en la técnica de similitud para la ingeniería hidráulica, la modelación física presentaba las características de investigación científica. En la actualidad, salvo excepciones, la modelación física se ha transformado en un servicio profesional altamente especializado y con costosos requerimientos de infraestructura e instrumentación. Las necesidades de la ingeniería la asumen como un arma de verificación y optimización de proyectos, prácticamente ineludible para las estructuras hidráulicas no convencionales (Raúl Lopardo, 2009).

2.10 Definición del Alcance de la Tesis

Se han recorrido entonces para la infiltración en suelos, las ecuaciones que la definen, todos los métodos, tanto para suelos saturados como no saturados, régimen permanente e impermanente, eligiendo como marco de estudio para el análisis de las presas La Barranquita y Cipión II, los modelos de régimen permanente y flujo en la zona saturada.


Se eligen los métodos analíticos de Schaffenak – Van Iterson, A. Casagrande, Pavlovsky, Fragmentos (para flujo no confinado), y Dupuit teniendo en cuenta que los taludes de la Presa La Barranquita y Cipión II son menores de 30º. Con ellos se determinará en el Capítulo 3, la Línea de Saturación, y los caudales infiltrados a través del cuerpo de la presa, considerando la fundación impermeable. Los resultados se compararán con los del Programa Plaxis de elementos Finitos.

También se analizará el caso en el que se considera el cuerpo de la presa impermeable, se determinarán los caudales infiltrados por debajo del cuerpo de la presa, según el método de los Fragmentos (para flujo confinado), y con el programa Plaxis de elementos finitos. Se compararán los resultados.

Tomando la presa y su fundación en forma conjunta resulta que no existen las formas cerradas que permitan su análisis por lo que solamente se podrá realizar su análisis por los métodos de Elementos Finitos con el Programa Plaxis y Diferencias Finitas. En este caso se calcularán los caudales totales infiltrados y se determinarán las líneas equipotenciales para los dos modelos.

El modelo de Diferencias Finitas se utilizará con el método de relajación usando la capacidad de iteración de Excel, discretizando la fundación y el cuerpo de la presa.


2.11 Bibliografía

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CAPITULO 2: INFILTRACIÓN EN PRESAS .......................................................22

2.1 Introducción.........................................................................................................22

2.2 Teoría de la Infiltración ......................................................................................23

2.3 Ecuaciones del flujo en medios porosos..........................................................23

2.4 Métodos de solución para régimen permanente o estacionario - Solución de la Ecuación de Laplace .....................................................................................25

2.4.1. Redes de Flujo ............................................................................................26

2.4.1.1. Condiciones de Frontera ....................................................................27

2.4.1.2. Líneas Equipotenciales y Líneas de Corriente ................................30

2.4.1.3. Determinación de la Línea Superior de Flujo y Línea de Descarga 31

2.4.2. Modelos Físicos ..........................................................................................39

2.4.2.1. Modelos de Analogía Eléctrica: .........................................................39

2.4.2.2. Modelos de Arena:..............................................................................41

2.4.2.3. Modelos de Flujo Viscoso: .................................................................41

2.4.3. Métodos Analíticos .....................................................................................42

2.4.3.1. Transformaciones, mapeos ...............................................................42

2.4.3.2. Método de los Fragmentos ................................................................46

2.4.3.3. Soluciones Cerradas: .........................................................................56

2.4.4. Métodos Numéricos y Computacionales..................................................56

2.4.4.1. Método de Diferencias Finitas: ..........................................................56

2.4.4.2. Método de Elementos Finitos: ...........................................................59

2.5 Métodos de solución para régimen impermanente o transitorio para suelos no saturados.......................................................................................................61

2.5.1. Ecuaciones generales ................................................................................62

2.5.2. Formulación con elementos finitos ...........................................................64

2.5.3. Formulación con diferencias finitas...........................................................66

2.6 Revisión del Software Existente para Infiltración ............................................72

2.6.1. PLAXIS 2D V8. ...........................................................................................72

2.6.2. HYDRUS......................................................................................................75

2.6.3. UNSATCHEM-2D .......................................................................................76

2.6.4. CHAIN-2D....................................................................................................77

2.6.5. VISUAL MODFLOW ...................................................................................77

2.6.6. VS2DI...........................................................................................................79

2.6.7. CHEMFLOW ...............................................................................................80


2.6.8. HST3D .........................................................................................................81

2.6.9. SOILCO2 ......................................................................................................81

2.6.10. D-HYSAM ....................................................................................................81

2.6.11. Nour el-Din ..................................................................................................82

2.6.12. TETRANS ....................................................................................................82

2.6.13. MOC3D ........................................................................................................83

2.6.14. SALTMOD ...................................................................................................83

2.6.15. VLEACH ......................................................................................................83

2.7 Modelos que describen las propiedades hidráulicas de los suelos no saturados ............................................................................................................84

2.7.1. UNSODA .....................................................................................................84

2.7.2. RETC ...........................................................................................................84

2.8 Modelos que describen las propiedades hidráulicas de los suelos no saturados y resuelven la ecuación de Richards .............................................85

2.8.1. NETRAIN 3.0 ..............................................................................................85

2.9 Conclusiones del Capítulo.................................................................................87

2.10 Definición del Alcance de la Tesis ....................................................................87

2.11 Bibliografía ..........................................................................................................89

CAPITULO 2

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